2026-2027学年人教版八年级数学上学期第一次月考自编练习卷（广东省广州市适用）

**基本信息** 本卷聚焦八年级上册三角形核心知识，通过建筑稳定性（第2题）、北江测量方案（第23题）等真实情境，融合尺规作图（第4题）、动点全等（第16题）等探究性问题，体现数学眼光、思维与语言的素养导向。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|三角形三边关系、稳定性、全等性质|基础概念与生活应用结合（如第2题三角形稳定性）| |填空题|6/24|中线周长、等腰三角形、垂直平分线|动态问题设计（如第16题动点全等时间计算）| |解答题|9/86|全等证明、面积计算、实际测量方案|分层探究（如第24题阅读材料延伸角平分线比例关系）|

2026-2027学年八年级数学上学期第一次月考自编练习卷 广东省广州市适用 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知三条线段的长分别是3，7，m，若它们能构成三角形，则整数m的最大值是（    ） A．11 B．10 C．9 D．7 2．如图，修建房屋时，为了使木门框不变形，建筑工人在木门框上斜着加了一根木条，这样做的道理是（    ） A．两直线平行，内错角相等 B．两点之间，线段最短 C．垂线段最短 D．三角形具有稳定性 3．下列图形中，是的边上高的图形是（   ） A． B． C． D． 4．下列关于用尺规作图的结论错误的是（    ） A．已知一个三角形的两角与一边，那么这个三角形一定可以作出 B．已知一个三角形的两边与一角，那么这个三角形一定可以作出 C．已知一个直角三角形的两条直角边，那么这个三角形一定可以作出 D．已知一个三角形的三条边，那么这个三角形一定可以作出 5．如图，在中，，，延长到点，使，连接，则的度数（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，点M，N为AC边上的两点，，于点D，且，若，则（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，是边上的中线，E是的中点，连接，若的面积为，则阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D．条件不足，无法求出 8．如图，在等腰中，，是边上的高，点是高上任意一点，点是边上任意一点，，，，则的最小值是（   ） A．3 B．5 C． D． 9．如图，已知，点与点是对应点，下列结论中错误的是（     ） A． B． C． D． 10．如图，在中，、的平分线、交于点P，延长至E，至F，于点M，于点N，下列结论：①平分；②；③．其中正确的有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．如图，在中，，，是的中线，且把的周长分为两部分，若两部分的差为，则的长度为__________． 12．如果实数满足，且恰好是等腰的两边长，则的周长是___________． 13．如图，，点，，，在同一条直线上，若，，则的长是________． 14．如图所示，垂直平分，，则____°，__°． 15．如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是___________． 16．如图，，垂足为点，米，米，射线，垂足为点，一动点从点出发以米秒沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，当点经过______时，由点、、组成的三角形与全等． 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（6分）如图，在中，，于，平分交于，交于F． (1)如果，求的度数； (2)试说明：． 18．（6分）如图，已知：点、分别在线段、上，，． (1)求证：； (2)不添加任何字母，请你连接图中两点，得到一组全等的三角形是：________并给出证明． 19．（8分）如图，AD、AE、AF分别是ABC的高线、角平分线和中线． (1)若，CF=4，求AD的长． (2)若∠C=70°，∠B=26°，求∠DAE的度数． 20．（8分）如图在和中，，，． (1)求证：； (2)判断与的数量与位置关系，并证明： 21．（8分）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)请判断和的关系，并说明理由． 22．（10分）△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE是△ABC的高． （1）如图1，若∠B＝40°，∠C＝60°．求∠DAE的度数． （2）如图2（∠B＜∠C），试说明∠DAE与∠B、∠C的数量关系．     （3）拓展：如图3，四边形ABDC中，AE是∠BAC的角平分线，DA是∠BDC的角平分线，猜想：∠DAE与∠B、∠C的数量关系是否改变，说明理由． 23．（12分）综合与实践 【阅读材料】 在现实生活中，河道、湖泊对岸的物体无法直接丈量距离，我们可以利用全等三角形的性质设计实地测量方案，不用涉水就能测出观测点到目标物的直线距离． 【问题提出】 如图1，小明站在北江堤岸的点处，在他的正西方向处有一根电线杆，在他的正北方向处停泊着一艘游艇．他想知道游艇与他所在点的距离，由于无法划船涉水直接测量点到游艇的距离，小明进行了下面的探究． 【方案设计】 测量工具：测量角度的仪器、皮尺 测量过程： 步骤1：沿堤岸从点沿正西方向步行至电线杆所在的点，用皮尺测量的长度并记录； 步骤2：从点继续沿堤岸正西方向步行走到点，使得； 步骤3：在点向正南方步行至点，观测调整位置，使游艇、电线杆、观测点三点在同一条直线上； 步骤4：用皮尺多次测量长度，取平均值作为最终测量数据． 【问题解决】 (1)请你根据上面的测量方案，在图2，画出测量的方案设计图． (2)利用所学的全等三角形的知识，说明小明的方案的正确性． 24．（14分）阅读与思考 下面是小明同学写的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应任务． ×年×月×日                                  星期日                             晴 巧用角平分线构造比例关系 在学习完角平分线的性质一节后，我经过思考发现里面还有一个有趣的结论：如图1，是的角平分线，，，，之间的关系为：． 思路：“关联”角平分线的性质，过点D分别作垂足为E，作垂足为F，再结合“等面积法”即可得到结论． 证明：如图2，过点D作于点E，于点F，过点A作于点G，因为是的角平分线，且，， 所以（依据）． 因为，， 所以． 因为， 所以   …… 解后反思： 关联思想是数学的核心思维之一．当题目涉及角平分线时，可向角的两边作垂线，利用角平分线的性质完成线段、面积等条件转化，进而简化问题． 任务： (1)任务一：材料中证明过程中的依据指的是： ； (2)任务二：请将小明同学的证明过程补充完整； (3)任务三：如图3，在中，点E为的中点，平分，，与交于点O，于点P，于点Q，已知的面积为6，则的面积为 ． 25．（14分）阅读以下材料，完成以下两个问题． 【阅读材料】已知：如图，（）中，D、E在上，且，过D作交于点F，．求证：平分． 结合此题，，点E是的中点，考虑倍长，并且要考虑连接哪两点，目的是证明全等，从而转移边和角．有两种考虑方法：①考虑倍长，如图（1）所示；②考虑倍长，如图（2）所示 (1)请选择方法①或方法②，完成阅读材料中的证明． (2)根据上述材料，完成下列问题： 已知，如图3，在中，是边上的中线，分别以，为直角边向外作等腰直角三角形，，，，证明：； (3)与面积之间的关系，并说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级数学上学期第一次月考自编练习卷 广东省广州市适用 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知三条线段的长分别是3，7，m，若它们能构成三角形，则整数m的最大值是（    ） A．11 B．10 C．9 D．7 【答案】C 【分析】根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，进而解答即可． 【详解】解：∵三条线段的长分别是3，7，m，它们能构成三角形， ∴， ∴， ∴整数m的最大值是9． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边是解题的关键． 2．如图，修建房屋时，为了使木门框不变形，建筑工人在木门框上斜着加了一根木条，这样做的道理是（    ） A．两直线平行，内错角相等 B．两点之间，线段最短 C．垂线段最短 D．三角形具有稳定性 【答案】D 【分析】三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变． 【详解】解：这样做的道理是三角形具有稳定性； 故选：D 【点睛】本题考查了三角形的稳定性，数学要学以致用，会对生活中的一些现象用数学知识解释． 3．下列图形中，是的边上高的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段， 理解三角形的高的作法是解题的关键； 根据三角形高的画法，结合图形逐一判断即可． 【详解】解：根据三角形高的画法知： A、线段不是边上的高，故本选项不符合题意； B、线段是边上的高，故本选项符合题意； C、线段不是边上的高，故本选项不符合题意； D、线段不是边上的高，故本选项不符合题意； 故选：B． 4．下列关于用尺规作图的结论错误的是（    ） A．已知一个三角形的两角与一边，那么这个三角形一定可以作出 B．已知一个三角形的两边与一角，那么这个三角形一定可以作出 C．已知一个直角三角形的两条直角边，那么这个三角形一定可以作出 D．已知一个三角形的三条边，那么这个三角形一定可以作出 【答案】B 【分析】根据三角形全等的判定方法解答． 【详解】解：A．已知一个三角形的两角与一边，根据或，这个三角形一定可以作出，所以本选项不符合题意； B．已知一个三角形的两边与一角，不一定作出这个三角形，所以本选项符合题意； C．已知一个直角三角形的两条直角边，根据，这个三角形一定可以作出，所以本选项不符合题意； D．已知一个三角形的三条边，根据，这个三角形一定可以作出，所以本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查三角形全等的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键． 5．如图，在中，，，延长到点，使，连接，则的度数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等边对等角求得，然后利用三角形的内角和求得答案即可． 【详解】解：，， ． ，，， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是了解“等边对等角”的性质，难度不大． 6．如图，在中，点M，N为AC边上的两点，，于点D，且，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据看垂直平分线的性质可得，和可得平分，进而得到，最后由三角形内角和求出即可． 【详解】∵，，， ∴， ∵，， ∴平分， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查垂直平分线的性质，角平分线的判定定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 7．