5.3实际问题与一元一次方程（工程问题）同步练习 2026-2027学年人教版数学七年级上册

**基本信息** 聚焦工程问题，通过基础巩固、进阶应用、综合拓展三层设计，构建从单一公式到复杂情境的知识巩固路径，培养模型意识与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一工程公式应用|单选题1-4、填空题7-9，直接考查工作量=效率×时间，如甲先做后合作列方程| |进阶层|复杂情境应用|单选题5-6、填空题10-12，涉及费用优化、中途离开等干扰条件，如乙离开天数计算| |综合层|多维度问题解决|解答题13-18，需完整推理过程，如交替工作时间计算、合作费用比较，体现数学思维与应用意识|

5.3实际问题与一元一次方程（工程问题）同步练习 一、单选题 1．一项工作，甲单独做需要6天完成，乙单独做需要8天完成．现在甲先做2天后，再由两人合作，则还需两人合作几天才能完成？设还需两人合作x天才能完成，则所列方程为（   ） A． B． C． D． 2．某工厂生产一批零件，原计划每天生产100个，实际每天生产120个，结果提前5天完成任务．设原计划生产x天，列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 3．一项工程甲单独做需要40天完成，乙单独做需要50天完成，甲先单独做4天，然后两人合作x天完成这项工程，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 4．一条地下管线由甲工程队单独铺设需要7天，由乙工程队单独铺设需要12天．由这两支工程队合作铺设需要天，根据题意可列方程是（  ） A． B． C． D． 5．一项工程，甲单独完成需要天，每天需要支付工费元；乙单独完成需要天，每天需要支付工费元．若由甲、乙共同参与，在不超过天的时间内完成该工程，则需要支付的总工费最少是（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 6．某项工作甲单独完成需要6天，乙单独完成需要10天，若甲先做2天，然后甲乙两人合作完成此项工作．设甲一共做了天，则所列方程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．某市今年进行天然气工程改造，甲乙两个工程队共同承包这个工程．这个工程若甲队单独做需要8天完成；若乙队单独做需要12天完成．若甲乙两队同时施工4天，余下的工程由乙队完成，问乙队还需要___________天能够完成任务． 8．一项工作甲单独做需，乙单独做需，若甲、乙两人合做，需________才能做完． 9．修筑一条公路，完成了全长的后，离中点 10千米，这条公路全长_______千米． 10．某车间计划加工一批产品，如果每小时加工产品10个，就可以在预定时间完成任务；实际加工两个小时后，提高了加工速度，每小时多加工2个，结果提前1小时完成了任务．那么这批产品一共有____个． 11．一件工程甲单独做50天可完成，乙单独做75天可完成，现在两个人合作．但是中途乙因事离开几天，从开工后40天把这件工程做完．则乙中途离开了___________天． 12．整理一批图书，由一个人做要40小时完成．现计划由一部分人先做4小时，然后增加2人与他们一起做8小时，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，那么应先安排做4小时的人数为 _____． 三、解答题 13．一项工程，甲队单独完成需30天，乙队单独完成需45天，现甲队先单独做20天，之后两队合作完成此项工程． (1)甲、乙两队合作还需多少天才能把该工程完成？ (提示：工程问题中可设总工作量为单位“1”，工作效率总工作量工作时间) (2)甲队施工一天需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元，若该工程计划在40天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队单独完成、乙队单独完成该工程省钱？还是由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱？ 14．师徒两人检修一段煤气管道，若师傅单独完成需要8小时，徒弟单独完成需要12小时．现在先由徒弟单独检修若干小时后师徒两人合作完成，已知两人合作检修的时间比徒弟单独检修的时间少1.5小时． (1)求师徒两人合作检修的时间是多少小时？ (2)完成任务后共得劳动报酬1200元，若按每个人完成的工作量计算报酬，师傅和徒弟所得报酬分别为多少元？ 15．现有甲、乙两个工厂生产一批纪念品，若这两个工厂单独生产这批纪念品，则甲工厂比乙工厂多用天完成．已知甲工厂每天生产件，乙工厂每天生产件． (1)求这批纪念品共有多少件？ (2)若该外贸公司请甲、乙两个工厂同时生产这批纪念品，则要多少天完成？ 16．有一些相同的教室需要粉刷，一天名师傅去粉刷个教室，结果其中有的墙面未来得及刷；同样的时间内名徒弟粉刷了个教室的墙面，每名师傅比徒弟一天多刷的墙面设每个教室墙面面积为． (1)一天名师傅可以粉刷多少； (2)现有个这样的教室需要粉刷，若请名师傅带名徒弟完成粉刷，师傅每天工资需元，徒弟每天工资需元，则完成所有粉刷共需工资多少元？ 17．某中学有甲、乙两台印刷机，学校期末考试所需数学试卷如果用甲、乙两台印刷机单独印刷分别需要1小时和小时，为了保密，学校决定在考试前的一小时开始印刷数学试卷． (1)若甲、乙两台印刷机同时印刷，共需要多少小时才能印完？（要求列方程解答） (2)在两台印刷机同时印刷半小时后，甲印刷机出现故障停止印刷，此时离发卷还有分钟．请你计算一下，如果乙印刷机单独完成剩下的印刷任务，会不会影响按时发卷？ 18．一项工程由乙单独完成需要35天，如果甲做第一天，乙做第二天，这样交替做，恰好整天天数完成．如果乙做第一天，甲做第二天，这样交替做，恰好比上次轮流的方法多用半天完成，求甲单独完成这项工程需要多少天？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A B C B C B 1．A 【分析】本题考查了工程问题（一元一次方程的应用），解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 设还需两人合作x天，甲先做2天完成的工作量为，两人合作x天完成的工作量为，总工作量为1，据此列方程． 【详解】解：总工作量为1， ∵甲的工作效率为，乙的工作效率为， ∴甲先做2天完成的工作量为， 两人合作x天完成的工作量为， ∴可列方程为， 故选：A． 2．B 【分析】本题主要考查了根据实际问题列一元一次方程，熟练掌握找到等量关系（总生产量相等）并转化为数学表达式是解题的关键． 根据总生产量相等，结合原计划生产天数和实际生产天数的关系列方程． 【详解】解：设原计划生产天，则原计划总生产量：，实际生产天数：，实际总生产量：，由题意可得 ． 故选：B． 3．C 【分析】本题考查了列一元一次方程，找准等量关系是解题关键．将这项工程看作是“1”，先分别求出甲、乙的工作效率，再根据甲先单独做4天，然后两人合作天完成这项工程建立方程即可． 【详解】解：将这项工程看作是“1”，则甲的工作效率为，乙的工作效率为， 由题意可列方程为． 故选：． 4．B 【分析】此题主要考查了由实际问题列出一元一次方程，以总工作量为1得出等式是解题关键．利用甲、乙两工程队每天完成的工作量乘以总天数，进而得出答案． 【详解】解：设由这两支工程队合作铺设需要天， 则可列方程：， 故选：B． 5．C 【分析】本题考查了一元一次方程的实际问题，设甲、乙合作x天完成工程，，计算得，即可得． 【详解】解：设甲、乙合作x天完成工程， 则需要支付的总工费最少是：（元）， 故选：C． 6．B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是将整项工作看作单位1，列出方程即可． 【详解】解：设甲一共做了天，则乙做了天，根据题意得： ， 故选：B． 7．2 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设甲乙两队同时施工天，余下的工程由乙队完成，乙队还需要天能够完成任务，利用甲队完成的工程量乙队完成的工程量总工程量，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设甲乙两队同时施工天，余下的工程由乙队完成，乙队还需要天能够完成任务， 根据题意得：， 解得：， 答：乙队还需要天能够完成任务． 8．7.5 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设甲、乙合作小时完成，根据等量关系列出方程并解方程即可求解，理清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键． 【详解】解：设甲、乙合作需x小时完成， 由题意得：， 解得：， 两人合作，要做7.5小时才能完成． 故答案为：7.5． 9． 【分析】本题考查比例应用，设这条路长度为，则这条路的一半长度为，比较出修完成的路与全长一半的大小即可得到方程，求解即可确定答案，掌握比例性质是解决问题的关键． 【详解】解：设这条路长度为，则这条路的一半长度为， 修筑一条公路，完成了全长的后，离中点 10千米， 又， 修完的比全程的一半要长，则，解得，即这条路全长千米， 故答案为：． 10．80 11． 【分析】根据题意，可以设乙中途离开了x天，从而可以列出相应的方程，进而得到乙中途离开了多少天． 【详解】解：设乙中途离开了x天， ， 解得，，即乙中途离开了25天， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识解答． 12．2 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设先安排x人做4小时完成，根据题意，求解即可． 【详解】设先安排x人做4小时完成，根据题意，得 ， 解得， 故答案为：2． 13．(1)甲、乙两队再合作6天才能把该工程完成 (2)甲、乙两队全程合作完成该工程省钱 【分析】（1） 设甲、乙两队再合作x天才能把该工程完成，按工程问题列方程求解即可； （2）因为45天大于40天，所以不能由乙队单独完成，分两种情况：由甲队单独完成和甲、乙两队全程合作完成，分别求出费用，再比较大小即可得解． 【详解】（1）解：设甲、乙两队再合作x天才能把该工程完成， 根据题意列方程为， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 答：甲、乙两队再合作6天才能把该工程完成． （2）因为45天大于40天，所以不能由乙队单独完成， 若由甲队单独完成工程的费用：(万元) 设由甲、乙两队全程合作完成需要m天，则，解得， 甲、乙两队全程合作完成工程的费用：(万元)， 因为万元万元． 所以由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱． 14．(1)师徒两人合作检修的时间为3小时 (2)师傅应分得的报酬为元；徒弟应分得报酬为元 【分析】（1）设师徒两人合作检修的时间小时，则徒弟单独检修的时间为小时，根据题意列出关于x的一元一次方程求解即可得出答案． （2）分别求出师傅和徒弟的报酬即可． 【详解】（1）解：设师徒两人合作检修的时间为小时，则徒弟单独检修的时间为小时， 依题意，得 ， 解这个方程，得， 当时，， 答：师徒两人合作检修的时间为3小时． （2）解：师傅应分得的报酬为：（元） 徒弟应分得报酬为：（元） 15．(1) 件 (2) 天 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数运算的实际应用，正确的列出方程和算式是解题的关键． （1）设乙工厂单独生产这批纪念品需要天，则甲工厂单独生产需要天，根据甲、乙生产的纪念品总数相等列方程求解总件数； （2）根据合作生产的工作时间工作总量甲乙工作效率之和计算完成时间． 【详解】（1）解：设乙工厂单独生产这批纪念品需要天，则甲工厂单独生产需要天， 根据题意得：， 解得， 这批纪念品的总数为（件）． 答：这批纪念品共有件． （2）解：甲、乙两工厂同时生产时，每天共生产（件）， 所需天数为（天）． 答：甲、乙两个工厂同时生产这批纪念品需要天完成． 16．(1) (2)元 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是根据题目中所设未知数，正确建立方程求解． （1）根据每个教室墙面面积为，表示出1名师傅一天粉刷墙面积为，1名徒弟一天粉刷墙面积为，再根据每名师傅比徒弟一天多刷的墙面建立方程求解得每个教室的面积，进而计算1名师傅一天的粉刷面积； （2）结合（1）求出徒弟每天单独能够完成的面积，再根据总量求出需要的天数，最后求得费用． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得，， 则师傅每天可粉刷：， 答：名师傅一天可以粉刷； （2）解：徒弟每天可粉刷：， （天）， （元）， 答：共需工资元． 17．(1)0.6小时 (2)不会影响按时发卷 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题； （2）根据题意可以求出乙机单独完成剩下的印刷任务需要的时间，然后再与比较，即可解答本题． 【详解】（1）解：设甲乙两台印刷机同时印刷，共需要x小时才能印完， ， 解得，， 即甲乙两台印刷机同时印刷，共需要小时才能印完； （2）解：乙机单独完成剩下的印刷任务需要的时间为：， ∵， ∴乙机单独完成剩下的印刷任务，不会影响按时发卷考试． 18．甲单独完成这项工程需要天 【分析】此题属于比较复杂的工程问题，是分数应用题的引申与补充，考查目的是培养学生抽象逻辑思维能力．把甲先做记为第一次，乙先做记为第二次，那么首先第一次肯定是甲结束最后一天的工作，恰好整天天数完成；而第二次的最后半天也是甲做的，不然也不会比上次轮流的方法多用半天完成；直到甲结束最后一部分前面的工作量都是一样的，所以不必管，也就是说乙花了一天的时间做了甲半天的工作，所以甲的效率是乙的2倍．因此甲单独完成这项工程需要的时间是乙单独完成需要时间的，由此解答． 【详解】解：分析题意可知乙花了一天的时间做了甲半天的工作，所以甲的效率是乙的2倍． 设：甲单独完成这项工程需要天 由题可列： 解得： 答：甲单独完成这项工程需要天． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $