辽宁朝阳市第一高级中学2026-2027学年上学期高三数学第1周周测试题

**基本信息** 高三数学周测试题，覆盖集合、函数、数列等核心知识，解答题分层设问，综合考查数学思维与运算能力，适配一轮复习基础巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8题|集合运算、函数最值、数列求和等|基础概念与技能结合，如导数切线方程考查数学眼光| |多选|3题|三角函数性质、复数运算|多角度辨析，如函数零点与方程考查推理意识| |填空|3题|函数单调区间、三角边范围|情境简洁，如数列与几何结合体现数学语言| |解答题|5题|函数奇偶性与不等式、导数恒成立、数列求和等|分层设问，如导数证明题培养理性精神，符合高考命题趋势|

辽宁省朝阳市第一高级中学2026-2027学年上学期高三数学第1周周二全卷测试题答案 一、单选题 1．设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出集合，，再根据交集的定义求. 【详解】对集合：因为，所以，即； 对集合：因为恒成立，所以. 所以. 故选：B 2．已知，，，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【分析】由已知可得，利用，结合基本不等式可求最小值. 【详解】因为，所以，所以，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为4. 故选：D. 3．数列中，若，，，则数列的前项和（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合递推关系利用分组求和法求. 【详解】因为，， 所以，，，，， 又，，， 所以. 故选：C. 4．在中，D为BC中点，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的加减运算得出、，即可得出在线段上的位置，即可求出. 【详解】因，则，即， 则， 因D为BC中点，则， 因，则，即， 则，则， 因，D为BC中点，则，即，得.    故选：A 5．已知曲线在点处的切线方程为，设函数，则曲线在点处的切线方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知曲线在点处的切线方程为，则， ，则， ，则， 故切线斜率为0，过点，切线方程为． 6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则“”是“是钝角三角形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由余弦定理求解即可. 【详解】因为，所以， 又因为A为三角形内角，所以A为钝角， 若△ABC是钝角三角形，结合得A为钝角，所以， 所以，所以“”是“是钝角三角形”的充分必要条件. 7．已知偶函数定义域为，且，当时，，则函数在区间上所有零点的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】函数在区间上的零点的集合等于函数和函数在区间内的交点横坐标的集合，分析函数的图象特征，作出两函数的图象，观察图象可得结论. 【详解】因为函数，的零点的集合与方程在区间上的解集相等， 又方程可化为， 所以函数，的零点的集合与函数和函数在区间内的交点横坐标的集合相等， 因为函数为定义域为的偶函数， 所以，函数的图象关于轴对称， 因为， 取可得，， 所以函数为偶函数， 所以函数的图象关于对称， 又当时，， 作出函数，的区间上的图象如下： 观察图象可得函数，的图象在区间上有个交点， 将这个交点的横坐标按从小到大依次记为， 则，，，， 所以函数在区间上所有零点的和为. 故选：A. 8．已知平面向量，，，满足，且，，则的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】可设，，，由得到满足的关系，再求的最小值. 【详解】可设，，， 则. 可设：，则 . 故选：B 【点睛】方法点睛：由题意可知：，都是单位向量，且夹角确定，所以可先固定，，这样就只有发生变化，求最值就简单了一些. 二、多选题 9．对于函数，下列说法正确的是（   ） A．函数的最大值为 B．是函数图象的一个对称中心 C．是函数图象的一个对称轴 D．将函数的图象向右平移个单位，即可得到函数的图象 【答案】ACD 【分析】先利用两角和与差的三角函数公式和二倍角公式，把函数化成的形式，再对函数的性质进行分析，判断各选项是否正确. 【详解】因为. 所以，故A正确； 函数对称中心的纵坐标必为，故B错误； 由，得函数的对称轴方程为：，. 令，得是函数的一条对称轴.故C正确； 将函数的图象向右平移个单位，得，即将函数的图象向右平移个单位，可得到函数的图象.故D正确. 故选：ACD 10．已知复数，均不为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则的虚部为 B． C．若，则的最小值为 D．若，则 【答案】BC 【分析】根据复数的虚部的定义判断A，设，（），根据共轭复数定义及复数加法分别求即可判断B，结合复数的几何意义判断C，举反例，结合复数的模及乘法和复数相等的定义判断D. 【详解】对于选项A，复数的虚部是实数2，，A错误； 对于选项B，设，（），且，， 则 ， ， 所以，B正确； 对于选项C，由知复平面内复数对应的点的轨迹是以点为圆心、半径的圆， 表示该圆上的点到原点的距离，原点到圆心的距离为， 因此的最小值为，C正确； 对于选项D，举反例：取，，满足，但，， 显然，D错误, 11．已知函数，则下列结论中正确的是（   ） A．函数有两个零点 B．恒成立 C．若方程有两个不等实根，则的范围是 D．直线与函数图象有两个交点 【答案】BCD 【分析】分和两种情况探讨的符号，判断A的真假；转化为研究函数的最小值问题，判断B的真假；把方程有两个不等实根，为有两个根的问题，构造函数，分析函数的图象和性质，可得的取值范围，判断C的真假；直线与函数图象有两个交点转化为有两解，分析函数的零点个数，可判断D的真假. 【详解】对A：当时，；当时，；时，， 所以函数只有1个零点.A错误； 对B：欲证，须证在上恒成立. 设，则， 由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以的最小值为，因为，所以.故B正确； 对C：. 设， 则，. 由；由. 所以在上单调递增，在单调递减. 所以的最大值为：，又当时，. 如图所示： 所以有两个解时，.故C正确； 对D：问题转化为方程：有两解，即有两解. 设，，所以. 由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以的最大值为. 因为，，所以 所以. 且当且时，；时，. 所以函数的图象如下： 所以有两解成立，所以D正确. 故选：BCD 【点睛】方法点睛：导数问题中，求参数的取值范围问题，通常有如下方法： （1）分离参数，转化为不含参数的函数的值域问题求解. （2）转化为含参数的函数的极值问题求解. 三、填空题 12．函数的单调递减区间是___________． 【答案】、 【分析】求出函数的定义域，利用导数与函数单调性的关系可求得答案. 【详解】函数的定义域为，， 由可得或，故函数的单调递减区间为、. 13．在中，角，，所对的边分别为，，，，且，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】先根据辅助角公式求得，然后利用正余弦定理求得，进而由正弦定理得，从而利用辅助角公式得，最后利用正弦函数性质求解即可. 【详解】在中，由，得. 又，则，解得. 由及正弦定理，得， 即. 由余弦定理得，则. 由正弦定理，得，即， 因此 . 由，得，则， 所以的取值范围是. 14．已知平行四边形，点为边的一点，且，点是射线上一动点，又数列满足，恒有，记的前项和为，则________． 【答案】 【分析】利用平面向量基本定理得到数列递推关系式，通过构造等差数列求出数列通项，再使用错位相减法求数列前项和. 【详解】在平行四边形中，且， 所以， 因为点是射线上一动点， 所以存在，使得， 又因为， 所以， 消去得，整理得， 两边同时除以得， 设，则，即，为等差数列， 所以， 所以， ①   ② 得， 所以. 四、解答题 15．已知函数． (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)解关于的不等式； (3)设，若函数与图象有2个公共点，求实数的取值范围． 【答案】(1)偶函数；对任意的，，所以，函数的定义域为， ， 即， 所以， 所以函数是偶函数； (2) (3) 【分析】（1）由偶函数的定义结合对数运算性质证明； （2）分析函数在上的单调性，由偶函数的性质将所求不等式变形为，可得出关于实数的不等式，解之即可； （3）令，由题意可知，关于的方程有两个不等的正根，根据二次方程根的分布可得出关于的不等式组，解之即可. 【详解】（1）偶函数；略； （2）因为， 令，任取、，且，则， ，则， 所以 ，则， 所以，函数在上为增函数， 又因为外层函数为上的增函数， 所以，函数在上为增函数， 由可得，所以， 即，整理可得，解得， 因此，实数的取值范围是. （3）函数与图象有个公共点， 由可得， 可得，即， 因为，则， 设，则，又在上单调递增， 由题意可知，关于的方程有两个不等的正根， 所以，，解得. 即的取值范围为. 16．已知在锐角中，，，分别为内角，，的对边，. (1)求； (2)若，为中点，，求； (3)若，求内切圆半径的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理进行边化角，再结合三角形内角和定理及两角和与差的三角函数公式，可求，进而得到角. （2）利用向量表示，借助向量的数量积求边. （3）利用与正弦定理表示出，借助三角函数求的取值范围. 【详解】（1）因为， 根据正弦定理，得， 所以， 因为，所以，所以. （2）因为为中点，所以， 所以， 所以，解得或（舍去）， 故. （3）由正弦定理：， 所以，， 因为，所以， 所以 ， ， 设内切圆半径为， 则. 因为为锐角三角形，所以，， 所以， 所以，即， 即内切圆半径的取值范围是：. 17．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)设函数，若在恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) 当时，函数在上单调递增， 当时，函数在上单调递增， 函数在上单调递减， 函数在上单调递增， (2)的取值范围为. 【分析】（1）求函数的定义域及导函数，分别在，，，条件下研究导数的取值情况，判断函数的单调性； （2）由条件可得，设，利用导数求其最小值，由此可得结论. 【详解】（1）函数的定义域为，导函数， 当时，，函数在上单调递增， 当且时，即时， ，函数在上单调递增， 当时，，当且仅当时， 函数在上单调递增， 当时，方程有两个不等实数根，设其根为，， 则，， 由，知，，， 所以当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递增， 当时，函数在上单调递增， 函数在上单调递减， 函数在上单调递增， （2）因为，， 所以， 不等式可化为， 因为在恒成立， 所以 设， 则， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以当时，函数取最小值，最小值为， 故， 所以的取值范围为. 18．已知正项数列是的前项和，且满足． (1)求的通项公式： (2)数列满足，是的前项和，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知前n项和公式，利用前n项和与前项和的差构造等式关系，推出数列的通项公式； （2）通过数列的通项公式形式，利用裂项相消的方法求和． 【详解】（1）由题意得，所以， 两式相减，可得，即． 数列的各项均为正数，，， 两式相减得，即 由数列的各项均为正数，知． 由，，， 由，解得， 于是，从而数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 故； （2）由（1）可知，代入可得 ； ． 19．已知函数，． (1)求函数的极值； (2)（ⅰ）若在上恒成立，求正整数的最大值； （ⅱ）证明：，． 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2)（ⅰ） （ⅱ）证明：由（ⅰ）知，当时，，恒成立， 即对恒成立，取，， 则， 因此 ． 【分析】（1）求导，再根据导数的符号得到的单调性，进而即可求出的极值； （2）（ⅰ）结合（1）得到，通过构造函数，求导，再结合零点存在性定理即可求出正整数的最大值； （ⅱ）结合（ⅰ），通过放缩得到不等式，再利用裂项相消法求和即可证明． 【详解】（1）由函数的定义域为，， 则， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减；在上单调递增， 所以函数在处取得极小值，且极小值为，无极大值． （2）（ⅰ）由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 令函数，，则， 所以函数在上单调递减， 而，， 则存在，使得，即， 因此当时，， 所以正整数的最大值为． （ⅱ）略 试卷第4页（共17页） 试卷第18页（共18页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省朝阳市第一高级中学2026-2027学年上学期高三数学第1周周二全卷测试题 一、单选题 1．设集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知，，，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D．4 3．数列中，若，，，则数列的前项和（   ） A． B． C． D． 4．在中，D为BC中点，，，若，则（    ） A． B． C． D． 5．已知曲线在点处的切线方程为，设函数，则曲线在点处的切线方程是（     ） A． B． C． D． 6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则“”是“是钝角三角形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知偶函数定义域为，且，当时，，则函数在区间上所有零点的和为（   ） A． B． C． D． 8．已知平面向量，，，满足，且，，则的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 二、多选题 9．对于函数，下列说法正确的是（   ） A．函数的最大值为 B．是函数图象的一个对称中心 C．是函数图象的一个对称轴 D．将函数的图象向右平移个单位，即可得到函数的图象 10．已知复数，均不为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则的虚部为 B． C．若，则的最小值为 D．若，则 11．已知函数，则下列结论中正确的是（   ） A．函数有两个零点 B．恒成立 C．若方程有两个不等实根，则的范围是 D．直线与函数图象有两个交点 三、填空题 12．函数的单调递减区间是___________． 13．在中，角，，所对的边分别为，，，，且，则的取值范围是______. 14．已知平行四边形，点为边的一点，且，点是射线上一动点，又数列满足，恒有，记的前项和为，则________． 四、解答题 15．已知函数． (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)解关于的不等式； (3)设，若函数与图象有2个公共点，求实数的取值范围． 16．已知在锐角中，，，分别为内角，，的对边，. (1)求； (2)若，为中点，，求； (3)若，求内切圆半径的取值范围. 17．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)设函数，若在恒成立，求实数的取值范围. 18．已知正项数列是的前项和，且满足． (1)求的通项公式： (2)数列满足，是的前项和，求． 19．已知函数，． (1)求函数的极值； (2)（ⅰ）若在上恒成立，求正整数的最大值； （ⅱ）证明：，． 试卷第4页（共17页） 试卷第4页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $