15.3.2 等边三角形（第2课时） 教学设计 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦含30°角的直角三角形性质这一核心知识点，通过复习等边三角形的性质与判定，引导学生思考对折等边三角形形成的特殊直角三角形，搭建新旧知识的衔接支架。 此资料亮点在于以动手测量探究猜想培养数学眼光，用倍长法和截长法两种辅助线证法发展推理能力，结合屋架实例强化模型意识与应用意识。分层作业与当堂检测助力巩固，既提升学生探究与转化能力，也为教师提供清晰教学路径和实用资源。

15.3.2 等边三角形（第2课时） 教学设计 课题 15.3.2 等边三角形（含30°角的直角三角形） 学科 数学 年级 八年级 教材版本 人教版（2024） 课时 第2课时 课型 新授课 教学目标 1. 通过测量、全等证明，掌握含30°角的直角三角形性质，能规范书写文字语言与几何语言。 2. 熟练运用倍长法、截长法两种辅助线思路证明该性质。 3. 能结合生活屋架实例及各类几何图形，利用性质完成线段长度的计算与简单证明。 4. 学会将15°、60°、120°等特殊角转化为30°，构造直角三角形解题。 教学重点 含30°角的直角三角形的性质。 教学难点 在没有现成的直角、30°角时，通过作辅助线转化、构造含30°角的直角三角形。 教学方法 讲授法、探究法、操作实验、合作学习 教学准备 多媒体课件、直尺、量角器、三角板、草稿纸 课后练习 课本习题15.3第9、10题 板书设计 见板书设计部分 教学过程 教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 一、情境导入 1. 复习旧知，回顾等边三角形 教师出示表格填空，点名学生依次口述等边三角形的性质与判定：性质——三边相等、三个角均为60°、每条边三线合一、3条对称轴；判定——三边相等、三个角都相等、有一个角是60°的等腰三角形。 2. 设问过渡，引出课题 教师过渡：等边三角形每个内角都是60°，把它沿一条高对折，会得到两个特殊的直角三角形。今天我们就来探究这类含30°角的直角三角形的专属性质，板书课题。 复习等边三角形的性质与判定，思考半等边三角形（30°直角三角形）的特殊关系。 复习上一节课等边三角形的核心知识，为构造等边三角形证明直角三角形性质铺垫全等依据，搭建新旧知识的桥梁。 二、新知探究 探究 30°性质 探究：含30°角的直角三角形的性质 （一）动手画图，测量数据 在草稿纸上画直角三角形ABC，使∠C=90°，。 用量角器、直尺分别测量斜边AB与30°角所对的直角边BC的长度，小组对比各自测量的数据。 多画几组相同条件的直角三角形并重复测量，小组汇总测量结果。 （二）提出猜想 师生共同提出猜想：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 动手画图、测量并反复验证斜边与30°角对边的数量关系，提出猜想。 通过动手测量直观感知线段的数量关系，由具象数据生成数学猜想，降低抽象定理的理解门槛，激发证明的需求。 三、新知探究 证法一 倍长法 证法一：倍长线段法 （一）拆分已知、求证 已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，。求证：BC=。 （二）辅助线作法 延长BC到D，使CD=BC，连接AD（倍长直角边BC，构造等边三角形）。 （三）分步推理，同步板书 ①由CD=BC、∠ACD=∠ACB=90°、AC=AC，证Rt△ABC≌Rt△ADC（SAS），得AD=AB； ②在Rt△ABD中，∠BAD=∠BAC+∠CAD=30°+30°=60°，又BD=BC+CD=2BC，且AB=AD； ③由AB=AD、∠BAD=60°，得△ABD是等边三角形，故AB=BD，即AB=2BC，得BC=。 （四）反思提问 教师提问：这个证明的核心构造了什么图形？学生答：等边三角形。 跟随教师规范书写已知、求证，动手补作辅助线，分步理解全等与等边三角形推理。 第一种标准证明方法，通过倍长线段构造等边三角形，依托全等与等边三角形性质完成推理，完整展示辅助线的构造思路。 四、新知探究 证法二 截长法 证法二：截长法 （一）辅助线思路 在斜边AB上截取BD=BC，连接CD（截取斜边的一部分，构造等边三角形）。 （二）师生共同书写完整证明 ①在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∴∠B=60°； ②在AB上截取BD=BC，连接CD。∵BD=BC，∠B=60°，∴△BCD是等边三角形，CD=BD=BC，∠BCD=60°； ③∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=90°-60°=30°=∠A，由等角对等边得AD=CD； ④∴AB=AD+DB=CD+BC=2BC，即BC=，得BC=。 （三）对比两种证法 倍长法——延长直角边补成等边三角形；截长法——截取斜边构造等边三角形。两种思路都借助等边三角形完成推导。 学习第二种辅助线思路，理解截长构造等边三角形、结合全等与等边三角形完成推导的过程。 提供第二种证明思路，拓宽学生的辅助线构造思维，强化等边三角形在直角三角形证明中的工具作用，突破证明难点。 五、新知归纳 （四）归纳定理 含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 几何语言：在Rt△ABC中，∠C=90°，，则。 （五）两条易错强调 ①性质成立前提必须是直角三角形； ②要找准30°角所对的直角边，不是它的邻边。 归纳定理的文字语言与几何语言，记录易错点并相互提醒。 将测量猜想与两套证明提炼为规范定理，明确使用前提与易错点，落实本节课的知识核心。 六、典例精讲 （例5） 【典例精讲】 例5（教材P83）图15.3-10是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°。求立柱BC，DE的长。 分析：立柱BC⊥AC、DE⊥AC，故∠C、∠E均为直角；在Rt△ABC中，∠A=30°所对的直角边是BC，在Rt△ADE中，∠A=30°所对的直角边是DE，且D为AB的中点，可用“30°角所对的直角边等于斜边的一半”逐步求出。 【答案】 解：∵ DE⊥AC，BC⊥AC，∠A=30°， ∴ BC=½AB，DE=½AD。 ∴ BC=½×7.4=3.7。 又 AD=½AB， ∴ DE=½AD=½×3.7=1.85。 答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m。 【讲评要点】 把屋架设计图抽象为两个含30°角的直角三角形（Rt△ABC、Rt△ADE），立柱BC、DE分别是对应三角形中∠A=30°所对的直角边；依据“30°角所对的直角边等于斜边的一半”结合中点D的关系，分步算出两条立柱的长，训练定理在生活实际中的直接运用。 【追问】 若把∠A改为15°，立柱的长度还容易确定吗？你能否作辅助线构造含30°角的直角三角形来解决？（提示：结合本节“转化构造”的思想，把特殊角转化为30°） 把屋架设计图抽象为直角三角形，利用“30°角对直角边等于斜边一半”分步求出BC、DE。 以教材屋架设计图为载体，将定理应用于生活实际，训练含30°角直角三角形的识别与计算，落实定理计算应用的重点。 七、当堂检测 通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，运用含30°角的直角三角形性质完成线段长度计算，进一步巩固新知。 跟随教师完成随堂练习，及时订正并反馈存在的问题。 通过当堂练习及时检测学生对定理的理解与运用情况，查漏补缺，巩固新知。 八、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1. 定理：含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半； 2. 解题要点：先判断是否为直角三角形，再找准30°角的对边；没有现成的30°角时，可作辅助线转化构造含30°角的直角三角形； 3. 辅助线思想：倍长法、截长法，化未知为已知、化一般不特殊。 回顾定理内容与解题要点，梳理辅助线构造思想。 梳理定理与解题方法，强化转化与构造的数学思想。 九、作业布置 必做： 课本习题15.3第9、10题。 选做： 关于15°、120°角构造含30°直角三角形计算线段长度的拓展题。 记录作业内容。 分层作业，必做题巩固定理，选做题训练转化构造。 板书设计 15.3.2 等边三角形（第2课时） 含30°角的直角三角形性质 在Rt△ABC中，∠C=90° ∠A=30° 则BC=½AB （30°所对的直角边等于 斜边的一半） 证明方法 倍长法：延长BC，CD=BC 构造等边△ABD 截长法：斜边AB上取 AD=AC，构造等腰△ACD 应用：屋架计算 AC=2CD 易错：前提Rt△，找准对边 学生板演区 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $