精品解析：内蒙古衡越教育集团（清北）2026-2027学年高三上学期第二次诊断数学试题

2026-2027学年第一学期高三年级二诊考试数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式化简集合A，再由集合的交集运算即可. 【详解】由题意知，， 则． 故选：C． 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算即可求解对应的点的坐标. 【详解】,则对应的点为，故在第三象限， 故选:C 3. 已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设， 是的必要不充分条件， 是的真子集， 又， ， 则，解得． 4. 已知函数，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为， 所以， 因为， 所以，即，故选项A正确. 5. 已知是定义在上且周期为的奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合，代入计算，即可求解. 【详解】因为函数是定义在上且周期为的奇函数，且当时，， 可得. 6. 在中，，，则外接圆的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 ，．设外接圆的半径为, 由正弦定理，，， ， 所以外接圆的面积. 7. 将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平移思想，结合正切函数平移都是奇函数，可得的取值可能，从而可得最小值. 【详解】函数的图象向左平移个单位， 得到函数, 由为奇函数，则， 因为，所以的最小值是， 故选：B. 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先变形得到，构造函数，求导得到其在上的单调性，从而得到，. 【详解】因为，所以. 设函数，则，当时，单调递减， 所以，所以，故. 故选：B 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知，，满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断ABD选项；利用二次函数的基本性质可判断C选项. 【详解】因为，，满足， 对于A选项，由基本不等式可得，所以， 当且仅当时，即当时，等号成立，A错； 对于B选项，， 当且仅当时，即当时，等号成立，B错； 对于C选项，， 当且仅当时，等号成立，C对； 对于D选项，， 当且仅当时，即当时，等号成立，D对. 故选：CD. 10. 已知△ABC中，内角的对边分别为为延长线上一点，的平分线交直线于，若，则（ ） A. B. C. 的面积为 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项由正弦定理计算判断即可；B选项由余弦定理计算判断即可；C选项由三角形面积公式计算判断即可；D选项利用余弦定理可求得，进而可得，结合正弦定理求解即可. 【详解】因为，，，所以由正弦定理，得，故A正确； 由余弦定理得，，因为，所以，故B错误； 的面积为，故C正确； 由余弦定理，得，因为，所以， 因为，是的角平分线，所以， 所以. 在中，由正弦定理，得·解得，故D错误. 故选：AC. 11. 已知为定义在R上的奇函数，当时，，则（ ） A. 曲线在点处的切线方程为 B. 的极大值为 C. 函数的极小值点为 D. 不等式的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】先求出当，的解析式，再根据导数的几何意义判断A；根据极大值的定义判断B；根据极小值点的定义判断C；把不等式是等价转化为或求解可判断D. 【详解】当时，，所以， 则，又，所以A错误； 当时，当时．，所以的极大值为， 又为奇函数，所以当时，有极小值，无极大,值，所以B正确； ，当或时， 当时，，所以的极小值点为，所以C正确； 根据， 或；或， 等价于或， 则，所以D正确． 故选：BCD 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若是第二象限角，，则______. 【答案】##-0.8 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系求出余弦值. 【详解】是第二象限角，，故. 故答案为： 13. 已知函数，则曲线在处的切线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】求出导函数，根据导数的几何意义得出切线的斜率，代入点斜式方程，即可求出切线方程. 【详解】由可得，∴. ∵. 所以曲线在处的切线方程为， 即. 故答案为：. 14. 已知函数若存在实数满足，且，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出每一段函数的值域，然后由题意得到，根据，可将化简为，构造函数，利用导数求最值即可. 【详解】结合解析式可知当时，；当时，. 因为，所以. 令，得，则， 故. 令，则， 令得；令得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 当时，， 因为，所以. 所以的取值范围为. 故答案为： 四、解答题（共5小题，共77分） 15. 已知函数． （1）求函数的单调递增区间及在上的最值； （2）若为锐角且，求的值． 【答案】（1）单调递增区间为，最大值为，最小值为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求解. （2）由（1）的结论结合题设，利用同角三角函数关系及两角差的余弦公式求解即得. 【小问1详解】 由，解得， 所以函数的单调递增区间为； 由，得， ， 所以，在的值域为. 所以函数的最大值为，最小值为， 【小问2详解】 由（1）知，， 由，得， 由，得， 所以，， 所以 . 16. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角B的大小； （2）若，且，求的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和辅助角公式得，求出； （2）由正弦定理和余弦定理得，开方可得答案 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 又，所以，所以， 即，， 又，所以，所以，所以； 【小问2详解】 由（1）知，，又， 则由正弦定理得． 由余弦定理可得，所以， 所以， 根据正弦定理得，， 因为，则，所以， 所以． 17. 设函数. （1）求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）求得，得到，利用直线的点斜式方程，求得切线方程为，进而求得三角形的面积； （2）由，得到，结合，得到在上单调递增，进而求得函数的最值. 【小问1详解】 解：由题意，函数， 则，可得， 所以曲线在点处的切线方程为， 即，可得直线在x轴，y轴上的截距分别为，， 所以所求三角形的面积为. 【小问2详解】 解：由， 则，所以函数为增函数， 又因为，所以当时，， 所以函数在上单调递增， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为. 即函数在区间上的最大值为，最小值为. 18. 如图，在直三棱柱中，，为棱的中点，为的中点，且． （1）求证：； （2）若三棱锥的四个顶点均在球的表面上． ①求平面截球的表面所得圆的周长； ②求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 证明：由题意知平面，又平面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以； （2）① ；② 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定可证明平面，即可求证， （2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，进而利用外接球的性质，结合勾股定理求解球心位置，或者利用空间中两点距离公式求解球心坐标，进而可求解所截的圆的半径，即可求解①，利用向量法即可求解②. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得两两垂直，以为原点，直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则． 所以， 设平面的一个法向量，则，即， 令，得，所以， 法1：因为是以为斜边的直角三角形，所以的外心为线段的中点， 其坐标为，且平面，所以在上，于是设， 由，得，即，解得， 所以，所以，球的半径． 法2：设，由，得， 解得，即， 所以，球的半径． ①设点到平面的距离为，则， 所以截面圆的半径， 故截面圆的周长为； ②，设与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程． （2）证明：在上单调递减． （3）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值． 【答案】（1） （2） 令，， 则， 所以当时，，因此函数在上单调递增， 当时，，因此函数在上单调递减， 故函数的最大值为， 即在上恒成立， 则在上单调递减． （3） 【解析】 【分析】（1）求出导函数，即可求出切线的斜率，再求切点坐标，最后利用点斜式计算可得； （2）令，利用导数求得函数的最大值为，则在上恒成立，可得证； （3）关于的不等式恒成立，转化为恒成立，设，利用导数求出的最大值范围，即可求出整数的最小值． 【小问1详解】 因为，所以， ，又，即切点为，切线的斜率， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 关于的不等式恒成立，即恒成立， 由于，所以恒成立， 设，则， 由（2）知在上单调递减，且，， 所以存在唯一，使得，即， 则当时，，因此函数在上单调递增， 当时，，因此函数在上单调递减， 故函数的最大值为， 因为在上单调递增，则， 要使恒成立，且为整数， 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期高三年级二诊考试数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则（ ） A. B. 1 C. D. 5. 已知是定义在上且周期为的奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，，则外接圆的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知，，满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知△ABC中，内角的对边分别为为延长线上一点，的平分线交直线于，若，则（ ） A. B. C. 的面积为 D. 11. 已知为定义在R上的奇函数，当时，，则（ ） A. 曲线在点处的切线方程为 B. 的极大值为 C. 函数的极小值点为 D. 不等式的解集为 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若是第二象限角，，则______. 13. 已知函数，则曲线在处的切线方程为______. 14. 已知函数若存在实数满足，且，则的取值范围为__________. 四、解答题（共5小题，共77分） 15. 已知函数． （1）求函数的单调递增区间及在上的最值； （2）若为锐角且，求的值． 16. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角B的大小； （2）若，且，求的值． 17. 设函数. （1）求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 18. 如图，在直三棱柱中，，为棱的中点，为的中点，且． （1）求证：； （2）若三棱锥的四个顶点均在球的表面上． ①求平面截球的表面所得圆的周长； ②求直线与平面所成角的正弦值． 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程． （2）证明：在上单调递减． （3）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $