上海市向明中学2023-2024学年高一下学期物理竞赛曲线运动 万有引力讲义

上海市高一物理竞赛（向明中学）曲线运动 万有引力讲义（1） 上海市向明中学 严城 一、圆周运动变点问题 例：—个小物块位于光滑的半圆柱面的顶点，圆柱体的半径为R，物块从静止开始沿圆柱面下滑，求小物块下滑多高会离开圆柱面? 练习： 1、如图．一根长为L=1m不可伸长的轻绳一端固定于O点，另一端拴有一质量为m=0.2kg的小球，将绳拉直于A点(OA与水平方向夹角为300)由静止释放，不计空气阻力，求至最低点B时绳对小球的拉力大小． 2、如图所示，质量为m的小球，用轻软绳系在边长为a的正方形截面木柱的顶角A处(木柱水平，图中斜线部分为其竖直横截面)，软绳长4a，质量不计，其所能承受的最大拉力为7mg，开始呈水平状态，问：应以多大的初速度竖直下抛小球，才能使绳绕在木柱上，且小球均做圆弧运动，最后击中A点．(空气阻力不计) 3、如图所示，质量为M的小车位于光滑的水平面上，质量为m的小球被轻绳拴住系于小车车架上，将小球拉至轻绳刚被绷直且位于水平状态，小球至悬点的距离为L，现将小球从静止开始释放，求：当小球第一次运动至最低处时，轻绳对小球的拉力大小? 4、质量分别为m1和m2的两个小球，分别系于细绳中的一点A和一端B，细绳的另一端悬挂在固定处O，如图所示．已知上、下两段绳的长度分别为a和b，开始时，两球静止，细绳处于竖直位置．现打击小球m1，使它突然在水平方向获得一水平向右的速度v0，试求：小球m1获得速度前后瞬间，上、下两段绳子张力的大小． 二、天体问题 例：天的高度．古希腊人早就已经知道地球的大小与恒星的距离相比小得多．比如，在一个神话中捉到火与锻冶之神赫斐斯塔斯，有一次不小心把他的铁砧掉了，铁砧用了整整9天才砸到地面，请估计一下按照古希腊人所描述的“天的高度”． 练习： 1、科学史上最著名的传说之一是关于牛顿的：苹果落在他头上使他悟出了：使物体落向地面的力与使月球环绕地球以及行星环绕太阳的力是相同的．他将这一认识用众所周知的万有引力定律确定下来．此定律描述了两物体间的重力与它们质量的乘积以及它们之间距离的平方成比例．见等式：F=GMm/R2其中G称为万有引力常数．在地球表面各地，引力通常是不同的，这是由地球半径的微小不同引起的．地球自转也会产生某些影响，但这与半径的影响相比就要小得多了．简而言之，在地球表面附近重力使物体产生一个加速度，其表 达式如下：g=GM/R2．这里M为地球质量，R为其平均半径．我们在举起物体时能“感觉”到它的重量，这是由于我们正在施加一个与引力反向的力．下面有两个问题．图中的球代表地球，四个人位于地球表面，分别处于北极(A)、南极(C)、巴西(B)和新几内亚(D)．他们每人手持一石块并将同时松手．(1)在图中分别画出四块石头的轨迹．(当然图中的人与地球不是正确的比例)(2)上一问很容易吧?现在来一个难一点的．试比较开普勒第三定律与牛顿的万有引力定律，指出两个常数之间的根本差别．这一点正表明了牛顿的引力定律是宇宙性的． 2、地外生物(天蓝色的具有人类某些特征的种类)决定占领火星．但是火星没有大气．金星的情况正相反，其大气压力甚至达到90个地球大气压．没有多想，外星人决定从金星拿走全部大气并传送到火星．那火星上的大气压力会是多少?(当然，一段时间之后大气层还会消失，但这里问的是实验刚一做完的压力．g火星/g金星=3.71/8.87；D火星/D金星=6.8/12.1) 三、建模法 例：雨伞边缘半径为r，且高出地面h，伞柄在竖直方向上以角速度ω旋转，使雨滴自 边缘甩出，落于地面形成一个大圆，求此圆的半径R． 练习： 1、一个半圆形光滑轨道(如图)，半径是R，圆心是O，如果在O点和B点分别放两个物体(B点离A点很近)，都从静止释放，问哪个物体先到达A点? 2、某移动导弹部队在某处以第一宇宙速度从地面竖直向上发射一枚导弹，该弹经空中飞行在离发射地不远处地面爆炸，假设飞行中空气阻力不计，试求此导弹在空中飞行的时间?(已知地球半径为R) 3、2000年1月26日我国发射了一颗同步卫星，其定点位置与东经980的经线在同一平面内．若把甘肃省嘉峪关处的经度和纬度近似取为东经980和北纬α=400，已知地球半径R、地球自转周期T、地球表面重力加速度g(视为常量)和光速C．试求该同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的接收站所需的时间(要求用题给的已知量的符号表示)． 4、一颗在赤道上空运行的人造卫星，其轨道半径r=2R(R为地球半径)，卫星的运行方向与地球自转方向相同，设地球自转的角速度为ω0，若某时刻卫星通过赤道上某一建筑物的正上方，求它下次通过该建筑物上方需要的时间．(已知地球表面处重力加速度为g) 四、飞船问题 例：“神舟”五号飞船升空后，进入近地点距地心为r1，远地点距地心为r2的椭圆轨道．2003年10月15日15时54分，飞船变轨程序启动，“神舟”五号飞船在远地点时，将质量为△m的燃气以一定的速度向后喷出后，飞船改做半径r2的圆周运动．已知地球表面处的重力加速度为g，飞船在近地点的速度为v1，飞船总质量为m．设距地球无限远处为引力势能零点，则距地心为r、质量为m的物体势能为EP=-GMm/r(其中M为地球质量，G为万有引力常数，解题时M和G均要按未知量处理)．飞船在椭圆轨道上运动，机械能守恒．求飞船在远地点时，应将△m的气体以相对于地球多大的速度v0向后喷出，才能进入半径为r2的圆轨道(已知地球半径为R，地面的重力加速度为g)? 练习： 1、“神舟”五号飞船由“长征二号F”大推力火箭发射升空，该火箭起飞时m=4.8×105kg，起飞推力F=6.24×106N，火箭发射塔高h=100m，则该火箭起飞时的加速度大小为多少?在火箭推力不变的情况下，若不考虑空气阻力及火箭质量的变化，火箭起飞后经过多长时间飞离火箭发射塔?飞离火箭发射塔时速度大小为多少? 2、已知飞船在离地面高度为342km的轨道上作匀速圆周运动，地球半径为R=6.37×103km，地球表面的重力加速度g=9.8m/s2，求飞船的速度(保留两位有效数字)． 3、“神舟”五号飞船从发射到回收历时约21 h，绕地球飞行14圈，飞船在运行期间，按照地面指挥控制中心的指令成功地实施了数十个动作，包括从椭圆轨道变换到圆轨道等．若把飞船从发射到着陆的整个过程中的运动都看作圆周运动处理，试粗略估计飞船离地面的平均高度h．已知地球半径R=6.37 ×106m，地球表面处的重力加速度g=9.8m/s2． 4、“神舟”号飞船在返回时要进行姿态调整，飞船的返回舱与轨道舱分离，返回舱以大约8km/s的速度进入大气层．当返回舱距地面30km时，返回舱上的回收发动机启动，然后完成拉出天线、抛掉底盖等一系列动作．在距地面20km时，飞船返回舱的速度减为200m／s，然后匀速下降．此阶段，重力加速度为g1，返回舱所受的空气阻力为f=ρv2S/2，其中ρ为大气的密度，v是返回舱的运动速度，S为阻力的作用面积．当返回舱距地面10km时，返回舱的降落伞(面积为1200m2)打开，到速度变为8.0m／s后匀速下落．为实现软着陆(即着陆时返回舱的速度为0)，当返回舱距地面1.2m时反冲发动机点火，使返回舱软着陆．此时，返回舱的质量为2.7×103kg，取g=10m／s2． (1)用题目所给的字母表示返回舱在速度为200m／s时的质量． (2)分析从打开降落伞到反冲发动机点火前，返回舱的加速度和速度的变化情况． (3)求反冲发动机的平均推力和反冲发动机对返回舱所做的功． 五、瞬时功率法 例：如图所示，B是光滑半圆形碗，放在光滑的水平桌面上，A是细长直杆，被固定在光滑套管C约束在竖直方向，A可自由上、下运动，初始时，A杆被握住，使其下端正好与碗的半球面的上边缘接触，然后从静止开始释放A，A、B便开始运动；当A杆下端与球面接触点到碗面球心O的连线与竖直方向之间的夹角为θ时，A的速度为v，求此时B的速度大小． 练习： 1、如图，设杆OA以角速度ω绕O转动，其A端系有绕过滑轮B的绳，绳子末端挂一重物M．已知OB=h，求当∠OBA=α时，物体M的速度大小? 2、如图，绳C端以速度v匀速收绳，而拉动低处物体M在光滑水平面上水平前进，当BC段与水平面成α角时，求物体M的速度大小． 六、隐含问题 例：晴天晚上，人能看见卫星的条件是卫星被太阳照着且在人的视野之内，一个可看成漫反射体的人造地球卫星的圆形轨道与赤道共面，卫星自西向东运动，春分期间大阳垂直射向赤道，赤道上某处的人在日落后8h时在西边的地平线附近恰能看到它，之后极快地变暗而看不到了，已知地球的半径R地=6.4×106m，地面上的重力加速度为10m/s2，估算：(答案要求精确到两位有效数字)(1)卫星轨道离地面的高度；(2)卫星的速度大小． 练习： 1、如图所示，小球从半径为R1的1/4光滑圆弧槽的最高点P由静止滑下，滑出槽口时速度恰为水平方向，槽口与一球面相切连结，若小球从槽口滑出后恰好对球面没压力，则小球落地点与P点的水平距离为多少? 七、临界问题 例：有一种星体，由于它对靠近它的物体包括光子有非常强大的万有引力，使得一切物体包括光子都没有足够的能量从它表面逃逸，因此它不能发出光线也不能反射光线，是不能通过光线看到的，所以称之为黑洞．已知万有引力的引力势能为：—GMm/r(取无穷远处的势能为零)．求某质量为M恒星演变为黑洞时的临界半径(设演变过程中星体的质量不变)． 练习： 1、如图所示，甲、乙两个小球分别沿竖立平面内的光滑轨道的外侧和内侧，以不同的初速度，从A点和B点出发，运动到轨道的最高点时，速度大小分别为V1和V2，则下列说法正确的是： ( ) (A)V1> V2 (B)V1= V2 (C)V1< V2 (D)V1>0，V2=0 八、等效法 例：在半径为R，质量为M的均质球内挖去一个直径为R的球形空腔，空腔与表面相切，在O、O/的连线上距离O点为d的地方放有一个很小的、质量为m的物体，试求这两个物体之间的万有引力． 练习： 1、图中细杆AB长L，P为AB中点，端点A、B分别被约束在y轴和x轴上运动，图中θ角与VA已知，求P点的速度． 九、迁移法 例：一个有一定厚度的圆盘，可以绕通过中心的水平轴转动．用下面的方法测量它匀速转动时的角速度．实验器材：电磁打点计时器，米尺，纸带，复写纸片．实验步骤：(1)如图所示，将电磁打点计时器固定在桌面上，将纸带的一端穿过打点计时器的限位孔后，固定在待测圆盘的侧面上，使得圆盘转动时，纸带可以卷在圆盘侧面上．(2)启动控制装置使圆盘转动，同时接通电源，打点计时器开始打点．(3)经过一段时间，停止转动和打点，取下纸带，进行测量． ①由已知量和测得量表示的角速度的表达式为ω= 。式中各量的意义是： 。 ②某次实验测得圆盘半径r=5.5010-2m，得到的纸带的一段如图所示．求得的角速度为 . 十、极限法 例：若分别以m和h表示通讯卫星的质量和距地面的高度，以R、ω和g表示地球半径、自转角速度和地球表面的重力加速度，则通讯卫星受到地球的引力F为 ( ) (A)F=0 (B)F=mR2g/(R+h)2 (C)F=m2 (D)以上结果都不对 十一、矢量问题 例：一质量为m的物体，以速度v做半径为R的匀速圆周运动，在一个周期内，其平均速率为 ( ) (A)0 (B)v (C)2v (D)v／2 十二、双星问题 例：神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律．天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX—3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成．两星视为质点，不考虑其它天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示．引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T．(1)可见星A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m/的星体(视为质点)对它的引力，设A和B的质量分别为m1、m2，试 求m/(用m1、m2表示)；(2)求暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式；(3)恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量ms的2倍，它将有可能成为黑洞．若可见星A的速率v=2.7×105m／s，运行周期T=4.7× 104s，质量m1=6 ms，试通过估算判断暗星B有可能是黑洞?(G=6.67×10-11Nm2／kg2，ms=2.0×1030kg) 练习1：有两颗用钢性轻杆相连的质量均为m的人造地球卫星A和B绕地心做半径分别为r1和r2的匀速圆周运动，轻杆沿半径方向．如图．地球质量为M，求卫星的角速度ω． 十三、拆题法 例：宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一个小球．经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L．若抛出时的初速增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为L．已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常数为G．求该星球的质量M． 十四、数学法 例：第二宇宙速度，即为卫星脱离地球的引力，不再绕地球运行而成为太阳的一颗行星时所具备的最小发射速度，它的值为11.2km/s．相对于第一宇宙速度(环绕地球运动的最小发射速度)而言，中学物理教材中详细的介绍了第一宇宙速度的定义及它的两种推导方法，而第二宇宙速度只交待了结果且结果未加以推导，然而第二宇宙速度在现代天文学中，特别是星际航行中是必不可少的，是一个非常重要的数据，因此请利用中学数学知识推导出第二宇宙速度。 练习： 1、向空间发展最具有可能的是在太阳系内地球附近建立“太空城”．实际上，月球不是绕着地心公转，而是地球、月球在相互的引力作用下绕它们连线上的一固定点C做匀速转动．太空城的首选位置在与月球、地球相距为r的D处，如图所示，这里，太空城在月球、地球引力的共同作用下，相对地球、月球静止．试证明：太空城受地球、月球对其的合力方向指向C点且与地球、月球可一起绕C点做同角速度的匀速转动． 2、长为l的轻细线一端固定，另一端系一小球，将线水平拉直后释放小球，问线 与水平方向夹角θ多大时，小球的竖直分速度最大? 3、竖直平面内建立直角坐标系xOy，x轴水平，过抛物线x2=2Py的焦点的弦是一刚性光滑轨道，一小物块从轨道上端A无初速度释放，问滑到轨道底端B所用时间最小为多少?此时AB与水平面夹角θ满足什么条件?重力加速度为g． 4、如图所示，一轮子在地面上做纯滚动运动时，轮子的轴心O的速度恒为v0。轮缘上一点A，相对轮心的位置可用θ角表示，当点A与地(点C)重合时，θ=00．试求A点转到任意角度θ时相对地面的速度大小． 十五、合成问题 例：一辆汽车以速度v做匀速直线运动，半径为R的车轮边缘上一点A，在某一时刻与地面接触，问车轮滚过1／4周时，A点的切向加速度和法向加速度各是多少? 练习： 1、从地球表面以v0(v0<)初速朝着与水平方向成θ角的方向发射一颗洲际导弹，忽略空气阻力和地球转动的影响，试问导弹的最大射程多远?设地球半径为R． 7 学科网（北京）股份有限公司 $$