第一章空间向量与立体几何单元卷-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 空间向量与立体几何单元夯实卷，适配高二单元复习，覆盖向量运算、空间距离、线面关系等核心知识，通过真实检测情境与梯度设计提升空间观念与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|空间向量坐标运算（题2）、共面判定（题3）|单选夯实基础，多选辨析概念（题9考共线充要条件）| |填空题|3题15分|基底表示（题12）、点到线距离（题13）|强化空间向量基本运算| |解答题|5题77分|平行六面体向量表示（题16）、四棱锥线面角（题17）、二面角计算（题18）|综合考查空间建模与逻辑推理，适配单元核心素养要求|

立体几何空间寻迹，静心想象，构建解题模型 第一章 空间向量与立体几何单元测试卷（夯实篇） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（26-27高二上·浙江绍兴·开学考试）在三棱锥中，（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高二上·云南玉溪·开学考试）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（　　） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知向量，，不共面，下列选项中的三个向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．（25-26高二下·甘肃酒泉·期中）已知直四棱柱的棱长均为2，，则（    ） A．4 B．2 C． D． 5．（25-26高二下·江苏淮安·期中）如图所示，四面体所有棱长均为4，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·河南新乡·期中）如图，在三棱锥中，为的中点，，则（    ） A． B． C． D． 7．（26-27高三上·云南·开学考试）如图，在平行六面体中，底面为正方形，，棱为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外一点，且，若四点共面，则的最小值为（    ） A． B． C．9 D．4 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二·全国·暑假作业）在以下命题中，不正确的命题是（   ） A．已知A，B，C，D是空间任意四点，则 B．是共线的充要条件 C．若与共线，则表示与的有向线段所在直线平行 D．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若（其中），则P，A，B，C四点共面 10．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）若空间向量为非零向量，下列命题正确的有（    ） A．若，则. B．向量在向量上投影向量为. C．若不共线，则共面的充要条件是存在唯一实数对，使得. D．若向量两两夹角相同且是单位向量，则的取值范围为. 11．（25-26高二上·安徽·阶段检测）在平行六面体中，，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．直线与所成角的余弦值为 D．二面角的余弦值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高二上·广东揭阳·阶段检测）已知是空间的一个基底，向量，，，若，则的值________ 13．（25-26高二下·福建漳州·期中）在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为________． 14．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知向量，向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高二上·贵州铜仁·期中）已知，. (1)求向量的坐标； (2)设向量，，求； (3)若，求的值. 16．（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，. (1)以，，为基底向量，表示向量、； (2)求证：； (3)求的长. 17．（26-27高三上·重庆北碚·开学考试）如图，四棱锥中，底面，，，，.    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 18．（25-26高二下·河南新乡·期末）如图，四棱锥的底面为矩形，平面，点分别为棱的中点．    (1)证明：平面； (2)若与底面所成角为，平面平面，求平面与平面的夹角． 19．（24-25高二下·江苏徐州·期末）如图在多面体中，四边形是边长为4的正方形，四边形为等腰梯形，且，，，． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $立体几何空间寻迹，静心想象，构建解题模型 第一章 空间向量与立体几何单元测试卷（夯实篇） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（26-27高二上·浙江绍兴·开学考试）在三棱锥中，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量加法的三角形法则和相反向量的性质，逐步化简向量表达式即可得到结果. 【详解】由于，故C正确. 2．（26-27高二上·云南玉溪·开学考试）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若空间中两点关于平面对称，则它们的坐标相同，坐标互为相反数， 综上点的对称点坐标为. 3．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知向量，，不共面，下列选项中的三个向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】已知不共面，逐一判断： A：，故，，共面. B：，故，，共面. C：假设，整理得. 即，因不共面，不存在这样的，故，，不共面. D：，故，，共面. 4．（25-26高二下·甘肃酒泉·期中）已知直四棱柱的棱长均为2，，则（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】 在直四棱柱中，，， , . 5．（25-26高二下·江苏淮安·期中）如图所示，四面体所有棱长均为4，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算及数量积求解即可. 【详解】由题意知，为等边三角形，所以. 所以 . 6．（25-26高二下·河南新乡·期中）如图，在三棱锥中，为的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的加减法及数乘运算计算求解. 【详解】因为为的中点，所以， 因为， 所以． 7．（26-27高三上·云南·开学考试）如图，在平行六面体中，底面为正方形，，棱为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，设，以为基底，分别表示，再利用向量法即可求出异面直线与所成角. 【详解】设，则，． 以为基底，由题意得，． 因为，， 所以， ， ， 设异面直线与所成角为， 则， 即异面直线与所成角的余弦值为. 8．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外一点，且，若四点共面，则的最小值为（    ） A． B． C．9 D．4 【答案】A 【详解】因为四点共面，则有， 由共面条件可得，，即， 所以， 当且仅当，即，即时，等号成立. 故选A. 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二·全国·暑假作业）在以下命题中，不正确的命题是（   ） A．已知A，B，C，D是空间任意四点，则 B．是共线的充要条件 C．若与共线，则表示与的有向线段所在直线平行 D．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若（其中），则P，A，B，C四点共面 【答案】BCD 【分析】根据空间向量线性运算、模、平行、共面等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】，故A正确； 若，同向共线，则，故B不正确； 若与共线，则表示与的有向线段所在直线重合或平行，故C不正确； D选项中，只有时，才有P，A，B，C四点共面，故D不正确． 10．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）若空间向量为非零向量，下列命题正确的有（    ） A．若，则. B．向量在向量上投影向量为. C．若不共线，则共面的充要条件是存在唯一实数对，使得. D．若向量两两夹角相同且是单位向量，则的取值范围为. 【答案】BC 【详解】 对于A，如图，在正方体中，不妨设， 此时，但是，故A错误； 对于B，向量在向量上的投影向量为，故B正确； 对于C，根据共面向量基本定理，可知C正确； 对于D，设向量之间的夹角为，因， 则，因，则， 故的取值范围为，故D错误. 11．（25-26高二上·安徽·阶段检测）在平行六面体中，，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．直线与所成角的余弦值为 D．二面角的余弦值为 【答案】BCD 【分析】A：由结合数量积的运算求解出结果；B：根据结合数量积的运算求解出结果；C：先根据结合数量积的运算求解出，再由代入数据求解出结果；D：取的中点，通过几何关系可证即为所求二面角的平面角，结合线段长度以及余弦定理求解出结果. 【详解】对于A，令，则， 所以 ， 所以，故A错误； 对于B： ， 故B正确； 对于C，因为， 所以 ， 所以，故C正确； 对于D，因为， 所以， 因为， 所以， 取的中点，连接，因为， 所以，则即为所求二面角的平面角， 又因为， 所以，故D正确． 故选：BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高二上·广东揭阳·阶段检测）已知是空间的一个基底，向量，，，若，则的值________ 【答案】 【分析】由向量平行得到，求解即可. 【详解】因为，所以， 即，， 所以. 故答案为：. 13．（25-26高二下·福建漳州·期中）在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为________． 【答案】 【详解】由题意得，， ， ， 向量在直线上的投影长度为， 故点到直线的距离为 14．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知向量，向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据两向量夹角为锐角得向量数量积大于0且两向量不共线，列出不等式组，进而求出结果. 【详解】由题意得，则，解得； 当，则，此时，舍去. 综上，的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高二上·贵州铜仁·期中）已知，. (1)求向量的坐标； (2)设向量，，求； (3)若，求的值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用向量的坐标运算求出. （2）求出的坐标，再结合向量共线及模的坐标表示求解. （3）利用数量积的坐标表示及垂直关系的向量表示列式求出. 【详解】（1）由，得； （2）由（1）得，而， 因此，所以； （3）由（1）知，， 由，得 ，所以. 16．（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，. (1)以，，为基底向量，表示向量、； (2)求证：； (3)求的长. 【答案】(1)， (2) 因，，，， 则，， 由（1）得 ， 所以，即； (3) 【分析】（1）结合图形利用空间向量的线性运算求解； （2）利用空间向量的数量积证明； （3）利用空间向量的数量积的运算律计算即得. 【详解】（1）在中，根据空间向量的减法运算可得， ； （2）略 （3）由（1）知， 所以 ， 所以. 17．（26-27高三上·重庆北碚·开学考试）如图，四棱锥中，底面，，，，.    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)在中，， 由余弦定理得， 所以，故， 所以为直角三角形，且， 又因为面，平面，所以 又因为，且，平面， 所以面，平面， 所以， 又因为、、平面，所以 又因为平面平面，所以平面 (2) 【分析】（1）利用勾股定理逆定理得到，进而得到，然后利用线面平行的判定定理证得； （2）建立空间直角坐标系，求直线的方向向量和平面的法向量，结合向量夹角公式求结论. 【详解】（1）略 （2）因为平面，，以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    则 设为面的一个法向量， ，故， 令，解得， 记与面所成角为， 则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18．（25-26高二下·河南新乡·期末）如图，四棱锥的底面为矩形，平面，点分别为棱的中点．    (1)证明：平面； (2)若与底面所成角为，平面平面，求平面与平面的夹角． 【答案】(1)取的中点为，连接． 因为四边形是矩形，且点为的中点，所以，且， 又因为分别为的中点，所以，且， 所以，且，所以四边形为平行四边形， 所以，且平面，平面， 所以平面； (2) 【分析】（1）取PA中点G，利用中位线和平行四边形证明，根据线面平行判定定理证明即可.      （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解平面与平面的夹角． 【详解】（1）略 （2）因为平面，四边形为矩形，所以分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示．    因为与底面所成角为，即，所以． 过点作，垂足为. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面，所以． 又因为平面，平面，所以. 又因为平面，， 所以平面，平面，所以． 因为为中点，所以，即为等腰直角三角形，即。 又因为四边形是矩形，所以，所以，即． 设，则． 则， 设平面的法向量为， 则，即. 因为，即，则，令，则，所以； 设平面的法向量为， 则，即，即， 令，则，所以． 设平面与平面的夹角为，则， 所以，即平面与平面的夹角为． 19．（24-25高二下·江苏徐州·期末）如图在多面体中，四边形是边长为4的正方形，四边形为等腰梯形，且，，，． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明：∵四边形是正方形，，     ，，平面，平面，     平面，∴平面平面． (2) (3) 【分析】（1）利用面面垂直的判定定理证明可得； （2）过点作于，作，以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量方法可得； （3）由空间点到面的距离公式计算可得. 【详解】（1）略. （2）过点作于，由（1）知平面， ∵四边形是等腰梯形，，，， ，．         作，以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，             ，，，，． ，． 设平面的一个法向量，则，即， 令，，         又，， 同理设平面的一个法向量，则，即， 令，，         ，     ， 故平面与平面所成角的正弦值为． （3）设点到平面的距离为， 由（2）知，平面的一个法向量， ． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $