1.4 充分条件与必要条件【知识清单+6大题型】讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本高中数学讲义聚焦充分条件与必要条件核心知识点，从命题真假引入定义，通过逻辑关系辨析深化充要条件概念，结合集合包含关系直观理解，再聚焦高考高频考点结构，构建从基础到应用的递进学习支架。 该资料以知识清单系统梳理逻辑关系，典型例题分类覆盖判断、参数求解、证明等高考题型，如充要条件证明题培养逻辑推理能力，集合角度理解发展数学抽象与几何直观。课中辅助分层教学，课后检测助力查漏补缺，强化知识应用。

1.4 充分条件与必要条件 第一部分：知识清单 知识点1：充分条件与必要条件 一般地,“若,则”为真命题,就说是的充分条件,是的必要条件.记作： 在逻辑推理中“”的几种说法 (1)“如果,那么”为真命题. (2)是的充分条件. (3)是的必要条件. (4)的必要条件是. (5)的充分条件是. 这五种说法表示的逻辑关系是一样的,说法不同而已. 知识点2：充分条件、必要条件与充要条件的概念 （1）若，则是的充分条件，是的必要条件； （2）若且，则是的充分不必要条件； （3）若且，则是的必要不充分条件； （4） 若，则是的充要条件； （5）若且，则是的既不充分也不必要条件. 知识点3：从集合的角度理解充分与必要条件 若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则 （1）若，则是的充分条件； （2）若，则是的必要条件； （3）若，则是的充分不必要条件； （4）若，则是的必要不充分条件； （5）若，则是的充要条件； （6）若且，则是的既不充分也不必要条件. 知识点4：充分性必要性高考高频考点结构 （1）是的充分不必要条件且（注意标志性词：“是”，此时与正常顺序） （2）的充分不必要条件是且（注意标志性词：“的”，此时与倒装顺序） 第二部分：典型例题汇总 典例一 充分条件、必要条件的判断 典例二 根据充分不必要条件求参数 典例三 根据必要不充分条件求参数 典例四 根据充要条件求参数 典例五 充要条件的证明 典例六 探求命题为真的充要条件 第三部分：典型例题 典例一 充分条件、必要条件的判断 1．（25-26高一上·河北唐山·期中）“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）“且”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高一上·河南驻马店·期中）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高一上·安徽合肥·期中）在平面内，下列是“四边形是平行四边形”的必要条件的是（   ） A．四边形是矩形 B．四边形的对角线互相平分 C．四边形四条边相等 D．四边形的对角线垂直 典例二 根据充分不必要条件求参数 5．（25-26高一上·全国·专题训练）已知集合，已知，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 6．（25-26高一上·全国·专题训练）设全集，集合，，若是成立的充分条件，求实数的取值范围. 7．（25-26高一上·陕西渭南·期末）设全集，集合，. (1)当时，求; (2)若“”是“”的充分条件，求的取值范围. 8．（25-26高一上·湖南娄底·期末）设全集，集合，. (1)若，求集合； (2)命题，命题，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 典例三 根据必要不充分条件求参数 9．（25-26高一上·全国·专题训练）已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 10．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知全集，集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要条件，求a的取值范围． 11．（25-26高一上·重庆开州·阶段检测）设全集，集合或，集合或. (1)当时，求，； (2)若命题，命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 12．（25-26高一上·福建漳州·阶段检测）已知条件，若是的必要不充分条件，求实数的值. 典例四 根据充要条件求参数 13．（25-26高一上·全国·专题训练）设集合，命题，命题，若是的充要条件，求正实数的值； 14．（25-26高一上·湖南岳阳·期中）已知集合，非空集合. (1)若是的必要条件，求实数m的取值范围; (2)是否存在实数m，使是的充要条件. 15．（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）“方程至多有一个实数解”的充要条件是______________． 16．（25-26高一上·湖南郴州·阶段检测）设集合，； (1)用列举法表示集合； (2)若是的充要条件，求实数的值. 典例五 充要条件的证明 17．（25-26高一·全国·课堂例题）已知，求证：成立的充要条件是. 18．（25-26高一上·全国·课堂例题）证明：是一元二次方程有两个异号实根的充要条件． 19．（25-26高一上·广西南宁·期中）求证：是是等边三角形的充要条件.（这里，，是的三边边长）. 20．（25-26高一上·重庆沙坪坝·期中）已知的三边长为，其中.求证：为等边三角形的充要条件是． 典例六 探求命题为真的充要条件 21．（25-26高一上·重庆·期中）已知集合则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 22．（25-26高三·全国·一轮复习）设，命题的充要条件是_________________． 23．（25-26高一上·江苏徐州·期中）设，则的充要条件是（   ） A． B． C．且 D．或 24．（25-26高一上·河北张家口·期中）设，则“”的充要条件为（    ） A．至少有一个为2 B．都为2 C．都不为2 D． 第四部分：课后检测 1．（26-27高一上·甘肃武威·开学考试）“是钝角三角形”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高二下·天津和平·期末）已知，则“，”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2026高三上·全国·竞赛）Agnes在白纸上写下以下四个论断： 这些论断中至少有一个是真的． 这些论断中至少有两个是真的． 这些论断中至少有两个是假的． 这些论断中至少有一个是假的． 每个论断非真即假．问Agnes在纸上写的假论断有几个？(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 E．4 4．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）已知集合，，则“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（25-26高一上·浙江·阶段检测）已知命题p：，命题q：，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·山东德州·阶段检测）已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·福建厦门·期末）（多选）若“”是“”的充分不必要条件，则的取值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（25-26高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）（多选）已知集合，，若是的充分条件，则实数的值可能为（   ） A． B． C．0 D． 9．（2026高一上·湖南岳阳·专题练习）（多选）下列命题是真命题的是（　　） A．在中，是锐角是为锐角三角形的充分不必要条件 B．在中，是钝角是为钝角三角形的充要条件 C．是的充要条件 D．或为有理数是为有理数的既不充分也不必要条件 10．（2026高一·全国·专题练习）已知命题，或，若是的充分不必要条件，则的取值范围为_______． 11．（25-26高一上·江西抚州·期末）已知和，且是的必要条件但不是充分条件，则实数的取值集合为________. 12．（25-26高一上·山西太原·阶段检测）设，集合，则是的______条件.（填充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件） 13．（2026高一·全国·专题练习）证明：“是方程的实数根”的充要条件是“”． 14．（25-26高一上·四川广安·阶段检测）已知集合，集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 15．（25-26高一上·黑龙江大庆·阶段检测）设集合， (1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要条件，求实数的取值范围． 16．（25-26高一上·湖北武汉·开学考试）已知集合，． (1)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4 充分条件与必要条件 第一部分：知识清单 知识点1：充分条件与必要条件 一般地,“若,则”为真命题,就说是的充分条件,是的必要条件.记作： 在逻辑推理中“”的几种说法 (1)“如果,那么”为真命题. (2)是的充分条件. (3)是的必要条件. (4)的必要条件是. (5)的充分条件是. 这五种说法表示的逻辑关系是一样的,说法不同而已. 知识点2：充分条件、必要条件与充要条件的概念 （1）若，则是的充分条件，是的必要条件； （2）若且，则是的充分不必要条件； （3）若且，则是的必要不充分条件； （4） 若，则是的充要条件； （5）若且，则是的既不充分也不必要条件. 知识点3：从集合的角度理解充分与必要条件 若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则 （1）若，则是的充分条件； （2）若，则是的必要条件； （3）若，则是的充分不必要条件； （4）若，则是的必要不充分条件； （5）若，则是的充要条件； （6）若且，则是的既不充分也不必要条件. 知识点4：充分性必要性高考高频考点结构 （1）是的充分不必要条件且（注意标志性词：“是”，此时与正常顺序） （2）的充分不必要条件是且（注意标志性词：“的”，此时与倒装顺序） 第二部分：典型例题汇总 典例一 充分条件、必要条件的判断 典例二 根据充分不必要条件求参数 典例三 根据必要不充分条件求参数 典例四 根据充要条件求参数 典例五 充要条件的证明 典例六 探求命题为真的充要条件 第三部分：典型例题 典例一 充分条件、必要条件的判断 1．（25-26高一上·河北唐山·期中）“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先解出方程的根，然后利用充分条件、必要条件分析即可. 【详解】由即， 也即， 解得：或或， 所以当时，， 故充分性成立， 反之不一定能得出， 故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：B. 2．（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）“且”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据不等式的性质由且得，反之不成立，进而求解. 【详解】由且，反之不成立，如， 所以且是的充分不必要条件， 故选：A. 3．（25-26高一上·河南驻马店·期中）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若，，满足，但不成立， 所以“”不是“”的充分条件； 若，则，则成立， 所以“”是“”的必要条件， 综上可得“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4．（25-26高一上·安徽合肥·期中）在平面内，下列是“四边形是平行四边形”的必要条件的是（   ） A．四边形是矩形 B．四边形的对角线互相平分 C．四边形四条边相等 D．四边形的对角线垂直 【答案】B 【分析】由必要条件的概念逐个判断即可. 【详解】对于A：四边形是矩形是四边形是平行四边形的充分条件不必要条件，错误； 对于C：四边形四条边相等即为菱形，是四边形是平行四边形的充分条件不必要条件，错误； 对于D:由“四边形是平行四边形”得不到四边形的对角线垂直，故四边形的对角线垂直不是“四边形是平行四边形”的必要条件，错误； 对于B：若四边形是平行四边形，则四边形的对角线互相平分，即“四边形的对角线互相平分”是“四边形是平行四边形”的必要条件. 故选：B． 典例二 根据充分不必要条件求参数 5．（25-26高一上·全国·专题训练）已知集合，已知，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】 【详解】因为是的充分不必要条件，所以A是B的真子集； 则或，解得. 故实数的取值范围是. 6．（25-26高一上·全国·专题训练）设全集，集合，，若是成立的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】将充分条件转化为子集关系，再结合集合的子集关系，进行分类讨论即可求解. 【详解】因为是成立的充分条件，所以； 当时，，解得，此时满足题意； 当时，，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 7．（25-26高一上·陕西渭南·期末）设全集，集合，. (1)当时，求; (2)若“”是“”的充分条件，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先通过全集与补集的定义，将给定条件转化为具体不等式的解集，再根据交集运算规则求出两个集合的共同部分； （2）利用充分条件的集合解释，将条件转化为子集关系，再根据数轴分析端点值的大小关系确定参数范围. 【详解】（1）当时，集合， 又因为全集，所以， 因为集合，所以 （2）因为“”是“”的充分条件，所以. 又因为集合，，所以. 即的取值范围为. 8．（25-26高一上·湖南娄底·期末）设全集，集合，. (1)若，求集合； (2)命题，命题，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或， (2) 【分析】（1）根据补集的定义和并集的定义进行求解即可； （2）根据充分不必要的定义进行求解即可. 【详解】（1），， 所以或，； （2）因为是的充分不必要条件，所以且， 所以，其中等号不同时成立，解得， 所以实数的取值范围是. 典例三 根据必要不充分条件求参数 9．（25-26高一上·全国·专题训练）已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】将必要不充分条件转化为集合的子集关系，再结合集合的子集关系，分类讨论，即可求解. 【详解】因为“”是“”的必要不充分条件，则集合是集合的真子集， 当时，，解得； 当时，要使集合是集合的真子集，需使，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 10．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知全集，集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要条件，求a的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由集合的并集与补集运算求解即可； （2）由于“”是“”的必要条件，所以，分与求解a的取值范围即可. 【详解】（1）当时，，所以， 所以或. （2）因为“”是“”的必要条件，所以， 当时，则，即，符合题意 ； 当时，则，即； 综上所述：a的取值范围. 11．（25-26高一上·重庆开州·阶段检测）设全集，集合或，集合或. (1)当时，求，； (2)若命题，命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或，； (2). 【分析】（1）根据集合交集、补集运算计算即可； （2）由题意可知，集合是集合的真子集，分与两种情况列不等式计算即可求解. 【详解】（1）当时，或， 所以或， 因为，所以 （2）因为命题，命题，若是的必要不充分条件， 所以集合是集合的真子集， 当集合时，，即，此时满足题意， 当集合时，即， 则，解得，所以， 经检验， 时，满足题意， 所以实数的取值范围为. 12．（25-26高一上·福建漳州·阶段检测）已知条件，若是的必要不充分条件，求实数的值. 【答案】 【分析】根据是的必要不充分条件得出根的情况，由韦达定理求解. 【详解】由可得或， 由是的必要不充分条件可知， 方程有相等实根或， 即或， 解得， 故实数的值为. 典例四 根据充要条件求参数 13．（25-26高一上·全国·专题训练）设集合，命题，命题，若是的充要条件，求正实数的值； 【答案】2 【详解】由条件，因为 是的充要条件，所以， 即，解得， 所以实数的值是. 14．（25-26高一上·湖南岳阳·期中）已知集合，非空集合. (1)若是的必要条件，求实数m的取值范围; (2)是否存在实数m，使是的充要条件. 【答案】(1). (2)不存在 【分析】（1）把必要条件转化为子集关系，从而确定参数满足的不等式组，即可求解； （2）把充要条件转化为两集合相等，从而确定参数满足的方程组，即可作出判断. 【详解】（1）∵是的必要条件，故， ∴，解得， 即所求实数m的取值范围是. （2）∵若是的充要条件，则， ∴，由于该方程组无解， 即不存在实数m，使是的充要条件. 15．（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）“方程至多有一个实数解”的充要条件是______________． 【答案】 【分析】利用计算即可. 【详解】“方程至多有一个实数解”的充要条件为，解得． 故答案为： 16．（25-26高一上·湖南郴州·阶段检测）设集合，； (1)用列举法表示集合； (2)若是的充要条件，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接解方程即可； （2）根据条件得，可得是方程的根，进而可得实数的值. 【详解】（1）集合， 即； （2）由已知，， 若是的充要条件，则， ， . 典例五 充要条件的证明 17．（25-26高一·全国·课堂例题）已知，求证：成立的充要条件是. 【答案】证明见解析 【分析】先分清命题条件是，结论是，再根据充要条件的定义证明即可. 【详解】先证充分性：因为，所以， 所以 . 再证必要性：因为， 所以，又，所以且， 所以，所以，即. 综上可知，当时，成立的充要条件是. 18．（25-26高一上·全国·课堂例题）证明：是一元二次方程有两个异号实根的充要条件． 【答案】 充分性：若，则， 方程有两个实根，， 根据根与系数的关系得． 所以方程有两个异号实根． 必要性：若一元二次方程有两个异号实根，， 则，即． 所以是一元二次方程有两个异号实根的充要条件． 【分析】先证明充分性，再证明必要性即可． 【详解】略 19．（25-26高一上·广西南宁·期中）求证：是是等边三角形的充要条件.（这里，，是的三边边长）. 【答案】 先证明充分性： 由， 得， 整理得，， 所以，即是等边三角形. 然后证明必要性： 由是等边三角形，则， 所以. 综上所述，是是等边三角形的充要条件. 【分析】根据充分性与必要性定义证明即可. 【详解】略 20．（25-26高一上·重庆沙坪坝·期中）已知的三边长为，其中.求证：为等边三角形的充要条件是． 【答案】证明：充分性： 当时，多项式可化为， 即，所以， 则，所以， 即，为等边三角形，即充分性成立； 必要性：由为等边三角形，且，所以， 则，，所以，即必要性成立． 故为等边三角形的充要条件是 【分析】根据题意，结合充分性和必要性的证明方法，结合多项式的化简、运算，即可求解. 【详解】略. 典例六 探求命题为真的充要条件 21．（25-26高一上·重庆·期中）已知集合则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分必要条件的定义判断. 【详解】若，则一定有，因此“”是“”的充分条件， 若，又有，则有，因此若集合，则“”是“”的必要条件， 所以若集合，则“”是“”的充要条件. 故选：C. 22．（25-26高三·全国·一轮复习）设，命题的充要条件是_________________． 【答案】 【分析】将原等式变形后，通过配方法转化为平方和的形式，借助平方数的非负性推导得变量间的等量关系. 【详解】由，得， 两边同乘2，得， 拆分并组合得， 即. 因实数的平方非负，故，，， 解得. 故答案为：. 23．（25-26高一上·江苏徐州·期中）设，则的充要条件是（   ） A． B． C．且 D．或 【答案】C 【分析】由等价于求解即可. 【详解】等价于，即且， 故选：C 24．（25-26高一上·河北张家口·期中）设，则“”的充要条件为（    ） A．至少有一个为2 B．都为2 C．都不为2 D． 【答案】A 【分析】将化为求解，结合充分、必要性定义即可得答案. 【详解】由，则，可得或，即至少有一个为2， 所以“”的充要条件为“至少有一个为2”，故A符合题意，BCD不符合题意. 故选：A. 第四部分：课后检测 1．（26-27高一上·甘肃武威·开学考试）“是钝角三角形”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若是钝角三角形，可得角中有一个是钝角，不能推出， 所以“是钝角三角形”是“”的不充分条件； 若，则是钝角三角形， 所以“是钝角三角形”是“”的必要条件； 所以“是钝角三角形”是“”的必要不充分条件. 2．（25-26高二下·天津和平·期末）已知，则“，”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若“，”，能推出“”，满足充分性； “”，则“，”或“，”，不满足必要性， 故“，”是“”的充分不必要条件． 3．（2026高三上·全国·竞赛）Agnes在白纸上写下以下四个论断： 这些论断中至少有一个是真的． 这些论断中至少有两个是真的． 这些论断中至少有两个是假的． 这些论断中至少有一个是假的． 每个论断非真即假．问Agnes在纸上写的假论断有几个？(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 E．4 【答案】B 【分析】运用假设法，对每个论断真假进行假设，从而确定假论断个数 【详解】假设论断1为假，即四个论断都是假的，但论断4若为假， 即四个论断都是真的，与假设矛盾，故论断1为真； 假设论断2为假，即至多有一个论断为真的，因为论断1为真， 则论断2、3、4为假，但论断3若为假，即至多有一个为假， 假设与论断3矛盾，故论断2为真； 假设论断3为假，即至多有一个为假，因为论断1、2为真， 故论断4也为真的，与假设符合，故论断3为假； 若论断4为假，即四个论断都是真的，但论断3为假的， 假设与论断3矛盾，故论断4为真； 综上，论断1、2、4为真，论断3为假. 4．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）已知集合，，则“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据集合的关系及集合元素的互异性求解判断即可. 【详解】因为，所以，要使，则，所以. 此时集合，， 要让，所以，解得. 当时，，不满足集合元素的互异性，故舍去； 当时，，，满足. 因此，若则且； 反之，若且可得. 即则“且”是“”的充要条件. 5．（25-26高一上·浙江·阶段检测）已知命题p：，命题q：，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】转化为根据集合的包含关系求参数的取值范围问题求解. 【详解】设集合，，由题意可知， ∴，∴. 故选：D 6．（25-26高一上·山东德州·阶段检测）已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据是的必要不充分条件，可得是的真子集，再分，和三种情况讨论，求出集合，根据集合的包含关系即可得解. 【详解】由，得或， 因为是的必要不充分条件， 所以是的真子集， 当时，，符合题意； 当时，， 因为是的真子集，所以，解得； 当时，， 因为是的真子集，所以，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：C. 7．（25-26高一上·福建厦门·期末）（多选）若“”是“”的充分不必要条件，则的取值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】BCD 【分析】根据集合之间的包含关系可得. 【详解】由题意可知，是的真子集， 故的取值可以是. 故选：BCD 8．（25-26高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）（多选）已知集合，，若是的充分条件，则实数的值可能为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】ACD 【分析】先根据题意得到，再分类讨论是空集、不是空集，利用集合的包含关系得到关于的不等式（组），解之即可得解. 【详解】因为是的充分条件，所以， 若是空集，显然满足题意，此时，解得， 若不是空集，由得，解得， 综上，或， 对比选项可知，ACD符合题意． 故选：ACD． 9．（2026高一上·湖南岳阳·专题练习）（多选）下列命题是真命题的是（　　） A．在中，是锐角是为锐角三角形的充分不必要条件 B．在中，是钝角是为钝角三角形的充要条件 C．是的充要条件 D．或为有理数是为有理数的既不充分也不必要条件 【答案】CD 【分析】对于选项A,B：结合三角形的性质即可判断；对于选项C：利用集合间的关系与运算即可判断；对于选项D:根据有理数的运算性质即可判断. 【详解】对于选项A：在中，是锐角，则可能为锐角，直角或钝角，故无法得出一定为锐角三角形； 若为锐角三角形，根据锐角三角形的定义可知的三个内角均为锐角的三角形， 所以是锐角是为锐角三角形的必要不充分条件，故选项A错误； 对于选项B：当是钝角时，则为钝角三角形； 当为钝角三角形不一定能推出是钝角， 所以是钝角是为钝角三角形的充分不必要条件，故选项B错误； 对于选项C：根据交集的性质易知是的充要条件，故选项C正确； 对于选项D:当时，此时； 当，此时满足的解可以为， 所以或为有理数是为有理数的既不充分也不必要条件，故选项D正确. 故选：CD. 10．（2026高一·全国·专题练习）已知命题，或，若是的充分不必要条件，则的取值范围为_______． 【答案】 【详解】命题对应集合， 命题对应集合或， 若是的充分不必要条件，则集合是集合的真子集， 则有或，解得或，即， 又，故的取值范围为. 11．（25-26高一上·江西抚州·期末）已知和，且是的必要条件但不是充分条件，则实数的取值集合为________. 【答案】 【分析】解方程，把集合具体化，然后利用集合间的关系可得答案. 【详解】由，得或，故； 由，得：，故； “ 是 的必要条件但不是充分条件”等价于 且 ， 或 ， 解得：或. 故答案为： 12．（25-26高一上·山西太原·阶段检测）设，集合，则是的______条件.（填充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件） 【答案】充要条件 【分析】利用集合相等的定义得到关于的方程组，推得充分性成立；再简单证得必要性也成立即可得解. 【详解】因为， 当时，则有，或， 若，显然解得； 若，两式相减，得到，进而推出， 所以或 把代入方程组，得，因为，方程无解； 把代入方程组，得，因为，方程无解， 所以方程组无解； 综上，时，有，即充分性成立； 当时，显然，即必要性成立； 所以“”是“”的充分必要条件. 故答案为：充要条件 13．（2026高一·全国·专题练习）证明：“是方程的实数根”的充要条件是“”． 【答案】①充分性，当时，， 代入方程，得， 满足此方程，充分性成立， ②必要性，当时，代入方程，则，必要性成立， 综上，是方程的实数根的充要条件是． 【分析】根据代入方程，因式分解即可求证充分性成立，将代入方程中即可求证必要性． 【详解】略 14．（25-26高一上·四川广安·阶段检测）已知集合，集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用集合子集关系求解即可. （2）将问题转化为集合是集合的真子集即可求解. 【详解】（1）由题意， 因为，所以； 所以，解得， 所以实数的取值范围为 （2）∵命题是命题的必要不充分条件，∴集合是集合的真子集， 当时，，解得， 当时，，解得 经检验，时，与集合是集合的真子集矛盾，故舍去. 综上所述，实数的取值范围为． 15．（25-26高一上·黑龙江大庆·阶段检测）设集合， (1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】若是的充分不必要条件，则是的真子集，结合集合包含关系即可求解； 若是的必要条件，则，结合集合包含关系即可求解． 【详解】（1）若是的充分不必要条件，则是的真子集， 所以， 解得， 故实数m的取值范围为； （2）若是的必要条件，则， 当时，，即， 当时，，解得， 故实数m的取值范围为. 16．（25-26高一上·湖北武汉·开学考试）已知集合，． (1)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】解：（1）因为“”是“”的必要不充分条件，可得A是B的真子集，则满足，解得，所以实数a的取值范围为． （2）因为“”是“”的充分不必要条件，可得B是A的真子集．①当，即时，此时，符合题意；②当，即时，则满足，即，解得．综上可得，实数a的取值范围为． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $