第5章 一元一次方程 同步练习 2026-2027学年人教版数学七年级上册

**基本信息** 聚焦一元一次方程全知识点，以"概念理解-运算技能-模型应用"为路径，通过基础题夯实抽象能力，提升题培养运算能力，综合题发展模型意识，形成梯度分明的巩固体系。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|等式性质、方程的解、基本解方程|以选择填空为主，直接考查概念辨析与基本运算，如等式变形判断、代入求参数| |能力提升|含参数方程、解的变式应用|通过表格数据分析、解的迁移（如x=2到y-2的转化），培养推理意识| |综合应用|行程、经济、古代数学问题|结合《九章算术》等情境，需建立方程模型解决实际问题，发展应用意识|

专题03 一元一次方程 题型一、等式的性质 1．（2025秋•海淀区校级期末）下列等式变形正确的是（　　） A．若4x＝2，则x＝2 B．若4x﹣2＝2﹣3x，则4x+3x＝2﹣2 C．若1，则3（3x+1）﹣2（1﹣2x）＝1 D．若4（x+1）﹣3＝2（x+1），则4（x+1）﹣2（x+1）＝3 2．（2025秋•海淀区校级期末）下列等式变形正确的是（　　） A．若4x﹣1＝3x+2，则4x﹣3x＝2﹣1 B．若，则2x﹣1+4x＝8 C．若3（x﹣2）＝2x+1，则3x﹣2＝2x+1 D．若，则 题型二、方程的解 1．（2025秋•门头沟区期末）若x＝3是方程3x﹣ax＝6的解，则a的值为（　　） A．3 B．1 C．0 D．﹣1 2．（2026春•海淀区期末）若是关于x，y的二元一次方程ax﹣by＝3的一个解，则4a﹣2b的值为（　　） A．6 B．12 C．﹣6 D．﹣12 3．（2025秋•昌平区期末）多项式ax﹣m和3ax﹣n（a，m，n为常数，a≠0）的值由x的取值决定．如表是当x取不同值时多项式对应的值．由此可知，关于x的方程ax﹣m＝n﹣3ax的解是（　　） x ﹣1 0 1 3 ax﹣m ﹣5 ﹣3 ﹣1 3 3ax﹣n ﹣11 ﹣5 1 13 A．x＝﹣1 B．x＝0 C．x＝1 D．x＝3 4．（2025秋•海淀区校级期末）已知关于x的一元一次方程x+m＝2024x﹣n的解为x＝2，那么关于y的一元一次方程（y﹣2）﹣m＝2024y﹣4048+n的解为y＝ ． 5．（2025春•北京校级期末）关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（a，b，c是常数），b＝a+5，c＝3b﹣10，对于任意一个满足条件的a，此二元一次方程都有一个公共解，这个公共解为 ． 6．（2025秋•海淀区校级期末）如果一元一次方程A：ax+b＝0的解x＝x1和一元一次方程B：cx+d＝0的解x＝x2满足x1+t＝2（x2+t），则称方程A是方程B的t时方程．例如：方程x﹣4＝0是方程x﹣2＝0的0时方程；方程x﹣6＝0是2x﹣5＝0的1时方程． （1）下列选项中，方程A是方程B的2时方程的是 ；（填序号） ①A：x﹣4＝0；B：x﹣1＝0； ②A：x﹣3＝0；B：x+5＝0． （2）若关于x的方程6x﹣2m﹣n+2＝0是关于x的方程3x+m+2n﹣4＝0的m时方程，求n的值； （3）若关于x的方程C：x+2s＝4的解比关于x的方程D：2x+4＝s的解大1，并且方程C是方程D的t时方程，请直接写出s，t的值． 题型三、解方程 1．（2026春•西城区期末）把方程2x+y＝4写成用含x的式子表示y的形式，正确的是（　　） A．y＝4+2x B．y＝4﹣2x C． D． 2．（2025秋•东城区校级期末）在解关于x，y的二元一次方程组时，如果①+②可直接消去未知数y，那么m和n满足的条件是（　　） A．m＝n B．m•n＝1 C．m+n＝1 D．m+n＝0 3．（2025秋•石景山区期末）在学习解一元一次方程后，小石对一道一元一次方程的解答过程如下： 解方程：． 解：去分母，得3（3x﹣1）﹣2（x﹣7）＝12．…第①步 去括号，得9x﹣3﹣2x﹣14＝12．…第②步 移项，得9x﹣2x＝12+3+14．…第③步 合并同类项，得7x＝29．…第④步 系数化为1，得．…第⑤步 所以，是原方程的解． （1）解答过程中第①步的依据是 ； （2）第 （填序号）步开始出现错误，直接写出该方程的解 ． 4．（2026春•海淀区校级期末）解方程： （1）3（x﹣1）＝2x﹣6； （2）． （3）． （4）． 题型四、已知方程的解，求参数 1．（2025秋•海淀区校级期末）关于x的方程的解为整数，则自然数m的值为 ． 2．（2025秋•海淀区校级期末）已知关于x的一元一次方程mx﹣2n＝1（m≠0）． （1）若x＝1是这个方程的解，求代数式4m﹣3（3n﹣1）+n的值； （2）若关于x的方程3mx＝6n+2026﹣k（m≠0）与方程mx﹣2n＝1（m≠0）的解相同，则k的值为 ． 3．（2025秋•海淀区校级期末）已知关于x，y的方程组，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当m每取一个值时，就有一个方程，这些方程有一个公共解，这个公共解为（　　） A． B． C． D． 4．若关于x，y的方程组的解满足，则的值为 . 5．（2026春•昌平区期末）已知关于x，y的二元一次方程组和的解相同，则n的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 题型五、行程问题 1．（2025秋•海淀区校级期末）我国元代数学家朱世杰所著的《算学启蒙》中有一道题，原文是：今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．译文为：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？若设快马x天可以追上慢马，则可列方程为（　　） A．240x＝150（x+12） B．240x＝150x+12 C．240（x+12）＝150x D．240x+12＝150x 2．（2025秋•海淀区校级期末）快递员小李和小张负责同一片区的配送任务，小李骑电动三轮车配送，小张开快递货车配送，小张货车的平均速度是小李电动三轮车平均速度的3倍，小张负责的小区比小李负责的小区远6000米，小张比小李晚出发15分钟，最终小张和小李在同一时刻到达各自负责的小区．小李从站点出发到他负责的小区用了30分钟，求小李电动三轮车每分钟走多少米？ 题型六、经济问题 1. 某山区有一种土特产品，若加工后出售，单价可提高20%，但重量会减少10%．现有该种土特产品300千克，全部加工后可以比不加工多卖240元，设加工前单价是x元/kg，加工后的单价是y元/kg，由题意，可列出关于x，y的方程组是（　　） A． B． C． D． 2.已知A，B两件服装的成本共500元，鑫洋服装店老板分别以30%和20%的利润率定价后进行销售，该服装店共获利130元，问A，B两件服装的成本各是多少元？ 3．（2025秋•延庆区期末）为充分满足学生快乐运动的需求，学校计划分两次采购若干跳绳和排球．学校第一次采购了30根跳绳和20个排球，共花费了2000元，已知跳绳与排球的单价之比为2：7． （1）学校第一次采购时，跳绳和排球的单价各是多少元？ （2）学校在第二次采购时，恰逢商场活动，与第一次采购相比，每根跳绳优惠了a元，每个排球优惠了4a元，在总花费不变的情况下，跳绳多买了2根，排球多买了2个，求a的值． 题型七、古代数学问题 1．（2025秋•海淀区校级期末）《九章算术》中记载有一道关于“盈不足术”的经典问题，其原文表述如下：“今有共买鸡，人出九，盈一十一；人出六，不足十六．问：人数、鸡价各几何？”译文为：有若干人一起买鸡，若每人出9钱，则多出11钱；若每人出6钱，则还差16钱．买鸡的人数、鸡的价格各是多少？设有x人买鸡，根据题意，可列方程为（　　） A．9x+11＝6x﹣16 B．9x﹣11＝6x+16 C． D． 2．（2025秋•延庆区期末）我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐观．请问客家，大小几船？”其大意为：“清明时节出去游园，所有人共坐了8只船，大船每只坐6人，小船每只坐4人，38人刚好坐满，问：大小船各有几只？”若设有x只小船，可列方程为 ． 3．（2025秋•昌平区期末）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作．书中记载了这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”译文：今有若干人乘车，每三人共乘一车，最终剩余两辆车无人乘坐；若每两人共乘一车，最终剩余九个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？设有x辆车，依题意可列一元一次方程为 ． 4．（2026春•房山区期末）我国古代数学古典名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量，木条还剩余1尺；问木条长多少尺？设木条长为x尺，绳子长为y尺，依题意，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 5．（2026春•东城区期末）《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中记载了一个问题，大意是：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”若设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（　　） A． B． C． D． 6．（2026春•大兴区期末）《九章算术》中有这样一道题：今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十；乙得甲太半而亦钱五十．问甲、乙持钱各几何？意思是：假设有甲、乙二人持钱不知其多少．甲若得到乙的则钱数为50；乙若得到甲的则钱数也为50．问甲、乙所持钱数各多少？设甲持x钱，乙持y钱．根据题意，可列方程组为 ． 题型八、和差倍分问题 1．（2025秋•石景山区期末）“绿水青山就是金山银山”，科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4mg，若一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为62mg．请分别求出一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量． 2．（2025秋•海淀区校级期末）某村去年种植的油菜籽亩产量达160千克，含油率为40%，今年改种新选育的油菜籽后，亩产量提高了20千克，含油率提高了10个百分点．今年和去年相比，这个村的油菜种植面积减少了44亩，而村榨油厂用本村所产油菜籽的产油量提高20%，油菜种植成本为210元/亩，菜油收购价格为6元/千克．请比较这个村去、今两年油菜种植成本与将菜油全部售出所获收入，两年相比，油菜种植成本、售油收入有什么变化？ 3．（2026春•通州区期末）2026年5月11日凌晨，伦敦世乒赛落下帷幕，中国女队成功卫冕考比伦杯，实现世乒赛团体七连冠，男队成功卫冕斯韦思林杯，实现世乒赛团体十二连冠，两队共同捍卫了国乒荣耀．如图，斯韦思林杯每层底座高度都相等，底座下面的垫台高与一层底座高之比为2：3，杯身高比6层底座高多13cm，垫台高与杯身高之和是43cm，求这届斯韦思林杯的总高度． 题型九、配套问题 1．某车间有56名工人，每人每天能生产螺栓16个或螺母24个，设有x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母，每天生产的螺栓和螺母按1：2配套，下面所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025秋•海淀区校级期末）探索浩瀚宇宙，是我们不懈追求的航天梦．从“嫦娥”揽月到“祝融”探火，从载人发射到常驻太空，中国航天事业实现了一次又一次历史性的跨越．为致敬中国航天，某高校科技社团计划制作一批迷你小飞机模型，作为校园航空航天知识竞赛的获奖奖品． 社团共有25名成员参与模型核心零件制作，每名成员单日只能专注制作一类部件：若制作机身部件，每人每天可完成60个；若制作机翼部件，每人每天可完成80个．已知1个机身部件需要搭配2个机翼部件，才能组装成1架完整的迷你小飞机模型．为使每天制作的机身部件和机翼部件恰好无剩余地配套成模型，应该安排多少名成员制作机身部件，多少名成员制作机翼部件？（要求列一元一次方程解决此问题） 题型十、方案选择问题 1．（2025秋•海淀区校级期末）甲、乙两家商店出售同品牌的乒乓球拍和乒乓球，两家商店的乒乓球拍的售价均为每副100元，乒乓球的售价均为每盒30元．现在两个店都在搞促销活动： 甲商店：买一送一，即每购买一副乒乓球拍，就赠送一盒乒乓球； 乙商店：所有商品一律打八折． 某学校需要购买乒乓球拍6副，乒乓球若干盒（多于6盒）． （1）列一元一次方程解决问题：若该学校在两家商店购买所需商品的费用一样，买了多少盒乒乓球？ （2）若该学校要买30盒乒乓球，如何购买最划算？请说明理由． 2．（2026春•丰台区期末）为推进校园图书馆智能化建设，提升图书馆借阅效率，某校计划采购AI纸电一体借还机和阅宝机器人．若采购2台AI纸电一体借还机和3台阅宝机器人，总费用为35万元；若采购3台AI纸电一体借还机和1台阅宝机器人，总费用为21万元． （1）每台AI纸电一体借还机和每台阅宝机器人的价格分别是多少万元？ （2）学校计划用71万元采购AI纸电一体借还机和阅宝机器人，要求两种设备均需采购，且采购资金全部用完，直接写出所有符合条件的采购方案． 【巩固提升】 1．（2026春•海淀区校级期末）已知是mx﹣ny＝3的一个解，则6+m+2n的值为（　　） A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3 2．（2026春•房山区期末）如果是关于x，y的方程ax+3y＝8的解，那么a的值为（　　） A． B．2 C．1 D．﹣2 3．（2026春•丰台区期末）如果是关于x和y的二元一次方程ax+y＝3的解，那么a的值是（　　） A．12 B．6 C．3 D．﹣3 4．（2025秋•西城区期末）整理一批图书，由一个人整理需要60h完成．现计划安排8人完成此项工作，在工作一段时间后，接到通知需提前完成任务，因此增加了4人和他们一起工作，30min后这项工作全部完成．假设这些人的工作效率相同，设实际完成这项工作用了xh，则根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 5．（2026春•顺义区期末）已知关于x，y的方程组，给出下面四个结论：①当m＝0时，方程组的解为；②若x，y互为相反数，则m＝﹣2；③对于任意有理数m都有x+3y＝4；④若3x+y＞15，则m＞1．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①④ B．②③ C．③④ D．①② 6．（2026春•丰台区期末）《算法统宗》里有这样一道题：“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”大意是：有很多客人来到李三公店里住宿，如果每间客房住7人，就会多出7人没客房住；如果每间客房住9人，就会空出一间客房没人住．问客房有多少间，客人有多少人？如果设客房一共有x间，客人一共有y人，那么可列方程组为（　　） A． B． C． D． 7．（2026春•北京期末）《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人闲坐恼心肠，画地算了半晌．这个题目的意思是：甲、乙两个牧人隔着山沟放羊，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（　　） A． B． C． D． 8．（2026春•北京期末）若关于x，y的二元一次方程组的解满足ax+2y＝6，则a的值为 ． 9.（2025秋•西城区期末）若x＝2是关于x的方程3x﹣2k＝2的解，则k的值为 ． 10．（2025秋•海淀区校级期末）一个藏宝箱，箱上有密码锁，锁上有9个格子．如图，每个格子各填有一个有理数，已知各行各列及两条对角线上三个数的和都相等．a+c＝ ；若c﹣g+b为藏宝箱的密码，则密码为 ． 11．（2025秋•海淀区校级期末）关于x的方程（m﹣1）x|m|﹣2＝0是一元一次方程，则m＝ ． 12．（2025秋•延庆区期末）小明在解关于x的一元一次方程时，发现正整数□被遮挡． （1）小刚猜□是3，请解一元一次方程； （2）若老师告诉小刚这个方程的解是正整数，则被遮挡的正整数是多少？ 13．（2024秋•房山区期末）本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小亮同学的解题过程： 解方程：． 解：原方程可化为：．…第①步 方程两边同时乘以15，去分母，得：3（20x﹣3）﹣5（10x+4）＝15．…第②步 去括号，得：60x﹣9﹣50x+20＝15．…第③步 移项，得：60x﹣50x＝15+9﹣20．…第④步 合并同类项，得：10x＝4．…第⑤步 系数化1，得：x＝0.4．…第⑥步 所以x＝0.4为原方程的解． 上述小亮的解题过程中 （1）第②步的依据是 ； （2）第 （填序号）步开始出现错误，请写出这一步正确的式子 ． 14．（2026春•海淀区校级期末）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为 ． 15．（2026春•海淀区期末）期中考试之后学校让学生自主设计一次外出活动，学校为每个班级提供2000元活动经费．初一某班级计划参观奥林匹克森林公园（免门票），在租车和为每名同学购买一份保险的情况下，还需要购买一些纪念品作为活动奖励，所需费用如表： 租车费用（辆） 个人保险（人） 纪念品套装（套）（包含一个冰箱贴和一个徽章） 纪念品徽章（个） 纪念品冰箱贴（个） 1500元 5元 30元 16元 20元 已知这个班级共有学生42人，每辆车限定载客45人． （1）在所需费用不超过活动经费的基础上，本次活动最多能够买 个纪念品（纪念品套装算两个纪念品）． （2）如果该班级想同时买到纪念品套装、纪念品徽章及纪念品冰箱贴，并且刚好把活动经费用完，则一共有 种购买方案． 16．（2026春•海淀区期末）解方程： （1）2﹣3（x﹣1）＝2（x﹣2）； （2）． （3）； （4）． 专题03 一元一次方程 题型一、等式的性质 1．（2025秋•海淀区校级期末）下列等式变形正确的是（　　） A．若4x＝2，则x＝2 B．若4x﹣2＝2﹣3x，则4x+3x＝2﹣2 C．若1，则3（3x+1）﹣2（1﹣2x）＝1 D．若4（x+1）﹣3＝2（x+1），则4（x+1）﹣2（x+1）＝3 【解答】解：A．∵4x＝2，∴x，故本选项不符合题意；B．∵4x﹣2＝2﹣3x，∴4x+3x＝2+2，故本选项不符合题意；C．∵1，∴去分母，得3（3x+1）﹣2（1﹣2x）＝6，故本选项不符合题意；D．∵4（x+1）﹣3＝2（x+1），∴4（x+1）﹣2（x+1）＝3，故本选项符合题意；故选：D． 2．（2025秋•海淀区校级期末）下列等式变形正确的是（　　） A．若4x﹣1＝3x+2，则4x﹣3x＝2﹣1 B．若，则2x﹣1+4x＝8 C．若3（x﹣2）＝2x+1，则3x﹣2＝2x+1 D．若，则 【解答】解：A．∵4x﹣1＝3x+2，∴4x﹣3x＝2+1，故本选项不符合题意；B．∵， ∴2x﹣1+4x＝8，故本选项符合题意；C．∵3（x﹣2）＝2x+1，∴3x﹣6＝2x+1，故本选项不符合题意； D．∵，∴x＝6，故本选项不符合题意．故选：B． 题型二、方程的解 1．（2025秋•门头沟区期末）若x＝3是方程3x﹣ax＝6的解，则a的值为（　　） A．3 B．1 C．0 D．﹣1 【解答】解：依题意，得：9﹣3a＝6，解得a＝1．故选：B． 2．（2026春•海淀区期末）若是关于x，y的二元一次方程ax﹣by＝3的一个解，则4a﹣2b的值为（　　） A．6 B．12 C．﹣6 D．﹣12 【解答】解：∵是方程ax﹣by＝3的一个解，∴2a﹣b＝3，∴4a﹣2b＝6，故选：A． 3．（2025秋•昌平区期末）多项式ax﹣m和3ax﹣n（a，m，n为常数，a≠0）的值由x的取值决定．如表是当x取不同值时多项式对应的值．由此可知，关于x的方程ax﹣m＝n﹣3ax的解是（　　） x ﹣1 0 1 3 ax﹣m ﹣5 ﹣3 ﹣1 3 3ax﹣n ﹣11 ﹣5 1 13 A．x＝﹣1 B．x＝0 C．x＝1 D．x＝3 【解答】解：由表格数据可得当x＝1时，ax﹣m的值为﹣1，3ax﹣n的值为1， 那么关于x的方程ax﹣m＝n﹣3ax的解是x＝1，故选：C． 4．（2025秋•海淀区校级期末）已知关于x的一元一次方程x+m＝2024x﹣n的解为x＝2，那么关于y的一元一次方程（y﹣2）﹣m＝2024y﹣4048+n的解为y＝ ． 【解答】解：∵，∴， ∴， ∵一元一次方程的解为x＝2，∴方程的解，满足2﹣y＝2，∴y＝0． 5．（2025春•北京校级期末）关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（a，b，c是常数），b＝a+5，c＝3b﹣10，对于任意一个满足条件的a，此二元一次方程都有一个公共解，这个公共解为 ． 【解答】解：∵b＝a+5，c＝3b﹣10，∴c＝3（a+5）﹣10＝3a+5， ∵ax+by＝c，∴ax+（a+5）y＝3a+5，整理得（x+y）a+5y＝3a+5， ∵对于任意一个满足条件的a，此二元一次方程都有一个公共解，∴x+y＝3，5y＝5，∴x＝2，y＝1， ∴这个公共解为． 6．（2025秋•海淀区校级期末）如果一元一次方程A：ax+b＝0的解x＝x1和一元一次方程B：cx+d＝0的解x＝x2满足x1+t＝2（x2+t），则称方程A是方程B的t时方程．例如：方程x﹣4＝0是方程x﹣2＝0的0时方程；方程x﹣6＝0是2x﹣5＝0的1时方程． （1）下列选项中，方程A是方程B的2时方程的是 ；（填序号） ①A：x﹣4＝0；B：x﹣1＝0； ②A：x﹣3＝0；B：x+5＝0． （2）若关于x的方程6x﹣2m﹣n+2＝0是关于x的方程3x+m+2n﹣4＝0的m时方程，求n的值； （3）若关于x的方程C：x+2s＝4的解比关于x的方程D：2x+4＝s的解大1，并且方程C是方程D的t时方程，请直接写出s，t的值． 【解答】解：（1）①x﹣4＝0，x1＝4，x﹣1＝0，x2＝1， ∵4+2＝2（1+2），∴①方程A是方程B的2时方程； ②x﹣3＝0，x1＝3，x+5＝0，x2＝﹣5，∵3+2≠2（﹣5+2），∴②方程A不是方程B的2时方程； 故答案为：①； （2）方程6x﹣2m﹣n+2＝0的解x1，方程3x+m+2n﹣4＝0的解x2， ∵方程6x﹣2m﹣n+2＝0是关于x的方程3x+m+2n﹣4＝0的m时方程，∴m＝2（m）， n﹣2+8m＝16﹣8n+8m，∴n＝2； （3）C方程的解为：x＝4﹣2s，D方程的解为：x，由题意可得4﹣2s1， 解得s＝2，则有4﹣2s＝0，1， ∵方程C是方程D的t时方程，∴0+t＝2（﹣1+t），解得t＝2，∴s＝2，t＝2． 题型三、解方程 1．（2026春•西城区期末）把方程2x+y＝4写成用含x的式子表示y的形式，正确的是（　　） A．y＝4+2x B．y＝4﹣2x C． D． 【解答】解：2x+y＝4，y＝4﹣2x，故选：B． 2．（2025秋•东城区校级期末）在解关于x，y的二元一次方程组时，如果①+②可直接消去未知数y，那么m和n满足的条件是（　　） A．m＝n B．m•n＝1 C．m+n＝1 D．m+n＝0 【解答】解：，①+②得：6x+（m+n）y＝1， 又∵①+②可直接消去未知数y，∴m+n＝0．故选：D． 3．（2025秋•石景山区期末）在学习解一元一次方程后，小石对一道一元一次方程的解答过程如下： 解方程：． 解：去分母，得3（3x﹣1）﹣2（x﹣7）＝12．…第①步 去括号，得9x﹣3﹣2x﹣14＝12．…第②步 移项，得9x﹣2x＝12+3+14．…第③步 合并同类项，得7x＝29．…第④步 系数化为1，得．…第⑤步 所以，是原方程的解． （1）解答过程中第①步的依据是 ； （2）第 （填序号）步开始出现错误，直接写出该方程的解 ． 【解答】解：（1）根据题意可知解答过程中第①步的依据是等式的性质2； （2）第②步开始出现错误，错误原因是去括号没有变号，去分母，得3（3x﹣1）﹣2（x﹣7）＝12， 去括号，得9x﹣3﹣2x+14＝12，移项，得9x﹣2x＝12+3﹣14， 合并同类项，得7x＝1，系数化为1，得，所以，是原方程的解． 4．（2026春•海淀区校级期末）解方程： （1）3（x﹣1）＝2x﹣6； （2）． （3）． （4）． 【解答】解：（1）原方程去括号得：3x﹣3＝2x﹣6，移项得：3x﹣2x＝﹣6+3，合并同类项得：x＝﹣3； （2）原方程去分母得：2（x﹣2）﹣6＝x+2，去括号得：2x﹣4﹣6＝x+2，移项，合并同类项得：x＝12． 解：（3），由①得，x＝2y③，将③代入②得，3×2y﹣y＝5，解得，y＝1， 将y＝1代入③得，x＝2×1＝2，所以方程组的解为． 解：（4），①×3，得9x﹣6y＝15③，②×2，得8x+6y＝36④， ③+④，得17x＝51，解得：x＝3，把x＝3代入①，得3×3﹣2y＝5，解得：y＝2，∴方程组的解为． 题型四、已知方程的解，求参数 1．（2025秋•海淀区校级期末）关于x的方程的解为整数，则自然数m的值为 ． 【解答】解：已知关于x的方程，去括号得：mx﹣3＝x+4，整理得：（m﹣1）x＝7， ∵该方程的解是整数，m为自然数，∴m＝0或2或8，故答案为：0或2或8． 2．（2025秋•海淀区校级期末）已知关于x的一元一次方程mx﹣2n＝1（m≠0）． （1）若x＝1是这个方程的解，求代数式4m﹣3（3n﹣1）+n的值； （2）若关于x的方程3mx＝6n+2026﹣k（m≠0）与方程mx﹣2n＝1（m≠0）的解相同，则k的值为 ． 【解答】解：（1）∵x＝1是关于x的一元一次方程mx﹣2n＝1（m≠0）的解，∴m﹣2n＝1， ∴4m﹣3（3n﹣1）+n＝4m﹣9n+3+n＝4m﹣8n+3＝4（m﹣2n）+3＝4×1+3＝4+3＝7； （2）已知关于x的方程3mx＝6n+2026﹣k（m≠0）， 整理得：3mx﹣6n＝2026﹣k，则mx﹣2n， ∵该方程与方程mx﹣2n＝1（m≠0）的解相同，∴1，解得：k＝2023． 3．（2025秋•海淀区校级期末）已知关于x，y的方程组，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当m每取一个值时，就有一个方程，这些方程有一个公共解，这个公共解为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：①+②得，x+my+mx﹣y＝9+m，x﹣y﹣9+mx+my﹣m＝0，x﹣y﹣9+m（x+y﹣1）＝0， 根据题意，这些方程有一个公共解，与m的取值无关， ，解得．故选：C． 4．若关于x，y的方程组的解满足，则的值为 . 【解答】解：①+②得，，，. 5．（2026春•昌平区期末）已知关于x，y的二元一次方程组和的解相同，则n的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【解答】解：∵的解为x＝2，∴为，解得y＝1，∴n＝3，故选：B． 题型五、行程问题 1．（2025秋•海淀区校级期末）我国元代数学家朱世杰所著的《算学启蒙》中有一道题，原文是：今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．译文为：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？若设快马x天可以追上慢马，则可列方程为（　　） A．240x＝150（x+12） B．240x＝150x+12 C．240（x+12）＝150x D．240x+12＝150x 【解答】解：设快马x天可以追上慢马，根据题意得：240x＝150（x+12）．故选：A． 2．（2025秋•海淀区校级期末）快递员小李和小张负责同一片区的配送任务，小李骑电动三轮车配送，小张开快递货车配送，小张货车的平均速度是小李电动三轮车平均速度的3倍，小张负责的小区比小李负责的小区远6000米，小张比小李晚出发15分钟，最终小张和小李在同一时刻到达各自负责的小区．小李从站点出发到他负责的小区用了30分钟，求小李电动三轮车每分钟走多少米？ 【解答】解：设小李电动三轮车每分钟走x米，则小张货车的速度为3x米/分钟， 根据题意得3x×（30﹣15）＝30x+6000，解得x＝400，答：小李电动三轮车每分钟走400米． 题型六、经济问题 1. 某山区有一种土特产品，若加工后出售，单价可提高20%，但重量会减少10%．现有该种土特产品300千克，全部加工后可以比不加工多卖240元，设加工前单价是x元/kg，加工后的单价是y元/kg，由题意，可列出关于x，y的方程组是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意可得，，故选：D． 2.已知A，B两件服装的成本共500元，鑫洋服装店老板分别以30%和20%的利润率定价后进行销售，该服装店共获利130元，问A，B两件服装的成本各是多少元？ 【解答】解：设A服装成本为x元，B服装成本y元，由题意得： ，解得：， 答：A服装成本为300元，B服装成本200元． 3．（2025秋•延庆区期末）为充分满足学生快乐运动的需求，学校计划分两次采购若干跳绳和排球．学校第一次采购了30根跳绳和20个排球，共花费了2000元，已知跳绳与排球的单价之比为2：7． （1）学校第一次采购时，跳绳和排球的单价各是多少元？ （2）学校在第二次采购时，恰逢商场活动，与第一次采购相比，每根跳绳优惠了a元，每个排球优惠了4a元，在总花费不变的情况下，跳绳多买了2根，排球多买了2个，求a的值． 【解答】解：（1）设跳绳的单价是2x元，则排球的单价是7x元， 依据题意可得：30×2x+20×7x＝2000，解得：x＝10，所以2x＝20元，7x＝70元， 答：跳绳的单价是20元，排球的单价是70元； （2）第二次采购时，跳绳的单价是（20﹣a）元，排球的单价是（70﹣4a）元， 依据题意可得：32（20﹣a）+22（70﹣4a）＝2000，解得：a＝1.5，a的值是1.5． 题型七、古代数学问题 1．（2025秋•海淀区校级期末）《九章算术》中记载有一道关于“盈不足术”的经典问题，其原文表述如下：“今有共买鸡，人出九，盈一十一；人出六，不足十六．问：人数、鸡价各几何？”译文为：有若干人一起买鸡，若每人出9钱，则多出11钱；若每人出6钱，则还差16钱．买鸡的人数、鸡的价格各是多少？设有x人买鸡，根据题意，可列方程为（　　） A．9x+11＝6x﹣16 B．9x﹣11＝6x+16 C． D． 【解答】解：根据题意得：9x﹣11＝6x+16．故选：B． 2．（2025秋•延庆区期末）我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐观．请问客家，大小几船？”其大意为：“清明时节出去游园，所有人共坐了8只船，大船每只坐6人，小船每只坐4人，38人刚好坐满，问：大小船各有几只？”若设有x只小船，可列方程为 ． 【解答】解：∵所有人共坐了8只船，其中有x只小船，∴有（8﹣x）只大船． 根据题意得：6（8﹣x）+4x＝38． 3．（2025秋•昌平区期末）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作．书中记载了这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”译文：今有若干人乘车，每三人共乘一车，最终剩余两辆车无人乘坐；若每两人共乘一车，最终剩余九个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？设有x辆车，依题意可列一元一次方程为 ． 【解答】解：依题意，可列出方程为3（x﹣2）＝2x+9． 4．（2026春•房山区期末）我国古代数学古典名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量，木条还剩余1尺；问木条长多少尺？设木条长为x尺，绳子长为y尺，依题意，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为：．故选：B． 5．（2026春•东城区期末）《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中记载了一个问题，大意是：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”若设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为：．故选：B． 6．（2026春•大兴区期末）《九章算术》中有这样一道题：今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十；乙得甲太半而亦钱五十．问甲、乙持钱各几何？意思是：假设有甲、乙二人持钱不知其多少．甲若得到乙的则钱数为50；乙若得到甲的则钱数也为50．问甲、乙所持钱数各多少？设甲持x钱，乙持y钱．根据题意，可列方程组为 ． 【解答】解：∵甲若得到乙的则钱数为50，∴xy＝50， ∵乙若得到甲的则钱数也为50，∴x+y＝50，∴所列方程组为. 题型八、和差倍分问题 1．（2025秋•石景山区期末）“绿水青山就是金山银山”，科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4mg，若一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为62mg．请分别求出一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量． 【解答】解：设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为x毫克，一片银杏树叶一年的平均滞尘量为y毫克， 由题意得，解得． 答：一片国槐树叶一年的平均滞尘量为22毫克，一片银杏树叶一年的平均滞尘量为40毫克． 2．（2025秋•海淀区校级期末）某村去年种植的油菜籽亩产量达160千克，含油率为40%，今年改种新选育的油菜籽后，亩产量提高了20千克，含油率提高了10个百分点．今年和去年相比，这个村的油菜种植面积减少了44亩，而村榨油厂用本村所产油菜籽的产油量提高20%，油菜种植成本为210元/亩，菜油收购价格为6元/千克．请比较这个村去、今两年油菜种植成本与将菜油全部售出所获收入，两年相比，油菜种植成本、售油收入有什么变化？ 【解答】解：设去年油菜种植面积为x亩，则今年种植面积为（x﹣44）亩， 去年亩产量160千克，含油率40%，则产油量为160×0.4x＝64x（千克）， 今年亩产量160+20＝180（千克），含油率40%+10%＝50%， 产油量为180×0.5（x﹣44）＝90（x﹣44）千克， 由于今年产油量比去年提高20%，则90（x﹣44）＝1.2×64x，解得x＝300， 则去年种植面积300亩，今年种植面积300﹣44＝256亩， 去年种植成本210×300＝63000（元），今年种植成本210×256＝53760（元）， 则成本减少63000﹣53760＝9240（元）， 由于去年产油量64×300＝19200（千克），售油收入为19200×6＝115200（元）， 今年产油量90×256＝23040（千克），售油收入为23040×6＝138240（元）， 则收入增加138240﹣115200＝23040（元）， 因此，油菜种植成本减少了9240元，售油收入增加了23040元． 3．（2026春•通州区期末）2026年5月11日凌晨，伦敦世乒赛落下帷幕，中国女队成功卫冕考比伦杯，实现世乒赛团体七连冠，男队成功卫冕斯韦思林杯，实现世乒赛团体十二连冠，两队共同捍卫了国乒荣耀．如图，斯韦思林杯每层底座高度都相等，底座下面的垫台高与一层底座高之比为2：3，杯身高比6层底座高多13cm，垫台高与杯身高之和是43cm，求这届斯韦思林杯的总高度． 【解答】解：设垫台高为2xcm，底座高为3xcm，杯身高为ycm，则6层底座高为18xcm， 根据题意得，解得， ∴这届斯韦思林杯的总高度为2x+18x+y＝70cm． 题型九、配套问题 1．某车间有56名工人，每人每天能生产螺栓16个或螺母24个，设有x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母，每天生产的螺栓和螺母按1：2配套，下面所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据生产螺栓人数+生产螺母人数＝56人，得方程x+y＝56； 根据螺栓数量的2倍＝螺母数量，得方程2×16x＝24y．列方程组为，故选：C． 2．（2025秋•海淀区校级期末）探索浩瀚宇宙，是我们不懈追求的航天梦．从“嫦娥”揽月到“祝融”探火，从载人发射到常驻太空，中国航天事业实现了一次又一次历史性的跨越．为致敬中国航天，某高校科技社团计划制作一批迷你小飞机模型，作为校园航空航天知识竞赛的获奖奖品． 社团共有25名成员参与模型核心零件制作，每名成员单日只能专注制作一类部件：若制作机身部件，每人每天可完成60个；若制作机翼部件，每人每天可完成80个．已知1个机身部件需要搭配2个机翼部件，才能组装成1架完整的迷你小飞机模型．为使每天制作的机身部件和机翼部件恰好无剩余地配套成模型，应该安排多少名成员制作机身部件，多少名成员制作机翼部件？（要求列一元一次方程解决此问题） 【解答】解：设应该安排x名成员制作机身部件，则安排（25﹣x）名成员制作机翼部件， 根据题意得：2×60x＝80（25﹣x），解得：x＝10，∴25﹣x＝25﹣10＝15（名）． 答：应该安排10名成员制作机身部件，15名成员制作机翼部件． 题型十、方案选择问题 1．（2025秋•海淀区校级期末）甲、乙两家商店出售同品牌的乒乓球拍和乒乓球，两家商店的乒乓球拍的售价均为每副100元，乒乓球的售价均为每盒30元．现在两个店都在搞促销活动： 甲商店：买一送一，即每购买一副乒乓球拍，就赠送一盒乒乓球； 乙商店：所有商品一律打八折． 某学校需要购买乒乓球拍6副，乒乓球若干盒（多于6盒）． （1）列一元一次方程解决问题：若该学校在两家商店购买所需商品的费用一样，买了多少盒乒乓球？ （2）若该学校要买30盒乒乓球，如何购买最划算？请说明理由． 【解答】解：（1）由题意得，在甲商店购买的费用为100×6+30（x﹣6）＝30x+420（元）； 在乙商店购买的费用为（100×6+30x）×0.8＝24x+480（元）． ∴30x+420＝24x+480，解得x＝10．∴该学校购买了10盒乒乓球； （2）全部在甲商店购买，费用为：30×（30﹣6）+6×100＝1320（元）； 全部在乙商店购买，费用为：0.8×（30×30+6×100）＝1200（元）； ∵1320＞1200，∴去乙商店购买划算． 更省钱方案：在甲商店购买6副乒乓球拍（赠送6盒乒乓球），在乙商店购买24盒乒乓球．费用如下：100×6+30×24×0.8＝1176（元）． ∴在甲商店购买6副乒乓球拍（赠送6盒乒乓球），在乙商店购买24盒乒乓球． 2．（2026春•丰台区期末）为推进校园图书馆智能化建设，提升图书馆借阅效率，某校计划采购AI纸电一体借还机和阅宝机器人．若采购2台AI纸电一体借还机和3台阅宝机器人，总费用为35万元；若采购3台AI纸电一体借还机和1台阅宝机器人，总费用为21万元． （1）每台AI纸电一体借还机和每台阅宝机器人的价格分别是多少万元？ （2）学校计划用71万元采购AI纸电一体借还机和阅宝机器人，要求两种设备均需采购，且采购资金全部用完，直接写出所有符合条件的采购方案． 【解答】解：（1）设每台AI纸电一体借还机的价格是x万元，每台阅宝机器人的价格是y万元， 根据题意得：，解得：． 答：每台AI纸电一体借还机的价格是4万元，每台阅宝机器人的价格是9万元； （2）设购买m台AI纸电一体借还机，n台阅宝机器人，根据题意得：4m+9n＝71，∴n， 又∵m，n均为正整数，∴或，∴共有2种采购方案， 方案1：购买2台AI纸电一体借还机，7台阅宝机器人； 方案2：购买11台AI纸电一体借还机，3台阅宝机器人． 【巩固提升】 1．（2026春•海淀区校级期末）已知是mx﹣ny＝3的一个解，则6+m+2n的值为（　　） A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3 【解答】解：把代入mx﹣ny＝3中，得﹣m﹣2n＝3，即m+2n＝﹣3，∴6+m+2n＝3，故选：A． 2．（2026春•房山区期末）如果是关于x，y的方程ax+3y＝8的解，那么a的值为（　　） A． B．2 C．1 D．﹣2 【解答】解：如果是关于x，y的方程ax+3y＝8的解，则a+6＝8，解得：a＝2，故选：B． 3．（2026春•丰台区期末）如果是关于x和y的二元一次方程ax+y＝3的解，那么a的值是（　　） A．12 B．6 C．3 D．﹣3 【解答】解：把代入关于x和y的二元一次方程ax+y＝3中，得2a﹣3＝3，解得a＝3，故选：C． 4．（2025秋•西城区期末）整理一批图书，由一个人整理需要60h完成．现计划安排8人完成此项工作，在工作一段时间后，接到通知需提前完成任务，因此增加了4人和他们一起工作，30min后这项工作全部完成．假设这些人的工作效率相同，设实际完成这项工作用了xh，则根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设实际完成这项工作花了x小时， 依题意，得：1，即1．故选：A． 5．（2026春•顺义区期末）已知关于x，y的方程组，给出下面四个结论：①当m＝0时，方程组的解为；②若x，y互为相反数，则m＝﹣2；③对于任意有理数m都有x+3y＝4；④若3x+y＞15，则m＞1．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①④ B．②③ C．③④ D．①② 【解答】解：当m＝0时，原方程组为：①×3得：3x﹣3y＝3③，②+③得：x＝2 把x＝2代入①得：y＝1，∴当m＝0时，方程组的解为，故①的结论正确； ∵x，y互为相反数，∴x＝﹣y，把x＝﹣y代入方程组得：， 方程组化简得：，把y＝3m+7代入﹣2y＝4m+1得：﹣2（3m+7）＝4m+1， ﹣6m﹣14＝4m+1，﹣6m﹣4m＝14+1，﹣10m＝15，，故②错误； ，①×2得：2x﹣2y＝8m+2③，③﹣②得：﹣5y＝5m﹣5，y＝﹣m+1， 把y＝﹣m+1代入①得：x＝3m+2，∴x+3y＝3m+2+3（﹣m+1）＝3m+2﹣3m+3＝5，故③错误； ，①×2得：2x﹣2y＝8m+2③，②﹣③得：5y＝﹣5m+5，y＝﹣m+1， ①+②得：3x+2y＝7m+8，3x+y+y＝7m+8，3x+y﹣m+1＝7m+8，3x+y＝8m+7； ∵3x+y＞15，∴3x+y＝8m+7＞15，8m＞8，m＞1，故④正确，综上可知：正确的是①④，故选：A． 6．（2026春•丰台区期末）《算法统宗》里有这样一道题：“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”大意是：有很多客人来到李三公店里住宿，如果每间客房住7人，就会多出7人没客房住；如果每间客房住9人，就会空出一间客房没人住．问客房有多少间，客人有多少人？如果设客房一共有x间，客人一共有y人，那么可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意得：，故选：A． 7．（2026春•北京期末）《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人闲坐恼心肠，画地算了半晌．这个题目的意思是：甲、乙两个牧人隔着山沟放羊，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设甲有x只羊，乙有y只羊，根号题意得，．故选：B． 8．（2026春•北京期末）若关于x，y的二元一次方程组的解满足ax+2y＝6，则a的值为 ． 【解答】解：，①+②，得8x＝8，解得：x＝1， 把x＝1代入②，得3×1﹣y＝1，解得：y＝2， ∵二元一次方程组的解满足方程ax+2y＝6，∴a+2×2＝6，即a+4＝6，解得：a＝2． 9.（2025秋•西城区期末）若x＝2是关于x的方程3x﹣2k＝2的解，则k的值为 ． 【解答】解：把x＝2代入关于x的方程3x﹣2k＝2中，得3×2﹣2k＝2，解得k＝2， 10．（2025秋•海淀区校级期末）一个藏宝箱，箱上有密码锁，锁上有9个格子．如图，每个格子各填有一个有理数，已知各行各列及两条对角线上三个数的和都相等．a+c＝ ；若c﹣g+b为藏宝箱的密码，则密码为 ． 【解答】解：∵第一行和第二列上的三个数的和相等，∴a+b+c＝b+4﹣1，∴a+c＝3； ∵第一行和对角线上的三个数的和相等，∴a+b+c＝a+4+g，∴c﹣g+b＝4． 11．（2025秋•海淀区校级期末）关于x的方程（m﹣1）x|m|﹣2＝0是一元一次方程，则m＝ ． 【解答】解：因为（m﹣1）x|m|+2＝0是一元一次方程，根据一元一次方程的定义可知：|m|＝1， ∴m＝±1，又∵m﹣1≠0，∴m≠1，∴m的值为﹣1． 12．（2025秋•延庆区期末）小明在解关于x的一元一次方程时，发现正整数□被遮挡． （1）小刚猜□是3，请解一元一次方程； （2）若老师告诉小刚这个方程的解是正整数，则被遮挡的正整数是多少？ 【解答】解：（1）原方程去分母得3x﹣4+6＝2x，移项得3x﹣2x＝4﹣6，合并同类项得x＝﹣2； （2）设被遮挡的正整数是m，∴，去分母得3x﹣4+2m＝2x，移项得3x﹣2x＝4﹣2m， 合并同类项得x＝4﹣2m；由条件可知4﹣2m＞0，∴m＜2， ∵m为正整数，∴m＝1，即被遮挡的正整数是1． 13．（2024秋•房山区期末）本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小亮同学的解题过程： 解方程：． 解：原方程可化为：．…第①步 方程两边同时乘以15，去分母，得：3（20x﹣3）﹣5（10x+4）＝15．…第②步 去括号，得：60x﹣9﹣50x+20＝15．…第③步 移项，得：60x﹣50x＝15+9﹣20．…第④步 合并同类项，得：10x＝4．…第⑤步 系数化1，得：x＝0.4．…第⑥步 所以x＝0.4为原方程的解． 上述小亮的解题过程中 （1）第②步的依据是 ； （2）第 （填序号）步开始出现错误，请写出这一步正确的式子 ． 【解答】解：（1）第②步的依据是：等式基本性质2； （2）第③步开始出现错误，这一步正确的式子：60x﹣9﹣50x﹣20＝15． 14．（2026春•海淀区校级期末）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为 ． 【解答】解：设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为：． 15．（2026春•海淀区期末）期中考试之后学校让学生自主设计一次外出活动，学校为每个班级提供2000元活动经费．初一某班级计划参观奥林匹克森林公园（免门票），在租车和为每名同学购买一份保险的情况下，还需要购买一些纪念品作为活动奖励，所需费用如表： 租车费用（辆） 个人保险（人） 纪念品套装（套）（包含一个冰箱贴和一个徽章） 纪念品徽章（个） 纪念品冰箱贴（个） 1500元 5元 30元 16元 20元 已知这个班级共有学生42人，每辆车限定载客45人． （1）在所需费用不超过活动经费的基础上，本次活动最多能够买 个纪念品（纪念品套装算两个纪念品）． （2）如果该班级想同时买到纪念品套装、纪念品徽章及纪念品冰箱贴，并且刚好把活动经费用完，则一共有 种购买方案． 【解答】解：（1）∵30÷2＝15（元），15＜16＜20， ∴当购买纪念品套装越多时，购买纪念品的数量越多， ∵（2000﹣1500﹣5×42）÷30＝9（套）……20（元），20＞16，20＝20， ∴9×2+1＝19（个），∴本次活动最多能够买19个纪念品．故答案为：19； （2）设购买x套纪念品套装，y个纪念品徽章，则购买个纪念品冰箱贴， 当x＝1时，∵y，均是正整数，∴y可以为5，10，15；当x＝3时，∵y，均是正整数，∴y可以为5，10；当x＝5时，∵y，均是正整数，∴y可以为5；当y＝7时，∵y，均是正整数，∴y无解，不符合题意，舍去，综上所述，符合题意的方案共有3+2+1＝6（种）． 16．（2026春•海淀区期末）解方程： （1）2﹣3（x﹣1）＝2（x﹣2）； （2）． （3）； （4）． 【解答】解：（1）2﹣3（x﹣1）＝2（x﹣2），去括号，得2﹣3x+3＝2x﹣4， 移项，得﹣3x﹣2x＝﹣4﹣2﹣3，合并同类项，得﹣5x＝﹣9，系数化为1，得x； （2）， 去分母，得3（3x+2）＝15+5（2x﹣1），去括号，得9x+6＝15+10x﹣5， 移项，得9x﹣10x＝15﹣5﹣6，合并同类项，得﹣x＝4，系数化为1，得x＝﹣4． 解：（3），把①代入②，得x+x+1＝3，移项、合并同类项，得2x＝2， 解得：x＝1，把x＝1代入①，得y＝1+1＝2，∴方程组的解为； （4），①+②，得3x＝6，解得：x＝2， 把x＝2代入②，得2﹣y＝4，解得：y＝﹣2，∴方程组的解为． 试卷第1页，共3页 2 学科网（北京）股份有限公司 $