1.4 充分条件与必要条件（6个核心题型归纳）讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学“充分条件与必要条件”核心知识点，从命题的定义与真假判断切入，通过推出关系建立逻辑联结，结合集合视角深化对充分、必要、充要条件的理解，构建从基础概念到判断、证明、参数求解等题型的完整学习支架。 该资料以题型汇编为主线，通过集合包含关系培养数学眼光，借助双向推理与严谨证明训练数学思维，结合生活情境例题强化数学语言表达。课中辅助教师系统授课，课后通过分层练习帮助学生查漏补缺，有效提升逻辑推理与问题解决能力。

1.4 充分条件与必要条件 总览 题型·解读 【重难点突破】2026-2027学年高一上学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【教材知识梳理】 1．命题 用__自然语言、符号或式子______表达，且可以__判断其真假______的语句叫做命题．命题通常用陈述句表述．其含义__判断为真______的命题叫做真命题，_判断为假_______的命题叫做假命题． 说明：（1）判定一个语句是否为命题需满足两个条件：①陈述句，②可判断真假．只有这两个条件都具备，才可以称这个语句为命题； （2）判断的结果可真可假，但真假必居其一，假命题也是命题； （3）判断命题的真假应写“真命题、假命题”，而不写“正确、错误”． 2．推出关系 （1）命题“若，则”是真命题，是指_所有_______满足条件的对象都满足结论，用集合的语言描述即_满足满足_______．所以，要确定这类命题是真命题，就必须给出其证明； （2）命题“若，则”是假命题，是指__存在______满足条件的对象，它不满足结论．所以，要确定这类命题是假命题，可以举一个满足条件而不满足结论的例子就可以了； （3）如果命题“若，则”是真命题，那么就称推出，记作_（或_______． 因为子集关系满足传递性，所以推出关系也满足传递性：若且，则________． 说明：“若，则”是真命题与是同一种逻辑关系，前者是用文字语言表达，后者是用符号语言表达，不同的表述而已． 3．充分条件与必要条件： 命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 推出关系 由p可以推出q，记作_p⇒q__ 由p不能推出q，记作___ 条件关系 p是q的_充分条件__ p不是q的充分条件___ q是p的_必要条件__ q不是p的_必要条件__ 4．充要条件 一般地，如果既有________，又有________，就记作________．此时，我们说是的充分必要条件，简称充要条件．显然，如果是的充要条件，那么也是的充要条件，即如果________，那么与互为充要条件． 概括地说， （1）如果_______，那么与互为充要条件． （2）若________，但________，则称是的充分不必要条件． （3）若___ _____，但________，则称是的必要不充分条件． （4）若________，且________，则称是的既不充分也不必要条件． 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】 充分条件与必要条件的判断 基础知识 核心知识 若则是的充分条件是的必要条件 若则不是的充分条件不是的必要条件 集合视角：设若则 方法技巧 1.分清条件与结论 2.尝试推导能否推出 3.可用集合包含关系辅助判断 4.举反例可证明推导不成立 典型例题 【例题 1】（26-27高一上·全国·课堂例题）用充分条件、必要条件填空： （1）“”是“且”的______； （2）“”是“”的______. 【例题2】（26-27高一上·全国·课堂例题）判断下列各题中，p是否是q的充分条件： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，； (5)在中，，. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高一上·全国·课堂例题）“”是“方程有实根”的______条件．（用“充分”“必要”填空） 【巩固练习2】（2026·新疆乌鲁木齐·三模）已知，则（    ） A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的必要条件 【巩固练习3】（25-26高一上·江苏连云港·期中）（多选）下列所给的各组p，q中，p是q必要条件的有（   ） A．：，： B．：，，： C．：在中，，：在中， D．：，：关于x的方程有两个不同的实数解 【题型2】 充要条件的判断 基础知识 核心知识 若且记作则是的充要条件 集合视角：时与互为充要条件 方法技巧 1.双向验证分别证明和 2.利用集合相等判断 3.注意区分“是的充要条件”与“的充要条件是”语序差别 4.可以转化为等价命题简化判断 典型例题 【例题1】（河南省安阳市天一大联考2025-2026学年高一上学期12月期中数学试题）若，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例题2】（25-26高一上·河南安阳·期中）“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·重庆·期中）已知集合则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【巩固练习2】（25-26高一上·江苏徐州·期中）设，则的充要条件是（   ） A． B． C．且 D．或 【巩固练习3】（25-26高三上·湖南株洲·阶段检测）设，则“”的充要条件是（ ） A．不都为1 B．都不为1 C．不都为0 D．中至少有一个为1 【题型3】 充要条件的证明 基础知识 核心知识 充要条件证明必须分两步证充分性证必要性 充分性：由条件推结论 必要性：由结论推条件 方法技巧 1.看清题意分清充分性与必要性分别要证哪一个方向 2.充分性：条件结论 3.必要性：结论条件 4.推理严谨每一步要有依据 5.不要只证单向 典型例题 【例题1】（2026高一·全国·专题练习）证明：“是方程的实数根”的充要条件是“”． 【例题2】（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）请选择“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填入下面空格处．并完成第（2）问的证明． (1)是的___________条件： (2)已知，证明：成立的___________条件是． 提示： 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）已知二次函数，其中且. (1)证明：二次函数与轴正半轴和负半轴各有一个交点的充要条件是； (2)若，且当和时，y均为奇数，证明：方程无整数根. 【巩固练习2】（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）已知，是正实数，求证：成立的充要条件是. 【巩固练习3】（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）已知，求证：的充要条件是． （参考公式：） 【题型4】 由充分条件与必要条件求参数 基础知识 核心知识 是充分条件 是必要条件 方法技巧 1.写出命题对应的集合 2.根据条件转化为集合包含关系 3.列出不等式组求解参数范围 4.单独检验区间端点是否满足题意 典型例题 【例题1】（25-26高二下·江苏·阶段检测）已知集合，集合或． (1)若， ，求实数的取值范围； (2)设，，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围． 【例题2】设全集，集合，，若是成立的充分条件，求实数的取值范围. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026高三·全国·专题练习）已知集合，．若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围是______． 【巩固练习2】（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知全集，集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要条件，求a的取值范围． 【巩固练习3】（25-26高一上·陕西宝鸡·期末）已知集合，. (1)若，求； (2)若是的必要条件，求实数的取值范围. 【题型5】 由充分不必要条件与必要不充分条件求参数 基础知识 核心知识 是充分不必要条件 是必要不充分条件 方法技巧 1.写出两个命题对应的集合 2.转化为真子集关系 3.列不等式严格区分子集与真子集 4.端点单独验证排除等号成立的情况 典型例题 【例题1】（25-26高一上·四川凉山·期末）已知集合或． (1)当时，求； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【例题2】（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）已知集合，集合. (1)若，全集，求； (2)若，求实数m的取值范围； (3)设命题p：；命题q：，若命题p是命题q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高一上·甘肃庆阳·开学考试）已知，，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是______． 【巩固练习2】（25-26高一上·湖南娄底·期末）设全集，集合，. (1)若，求集合； (2)命题，命题，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【巩固练习3】（25-26高三·全国·一轮复习）已知集合，或，. (1)求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【题型6】 求已知命题的充分不必要或必要不充分条件 基础知识 核心知识 的充分不必要条件是且即 的必要不充分条件是且即 方法技巧 1.写出原命题对应集合 2.充分不必要条件对应集合是的真子集 3.必要不充分条件对应集合包含且不等于 4.答案不唯一写出满足条件的一个即可 典型例题 【例题1】（26-27高一上·全国·课后作业）设，是两个实数，命题：“，中至少有一个数大于”成立的充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 【例题2】（25-26高二下·云南曲靖·阶段检测）设集合，集合，则“”的一个必要不充分条件是（     ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·广西北海·期末）“”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（25-26高一上·江苏盐城·期中）已知，写出p的一个必要不充分条件________________. 【巩固练习3】（25-26高一上·海南·阶段检测）设，则“”的一个充分不必要条件是______.（写出一个满足条件的答案即可） 课后过关检测 一、单选题 1．（2026·湖南株洲·模拟预测）“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高一上·上海奉贤·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 3．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（26-27高三上·湖北孝感·开学考试）“”是“关于的方程有一正一负根”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5．（25-26高一上·江苏常州·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2026·天津南开·二模）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（25-26高一下·安徽·开学考试）“”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知p：a＝b，q：|a|＝|b|，则下列说法正确的是（　　） A．q是p的充分不必要条件 B．p是q的充分不必要条件 C．q的必要不充分条件是p D．p的必要不充分条件是q 9．（24-25高一上·贵州贵阳·阶段检测）使“或”成立的一个充分不必要条件是（    ） A．或 B．或 C． D．或 10．（25-26高二下·陕西安康·期末）对于实数，，使不等式成立的一个充分不必要条件可以是（     ） A． B． C． D． 三、填空题 11．（25-26高一上·山西长治·期末）已知，则是的___________条件．（选“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”之一填空） 12．（25-26高二·全国·暑假作业）已知是的充分不必要条件，是的必要条件，是的充要条件，那么是的_________条件. 四、解答题 13．（25-26高一上·山西运城·期末）已知命题，使得，当命题为真命题时，实数的取值集合为. (1)求集合； (2)设非空集合，若是的充分条件，求实数的取值范围. 14．（26-27高一上·甘肃嘉峪关·开学考试）已知集合，. (1)当时，求，；；； (2)若“”是“”成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 15．（25-26高二下·宁夏银川·期末）已知集合，． (1)当时，求，； (2)设，，若是的必要不充分条件，求的取值范围． 16．已知全集，集合 ，若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 17．（25-26高一上·河北衡水·期末）已知集合，集合或． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)设，，若是的充分条件，求实数的取值范围． 18．（24-25高二上·湖南株洲·阶段检测）已知命题，或，若是的充分不必要条件，求的取值范围． $1.4 充分条件与必要条件 总览 题型·解读 【重难点突破】2026-2027学年高一上学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【教材知识梳理】 1．命题 用__自然语言、符号或式子______表达，且可以__判断其真假______的语句叫做命题．命题通常用陈述句表述．其含义__判断为真______的命题叫做真命题，_判断为假_______的命题叫做假命题． 说明：（1）判定一个语句是否为命题需满足两个条件：①陈述句，②可判断真假．只有这两个条件都具备，才可以称这个语句为命题； （2）判断的结果可真可假，但真假必居其一，假命题也是命题； （3）判断命题的真假应写“真命题、假命题”，而不写“正确、错误”． 2．推出关系 （1）命题“若，则”是真命题，是指_所有_______满足条件的对象都满足结论，用集合的语言描述即_满足满足_______．所以，要确定这类命题是真命题，就必须给出其证明； （2）命题“若，则”是假命题，是指__存在______满足条件的对象，它不满足结论．所以，要确定这类命题是假命题，可以举一个满足条件而不满足结论的例子就可以了； （3）如果命题“若，则”是真命题，那么就称推出，记作_（或_______． 因为子集关系满足传递性，所以推出关系也满足传递性：若且，则________． 说明：“若，则”是真命题与是同一种逻辑关系，前者是用文字语言表达，后者是用符号语言表达，不同的表述而已． 3．充分条件与必要条件： 命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 推出关系 由p可以推出q，记作_p⇒q__ 由p不能推出q，记作___ 条件关系 p是q的_充分条件__ p不是q的充分条件___ q是p的_必要条件__ q不是p的_必要条件__ 4．充要条件 一般地，如果既有________，又有________，就记作________．此时，我们说是的充分必要条件，简称充要条件．显然，如果是的充要条件，那么也是的充要条件，即如果________，那么与互为充要条件． 概括地说， （1）如果_______，那么与互为充要条件． （2）若________，但________，则称是的充分不必要条件． （3）若___ _____，但________，则称是的必要不充分条件． （4）若________，且________，则称是的既不充分也不必要条件． 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】 充分条件与必要条件的判断 基础知识 核心知识 若则是的充分条件是的必要条件 若则不是的充分条件不是的必要条件 集合视角：设若则 方法技巧 1.分清条件与结论 2.尝试推导能否推出 3.可用集合包含关系辅助判断 4.举反例可证明推导不成立 典型例题 【例题 1】（26-27高一上·全国·课堂例题）用充分条件、必要条件填空： （1）“”是“且”的______； （2）“”是“”的______. 【答案】 必要条件 充分条件 【详解】（1）设,且， 分析：若成立，不一定能推出且， 例如，，满足，但不满足. 分析:若且，两个负数相加一定是负数，则成立. 所以根据定义“”是“且”的必要条件. （2）设,， 先解方程得或， 分析，将代入q命题的方程，等式成立，因此， 分析，若方程成立，x可以是5，不一定是2，因此q不能推出p， 所以根据定义 “”是“”的充分条件. 【例题2】（26-27高一上·全国·课堂例题）判断下列各题中，p是否是q的充分条件： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，； (5)在中，，. 【答案】(1)p是q的充分条件 (2)p不是q的充分条件 (3)p是q的充分条件 (4)p不是q的充分条件 (5)p是q的充分条件 【详解】（1）有理数集是实数集的子集，若是有理数，则一定是实数，成立， 因此是的充分条件. （2）举反例：取，，满足，不满足， 即成立时不一定成立，不成立，因此不是的充分条件. （3）若，两边同时乘正数，必然有，成立，因此是的充分条件. （4）由可得或，存在满足但不满足， 即成立时不一定成立，不成立，因此不是的充分条件. （5）根据三角形的“大角对大边”性质，在同一个三角形中，若内角， 则所对的边一定大于所对的边，成立，因此是的充分条件. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高一上·全国·课堂例题）“”是“方程有实根”的______条件．（用“充分”“必要”填空） 【答案】充分 【分析】依次检验条件的充分性与必要性是否满足即可. 【详解】充分性：当时，方程为，此时，所以方程有实根，充分性满足. 必要性：方程有实根，等价于，解得.所以必要性不满足. 综上，“”是“方程有实根”的充分条件. 【巩固练习2】（2026·新疆乌鲁木齐·三模）已知，则（    ） A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的必要条件 【答案】D 【详解】对于A，若，满足，而， 则“”不是“”的充分条件，故A错误； 对于B，若，满足，而， 则“”不是“”的必要条件，故B错误； 对于C，由，当时，， 则“”不是“”的充分条件，故C错误； 对于D，由，则且，即， 所以“”是“”的必要条件，故D正确. 【巩固练习3】（25-26高一上·江苏连云港·期中）（多选）下列所给的各组p，q中，p是q必要条件的有（   ） A．：，： B．：，，： C．：在中，，：在中， D．：，：关于x的方程有两个不同的实数解 【答案】ACD 【分析】由，得，可判断A，通过特殊值举例可判断B，由三角形基本性质可判断C，由判别式可判断D. 【详解】对于A: 由，得，则一定成立，而当时，如，不成立，所以p是q的必要不充分条件； 对于B，由，，可得， 取，满足，此时， 故p是q的充分不必要条件， 对于C，因为在三角形中大边对大角，小边对小角，反之也成立，所以当时，有，当时，有，所以p是q的充要条件； 对于D，当时，关于x的方程只有一个实根，若关于x的方程有两个不同实数解时，则，得且，所以p是q的必要不充分条件； 故选：ACD 【题型2】 充要条件的判断 基础知识 核心知识 若且记作则是的充要条件 集合视角：时与互为充要条件 方法技巧 1.双向验证分别证明和 2.利用集合相等判断 3.注意区分“是的充要条件”与“的充要条件是”语序差别 4.可以转化为等价命题简化判断 典型例题 【例题1】（河南省安阳市天一大联考2025-2026学年高一上学期12月期中数学试题）若，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】将等式进行等价变形，结合充分条件、必要条件的定义判断即可得出结论. 【详解】若，由得，即，即，即， 若且，即且，此时， 若，则“”是“”的充要条件. 故选：C. 【例题2】（25-26高一上·河南安阳·期中）“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充要条件的概念求解即可. 【详解】因为，， 所以， 又， 所以， 故选：C 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·重庆·期中）已知集合则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分必要条件的定义判断. 【详解】若，则一定有，因此“”是“”的充分条件， 若，又有，则有，因此若集合，则“”是“”的必要条件， 所以若集合，则“”是“”的充要条件. 故选：C. 【巩固练习2】（25-26高一上·江苏徐州·期中）设，则的充要条件是（   ） A． B． C．且 D．或 【答案】C 【分析】由等价于求解即可. 【详解】等价于，即且， 故选：C 【巩固练习3】（25-26高三上·湖南株洲·阶段检测）设，则“”的充要条件是（ ） A．不都为1 B．都不为1 C．不都为0 D．中至少有一个为1 【答案】B 【分析】将整理得到，从而得到且. 【详解】， ， ， ， ， 且，即都不为1， 故选：B. 【题型3】 充要条件的证明 基础知识 核心知识 充要条件证明必须分两步证充分性证必要性 充分性：由条件推结论 必要性：由结论推条件 方法技巧 1.看清题意分清充分性与必要性分别要证哪一个方向 2.充分性：条件结论 3.必要性：结论条件 4.推理严谨每一步要有依据 5.不要只证单向 典型例题 【例题1】（2026高一·全国·专题练习）证明：“是方程的实数根”的充要条件是“”． 【答案】①充分性，当时，， 代入方程，得， 满足此方程，充分性成立， ②必要性，当时，代入方程，则，必要性成立， 综上，是方程的实数根的充要条件是． 【分析】根据代入方程，因式分解即可求证充分性成立，将代入方程中即可求证必要性． 【详解】略 【例题2】（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）请选择“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填入下面空格处．并完成第（2）问的证明． (1)是的___________条件： (2)已知，证明：成立的___________条件是． 提示： 【答案】(1)必要不充分 (2) 成立的充要条件是． 先证必要性： ； 再证充分性： ， 即： ，即． 综上所述：成立的充要条件是． 【分析】（1）利用充分条件和必要条件的定义判断即可； （2）利用充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】（1）当时，令，此时不成立， 当时，可得且， 所以， 所以是的必要不充分条件． （2）略 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）已知二次函数，其中且. (1)证明：二次函数与轴正半轴和负半轴各有一个交点的充要条件是； (2)若，且当和时，y均为奇数，证明：方程无整数根. 【答案】(1) 必要性：若一元二次方程有一正根和一负根， 则由韦达定理得：，即； 充分性：若成立，此时方程一元二次方程的， 方程有两个不同的根，且，即一元二次方程有一正根和一负根. 所以一元二次方程有一正根和一负根的充要条件是. (2) 当时，为奇数， 当时，均为奇数，因为为奇数，所以为偶数， 所以同为奇数或同为偶数， 假设有整数根，则， 1.当均为偶数时，则为偶数，为偶数，又为奇数， 所以为奇数，所以，与假设矛盾； 2.当均为奇数时，若为偶数，则为偶数，为偶数， 又为奇数，所以为奇数，所以，与假设矛盾； 若为奇数，则为奇数，为奇数， 又为奇数，所以为奇数，所以，与假设矛盾； 综上，假设不成立，所以方程无整数根. 【分析】（1）利用充分条件和必要条件的定义证明. （2）利用反证法，由题意得同为奇数或同为偶数，为奇数，假设有整数根，分同为奇数，同为偶数，结合的奇偶性可证结论. 【详解】（1）略 （2）略 【巩固练习2】（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）已知，是正实数，求证：成立的充要条件是. 【答案】证明: ， ， 因为，是正实数， 所以 ， 得证. 【分析】通过因式分解得到 ，即可求证. 【详解】略. 【巩固练习3】（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）已知，求证：的充要条件是． （参考公式：） 【答案】 ， 而，所以， 所以时，， 综上所述，时，的充要条件是． 【分析】直接根据立方和公式因式分解即可得证. 【详解】略 【题型4】 由充分条件与必要条件求参数 基础知识 核心知识 是充分条件 是必要条件 方法技巧 1.写出命题对应的集合 2.根据条件转化为集合包含关系 3.列出不等式组求解参数范围 4.单独检验区间端点是否满足题意 典型例题 【例题1】（25-26高二下·江苏·阶段检测）已知集合，集合或． (1)若， ，求实数的取值范围； (2)设，，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由题意可得，解出即可得； （2）由题意可得 ，再分及计算即可得. 【详解】（1）若 ，则A的所有元素都不在B中，可得不等式组， 解得 ，即m的取值范围为； （2）若p是q的充分条件，则 ，即A的所有元素都属于B， ①，此时 ，解得； ②，此时，解得； 综上，的取值范围是或． 【例题2】设全集，集合，，若是成立的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】将充分条件转化为子集关系，再结合集合的子集关系，进行分类讨论即可求解. 【详解】因为是成立的充分条件，所以； 当时，，解得，此时满足题意； 当时，，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026高三·全国·专题练习）已知集合，．若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据题意，分别求得集合和，再由“”是“”的充分条件，得到，列出不等式，即可求解. 【详解】由函数， 因为，可得，所以， 由不等式，可得，所以集合． 又因为“”是“”的充分条件，可得， 则满足，即，解得或， 所以实数的取值范围是． 【巩固练习2】（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知全集，集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要条件，求a的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由集合的并集与补集运算求解即可； （2）由于“”是“”的必要条件，所以，分与求解a的取值范围即可. 【详解】（1）当时，，所以， 所以或. （2）因为“”是“”的必要条件，所以， 当时，则，即，符合题意 ； 当时，则，即； 综上所述：a的取值范围. 【巩固练习3】（25-26高一上·陕西宝鸡·期末）已知集合，. (1)若，求； (2)若是的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）应用集合的并运算求； （2）根据已知有，列不等式求参数范围即可. 【详解】（1），当时， 所以； （2）由（1）得，， 因为是的必要条件，所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 【题型5】 由充分不必要条件与必要不充分条件求参数 基础知识 核心知识 是充分不必要条件 是必要不充分条件 方法技巧 1.写出两个命题对应的集合 2.转化为真子集关系 3.列不等式严格区分子集与真子集 4.端点单独验证排除等号成立的情况 典型例题 【例题1】（25-26高一上·四川凉山·期末）已知集合或． (1)当时，求； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）由集合的运算可得； （2）先由已知判断是的真子集，再由集合间的包含关系列不等式可得. 【详解】（1）因为，所以或或 所以， 或 （2）因为是的必要不充分条件，则是的真子集． 则或，所以或， 所以实数m的取值范围为或. 【例题2】（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）已知集合，集合. (1)若，全集，求； (2)若，求实数m的取值范围； (3)设命题p：；命题q：，若命题p是命题q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）先求出，根据交集的概念得到答案； （2）分和两种情况，得到不等式，求出答案； （3）先得到为的真子集，分和两种情况，得到不等式，求出答案. 【详解】（1）时，，故或， ， 故或 ； （2）， ，当时，，解得， 当时，需满足或，解得， 综上，实数m的取值范围为； （3）命题p是命题q的必要不充分条件，故为的真子集， 若，则，解得， 若，需满足或， 解得， 综上，实数m的取值范围为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高一上·甘肃庆阳·开学考试）已知，，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【详解】因为p是q的充分不必要条件， 所以是的真子集， 则，且两个等号不同时成立，得， 故实数m的取值范围是. 【巩固练习2】（25-26高一上·湖南娄底·期末）设全集，集合，. (1)若，求集合； (2)命题，命题，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或， (2) 【分析】（1）根据补集的定义和并集的定义进行求解即可； （2）根据充分不必要的定义进行求解即可. 【详解】（1），， 所以或，； （2）因为是的充分不必要条件，所以且， 所以，其中等号不同时成立，解得， 所以实数的取值范围是. 【巩固练习3】（25-26高三·全国·一轮复习）已知集合，或，. (1)求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出集合，再求出，最后由交集的运算求出； （2）先求出，再求出，再由充分不必要条件转化为集合间关系，构造关于的方程组，解出即可. 【详解】（1）因为，又， 所以. （2） 或，所以， 因为“”是“”的充分不必要条件， 则，又， 所以，解得. 即实数的取值范围为. 【题型6】 求已知命题的充分不必要或必要不充分条件 基础知识 核心知识 的充分不必要条件是且即 的必要不充分条件是且即 方法技巧 1.写出原命题对应集合 2.充分不必要条件对应集合是的真子集 3.必要不充分条件对应集合包含且不等于 4.答案不唯一写出满足条件的一个即可 典型例题 【例题1】（26-27高一上·全国·课后作业）设，是两个实数，命题：“，中至少有一个数大于”成立的充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据充分不必要条件的定义结合选项逐项判断. 【详解】对于选项A，当时，满足，但命题不成立； 即由不能推出命题：“，中至少有一个数大于”成立， 所以不是命题“，中至少有一个数大于”成立的充分条件，A错误； 对于选项C，D，当时，满足，，但命题不成立. 即由不能推出命题：“，中至少有一个数大于”成立， 由不能推出命题：“，中至少有一个数大于”成立， 所以不是命题“，中至少有一个数大于”成立的充分条件，C错误； 不是命题“，中至少有一个数大于”成立的充分条件，D错误； 对于选项B，当时，若，都小于等于，则，与矛盾， 所以由可推出命题“，中至少有一个数大于”成立， 若命题“，中至少有一个数大于”成立， 例如，此时，此时不成立， 故由命题“，中至少有一个数大于”成立不能推出， 所以是命题“，中至少有一个数大于”成立的充分不必要条件. 【例题2】（25-26高二下·云南曲靖·阶段检测）设集合，集合，则“”的一个必要不充分条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】集合， 集合， 当时，，； 当时，； 若，则； 若，则； 若，推不出. 所以是的充要条件； 是的必要不充分条件； 和都是的既不充分也不必要条件. 所以的一个必要不充分条件是. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·广西北海·期末）“”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据充分不必要条件的定义判断即可. 【详解】A选项，时，一定推出， 反之若时，例如，无法推出， 故是的充分不必要条件，A选项正确； B选项，显然是的充要条件，B选项不正确； C选项，若，取，则不满足，充分性不成立，C选项错误； D选项，若，取，类似C的分析可知充分性不成立，D选项错误. 故选：A 【巩固练习2】（25-26高一上·江苏盐城·期中）已知，写出p的一个必要不充分条件________________. 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意，只需写出的范围满足是的真子集即可. 【详解】根据题意，需要寻求p的一个必要不充分条件， 故只需满足是所写范围的真子集即可，故可以为， 此时，是必要不充分条件. 故答案为：（答案不唯一） 【巩固练习3】（25-26高一上·海南·阶段检测）设，则“”的一个充分不必要条件是______.（写出一个满足条件的答案即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】先解绝对值不等式，再由充分不必要条件即可直接得解. 【详解】解得， 则是的一个充分不必要条件. 故答案为：（答案不唯一） 课后过关检测 一、单选题 1．（2026·湖南株洲·模拟预测）“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】，解得， 当时，成立，故“”是“”的充分条件； 当时，，不能推出，故必要性不成立； “”是“”的充分不必要条件． 2．（25-26高一上·上海奉贤·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】C 【分析】分别判断充分性与必要性即可得. 【详解】若，则，故“”是“”的充分条件， 若，则，故“”是“”的必要条件， 综上可得：“”是“”的充要条件. 3．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】，，解得， ，， 当满足，则其一定满足， 即由可以推出， “”是“”的充分条件; 若时，其满足，不满足， 即由不能推出; “”不是“”的必要条件， “”是“”的充分不必要条件. 4．（26-27高三上·湖北孝感·开学考试）“”是“关于的方程有一正一负根”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】方程有一正一负根的等价条件： 对于一元二次方程有一正一负根， 只需满足两根之积（此时判别式会自动成立）. 本题中，因此两根之积为，方程有一正一负根等价于. 由此可知：“”和“方程有一正一负根”可以互相推出，因此是充要条件. 5．（25-26高一上·江苏常州·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】当时，不妨取，，满足条件，但推不出； 当时，一定有，故“”是“”的必要不充分条件. 6．（2026·天津南开·二模）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由， 因当且仅当，即时取等， 显然不能全都为0，故，则由可得； 反之，当时，必有成立. 故得“”是“”的充要条件. 7．（25-26高一下·安徽·开学考试）“”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知等价于，根据包含关系结合充分、必要条件逐项分析判断. 【详解】若，解得，即等价于. 对于选项A：因为集合与集合之间不存在包含关系， 可知是的既不充分也不必要条件，故A错误； 对于选项B：因为集合与集合相等， 可知是的充要条件，故B错误； 对于选项C：因为集合是集合的真子集， 可知是的充分不必要条件，故C正确； 对于选项D：因为集合是集合的真子集， 可知是的必要不充分条件，故D错误. 二、多选题 8．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知p：a＝b，q：|a|＝|b|，则下列说法正确的是（　　） A．q是p的充分不必要条件 B．p是q的充分不必要条件 C．q的必要不充分条件是p D．p的必要不充分条件是q 【答案】BD 【分析】本题考查充分条件、必要条件的概念，若且，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件. 【详解】若，则，所以， 若，则不一定推出，比如，满足，但，所以， 所以是的充分不必要条件，是的必要不充分条件， 所以BD正确. 9．（24-25高一上·贵州贵阳·阶段检测）使“或”成立的一个充分不必要条件是（    ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】BC 【分析】根据充分不必要条件确定正确答案. 【详解】题目求使“或”成立的一个充分不必要条件， 即求集合或的真子集， 所以BC选项正确，AD选项错误. 10．（25-26高二下·陕西安康·期末）对于实数，，使不等式成立的一个充分不必要条件可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】因为二次函数的， 对于A，若，则，所以不等式恒成立， 所以能推出不等式， 当不等式成立时，不一定大于， 当时，不等式也成立， 故不等式推不出， 所以是不等式的充分不必要条件，故A正确； 对于B，将代入，不能推出不等式，故B错误； 对于C，若，分两种情况： ①若，不等式变为：成立， ②若对任意的，，成立， 所以能推出不等式， 取，成立，但， 所以不等式推不出， 所以是不等式的充分不必要条件，故C正确； 对于D，不等式成立时，实数，不同时为， 即，所以不等式能推出， 必要性成立，故D错误. 三、填空题 11．（25-26高一上·山西长治·期末）已知，则是的___________条件．（选“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”之一填空） 【答案】必要不充分 【详解】因为是的真子集， 则是的必要不充分条件． 12．（25-26高二·全国·暑假作业）已知是的充分不必要条件，是的必要条件，是的充要条件，那么是的_________条件. 【答案】充分不必要 【分析】根据充要条件与命题间的推出关系的对应表示，易得结论. 【详解】由已知得，，，. 但由于推不出，所以推不出， 故是的充分不必要条件. 四、解答题 13．（25-26高一上·山西运城·期末）已知命题，使得，当命题为真命题时，实数的取值集合为. (1)求集合； (2)设非空集合，若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据计算可得； （2）依题意可得，又，即可得到不等式组，解得即可. 【详解】（1）因为命题，使得，为真命题， 所以，即，解得， 所以. （2）因为是的充分条件，所以， 又因为为非空集合，且， ， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 14．（26-27高一上·甘肃嘉峪关·开学考试）已知集合，. (1)当时，求，；；； (2)若“”是“”成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)，，或， (2) 【详解】（1）当时，，结合， 则，，或，； （2）因为“”是“”成立的必要不充分条件，所以且，即； 首先判断集合的空集情况：， 其判别式，即恒成立， 故对任意恒成立，即； 要满足 ，需满足不等式组：，且两等号不能同时成立； 解第一个不等式得，解第二个不等式得，即或， 取二者公共部分得， 当时，，，此时，不符合题意， 故实数的取值范围为. 15．（25-26高二下·宁夏银川·期末）已知集合，． (1)当时，求，； (2)设，，若是的必要不充分条件，求的取值范围． 【答案】(1)，或 (2) 【分析】（1）把代入集合，然后求出，； （2）转化条件间的关系为集合间的关系，从而求出的取值范围. 【详解】（1）把代入集合，得 ，， 或. （2）设，，若是的必要不充分条件，则真包含B， 那么，解得 , 所以的取值范围为. 16．已知全集，集合 ，若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】条件可转化为，分和分别列不等式求的范围. 【详解】∵“”是“”的必要条件， ∴，∴. 当，即时，，满足． 当时，由，得，解得. 综上所述，实数的取值范围是． 17．（25-26高一上·河北衡水·期末）已知集合，集合或． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)设，，若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）当时，求出集合，利用补集和并集的定义可求得集合； （2）根据交集的运算可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围； （3）分析可知，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】（1）当时，或，则， 又因为，故. （2）因为，集合或，且， 所以，解得，故实数的取值范围是. （3）因为是的充分条件，则，所以或，解得或， 因此实数的取值范围是或. 18．（24-25高二上·湖南株洲·阶段检测）已知命题，或，若是的充分不必要条件，求的取值范围． 【答案】 【分析】将命题、对应集合、，则是的真子集，由集合关系列不等式求解的取值范围. 【详解】命题对应集合， 命题对应集合或， 由题知若是的充分不必要条件，则集合是集合的真子集， 则有或，解得或，即，又， 故的取值范围为. $