3.1圆的相关概念（分层作业，8大题型）数学新教材苏科版九年级上册

分层作业 3.1 圆的相关概念 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 圆的概念 题型02 弦的条数 题型03 圆心角的识别 题型04 圆心角的简单运算 B组 能力进阶 题型 与圆有关的计算问题 C组 思维拔高 题型01 点到圆的最值问题 题型02 小圆绕图形滚动 题型03 新定义与规律探究 圆的概念题型01 1．在图中没有出现的几何图形是（    ） A．弦 B．弧 C．弓形 D．扇形 【答案】D 【分析】本题考查了圆的基本概念，关键是熟练应用定义判断；根据弦、弧、弓形及扇形的定义判断即可． 【详解】解：A：弦是连接圆上两点的线段，是弦； B：弧是圆上两点及其之间的部分，是弧； C：弓形是由弦和弧围成的图形，与其所对的弧围成的图形即是弓形； D：扇形是由两条半径和一段弧围成的图形，图中没有半径，也没有扇形； 故选：D ． 2．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，点A，B，C在直线l上，，，且过点D，E，F三点的圆的圆心在直线l上．若，，则的值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了圆的相关概念，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握运用平方差公式进行化简计算是解题的关键． 设圆心为O，连接，先证，得到，将化简变形得到，由勾股定理得，，代入，即可求解． 【详解】解：如图，设圆心为O，连接，则， ，， ， ， 又， ， ， 由勾股定理得，， 则 ． 故选：A． 3．下列说法：①弦是直径；②半圆是弧；③过圆心的线段是直径；④圆心相同半径相同的两个圆是同心圆，其中错误的有_______．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查了圆的认识．利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：①直径是弦，但弦不一定是直径，故原说法错误； ②半圆是弧，说法正确； ③过圆心的弦是直径，故原说法错误； ④圆心相同半径不同的两个圆是同心圆，故原说法错误． 故答案为：①③④． 4．如图，是的直径，C、D是上两点，，若，则______． 【答案】 【分析】本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质；连接，由等腰三角形的性质得，由角的和差得，由圆的基本性质得，即可求解；理解圆的基本性质是解题的关键. 【详解】解：如图，连接， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 5．如图，已知是的直径，点在上，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1) 证明：的半径为， ， ，， ； (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、三角形内角和以及等腰三角形等边对等角，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据已知条件利用证明全等即可； （2）根据，求出，再利用全等求出，最后利用等边对等角即可求． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ． 弦的条数题型02 1．如图，已知A，B，C，D四点都在⊙O上，则⊙O中的弦的条数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据弦的定义求解即可． 【详解】解：根据弦的定义可知，AB、CD和BD都是圆的弦，所以⊙O中的弦的条数为3， 故选：B． 【点睛】本题考查了弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫圆的弦． 2．（2025·湖南张家界·一模）如图，在中，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，那么图中有弦（　　）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】B 【分析】本题考查了圆的认识，根据弦的定义进行判断．掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）． 【详解】解：弦为、、． 故选：B． 3．（25-26九年级·质检）经过圆内一点可作圆的________条弦，其中最长的弦是________． 【答案】 无数 直径 【分析】本题主要考查了弦的概念，掌握直径是圆中最长的弦是解题的关键． 根据连接圆上任意两点间的线段是弦，经过圆内一点可以作无数条直线与圆相交，从而形成无数条弦；根据圆中最长的弦是直径即可解答． 【详解】解：经过圆内一点可作圆的无数条弦，其中最长的弦是直径． 故答案为：无数；直径． 4．的半径为，A为上一定点，点P在上沿圆周运动（不与点A重合），则使弦的长度为整数的点P共有________个． 【答案】7 【分析】本题主要考查了圆的弦的概念．熟练掌握圆的弦的定义和性质，是解决问题的关键．圆的弦的定义：连接圆上任意两点间的线段叫做弦．最大弦是直径． 根据的半径为，得到直径，根据，得到在半圆上，有3个，另一侧也有3个，加上长度为的是与B点重合，一共有7个． 【详解】如图，∵的半径为， ∴直径， ∴弦长的整数值有或或或，共4种可能， 当或或时,各有2条, 当时有1条, ∴这样的弦共有7条． ∴这样的点P共有7个． 故答案为：7． 5．如图，是内接三角形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图． （1）在图1中，画出一条与相等的弦； （2）在图2中，画出一个与全等的三角形． 【答案】（1）如图1，DE为所作； （2）如图2，△A′B′C′为所作． 【分析】（1）连结CO并延长交于E，连接BO并延长交于D，连结ED，再证△BOC≌△DOE（SAS），可得BC=DE； （2）连结AO并延长交于A′，OA=OA′，连结BO并延长交于B′，OB=OB′，连结CO并延长交于C′，OC=OC′，利用边角边判定方法先证△BOC≌△B′OC′（SAS），可得BC=B′C′；同理可证△BOA≌△B′OA′（SAS），可得AB=A′B′，同理可证△AOC≌△A′OC′（SAS），可得AC=A′C′，利用三边对应相等判定方法可证△ABC≌△A′B′C′（SSS）． 【详解】解：（1）连结CO并延长交于E，连接BO并延长交于D，连结ED， ∵OB=OD=OE=OC， 在△BOC和△DOE中， ， ∴△BOC≌△DOE（SAS）， ∴BC=DE （2）连结AO并延长交于A′，OA=OA′，连结BO并延长交于B′，OB=OB′，连结CO并延长交于C′，OC=OC′， 在△BOC和△B′OC′中， ， ∴△BOC≌△B′OC′（SAS）， ∴BC=B′C′； 同理可证△BOA≌△B′OA′（SAS）， ∴AB=A′B′， 同理可证△AOC≌△A′OC′（SAS）， ∴AC=A′C′， 在△ABC和△A′B′C′中， ， ∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）． 【点睛】本题考查仅用无刻度的直尺画线段，画三角形，三角形全等判定与性质，圆的性质，掌握圆的性质与三角形全等判定与性质是解题关键． 圆心角的识别题型03 1．下列图形中的角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆心角的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．顶点在圆心上，是圆心角，故本选项符合题意； B．顶点在圆上，是圆周角，故本选项不符合题意； C．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； D．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； 故选：A． 2．如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆心角的概念，确定一个角是否是圆心角，只要看这个角的顶点是否在圆心上，顶点在圆心上的角就是圆心角，否则不是． 【详解】解：根据圆心角的概念，、、的顶点分别是B、A、C，都不是圆心O，因此都不是圆心角．只有B中的的顶点在圆心，是圆心角． 故选：B． 3．下列说法正确的是（   ） A．圆的周长都相等 B．圆上任意两点间的部分叫做圆弧 C．顶点在圆上的角叫做圆心角 D．由一条弧和经过这条弧的两个端点的两条线段组成的图形叫做扇形 【答案】B 【分析】本题考查了圆的概念理解，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据圆的周长、圆弧、圆心角、扇形的定义分别判断即可． 【详解】解：A、半径相等的圆的周长相等，原说法错误，不符合题意； B、圆上任意两点间的部分叫做圆弧，正确，符合题意； C、顶点在圆心的角叫做圆心角，原说法错误，不符合题意； D、由一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 4．“顶点在圆内的角叫做圆心角”是________的．（选填“正确”或“错误”） 【答案】错误 【分析】顶点在圆心的角是圆心角，根据圆心角的定义即可求解. 【详解】∵顶点在圆心的角是圆心角， ∴顶点在圆内的角叫做圆心角说法错误， 故答案为：错误. 【点睛】本题主要考查圆心角的定义，解决本题的关键是要熟练掌握圆心角的定义. 圆心角的简单运算题型04 1．如图，为的弦，，则所对的圆心角等于（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据圆的半径相等确定的度数，然后根据三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：，都是的半径， ， ， ， 所对的圆心角等于． 2．如图1是一座立交桥的示意图（道路宽度忽略不计）A为入口，F，G为出口，其中直行道为AB，CG，EF，且AB＝CG＝EF，弯道为以点O为圆心的一段弧，且，，，所对的圆心角均为90°，甲、乙两车由A口同时驶入立交桥，均以10m/s的速度行驶，从不同出口驶出，其间两车到点O的距离y（m）与时间x（s）的对应关系如图2所示，结合题目信息，下列说法正确的是（　　） A．甲车从F口出，乙车从G口出 B．甲车驶出立交桥时，乙车在上 C．甲乙两车同时在立交桥上的时间为10s D．图中立交桥总长为140m 【答案】B 【分析】结合题意函数图象可分析出在直道AB，CG以及EF上的行驶时间均为3s，在弯道BC，CD，DE上的行驶时间均为2s，从而结合速度进行逐项分析即可． 【详解】A、分析图2可知，甲车先驶出立交桥，乙车后驶出，因此甲车从G口出，乙车从F口出，原说法错误，不符合题意； B、根据图2甲的图象可知甲车在立交桥上由A到G共计用时5+3=8s，其中由B到C用时2s，由于甲乙的速度相同，则乙从A到D用时3+2×2=7s，从A到E用时3+3×2=9s，因此第8s时，乙车在上，原说法正确，符合题意； C、根据B选项的分析可知，两车同时在立交桥上的时间为8s，原说法错误，不符合题意； D、根据题意，立交桥总长为：，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】考本题考查函数图象与实际行程问题，涉及到圆心角等相关知识点，理解函数图象对应的实际意义是解题关键． 3．如图，O为圆心，那么所对的圆心角是______，所对的圆心角是______． 【答案】 【分析】根据圆心角的定义解答即可． 【详解】解：所对的圆心角是，所对的圆心角是． 4．已知，有一量角器如图摆放，中心O在边上，为刻度线，为刻度线，角的另一边与量角器半圆交于C，D两点，点C，D对应的刻度分别为，，则=_______．    【答案】 【分析】利用点C，D对应的刻度分别为，，求出，，再根据求出，利用外角的性质得到，从而得解． 【详解】解：如图，连接，，    根据题意得，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查等边对等角，三角形外角的定义与性质，圆心角等知识，根据刻度找出相应的圆心角并计算其他角度是解题的关键． 5．如图，圆心角． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 解：； ∵，，， ∴ (2) 【分析】（1）根据条件和，即可求解； （2）根据第（1）问的结论和即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，，， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了简单几何问题，灵活运用所学知识是关键． 与圆有关的计算问题题型 1．要画一个周长是的圆，圆规两脚之间的距离是（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆的周长，熟练掌握圆的周长公式是解题的关键．根据圆的周长半径，用圆的周长求出圆的半径，即圆规两脚之间的距离． 【详解】 所以圆规两脚之间的距离是． 故选：A． 2．（25-26下·上海·期中）周长为的圆，面积为_______．（取）． 【答案】 【分析】本题考查圆的周长公式与圆的面积公式，先根据已知周长求出圆的半径，再代入面积公式计算即可得到结果. 【详解】解：已知圆的周长 ，. 由圆的周长公式，可得圆的半径 . 由圆的面积公式，代入 ，得 . 3．（25-26上·期末）小明去商店买了两瓶相同的圆柱形饮料，为了携带方便，售货员用绳子将其捆扎在一起，如图所示，她捆了2圈，且打结处用了20厘米，则每瓶饮料的底面积是______平方厘米，所用绳子至少长______分米．（π取3.14） 【答案】 【分析】考查了圆的周长和面积的应用．先求出每个瓶子的底面直径，再根据圆的面积公式和周长公式进行计算即可． 【详解】解：，， ∴每瓶饮料的底面积是 ， 即每瓶饮料的底面积为， 所用绳子至少长， 故答案为：， 4．（25-26上·黑龙江哈尔滨·期中）（1）求图中阴影部分的面积． （2）求图形阴影部分的周长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了圆的面积和周长，熟练掌握圆的面积和周长公式，是解题的关键． （1）用圆的面积公式计算，大半圆面积减去小半圆面积； （2）用圆的周长公式计算，三个圆周长的和． 【详解】解：（1） ． （2）． 5．某学校计划修建一条标准田径跑道，数学小组根据《田径场地设计规范》绘制了如下示意图． 已知：跑道由两条直道和两个半圆形弯道组成，直道的长度均为；内圈（第1道）的长度为，一共8条跑道，所有跑道的终点线相同；为消除跑外圈与跑内圈的差距，起跑时让运动员处于不同的起跑线上．（注：跑道的长度近似于该跑道的内侧线的长度） (1)内圈（第1道）半圆形弯道的半径为_______；（结果保留） (2)如果每条跑道宽，求第2道的全长，并计算第2道起跑线比第1道应前移多少米（结果保留）； (3)已知规范要求跑道宽度为，如果实际测量得到第8道起跑线比第1道前移了．请你通过计算判断该跑道宽度是否符合规范？（取） 【答案】(1)； (2)，； (3)该跑道宽度符合规范．理由： 设跑道实际宽度为，第8条跑道与第1条跑道的半径差为，则起跑线前移为两个跑道的长度差，即为， ∵际测量得到第8道起跑线比第1道前移了． ∴， 解得， ∵规范要求跑道宽度为， ∴， 即 ∵， ∴该跑道宽度符合规范． 【分析】（1）设内圈（第1道）半圆形弯道的半径为，内圈（第1道）的长度为，据此列方程并解方程即可； （2）先求出第2道半圆形弯道的半径为，再用直道的长度加上第2道半圆形弯道的长度即可得到第2道的全长，用第2道的全长减去第1道的全长即可得到第2道起跑线比第1道应前移的长度； （3）设跑道实际宽度为，第8条跑道与第1条跑道的半径差为，根据起跑线前移为两个跑道的长度差求出起跑线前移的长度，再与规范要求跑道的宽度范围比较即可． 【详解】（1）解：设内圈（第1道）半圆形弯道的半径为，则 ， 解得， 即内圈（第1道）半圆形弯道的半径为； （2）解：∵每条跑道宽， ∴第2道半圆形弯道的半径为， ∴第2道全长， ∵， ∴第2道起跑线比第1道应前移； （3）略 点到圆的最值问题题型01 1．（25-26九年级上·河北石家庄·月考）在半径为6的中有一条弦，则的长度不可能是（） A．3 B．6 C．12 D．14 【答案】D 【分析】本题考查了圆的认识，解题的关键是了解圆内最长的弦是直径，难度较小． 根据半径求得直径的长，然后利用圆内最长的弦是直径作出判断即可． 【详解】解：∵圆的半径， ∴直径， ∵弦长满足， ∴， 选项D中，故不可能， 故选：D 2．如图，点A，B的坐标分别是A（4，0），B（0，4），点C为坐标平面内一动点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为2的⊙B上，通过画图可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论． 【详解】解：如图， ∵点C为坐标平面内一点，BC＝2， ∴C在⊙B上，且半径为2， 取OD＝OA＝4，连接CD， ∵AM＝CM，OD＝OA， ∴OM是△ACD的中位线， ∴OM＝CD， 当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大， ∵OB＝OD＝4，∠BOD＝90°， ∴BD＝4， ∴CD＝4+2， ∴OM＝CD＝2+1，即OM的最大值为2+1； 故选：C． 【点睛】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最大值时点C的位置是关键，也是难点． 3．（24-25九年级上·福建·月考）已知中最长的弦为14厘米，则此圆半径为_______厘米． 【答案】7 【分析】本题主要考查了圆的认识，掌握“直径是圆中最长的弦”是解题的突破口．直径是圆中最长的弦，根据圆的直径是14厘米求解即可． 【详解】解：∵直径是圆中最长的弦，中最长的弦为14厘米， ∴的直径是14厘米． ∴的半径是7厘米． 故答案为：7． 4．如图，在中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是_____． 【答案】. 【分析】找到BC的中点E，连接AE，交半圆于P2，在半圆上取P1，连接AP1，EP1，可见，AP1+EP1＞AE，即AP2是AP的最小值，再根据勾股定理求出AE的长，然后减掉半径即可． 【详解】解：找到BC的中点E，连接AE，交半圆于P2，在半圆上取P1，连接AP1，EP1， 可见，AP1+EP1＞AE， 即AP2是AP的最小值， ∵AE=，P2E=1， ∴AP2=. 故答案为：. 5．如图，半径为7的上有一动点B，点A为半径上一点，且最大为10，以为边向外作正方形，连接． (1)请直接写出的长． (2)过点A作，且，连接，在点B的运动过程中，的长度会发生变化吗？变化请说明理由，不变化请求出的长． (3)当点A，B，F三点在一条直线上时，请直接写的长． (4)请直接写出的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)的长度不变， (3)或 (4)的最大值为12，最小值为2 【分析】（1）连接，根据题意可得当A，O，B共线时，，即可求解； （2）证明，即可解答； （3）分两种情况：当点B在F上方时，当点B在F下方时，即可解答； （4）作，且，连接，证明，即可解答． 【详解】（1）解：连接， ∵，仅当A，O，B共线时，， 又∵最大为10，， ∴； （2）解：的长度不变，理由如下： ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）解：根据题意得：，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， 当点B在F上方时，， 当点B在F下方时， ， ∴综上所述，的长为或； （4）解：作，且，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为，最小值为． ∴的最大值为12，最小值为2． 【点睛】本题综合考查了圆、正方形、勾股定理、全等三角形等相关知识，要求学生理解并掌握圆的性质、正方形的性质、勾股定理的内容及公式、全等三角形的判定与性质等，并能通过作辅助线构造全等三角形，能进行线段之间的转化和运算等，理解三角形的三边关系，并能用于解决求有一端点为动点的线段的最值问题，该题综合性较强，对学生的分析推理与计算的能力都有一定的要求，蕴含了分类讨论和数形结合的思想． 小圆绕图形滚动题型02 1．如图，的周长为4个单位长度，在的4等分点处分别标上0，1，2，3．先让上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，重合的点简记为，再将沿着数轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，则运动2025秒时，重合的点简记为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆的周长相关知识、数轴上的运动以及周期性规律．求解出的运动终点是解决本题的关键． 先确定圆滚动一周的距离，再根据运动时间计算滚动的周数和额外的距离，从而确定重合点的坐标． 【详解】解：的周长为4个单位长度，在的4等分点处分别标0，1，2，3． 沿着数轴以每秒1个单位长度的速度向右运动， 运动2025秒时，上的点与数轴上表示的点重合． 的运动起点为， 当时，运动秒的终点为， 运动秒的终点为， 运动秒的终点为， 运动秒的终点为． ， 当时，的运动终点为． 故选：D． 2．（24-25七年级下·山东潍坊·期末）如图，与在同一平面内，其半径都是r．将固定，让从上的一点P出发，沿的边缘滚动一周，回到原来的位置．下列说法：①滚动过程中的圆心形成的轨迹与是同心圆；②的圆心经过的路程是；③在滚动中自身转了2周．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查了轨迹问题，掌握上的点P运动的路径长点运动的路径长是本题的关键． 根据题意可得，的圆心是以为圆心，为半径运动，即可解答． 【详解】解：根据题意可得，的圆心是以为圆心，为半径运动，即的圆心形成的轨迹与是同心圆；故①正确； ，则的圆心经过的路程是，故②错误； 根据题意可得点P运动的路径长， 的周长， 即在滚动中自身转了2周，故③正确； 故选：B． 3．如图，半径为1的圆，在x轴上从原点O开始向右滚动一周后，圆心的坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查圆周长公式，平面直角坐标系坐标表示．根据题意先求出圆周长即可得到本题答案． 【详解】解：∵半径为1的圆， ∴圆周长为：， ∴圆心的坐标为：． 4．如图，半径为的沿着边长为的正方形的边作无滑动地滚动一周回到原来的位置，自身转动的圈数是 ____________．（用含的代数式表示） 【答案】## 【分析】本题主要考查圆的基础知识，根据正方形的边长可得正方形的周长，结合圆的周长计算，即可求解，掌握圆的基础知识是解题的关键． 【详解】解：的周长为：，正方形的周长为：， ∴自身转动的圈数是， 故答案为：． 5．（25-26下·上海·期中）圆的滚动问题探索： (1)如图1，一个半径为的圆沿直线方向从地滚动到地，若的长为，则该圆在滚动过程中自转了___________圈．（用含、的式子表示） 试验： 现有两个半径相等的圆（如图5），将圆固定，圆沿定圆的周围滚动无滑动．当圆沿圆周围滚动一周回到原来的位置时，圆自转了圈，而圆的圆心运动的线路也是一个圆，而这个圆的周长恰好是圆的周长的倍． (2)如图2，的半径为，的半径为，现将固定，让沿的周围滚动无滑动．当沿的周围滚动一周回到原来的位置时，自转了___________圈； (3)如图3，的半径为，的半径为，现将固定，让沿的内部边缘滚动无滑动．当沿边缘滚动一圈回到原来的位置时，自转了___________圈． 解决问题： (4)如图4，一个等边三角形的边长与圆的周长相等，当此圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边作无滑动滚动，直至回到原来的位置时，该圆自转了多少圈？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)该圆自转了圈； 理由如下： 等边三角形的边长与和圆的周长相等， 圆在等边三角形三条边上滚动时，转了圈，而圆从一边转到另一边时，圆心绕三角形的一个顶点旋转了三角形的一个外角的度数， 圆心要绕其三角形的顶点旋转， 圆绕三个顶点共旋转了，即转了圈， 此圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边作无滑动滚动，直至回到原来的位置时，该圆自转了圈． 【分析】（1）利用圆运动的距离除以圆的周长即可得出答案； （2）利用运动的距离除以的周长即可得出答案； （3）利用运动的距离除以的周长即可得出答案； （4）圆自转的圈数绕三边滚动所转的圈数圆心要绕其三角形的顶点所转的圈数． 【详解】（1）解：该圆在滚动过程中自转的圈数为：（圈）； （2）解：当沿沿周围滚动一周回到原来的位置时，滚动的路程为：， 自转了（圈）； （3）解：当沿内部边缘滚动一圈回到原来的位置时，滚动的路程为：， 自转了（圈）； （4） 略 新定义与规律探究题型03 1．如图，AB是⊙O的直径，把AB分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设AB＝a，那么⊙O的周长l＝πa． 计算：(1)把AB分成两条相等的线段，每个小圆的周长； (2)把AB分成三条相等的线段，每个小圆的周长l3＝　 　； (3)把AB分成四条相等的线段，每个小圆的周长l4＝　 　； (4)把AB分成n条相等的线段，每个小圆的周长ln＝　 　． 结论：把大圆的直径分成n条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，那么每个小圆周长是大圆周长的　 　．请仿照上面的探索方法和步骤，计算推导出每个小圆面积与大圆面积的关系． 【答案】(2)l；(3)l；(4)l； 结论：；面积关系推导： 每个小圆面积＝π＝，而大圆的面积＝π(•a)2＝πa2 即每个小圆的面积是大圆的面积的． 【分析】(2)(3)(4)根据（1）模仿计算解答即可. 结论：根据前期的堆列数据进行分析列式即可解答. 【详解】(2)l； (3)l； (4)l；； 结论：略 【点睛】本题考查线段和圆的关系，解题关键是能够理解题意和学会类推. 2．在生产、生活中，我们经常把一些同样大小的圆柱捆扎起来，下面我们来探索捆扎时怎样求绳子的长度．假设每个圆柱管的直径都是5厘米，当圆柱管的放置方式是“单层平放”时，捆扎后的横截面如下图所示：（不计算，要求写出计算过程） 请你根据图形，完成下表： 圆柱管个数 1 2 3 … 100 … n 绳子长度（厘米） … … 【答案】，，，， 【详解】解：当圆柱管个数为1时，绳子长度为厘米； 当圆柱管个数为2时，绳子长度为厘米； 当圆柱管个数为3时，绳子长度为厘米； …… 观察发现，每增加一个圆管，绳子长度增加两个直径长度， 则当圆柱管个数为100时，绳子长度为厘米； 当圆柱管个数为时，绳子长度为厘米； 3．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）定义：一个圆的面积与周长的数值之差，称为该圆的“关联值”． 例如：若的半径为，则的“关联值”为． (1)若的半径为，则 的“关联值”为 ； (2)若的“关联值”为，求的半径； (3)是否存在两个半径分别为、的圆（、都是正整数，且，两圆的“关联值”相差？若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)0 (2) (3)存在，， 或， 【分析】（1）根据的“关联值”的定义计算当时的的“关联值”即可； （2）根据的“关联值”的定义列方程求解即可； （3）根据的“关联值”的定义得，即，将左边因式分解后为，因为、都是正整数，且，所以将分解质因数后得方程进行计算即可． 【详解】（1）解：若的半径为2， 则的“关联值”为， 故答案为：0； （2）解：设圆的半径为，由题意得， 解得或舍去， ∴的半径为； （3）解：存在，理由： 根据的“关联值”的定义得， ， 即， ，而、都是正整数，且， 或， 解得或． 【点睛】本题考查定义新运算，圆面积和周长，因式分解，解二元一次方程组，解一元二次方程，掌握相关知识是解决问题的关键． 4．（25-26九年级上·重庆·期中）小亮在学习中遇到这样一个问题：如图，点是上一动点，线段，点是线段的中点，过点作，交的延长线于点．当为等腰三角形时，求线段的长度． 小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题．请将下面的探究过程补充完整： (1)根据点在上的不同位置，画出相应的图形，测量线段，，的长度，得到下表的几组对应值． 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 /cm 8.0 7.7 7.2 6.6 5.9 3.9 2.4 0 /cm 8.0 7.4 6.9 6.5 6.1 6.0 6.2 6.7 8.0 操作中发现： ①“当点为的中点时，”．则上表中的值是_____； ②“线段的长度无需测量即可得到”．请以几何推理方式说明理由； (2)将线段的长度作为自变量，和的长度都是的函数，分别记为和，并在平面直角坐标系中画出了函数的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数的图象；并请结合图象说出函数的一条性质______________________________； (3)结合图象直接写出：当为等腰三角形时，线段长度的应该满足：__________．（请填编号，多项选择） A、    B、    C、    D、 E、    F、    G、    H、 【答案】(1)①5.0； ②解：， ， ， ， ， 线段的长度无需测量即可得到； (2) 函数的图象如图所示： ；当时，y随x的增大而减小； (3)DFH 【分析】本题考查一次函数结合几何的应用，学会用描点法画出函数图象，熟练掌握一次函数的性质以及三角形全等的判定及性质是解题的关键． （1）①点为弧的中点时，，即可得到；②由题意得，即可得到； （2）根据表格数据运用描点法即可画出函数图象，进而可得函数的性质； （3）画出的图象，当为等腰三角形时，分情况讨论，任意两边分别相等时，即任意两个函数图象相交时的交点横坐标即为的近似值． 【详解】（1）①点为弧的中点时，由圆的性质可得： ， ， ， ； ②略 （2）略 （3）由（1）知， 画出的图象，如上图所示，当为等腰三角形时， ①，为与函数图象的交点横坐标，即； ②，为与函数图象的交点横坐标，即； ③，为与函数图象的交点横坐标，即； 综上：当为等腰三角形时，线段长度的近似值为或或． 故选：DFH 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 3.1 圆的相关概念 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 圆的概念 题型02 弦的条数 题型03 圆心角的识别 题型04 圆心角的简单运算 B组 能力进阶 题型 与圆有关的计算问题 C组 思维拔高 题型01 点到圆的最值问题 题型02 小圆绕图形滚动 题型03 新定义与规律探究 圆的概念题型01 1．在图中没有出现的几何图形是（    ） A．弦 B．弧 C．弓形 D．扇形 2．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，点A，B，C在直线l上，，，且过点D，E，F三点的圆的圆心在直线l上．若，，则的值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3．下列说法：①弦是直径；②半圆是弧；③过圆心的线段是直径；④圆心相同半径相同的两个圆是同心圆，其中错误的有_______．（填序号） 4．如图，是的直径，C、D是上两点，，若，则______． 5．如图，已知是的直径，点在上，． (1)求证：； (2)求的度数． 弦的条数题型02 1．如图，已知A，B，C，D四点都在⊙O上，则⊙O中的弦的条数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2025·湖南张家界·一模）如图，在中，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，那么图中有弦（　　）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 3．（25-26九年级·质检）经过圆内一点可作圆的________条弦，其中最长的弦是________． 4．的半径为，A为上一定点，点P在上沿圆周运动（不与点A重合），则使弦的长度为整数的点P共有________个． 5．如图，是内接三角形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图． （1）在图1中，画出一条与相等的弦； （2）在图2中，画出一个与全等的三角形． 圆心角的识别题型03 1．下列图形中的角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 2．如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（   ） A．圆的周长都相等 B．圆上任意两点间的部分叫做圆弧 C．顶点在圆上的角叫做圆心角 D．由一条弧和经过这条弧的两个端点的两条线段组成的图形叫做扇形 4．“顶点在圆内的角叫做圆心角”是________的．（选填“正确”或“错误”） 圆心角的简单运算题型04 1．如图，为的弦，，则所对的圆心角等于（     ）． A． B． C． D． 2．如图1是一座立交桥的示意图（道路宽度忽略不计）A为入口，F，G为出口，其中直行道为AB，CG，EF，且AB＝CG＝EF，弯道为以点O为圆心的一段弧，且，，，所对的圆心角均为90°，甲、乙两车由A口同时驶入立交桥，均以10m/s的速度行驶，从不同出口驶出，其间两车到点O的距离y（m）与时间x（s）的对应关系如图2所示，结合题目信息，下列说法正确的是（　　） A．甲车从F口出，乙车从G口出 B．甲车驶出立交桥时，乙车在上 C．甲乙两车同时在立交桥上的时间为10s D．图中立交桥总长为140m 3．如图，O为圆心，那么所对的圆心角是______，所对的圆心角是______． 4．已知，有一量角器如图摆放，中心O在边上，为刻度线，为刻度线，角的另一边与量角器半圆交于C，D两点，点C，D对应的刻度分别为，，则=_______．    5．如图，圆心角． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 与圆有关的计算问题题型 1．要画一个周长是的圆，圆规两脚之间的距离是（ ）． A． B． C． D． 2．（25-26下·上海·期中）周长为的圆，面积为_______．（取）． 3．（25-26上·期末）小明去商店买了两瓶相同的圆柱形饮料，为了携带方便，售货员用绳子将其捆扎在一起，如图所示，她捆了2圈，且打结处用了20厘米，则每瓶饮料的底面积是______平方厘米，所用绳子至少长______分米．（π取3.14） 4．（25-26上·黑龙江哈尔滨·期中）（1）求图中阴影部分的面积． （2）求图形阴影部分的周长． 5．某学校计划修建一条标准田径跑道，数学小组根据《田径场地设计规范》绘制了如下示意图． 已知：跑道由两条直道和两个半圆形弯道组成，直道的长度均为；内圈（第1道）的长度为，一共8条跑道，所有跑道的终点线相同；为消除跑外圈与跑内圈的差距，起跑时让运动员处于不同的起跑线上．（注：跑道的长度近似于该跑道的内侧线的长度） (1)内圈（第1道）半圆形弯道的半径为_______；（结果保留） (2)如果每条跑道宽，求第2道的全长，并计算第2道起跑线比第1道应前移多少米（结果保留）； (3)已知规范要求跑道宽度为，如果实际测量得到第8道起跑线比第1道前移了．请你通过计算判断该跑道宽度是否符合规范？（取） 点到圆的最值问题题型01 1．（25-26九年级上·河北石家庄·月考）在半径为6的中有一条弦，则的长度不可能是（） A．3 B．6 C．12 D．14 2．如图，点A，B的坐标分别是A（4，0），B（0，4），点C为坐标平面内一动点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·福建·月考）已知中最长的弦为14厘米，则此圆半径为_______厘米． 4．如图，在中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是_____． 5．如图，半径为7的上有一动点B，点A为半径上一点，且最大为10，以为边向外作正方形，连接． (1)请直接写出的长． (2)过点A作，且，连接，在点B的运动过程中，的长度会发生变化吗？变化请说明理由，不变化请求出的长． (3)当点A，B，F三点在一条直线上时，请直接写的长． (4)请直接写出的最大值和最小值． 小圆绕图形滚动题型02 1．如图，的周长为4个单位长度，在的4等分点处分别标上0，1，2，3．先让上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，重合的点简记为，再将沿着数轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，则运动2025秒时，重合的点简记为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·山东潍坊·期末）如图，与在同一平面内，其半径都是r．将固定，让从上的一点P出发，沿的边缘滚动一周，回到原来的位置．下列说法：①滚动过程中的圆心形成的轨迹与是同心圆；②的圆心经过的路程是；③在滚动中自身转了2周．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 3．如图，半径为1的圆，在x轴上从原点O开始向右滚动一周后，圆心的坐标为________． 4．如图，半径为的沿着边长为的正方形的边作无滑动地滚动一周回到原来的位置，自身转动的圈数是 ____________．（用含的代数式表示） 5．（25-26下·上海·期中）圆的滚动问题探索： (1)如图1，一个半径为的圆沿直线方向从地滚动到地，若的长为，则该圆在滚动过程中自转了___________圈．（用含、的式子表示） 试验： 现有两个半径相等的圆（如图5），将圆固定，圆沿定圆的周围滚动无滑动．当圆沿圆周围滚动一周回到原来的位置时，圆自转了圈，而圆的圆心运动的线路也是一个圆，而这个圆的周长恰好是圆的周长的倍． (2)如图2，的半径为，的半径为，现将固定，让沿的周围滚动无滑动．当沿的周围滚动一周回到原来的位置时，自转了___________圈； (3)如图3，的半径为，的半径为，现将固定，让沿的内部边缘滚动无滑动．当沿边缘滚动一圈回到原来的位置时，自转了___________圈． 解决问题： (4)如图4，一个等边三角形的边长与圆的周长相等，当此圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边作无滑动滚动，直至回到原来的位置时，该圆自转了多少圈？请说明理由． 新定义与规律探究题型03 1．如图，AB是⊙O的直径，把AB分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设AB＝a，那么⊙O的周长l＝πa． 计算：(1)把AB分成两条相等的线段，每个小圆的周长； (2)把AB分成三条相等的线段，每个小圆的周长l3＝　 　； (3)把AB分成四条相等的线段，每个小圆的周长l4＝　 　； (4)把AB分成n条相等的线段，每个小圆的周长ln＝　 　． 结论：把大圆的直径分成n条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，那么每个小圆周长是大圆周长的　 　．请仿照上面的探索方法和步骤，计算推导出每个小圆面积与大圆面积的关系． 2．在生产、生活中，我们经常把一些同样大小的圆柱捆扎起来，下面我们来探索捆扎时怎样求绳子的长度．假设每个圆柱管的直径都是5厘米，当圆柱管的放置方式是“单层平放”时，捆扎后的横截面如下图所示：（不计算，要求写出计算过程） 请你根据图形，完成下表： 圆柱管个数 1 2 3 … 100 … n 绳子长度（厘米） … … 3．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）定义：一个圆的面积与周长的数值之差，称为该圆的“关联值”． 例如：若的半径为，则的“关联值”为． (1)若的半径为，则 的“关联值”为 ； (2)若的“关联值”为，求的半径； (3)是否存在两个半径分别为、的圆（、都是正整数，且，两圆的“关联值”相差？若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由． 4．（25-26九年级上·重庆·期中）小亮在学习中遇到这样一个问题：如图，点是上一动点，线段，点是线段的中点，过点作，交的延长线于点．当为等腰三角形时，求线段的长度． 小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题．请将下面的探究过程补充完整： (1)根据点在上的不同位置，画出相应的图形，测量线段，，的长度，得到下表的几组对应值． 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 /cm 8.0 7.7 7.2 6.6 5.9 3.9 2.4 0 /cm 8.0 7.4 6.9 6.5 6.1 6.0 6.2 6.7 8.0 操作中发现： ①“当点为的中点时，”．则上表中的值是_____； ②“线段的长度无需测量即可得到”．请以几何推理方式说明理由； (2)将线段的长度作为自变量，和的长度都是的函数，分别记为和，并在平面直角坐标系中画出了函数的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数的图象；并请结合图象说出函数的一条性质______________________________； (3)结合图象直接写出：当为等腰三角形时，线段长度的应该满足：__________．（请填编号，多项选择） A、    B、    C、    D、 E、    F、    G、    H、 试卷第1页（共3页） 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