如图，在中，是边上的中线，E是的中点，连接，若的面积为，则阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D．条件不足，无法求出 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中线性质，掌握三角形的中线把三角形的面积分成相等的两个部分是解题的关键．根据三角形中线，可以知道，，从而计算出答案． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵是的中点， ， ， ， 故选：B． 8．如图，在等腰中，，是边上的高，点是高上任意一点，点是边上任意一点，，，，则的最小值是（   ） A．3 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判断，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 如图所示，过点C作于H，连接，先证明是的垂直平分线得到，进而推出当、在上时，有最小值，即此时有最小值，利用等面积法求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点C作于H，连接， ∵，是边上的高， ∴，即是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴当、在上时，有最小值，即此时有最小值， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故选D． 9．如图，已知，点与点是对应点，下列结论中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的对应关系确定对应边和对应角，逐项判断． 【详解】解：，点与点是对应点， 点与点是对应点，点与点是对应点， ，，，，， 选项A、B、D结论正确，选项C结论错误． 10．如图，在中，、的平分线、交于点P，延长至E，至F，于点M，于点N，下列结论：①平分；②；③．其中正确的有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】过点P作于点D，根据角平分线的性质可得，，再证明，即可判断①；同理证明，可证明，进而可表示出、的数量关系，根据三角形的内角和为，利用、这两个三角形，即可判定②；根据，，即可证明③，问题得解． 【详解】解：过点P作于点D，如图， ∵，，平分， ∴，， ∵，，平分， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即平分，即①正确； 同理证明， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴，即②正确； ∵，， ∴，， ∴， ∴，即③正确， 即正确的结论有3个． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．如图，在中，，，是的中线，且把的周长分为两部分，若两部分的差为，则的长度为__________． 【答案】 【详解】解：∵是的中线， ∴ ， ∵把的周长分为两部分，两部分的差为，， ∴， ∴ ， 解得． 12．如果实数满足，且恰好是等腰的两边长，则的周长是___________． 【答案】或 【分析】根据绝对值和平方数的非负性求出和的值，再分情况讨论腰长，结合三角形三边关系验证后计算周长． 【详解】解：∵，，且， ∴，， 解得，， 若是腰长，三角形三边长为，，，，满足三角形三边关系，此时的周长为； 若是底边长，三角形三边长为，，，，满足三角形三边关系，此时的周长为， 综上，的周长为或． 13．如图，，点，，，在同一条直线上，若，，则的长是________． 【答案】 【分析】利用全等的性质得到，即可得到，再由运算解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，且，， ∴， 解得：． 14．如图所示，垂直平分，，则____°，__°． 【答案】 30 60 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的外角性质．根据线段垂直平分线的性质，等边对等角求得，再利用三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：30，60． 15．如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是___________． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．根据，可得，，根据三角形的外角性质可知，进一步根据三角形的外角性质可知，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．如图，，垂足为点，米，米，射线，垂足为点，一动点从点出发以米秒沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，当点经过______时，由点、、组成的三角形与全等．    【答案】，，， 【分析】本题考查了全等三角形的存在性问题． 分别寻找E在不同线段上，的情况，求解即可． 【详解】解：①当在线段上，时，≌， ， ， ， 点的运动时间为秒； ②当在上，时， ， 点的运动时间为秒； ③当在线段上，时，≌， 这时在点未动，因此时间为秒； ④当在上，时，≌， ， 点的运动时间为秒， 故答案为：，，，． 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（6分）如图，在中，，于，平分交于，交于F． (1)如果，求的度数； (2)试说明：． 【答案】(1)； (2)证明：， ， ， ， ， 平分交于， ， ， ， ． 【分析】（1）根据三角形内角和可得的度数，根据角平分线的定义可得的度数，根据直角三角形的性质可得的度数； （2）根据直角三角形的两锐角互余可得，，根据角平分线的定义可得，从而可得，进而可知． 【详解】（1）解：，， ， 平分交于， ， ； （2）略． 18．（6分）如图，已知：点、分别在线段、上，，． (1)求证：； (2)不添加任何字母，请你连接图中两点，得到一组全等的三角形是：________并给出证明． 【答案】(1)证明：在和中， ， ∴ (2)方法一：如图，连接，得到， 证明：∵， ∴，， 又∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； 方法二：如图，连接，得到， ∵， ∴，， 又∵， ∴，即， 在和中， ， ∴ 【分析】（1）在和中，结合已知的、公共角与，依据即可证明两三角形全等； （2）可连接，得到；由（1）得，由全等性质可知、，结合推得，再根据三边对应相等，依据即可证明；也可连接，得到，同上得、，依据即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 19．（8分）如图，AD、AE、AF分别是ABC的高线、角平分线和中线． (1)若，CF=4，求AD的长． (2)若∠C=70°，∠B=26°，求∠DAE的度数． 【答案】(1)AD=5 (2)∠DAE=22°． 【分析】（1）根据角平分线和三角形的面积公式即可解答； （2）根据角平分线、三角形的高线结合三角形内角和定理即可解答． 【详解】（1）解：∵AF是△ABC的中线，CF=4， ∴BC=2CF=8． ∵S△ABC=×BC×AD=20， ∴AD=5； （2）解：∵∠C=70°，∠B=26°． ∴∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−26°−70°=84°． ∵AD，AE分别是△ABC的高线和角平分线． ∴∠EAC=∠BAC=42°， ∴∠DAC=90°−70°=20°， ∴∠DAE=∠EAC−∠DAC=42°−20°=22°． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线、中线、高线的定义，直角三角形两锐角互余的性质，熟记定理并准确识图是解题的关键． 20．（8分）如图在和中，，，．    (1)求证：； (2)判断与的数量与位置关系，并证明： 【答案】(1) 在和中，， ∴， ∴ ∵，， ∴； (2) ∵， ∴ 延长交于点F，则    ∴ ∵四边形的内角和为， ∴ ∵ ∴，即， ∴． 【分析】（1）根据证明即可得出结论； （2）由（1）得，延长交于点F，根据四边形内角和定理即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，垂直的性质和判定的应用，等腰直角三角形的性质的应用，能利用全等三角形的性质和判定求解是解此题的关键． 21．（8分）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)请判断和的关系，并说明理由． 【答案】(1) 证明：， ， ， ，即， 在和中， ， ． (2) ，，理由如下： ， ， ∴． 【分析】本题主要考查了平行线的性质、平行线的判定、全等三角形的判定与性质等知识点，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先证明、，再运用即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，，再根据内错角相等、两直线平行即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 22．（10分）△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE是△ABC的高． （1）如图1，若∠B＝40°，∠C＝60°．求∠DAE的度数． （2）如图2（∠B＜∠C），试说明∠DAE与∠B、∠C的数量关系．     （3）拓展：如图3，四边形ABDC中，AE是∠BAC的角平分线，DA是∠BDC的角平分线，猜想：∠DAE与∠B、∠C的数量关系是否改变，说明理由． 【答案】（1）10°； （2）∵∠BAC+∠B+∠C＝180°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C， ∵AD是∠BAC的角平分线， ∴∠CAD＝∠BAD∠BAC， ∵AE是△ABC的高， ∴∠AEC＝90°， ∴∠CAE＝90°﹣∠C， ∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE∠BAC﹣（90°﹣∠C）（180°﹣∠B﹣∠C）﹣90°+∠C∠C∠B， 即∠DAE∠C∠B； （3）不变， 理由：连接BC交AD于F， 过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC于N， ∵AE是∠BAC的角平分线，AM是高， ∴∠EAM（∠ACB﹣∠ABC）， 同理，∠ADN（∠BCD﹣∠CBD）， ∵∠AFM＝∠DFN，∠AMF＝∠DNF＝90°， ∴∠MAD＝∠ADN， ∴∠DAE＝∠EAM+∠MAD＝∠EAM+∠ADN（∠ACB﹣∠ABC）（∠BCD﹣∠CBD）（∠ACD﹣∠ABD）． 【分析】（1）根据三角形的内角和定理可求得∠BAC＝80°，由角平分线的定义可得∠CAD的度数，利用三角形的高线可求∠CAE得度数，进而求解即可得出结论； （2）根据（1）的推理方法可求解∠DAE、∠B、∠C的数量关系； （3）连接BC交AD于F，过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC于N，根据角平分线的定义得到∠EAM（∠ACB﹣∠ABC），同理，∠ADN（∠BCD﹣∠CBD），求得∠MAD＝∠ADN，根据角的和差即可得到结论． 【详解】解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝60°，∠BAC+∠B+∠C＝180°， ∴∠BAC＝80°， ∵AD是∠BAC的角平分线， ∴∠CAD＝∠BAD∠BAC＝40°， ∵AE是△ABC的高， ∴∠AEC＝90°， ∵∠C＝60°， ∴∠CAE＝90°﹣60°＝30°， ∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝10°； （2）略． （3）略． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，三角形的高线，角平分线等知识的综合运用，熟知相关知识，并根据题意添加辅助线构造图形是解题关键． 23．（12分）综合与实践 【阅读材料】 在现实生活中，河道、湖泊对岸的物体无法直接丈量距离，我们可以利用全等三角形的性质设计实地测量方案，不用涉水就能测出观测点到目标物的直线距离． 【问题提出】 如图1，小明站在北江堤岸的点处，在他的正西方向处有一根电线杆，在他的正北方向处停泊着一艘游艇．他想知道游艇与他所在点的距离，由于无法划船涉水直接测量点到游艇的距离，小明进行了下面的探究． 【方案设计】 测量工具：测量角度的仪器、皮尺 测量过程： 步骤1：沿堤岸从点沿正西方向步行至电线杆所在的点，用皮尺测量的长度并记录； 步骤2：从点继续沿堤岸正西方向步行走到点，使得； 步骤3：在点向正南方步行至点，观测调整位置，使游艇、电线杆、观测点三点在同一条直线上； 步骤4：用皮尺多次测量长度，取平均值作为最终测量数据． 【问题解决】 (1)请你根据上面的测量方案，在图2，画出测量的方案设计图． (2)利用所学的全等三角形的知识，说明小明的方案的正确性． 【答案】(1) (2)解：由题意得：，为点到游艇的距离， 在和中， ， ∴， ∴， ∴测量出长度即可得点到游艇的距离，小明的方案正确． 【分析】（1）根据上面的测量方案，画出测量的方案设计图即可； （2）证出即可． 【详解】（1）解：略． （2）解：略． 24．（14分）阅读与思考 下面是小明同学写的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应任务． ×年×月×日                                  星期日                             晴 巧用角平分线构造比例关系 在学习完角平分线的性质一节后，我经过思考发现里面还有一个有趣的结论：如图1，是的角平分线，，，，之间的关系为：．   思路：“关联”角平分线的性质，过点D分别作垂足为E，作垂足为F，再结合“等面积法”即可得到结论． 证明：如图2，过点D作于点E，于点F，过点A作于点G，因为是的角平分线，且，，   所以（依据）． 因为，， 所以． 因为， 所以   …… 解后反思： 关联思想是数学的核心思维之一．当题目涉及角平分线时，可向角的两边作垂线，利用角平分线的性质完成线段、面积等条件转化，进而简化问题． 任务： (1)任务一：材料中证明过程中的依据指的是： ； (2)任务二：请将小明同学的证明过程补充完整； (3)任务三：如图3，在中，点E为的中点，平分，，与交于点O，于点P，于点Q，已知的面积为6，则的面积为 ．    【答案】(1)角平分线上的点到角两边的距离相等 (2)补充如下： 所以，， 所以， 所以 (3)30 【分析】（1）依据为角平分线的性质； （2）利用三角形的面积为底乘以高除以2即可求证； （3）先求出，进一步得出，再利用中线平分三角形面积即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵在中， 平分，， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴ 已知的面积为6， ∴， ∴， ∵点E为的中点， ∴． 25．（14分）阅读以下材料，完成以下两个问题． 【阅读材料】已知：如图，（）中，D、E在上，且，过D作交于点F，．求证：平分． 结合此题，，点E是的中点，考虑倍长，并且要考虑连接哪两点，目的是证明全等，从而转移边和角．有两种考虑方法：①考虑倍长，如图（1）所示；②考虑倍长，如图（2）所示 (1)请选择方法①或方法②，完成阅读材料中的证明． (2)根据上述材料，完成下列问题： 已知，如图3，在中，是边上的中线，分别以，为直角边向外作等腰直角三角形，，，，证明：； (3)与面积之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)方法①∶证明：如图，延长至点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 平分； 方法②：证明：如图，延长至点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 平分； (2)如图，延长至点，使，连接， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ，， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ∴， 设与交于点H， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即． (3)与面积相等，理由如下； 由（2）可知， ∴， ∵，， ∴， 由（2）可知， ∴， ∴． 【分析】（1）方法①：延长至点，使，连接，证明，得到，，再根据等边对等角的性质和平行线的性质，得出，即可证明；方法②：延长至点，使，连接，证明，得到，，再根据等边对等角的性质和平行线的性质，得出，即可证明； （2）延长至点，使，连接，证明，得到，，进而推出，，再证明，即可得出，设与交于点H，由，即可得出，等量代换可得出，由三角形内角和定理即可得出． 【详解】（1）证明：略； （2）证明：略； （3）解：略； 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $