专题03 等边三角形的性质与判定（专项训练）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 聚焦等边三角形性质与判定，通过6类分层题型（基础求角边→复杂多解综合→关联30°直角三角形）系统覆盖中考核心考法，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型·精准突破|6题型（各3题）|性质求角（基础）、求边（基础）、多解题（分类讨论）、多结论题（推理辨析）、性质判定综合题（综合应用）、含30°直角三角形（高频关联）|性质→判定→综合应用，从单一知识点到多知识点融合，逐步深化| |综合攻坚·知能拔高|选择5题、填空5题、解答6题|综合应用（跨知识点结合）、实际情境（传统文化）、动态问题（动点/翻折）|关联直角三角形、图形变换，构建知识网络，提升空间观念与创新意识|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03 等边三角形的性质与判定 内容概览 目常考题型精准突破 题型1根据等边三角形的性质求角（重） 题型2根据等边三角形的性质求边（重） 题型3与等边三角形有关的多解题（难） 题型4与等边三角形性质与判定的多结论题（难） 题型5等边三角形的性质和判定综合题（难） 题型6含30°角的直角三角形（高频） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1根据等边三角形的性质求角 1.120 2.75 3.60 ◆题型2根据等边三角形的性质求边 4.2 5.5 6.11 ◆题型3与等边三角形有关的多解题 7.2或6 8.90°或120°或150° 9.105°，75°，45°，15° ◆题型4与等边三角形性质与判定的多结论题 10.①②④ 1/12 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11.①②③⑤ 12.①②④ ◆题型5等边三角形的性质和判定综合题 13. 【答案】(I)证明：AB=AC,AD⊥BC, ·∠BAD=∠DAC=∠BAC. 2 .·∠BAC=120° ∴∠BAD=∠DAC=二×120°=60° .·AD=AB, ∴.△ABD是等边三角形： (2)证明：：△ABD是等边三角形， ∴.∠ABD=∠ADB=60°，AB=BD=AD :∠EDF=60°， ∴.∠ADB-∠ADE=∠EDF-∠ADE,即∠BDE=∠ADF. 在△BDE与△ADF中， [∠DBE=∠DAF=60 BD=AD ∠BDE=∠ADF ∴ABDE≌AADF(ASA)」 ∴AF=BE, .AE+AF=AE+BE=AB=AD. 14. 【答案】(1)60° (2)证明：△ABC是等边三角形，D为AB中点， CDLB,ZBCD=∠ACD=)∠ACB,ACB=∠ABC=60,AB=BC, :.∠BCD=∠ACD=30° :CE⊥BC, .∠BCE=90° 2/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠DCE=∠BCE-∠BCD=90°-30°=60°，∠ACE=∠BCE-∠ACB=90°-60°=30°： :EF∥CD,∠ACD=30°」 ∴.∠CAE=∠ACD=30°=∠ACE, .AE=CE, 在△BAE和△BCE中， (BA=BC BE=BE AE=CE ∴.aBAE≌aBCE(SSS), ∴.∠CBE=∠ABE, ∠ABC=60°， .∠CBE=30°， ∠BCD=30°， ∴.∠BGC=180°-∠CBE-∠BCD=120°， :∠CGE+∠BGC=180°， ∴∠CGE=60°， .∠DCE=60°， ∴.△CEG中，∠CGE=∠DCE=60°， ∴EG=CE, .∠DCE=60° ∴△CEG是等边三角形. 【详解】(I)解：△ABC是等边三角形，D为AB中点， .CD⊥AB, CD—∠ACB ，∠ACB=60, .∠BCD=30°， .CE⊥BC, .∠BCE=90° ∴.∠DCE=∠BCE-∠BCD=90°-30°=60°； (2)略 15. 【答案】(1) 3/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 证明：：∠BFD=∠ABE+∠BAD=60°，∠ABE=∠DAC, .∠BFD=∠BAD+∠DAC=∠BAC, ∴.∠BAC=60°， .BC=AC .△ABC为等边三角形； (2) 证明：：∠BFD=60°，BH⊥AD, .∠BHF=90°， ∠FBH=30°， .BF=2FH, △ABC为等边三角形， .∠BAE=∠C=60°，AB=AC, 又，∠ABE=∠DAC. .△ABE≌aCAD(ASA). ∴AD=BE, .'AD=BE BF+EF=2FH+EF: (3)16 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：在AG上取一点K,使KG=CG, HF=5 .BF=2HF=10 .CG∥BE,∠BFD=60°， ∠G=60° .KG=CG .△KCG为等边三角形， .∠CKG=60°，CK=CG=GK=6 4/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠AKC=120° .∠BFD=60°， .∠AFB=120°， .∠AKG=∠AFB 又：∠ABE=∠DAC,AB=AC, .△ABF≌aCAK(AAS), .AK =BF, ..AG=AK+GK=BF+GK=10+6=16 ◆题型6含30°角的直角三角形 16.16 18.6 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.B 2.A 3.B 4.D 5.c 二、填空题 6.3 7.9 8.8 9.30°30度 10.125°或110°或140° 5/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题 11 【答案】(1)60° (2) 证明：，DE垂直平分AB, E是AB的中点， ABE=AB」 2 .BE=CE, 由(1)知∠ABC=60°， ∴△BCE是等边三角形， 【详解】(I)解：：DE垂直平分AB, .DB=DA, .∠A=∠ABD, :BD平分∠ABC, .∠ABD=∠CBD. .∠ACB=90° .∠CBD+∠ABD+∠A=90°， .3∠ABD=90°， ∴.∠ABD=30° ∴.∠ABC=2∠ABD=60° (2)略 12. 【答案】（①）20 (2) 证明：，△ADE≌△CBA, .AE=AC,∠DAE=∠ACB=80°， .∠BAC=20°」 :.∠CAE=∠DAE-∠BAC=60°， :.△ACE是等边三角形. 6/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：：∠ABC=∠ACB=80°， .AB=AC,∠BAC=180°-2×80°=20°， .DE∥BC, .∠ADE=∠B, .AB=AC,DE=AC. .AB=DE, 在△ADE和△CBA中， AD=CB ∠ADE=∠CBA DE=BA .△ADE≌aCBA(AAS) .∠AED=∠BAC=20°； (2)略 13. 【答案】(1) 证明：，AB=AC,∠BAC=120°，AD⊥BC于点G, :∠BAD=∠CAD=∠BAC=60° 2 .AD=AB. .△ABD是等边三角形： (2)3 【详解】(1)略 (2)解：△ABD是等边三角形， .∠ABD=∠ADB=6O°，BD=AD, .∠EDF=60°， .∠ADB=∠EDF, 即∠BDE+∠ADE=∠ADF+∠ADE, ∴∠BDE=∠ADF, 又由(1)可得，∠EBD=∠FAD=60° .ABDE≌aADF(ASA), ∴.BE=AF, 7/12 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=10,AE=7, .AF=BE=10-7=3. 14. 【答案】(1)角平分线的性质，HL: (2)①如图， B M C ,△ABD是等边三角形， .∠BAD=60° :.∠C=90°-∠BAD=30°， AM平分∠BAC, ÷∠BAM=∠CAM=∠BAD=30°， .∠CAM=∠C .MA=MC, ∴.点M在线段AC的垂直平分线上： ②日影BC的长为6米. 【详解】(1)略 (2)解：①略 ②在Rt△ABM中，∠BAM=30°， .AM=2BM=4米， 由(1)知MA=MC=4米 .BC=BM+MC=6(米)， ∴.日影BC的长为6米。 15. 【答案】(1)证明：：△ABD与△AEC是等边三角形， :AD=AB,AC=AE,ZDAB=ZEAC=60, .∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC, 8/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即∠DAC=∠BAE, 在△BAE和△DAC中 AB=AD ∠BAE=∠DAC, AE=AC .△BAE SADAC(SAS) :.BE=DC: (2)①60°： ②3BC+BM=2AW,证明：如图，连接DC,过D作DE⊥CM,交其延长线于点E, D 是等边三角形， M 图2 △ABD ∴AB=AD, AB=AM, .AD=AM, :AC平分∠DAM, .AC⊥DM,DN=MN .AC垂直平分DM, :.CD=CM,∠ACM=∠ACD=60°， .∠DCE=60° :.∠ACD=∠ECD,即CD平分∠ECA, .DE=DN」 又，AD=BD, .RtAADNS≌RtABDE(HL). .AN=BE」 ..CD=CD RtACDERtACDN (HL). :CE=CN, 9/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在RtACMN中，∠MCN=60°，则∠CMN=30°， :.CN-1CM, 2 .CE=CN,DN=MN, CE-3CM, 2 CE=BE-BC=AN-BC. 又CM=BC+BM, 1 AN-BC-(BC+BM), 整理得2AW-2BC=BC+BM, .'.3BC+BM =2AN 【详解】解：(1)略 (2)①设∠BAM=a&, ,△ABD是等边三角形， ∴.∠DAB=60°，则∠DAM=60°+a, .AC平分∠DAM, <CM-DMw.a-0+ 2 a, 又，AB=AM, :∠ABM=∠AMB=180°-&=90-1& 2 2 又∠CAB=∠CAM-∠BAM=30°+5a-a=30°- 1 2c-w-a=0w-w-0j上6m, ②略 16. 【答案】(I)①证明：：△ABC是等边三角形， ∴.AB=BC,∠ACB=60° △MP2是等边三角形，点O与点C重合， ∴△MPC是等边三角形， ∴.PC=CM,∠PCM=60°. 10/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠PCM=∠ACB .∠PCM+∠PCB=∠ACB+∠PBM, .∠MCB=∠PCA, .AMCB≌APCA(SAS)」 :AP=BM ②2 (2)3 【详解】(1)①略 ②解：：△ABC是等边三角形， ∴.∠CAP=60°，AB=AC=BC=6. :△MCB≌PCA(SAS) .∠CBM=∠CAP=60°， ∴.BH=BC-CH=6-2=4. :MH⊥BC, .∠HMB=90°-∠CBM=30°， BH=BC-CH=6-2=4, .AP=8, .BP=AP-AB=8-6=2: (2)解：如图2， 作OD L AB于D,作射线CM,作BE⊥AM于E, :△ABC是等边三角形， ∴.∠ACB=∠A=60°，AC=AB=6 ∠AQD=90°-∠A=30,∠AP9+∠AQP=180°-∠A=120°， :.A0=2AD .AO=2BP :AD=BP, ..DP=AB-AD-BP=AB-2BP=AB-AO. CO=AC-A0=AB-A0. .DP=CO. △MPQ是等边三角形， 11/12 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠PQM=60°，QM=QP ∠CgM+∠A0P=120°， ∴.∠CQM=∠APQ. .aCQM≌DPO(SAS, ∴.∠ACM=∠PDQ=90° ∴.∠BCM=∠ACM-∠ACB=90°-60°=30°， ∴点M在与BC成30°的定直线上运动， ∴.当点M在E处时，BM最小， :B服=号4C=3 ∴.BM最小值为3. D 图2 12/12 专题03 等边三角形的性质与判定 常考题型·精准突破 题型1 根据等边三角形的性质求角（重） 题型2 根据等边三角形的性质求边（重） 题型3 与等边三角形有关的多解题（难） 题型4 与等边三角形性质与判定的多结论题（难） 题型5 等边三角形的性质和判定综合题（难） 题型6 含30°角的直角三角形（高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1根据等边三角形的性质求角 1．（25-26七年级下·上海·阶段检测）如图，在中，，是等边三角形，则___________度． 【答案】 【分析】根据等边三角形的性质可得，根据三角形的外角性质得到，，结合，推出，在中，根据三角形的内角和定理求出，即可求解． 【详解】解：是等边三角形， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 2．（25-26七年级下·上海虹口·期末）如图，已知是等边三角形，，垂足为点，点在边上，，那么的度数是____________度． 【答案】 【分析】根据等边三角形的性质得出，再根据“三线合一”的性质求出的度数，根据，结合等边对等角和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：是等边三角形， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 3．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）如图，在等边中，点D，E分别是BC，AC的中点，，点P是AD边上的一个动点，当最小时，求______°． 【答案】60 【分析】连接，，由等边三角形的性质得到，，，则可证明，故当B、P、E三点共线时，有最小值，由等边对等角可得，再由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：如图，连接，， ∵等边中，点，分别是、的中点， ，，， ∴垂直平分， ， ， ∴当B、P、E三点共线时，有最小值， ， ， ． ◆题型2 根据等边三角形的性质求边 4．（25-26八年级下·四川成都·期末）已知：如图，为等边三角形，点 P、D分别在边的延长线上，连接，若．，则______     【答案】 【分析】过点P作，交的延长线于点E，设，则，，证明为等边三角形，可得，再证明，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：过点P作，交的延长线于点E， ∵为等边三角形， ∴， ∴可设， ∵， ∴，则， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．（25-26八年级下·河南平顶山·期末）如图，点、、分别在等边的各边上，且于点，于点，于点，若，的长为________． 【答案】5 【分析】利用等边三角形内角均为的性质，结合垂直条件，推导图中三个小直角三角形的非直角内角均为和，证明为等边三角形，得到，进而证明三个小直角三角形全等，设的长度为，根据直角三角形的边长关系，将、等线段用含的表达式表示，结合的条件，列关于的方程求解． 【详解】∵是等边三角形， ∴， 又∵，，， ∴， 可得三个小直角三角形中， ∴， 同理可得， ∴是等边三角形， ∴， ∴ ∴， ∴，， 设， 则，， 在中，角对的直角边是斜边的一半， ∴， ∴ ， 解得， ∴． 6．（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，为等边三角形，，，相交于点P，于Q．已知，，则的长是________． 【答案】11 【分析】先证出，则，，进而可得，再根据含角的直角三角形的性质求出的长，由此即可得． 【详解】解：是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ◆题型3 与等边三角形有关的多解题 7．（25-26七年级下·四川成都·期末）在等边三角形中，点在直线上，点在直线上，且．若的边长为2，，则线段的长为________． 【答案】或 【分析】点在直线上，需分两种情况讨论，分别是点在线段的延长线和点在线段的延长线，过点作的垂线，利用等腰三角形三线合一，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质计算的长度． 【详解】解：当在线段的延长线上，在线段的延长线上时， 过作，垂足为点，则， ， 为的中点，即， 为等边三角形， ，， ， ， ， ， 则； 当在线段的延长线上，在线段的延长线上时， 过作，垂足为点，则， ， 为的中点，即， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 则， 综上，的值为或． 8．（25-26七年级下·江西九江·期末）在等边中，点是的中线上一点，，点是边上一点，若，则的度数为________． 【答案】 或或 【分析】根据等边三角形三线合一的性质，得到垂直平分，结合三角形内角和定理求出相关角的度数，分点在、、三种情况讨论，利用等腰三角形的性质计算的度数. 【详解】解：是等边三角形，是中线，点是上一点， ，平分，，， ， 在中，， ， ， ∴， 分三种情况讨论： ①当点在边上时， ， ， ； 当点在边上时，此时点和点重合， ∵， ； 当点在边上时， ，， ， ， ， 又， ； 综上：的度数为或或. 9．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）如图，等边，点为边的中点，为射线上一动点，连接，将沿翻折，得到．当所在直线与的边垂直时，则___________． 【答案】，，， 【分析】根据等边三角形的性质，折叠的性质，分4种情况进行讨论求解即可. 【详解】解：∵等边， ∴， ∵折叠， ∴， 当所在直线与的边垂直时，分四种情况： ①当所在直线与垂直时，如图，则， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当所在直线与垂直时，如图，则， ∴； ③当时，如图，则； ④当在的延长线上，且时，如图， 则， ∴； 综上：. ◆题型4与等边三角形性质与判定的多结论题 10．（25-26八年级下·广东梅州·期中）如图，在直线AB的同一侧作和，和都是等边三角形，连接、交于点H，下列选项正确的序号是______． ①；②；③；④连接，则平分； 【答案】①②④ 【分析】根据和都是等边三角形，得出，可判断①②，根据和边上的高相等，可判断④． 【详解】解：和都是等边三角形， ，，， ， ， ，故①正确； ， ， 又， ， 即，故②正确； 没有理由能证明，故③错误； ， 和边上的高相等，即点B到和边的距离相等， 平分，故④正确； 综上可知，正确的结论是①②④． 11．（25-26七年级下·四川达州·阶段检测）分别以的两边、向形外作等边和等边，、分别交、于点H、G，、相交于点F，连接并延长交于M点，则下列结论中正确的是______．（填序号） ①；②；③；④平分；⑤平分． 【答案】①②③⑤ 【分析】由等边三角形的性质可得，，，从而可得，再利用“”证明，即可判断①正确；由全等三角形的性质可得，即可判断②正确；由全等三角形的性质可得，再由三角形内角和定理并结合对顶角相等即可判断③正确；作于，于，则，证明，再结合角平分线的定义即可判断⑤正确；由全等三角形的性质可得，再结合三角形外角的定义及性质即可判断④错误． 【详解】解：①和都为等边三角形， ∴，，， ，即， 在和中， ， ∴，①正确； ②， ，②正确； ③， ， 又，，， ，③正确； ⑤作于，于，如图所示： 则， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ， 平分，⑤正确； ， ， ，，只有时，，而不一定等于， 不一定等于，④不正确； 综上所述，正确的有①②③⑤． 12．（25-26八年级上·四川资阳·期末）如图，为等边三角形，点D，E分别在边和上，，与交于点P，于点F，且．则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有________．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，证明，由全等三角形的性质得出，可得①②正确，无法证明，故可判断③，再根据证明，可得结论． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确， ∵，故②正确， ∵点D的位置不确定， ∴无法证明，故③错误，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，故④正确，符合题意； 所以，正确的结论是①②④． 故答案为：①②④． ◆题型5 等边三角形的性质和判定综合题 13．（24-25八年级下·广东揭阳·期中）在中，，，，垂足为，且，，其两边分别交边，于点E，F． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：． 【答案】(1)证明：， ， ， ． ， 是等边三角形； (2)证明：是等边三角形， ． ， ，即． 在与中， ， ， ． 【分析】(1) 首先由等腰三角形的性质和已知条件得出，再由，即可得出是等边三角形； (2) 由是等边三角形可得，，进而得出，然后由证明，最后可得． 【详解】（1）略 （2）略 14．（25-26七年级下·上海浦东新·期末）如图，是等边三角形，是的中点，连接，过点作，过点作，、交于点，连接、，交于点． (1)求的大小； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2)证明：是等边三角形，为中点， ，，，， ， ， ， ，； ∵，， ， ∴， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 中，， ， ∵， 是等边三角形． 【分析】（1）利用等边三角形三线合一求出，结合得到，通过角的差计算 （2）先沿用（1）的结论得到，证明得到，算出；利用三角形内角与邻补角求出，结合判定，最终证明为等边三角形． 【详解】（1）解：是等边三角形，为中点， ，，， ， ， ， ； （2）略 15．（25-26八年级上·天津西青·期末）已知中，，点，E分别在边上，和相交于点，． (1)如图①，求证：为等边三角形； (2)如图②，过点B作于点H，求证：； (3)如图③，在（2）的条件下，过点作交延长线于点，若，请直接写出线段的长． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形； (2) 证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； (3)16 【分析】本题考查等边三角形的证明性质，全等三角形的证明及性质，能够正确作出辅助线是解题关键． （1）先证，再证，进而为等边三角形； （2）先证，再证，进而； （3）在上取一点，使，求得，再证为等边三角形，再证，由即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：在上取一点，使， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． ◆题型6 含30°角的直角三角形 16．（26-27九年级上·四川达州·开学考试）如图，在中，，，的垂直平分线交和于点D，E．若，则线段的长度等于 _______ ． 【答案】 【分析】连接，根据线段垂直平分线的性质可得，从而，在中，，则，由此即可求解． 【详解】解：连接， 垂直平分， ， ， 在中，，， ， ， 在中，，， ， ， ， ． 17．（2026·四川攀枝花·中考真题）在中，是边上的中线，，则的面积为_______． 【答案】 【分析】先根据中线定义求出长度，再过作构造含角的直角三角形，利用直角三角形性质求高，最后用三角形面积公式计算面积。 【详解】解：∵是边上的中线，， ∴， 过点作于， ∴， ∵，， ∴， ∴ 18．（2026·内蒙古包头·二模）如图，左图为《天工开物》记载的用于舂（）捣谷物的工具——“碓（）”的结构简图．已知交于点与水平线相交于点，．若分米，，则点到水平线的距离为___________分米． 【答案】 【分析】作于点，求得，利用直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴，即点到水平线的距离为分米． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（2026·四川南充·中考真题）如图，等边三角形的顶点B，C分别在直线a，b上，且，若，则大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质及平行线的性质进行求解即可． 【详解】解：如图， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，已知是等边三角形，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等边三角形性质先得到，可得到是等腰三角形，然后根据等腰三角形性质得到，再通过三角形外角的性质计算出的度数即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26七年级下·宁夏银川·期末）如图，AD是等边三角形ABC的角平分线，点E是边AB的中点，点P是AD上一动点，连接PB、PE，已知，则最小值为（     ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】利用等边三角形的性质和轴对称，将转化为，根据两点之间线段最短，确定最小时的情况，进而求解． 【详解】解：连接，， ∵是等边三角形的角平分线， ∴垂直平分， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，当、、共线时，最小，即最小，最小值为的长． 又∵是中点，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴． 4．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，已知：，点、、，在射线上，点、、、，在射线上，、、、均为等边三角形．若,则的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出，，，…进而得出答案． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 、是等边三角形， ， ， ，， ，， ， ，，， 以此类推，的边长为， 的边长为， 故选：D． 5．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）如图，是的高，的平分线交于点E，过点B作，垂足为点F，交于点G．若，则下列结论中：①；②；③．所有正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】①利用等腰直角三角形的判定和性质进行求解即可； ②根据等角的余角相等得出，利用证明，然后利用角平分线的定义得出相等角，利用①的结论得出相等角，然后利用等角对等边证明即可； ③延长交于点，证明，得出，然后利用三角形边和角的关系即可得出结论． 【详解】解：①∵， ∴， ∵， ∴； 故①正确，符合题意； ②∵，是的高， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； ∵平分， ∴， ∵， ∴， 由①得， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故②正确，符合题意； ③如图所示，延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴为钝角， ∴在中，， ∴， ∴ 故③错误，不符合题意； 综上，正确选项为①②． 二、填空题 6．（25-26八年级上·广东珠海·期末）如图，等边中，是的中点，于点，，则___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质以及线段中点的定义，熟练掌握在直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 利用等边三角形的性质，得到，由，在中，求得，从而得到因为是中点，且，所以，进而推出．结合，列方程求出的长度． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 7．（25-26八年级上·天津西青·期末）如图，已知等边△中，点D是的中点，点E是延长线上一点，且，作，垂足为M，连接，若，则的长度为_______． 【答案】9 【分析】本题考查了等腰三角形与等边三角形，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是解题的关键．连接，根据等边三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质推出，从而得到为等腰三角形，利用等腰三角形三线合一的性质即可得点M是的中点，即可求解． 【详解】证明：如图，连接． ∵在等边中，点是的中点，， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 又∵， ∴点是的中点， ∴． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知是等边三角形，点在上，点在的延长线上，，交于点，，若，且，则的长为_____． 【答案】8 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30°角直角三角形的性质，过点D作交于点H．先证明，可得，求出，设，则，，然后利用含角直角三角形的性质得到，然后代入求解即可． 【详解】解：如图，过点D作交于点H． ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8． 9．（25-26九年级上·山东聊城·阶段检测）如图，在中，，点D，E分别在边，上，连接、，与交于点F，过点B作于点G．若，则的度数为___． 【答案】/30度 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形外角的性质，等边三角形的判定和性质，关键是由全等三角形的性质推出，，由三角形外角的性质得到． 由全等三角形的性质推出，，判定是等边三角形，得到，由三角形外角的性质得到，由直角三角形的性质求出． 【详解】解：， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 10．（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，点是等边内一点，，等于，点是等边外一点，，，连接．则当的度数为_______时，是等腰三角形． 【答案】 或或 【分析】先证和为等边三角形，用证，推导出的三个内角，再分三种等腰情况列方程，求出的度数为、或． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴ 即：， 在和中， ∴， ∴， ∵ ∴， ， 由三角形内角和得： 等腰三角形，分三种情况： 若：则，即，解得； 若：则，即，解得； 若：则，即，解得 综上，的度数为、或． 三、解答题 11．（25-26八年级下·广东茂名·阶段检测）如图，在Rt中，，的垂直平分线交于点，交于点，平分． (1)求的度数； (2)连接，且，求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2) 证明：∵垂直平分， ∴是的中点， ∴， ∵， ∴， 由（1）知， ∴是等边三角形． 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得出，可得，根据角平分线的定义可得，进而得出，可得； （2）根据是的中点得出，根据得出，结合即可证明是等边三角形． 【详解】（1）解：∵垂直平分， ∴， ∴， 平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）略 12．（25-26八年级上·天津滨海新区·期末）如图，在中，，D是上一点，且，且，连接、、． (1)求的度数； (2)证明：是等边三角形． 【答案】(1) (2) 证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 【分析】（1）根据等角对等边、三角形内角和定理和两直线平行同位角相等，求得和利用“”证得，然后根据全等三角形对应角相等即可解答； （2）根据全等三角形对应边和对应角相等，求得，再根据有一个内角是的等腰三角形为等边三角形即可证得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）略 13．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，于点，且，，分别是边，上的点，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵，，于点， ∴， ∵， ∴是等边三角形； (2) 【分析】（）由等腰三角形的性质可得，进而即可求证； （）证明，得到，再根据已知条件即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， 又由（）可得，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 14．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）【传统文化】“立表测影”是中国天文传统之一，当用来观察季节或时间时，首先“立表”，确保“表”不偏不倚，其次是放置与之垂直的主尺，最后是观察正午日影在圭尺上“勾”出的日影长度，由此判断季节或时间．如图，“表”与“圭”垂直，冬至时节“表”的日影最长（的长），某一节气，光线平分，为上一点，连接，． (1)若，下面是小明证明的过程，依据是___________，依据是___________； 证明：∵平分，，，∴（依据） 在和中，，（依据） (2)若为等边三角形． 说明点在线段的垂直平分线上； 已知日影的长为米，求日影的长． 【答案】(1)角平分线的性质，； (2)如图， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上； 日影的长为米． 【分析】（）由角平分线的性质可得，然后通过“”即可求证； （）由是等边三角形，可得，则，通过角平分线的定义可得，所以，从而得，然后通过垂直平分线的判定即可求证； 通过角所对直角边是斜边的一半即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：略 在中，， ∴米， 由（）知米， ∴（米）， ∴日影的长为米． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的判定，角平分线的定义，直角三角形的性质等知识点，掌握知识点的应用是解题的关键． 15．（25-26八年级上·广东珠海·期末）【探究感悟】 （1）如图1，，都是等边三角形，求证：． 【迁移应用】 （2）如图2，若是等边三角形，，平分，； ①求的度数； ②试判断、、之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）证明：∵与是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在和中 ， ∴， ∴； （2）①； ②，证明：如图，连接，过D作，交其延长线于点E， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴，即平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，则， ∴， ∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， 整理得， ∴． 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． （1）利用边角边易证； （2）①设，则，再求出，利用外角性质即可得解； ②连接，过D作，交其延长线于点E，易证，，分别证、，可得，，再根据直角三角形性质求解即可． 【详解】解：（1） 略 （2）①设， ∵是等边三角形， ∴ ，则， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴； ② 略 16．（24-25八年级上·福建福州·期中）已知是边长为6的等边三角形，点P在射线上运动，点Q在线段上运动，连接，以为边向右作等边，连接． (1)如图1，当点Q与点C重合，点P在点B右侧时， ①求证：； ②过点M作于H，且，求线段的长； (2)如图2，当点Q与点C不重合，点P在点B左侧，且时，求线段的最小值． 【答案】(1)①证明：是等边三角形， ， 是等边三角形，点Q与点C重合， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ； ②2 (2)3 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质、直角三角形两锐角互余、垂线段最短等知识，通过作辅助线构造全等三角形、确定点的运动路径是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何推理和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． （1）①可证得，从而得出结果； ②根据题意证明，求出，根据三角函数计算出，即可得到答案； （2）作于D，作射线，作于E，，从而得出，从而得出，故点M在与成的定直线上运动，进一步得出结果． 【详解】（1）①略 ②解：是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图2， 作于D，作射线，作于E， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 点M在与成的定直线上运动， 当点M在E处时，最小， ， 最小值为3． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03 等边三角形的性质与判定 内容概览 目常考题型精准突破 题型1根据等边三角形的性质求角（重） 题型2根据等边三角形的性质求边（重） 题型3与等边三角形有关的多解题（难） 题型4与等边三角形性质与判定的多结论题（难） 题型5等边三角形的性质和判定综合题（难） 题型6含30°角的直角三角形（高频） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1根据等边三角形的性质求角 1.(25-26七年级下·上海阶段检测)如图，在△ABC中，∠BAD=∠C,△ADE是等边三角形，则 ∠BAC= 度 B D 2.(25-26七年级下·上海虹口期末)如图，已知△ABC是等边三角形，BD⊥AC,垂足为点D,点F在 边BC上，BF=BD,那么∠BDF的度数是 度 3.(25-26八年级上湖北十堰期末)如图，在等边△ABC中，点D,E分别是BC,AC的中点， AD=8cm,点P是AD边上的一个动点，当PC+PE最小时，求∠CPE=°. 1/11 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B ◆题型2根据等边三角形的性质求边 4.(25-26八年级下四川成都期末)已知：如图，△ABC为等边三角形，点P、D分别在边BA、BC的延 AB_2 AC 长线上，连接PC,PD,若PC=PD·AP3,则CD P 5.(25-26八年级下河南平顶山期末)如图，点P、M、N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于 点P,MN⊥BC于点M,PN⊥AC于点N,若AB=lScm,CM的长为 cm B M 6.(26-27八年级全国暑假作业)如图，△ABC为等边三角形，AE=CD,AD,BE相交于点P, B0⊥AD于Q.已知P=45,PE=2,则AD的长是 ◆题型3与等边三角形有关的多解题 7.(25-26七年级下四川成都期末)在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且 ED=EC.若△ABC的边长为2，AE=4,则线段CD的长为， 2111 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.(25-26七年级下江西九江期末)在等边△ABC中，点E是△ABC的中线AD上一点，∠AEB=105°， 点P是△ABC边上一点，若BE=EP,则∠BEP的度数为 9.(25-26七年级下江苏无锡期未)如图，等边△ABC,点D为边AC的中点，E为射线AB上一动点， 连接DE,将△ADE沿DE翻折，得到△ADE.当A'E所在直线与△ABC的边垂直时，则∠AED= D ◆题型4与等边三角形性质与判定的多结论题 10.(25-26八年级下·广东梅州期中)如图，在直线AB的同一侧作△ABD和△BCE,△ABD和△BCE都是 等边三角形，连接AE、CD交于点H,下列选项正确的序号是 ①AE=DC:②∠DHA=6O°：③DH=HC:④连接HB,则HB平分∠AHC: D B 11.(25-26七年级下·四川达州阶段检测)分别以△ABC的两边AB、AC向形外作等边△ABD和等边 △ACE,BE、CD分别交AC、AB于点H、G,BE、CD相交于点F,连接AF并延长交BC于M点，则 下列结论中正确的是 .(填序号) ①△ADC≌△ABE;②BE=CD;③∠DFB=60°；④AM平分∠BAC;⑤FM平分∠BFC. B M 12.(25-26八年级上四川资阳期末)如图，△ABC为等边三角形，点D,E分别在边AC和AB上， AE=CD,CE与BD交于点P,BF⊥CE于点F,且AP⊥BP.则下列结论：①∠ACE=∠CBD;② 3111 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠BPE=60°；③AD=2CD:④△APB≌△BFC.其中正确的结论有 (填序号) E ◆题型5等边三角形的性质和判定综合题 13.(24-25八年级下'广东揭阳期中)在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，AD1⊥BC,垂足为G,且 AD=AB,∠EDF=60°，其两边分别交边AB,AC于点E,F. (I)求证：△ABD是等边三角形： (2)求证：AE+AF=AD 14.(25-26七年级下·上海浦东新期末)如图，△ABC是等边三角形，D是AB的中点，连接CD,过点 C作CE⊥BC,过点A作EF∥CD,CE、EF交于点E,连接DF、BE,BE交CD于点G. E D B (1)求∠DCE的大小： (2)求证：△CEG是等边三角形. 15.(25-26八年级上·天津西青·期末)己知△ABC中，BC=AC,点D,E分别在边BC,AC上，AD和 BE相交于点F,∠ABE=∠DAC,∠BFD=6O° G 图① 图② 图③ 4/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)如图①，求证：△ABC为等边三角形： (2)如图②，过点B作BH⊥AD于点H,求证：AD=EF+2FH; 3)如图③，在(2)的条件下，过点C作CG∥BE交AD延长线于点G,若CG=6,HF=5,请直接写出线 段AG的长. HF=5 ◆题型6含30°角的直角三角形 16.(26-27九年级上四川达州开学考试)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB的垂直平分 线交AB和AC于点D,E.若CE=8,则线段AE的长度等于 D B 17.(2026四川攀枝花中考真题)在△ABC中，AD是BC边上的中线，AB=2,BC=6,∠B=30,则 △ABD的面积为 30° D 18.(2026内蒙古包头·二模)如图，左图为《天工开物》记载的用于春(chong)捣谷物的工具一一“碓 (d山？)”的结构简图.已知AB交CD于点B,AB与水平线I相交于点O,OE⊥1.若OB=12分米， ∠BOE=60°，则点B到水平线I的距离为 分米 E 5111 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1,(2026四川南充中考真题)如图，等边三角形ABC的顶点B,C分别在直线a,b上，且a‖b,若 ∠a=40°，则2B大小为() C A.95° B.100° C.105 D.110° 2.(25-26七年级下·陕西西安·阶段检测)如图，己知△ABC是等边三角形，BC=BD,∠CBD=70°，则 ∠1的度数是() D A.85° B.80° C.75 D.70° 3.(25-26七年级下宁夏银川期末)如图，AD是等边三角形ABC的角平分线，点E是边AB的中点，点 P是AD上一动点，连接PB、PE,已知AD=6,则PB+PE最小值为() D A.3 B.6 C.9 D.12 4.(25-26七年级下四川成都期中)如图，已知：∠MON=30°，点A、4,、4,在射线ON上，点B、 B、B,、,在射线OM上，△4B4,、△4B,4、△4B,A、…均为等边三角形.若OA=1,则△4，B4 的边长为() 6/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B, B O A A2 A3 A.80 B.64 C.48 D.32 5.(25-26七年级下·江苏泰州期末)如图，AD是△ABC的高，∠CAD的平分线AE交BC于点E,过点B 作BF⊥AE,垂足为点F,交AD于点G.若AF=BF,则下列结论中：①∠ABF=45°：② AG+CE=BC:③AC<BG+2GF.所有正确结论的个数是() G日F D A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题 6.(25-26八年级上广东珠海期末)如图，等边△ABC中，F是AB的中点，EF⊥AC于点E,EC=2, 则AE=」 E B 7.(25-26八年级上·天津西青·期末)如图，已知等边△ABC中，点D是AC的中点，点E是BC延长线 上一点，且CE=CD,作DM⊥BC,垂足为M,连接DE,若AB=12,则BM的长度为 B E MC 8.(25-26八年级上·黑龙江牡丹江期末)已知△ABC是等边三角形，点D在AB上，点E在BC的延长线 上，AD=CE,DE交AC于点F，,DG⊥AC,若DE⊥AB,且FG=3,则BE的长为一· 7111 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G D E 9.(25-26九年级上山东聊城阶段检测)如图，在△ABC中，∠C=60°，点D,E分别在边AC,BC上， 连接BD、AE,BD与AE交于点F,过点B作BG⊥AE于点G.若△ABD≌△CAE,则∠FBG的度数为 D G E C 10.(25-26八年级下·山东青岛期中)如图，点0是等边△ABC内一点，∠A0B=110°，∠B0C等于x, 点D是等边△ABC外一点，∠OCD=60,OC=CD,连接ODAD.则当a的度数为时，△AOD 是等腰三角形， D B 三、解答题 11.(25-26八年级下·广东茂名阶段检测)如图，在RtAABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线交AC 于点D,交AB于点E,BD平分∠ABC. (1)求∠ABC的度数： (②连接CE,且CE-=4B,求证：ABCE是等边三角形. 2 12.(25-26八年级上·天津滨海新区期末)如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB=80°，D是AB上一点， 8/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 且AD=BC,DE∥BC且DE=AC,连接AE、CE、CD (I)求∠AED的度数： (2)证明：△ACE是等边三角形. 13.(25-26八年级下陕西西安期中)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，AD⊥BC于点G, 且AD=AB,E,F分别是边AB,AC上的点，且∠EDF=60° D (1)求证：△ABD是等边三角形： (2)若AB=AC=10,AE=7,求AF的长 14.(25-26八年级上河北邯郸期末)【传统文化】“立表测影”是中国天文传统之一，当用来观察季节 或时间时，首先“立表”，确保“表”不偏不倚，其次是放置与之垂直的主尺，最后是观察正午日影在圭 尺上“勾”出的日影长度，由此判断季节或时间.如图，“表”AB与“圭”BC垂直，冬至时节“表” AB的日影最长(BC的长)，某一节气，光线AM平分∠BAC,D为AC上一点，连接MD,BD. 土圭(u)是最吉老的计 时仪器，用太阳投影的长 B M 短变化，来测定节气. (I)若MD⊥AC,下面是小明证明△ABM≌aADM的过程，依据1是 依据2是 证明：：AM平分∠BAC,MD⊥AC,MB⊥AB,DM=BM(依据1) 「AM=AM R△MBM利RIAADM中，BM=DM'RtAABM≌R△ADM (依据2） (2)若△ABD为等边三角形. 9111 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①说明点M在线段AC的垂直平分线上； ②已知日影BM的长为2米，求日影BC的长. 15.(25-26八年级上广东珠海期末)【探究感悟】 D M 图1 图2 (1)如图1，△ABD,△AEC都是等边三角形，求证：BE=DC. 【迁移应用】 (2)如图2，若△ABD是等边三角形，AB=AM,AC平分∠DAM,∠BAM<60°： ①求∠C的度数： ②试判断AW、BC、BM之间的数量关系，并证明. D A 是等边三角形， M 图2 △ABD .'AB=AD, AB=AM, ∴.AD=AM, :AC平分∠DAM, .AC⊥DM,DN=MN, .AC垂直平分DM, .CD=CM,∠ACM=∠ACD=60°， ∴.∠DCE=60°」 .∠ACD=∠ECD,即CD平分∠ECA, .DE =DN, 又，AD=BD, 10/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .'RtAADNRtABDE(HL), .AN=BE, .CD=CD ..RtACDESRtACDN (HL. .'.CE=CN, 在RtACMN中，∠MCN=60°，则∠CMN-30°， .CN-C CE=CN,DN MN, ..CE-CM ·CE=BE-BC=AN-BC, 又.CM=BC+BM, AN-BC-(BC BM 整理得2AN-2BC=BC+BM, ..3BC+BM =2AN 16.(24-25八年级上·福建福州：期中)已知△ABC是边长为6的等边三角形，点P在射线AB上运动，点 Q在线段AC上运动，连接PO,以PO为边向右作等边△POM,连接BM. M c(O) H B 图1 图2 (I)如图1，当点Q与点C重合，点P在点B右侧时， ①求证：AP=BM; ②过点M作MH⊥CB于H,且CH=2,求线段BP的长： (2)如图2，当点O与点C不重合，点P在点B左侧，且A0=2BP时，求线段BM的最小值. 11/11