辽宁朝阳市第一高级中学2026-2027学年上学期高三数学第1周晚周测试题

**基本信息** 以汽车轮胎摩擦系数等现实情境为载体，聚焦导数应用核心知识，通过选择、填空、解答题梯度设计，适配高三周测对数学思维与应用能力的巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|导数几何意义（第2题切线距离）、极值判断（第3题）、函数单调性（第4题）|情境化（第1题车速与摩擦系数图像分析）| |多选题|2题|导数运算（第9题）、函数性质（第10题单调性与零点）|概念辨析（第9题导函数正确性判断）| |填空题|2题|函数零点（第11题）、切线方程（第12题）|基础应用（第12题曲线在某点切线方程）| |解答题|1题（2问）|导数综合应用（第13题切线方程与极值讨论）|分层设计（基础切线求法与含参极值条件探究）|

辽宁省朝阳市第一高级中学2026-2027学年上学期高三数学第1周晚周测试题答案 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B C D A D C BD BD 1．C 【分析】根据图象，依次分析各选项即可. 【详解】对于A，由图象可知，当时，，即汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为，原说法正确，不符合题意； 对于B，由图象可知，当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小，原说法正确，不符合题意； 对于C，要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不高于，原说法错误，符合题意； 对于D，由图象可知，当时，；当时，，即车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小，原说法正确，不符合题意； 2．D 【分析】将点的坐标代入曲线方程，求出的值，令，求出两切点的坐标，利用导数求出两切线方程，再利用平行线间的距离公式求解即可. 【详解】因为点是曲线上的点，所以，故曲线对应的函数解析式为， 对函数求导得，令，解得， 当时，，记点， 曲线在点处的切线方程为，即， 曲线在点处的切线方程为，即， 故这两条切线间的距离为. 3．B 【分析】求出函数的导数，根据极值点与导数的关系可求得参数的值，验证即可确定答案. 【详解】已知函数，因此定义域为，， 因为函数在处有极值，因此，即，解得或， 检验，当时，， 当时，，当时，， 因此函数在上单调递减，函数在上单调递增， 因此时，函数在处有极小值，符合题意； 当时，， 当时，，当时，， 因此函数在上单调递增，函数在上单调递减， 因此时，函数在处有极大值，不符合题意舍去； 综上，函数在处有极小值，则. 4．C 【分析】将是增函数转化为恒成立，使用基本不等式求最值. 【详解】的定义域为，， 因为函数为其定义域上的增函数， 所以，即在上恒成立， 因为，，当且仅当时取等号， 所以，即. 5．D 【分析】由的图象得出在对应区间上的符号，从而得出函数的单调性，从而判断选项即可. 【详解】由的图象可知：当时，，单调递减； 当时，，单调递增，故A，B错误； 所以在处取得极小值，D选项正确； 当时，，单调递增，在处不是极小值，C选项错误. 6．A 【分析】先判断函数为偶函数且在上单调递增，将函数值不等式转化为绝对值不等式求解. 【详解】显然函数的定义域为，对任意，有，故是偶函数， 当时，，求导得， 当时，，，故，即在上单调递增， 根据偶函数性质，等价于， 结合单调性可得，两边平方得 ， 展开整理得 ， 因式分解为，解得. 7．D 【分析】设，令，将二元最值转化为单一函数最值，再利用单调性求最小值. 【详解】设，则，，， 令，则， 由指数函数与反比例函数单调性易知在上单调递增，且， 当时，，当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即的最小值是． 8．C 【分析】构造函数，分析出该函数为偶函数，结合导数可知函数在上为减函数，将所求不等式变形为，结合函数的单调性与奇偶性可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】构造函数，该函数的定义域为，且函数在上连续， 则， 故函数为偶函数， 当时，，所以函数在上为减函数， 由可得， 即，可得，所以，则， 整理可得，解得， 所以不等式的解集为. 9．BD 【分析】根据导数的四则运算和复合函数运算进行判断． 【详解】A选项，，故A错误； B选项，，故B正确； C选项，，故C错误； D选项，根据复合函数求导法则可得，故D正确． 10．BD 【分析】利用导数研究原函数的性质，依次判断各选项的正误即可. 【详解】令，解得. 对于A，当，单调增，当，单调减，A错误； 对于B，在单调增，在单调减，故是的极大值点，B正确； 对于C，在的最大值为.故在的最大值不是，C错误； 对于D，当时，恒成立，即在无零点， 易知，在单调减，则在有且仅有一个零点， 所以有且只有1个零点，D正确. 11． 【分析】利用导数求出函数的最小值，再结合零点存在性定理列式求得的取值范围. 【详解】由得. 令，即，得. 当时，；当时，. 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增. 所以. 又当时，；当时， 因为函数有零点，则. 所以. 12． 【分析】首先根据条件求出，进而可求得，再用点斜式写出切线方程，化简转换即可得到一般式方程． 【详解】把代入，解得，即， 由的斜率为2，得到， ， ，即所求切线的斜率为6， 又，即所求直线与的切点坐标为， 则所求切线的方程为，即． 13．(1) (2) 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程； （2）解法一：求导，分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知有零点，可得，进而利用导数求的单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可. 【详解】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. （2）解法一：因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 构建，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为； 解法二：因为的定义域为，且， 若有极小值，则有零点， 令，可得， 可知与有交点，则， 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，符合题意， 由题意可得：，即， 构建， 因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为. 答案第4页（共6页） 答案第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省朝阳市第一高级中学2026-2027学年上学期高三数学第1周晚周测试题 一、单选题 1．汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化.研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示.下列说法中错误的是（    ） A．汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为 B．当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小 C．要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不低于 D．若车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小 2．已知点是曲线上的点，若该曲线有两条斜率为的切线，则这两条切线间的距离为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数在处有极小值，则（    ） A．1或 B．1 C． D． 4．若函数为其定义域上的增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ）    A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在处取得极小值 D．在处取得极小值 6．设函数，则使得成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知，则的最小值是（    ） A． B．－1 C．1 D． 8．已知定义在上的连续函数，其导函数为，若．且当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列函数的求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．在上单调递增 B．是的极大值点 C．在区间内的值域为 D．有且只有1个零点 三、填空题 11．已知函数有零点，则的取值范围是_________． 12．设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的一般式方程是__________． 四、解答题 13．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $