专题02 等腰三角形的性质与判定（专项训练）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 聚焦等腰三角形性质与判定，通过6类分层题型构建从基础应用到综合攻坚的训练体系，强化几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型·精准突破|6类题型（含求角、求边等）|基础题型聚焦性质直接应用，难点题型突出分类讨论与多结论验证|以性质（等边对等角、三线合一）为起点，逐步过渡到判定（等角对等边），形成“性质应用-判定推理-综合迁移”的逻辑链| |综合攻坚·知能拔高|选择/填空/解答题（含动态几何、折叠问题）|结合图形变换与实际情境，考查知识综合应用与创新思维|整合性质判定与轴对称、垂直平分线等知识，体现从单一知识点到跨模块综合的拓展|

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02 等腰三角形的性质与判定 内容概览 目常考题型精准突破 题型1根据等腰三角形的性质求角（重） 题型2根据等腰三角形的性质求边（高频） 题型3与等腰三角形有关的多解题（难） 题型4与等腰三角形性质与判定的多结论题（难） 题型5根据等腰三角形三线合一进行求解与证明（难） 题型6等腰三角形的性质和判定综合应用（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1根据等腰三角形的性质求角 1.(25-26七年级下陕西咸阳阶段检测)已知在△ABC中，AB=BC,∠A=45°，则∠B的度数为° 2.(26-27八年级上湖北武汉开学考试)如图，在△ABC中，AB=AC,AD=AE,∠BAD=40°，则 ∠EDC= 3,(25-26七年级下陕西咸阳阶段检测)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=130°，DA⊥AC交BC 于点D,则∠ADC的度数为. A ◆题型2根据等腰三角形的性质求边 4.(25-26八年级上河北期末)如图是屋架设计图的一部分，立柱BC垂直于横梁AD,AB=BD, 1/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠ABD=120°，BC=4m,则AB的长度为 m B D 5.(26-27八年级上全国开学考试)如图，己知∠A0B=60°，点P在边OA上，OP=8,点M,N在边 OB上，PM=PN.若MN=2,则OM的长是一· y P 060 M N B 6.(25-26七年级下山东济南期末)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,BD平分∠ABC,过点 C作CE⊥BD于点E,CE=6,则BD= A D ◆题型3与等腰三角形有关的多解题 7.(25-26七年级下·辽宁锦州期末)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=150°，△AED和△ABD关于 直线AD对称，∠EAC的平分线交BC于点F,连接EF,当△DEF为等腰三角形时，∠EDF的度数为 H 8.(2026辽宁丹东模拟预测)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=12,D为BC上一点， 连接AD,过点A作AE⊥AD,取AE=AD,连接BE交AC于F.当△AEF为等腰三角形时，CD= 2/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 9.(2026:河北沧州：三模)如图，在△ABC中，∠ACB=120°，AC=BC.己知∠MPN的顶点P是线段 AB上一点，PM经过顶点C,PN与AC交于点D,∠MPN=30°，当△CDP是等腰三角形时，∠PCB的 度数为 ◆题型4与等腰三角形性质与判定的多结论题 10.(25-26七年级下四川成都期末)如图，A,B,D在同一直线上，∠CAB的平分线与∠CBD的平分 线交于点E,BC=BD,EFI‖AC分别交AB于点F,交BC于点G,连接EC,ED.有以下结论：① AF=EF；②△CDE是等腰三角形：③LGCE=∠GEC;④EC=EF.其中正确结论的序号有 B 11.(25-26八年级上山东聊城阶段检测)如图，在△ABC中，AB=AC,BD为AC边上的高，BE平分 ∠ABD,点F在BD上，连接EF并延长交BC于点G,若BG=EG,∠A=2∠DEF,有下列结论：① ∠DEF=∠CBD:②∠ABE+∠CBD=45°：③EG⊥BC;④BF=CE.其中正确的结论有 .(填 序号) A E D G 12.(25-26八年级下山东青岛期中)如图，在等腰△ABC中，∠BAC=45°，AB=AC,AD⊥BC, BE⊥AC,AD,BE交于点F,点H为AB中点.连接EH交AD于点G.下列说法正确的有： 3/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (只填写序号). ①△ABE是等腰直角三角形；②△AEF≌aBEC;③AG=DG;④EG=EF:⑤若DG=3,则AF=6. G D ◆题型5根据等腰三角形三线合一进行求解与证明 13.(25-26七年级下·陕西咸阳阶段检测)如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线交AC于点D,边 BC的垂直平分线2交AC于点E(点E在点D右侧)，直线马与直线2相交于点F,过点F作FM⊥AC 于点M,连接BF,AF,CF,BE,BD. F (1)若∠ABC=113°，求∠DBE的度数； (2)若△BDE的周长为24，求AM的长. 14.(25-26七年级下·福建福州期末)在四边形ABDC中，点F在边AB上，DF=CD,连接CF, DE⊥CF于E,连接AD交CF于点M, B D M E (I)求证：FE=CE: (2)若∠B=90°，∠AFD+∠ACD=180°，求证：∠DAB=∠DAC: (3)在(2)的条件下，若AC=6BF,ME=1,求MF. 15.(25-26七年级下·四川成都期末)已知，在△ABC中，∠ACB=90°，CD1AB于点D,E是AB上一 点，满足：CA=CE;将CE绕点E顺时针旋转90°，交CB于点F. 4/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 (1)如图1， ①试说明：FE=FB: ②若EC=EF,请探究EB与CD的数量关系，并说明理由： SAcE的值， (②如图2，若B是线段AB的中点，求Sm ◆题型6等腰三角形的性质和判定综合应用 16.(25-26八年级下·陕西咸阳阶段检测)如图，在△ABF中，点D、C在BF上，连接AD、AC, ∠I=∠2，∠3=∠4，过点F作EF⊥AD于E 3 B 14 D (I)求证：△ADF是等腰三角形； (2)求证：AE=DE 17.(25-26八年级下·广东梅州期中)如图1，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=40°，∠ABC的平分线 BD交边AC于点D. 图1 图2 (I)求证：△BCD为等腰三角形. (2)若∠BAC的平分线AE交边BC于点E,如图2，求证：BD+AD=AB+BE. (3)若△ABC的外角平分线AE交CB的延长线于点E,请你探究(2)中的结论是否仍然成立.若成立，请 证明：若不成立，直接写出正确的结论。 18.(26-27八年级上四川达州开学考试)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,边CA沿着过点 5/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A的某条直线对折得到DA,连接CD,以CD为边在左侧作△CDE,其中∠CDE=9O°，CD=DE,AD 与CE交于点F,连接BD D (图1) (图2) (图3) (1I)如图1，连接AE,当点D在△ABC外部时，试说明△ADE≌△BCD; (2)如图2，连接AE,当点D在△ABC的斜边AB上时，试判断△AEF的形状并说明理由： (3)如图3，当点D在△ABC的内部时，若点F为AD的中点，且EF=2,求BD的长. 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1.(26-27九年级上福建福州开学考试)如图，△ABC中，AB=AC,D是BC的中点，下列结论不正确 的是() D A.∠B=∠C B.AD⊥BC C.AD平分∠BAC D.AB=2BC 2.(25-26七年级下陕西咸阳期末)如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,AD,CE分别是△ABC的 中线和高，己知∠ACE=40°，则∠BAD的度数为() D A.35° B.30° C.25 D.20° 6/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(25-26八年级下广东深圳期末)如图，已知屋顶的主桁架△ABC是等腰三角形，AB=AC, ∠A=7O°，点D是桁架AB边上的一点，为了加固屋檐，延长CB至点E,使得BD=BE,则∠E的度数是 () D B A.22.5° B.25 C.27.5 D.35 4.(25-26七年级下辽宁朝阳期末)如图，在△ABC中，AB=AC,BC=4,其面积为12，AC的垂直 平分线EF分别交AB,AC边于点E,F,若点D为BC边的中点，点P为线段EF上的一个动点，则 △PCD周长的最小值为() A.12 B.10 C.8 D.6 5.(25-26七年级下山东东营期未)已知：△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°， AB=AC,AD=AE,C、D、E三点共线，连接BD、BE.给出四个结论：①BD=CE;② ∠ACE+∠DBC=45°：③BD⊥CE:④BE=AE+AC其中正确的结论个数是() E A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题 6.(25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测)如图，在等边△ABC中，AD是△ABC的角平分线，若AB=2, 则CD的长为 7/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D 7.(2026广东佛山三模)如图，在△ABC中，AB=AC,BC=10cm,点D在AC上，CD=4cm.将线 段CD沿着CB的方向平移4cm得到线段EF,点E,F分别落在边AB,BC上，则△EBF的周长为 cm 8.(25-26七年级下山西太原期末)如图，在三角形纸片ABC中，AB=AC,点D在边BC上（点B, D不重合，CD>BD),将△ACD沿AD折叠后得到△AED,DE交AB于点F.若AD=AF, ∠BAC=72°，则∠CAD的度数为 9.(25-26七年级下·上海宝山期末)如图，△ABC中，AB=AC=10,BC=12,AD=8,AD⊥BC, E、F分别为AC、AD上两动点，连接CF,EF,则CF+EF的最小值为 B D 10.(25-26七年级下·辽宁沈阳期末)已知△ABC为等腰三角形，且AB=AC,BD为腰AC边的高，BE 为∠ABC的角平分线，若∠DBE=30°，则∠A的度数为 三、解答题 11.(25-26七年级下·江西吉安期末)如图，△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AC于P点. 8/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)若∠A=35°，求∠PBC的度数 (2)若AB=5cm,BC=3cm,求△PBC的周长. 12.(25-26八年级下·河南平顶山期末)如图，在△ABC中，AB=AC,点D,E,F分别在边 AB,BC,AC上，且BE=CF,BD=CE. B E (I)求证：△DEF是等腰三角形： (②)如果∠DEF=70°，求∠A的度数. 13.(25-26七年级下山东泰安期末)在R1△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，点O为AB的中点， ∠EOF=90°，∠EOF两边分别交AC,BC于E,F两点. 图1 图2 (1)如图1，当点E,F分别在边AC和BC上时，求证：OE=OF: (2)如图2，当点E,F分别在AC和CB的延长线上时，连接EF,OE=4,求△EOF的面积 14.(25-26七年级下甘肃兰州期末)【问题呈现】 在△ABC中，AB=AC,点D是直线BC上一点（不与点B,C重合），以AD为一边在AD的右侧作 △ADE，,使∠DAE=∠BAC,AD=AE,连接CE. 9/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B D 图① 图② 图③ (1)如图①，当点D在线段BC上时，若∠DAE=∠BAC=90° ①判断△ABD与△ACE是否全等？并请说明理由. ②求∠BCE的度数， (2)【知识应用】如图②，当点D是BC的中点时，AE与BC平行吗？ (③)【拓展延伸】设LBAC=a,∠BCE=B,如图③，当点D在线段BC上移动时，问a,B之间有怎样的 数量关系？说明理由 15.(25-26七年级下·陕西咸阳阶段检测)【综合与探究】 B B 图1 图2 图3 (1)在△AOB和△COD中，OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD,连接AC,BD ①【模型呈现】如图1，A,O,D三点共线，试判断AC与BD的数量关系，并说明理由： ②【模型应用】如图2，设AC,BD相交于点P,AC,OB相交于点Q,若∠AOB=50°，求∠APD的度 数； (2)【拓展延伸】如图3是某公园的局部平面示意图，已知△AOB和△COD为等腰直角三角形， ∠AOB=∠COD=90°，OA=OB,OC=OD,AC,BD为公园内的两条小路，现公园规划部门决定在小路 AC和BD上分别取点M,N,且满足点M,N分别是AC,BD的中点，在△OMN区域修建一个喷泉，根 据设计要求需满足△OMN为等腰直角三角形.请问按照上述作法，公园的规划能否实现？并证明你的结 论 10/10 专题02 等腰三角形的性质与判定 常考题型·精准突破 题型1 根据等腰三角形的性质求角（重） 题型2 根据等腰三角形的性质求边（高频） 题型3 与等腰三角形有关的多解题（难） 题型4 与等腰三角形性质与判定的多结论题（难） 题型5 根据等腰三角形三线合一进行求解与证明（难） 题型6 等腰三角形的性质和判定综合应用（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1根据等腰三角形的性质求角 1．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）已知在中，，，则的度数为_____°． 【答案】 【分析】根据两条边相等，可知为等腰三角形，已知的度数，可得到的度数，再利用三角形内角和计算的度数即可． 【详解】解： 在中，， ， ． 2．（26-27八年级上·湖北武汉·开学考试）如图，在中，，，，则________． 【答案】/度 【分析】设，，则有与，联立方程解方程组即可． 【详解】解：依题意，设，， ①， ②， 由得， ∴． 3．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，，交于点，则的度数为_____°． 【答案】65 【分析】由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，再由，根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，即， ∴． ◆题型2 根据等腰三角形的性质求边 4．（25-26八年级上·河北·期末）如图是屋架设计图的一部分，立柱垂直于横梁，，，，则的长度为______m． 【答案】8 【分析】利用等边对等角得出，再结合30度角所对的直角边等于斜边一半求解即可． 【详解】解：，， ， ， 在中，， ， ． 5．（26-27八年级上·全国·开学考试）如图，已知，点P在边上，，点M，N在边上，．若，则的长是____． 【答案】3 【分析】过P作于点D，则，从而得到，根据含角的直角三角形的性质求出，根据等腰三角形的“三线合一”求出，从而根据线段的和差即可求解． 【详解】解：如图，过P作于点D， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∵，，， ∴， ∴． 6．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，平分，过点作于点，，则_____________． 【答案】12 【分析】延长交的延长线于点F，证，得，再证，得，然后由等腰三角形的性质得，即可得出结论． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点F， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ◆题型3 与等腰三角形有关的多解题 7．（25-26七年级下·辽宁锦州·期末）如图，在中，，，和关于直线对称，的平分线交于点，连接，当为等腰三角形时，的度数为________． 【答案】或或 【分析】令，根据轴对称的性质及三角形的外角定理用表示出三个内角的度数，再对等腰进行分类讨论即可解决问题． 【详解】解：∵， ， 令， ∵和关于直线对称， ， ， ，且平分， ， ， ， ∵，，， ∴， ∴， ， ∴， ， 当时，，即， 解得：， ； 当时，； 当时，； 综上所述，的度数为：或或． 8．（2026·辽宁丹东·模拟预测）如图，在中，，，为上一点，连接，过点作，取，连接交于．当为等腰三角形时，______． 【答案】或 【分析】分两种情形：当时，如图，过点作于，证明，可得结论；当时，如图，点与重合，此时． 【详解】解：当时，如图，过点作于． ，， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ∵， ∴． 在和中， ， ， ， ， ； 当时，如图，点与重合，此时． 综上所述，满足条件的的长度为或． 9．（2026·河北沧州·三模）如图，在中，，．已知的顶点是线段上一点，经过顶点，与交于点，，当是等腰三角形时，的度数为________． 【答案】或 【分析】分、 、三种情况即可求解． 【详解】当时，如下图： ，， ， ， 当时，如下图： ，， ， ， ； 当时，此时点P与点B重合，点D与点A重合，， 题干要求，故该情况不存在． 综上，的度数为或． ◆题型4与等腰三角形性质与判定的多结论题 10．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，，，在同一直线上，的平分线与的平分线交于点，，分别交于点，交于点，连接，．有以下结论：①；②是等腰三角形；③；④．其中正确结论的序号有_______． 【答案】①②③ 【分析】证明即可判断①；证明即可判断②；过点E作于点M，，交的延长线于点N，于点H，证明，，即可判断③；证明与不相等，与不相等，即可判断④． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，故②正确； 如图，过点E作于点M，，交的延长线于点N，于点H， ∵平分，平分，，， ∴， 又∵， ∴平分， ∴， 又∵， ∴， ∴ ，故③正确； ∵与不平行， ∴与不相等， ∵， ∴， ∴与不相等， ∴与不相等，即与不相等，故④错误， 综上可知，其中正确结论的序号有①②③． 11．（25-26八年级上·山东聊城·阶段检测）如图，在中，，为边上的高，平分，点F在上，连接并延长交于点G，若，，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有________．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】过点作于点，证明，得出，说明，判断③正确；根据，得出，证明，判断①正确；证明，得出，判断④正确；证明，根据，得出，判断②正确． 【详解】解：过点作于点，如图所示： ，， ，，， ， ， ， ， ， ，故③正确； 为边上的高， ， ， ， ， ， ，故①正确； 在和中， ， ， ，故④正确； ，， ， 平分， ， ，故②正确； 综上分析可知，①②③④正确． 12．（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，在等腰中，，，，，，交于点，点为中点．连接交于点．下列说法正确的有：________（只填写序号）． ①是等腰直角三角形；②；③；④：⑤若，则． 【答案】①②④⑤ 【分析】根据，，可直接判断①，利用可证明即可判断②，利用垂直平分线的判定和性质结合直角三角形三边关系可判断③，利用三角形内角和定理以及等角对等边可判断④，利用等腰直角三角形的判定和性质可判断⑤． 【详解】解：∵，， ∴是等腰直角三角形，故①正确， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 又，， ∴，故②正确； 连接， ∵是等腰直角三角形，点为中点． ∴， ∴垂直平分， ∴， 在中，， ∴，故③错误， ∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故⑤正确， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确， 综上：①②④⑤正确． ◆题型5 根据等腰三角形三线合一进行求解与证明 13．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点（点在点右侧），直线与直线相交于点，过点作于点，连接，，，，． (1)若，求的度数； (2)若的周长为24，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据垂直平分线的性质可得，，进而可得，，根据三角形内角和定理确定，易得，进而求解即可； （2）首先根据垂直平分线的性质可得，，，结合“的周长为24”可得，进而可得，即，然后根据等腰三角形“三线合一”的性质，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵直线垂直平分，直线垂直平分， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）∵直线垂直平分，直线垂直平分， ∴，，， ∵的周长为24， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 14．（25-26七年级下·福建福州·期末）在四边形中，点F在边上，，连接，于E，连接交于点M． (1)求证：； (2)若，，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，求． 【答案】(1)证明：∵，， ； (2)证明：作于点N， ， ， ， ∵， ， ， ，， ∴平分， ； (3) 【分析】（1）根据等腰三角形性质证明结论即可； （2）作于点N，证明，得出，进而得出平分，即可得出结论； （3）作于点P，作于点Q，证明，证明得出，得出，设，求出，结合，求出k值即可求出结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：作于点P，作于点Q， ∵平分， ， ， 同理：， ， 由（2）知，， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， 则， ， ， ， ． 15．（25-26七年级下·四川成都·期末）已知，在中，，于点D，E是上一点，满足：；将绕点E顺时针旋转，交于点F． (1)如图1， ①试说明：； ②若，请探究与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若E是线段的中点，求的值． 【答案】(1)证明：，， ， ， ， ， ∵将绕点E顺时针旋转，交于点F， ， ， ， ； ②，理由如下： 过F作于H， 由①知，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． (2)3 【分析】（1）①根据等腰三角形的性质得到，再根据旋转性质和余角性质得到，然后根据等角对等边可得结论； ②过F作于H，则，证明得到即可得到结论； （2）过F作于G，根据等腰三角形的性质，结合已知可得，由推导出，进而利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）①略； ②略 （2）解：如图，过F作于G， 是线段的中点， ， 由（1）知， ， ∵， ， ， ， 即， ， ， ． ◆题型6 等腰三角形的性质和判定综合应用 16．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，点D、C在上，连接、，，，过点F作于E． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：． 【答案】(1)证明：是的外角， ， ，，， ， ， 是等腰三角形． (2)证明：由（1）得， ， ． 【分析】（1）根据三角形外角的性质可得，再由，可证明，得到，则是等腰三角形 （2）由三线合一定理即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 17．（25-26八年级下·广东梅州·期中）如图1，在中，，，的平分线交边于点． (1)求证：为等腰三角形． (2)若的平分线交边于点，如图2，求证：． (3)若的外角平分线交的延长线于点，请你探究（2）中的结论是否仍然成立．若成立，请证明；若不成立，直接写出正确的结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)结论不成立。正确结论： 【分析】（1）由三角形内角和计算，根据是的平分线得，从而为等腰三角形得证； （2）在上截取，连接，证明得，证得，即可证明结论； （3）在上截取，连接，根据，得，证明，得，根据等腰三角形的判定得，最后根据线段间的数量关系得出结论即可． 【详解】（1）证明：中，，， ， 是的平分线， ， ， 为等腰三角形； （2）解：如图，在上截取，连接， ∵为等腰三角形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：探究（2）中的结论不成立，正确结论：，理由如下： 如图，在上截取，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 18．（26-27八年级上·四川达州·开学考试）如图，在中，，，边沿着过点的某条直线对折得到，连接，以为边在左侧作，其中，，与交于点，连接． (1)如图1，连接，当点在外部时，试说明； (2)如图2，连接，当点在的斜边上时，试判断的形状并说明理由； (3)如图3，当点在的内部时，若点为的中点，且，求的长． 【答案】(1)证明：如图， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴． (2)解：结论：是等腰三角形， 理由：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵据（1）可知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． (3)4 【分析】（1）利用折叠性质得到，结合直角推导出一组夹角相等，再匹配两组对应边相等，用证明全等； （2）先由等腰直角三角形求出，借助第（1）问的全等转移角，然后通过三角形内角和计算，得到两角相等，判定等腰三角形； （3）倍长中线构造平行四边形，转化边与角的关系，然后证明是等腰三角形的角平分线，由三线合一得到垂直平分线，完成线段等量代换，最后利用（1）的全等，把转化成求出长度． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，延长到，使得，连接，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵据（1）可知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平分， ∵， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∵， ∴． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（26-27九年级上·福建福州·开学考试）如图，中，，D是的中点，下列结论不正确的是（    ） A． B． C．平分 D． 【答案】D 【分析】根据等腰三角形“等边对等角”及“三线合一”的性质逐一判断． 【详解】解：， ，故A正确； ，是的中点， ，平分，故B、C正确； 与的数量关系不确定，故D不正确，符合题意． 2．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在等腰三角形中，，，分别是的中线和高，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用垂线的定义求出顶角的度数，再利用等腰三角形“三线合一”的性质求解． 【详解】解：是的高， ， ． ∵， ． ，是的中线， 平分， ． 3．（25-26八年级下·广东深圳·期末）如图，已知屋顶的主桁架是等腰三角形，，，点是桁架边上的一点，为了加固屋檐，延长至点，使得，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等边对等角可得、，再利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，解得：． 4．（25-26七年级下·辽宁朝阳·期末）如图，在中，，，其面积为12，的垂直平分线分别交，边于点E，F，若点D为边的中点，点P为线段上的一个动点，则周长的最小值为（     ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】C 【分析】连接，，由，点是边的中点，则，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，则当三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，据此可得答案． 【详解】解：连接，， ∵，点是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∴当三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值， ∴的周长的最小值为． 5．（25-26七年级下·山东东营·期末）已知：与都是等腰直角三角形，，，，三点共线，连接、．给出四个结论：①；②；③；④其中正确的结论个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】证明，即可判断①；由全等三角形的性质得，由等腰直角三角形的性质得，即得到，即可判断②；由②可得，即可判断③；根据三角形的三边关系可判断④，综上即可求解． 【详解】解：①∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴，故②正确； ③∵，， ∴， ∴， ∴，故③正确； ④∵，， ∴， 即，故④错误； 综上，正确的结论有①②③，共个． 二、填空题 6．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在等边中，是的角平分线，若，则的长为__________． 【答案】1 【分析】根据等边三角形三边相等得出的长，再利用等腰三角形顶角平分线也是底边中线的性质得出结果． 【详解】解：是等边三角形，是的角平分线，， ，， ． 7．（2026·广东佛山·三模）如图，在中，，，点在上，．将线段沿着的方向平移得到线段，点，分别落在边，上，则的周长为_________． 【答案】14 【分析】直接利用平移的性质得出，进而得出，进而求出答案． 【详解】解：∵将沿的方向平移得到线段， ∴，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长为：． 8．（25-26七年级下·山西太原·期末）如图，在三角形纸片中，，点在边上（点，不重合，），将沿折叠后得到，交于点．若，，则的度数为________． 【答案】 【分析】设，利用折叠性质得、，结合求出底角度数，再根据得到等腰的内角关系，最后利用三角形内角和定理列方程求解． 【详解】解：设． 由折叠得：，． ，． ，， ， ． ， 为等腰三角形，． 在中， ， ， 在中，内角和为： ， 其中，代入得： ， 化简计算： ， ， ， 即． 9．（25-26七年级下·上海宝山·期末）如图，中，，，，，E、F分别为、上两动点，连接，，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】根据题意得到点关于直线对称，利用对称点的性质，将求的最小值转化为求的最小值，再利用点到直线垂线段最短求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点， ， ∵，，， ∴， 即， 解得， ∵， ∴所在直线是线段的垂直平分线， ∴点关于直线对称， ∴， ∴的最小值为． 10．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）已知为等腰三角形，且，为腰边的高，为的角平分线，若，则的度数为________． 【答案】或 【分析】分为锐角和为钝角进行讨论，再结合高的位置分情况讨论，结合等腰三角形性质，直角三角形两锐角互余和角平分线的定义计算的度数． 【详解】设， ∵， ∴． 情况1：为锐角，高在内部，且，在边上时，如图， ∵， ∴， 在中，，则， ∵平分， ∴， 由，得： ， 解得， 即． 情况2：为锐角，高在内部，且，在边上时，如图， ∵， ∴， 在中，，则， ∵平分， ∴， 由，得： ， 解得，不符合题意； 情况3：为钝角，高在外部，在的延长线上，如图， ∵， ∴，， 在中，，则， ∵平分， ∴， 由，得： ， 解得， 即． 综上，的度数为或． 三、解答题 11．（25-26七年级下·江西吉安·期末）如图，中，，的垂直平分线交于点． (1)若，求的度数 (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解； （2）求出的周长，代入数据计算即可得解． 【详解】（1）解：的垂直平分线交于点， ， ， ∵， ∴， ； （2）解：的周长， ， ， ． 12．（25-26八年级下·河南平顶山·期末）如图，在中，，点D，E，F分别在边上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)如果，求的度数． 【答案】(1)证明：， ， ，， ， ， 是等腰三角形； (2) 【分析】（1）证明，得到即可证明结论； （2）求出，根据和三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ， ， ， ． 13．（25-26七年级下·山东泰安·期末）在中，，，点为的中点，，两边分别交，于，两点． (1)如图1，当点，分别在边和上时，求证：； (2)如图2，当点，分别在和的延长线上时，连接，，求的面积． 【答案】(1)证明：如图，连接， ，，点为的中点， ，，， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）连接，可证，根据全等三角形的性质证明结论成立； （2）连接，可证，根据全等三角形的性质可知，根据三角形的面积公式求出结果即可． 【详解】（1）略 （2）解：如下图所示，连接， ，，点为的中点， ，，， ，， ， ， ， ． 14．（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）【问题呈现】 在中，，点是直线上一点（不与点，重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． ． (1)如图①，当点在线段上时，若 ①判断与是否全等？并请说明理由． ②求的度数． (2)【知识应用】如图②，当点是的中点时，与平行吗？ (3)【拓展延伸】设，，如图③，当点在线段上移动时，问，之间有怎样的数量关系？说明理由． 【答案】(1)①，理由如下： ， ， ， ，， ； ②； (2)与平行； (3)，理由如下： 由（1）同理可得：， ， ， ， ， ． 【分析】（1）①由结合角的和差可得，再结合，即可证明结论；②根据三角形内角和性质以及等腰三角形的性质，全等三角形的性质，得出，即可作答． （2）根据等腰三角形的性质，得出，再结合同旁内角互补，得出两直线平行，即，； （3）由（1）可知，则根据全等三角形的性质得到，进而得到，再根据三角形的内角和定理即可解答． 【详解】（1）解：①略 ②由①得， ， ，， ， ； （2）解：，是中点， ，即， 由图可得，， ， ； （3）略 15．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）【综合与探究】 (1)在和中，，，，连接，． ①【模型呈现】如图1，A，O，D三点共线，试判断与的数量关系，并说明理由； ②【模型应用】如图2，设，相交于点P，，相交于点Q，若，求的度数； (2)【拓展延伸】如图3是某公园的局部平面示意图，已知和为等腰直角三角形，，，，，为公园内的两条小路，现公园规划部门决定在小路和上分别取点M，N，且满足点M，N分别是，的中点，在区域修建一个喷泉，根据设计要求需满足为等腰直角三角形．请问按照上述作法，公园的规划能否实现？并证明你的结论． 【答案】(1)①解： ，理由如下： ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； ② (2)公园的规划能实现，证明如下： 由题意得， 同理可证明， ∴，， ∵M，N分别为，的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴，， ∵， ∴， ∴，即 ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴公园的规划能实现． 【分析】（1）①根据证明即可得； ②设与的交点为Q，由可得，又由于，结合三角形内角和定理可得，从而可得； （2）根据证明，则可得，，进而可得，则可得，即为等腰直角三角形． 【详解】（1）①略； ②∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）略 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02等腰三角形的性质与判定 内容概览 目常考题型精准突破 题型1根据等腰三角形的性质求角（重） 题型2根据等腰三角形的性质求边（高频） 题型3与等腰三角形有关的多解题（难） 题型4与等腰三角形性质与判定的多结论题（难） 题型5根据等腰三角形三线合一进行求解与证明（难） 题型6等腰三角形的性质和判定综合应用（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1根据等腰三角形的性质求角 1.90 2.20°/20度 3.65 ◆题型2根据等腰三角形的性质求边 4.8 5.3 6.12 ◆题型3与等腰三角形有关的多解题 7.30°或75°或120° 8.4或12 9.45°或90° ◆题型4与等腰三角形性质与判定的多结论题 10.①②③ 1/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11.①②③④ 12.①②④⑤ ◆题型5根据等腰三角形三线合一进行求解与证明 13. 【答案】(1)46° (2)12 【详解】(1)解：，直线垂直平分AB,直线2垂直平分BC, ∴.DA=DB,EB=EC, ∴.∠DAB=∠ABD,∠ECB=∠EBC, .∠ABC=113° .∠DAB+∠ECB=180°-113°=67° .∠ABD+∠EBC=∠DAB+∠ECB=67°， .∠DBE=∠ABC-(∠ABD+∠EBC)=113°-67°=46° (2),直线垂直平分AB,直线2垂直平分BC, .'FA=FB=FC,DA=DB,EB=EC, ,△BDE的周长为24， .DB+BE+DE=24, .'DA+DE+EC=24,AC=24, :FM⊥AC, ..AMAC- _1x24=12 14. 【答案】(I)证明：，DF=CD,DE⊥CF .FE=CE: (2)证明：作DN⊥AC于点N, 夕 D M E N C:.∠DNC=∠DBF=90 2/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠AFD+∠ACD=180°，∠AFD+∠BFD=180° ∠BFD=∠DCN, ..DF=CD, :ADBF≌aDNC(AAS), :.DB=DN, :DN⊥AC,∠B=90°， ∴.AD平分∠BAC .∠DAB=∠DAC; (3)MF=4 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：作MP⊥AB于点P,作M0⊥AC于点Q, 的 PL- D AD平分∠BAC, :.MP=MO, 1 AF.MP AF ·SAMC C.MO 1 4C, S.AMEFM 同理：SAMC CM' AF FM AC CM' 由(2)知，△DBF≌aDNC(AAS), :BF=NC, .AC=6BF, ..AC=6NC, 3/15 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·AW=5WC,4N_5 AC=6' ∠DAB=∠DAC,∠B=∠AND=90°，AD=AD ∴AADB≌AADN(AAS)」 .AN=AB=5NC,AF=AB-BF =5NC-NC=4NC. AF=4-2 FM AC 6 3 CM' 设FM=2k,CM=3k, 则CF=5k, .FE=CE=2.5k, .ME=EF-FM=2.5k-2k=0.5k=1, ∴k=2, .MF=2k=4. 15. 【答案】(I)证明：AC=CE,CD⊥AE, .∠A=∠CED :∠ACB=90°， ∠B+∠A=90°， .∠B+∠CED=90° :将CE绕点E顺时针旋转90°，交CB于点F, .∠CEF=90°. .∠CED+∠BEF=90°， .∠BEF=∠B, :.EF BF: 回CD=EB,理由如 过F作FH⊥BE于H, 图1 4/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由①知，EF=BF, :BH=EH=EB、 2 :∠CDE=∠CEF=∠FHE=90°」 ∴.∠FEH+∠CED=∠EFH+∠FEH=9O°， ∴.∠CED=∠EFH, 在△CDE和△EHF中， ∠CDE=∠EHF ∠CED=∠EFH EC=EF .:ACDE≌AEHF(AAS). :CD=EH :D=那 (2)3 【详解】(1)①略： ②略 (2)解：如图，过F作FG⊥BE于G, 是线段 的中点， D E 图2 E AB .AE=BE, 由(1)知EF=BF, EG=BG=,B距 1 AD=DE=AE 2 ∴AD=DE=EG=BG, S.RCD=SECDGF+S GF -CD-(CD+FG)-DG+GW. 5/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G-CD-(CD+FG)2G+G-G ∴.3CD=2(CD+FG+FG :.CD=3FG, 1 SAACE= AE.CD 2 CD S。FB =3 BE.FGFG 1 2 ◆题型6等腰三角形的性质和判定综合应用 16 【答案】(I)证明：：∠ADF是△ABD的外角， ∴∠ADF=∠I+∠4， :∠DAF=∠2+∠3，∠1=∠2，∠3=∠4， .∠ADF=∠DAF, :AF =DF, ∴△ADF是等腰三角形. (2)证明：由(1)得AF=DF, ,EF⊥AD, .AE=DE. 17. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)结论不成立。正确结论：BD+AD=BE-AB 【详解】(1)证明：△ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=40°， ∴.∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=180°-60°-40°=80°， :BD是∠ABC的平分线， ∠DBC=∠ABC=40°， 2 ∴.∠DBC=∠ACB ∴△BCD为等腰三角形： (2)解：如图，在AC上截取AF=AB,连接EF, 6/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D ,△BCD为等腰三角形， .BD=CD .'BD+AD=CD+AD=AC, :AE平分∠BAC, ∴∠EAB=∠EAF, AE=AE, .△ABE≌aAFE(SAS), .BE=EF,∠ABE=∠AFE=80°， .∠FEC=∠AFE-∠ACB=40°， ∴.∠FEC=∠ACB. ∴.EF=FC, .'AB+BE=AF+FC=AC. .BD+AD=AB+BE (3)解：探究(2)中的结论不成立，正确结论：BD+AD=BE-AB,理由如下： 如图，在BE上截取BF=AB,连接AF, A F B .·∠ABC=80°，∠AFB+∠BAF=∠ABC, ∴.∠AFB=∠BAF=号×80=40° .∠BAC=60°」 .∠HAB=180°-∠BAC=120°， .AE平分∠HAB, ∠AB=∠M=X120=60, .∠EAF=∠EAB-∠BAF=60°-40°=20°， 7/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,∠AEF=∠ABC-∠EAB=20° ∴.∠EAF=∠AEF, ∴.AF=EF, .∠AFC=∠ACB=40° .AF=AC=EF, .'BE-AB=BE-BF=EF AD+CD=AD+BD, 即BD+AD=BE-AB 18. 【答案】(1)证明：如图， D E .AC=AD .∠ACD=∠ADC, .∠ACB=∠CDE=90° .∠BCD+∠ACD=90°，∠ADC+∠ADE=90°」 .∠BCD=∠ADE, .CA=CB,AC=AD .DA=CB 在△ADE和△BCD中， DA=CB ∠ADE=∠BCD DE=CD :.△ADE≌aBCD(SAS) (2)解：结论：△AEF是等腰三角形， 理由：如图 8/15 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .CA=CB,∠ACB=90° .∠CAB=∠B=45°， AC=AD ∠ACD=∠ADC=67.5°， ,据(I)可知△ADE≌aBCD. .∠DAE=∠B=45°， ∴.∠EAF=∠DCF. .∠AFE=∠CFD .∠AEF=∠CDF=67.5°， ∠AFE=180°-45°-67.5°=67.5°， ∴.∠AFE=∠AEF=67.5°， ∴△AEF是等腰三角形. (3)4 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：如图，延长CF到T,使得FT=CF,连接AT,DT, C B 2 .AF=DF,CF=FT, ∴.四边形ATDC是平行四边形， AC=DT,AC∥DT, .∠CAD=∠ADT, 9/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AC=AD, ∴.DA=DT, .∠ACD+∠DCB=90°，∠CAD+2∠ACD=180°， 2<CMD+∠ACD=90 <08-号CaD, .∠CAD=∠ADT=2∠DCB, ,据(I)可知△ADE≌aBCD, ∴∠DCB=∠ADE, .∠ADE=∠TDE, .DA=DT, .DE⊥AT, .DE平分AT, AF=FD, ∴.ET=2EF=4, ,DE垂直平分线段AT, ∴.EA=ET=4, :△ADE≌ABCD .BD=AE=4. 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1.D 2.C 3.C 4.C 5.C 二、填空题 10/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.1 7.14 8.48° 9 48 10.20°或100° 三、解答题 11. 【答案】(1)37.5° (2)8cm 【详解】(1)解：AB的垂直平分线交AC于P点， .AP=BP. .∠A=∠ABP=35° .AB=AC, &乙ABC=∠40B=180°-35°=725】 2 ∴∠PBC=72.5°-35°=37.5°： (2)解：△PBC的周长=BP+PC+BC, =AP+PC+BC, =AC+BC, =AB+BC =5+3=8(cm). 12. 【答案】(1)证明：·AB=AC, ∠B=∠C」 BE=CF,BD=CE, ∴△DBE≌aECF(SAS)」 :DE=EF, ∴△DEF是等腰三角形： (2)40° 【详解】(1)略 11/15 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：∠DEF=70°， :.∠DEB+∠CEF=180°-70°=110°， :△DBE≌△ECF, ∴∠BDE=∠CEF, ∴.∠DEB+∠BDE=110° ∴.∠B=180°-（∠DEB+∠BDE)=180°-110°=70°， ∠B=∠C, ∴.∠A=180°-2×70°=40° 13. 【答案】(1)证明：如图，连接OC, :AC=BC,∠ACB=90°，点O为AB的中点， ∴.AO=C0=B0,∠AOC=∠EOF=90°，∠A=∠BC0=45°， .∠AOE+∠COE=∠COF+∠COE=90°， ∴∠AOE=∠COF, .∴△AOE2ACOF, ∴.OE=OF: E B (2)8 【详解】(1)略 (2)解：如下图所示，连接OC, :AC=BC,∠ACB=90°，点0为AB的中点， ∴.AO=CO=B0,∠BOC=∠EOF=90°，∠ABC=∠AC0=45°， ∴.∠OCE=∠OBF=180°-45°=135°，∠COE+∠EOB=∠EOB+∠BOF=90°， ∴∠COE=∠BOF, .ACOE≌△BOF, ∴.OE=OF=4. 1 S.ROF=2 ×OE.OF=8 12/15 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 14. 【答案】(I)①△ABD2aACE,理由如下： :∠DAE=∠BAC=90° .∠DAE-∠DAC=∠BAC-∠DAC. .∠BAD=∠CAE」 .AB=AC,AD=AE, :.△ABD2△ACE(SAS): ②∠BCE=90°： (2)AE与BC平行： (3)a+B=180°，理由如下： 由(1)同理可得：△ABD≌△ACE, ∴.∠ACE=∠B .∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB=∠BCE, :∠B+∠ACB=B, a+∠B+∠ACB=180°， .a+B=180° 【详解】(1)解：①略 ②由①得△ABD≌△ACE, ∴.∠ACE=∠ABD :∠BAC=90°，AB=AC, 六∠ABD=∠ACB=180°-90 =45°」 2 ∠BCE=∠ACE+∠ACB=90° (2)解：AB=AC,D是BC中点， ∴.AD⊥BC,即∠ADC=90°， 13/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由图可得，∠DAE=∠BAC=90°， .∠ADC+∠DAE=180°， .AE∥BC: (3)略 15. 【答案】(I)①解：AC=BD,理由如下： .∠AOB=∠COD ∴，∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC,即∠AOC=∠BOD, 在△AOC和△BOD中， OA=OB ∠AOC=∠BOD OC=OD .△AOC≌aBOD(SAS). .'AC=BD: ②∠APD=130° (2)公园的规划能实现，证明如下： 由题意得OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=90° 同理可证明△AOC2ABOD, .∠OAC=∠OBD,AC=BD,, M,N分别为AC,BD的中点， :.AM-TAC,BN-BD 2 2 .AM BN, 在△AOM和△BON中， OA=OB ∠OAM=∠OBN AM=BN .△AOM≌ABON(SAS), ∴.OM=ON,∠AOM=∠BON, .∠AOB=90° .∠AOM+∠MOB=90°， 14/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BON+∠MOB=90°，即∠MON=90° .OM⊥ON, ∴△MON是等腰直角三角形， ∴公园的规划能实现。 【详解】(1)①略： ②，∠AOB=∠COD, .∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC,即∠AOC=∠BOD, 在△AOC和△BOD中， OA=OB ∠AOC=∠BOD OC=OD .△AOC≌aBOD(SAS). ∴.∠OAC=∠OBD 又：∠A00=∠BOP,∠A00+∠OAQ+∠AOQ=∠BPQ+∠BQP+∠PB0=I80° .∠AO0=LBP9, .∠A0Q=50° :.∠BP9=50° .∠APD=180°-∠BPQ=130°. (2)略 15/15