专题03 等腰三角形五类训练（计算题专项训练）数学人教版新教材八年级上册

**基本信息** 以五大数学思想方法为框架，系统整合等腰三角形计算问题的解题策略，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |分类讨论思想|10题|边/角/高不确定时分类讨论，结合三边关系与内角和检验|从等腰三角形定义出发，延伸到不确定元素的分类处理| |方程思想|7题|设未知数，利用内角和或周长列方程求解|等腰三角形性质（等角等边）与代数方程的结合| |角平分线遇平行线构等腰|7题|角平分线与平行线组合构造等腰三角形（内错型/外错型）|角平分线性质与平行线性质的综合应用| |三线合一|7题|作底边高线或中线，利用三线合一性质转化问题|等腰三角形三线合一性质的直接应用与辅助线构造| |作平行线构等腰|7题|作腰或底边平行线，转移等角构造新等腰三角形|平行线性质与等腰三角形判定的综合迁移|

专题03 等腰三角形五类训练（计算题专项训练） 【人教版新教材】 训练1 等腰三角形中的分类讨论思想 核心：等腰三角形边、角、高没有指定哪条是腰/底边、哪个是顶角/底角时，一定要分类，还要检验：三角形三边关系、内角和180°，很多坑会出现“无解舍去”。 什么时候必须分类讨论 ： 边不确定：已知一条边，没说它是【腰】还是【底边】 角不确定：已知一个角，没说它是【顶角】还是【底角】 高不确定：等腰三角形的高，分：内部高、外部高（钝角等腰） 方法指导 1．若等腰三角形的一个内角为50°，则它一腰上的高与底边所夹的角的度数是 　 　． 【分析】分50°的角分别为顶角和底角两种情况进行讨论求解即可． 【解答】解：当50°的角为顶角时，则：两个底角的度数为：， ∴一腰上的高与底边所夹的角的度数是：90°﹣65°＝25°， 当50°的角为底角时，则：一腰上的高与底边所夹的角的度数是：90°﹣50°＝40°； 故答案为：25°或40°． 2．已知在△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的高，∠ABD＝32°，则∠C＝　 　 ． 【解答】解：如图1，点D在线段AC上， ∵在△ABC中，BD是AC边上的高， ∴BD⊥AC于点D， ∴∠ADB＝90°， ∵∠ABD＝32°， ∴∠A＝90°﹣∠ABD＝58°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∵∠A+∠ABC+∠C＝180°， ∴58°+2∠C＝180°， ∴∠C＝61°； 如图2，点D在CA的延长线上， ∵BD⊥AC，交CA的延长线于点D， ∴∠D＝90°， ∵∠ABD＝32°， ∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝58°， ∵∠ABC+∠C＝∠BAD＝58°，且∠ABC＝∠C， ∴2∠C＝58°， ∴∠C＝29°， 故答案为：61°或29°． 3．已知，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交直线AC于点E，∠AED＝55°，则∠BAC＝　 　． 【分析】分△ABC是锐角三角形与钝角三角形两种情况讨论即可． 【解答】解：分两种情况： ①如果△ABC是锐角三角形，如图1． ∵DE⊥AB， ∴∠ADE＝90°， ∵∠AED＝55°， ∴∠A＝90°﹣∠AED＝90°﹣55°＝35°， ②如果△ABC是钝角三角形，如图2． ∵DE⊥AB， ∴∠ADE＝90°， ∵∠AED＝55°， ∴∠BAC＝∠ADE+∠AED＝90°+55°＝145°， 综上所述，∠A的度数为40°或145°． 故答案为：35°或145°． 4．在△ABC中，AB＝AC，点D在边AC上，连接BD．若△ABD和△BCD都是等腰三角形，则∠A＝ 　 　 °． 【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，点D在边AC上， ∴AD＜AB，∠CBD＜∠C， ∵△ABD是等腰三角形， ∴只有AD＝BD， ∵△BCD也是等腰三角形， ∴有以下两种情况： ①当BD＝BC时，如图1所示： 设∠A＝α， ∵AD＝BD， ∴∠ABD＝∠A＝α， ∴∠BDC＝∠ABD+∠A＝2α， ∵BD＝BC， ∵∠C＝∠BDC＝2α， 又∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝2α， 在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°， ∴α+2α+2α＝180°， 解得：α＝36°， ∴∠A＝α＝36°； ②当CD＝BC时，如图2所示： 设∠A＝α， ∵AD＝BD， ∴∠ABD＝∠A＝α， ∴∠BDC＝∠ABD+∠A＝2α， ∵CD＝BC， ∴∠CBD＝∠BDC＝2α， ∴∠ABC＝∠ABD+∠ABD＝3α， ∴AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝3α， 在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°， ∴α+3α+3α＝180°， 解得：， ∴， 综上所述：∠A＝36°或． 故答案为：36或． 5．在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝150°，将一块足够大的直角三角尺PMN（∠M＝90°，∠MPN＝30°）按如图所示放置，顶点P在线段AB上滑动，三角尺的直角边PM始终经过点C，并且与CB的夹角∠PCB＝α，斜边PN交AC于点D．在点P的滑动过程中，若△PCD是等腰三角形，则夹角α的大小是　 　． 【分析】本分三种情况考虑：当PC＝PD；PD＝CD；PC＝CD，分别求出夹角α的大小即可． 【解答】解：∵△PCD是等腰三角形，∠PCD＝150°﹣α，∠CPD＝30°， ①当PC＝PD时， ∴，即150°﹣α＝75°， ∴α＝75°； ②当PD＝CD时，△PCD是等腰三角形， ∴∠PCD＝∠CPD＝30°，即150°﹣α＝30°， ∴α＝120°； ③当PC＝CD时，△PCD是等腰三角形， ∴∠CDP＝∠CPD＝30°， ∴∠PCD＝180°﹣2×30°＝120°，即150°﹣α＝120°， ∴α＝30°，此时点P与点B重合，点D和A重合， 综合所述：当△PCD是等腰三角形时，α＝30°或75°或120°． 故答案为：30°或75°或120°． 6．如图，在△AOB中，OA＝OB，∠AOB＝120°，点C是平面内一点，连结AC、BC、OC，OA＝OC，直线BC与直线AO相交于点D，如果△COD是以DO为腰的等腰三角形，则∠OCB的度数为 　 　 ． 【解答】解：∵直线BC与直线AO相交于点D， ∴有以下两种情况： ①当点D在线段OA上时，如图1所示： 设∠OCB＝α， ∵△COD是以DO为腰的等腰三角形， ∴DO＝DC， ∴∠DOC＝∠OCB＝α， ∵∠AOB＝120°， ∴∠BOC＝∠DOC+∠DOC＝120°+α， 又∵OA＝OB，OA＝OC， ∴OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB＝α， 在△OBC中，∠BOC+∠OCB+∠OBC＝180°， ∴120°+α+α+α＝180°， 解得：α＝20°， ∴∠OCB＝α＝20°； ②当点D在AO的延长线上时，如图2所示： 设∠OCB＝α， ∵△COD是以DO为腰的等腰三角形， ∴DO＝DC， ∴∠DOC＝∠OCB＝α， ∵∠AOB＝120°， ∴∠BOD＝180°﹣∠AOB＝60°， ∴∠BOC＝∠BOD+∠DOC＝60°+α， 又∵OA＝OB，OA＝OC， ∴OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB＝α， 在△OBC中，∠BOC+∠OCB+∠OBC＝180°， ∴60°+α+α+α＝180°， 解得：α＝40°， ∴∠OCB＝α＝40°， 综上所述：∠OCB的度数为20°或40°． 故答案为：20°或40°． 7．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是　 　． 【分析】分以AB为腰，以AB为底边两种情况确定C即可． 【解答】解：如图，点C的个数有8个， 故答案为：8． 8．如图，点O在直线l上，点A在直线l外．若直线l上有一点P使得△APO为等腰三角形，则满足条件的点P位置有 　 　个． 【分析】分三种情况：当OA＝OP时；当AO＝AP时；当PA＝PO时；即可解答． 【解答】解：如图： 分三种情况： 当OA＝OP时，以点O为圆心，以OA长为半径作圆，交直线l于点P1，P2； 当AO＝AP时，以点A为圆心，以AO长为半径作圆，交直线l于点P3； 当PA＝PO时，作OA的垂直平分线，交直线l于点P4； 综上所述：若直线l上有一点P使得△APO为等腰三角形，满足条件的点P位置有4个， 故答案为：4． 9．如图，已知△ABC中，AB＝3，∠B＝40°，∠C＝20°，在△ABC所在平面内一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【分析】根据等腰三角形的性质，分两种情况讨论：当以AB为等腰三角形的腰时，当以AB为等腰三角形的底时，找出满足题意的直线，得到答案． 【解答】解：根据题意， 当以AB为等腰三角形的腰时： 如图，AD＝AB＝3， 如图，AB＝BE＝3， 如图，AB＝AF＝3， 当以AB为等腰三角形的底时： 如图，AG＝BG，AB＝3 综上，有AD，AE，BF，AG四条直线满足题意， 故选：C． 10．问题背景：已知，在△ABC中，AB＝AC，如果过某一顶点的直线可以将△ABC分割成两个等腰三角形，求∠A的大小．某数学学习小组的成员在自主探究后得出如下结果：①∠A＝36°，②∠A＝90°，③∠A＝108°，④∠A，你认为其中正确的结果有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】①当∠A＝36°时，则∠ABC＝∠C＝72°，作∠ABC的平分线交AC于点D，从而得∠ABD＝∠CBD＝36°，∠BDC＝72°，据此可判定△ABD和△BCD均为等腰三角形，进而可对①进行判断； ②当∠BAC＝90°时，则∠B＝∠C＝45°，作∠BAC的平分线交BC于点D，从而得∠BAD＝∠CAD＝45°，据此可判定△ABD和△ACD均为等腰三角形，进而可对②进行判断； ③当∠BAC＝108°时，则∠B＝∠C＝36°，作AB的垂直平分线角BC于点D，连接AD，则△ABD为等腰三角形，∠DAB＝∠B＝36°，进而得∠CAD＝72°，∠CDA＝72°，由此可判定△CAD为等腰三角形，进而可对③进行判断； ④当∠A时，则∠ABC＝∠C，作AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD，则△ABD为等腰三角形，从而得∠ABD＝∠A，∠CBD，∠CDB，由此可判定△CBD为等腰三角形，进而可对④进行判断，综上所述可得出答案． 【解答】解：在△ABC中，AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵∠A+∠B+∠C＝180° ∴∠B＝∠C（180°﹣∠A）， ①当∠A＝36°时， 则∠ABC＝∠C（180°﹣∠A）（180°﹣36°）＝72°， 作∠ABC的平分线交AC于点D，如图1所示： ∴∠ABD＝∠CBD＝36°， ∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°， ∴∠ABD＝∠A＝36°，∠BDC＝∠C＝72°， ∴△ABD和△BCD均为等腰三角形， 即直线BD将△ABC分成两个等腰三角形； 故①正确； ②当∠BAC＝90°时， 则∠B＝∠C（180°﹣∠A）（180°﹣90°）＝45°， 作∠BAC的平分线交BC于点D，如图2所示： ∴∠BAD＝∠CAD＝45°， ∴∠B＝∠BAD＝45°，∠C＝CAD＝45°， ∴△ABD和△ACD均为等腰三角形， 即直线AD将△ABC分成两个等腰三角形； 故②正确； ③当∠BAC＝108°时， 则∠B＝∠C（180°﹣∠A）（180°﹣108°）＝36°， 作AB的垂直平分线角BC于点D，连接AD，如图3所示： 则BD＝AD，即△ABD为等腰三角形， ∴∠DAB＝∠B＝36°， ∴∠CAD＝∠BAC﹣∠DAB＝108°﹣36°＝72°，∠CDA＝∠DAB+∠B＝72°， ∴∠CAD＝∠CDA＝72° ∴△CAD为等腰三角形， 即直线AD将△ABC分成两个等腰三角形． 故③正确； ④当∠A时， 则∠ABC＝∠C（180°﹣∠A）（180°）， 作AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD，如图4所示： 则AD＝BD，即△ABD为等腰三角形， ∴∠ABD＝∠A， ∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD，∠CDB＝∠A+∠ABD， ∴∠CBD＝∠CDB， ∴△CBD为等腰三角形， 即直线BD将△ABC分成两个等腰三角形． 故④正确． 综上所述：正确的结果是①②③④，共4个． 故选：A． 训练2 等腰三角形中的方程思想 等腰三角形有两个底角相等、两腰相等，设未知数，利用内角和180°或者周长列方程求解。 适用场景：题目给角度之间倍数、和差关系，不直接给具体度数 边长存在倍数关系，已知周长，求各边长度。 方法指导 1．如图，在△ABC中，AC＝BC，BD是角平分线，BC的垂直平分线EF交BD于点F，交BC于点E．若∠FCA＝25°，则∠A的度数为 　 　． 【分析】设∠A＝x°，根据等腰三角形的性质可得∠A＝∠ABC＝x°，然后利用角平分线的定义可得∠CBDx°，再利用线段垂直平分线的性质可得FB＝FC，从而可得∠CBD＝∠BCFx°，最后利用三角形内角和定理列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：设∠A＝x°， ∵AC＝BC， ∴∠A＝∠ABC＝x°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠CBD∠ABCx°， ∵EF是BC的垂直平分线， ∴FB＝FC， ∴∠CBD＝∠BCFx°， ∵∠FCA＝25°， ∴∠A+∠ABC+∠ACF+∠BCF＝180°， ∴x+xx+25＝180， 解得：x＝62， ∴∠A＝62°， 故答案为：62°． 2．小丽从一张等腰三角形纸片ABC（AB＝AC）中恰好剪出五个如图所示的小等腰三角形，其中BC＝BD，EC＝EF＝FG＝DG＝DA，则∠B＝　 　°． 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质以及三角形内角和定理解答即可． 【解答】解：设∠ECF＝x， ∵EC＝EF， ∴∠EFC＝∠ECF＝x， ∴∠GEF＝2x， ∵EF＝GF， ∴∠FGE＝∠GEF＝2x， ∴∠DFG＝∠FGE+∠ECF＝3x， ∵DG＝GF， ∴∠GDF＝∠DFG＝3x， ∴∠AGD＝∠GDF+∠ECF＝4x， ∵DG＝DA， ∴∠A＝4x， ∴∠BDC＝∠A+∠ECF＝5x， ∵BC＝BD， ∴∠BDC＝∠BCD＝5x， ∴∠ACB＝∠BCD+∠ECF＝6x， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACD＝6x， ∵∠A+∠B+∠ACB＝180°， ∴4x+6x+6x＝180°，解得：x， ∴∠B67.5°． 故答案为：67.5． 3．如图，在△ABC中，点D，E在AB上，AC＝AE，BC＝BD，若∠DCE＝20°，则∠ACB的度数为　 　 ． 【解答】解：∵AC＝AE，BC＝BD， ∴∠AEC＝∠ACE，∠BDC＝∠BCD， 设∠AEC＝∠ACE＝x°，∠BDC＝∠BCD＝y°， ∴∠A＝180°﹣2x°，∠B＝180°﹣2y°， ∵∠DCE＝180°﹣（∠AEC+∠BDC）＝180°﹣（x°+y°）＝20°， ∴x°+y°＝160°， ∵∠ACB+∠A+∠B＝180°， ∴∠ACB+（180°﹣2x°）+（180°﹣2y°）＝∠ACB+360°﹣2（x°+y°）＝∠ACB+360°﹣2×160°＝180°， ∴∠ACB＝140°， 故答案为：140°． 4．如图，等边△ABC，E为△ABC外一点，AE＝AC，连接BE，若∠EBC＝15°，△ACE的面积等于9，则BC的长为 　 　． 【分析】过点C作CD⊥AD于点D，设CD＝x，先求出∠ABE＝45°，再证∠AEB＝∠ABE＝45°，进而得∠BAE＝90°，∠CAE＝30°，再由直角三角形的性质得AC＝AE＝BC＝2x，然后根据S△ACE＝9得2x•x＝9，由此解出x即可得BC的长． 【解答】解：过点C作CD⊥AD于点D，设CD＝x，如图所示： ∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝60°， ∵∠EBC＝15°， ∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝60°﹣15°＝45°， ∵AE＝AC， ∴AE＝AB＝BC， ∴∠AEB＝∠ABE＝45°， ∴∠BAE＝180°﹣（∠AEB+∠ABE）＝90°， ∴∠CAE＝∠BAE﹣∠BAC＝90°﹣60°＝30°， ∵CD⊥AD于点D， 在Rt△ACD中，∠CAE＝30°，CD＝x， ∴AC＝BC＝2x， ∴AE＝AC＝2x， ∴S△ACEAE•CD＝9， ∴2x•x＝9， 解得：x＝3，舍去负值， ∴BC＝2x＝6． 故答案为：6． 5．在等腰△ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形的周长分成12和6两部分，求这个等腰三角形的腰长． 【分析】设AB＝AC＝2x，BC＝y，根据题意可的，然后分当AB+AD＝12、BC+CD＝6和AB+AD＝6、BC+CD＝12两种情况讨论，分别列方程组并求解，结合三角形三边关系即可获得答案． 【解答】解：如图， 设AB＝AC＝2x，BC＝y， ∵BD为一腰上的中线， ∴， 当AB+AD＝12，BC+CD＝6时， ， 解得，， ∴三边长分别为8，8，2， ∵8+2＞8， ∴此时能构成三角形，符合题意， ∴等腰三角形的腰长为8； 当AB+AD＝6，BC+CD＝12时， ， 解得，， ∴三边长分别为10，2，2， ∵2+2＜10， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； 综上所述，这个等腰三角形的腰长为8． 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为AC上一点，且满足AD＝BD＝BC．点F在BC延长线上，连接FD并延长，交AB于点E，连接AF，求∠BAC和∠ACB的度数． 【分析】设∠BAC＝x°，由AD＝BD＝BC知∠A＝∠ABD＝x°，∠BDC＝∠BCD＝2x°，由∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°列方程求解可得； 【解答】解：设∠BAC＝x°， ∵AD＝BD， ∴∠A＝∠ABD＝x°， ∴∠BDC＝2x°， ∵BD＝BC， ∴∠BDC＝∠BCD＝2x°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝2x°， 由∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°可得x+2x+2x＝180， 解得：x＝36， 则∠BAC＝36°，∠ACB＝72°． 7．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，过点A作AE⊥BD交延长线于点E．若∠BAC＝2∠DAE，求∠DAE的度数． 【分析】设∠DAE＝x°，则∠BAC＝2x°，由等腰三角形的性质求出∠ABC（180°﹣2x°）＝90°﹣x°，由角平分线定义得到∠ABE∠ABC＝45°x°，由直角三角形的性质得到45°x°+2x°+x°＝90°，求出x＝18，即可得到∠DAE＝18°． 【解答】解：设∠DAE＝x°，则∠BAC＝2x°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB（180°﹣2x°）＝90°﹣x°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABE∠ABC＝45°x°， ∵AE⊥BD， ∴∠ABE+∠BAE＝90°， ∴45°x°+2x°+x°＝90°， ∴x＝18， ∴∠DAE＝18°． 训练3 角平分线遇平行线构等腰 角平分线 + 平行线 → 出等腰三角形 原理：角平分线得一组等角；平行线带来内错角相等；等量代换，得到三角形两个内角相等，于是两腰相等。 两种基本图形 内错型：角平分线，一条线平行角的一边，在角内部相交，形成等腰。 外错型：角平分线，平行线往外延伸，在角外部相交，形成等腰。 方法指导 1．如图，已知△ABC．∠ABC与∠ACB的平分线OB，OC交于点O，过点O作MN∥BC，交AB，AC于点M，N．若AB＝8，AC＝7，则△AMN的周长＝　 　． 【分析】由已知条件根据平行线的性质、角平分线的性质及等腰三角形的判定与性质；可推出MO＝MB，NO＝NC．从而得到△AMN的周长，答案可得． 【解答】解：∵BO平分∠ABC， ∴∠ABO＝∠OBC． 又∵MN∥BC， ∴∠MOB＝∠OBC． ∴∠ABO＝∠MOB． ∴MO＝MB． 同理可得：NO＝NC． ∴△AMN的周长为：AM+MN+AN ＝AM+MO+ON+AN ＝AM+MB+NC+AN ＝AB+AC ＝8+7 ＝15， 故答案为：15． 2．如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G，F．若FG＝2，ED＝4，则EB+DC的值为 　 　． 【分析】由角平分线与平行线易得∠EBG＝∠EGB，从而得到EB＝EG，同理可得DF＝DC，再根据EB+DC＝EG+DF＝ED+FG即可得答案． 【解答】解：∵BG平分∠EBC， ∴∠EBG＝∠GBC， ∵ED∥BC， ∴∠EGB＝∠GBC， ∴∠EBG＝∠EGB， ∴EB＝EG， 同理可得DF＝DC， ∴EB+DC＝EG+DF＝ED+FG＝4+2＝6， 故答案为：6． 3．在△ABC中，BC＝10cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB交BC于D，PE∥AC交BC于E，则△PDE的周长是 　 　cm． 【分析】分别利用角平分线的性质和平行线的性质，求得△DBP和△ECP为等腰三角形，由等腰三角形的性质得BD＝PD，CE＝PE，那么△PDE的周长就转化为BC边的长，角平分线的性质及等腰三角形的性质等知识点． 【解答】解：∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， ∴∠ABP＝∠PBD，∠ACP＝∠PCE， ∵PD∥AB，PD∥AC ∴∠ABP＝∠BPD，∠ACP＝∠CPE， ∴∠PBD＝∠BPD，∠PCE＝∠CPE， ∴BD＝PD，CE＝PE， ∴△PDE的周长＝PD+DE+PE＝BD+DE+EC＝BC＝10（cm）， 故答案为：10． 4．如图，在△ABC中，∠BAC，∠ABC的平分线交于点D，过点D作EF∥AB，分别交AC，BC于点E，F．当AE＝2，BF＝4时，EF的长为 　 　． 【分析】根据角平分线的定义可得∠BAD＝∠CAD，∠ABD＝∠CBD，根据平行线的性质可得∠BAD＝∠ADE，∠ABD＝∠BDF，进一步可得∠CAD＝∠ADE，∠CBD＝∠BDF，可得DE＝AE，DF＝BF，进一步可得EF的长． 【解答】解：∵AD，BD平分∠BAC，∠ABC， ∴∠BAD＝∠CAD，∠ABD＝∠CBD， ∵EF∥AB， ∴∠BAD＝∠ADE，∠ABD＝∠BDF， ∴∠CAD＝∠ADE，∠CBD＝∠BDF， ∴DE＝AE＝2，DF＝BF＝4， ∴EF＝DE+DF＝2+4＝6， 故答案为：6． 5．如图，在△ABC中，CD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AC于点E，BF平分∠ABC交DE于点F，若EC＝3EF＝6，则BD＝　 　． 【分析】先根据已知易得EF＝2，然后根据角平分线的定义和平行线的性质可证△BDF和△ECD是等腰三角形，从而可得ED＝EC＝6，DB＝DF，最后进行计算即可解答． 【解答】解：∵EC＝3EF＝6， ∴EF＝2， ∵CD平分∠ACB，BF平分∠ABC， ∴∠ACD＝∠DCB，∠ABF＝∠CBF， ∵DE∥BC， ∴∠DFB＝∠CBF，∠EDC＝∠DCB， ∴∠ACD＝∠EDC，∠ABF＝∠DFB， ∴ED＝EC＝6，DB＝DF， ∴DF＝DB＝DE﹣EF＝6﹣2＝4， 故答案为：4． 6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为 　 　． 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，求出∠DAE＝∠EAB＝30°，根据平行线的性质求出∠F＝∠BAE＝30°，从而得到∠DAE＝∠F，根据等角对等边求出AD＝DF，求出∠B＝30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答． 【解答】解：∵AB＝AC，AD是△ABC的中线， ∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD∠BAC120°＝60°， ∵AE是∠BAD的角平分线， ∴∠DAE＝∠EAB∠BAD60°＝30°， ∵DF∥AB， ∴∠F＝∠BAE＝30°， ∴∠DAE＝∠F＝30°， ∴AD＝DF， ∵∠B＝90°﹣60°＝30°， ∴ADAB8＝4， ∴DF＝4， 故答案为：4． 7．如图所示，∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的相邻外角的平分线CF相交于点F，过F作DF∥BC，交AB于D交AC于E，延长BC至M，试说明BD，CE，DE之间的数量关系． 【解答】解：∵BF是∠ABC的平分线， ∴∠ABF＝∠FBC， ∵DF∥BC， ∴∠DFB＝∠FBC， ∴∠ABF＝∠DFB， ∴△BDF是等腰三角形， ∴BD＝DF＝DE+EF． ∵CF是∠ACM的平分线， ∴∠ACF＝∠FCM， ∵DF∥BC， ∴∠EFC＝∠FCM， ∴∠ACF＝∠EFC， ∴△CEF是等腰三角形， ∴CE＝EF， ∴BD＝CE+DE． 训练4 连底边中线或作底边高线构三线合一 等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高，三条线互相重合。 前提：必须是等腰三角形，针对底边和顶角，腰上的高、腰上中线不适用！ 两种辅助线做法 作底边的高线：过顶点作底边⊥，得到高，同时也是中线、顶角角平分线。 取底边中点，连顶点（作底边中线）：得到中线，同时也是高、顶角平分线。 方法指导 1．如图，在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，D为BC延长线上一点，EC⊥AC且AC＝CE，垂足为C，连接BE，若BC＝6，则△BCE的面积为 　 　． 【解答】解：过A作AH⊥BC于H，过E作EF⊥BC于F， ∵AB＝AC，BC＝6， ∴BH＝HC＝3， ∵∠ACE＝90°， ∴∠ACH+∠ECF＝90°， ∵∠CAH+∠ACH＝90°， ∴∠ECF＝∠CAH， 在△ACH与△CEF中， ， ∴△ACH≌△CEF（AAS）， ∴EF＝CH＝3， ∴△BCE的面积9． 故答案为：9． 2．如图，已知∠AOB＝60°，点P在OA边上，OP＝8cm，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2cm，则OM＝ 　 　cm． 【解答】解：过P作PD⊥OB于点D， 在Rt△OPD中，∠ODP＝90°，∠POD＝60°， ∴∠OPD＝90°﹣∠POD＝30°， ∴ODOP8＝4（cm）， ∵PM＝PN，PD⊥MN，MN＝2cm， ∴MD＝NDMN＝1（cm）， ∴OM＝OD﹣DM＝4﹣1＝3（cm）， 故答案为：3． 3．如图，在等边三角形ABC中，DE∥BC，EB＝EF．若BD＝4，BF＝8，则线段DE的长为 　 　． 【解答】解：过点E作EH⊥BC于点H， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝BC＝CA， ∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠AED＝∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°， ∴△ADE是等边三角形， ∴DE＝AE＝AD， ∴AC﹣AE＝AB﹣AD， ∴CE＝BD， ∵BD＝4， ∴CE＝4， ∵EB＝EF，EH⊥BC，BF＝8， ∴，∠HEC＝30°， ∴， ∴BC＝BH+HC＝6， ∴AC＝BC＝6＝EC+EA＝4+AE， ∴AE＝2， ∴DE＝2． 故答案为：2． 4．如图，等边△ABC中，点P是CA延长线上一点，点D是BC上一点，且PB＝PD．若CP+CD＝10，BD＝3，则AB的长为 　 　． 【解答】解：过P作PM⊥BC于点M， ∵PB＝PD，BD＝3， ∴DMBD， 设CD＝x，则CM＝CD+DM＝x， ∵CP+CD＝10， ∴CP＝10﹣x， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠C＝60°，AB＝BC， ∵PM⊥BC， ∴∠PMC＝90°， ∴∠MPC＝30°， ∴CMCP，即x（10﹣x）， 解得x， ∴BC＝BD+CD＝3， ∴AB． 故答案为：． 5．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D是AB上一点，DE⊥BC于点E，EF⊥AC于点F． （1）若点D是AB的中点，求证：∠BDE∠C； （2）若∠ADE＝160°，求∠DEF的度数． 【解答】（1）证明：连接CD， ∵AC＝BC，点D是AB的中点， ∴CD⊥AB，， ∴∠BCD+∠B＝90°， ∵DE⊥BC， ∴∠B+∠BDE＝90° ∴∠BCD＝∠BDE． ∴； （2）解：∵∠ADE＝160° ∴∠BDE＝20°， ∵DE⊥BC，EF⊥AC， ∴∠DEB＝∠AFE＝90°， 在Rt△BDE中，∠DEB＝90°， ∴B＝90°﹣∠BDE＝90°﹣20°＝70°， ∵AC＝BC， ∴∠B＝∠A＝70°， ∴∠DEF＝360°﹣∠A﹣∠ADE﹣∠AFE＝360°﹣70°﹣160°﹣90°＝40°． 6．如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E、F分别在边AB、AC上，且DE⊥DF，连接EF． （1）如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，AB＝AC．求证：∠DEF＝45°； （2）如图2，∠DEF＝45°，△ABC是等边三角形．求证：AE＝AF． 【解答】证明：（1）连接AD， ∵∠A＝90°，AB＝AC，点D是边BC的中点， ∴，∠C＝∠BAD＝45°， 又∵在四边形AEDF中， ∠BAC＝90°，∠EDF＝90°， ∴∠AED+∠AFD＝180°， 又∵∠CFD+∠AFD＝180°， ∴∠AED＝∠CFD， 在△AED和△CFD中， ， ∴△AED≌△CFD（AAS）， ∴ED＝FD（全等三角形对应边相等）， ∴△EDF为等腰直角三角形， ∴∠DEF＝45°（等腰直角三角形的性质）； （2）连接AD，过点D作DJ⊥AB于J，过点D作DK⊥AC于K， ∵点D是边BC的中点，△ABC是等边三角形， ∴AD平分∠BAC， ∴DJ＝KD， 又∵在等腰Rt△EDF中， ED＝FD（等腰直角三角形的性质）， ∴在Rt△EDJ和Rt△FDK中， ， Rt△EDJ≌Rt△FDK（HL）， ∴EJ＝FK（全等三角形对应边相等）， 同理可证Rt△ADJ≌Rt△ADK（HL）， ∴AJ＝AK（全等三角形对应边相等）， ∴AJ﹣EJ＝AK﹣FK， ∴AE＝AF． 7．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，E是BD上一点，EA⊥AB，且EB＝EC，∠EBC＝∠ECB． （1）如果∠ABC＝40°，求∠DEC的度数； （2）求证：BC＝2AB． 【解答】（1）解：∵BD平分∠ABC，且∠ABC＝40°， ∴∠EBC＝∠ABD∠ABC＝20°， ∵∠EBC＝∠ECB， ∴∠ECB＝20°， ∴∠DEC＝∠EBC+∠ECB＝40°， ∴∠DEC的度数是40°． （2）证明：作EF⊥BC于点F， ∵EB＝EC， ∴FB＝FC， ∵BD平分∠ABC，EF⊥BC，EA⊥AB， ∴FE＝AE，∠BFE＝∠BAE＝90°， 在Rt△FBE和Rt△ABE中， ， ∴Rt△FBE≌Rt△ABE（HL）， ∴FB＝AB， ∴BC＝2FB＝2AB． 训练5 作腰或底的平行线构等腰 过等腰三角形边上一点，作腰或者底边的平行线，利用平行线同位角、内错角相等，转移原有等腰的等角，生成新的小等腰三角形。 两种基础模型 模型1：作底边的平行线 模型2：作腰的平行线 通过平行线转移底角，构造出新等腰三角形，多用于大题线段转化、证明线段和差。 方法指导 1．如图，等边三角形ABC的边长为12，D为AC边上一动点，E为AB延长线上一动点，DE交CB于点P，点P为DE中点．若DE⊥AC，则AE＝　 　． 【解答】解：如图，过点D作DF∥AB，交BC于F， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°， ∵DF∥AB， ∴∠CDF＝∠A＝60°，∠DFC＝∠ABC＝60°，∠DFP＝∠EBP， ∴△CDF是等边三角形， ∴CD＝DF， ∵点P为DE中点， ∴PD＝PE， 在△PDF和△PEB中， ， ∴△PDF≌△PEB（AAS）， ∴DF＝BE， ∴CD＝BE， ∵DE⊥AC， ∴∠ADE＝90°， ∴∠E＝90°﹣∠A＝30°， 设BE＝x，则BE＝CD＝x，AD＝12﹣x，AE＝12+x， ∴， 解得：x＝4， ∴AE＝AB+BE＝12+4＝16， 故答案为：16． 2．如图，过边长为4的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为　 　． 【解答】解：过P作PF∥BC交AC于F． ∵PF∥BC，△ABC是等边三角形， ∴∠PFD＝∠QCD，△APF是等边三角形， ∴AP＝PF＝AF， ∵PE⊥AC， ∴AE＝EF， ∵AP＝PF，AP＝CQ， ∴PF＝CQ． ∵在△PFD和△QCD中， ， ∴△PFD≌△QCD（AAS）， ∴FD＝CD， ∵AE＝EF， ∴EF+FD＝AE+CD， ∴AE+CD＝DEAC， ∵AC＝4， ∴DE． 故答案为：2． 3．如图，在等边△ABC中，点D、E分别在BC和AC边上，以DE为边作等边△DEF，连接CF．若BD＝1，AE＝3．则CF的长是 　 　． 【解答】解：过D点作DM∥AB于M， ∴∠A＝DME＝60°，∠MDC＝∠B＝60°，∠C＝60°， ∴△DMC是等边三角形， ∴DM＝DC， ∵△DEF为等边三角形， ∴∠MDE+∠EDC＝60°，∠FDC+EDC＝60°， ∴∠MDE＝∠FDC， ∵DE＝DF，DM＝DC， ∴△MDE≌△CDF（SAS）， ∴ME＝CF， ∵BD＝1，AE＝3． ∴MA＝BD＝1， ME＝AE﹣AM＝3﹣1＝2． ∴CF＝2． 故答案为：2． 4．在△ABC中，AB＝AC，点D在射线BA上，点E在AC的延长线上，且BD＝CE．连接DE，DE与BC边所在的直线交于点F． （1）当点D在线段BA上时，如图所示，求证：DF＝EF． （2）过点D作DH⊥BC交直线BC于点H．若BC＝4，CF＝1，求BH的长是多少？ 【解答】（1）证明：过点D作DG∥AC，交BC于点G． ∴∠DGB＝∠ACB， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， ∴∠DGB＝∠B， ∴BD＝GD， ∵BD＝CE， ∴GD＝CE， ∵DG∥AC， ∴∠GDF＝∠CEF，∠DGF＝∠ECF， 在△DGF和△ECF中 ， ∴△DGF≌△ECF（ASA）， ∴DF＝EF； （2）解：如图所示，当点D在线段AB上时，过点E作EO⊥BC，交BC延长线于O， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝∠OCE， 又∵∠DHB＝∠EOC＝90°，BD＝CE， ∴△DHB≌△EOC（AAS）， ∴BH＝CO， ∴HO＝HC+CO＝HC+HB＝BC＝4， ∵∠DHF＝∠EOF＝90°，∠DFH＝∠EFO，DF＝EF（由第一小问已经证明）， ∴△DHF≌△EOF（AAS）， ∴， ∵CF＝1， ∴BH＝CO＝OF﹣CF＝2﹣1＝1； 当点D在BA的延长线上时，过点E作EO⊥BC交BC的延长线于点O， 同理可证△DHB≌△EOC，△DHF≌△EOF， ∴HO＝HC+CO＝HC+HB＝BC＝4， ∴， ∵CF＝1， ∴BH＝CO＝OF+CF＝2+1＝3； 综上所述，BH的长为1或3． 5．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BA延长线上一点，E为BC上一点，DC＝DE．（1）求证：∠BDE＝∠ACD； （2）若DE是△DBC的中线，交AC于点F，求证：DF＝EF． 【解答】证明：（1）∵DC＝DE， ∴∠DEC＝∠DCE， ∵∠DEC＝∠BDE+∠B，∠DCE＝∠ACB+∠ACD， ∴∠BDE+∠B＝∠ACB+∠ACD， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， ∴∠BDE＝∠ACD． （2）作EG∥CD交CA的延长线于点G，则∠CEG+∠DCE＝180°，∠FCD＝∠G， ∵∠BDE+∠DEC＝180°，且∠DCE＝∠DEC， ∴∠CEG＝∠BED， ∵DE是△DBC的中线， ∴CE＝BE， 在△CEG和△BED中， ， ∴△CEG≌△BED（ASA）， ∴GE＝DE， ∴DC＝GE， 在△CFD和△GFE中， ， ∴△CFD≌△GFE（AAS）， ∴DF＝EF． 6．在等边△ABC中，点D为AC的中点，点F在BC延长线上，点E在射线AB上，∠EDF＝120°． （1）如图1，当点E与点B重合时，则DE与DF的数量关系是 　 　； （2）当点E在线段AB上时，（1）中的结论是否仍然成立？请结合图2说明理由； （3）如图3，当点E在AB的延长线上时，BF＝8，BE＝2，请直接写出BC的长． 【解答】解：（1）如图1中， ∵△ABC是等边三角形，AD＝DC， ∴∠ABD＝∠CBD＝30°， ∵∠EDF＝120°， ∴∠F＝180°﹣120°﹣30°＝30°， ∴∠DBC＝∠F， ∴DE＝DF； （2）结论成立．DE＝DF． 理由：如图2中，过D作DM∥BC交AB于M点， ∵DM∥BC， ∴∠AMD＝∠ABC＝60°，∠ADM＝∠ACB＝60°， ∴△AMD是等边三角形， 则MD＝DC＝AD， ∠MDC＝∠EDF＝120°， 则∠MDC﹣∠EDC＝∠EDF﹣∠EDC， 即：∠MDE＝∠CDF， 在△MED和△CDF中， ， ∴△MED≌△CDF（ASA）， ∴DE＝DF； （3）取AB中点N，连接DN，如图3中， ∵ND＝CD，∠END＝∠DCF＝120°，∠NDE＝∠CDF， ∴△END≌△FCD（ASA）， ∴DE＝DF， ∵BEAB＝CF， ∴BF＝BC+CFBC+BE， ∴BF﹣BEBC， ∵BF＝8，BE＝2， ∴BC＝4． 7．如图，等边三角形△ABC中，D在AC上，延长BC至E，使CE＝AD，DF⊥BC于F． （1）如图1，若D是AC的中点，求证：①DB＝DE；②BF＝EF； （2）如图2，若点D是边AC上的任意一点，BF＝EF是否仍然成立？请证明你的结论； （3）如图3，若点D是边AC的延长线上任意一点，其它条件不变，（2）中结论是否仍然成立？画图并证明你的结论． 【解答】（1）证明：如图1， ①∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵D是AC的中点， ∴AD＝CD， 而CE＝AD， ∵CD＝CE， ∴∠E＝∠CDE， 而∠DCB＝∠E+∠CDE＝60°， ∴∠E＝30°， ∵DA＝DC， ∴∠DBC∠ABC＝30°， ∴DB＝DE； ②∵DF⊥BC， ∴BF＝EF； （2）BF＝EF仍然成立．理由如下： 作DM∥BC交AB于M，如图2， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝AC， ∴∠DCE＝120°， ∵DM∥BC， ∴∠AMD＝60°， ∴∠BMD＝120°，△AMD为等边三角形， ∴AD＝DM＝AM， ∵AD＝CE， ∴DM＝EC， ∴AB﹣AM＝AC﹣AD， ∴MB＝DC， 在△BMD和△DCE中 ∴△BMD≌△DCE（SAS）， ∴BD＝DE， 而DF⊥BC， ∴BF＝EF； （3）（2）中的结论仍然成立．理由如下： 如图3，作DM∥BC交AB的延长线于M， 易证△AMD为等边三角形， ∴AM＝AD＝MD，∠M＝60°， 而AB＝AC， ∴BM＝CD， ∵AD＝CE， ∴MD＝CE， ∵∠ECD＝∠ACB＝60°， ∴∠M＝∠ECD， 在△BMD和△DCE中 ∴△BMD≌△DCE（SAS）， ∴BD＝DE， 而DF⊥BC， BF＝EF． 第 1 页 共 50 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 等腰三角形五类训练（计算题专项训练） 【人教版新教材】 训练1 等腰三角形中的分类讨论思想 核心：等腰三角形边、角、高没有指定哪条是腰/底边、哪个是顶角/底角时，一定要分类，还要检验：三角形三边关系、内角和180°，很多坑会出现“无解舍去”。 什么时候必须分类讨论 ： 边不确定：已知一条边，没说它是【腰】还是【底边】 角不确定：已知一个角，没说它是【顶角】还是【底角】 高不确定：等腰三角形的高，分：内部高、外部高（钝角等腰） 方法指导 1．若等腰三角形的一个内角为50°，则它一腰上的高与底边所夹的角的度数是 　 　． 2．已知在△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的高，∠ABD＝32°，则∠C＝　 　 ． 3．已知，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交直线AC于点E，∠AED＝55°，则∠BAC＝　 　． 4．在△ABC中，AB＝AC，点D在边AC上，连接BD．若△ABD和△BCD都是等腰三角形，则∠A＝ 　 　 °． 5．在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝150°，将一块足够大的直角三角尺PMN（∠M＝90°，∠MPN＝30°）按如图所示放置，顶点P在线段AB上滑动，三角尺的直角边PM始终经过点C，并且与CB的夹角∠PCB＝α，斜边PN交AC于点D．在点P的滑动过程中，若△PCD是等腰三角形，则夹角α的大小是　 　． 6．如图，在△AOB中，OA＝OB，∠AOB＝120°，点C是平面内一点，连结AC、BC、OC，OA＝OC，直线BC与直线AO相交于点D，如果△COD是以DO为腰的等腰三角形，则∠OCB的度数为 　 　 ． 7．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是　 　． 8．如图，点O在直线l上，点A在直线l外．若直线l上有一点P使得△APO为等腰三角形，则满足条件的点P位置有 　 　个． 9．如图，已知△ABC中，AB＝3，∠B＝40°，∠C＝20°，在△ABC所在平面内一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 10．问题背景：已知，在△ABC中，AB＝AC，如果过某一顶点的直线可以将△ABC分割成两个等腰三角形，求∠A的大小．某数学学习小组的成员在自主探究后得出如下结果：①∠A＝36°，②∠A＝90°，③∠A＝108°，④∠A，你认为其中正确的结果有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 训练2 等腰三角形中的方程思想 等腰三角形有两个底角相等、两腰相等，设未知数，利用内角和180°或者周长列方程求解。 适用场景：题目给角度之间倍数、和差关系，不直接给具体度数 边长存在倍数关系，已知周长，求各边长度。 方法指导 1．如图，在△ABC中，AC＝BC，BD是角平分线，BC的垂直平分线EF交BD于点F，交BC于点E．若∠FCA＝25°，则∠A的度数为 　 　． 2．小丽从一张等腰三角形纸片ABC（AB＝AC）中恰好剪出五个如图所示的小等腰三角形，其中BC＝BD，EC＝EF＝FG＝DG＝DA，则∠B＝　 　°． 3．如图，在△ABC中，点D，E在AB上，AC＝AE，BC＝BD，若∠DCE＝20°，则∠ACB的度数为　 　 ． 4．如图，等边△ABC，E为△ABC外一点，AE＝AC，连接BE，若∠EBC＝15°，△ACE的面积等于9，则BC的长为 　 　． 5．在等腰△ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形的周长分成12和6两部分，求这个等腰三角形的腰长． 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为AC上一点，且满足AD＝BD＝BC．点F在BC延长线上，连接FD并延长，交AB于点E，连接AF，求∠BAC和∠ACB的度数． 7．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，过点A作AE⊥BD交延长线于点E．若∠BAC＝2∠DAE，求∠DAE的度数． 训练3 角平分线遇平行线构等腰 角平分线 + 平行线 → 出等腰三角形 原理：角平分线得一组等角；平行线带来内错角相等；等量代换，得到三角形两个内角相等，于是两腰相等。 两种基本图形 内错型：角平分线，一条线平行角的一边，在角内部相交，形成等腰。 外错型：角平分线，平行线往外延伸，在角外部相交，形成等腰。 方法指导 1．如图，已知△ABC．∠ABC与∠ACB的平分线OB，OC交于点O，过点O作MN∥BC，交AB，AC于点M，N．若AB＝8，AC＝7，则△AMN的周长＝　 　． 2．如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G，F．若FG＝2，ED＝4，则EB+DC的值为 　 　． 3．在△ABC中，BC＝10cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB交BC于D，PE∥AC交BC于E，则△PDE的周长是 　 　cm． 4．如图，在△ABC中，∠BAC，∠ABC的平分线交于点D，过点D作EF∥AB，分别交AC，BC于点E，F．当AE＝2，BF＝4时，EF的长为 　 　． 5．如图，在△ABC中，CD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AC于点E，BF平分∠ABC交DE于点F，若EC＝3EF＝6，则BD＝　 　． 6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为 　 　． 7．如图所示，∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的相邻外角的平分线CF相交于点F，过F作DF∥BC，交AB于D交AC于E，延长BC至M，试说明BD，CE，DE之间的数量关系． 训练4 连底边中线或作底边高线构三线合一 等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高，三条线互相重合。 前提：必须是等腰三角形，针对底边和顶角，腰上的高、腰上中线不适用！ 两种辅助线做法 作底边的高线：过顶点作底边⊥，得到高，同时也是中线、顶角角平分线。 取底边中点，连顶点（作底边中线）：得到中线，同时也是高、顶角平分线。 方法指导 1．如图，在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，D为BC延长线上一点，EC⊥AC且AC＝CE，垂足为C，连接BE，若BC＝6，则△BCE的面积为 　 　． 2．如图，已知∠AOB＝60°，点P在OA边上，OP＝8cm，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2cm，则OM＝ 　 　cm． 3．如图，在等边三角形ABC中，DE∥BC，EB＝EF．若BD＝4，BF＝8，则线段DE的长为 　 　． 4．如图，等边△ABC中，点P是CA延长线上一点，点D是BC上一点，且PB＝PD．若CP+CD＝10，BD＝3，则AB的长为 　 　． 5．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D是AB上一点，DE⊥BC于点E，EF⊥AC于点F． （1）若点D是AB的中点，求证：∠BDE∠C； （2）若∠ADE＝160°，求∠DEF的度数． 6．如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E、F分别在边AB、AC上，且DE⊥DF，连接EF． （1）如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，AB＝AC．求证：∠DEF＝45°； （2）如图2，∠DEF＝45°，△ABC是等边三角形．求证：AE＝AF． 7．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，E是BD上一点，EA⊥AB，且EB＝EC，∠EBC＝∠ECB． （1）如果∠ABC＝40°，求∠DEC的度数； （2）求证：BC＝2AB． 训练5 作腰或底的平行线构等腰 过等腰三角形边上一点，作腰或者底边的平行线，利用平行线同位角、内错角相等，转移原有等腰的等角，生成新的小等腰三角形。 两种基础模型 模型1：作底边的平行线 模型2：作腰的平行线 通过平行线转移底角，构造出新等腰三角形，多用于大题线段转化、证明线段和差。 方法指导 1．如图，等边三角形ABC的边长为12，D为AC边上一动点，E为AB延长线上一动点，DE交CB于点P，点P为DE中点．若DE⊥AC，则AE＝　 　． 2．如图，过边长为4的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为　 　． 3．如图，在等边△ABC中，点D、E分别在BC和AC边上，以DE为边作等边△DEF，连接CF．若BD＝1，AE＝3．则CF的长是 　 　． 4．在△ABC中，AB＝AC，点D在射线BA上，点E在AC的延长线上，且BD＝CE．连接DE，DE与BC边所在的直线交于点F． （1）当点D在线段BA上时，如图所示，求证：DF＝EF． （2）过点D作DH⊥BC交直线BC于点H．若BC＝4，CF＝1，求BH的长是多少？ 5．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BA延长线上一点，E为BC上一点，DC＝DE．（1）求证：∠BDE＝∠ACD； （2）若DE是△DBC的中线，交AC于点F，求证：DF＝EF． 6．在等边△ABC中，点D为AC的中点，点F在BC延长线上，点E在射线AB上，∠EDF＝120°． （1）如图1，当点E与点B重合时，则DE与DF的数量关系是 　 　； （2）当点E在线段AB上时，（1）中的结论是否仍然成立？请结合图2说明理由； （3）如图3，当点E在AB的延长线上时，BF＝8，BE＝2，请直接写出BC的长． 7．如图，等边三角形△ABC中，D在AC上，延长BC至E，使CE＝AD，DF⊥BC于F． （1）如图1，若D是AC的中点，求证：①DB＝DE；②BF＝EF； （2）如图2，若点D是边AC上的任意一点，BF＝EF是否仍然成立？请证明你的结论； （3）如图3，若点D是边AC的延长线上任意一点，其它条件不变，（2）中结论是否仍然成立？画图并证明你的结论． 第 1 页 共 50 页 学科网（北京）股份有限公司 $