广东省湛江市雷州市2026-2027学年八年级上学期第一次月考数学模拟练习

**基本信息** 以人工智能标识、书架测量等真实情境为载体，分层考查全等三角形判定与性质、轴对称等核心知识，注重数学思维的逻辑性与应用能力的培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|轴对称图形识别、全等三角形判定（ASA/AAS）|第1题结合AI科技情境，第5题以书架书籍为背景考查全等应用| |填空题|5/20|对称点坐标、角平分线性质、全等多结论判断|第12题综合5个结论判断，考查全等性质的灵活运用| |解答题|8/90|垂直平分线证明、动态全等探究、生活测量应用|第23题运动型全等问题，第20题荡秋千模型融合几何与实际测量|

2026-2027学年广东省湛江市雷州市八年级（上） 第一次月考数学模拟练习 一．选择题（共10小题，满分30分） 1．（4分）人工智能AI改变着我们的生活．如图是与人工智能科技有关的标识，这些标识不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（4分）如图，△ABC≌△DEC，点D在AB上，∠A＝70°，则∠BDE的度数为（　　） A．40° B．45° C．60° D．70° 3．如图，在△ABC与△DCB中，AC、BD相交于点O，下列四组条件中，不能证明△ABC≌△DCB的是（　　） A．AB＝DC，AC＝BD B．AB＝CD，BO＝CO C．BO＝CO，∠A＝∠D D．∠ACB＝∠DBC，AC＝BD 4．（4分）如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（　　） A．ASA B．AAS C．SAS D．SSS 5．（4分）如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中放入一个等腰直角三角板，其直角顶点C在书架底部DE上，当顶点A落在右侧书籍的上方边沿时，顶点B恰好落在左侧书籍的上方边沿，已知每本书长20cm，厚度为2cm，则两摞书之间的距离DE为（　　） A．20 B．22 C．24 D．26 6．（4分）如图，要测量河岸相对两点A，B的距离，已知AB垂直于河岸BF，先在BF上取点C，D，使CD＝CB，再过点D作BF的垂线段DE，使点A，C，E在同一条直线上，测出BD＝12，ED＝5，则AB的长是（　　） A．2.5 B．5 C．6 D．1 7．（4分）下列说法正确的是（　　） A．角的对称轴是角平分线 B．对称图形的对称点一定在对称轴的两侧 C．成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分 D．有一条公共边的两个全等三角形一定关于公共边所在直线对称 8．（4分）如图，AD是△ABC的高，AE平分∠CAD交BC于点E，过点B作BF⊥AE，垂足为点F，并交AD于点G．若AF＝BF，则下列结论中：①∠ABF＝45°；②△AFG≌△BFE；③AG+CE＝AC；④BC＞BG+2GF．所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 9．（4分）如图，已知在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，△ABC与△ADC的面积相等．BD平分∠ABC，AB＝2BC，则有：①BO＝DO；②AO＝2CO；③AD＝2CO；④AD＝AO．以上结论成立的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，△ABC的周长是20，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝3，则△ABC的面积是（　　） A．30 B．25 C．60 D．40 二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分） 11．（4分）若点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，则（m+n）2025的值是　 　 ． 12．（4分）如图，EB交AC于点M，交FC于点D，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，给出下列结论：其中正确的结论有　 　 （填序号）． ①∠1＝∠2； ②BE＝CF； ③△ACN≌△ABM； ④CD＝DB； ⑤△AFN≌△AEM． 13．（4分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝8，AC＝6，则S△ABD：S△ACD＝　 　 ． 14．（4分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，延长BC到点E，以CE为斜边，在CE下方作等腰Rt△CDE，∠CDE＝90°，连接BD，AE，取AE的中点F，连接BF，DF．若AB＝2，，则△BFD的面积为　 　 ． 15．（4分）图①、图②、图③分别表示甲、乙、丙三人由A地到B地的路线图，甲的路线：A→C→D→B，乙的路线：A→E→B，丙的路线：A→F→G→H→B．若三人行进路线的总长度分别用l甲，l乙，l丙表示，则其大小关系是 　 　 ． 三．解答题（共8小题，满分90分） 16．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝28°，请你在AB上找一点P，使得∠APC＝56°．（不写作法，保留作图痕迹） 17．（10分）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线EF分别交边BC，AB于点E，F，过点A作AD⊥BC于点D，且D为线段CE的中点． （1）求证：BE＝AC； （2）若∠B＝40°，求∠BAC的度数． 18．（10分）如图，已知△ABC各顶点坐标分别为A（﹣3，2）、B（﹣4，﹣3）、C（﹣1，﹣1）． （1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）直接写出△A1B1C1的各顶点坐标； （3）试求△AA1C的面积． 19．（12分）如图，A，F，B，D在一条直线上，AF＝DB，AC∥DE，AC＝DE，求证：∠C＝∠E． 20．（12分）小丽与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.2m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她，若妈妈与爸爸到OA的水平距离BF、CG分别为1.8m和2.2m，∠BOC＝90°． （1）△CGO与△OFB全等吗？请说明理由． （2）爸爸是在距离地面多高的地方接住小丽的？ 21．（12分）在如图所示的△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D． （1）若∠A＝60°，∠C＝40°，求∠ADB的度数； （2）过点D作DE⊥BC于点E，若AB＝5，BC＝7，DE＝3，求△ABC的面积． 22．（12分）已知：如图1，在△ABC中，两内角的平分线BD、CE交于点I． （1）试探究∠BIC和∠A的数量关系，并说明理由． （2）如图2，当∠A＝90°时，点F在边CA上，且CF+BE＝BC，连接IF． ①求证：IF⊥CE． ②若AB＝8，AC＝15，BC＝17，求AF的长． 23．（14分）如图，已知△ABC中，∠B＝∠C，AB＝8厘米，BC＝6厘米，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以每秒2厘米的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以每秒a厘米的速度由C点向A点运动，设运动时间为t（秒）（0≤1＜3）． （1）用含t的代数式表示PC的长度． （2）若点P、Q的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由； （3）若点P、Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度a为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？ 2026-2027学年广东省湛江市雷州市八年级（上） 第一次月考数学模拟练习 一．选择题（共10小题，满分32分） 1．（4分）人工智能AI改变着我们的生活．如图是与人工智能科技有关的标识，这些标识不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【解答】解：A．是轴对称图形，故本选项不符合题意； B．不是轴对称图形，故本选项符合题意； C．是轴对称图形，故本选项不符合题意； D．是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2．（4分）如图，△ABC≌△DEC，点D在AB上，∠A＝70°，则∠BDE的度数为（　　） A．40° B．45° C．60° D．70° 【分析】先根据全等三角形性质求出∠DEC，然后根据等边对等角求出∠ADC，再利用平角性质求解即可． 【解答】解：∵△ABC≌△DEC，点D在AB上，∠A＝70°， ∴∠EDC＝∠A＝70°，CD＝AC， ∴∠ADC＝∠A＝70°， ∴∠BDE＝180°﹣∠EDC﹣∠CDA＝40°． 故选：A． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟知全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等是解题的关键． 3．如图，在△ABC与△DCB中，AC、BD相交于点O，下列四组条件中，不能证明△ABC≌△DCB的是（　　） A．AB＝DC，AC＝BD B．AB＝CD，BO＝CO C．BO＝CO，∠A＝∠D D．∠ACB＝∠DBC，AC＝BD 【分析】对于选项A，根据AB＝DC，AC＝BD，BC＝CB可依据“SSS”判定△ABC和△DCB全等，据此可对该选项进行判断； 对于选项B，由BO＝CO得∠ACB＝∠DBC，根据AB＝CD，BC＝CB，∠ACB＝∠DBC不能判定△ABC和△DCB全等，据此可对该选项进行判断； 对于选项C，由BO＝CO得∠ACB＝∠DBC，进而根据∠ACB＝∠DBC，∠A＝∠D，BC＝CB可依据“AAS”判定△ABC和△DCB全等，据此可对该选项进行判断； 对于选项D，根据AC＝BD，∠ACB＝∠DBC，BC＝CB可依据“SAS”判定△ABC和△DCB全等，据此可对该选项进行判断，综上所述即可得出答案． 【解答】解：对于选项A， 在△ABC和△DCB中， ， ∴△ABC≌△DCB（SSS）， ∴选项A中的条件能证明△ABC≌△DCB， 故选项A不符合题意； 对于选项B， ∵BO＝CO， ∴∠ACB＝∠DBC， 在△ABC和△DCB中， AB＝CD，BC＝CB，∠ACB＝∠DBC不符合全等三角形的判定条件， ∴选项B中的条件不能证明△ABC≌△DCB， 故选项B符合题意； 对于选项C， ∵BO＝CO， ∴∠ACB＝∠DBC， 在△ABC和△DCB中， ， ∴△ABC≌△DCB（AAS）， ∴选项C中的条件能证明△ABC≌△DCB， 故选项C不符合题意； 对于选项D， 在△ABC和△DCB中， ， ∴△ABC≌△DCB（SAS）， ∴选项D中的条件能证明△ABC≌△DCB， 故选项D不符合题意， 故选：B． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，准确识图，熟练掌握全等三角形的判定是解决问题的关键． 4．（4分）如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（　　） A．ASA B．AAS C．SAS D．SSS 【分析】根据全等三角形的判定方法，即可解答． 【解答】解：如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是ASA， 故选：A． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 5．（4分）如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中放入一个等腰直角三角板，其直角顶点C在书架底部DE上，当顶点A落在右侧书籍的上方边沿时，顶点B恰好落在左侧书籍的上方边沿，已知每本书长20cm，厚度为2cm，则两摞书之间的距离DE为（　　） A．20 B．22 C．24 D．26 【分析】根据题意得BC＝AC，∠BCA＝90°，即可证明△CBD≌△ACE，则有CE＝BD，AE＝DC，结合DE＝DC+CE即可求得答案． 【解答】解：∵∠BCA＝90°，∠BDC＝90°， ∴∠ACE+∠BCD＝90°，∠CBD+∠BCD＝90°， ∴∠CBD＝∠ACE， 在△CBD和△ACE中， ， ∴△CBD≌△ACE（AAS）， ∴CE＝BD＝2×2＝4cm，DC＝AE＝20cm， ∴DE＝DC+CE＝24（cm）． 故选：C． 【点评】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 6．（4分）如图，要测量河岸相对两点A，B的距离，已知AB垂直于河岸BF，先在BF上取点C，D，使CD＝CB，再过点D作BF的垂线段DE，使点A，C，E在同一条直线上，测出BD＝12，ED＝5，则AB的长是（　　） A．2.5 B．5 C．6 D．1 【分析】由AB、ED均垂直于BF，即可得出∠ABC＝∠EDC＝90°，结合CD＝CB、∠ACB＝∠ECD，即可证出△ABC≌△EDC（ASA），由此即可得出AB＝ED＝5，此题得解． 【解答】解：已知AB垂直于河岸BF，先在BF上取点C，D，使CD＝CB，再过点D作BF的垂线段DE，BD＝12，ED＝5， ∴∠ABC＝∠EDC＝90°， 在△ABC△EDC中， ， ∴△ABC≌△EDC（ASA）， ∴AB＝ED＝5． 故选：B． 【点评】本题考查了全等三角形的应用，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的性质． 7．（4分）下列说法正确的是（　　） A．角的对称轴是角平分线 B．对称图形的对称点一定在对称轴的两侧 C．成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分 D．有一条公共边的两个全等三角形一定关于公共边所在直线对称 【分析】根据每一个选项逐一判断即可． 【解答】解：A、角的对称轴是角的平分线所在的直线，故不合题意； B、轴对称的两个图形的对称点不一定在对称轴的两侧，可能在对称轴上，故不符合题意； C、成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分，故符合题意； D、有一条公共边的两个全等三角形不一定关于公共边所在的直线对称，故不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查轴对称图形的性质，全等图形，线段的垂直平分线，正确记忆相关知识点是解题关键． 8．（4分）如图，AD是△ABC的高，AE平分∠CAD交BC于点E，过点B作BF⊥AE，垂足为点F，并交AD于点G．若AF＝BF，则下列结论中：①∠ABF＝45°；②△AFG≌△BFE；③AG+CE＝AC；④BC＞BG+2GF．所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【分析】由BF⊥AE于点F，得∠AFB＝90°，而AF＝BF，所以∠ABF＝∠BAF＝45°，可判断①正确；由AD⊥BC于点D，得∠ADE＝90°，则∠GAF＝∠EBF＝90°﹣∠AEB，即可根据“ASA”证明△AFG≌△BFE，可判断②正确；根据全等三角形的性质得出AG＝BE，EF＝GF，所以AG+CE＝BE+CE＝BC，由∠GAF＝∠CAE，得∠EBF＝∠CAE，推导出∠CBA＝∠EBF+∠ABF＝∠CAE+∠BAF＝∠CAB，则BC＝AC，所以AG+CE＝AC，可判断③正确；得出BG+2GF＝AE，即可判断④． 【解答】解：∵BF⊥AE于点F， ∴∠AFB＝90°， ∵AF＝BF， ∴∠ABF＝∠BAF＝45°， 故①正确； ∵AD是△ABC的高， ∴AD⊥BC于点D， ∴∠AFG＝∠BFE＝∠ADE＝90°， ∴∠GAF＝∠EBF＝90°﹣∠AEB， 在△AFG和△BFE中， ∴△AFG≌△BFE（ASA）， 故②正确； ∴AG＝BE， ∴AG+CE＝BE+CE＝BC， ∵AE平分∠CAD交BC于点E， ∴∠GAF＝∠CAE， ∴∠EBF＝∠CAE， ∴∠CBA＝∠EBF+∠ABF＝∠CAE+∠BAF＝∠CAB， ∴BC＝AC， ∴AG+CE＝AC， 故③正确； ∵BG+2GF＝BG+GF+GF＝BF+EF＝AF+EF＝AE，又AE＜AC＝BC， ∴BC＞BG+2GF，故④正确． 综上，正确结论的序号为①②③④． 故选：D． 【点评】该题主要考查了全等三角形的性质和判定．等腰三角形的性质和判定，角平分线的定义等知识点，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 9．（4分）如图，已知在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，△ABC与△ADC的面积相等．BD平分∠ABC，AB＝2BC，则有：①BO＝DO；②AO＝2CO；③AD＝2CO；④AD＝AO．以上结论成立的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】分别过点B，D作AC的垂线，垂足分别为点E，F，可得BE＝DF，即可证明△BOE≌△DOF，可判断①，过点O作OG∥AD，交AB于点G，证明△BOG≌△BOC，可得OG＝OC，∠BOG＝∠BOC＝∠AOD，即可证明②、③、④． 【解答】解：如图，△ABC与△ADC的面积相等，分别过点B，D作AC的垂线，垂足分别为点E，F， ∵，， ∴， ∴BE＝DF， 在△BOE与△DOF中， ， ∴△BOE≌△DOF（AAS）， ∴BO＝DO， 故结论①成立，符合题意； 如图，过点O作OG∥AD，交AB于点G， ∴△ADB∽△GOB， ∴， ∵BO＝DO， ∴， ∴AD＝2OG， ∵AB＝2BC， ∴BG＝BC， ∵BD平分∠ABC， ∴∠CBO＝∠GBO， 在△BOG与△BOC中， ， ∴△BOG≌△BOC（SAS）， ∴∠BOG＝∠BOC＝∠AOD，OG＝OC， ∴AD＝2CO，∠ADO＝∠AOD， 故结论③成立，符合题意； ∴AD＝AO， 故结论④成立，符合题意； ∴AO＝2CO， 故结论②成立，符合题意， 综上所述，结论成立的是①②③④，共4个， 故选：D． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 10．如图，△ABC的周长是20，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝3，则△ABC的面积是（　　） A．30 B．25 C．60 D．40 【分析】过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，连接OA，得出OD＝OE＝OF＝3，根据S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC求出结论即可． 【解答】解：如图所示，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，连接OA， ∵BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC， ∴OD＝OE＝OF＝3（角平分线的性质）， ∵△ABC的周长是20， ∴AB+BC+AC＝20， ∴S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC ＝30， 则△ABC的面积是30， 故选：A． 【点评】本题考查了角平分线的性质，关键是相关性质的熟练掌握． 二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分） 11．（4分）若点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，则（m+n）2025的值是　1　 ． 【分析】根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等可得m，n的值，进而可得答案． 【解答】解：∵点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称， ∴1+m＝﹣（﹣3）＝3，1﹣n＝2， 解得m＝2，n＝﹣1， ∴（m+n）2025＝12025＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握关于y轴对称的点的坐标特征是解答本题的关键． 12．（4分）如图，EB交AC于点M，交FC于点D，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，给出下列结论：其中正确的结论有　①②③④⑤　 （填序号）． ①∠1＝∠2； ②BE＝CF； ③△ACN≌△ABM； ④CD＝DB； ⑤△AFN≌△AEM． 【分析】证明△AEB≌△AFC（AAS）得出∠EAB＝∠FAC，BE＝CF即可判断①②；证明△ACN≌△ABM（ASA）即可判断③；证明△CDM≌△BDN（AAS）得出CD＝DB，即可判断④，利用角边角判定三角形全等即可判断⑤，从而得出答案． 【解答】解：∵∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF， ∴△AEB≌△AFC（AAS）， ∴∠EAB＝∠FAC，BE＝CF，故②正确，符合题意； ∴∠EAB﹣∠CAB＝∠FAC﹣∠CAB，即∠1＝∠2，故①正确，符合题意； ∵△AEB≌△AFC（AAS）， ∴AC＝AB， ∵∠B＝∠C，∠CAN＝∠BAM， ∴△ACN≌△ABM（ASA），故③正确，符合题意； ∵△ACN≌△ABM（ASA）， ∴AM＝AN， ∵AC＝AB， ∴AC﹣AM＝AB﹣AN， ∴MC＝NB， ∵∠C＝∠B，∠CDM＝∠BDN， ∴△CDM≌△BDN（AAS）， ∴CD＝DB， 故④正确，符合题意； ∵∠1＝∠2，∠F＝∠E，AF＝AE ∴△AFN≌△AEM（ASA），故⑤正确，符合题意； 综上所述，正确的有①②③④⑤， 故答案为：①②③④⑤． 【点评】本题考查了三角形全等的判定与性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 13．（4分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝8，AC＝6，则S△ABD：S△ACD＝　4：3　 ． 【分析】过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，根据角平分线性质定理得出垂线段相等，根据三角形的面积公式计算即可． 【解答】解：如图，过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N， ∵AD平分∠BAC， ∴根据角平分线的性质得，DM＝DN， ∵AB＝8，AC＝6， ∴根据三角形的面积公式得，，即S△ABD：S△ACD的值为4：3． 【点评】本题考查了角平分线性质，关键掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 14．（4分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，延长BC到点E，以CE为斜边，在CE下方作等腰Rt△CDE，∠CDE＝90°，连接BD，AE，取AE的中点F，连接BF，DF．若AB＝2，，则△BFD的面积为　　 ． 【分析】延长BF到N，使得FN＝BF，连接EN，DN．证明△AFB≌△EFN（SAS），由全等三角形的性质得出AB＝EN＝BC，∠FAB＝∠FEN，证明△NED≌△BCD（SAS），由全等三角形的性质得出∠EDN＝∠CDB，DN＝BD，则可证出△BFD是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质及勾股定理可得出答案． 【解答】解：延长BF到N，使得FN＝BF，连接EN，DN． 在△AFB和△EFN中， ， ∴△AFB≌△EFN（SAS）， ∴AB＝EN＝BC，∠FAB＝∠FEN， ∴AB∥EN， ∴∠ABC＝∠BEN＝90°， ∴∠DEC+∠BEN＝135°， ∵∠DCE＝∠CED＝45°， ∴∠DEN＝∠BCD， ∵CD＝DE， ∴△NED≌△BCD（SAS）， ∴∠EDN＝∠CDB，DN＝BD， ∴∠BDN＝∠CDE＝90°， ∵BF＝FN， ∴DF⊥BF，∠FBD＝45°， ∴△BFD是等腰直角三角形； ∵CD＝3， ∴CE＝CD＝6， ∴BE＝BC+CE＝2+6＝8， ∴AE2， ∵F为AE的中点， ∴BFAE， ∴S△BFDBF2， 故答案为：． 【点评】本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 15．（4分）图①、图②、图③分别表示甲、乙、丙三人由A地到B地的路线图，甲的路线：A→C→D→B，乙的路线：A→E→B，丙的路线：A→F→G→H→B．若三人行进路线的总长度分别用l甲，l乙，l丙表示，则其大小关系是 l甲＜l乙＝l丙 ． 【分析】图①，分别延长AC，BD交于M，图③分别延长AF，BH交于N，由ASA判定图中的三角形全等，由三角形的三边关系定理，平行四边形的性质即可解决问题 【解答】解：图①，分别延长AC，BD交于M，图③分别延长AF，BH交于N， 由ASA判定图①和图②两个三角形全等， ∴MA＝AE，MB＝BE， ∴AC+BD+CM+MD＝AE+BE， ∵CM+MD＞CD， ∴AC+BD+CM+MD＞AC+BD+CD， ∴AE+BE＞AC+BD+CD， ∴l甲＜l乙， 由ASA判定图②和图③两个三角形全等， ∴AN＝AE，BN＝BE， ∵∠N＝180°﹣∠A﹣∠B＝70°， ∴∠N＝∠AFG＝∠BHG， ∴FG∥NH，FN∥GH， ∴四边形GHNF是平行四边形， ∴NH＝FG，FN＝GH， ∴AF+FG+GH+HB＝AF+NH+FN+BH＝AN+BN＝AE+BE， ∴l乙＝l丙， ∴l甲＜l乙＝l丙． 故答案为：l甲＜l乙＝l丙． 【点评】本题考查三角形的三边关系，全等三角形的判定和性质，平行四边形判定和性质，关键是通过作辅助线构造全等三角形，平行四边形． 三．解答题（共8小题，满分90分） 16．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝28°，请你在AB上找一点P，使得∠APC＝56°．（不写作法，保留作图痕迹） 【分析】作BC的垂直平分线交AB于点P，则BP＝CP，∠BCP＝∠B＝28°，根据三角形外角的性质得∠APC＝56°． 【解答】解：作BC的垂直平分线交AB于点P，则BP＝CP，∠BCP＝∠B＝28°，根据三角形外角的性质得∠APC＝56°． 如图，∠APC＝56°即为所求． 【点评】本题考查作图—应用与设计作图，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 17．（10分）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线EF分别交边BC，AB于点E，F，过点A作AD⊥BC于点D，且D为线段CE的中点． （1）求证：BE＝AC； （2）若∠B＝40°，求∠BAC的度数． 【分析】（1）连接AE，由线段垂直平分线性质得BE＝AE，证明AD是CD的垂直平分线得AE＝AC，由此即可得出结论； （2）由（1）可知BE＝AE，AE＝AC，在△EAB中，由BE＝AE得∠EAB＝∠B＝40°，再由三角形外角性质得∠AEC＝80°，在△AEC中，由AE＝AC可得∠C＝∠AEC＝80°，然后在△ABC中，由三角形内角和定理即可得出∠BAC＝60°． 【解答】（1）证明：连接AE，如图所示： ∵边AB的垂直平分线EF分别交边BC，AB于点E，F， ∴BE＝AE， ∵AD⊥BC于点D，且D为线段CE的中点， ∴AD是CD的垂直平分线， ∴AE＝AC， ∴BE＝AC； （2）解：由（1）可知：BE＝AE，AE＝AC， 在△EAB中，∠B＝40°，BE＝AE， ∴∠EAB＝∠B＝40°， ∵∠AEC是△EAB的外角， ∴∠AEC＝∠EAB+∠B＝80°， 在△AEC中，AE＝AC， ∴∠C＝∠AEC＝80°， 在△ABC中，∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝180°﹣（40°+80°）＝60°． 【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理及外角性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理及外角性质是解决问题的关键． 18．（10分）如图，已知△ABC各顶点坐标分别为A（﹣3，2）、B（﹣4，﹣3）、C（﹣1，﹣1）． （1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）直接写出△A1B1C1的各顶点坐标； （3）试求△AA1C的面积． 【分析】（1）根据轴对称的性质作出点A1、B1、C1，再顺次连接即可得解； （2）根据图形写出坐标即可得解； （3）连接AA1，CA1，再根据三角形面积公式计算即可得解． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作； （2）由图可得：A1（3，2），B1（4，﹣3），C1（1，﹣1）； （3）如图：连接AA1，CA1， ， 答：△AA1C的面积9． 【点评】本题考查了作图—轴对称变换、坐标与图形、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 19．（12分）如图，A，F，B，D在一条直线上，AF＝DB，AC∥DE，AC＝DE，求证：∠C＝∠E． 【分析】由AF＝BD，得AB＝DF，由AC∥DE得到∠A＝∠D，通过SAS证明△ABC≌△DFE，即可证明． 【解答】证明：∵AF＝BD， ∴AF+BF＝BD+BF， 即AB＝DF， ∵AC∥DE， ∴∠A＝∠D， 在△ABC和△DFE中， ， ∴△ABC≌△DFE（SAS）， ∴∠C＝∠E． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，由AF＝BD证明出AB＝DF，并熟记全等三角形的判定是解题的关键． 20．（12分）小丽与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.2m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她，若妈妈与爸爸到OA的水平距离BF、CG分别为1.8m和2.2m，∠BOC＝90°． （1）△CGO与△OFB全等吗？请说明理由． （2）爸爸是在距离地面多高的地方接住小丽的？ 【分析】（1）根据直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）△OCG与△BOF全等． 理由如下： 由题意可知∠CGO＝∠BFO＝90°，OB＝OC， ∵∠BOC＝90°， ∴∠COG+∠BOF＝∠BOF+∠OBF＝90°． ∴∠COG＝∠OBF， 在△CGO与△OFB中， ， ∴△CGO≌△OFB（AAS）； （2）∵△CGO≌△OFB， ∴CG＝OF，OG＝BF， ∵BD、CE分别为1.8m和2.2m， ∴OF＝2.2m，OG＝1.8m， ∴FG＝OF﹣OG＝CG﹣BF＝2.2﹣1.8＝0.4（m）， ∵妈妈在距地面1.2m高的B处， ∴AG＝1.6（m）， 答：爸爸是在距离地面1.6m的地方接住小丽的； 【点评】本题考查了全等三角形的应用，直角三角形的性质，证明△CGO≌△OFB是解题的关键． 21．（12分）在如图所示的△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D． （1）若∠A＝60°，∠C＝40°，求∠ADB的度数； （2）过点D作DE⊥BC于点E，若AB＝5，BC＝7，DE＝3，求△ABC的面积． 【分析】（1）根据三角形内角和定理得出∠ABC，进而利用角平分线的定义得出即可； （2）过点D作DF⊥AB于点F，根据角平分线的性质得出DE＝DF，进而利用三角形面积公式解答即可． 【解答】解：（1）∵∠BAC＝60°，∠C＝40°， ∴∠ABC＝180°﹣60°﹣40°＝80°， ∵∠ABC的角平分线交AC于点D， ∴∠ABD＝∠ABC＝40°（角平分线的性质）， ∴∠ADB＝180°﹣60°﹣40°＝80°， 则∠ADB的度数为80°； （2）过点D作DF⊥AB于点F， ∵DE⊥BC， ∴DE＝3， ∴DE＝DF＝3， 又AB＝5，BC＝7， ∴△ABD的面积+△BDC的面积． 即△ABC的面积为18． 【点评】本题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的性质得出DE＝DF解答． 22．（12分）已知：如图1，在△ABC中，两内角的平分线BD、CE交于点I． （1）试探究∠BIC和∠A的数量关系，并说明理由． （2）如图2，当∠A＝90°时，点F在边CA上，且CF+BE＝BC，连接IF． ①求证：IF⊥CE． ②若AB＝8，AC＝15，BC＝17，求AF的长． 【分析】（1）由角平分线的定义得到，由三角形内角和定理可得，据此根据三角形内角和定理可得结论； （2）①在BC上截取BH＝BE，连接IH，证明△BEI≌△BHI，得到∠BEI＝∠BHI，则可证明∠AEC＝∠IHC；证明CF＝CH，则可证明△CIF≌△CIH，得到∠CIF＝∠CIH；根据∠AEC+∠ACE＝90°，得到∠IHC+∠ICH＝90°，则可证明∠CIH＝90°，得到∠CIF＝90°，即IF⊥CE；②过点E作ET⊥BC于点T，证明△ACE≌△TCE，得到EA＝ET；可证明，据此求出BE的长，进而求出CF的长即可得到答案． 【解答】（1）解：，理由如下： ∵在△ABC中，两内角的平分线BD、CE交于点I， ∴， ∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∴， ∵∠BIC+∠IBC+∠ICB＝180°， ∴； （2）①证明：如图2所示，在BC上截取BH＝BE，连接IH， ∵在△ABC中，两内角的平分线BD、CE交于点I， ∴∠IBE＝∠IBH，∠ICH＝∠ICF， 又∵BE＝BH，BI＝BI， ∴△BEI≌△BHI（SAS）， ∴∠BEI＝∠BHI， ∴180°﹣∠BEI＝180°﹣∠BHI， ∴∠AEC＝∠IHC； ∵BC＝BE+CF， ∴CF＝BC﹣BE＝BC﹣BH， ∴CF＝CH， 又∵CI＝CI， ∴△CIF≌△CIH（SAS）， ∴∠CIF＝∠CIH； ∵∠A＝90°， ∴∠AEC+∠ACE＝90°， ∴∠IHC+∠ICH＝90°， ∴∠CIH＝90°， ∴∠CIF＝90°， ∴IF⊥CE； ②解：如图所示，过点E作ET⊥BC于点T， ∴∠ETC＝90°＝∠A； ∵CI平分∠ACB， ∴∠ACE＝∠TCE， 又∵CE＝CE， ∴△ACE≌△TCE（AAS）， ∴EA＝ET； ∵， ∴，即， ∴， ∵BC＝BE+CF， ∴， ∴． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 23．（14分）如图，已知△ABC中，∠B＝∠C，AB＝8厘米，BC＝6厘米，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以每秒2厘米的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以每秒a厘米的速度由C点向A点运动，设运动时间为t（秒）（0≤1＜3）． （1）用含t的代数式表示PC的长度． （2）若点P、Q的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由； （3）若点P、Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度a为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？ 【分析】（1）先表示出BP，根据PC＝BC﹣BP，可得出答案； （2）根据时间和速度分别求得两个三角形中的边的长，根据SAS判定两个三角形全等． （3）根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程＝速度×时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度； 【解答】解：（1）BP＝2t，则PC＝BC﹣BP＝6﹣2t； （2）△BPD和△CQP全等，理由如下： ∵t＝1秒∴BP＝CQ＝2×1＝2厘米， ∴CP＝BC﹣BP＝6﹣2＝4厘米， ∵AB＝8厘米，点D为AB的中点， ∴BD＝4厘米． ∴PC＝BD， 在△BPD和△CQP中， ， ∴△BPD≌△CQP（SAS）； （3）∵点P、Q的运动速度不相等， ∴BP≠CQ， 又∵△BPD≌△CPQ，∠B＝∠C， ∴BP＝PC＝3cm，CQ＝BD＝4cm， ∴点P，点Q运动的时间t秒， ∴a厘米/秒． ∴当点Q的运动速度a为厘米/秒时，能够使△BPD与△CQP全等． 【点评】此题考查了全等三角形的判定，主要运用了路程＝速度×时间的公式，要求熟练运用全等三角形的判定和性质 学科网（北京）股份有限公司 $