1．5 全称量词与存在量词讲义 -2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学“全称量词与存在量词”核心知识点，系统梳理全称/存在量词及命题的概念、真假判断方法（全称需所有元素成立，存在需至少一个成立）、否定规则（全称否定为存在，存在否定为全称），构建从概念到应用（求参问题）的完整学习支架。 资料设计亮点突出，含思维导图助力知识结构化，题型精讲结合2026年阶段检测典例与变式，培养逻辑推理能力（数学思维），课后精练与培优拓展分层设计，适配不同学生需求，助力用数学语言精准表达（模型意识），课中辅助教学高效，课后帮助学生查漏补缺。

1．5 全称量词与存在量词 目录 01 思维导图 2 02 知识回顾 3 知识点一：全称量词命题与存在量词命题的概念 3 知识点二：全称量词命题与存在量词命题的真假 3 知识点三：全称量词命题与存在量词命题的否定 3 03 题型精讲 5 题型一：命题真假的判断 5 题型二：含量词命题的判断 6 题型三：判断含量词命题的真假 8 题型四：全称量词命题与存在量词命题的否定 10 题型五：利用命题真假求参问题 11 04 课后精练 15 05 培优拓展 23 知识点一：全称量词命题与存在量词命题的概念 1、全称量词与全称量词命题 （1）全称量词：一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述句中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“”表示． （2）全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题． （3）全称量词命题的形式：对集合M中的所有元素x，，简记为：对． 2、存在量词与存在量词命题 （1）存在量词：一般地，“存在”“有”“至少有一个”在陈述句中表示所述事物的个体或部分，称为全存在量词，用符号“”表示． （2）存在量词命题：含有存在量词的命题，称为存在量词命题． （3）存在量词命题的形式：存在集合M中的元素x，，简记为：对． 知识点二：全称量词命题与存在量词命题的真假 1、判断全称量词命题是真命题，需要集合中每个元素，都使成立； 判断全称量词命题是假命题，只需要举出一个反例，集合中有一个元素，使不成立； 2、判断存在量词命题是真命题，只需要找出一个成立元素，集合中有一个元素，使成立； 判断存在量词命题是假命题，需要集合中每个元素，都使不成立； 知识点三：全称量词命题与存在量词命题的否定 1、命题的否定 （1）一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定． （2）如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然． 2、全称量词命题的否定 一般地，全称量词命题“ ”的否定是存在量词命题： ． 3、存在量词命题的否定 一般地，存在量词命题“ ”的否定是全称量词命题： ． 4、命题与命题的否定的真假判断 一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假． 题型一：命题真假的判断 【典例1-1】（2026·高一·辽宁·阶段检测）下列命题是假命题的有（    ） A．若，那么 B．若，那么 C．若，那么 D．若，那么 【答案】A 【解析】对于A，若，那么x可能不属于B，故A错误； 对于B，若，则x是集合A和B的公共元素，那么，故B正确； 对于C，若，那么，故C正确； 对于D，若，那么，故D正确． 故选：A． 【典例1-2】（2026·高一·上海嘉定·阶段检测）有以下命题： （1）命题：“在△ABC中，若BCAC，则∠A∠B”； （2）已知，命题“若，则且”； （3）已知，命题“若且，则”. 其中真命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】（1）：根据“大边对大角”可知（1）正确； （2）：若，则都不为，即且，故正确； （3）：若且，则，则，故正确； 故选：D. 【变式1-1】下列命题是真命题的是（    ） A．如果与互为相反数，那么 B．，方程最多有一个实数根 C．为任意一个自然数，则 D．任何两个无理数之间都有一个有理数 【答案】D 【解析】解:对于A选项，当时，满足与互为相反数，不满足，故A选项错误； 对于B选项，当时，方程有无数个实数根，故错误； 对于C选项，当，不满足，故错误； 对于D选项，任何两个无理数之间都有一个有理数，正确. 故选：D 【变式1-2】下面给出的四个语句，其中正确的有（    ） ①等角的余角相等； ②一个角的补角一定大于这个角； ③有理数分为正数和负数； ④0是最小的正整数. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解析】①若，则，①正确； ②若，则其补角为 ，②错误； ③有理数分为正数、负数和，③错误； ④0不是最小的正整数，1是最小的正整数.. 故选： 【变式1-3】（2026·高二·广西·学业考试）下列命题是真命题的是（    ） A．3能被2整除 B．对顶角不相等 C．5是偶数 D． 【答案】D 【解析】3不能被2整除，故A错误； 对顶角相等，故B错误； 5是奇数，故C错误； 7>6，故D正确. 故选：D 【方法技巧与总结】 判断命题真假的方法 （1）真命题的判定方法． 要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证． （2）假命题的判定方法． 通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法． 题型二：含量词命题的判断 【典例2-1】下列命题中，不是全称量词命题的是（    ） A．任何一个实数乘以都等于 B．任意一个负数都比零小 C．每一个正方形都是矩形 D．一定存在没有最大值的二次函数 【答案】D 【解析】全称量词命题的特征是含有全称量词（如“任何一个”“任意一个”“每一个”等），表述对指定范围内所有对象都成立的判断： 选项A：含全称量词“任何一个”，是全称量词命题； 选项B：含全称量词“任意一个”，是全称量词命题； 选项C：含全称量词“每一个”，是全称量词命题； 选项D：中的“存在”是存在量词，该命题是存在量词命题，不属于全称量词命题. 【典例2-2】（2026·高一·福建三明·阶段检测）下列命题是全称量词命题的是（    ） A．存在一个实数的平方是负数 B．每个四边形的内角和都是 C．至少有一个整数是质数 D．有些实数满足 【答案】B 【解析】选项A，含有存在量词“存在一个”，该命题是存在量词命题，所以A错误； 选项B，含有全称量词“每个”，该命题是全称量词命题，所以B正确； 选项C，含有存在量词“至少有一个”，该命题是存在量词命题，所以C错误； 选项D，含有存在量词“有些”，该命题是存在量词命题，所以D错误． 故选：B． 【变式2-1】下列命题中是存在量词命题的是（    ） A．有些自然数是13的约数 B．正方形是菱形 C．能被6整除的数也能被3整除 D．， 【答案】A 【解析】有些自然数是13的约数，“有些”是存在量词，故A符合题意； 正方形是菱形即所有正方形是菱形，是全称量词命题，故B不符合题意； 能被6整除的数也能被3整除即一切能被6整除的数也能被3整除， 是全称量词命题，故C不符合题意； ，，是全称量词命题，故D不符合题意； 故选：A 【变式2-2】（010限时小练8全称量词命题与存在量词命题高中数学必修第一册�SJ）下列命题中全称量词命题的个数是（   ） ①任意一个自然数都是正整数； ②有的平行四边形也是菱形； ③n边形的内角和是． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】①③是全称量词命题． 【变式2-3】（2026·湖南长沙·模拟预测）下列命题中，是存在量词命题的是（    ） A．正方形的四条边相等 B．有三个角是的三角形是等边三角形 C．正数的平方根不等于0 D．至少有一个正整数是奇数 【答案】D 【解析】A选项完整含义为“所有正方形的四条边相等”，隐含全称量词“所有”，属于全称量词命题； B选项完整含义为“所有有三个角是的三角形是等边三角形”，隐含全称量词“所有”，属于全称量词命题； C选项完整含义为“所有正数的平方根不等于0”，隐含全称量词“所有”，属于全称量词命题； D选项含有存在量词“至少有一个”，属于存在量词命题. 【方法技巧与总结】 理解全称量词命题及存在量词命题时应关注的三点 （1）全称量词命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题，常见的全称量词还有“一切”“每一个”等，相应的词语是“都”． （2）有些命题省去了全称量词，但仍是全称量词命题，如“有理数是实数”，就是“所有的有理数都是实数”． （3）存在命题就是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题，常见的存在量词还有“存在”等． 题型三：判断含量词命题的真假 【典例3-1】已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】结合元素与集合间关系及特称量词与全称量词的关系逐项判断即可得. 对于A，，这是存在性命题，只需找到一个且的元素即可， 例如，满足且，故A正确； 对于B，，这是存在性命题，因集合是集合的真子集， 故不存在集合中的元素不属于集合，故B错误； 对于C，，这是全称量词命题，要求所有集合中的元素都不属于集合， 而属于集合，也属于集合，故C错误； 对于D，，，这是全称量词命题，要求所有集合中的元素都属于集合， 而属于集合，但不属于集合，故D错误． 【典例3-2】（2026·高一·江苏无锡·期末）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 选项A，，这是存在性命题，只需找到一个且的元素即可，例如，满足且，故选项A正确； 选项B，，这是存在性命题，集合中的元素都在集合中，故不存在集合中的元素不属于集合，故选项B错误； 选项C，，这是全称命题，要求所有集合中的元素都不属于集合，而属于集合，也属于集合，故选项C错误； 选项D，，这是全称命题，要求所有集合中的元素都属于集合，而属于集合，但不属于集合，故选项D错误. 故选：A. 【变式3-1】（2026·高二·黑龙江·学业考试）已知命题：命题.则（    ） A．命题是真命题，命题是真命题 B．命题是假命题，命题是假命题 C．命题是真命题，命题是假命题 D．命题是假命题，命题是真命题 【答案】C 【解析】因为，所以命题是真命题， 因为，所以不存在，所以命题是假命题， 故选：C. 【变式3-2】（2026·高一·北京西城·期末）已知命题：，；命题：，，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是假命题 C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题 【答案】C 【解析】由，得到，解得或，所以命题为真命题， 又当时，，所以命题是假命题，故选项A，B和D错误，选项C正确， 故选：C. 【变式3-3】（2026·高一·河南郑州·阶段检测）下列命题中为真命题的是（    ） A． B．是整数 C． D． 【答案】B 【解析】对于A 选项，对于命题，因为对于任意实数，，所以，恒大于，A选项错误. 对于B 选项，对于任意的整数，一定是整数，也一定是整数，所以是整数，B选项正确. 对于C 选项，对于命题，当时，，不满足，C选项错误. 对于D 选项，对于命题，例如，则，D选项错误. 故选：B. 【方法技巧与总结】 （1）要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素，验证成立；要判断全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个，使不成立即可； （2）要判断一个存在量词命题的真假，依据：只要在限定集合M中，至少能找到一个，使成立，则这个存在量词命题就是真命题，否则就是假命题． 题型四：全称量词命题与存在量词命题的否定 【典例4-1】（2026·高一·辽宁铁岭·开学考试）已知命题：，，则是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】根据全称命题的否定形式，前面改变量词，后面否定结论， 所以“”变为“”，否定结论为“”， 即为：，. 【典例4-2】（2026·高二·辽宁葫芦岛·期末）命题“，”的否定是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】命题“，”的否定是“”. 【变式4-1】（2026·高一·安徽阜阳·期末）命题“”的否定是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为全称量词命题的否定是存在量词命题， 所以命题“”的否定是. 故选：B 【变式4-2】（2026·高一·山东青岛·期末）若命题，，则为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】根据全称量词命题的否定， 由命题，，则为，. 故选：D 【变式4-3】（2026·高一·浙江宁波·期末）命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】命题“”的否定为“”. 故选：C 【方法技巧与总结】 （1）一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论． （2）对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定． 题型五：利用命题真假求参问题 【典例5-1】已知命题“存在，使得等式成立”是假命题，求实数的取值范围？ 【解析】由已知命题“存在，使得等式成立”是假命题， 等价于“任意，使得等式成立”是真命题， 又因为，所以，要使，则需或. 所以实数的取值范围为或. 【典例5-2】已知命题：“”，命题：“，”，若命题，都是真命题，求实数的取值范围． 【解析】由为真命题，对恒成立，得；① 由为真命题，即方程有实根，得， 即或;② 对①②求交集，可得或， 综上，所求实数的取值范围为或. ． 【变式5-1】（2026·高一·甘肃嘉峪关·开学考试）（1）已知集合，集合，是否存在实数使得，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由． （2）若（1）中的条件不变，是否存在实数使得，若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由． （3）若（1）中的条件“”改为“且”，其他条件不变，求实数的取值范围． （4）若（1）中条件不变，命题“，使得”为真命题，求实数的取值范围． 【解析】（1）略. （2）假设存在实数使得， 则当时，，解得； 当时，由得：，解得，即， 综上，实数的取值范围为. （3）因为，，， 所以，当时，，解得； 当时，由得：，解得，即， 综上，实数的取值范围为. （4）因为命题“，使得”为真命题，所以， 所以且，即，解得，即. 所以，实数的取值范围为. 【变式5-2】（2026·高一·贵州贵阳·阶段检测）已知集合，，． (1)若，求实数的取值范围； (2)命题：“，都有”，若命题为真命题，求实数的值． 【解析】（1）解方程，得或，故. 因为，所以，分情况讨论： ① 当时，，满足； ② 当时，方程的解为，需使： 若，解得；若，解得. 综上，实数的取值范围为. （2）由得，解得或. 因为命题：“，都有”，若命题为真命题，则，且： ① 当时，即，则，显然，符合条件； ② 当时，，由得，解得，此时，符合条件. 综上，实数或. 【变式5-3】（2026·高一·重庆·期末）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若命题：，使得是真命题，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，，解得； 当时，因为，所以，解得， 综上，实数的取值范围为. （2），使得是真命题，则， 则，即，则， ，，即， 故实数的取值范围为. 【方法技巧与总结】 全称量词命题的真假与参数取值范围紧密相关。要确定参数取值范围，需先分析全称量词命题中的条件，理解其对所有个体或元素的要求。接着，通过逻辑推理或数学方法，找出满足这些条件的参数取值范围，确保命题在此范围内对所有个体都成立。 存在量词命题的真假同样与参数取值范围密切相关。要确定参数取值范围，需先分析存在量词命题中的条件，理解其至少存在一个个体或元素满足要求。然后，通过逻辑推理或数学方法，找出满足这些条件的参数取值范围，确保命题在此范围内至少对一个个体成立。 1．（2026·高一·江西宜春·阶段检测）命题“任意实数，都有”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】命题“任意实数，都有”的否定是: . 故选：B. 2．（2026·高一·贵州六盘水·阶段检测）若命题p：有些三角形是锐角三角形，则（   ）． A．p是真命题，且p的否定：所有的三角形都不是锐角三角形 B．p是真命题，且p的否定：所有的三角形都是锐角三角形 C．p是假命题，且p的否定：所有的三角形都不是锐角三角形 D．p是假命题，且p的否定：所有的三角形都是锐角三角形 【答案】A 【解析】p：有些三角形是锐角三角形为真命题， 根据存在量词命题否定为全称量词命题。 所以p的否定：所有的三角形都不是锐角三角形， 故选：A. 3．（2026·高一·江西南昌·期中）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】若命题“，”为真命题，即，对恒成立，可得， 所以命题“，”为真命题的一个必要不充分条件为选项A. 故选：A. 4．（2026·高一·湖北·阶段检测）已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为命题“，”为假命题， 所以，命题“，”为真命题； 因为集合，集合， 所以，当时，即时，成立， 当时， 由“，”得，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 故选：A 5．（2026·高一·黑龙江大庆·阶段检测）命题是假命题，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，命题的否定：. ∵命题是假命题， ∴命题的否定是真命题. 当时，，符合题意， 当时，，解得， 综上所述，的范围是. 故选：A. 6．（2026·高一·河南郑州·阶段检测）已知命题“”是假命题， 则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得， 若“”是真命题， 即当时，恒成立， 则，其中， 由，可得，所以 所以命题“”是假命题， 则的取值范围为． 故选：D. 7．（多选题）（2026·高二·江西上饶·期末）以下四个命题中，是真命题的有（    ） A．若，则 B．命题“，”的否定是“，” C． D．“”是“”的必要不充分条件 【答案】CD 【解析】选项A：对两边同乘负数，可得；对 两边同乘负数，可得 ； 因此正确的大小关系为，因此A为假命题； 选项B：原命题“”的否定应为“”， B错误改变了的范围，因此B是假命题； 选项C：对配方得， 因为，所以对任意恒成立，因此C是真命题； 选项D：必要性：若 成立，则一定满足 ，必要性成立； 充分性：若成立，无法推出一定满足，充分性不成立. 则“”是“”的必要不充分条件，因此D为真命题. 8．（多选题）（2026·高一·河南驻马店·阶段检测）下列命题为假命题的是（    ） A．“，”的否定是“，” B．“”是“”的充分不必要条件 C．“”是“”的充分不必要条件 D．“且”是“”的必要不充分条件 【答案】AD 【解析】对A，全称量词命题的否定是特称命题，“，”的否定是“，”A选项为假命题； 对B，可以得出，“”是“”的充分条件， 当符合得出，“”是“”的不必要条件， 所以“”是“”的充分不必要条件，B选项正确； 对C，可以得出，“”是“”的充分条件， 当符合得出，“”是“”的不必要条件， 所以“”是“”的充分不必要条件，C选项正确； 对D，且，可得，得，“且”是“”的充分条件 符合，但是且不成立，“且”是“”的不必要条件 则“且”是“”的充分不必要条件，D选项为假命题． 故选：AD． 9．（多选题）（2026·高一·江苏南通·阶段检测）在下列命题中，真命题有（    ） A．， B．，是有理数 C．，使 D．， 【答案】ABC 【解析】对于A，因为，所以方程有解， 即，，所以A是真命题； 对于B，因为有理数的四则运算除数不为结果仍为有理数， 因此一定是有理数，B是真命题； 对于C，时，成立，C是真命题； 对于D，当时，，D是假命题. 故选： 10．（2026·高一·天津静海·期中）已知命题，则是___________. 【答案】 【解析】由题意有：， 故答案为： 11．若，，使得，则实数m的取值范围是________________． 【答案】 【解析】先用不等式去表达题目的意义，再求解不等式.解:，恒成立，等价于的最小值大于或等于，即； 又，使得，即，等价于的最小值小于或等于，因此，所以． 故答案为： 12．（2026·高一·山东淄博·期中）若命题“”为假命题，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【解析】由题,当命题“”为真命题时,, 即或, 则当命题“”为假命题时, 故答案为 13．（2026·高一·上海·阶段检测）命题甲：关于的不等式成立，命题乙：关于x的方程有两个不相等的正实数根，设命题甲、命题乙为真命题时实数m的取值分别组成集合A、B. (1)求集合A、B； (2)若命题甲、乙中有且仅有一个是真命题，求实数m的取值范围. 【解析】（1） ，即A； 注意到，又方程有两个不相等的正实根， 则且，即且； 故A，且； （2）由题命题甲、乙一真一假， 由（1），当命题甲为假时，或；当命题乙为假时，或； 则当甲真乙假时，； 当甲假乙真时，或； 综上：当命题甲、乙中有且仅有一个是真命题时，或或. 14．（2026·高三·安徽六安·阶段检测）已知命题P：“，”为假命题，设实数a的所有取值构成的集合为A. (1)求集合 (2)设集合，若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 【解析】（1）因为命题为假命题，所以关于的一元二次方程无解， 即，解得， 故集合，所以或； （2）由是的必要不充分条件，则BA， 当时，，解得，此时满足BA， 当时， 则，且等号不同时成立， 解得， 综上所述，的取值范围是. 15．（2026·高一·福建福州·阶段检测）已知命题p：“”为假命题，设实数a的所有取值构成的集合为． (1)求集合A； (2)设集合，若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 【解析】（1）依题意，命题p：“”为假命题， 所以，解得， 所以. （2）由于是的充分不必要条件，所以， 当，即时，，满足. 当，即时，要使， 则需且两个等号不能同时成立， 解得，所以的取值范围是. 16．（2026·高一·广东珠海·阶段检测）设全集，集合，集合. (1)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围； (2)若命题“，则”是真命题，求实数a的取值范围. 【解析】（1）∵是的充分条件，∴， 又∵，， ∴，∴， ∴， ∴实数的取值范围为； （2）∵命题“，则”是真命题，∴. ①当时，∴，∴，∴，符合题意； ②当时，∵，，且B是A的子集， ∴，∴，a无解； 综上所述：实数a的取值范围. 17．已知集合 ，，且． (1)若命题p：“，”是真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题q：“，”是真命题，求实数m的取值范围． 【解析】（1）由命题p：“，”是真命题，可知， 又，所以 ，解得． （2）因为，所以，得． 因为命题q：“，”是真命题，所以， 所以且，得． 综上，． 1．（2026·高三·上海·阶段检测）已知A，B为非空实数集，为平面直角坐标系中的一些点构成的集合，集合对任意，有，集合对任意，有.对于下列两个命题：①若，则；②若，则其中判断正确的是（   ） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确②错误 D．①错误②正确 【答案】B 【解析】由已知，设，， 若，此时(没有满足对任意，有)，而， 若(仅满足)，但，所以不包含，故命题①错误； 设，，，此时满足， 若(和均满足)，但，所以不包含于， 故命题②错误. 故选：B． 2．（2026·高一·天津·阶段检测）已知集合，若命题“”为假命题，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由命题“”为假命题，得为真命题， 而， 当时，，满足题意； 当时，则要， ，因此； 所以实数a的取值范围为. 故选：A 3．（2026·全国·模拟预测）已知：哥德巴赫猜想认为任一大于2的偶数都可写成两个质数之和．定义为全体素数的集合，那么以下形式化命题中和哥德巴赫猜想不等价的是（    ） A．，，， B． C． D．或 【答案】C 【解析】A的意思是不存在偶数不满足哥德巴赫猜想，与原命题等价， B的意思是两个质数的和作为集合，包含了所有大于2的偶数的集合，与原命题等价， C的意思是两个质数的和中不是偶数的部分为空集，也就是两个质数的和都是偶数， 因为是两个质数的和，但不是偶数，和命题矛盾，C错. D的意思是要么一个偶数不大于2，要么存在一个质数使得该偶数减去质数之后还是一个质数． 故选：C． 4．（多选题）（2026·高一·陕西商洛·阶段检测）用表示非空集合中元素的个数，定义已知集合，则下面结论正确的是（    ） A．若，则 B． C．存在，使得 D．若，则 【答案】ACD 【解析】对于A，当时，，所以，所以， 所以，故A正确； 对于B，当时，，此时，故B错误； 对于C，当时，，此时，故C正确； 对于D，因为，要使得，所以或3，若， 满足，解得； 若，因为方程的两个根，都不是方程的根， 所以需满足，解得. 综上：或， 所以，所以，故D正确. 故选：ACD 5．（2026·高一·上海嘉定·期中）对于数集，其中，定义点集，若对于任意，存在，使得，则称集合具有性质.则下列命题中为真命题的是___________. ①具有性质； ②若集合具有性质，则； ③集合具有性质，若，则. 【答案】①②③ 【解析】因为，所以 ， 根据集合具有性质的定义，对于任意， 若，则或，或， 若，取，则； 若，取，则； 若，取，则； 若有一个为负数，则或， 若，则取，则； 若，则取，则； 故①正确； 对于任意，存在，使得 取，存在使得，所以， 不妨设，所以若集合具有性质，则，故②正确； ③假设，令，则存在使得， 同②得中必有一个数为， 若，则，于是，矛盾， 若，则，于是，也矛盾， 所以，又由②得，所以，所以，故③正确， 故真命题是①②③正确. 故答案为：①②③. 6．（2026·高一·四川绵阳·阶段检测）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若命题“，都有”为真命题，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 【解析】（1）由集合， 因为，可得，则满足所以，解得， 所以实数的取值范围为：. （2）由命题“，都有”为真命题，则； ①当时，，即，此时； ②当时，需满足，此时方程组无解； 所以实数的取值范围为：． （3）因为， 则满足或或， 解得或或， 所以实数的取值范围为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 1．5 全称量词与存在量词 目录 01 思维导图 2 02 知识回顾 3 知识点一：全称量词命题与存在量词命题的概念 3 知识点二：全称量词命题与存在量词命题的真假 3 知识点三：全称量词命题与存在量词命题的否定 3 03 题型精讲 5 题型一：命题真假的判断 5 题型二：含量词命题的判断 6 题型三：判断含量词命题的真假 6 题型四：全称量词命题与存在量词命题的否定 7 题型五：利用命题真假求参问题 8 04 课后精练 10 05 培优拓展 13 知识点一：全称量词命题与存在量词命题的概念 1、全称量词与全称量词命题 （1）全称量词：一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述句中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“”表示． （2）全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题． （3）全称量词命题的形式：对集合M中的所有元素x，，简记为：对． 2、存在量词与存在量词命题 （1）存在量词：一般地，“存在”“有”“至少有一个”在陈述句中表示所述事物的个体或部分，称为全存在量词，用符号“”表示． （2）存在量词命题：含有存在量词的命题，称为存在量词命题． （3）存在量词命题的形式：存在集合M中的元素x，，简记为：对． 知识点二：全称量词命题与存在量词命题的真假 1、判断全称量词命题是真命题，需要集合中每个元素，都使成立； 判断全称量词命题是假命题，只需要举出一个反例，集合中有一个元素，使不成立； 2、判断存在量词命题是真命题，只需要找出一个成立元素，集合中有一个元素，使成立； 判断存在量词命题是假命题，需要集合中每个元素，都使不成立； 知识点三：全称量词命题与存在量词命题的否定 1、命题的否定 （1）一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定． （2）如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然． 2、全称量词命题的否定 一般地，全称量词命题“ ”的否定是存在量词命题： ． 3、存在量词命题的否定 一般地，存在量词命题“ ”的否定是全称量词命题： ． 4、命题与命题的否定的真假判断 一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假． 题型一：命题真假的判断 【典例1-1】（2026·高一·辽宁·阶段检测）下列命题是假命题的有（    ） A．若，那么 B．若，那么 C．若，那么 D．若，那么 【典例1-2】（2026·高一·上海嘉定·阶段检测）有以下命题： （1）命题：“在△ABC中，若BCAC，则∠A∠B”； （2）已知，命题“若，则且”； （3）已知，命题“若且，则”. 其中真命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-1】下列命题是真命题的是（    ） A．如果与互为相反数，那么 B．，方程最多有一个实数根 C．为任意一个自然数，则 D．任何两个无理数之间都有一个有理数 【变式1-2】下面给出的四个语句，其中正确的有（    ） ①等角的余角相等； ②一个角的补角一定大于这个角； ③有理数分为正数和负数； ④0是最小的正整数. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-3】（2026·高二·广西·学业考试）下列命题是真命题的是（    ） A．3能被2整除 B．对顶角不相等 C．5是偶数 D． 【方法技巧与总结】 判断命题真假的方法 （1）真命题的判定方法． 要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证． （2）假命题的判定方法． 通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法． 题型二：含量词命题的判断 【典例2-1】下列命题中，不是全称量词命题的是（    ） A．任何一个实数乘以都等于 B．任意一个负数都比零小 C．每一个正方形都是矩形 D．一定存在没有最大值的二次函数 【典例2-2】（2026·高一·福建三明·阶段检测）下列命题是全称量词命题的是（    ） A．存在一个实数的平方是负数 B．每个四边形的内角和都是 C．至少有一个整数是质数 D．有些实数满足 【变式2-1】下列命题中是存在量词命题的是（    ） A．有些自然数是13的约数 B．正方形是菱形 C．能被6整除的数也能被3整除 D．， 【变式2-2】（010限时小练8全称量词命题与存在量词命题高中数学必修第一册�SJ）下列命题中全称量词命题的个数是（   ） ①任意一个自然数都是正整数； ②有的平行四边形也是菱形； ③n边形的内角和是． A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2-3】（2026·湖南长沙·模拟预测）下列命题中，是存在量词命题的是（    ） A．正方形的四条边相等 B．有三个角是的三角形是等边三角形 C．正数的平方根不等于0 D．至少有一个正整数是奇数 【方法技巧与总结】 理解全称量词命题及存在量词命题时应关注的三点 （1）全称量词命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题，常见的全称量词还有“一切”“每一个”等，相应的词语是“都”． （2）有些命题省去了全称量词，但仍是全称量词命题，如“有理数是实数”，就是“所有的有理数都是实数”． （3）存在命题就是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题，常见的存在量词还有“存在”等． 题型三：判断含量词命题的真假 【典例3-1】已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【典例3-2】（2026·高一·江苏无锡·期末）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·高二·黑龙江·学业考试）已知命题：命题.则（    ） A．命题是真命题，命题是真命题 B．命题是假命题，命题是假命题 C．命题是真命题，命题是假命题 D．命题是假命题，命题是真命题 【变式3-2】（2026·高一·北京西城·期末）已知命题：，；命题：，，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是假命题 C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题 【变式3-3】（2026·高一·河南郑州·阶段检测）下列命题中为真命题的是（    ） A． B．是整数 C． D． 【方法技巧与总结】 （1）要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素，验证成立；要判断全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个，使不成立即可； （2）要判断一个存在量词命题的真假，依据：只要在限定集合M中，至少能找到一个，使成立，则这个存在量词命题就是真命题，否则就是假命题． 题型四：全称量词命题与存在量词命题的否定 【典例4-1】（2026·高一·辽宁铁岭·开学考试）已知命题：，，则是（    ） A．， B．， C．， D．， 【典例4-2】（2026·高二·辽宁葫芦岛·期末）命题“，”的否定是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2026·高一·安徽阜阳·期末）命题“”的否定是（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026·高一·山东青岛·期末）若命题，，则为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式4-3】（2026·高一·浙江宁波·期末）命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 （1）一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论． （2）对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定． 题型五：利用命题真假求参问题 【典例5-1】已知命题“存在，使得等式成立”是假命题，求实数的取值范围？ 【典例5-2】已知命题：“”，命题：“，”，若命题，都是真命题，求实数的取值范围． 【变式5-1】（2026·高一·甘肃嘉峪关·开学考试）（1）已知集合，集合，是否存在实数使得，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由． （2）若（1）中的条件不变，是否存在实数使得，若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由． （3）若（1）中的条件“”改为“且”，其他条件不变，求实数的取值范围． （4）若（1）中条件不变，命题“，使得”为真命题，求实数的取值范围． 【变式5-2】（2026·高一·贵州贵阳·阶段检测）已知集合，，． (1)若，求实数的取值范围； (2)命题：“，都有”，若命题为真命题，求实数的值． 【变式5-3】（2026·高一·重庆·期末）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若命题：，使得是真命题，求实数的取值范围. 【方法技巧与总结】 全称量词命题的真假与参数取值范围紧密相关。要确定参数取值范围，需先分析全称量词命题中的条件，理解其对所有个体或元素的要求。接着，通过逻辑推理或数学方法，找出满足这些条件的参数取值范围，确保命题在此范围内对所有个体都成立。 存在量词命题的真假同样与参数取值范围密切相关。要确定参数取值范围，需先分析存在量词命题中的条件，理解其至少存在一个个体或元素满足要求。然后，通过逻辑推理或数学方法，找出满足这些条件的参数取值范围，确保命题在此范围内至少对一个个体成立。 1．（2026·高一·江西宜春·阶段检测）命题“任意实数，都有”的否定是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·高一·贵州六盘水·阶段检测）若命题p：有些三角形是锐角三角形，则（   ）． A．p是真命题，且p的否定：所有的三角形都不是锐角三角形 B．p是真命题，且p的否定：所有的三角形都是锐角三角形 C．p是假命题，且p的否定：所有的三角形都不是锐角三角形 D．p是假命题，且p的否定：所有的三角形都是锐角三角形 3．（2026·高一·江西南昌·期中）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A． B． C． D． 4．（2026·高一·湖北·阶段检测）已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·高一·黑龙江大庆·阶段检测）命题是假命题，则的范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·高一·河南郑州·阶段检测）已知命题“”是假命题， 则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（多选题）（2026·高二·江西上饶·期末）以下四个命题中，是真命题的有（    ） A．若，则 B．命题“，”的否定是“，” C． D．“”是“”的必要不充分条件 8．（多选题）（2026·高一·河南驻马店·阶段检测）下列命题为假命题的是（    ） A．“，”的否定是“，” B．“”是“”的充分不必要条件 C．“”是“”的充分不必要条件 D．“且”是“”的必要不充分条件 9．（多选题）（2026·高一·江苏南通·阶段检测）在下列命题中，真命题有（    ） A．， B．，是有理数 C．，使 D．， 10．（2026·高一·天津静海·期中）已知命题，则是___________. 11．若，，使得，则实数m的取值范围是________________． 12．（2026·高一·山东淄博·期中）若命题“”为假命题，则实数的取值范围是_______. 13．（2026·高一·上海·阶段检测）命题甲：关于的不等式成立，命题乙：关于x的方程有两个不相等的正实数根，设命题甲、命题乙为真命题时实数m的取值分别组成集合A、B. (1)求集合A、B； (2)若命题甲、乙中有且仅有一个是真命题，求实数m的取值范围. 14．（2026·高三·安徽六安·阶段检测）已知命题P：“，”为假命题，设实数a的所有取值构成的集合为A. (1)求集合 (2)设集合，若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 15．（2026·高一·福建福州·阶段检测）已知命题p：“”为假命题，设实数a的所有取值构成的集合为． (1)求集合A； (2)设集合，若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 16．（2026·高一·广东珠海·阶段检测）设全集，集合，集合. (1)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围； (2)若命题“，则”是真命题，求实数a的取值范围. 17．已知集合 ，，且． (1)若命题p：“，”是真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题q：“，”是真命题，求实数m的取值范围． 1．（2026·高三·上海·阶段检测）已知A，B为非空实数集，为平面直角坐标系中的一些点构成的集合，集合对任意，有，集合对任意，有.对于下列两个命题：①若，则；②若，则其中判断正确的是（   ） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确②错误 D．①错误②正确 2．（2026·高一·天津·阶段检测）已知集合，若命题“”为假命题，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·全国·模拟预测）已知：哥德巴赫猜想认为任一大于2的偶数都可写成两个质数之和．定义为全体素数的集合，那么以下形式化命题中和哥德巴赫猜想不等价的是（    ） A．，，， B． C． D．或 4．（多选题）（2026·高一·陕西商洛·阶段检测）用表示非空集合中元素的个数，定义已知集合，则下面结论正确的是（    ） A．若，则 B． C．存在，使得 D．若，则 5．（2026·高一·上海嘉定·期中）对于数集，其中，定义点集，若对于任意，存在，使得，则称集合具有性质.则下列命题中为真命题的是___________. ①具有性质； ②若集合具有性质，则； ③集合具有性质，若，则. 6．（2026·高一·四川绵阳·阶段检测）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若命题“，都有”为真命题，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $