2026-2027学年广东省湛江市雷州市九年级（上）第一次月考数学模拟练习

**基本信息** 以“麻柳刺绣”非遗文化、新冠疫情口罩销售等真实情境为载体，融合一元二次方程、二次函数核心知识，通过基础巩固（如方程定义判断）、能力提升（如二次函数图像变换）、创新应用（如隧道设计最值）三级梯度，考查抽象能力、模型意识与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|一元二次方程定义、二次函数图像变换、根与系数关系|第5题结合函数图像辨析，考查几何直观与推理意识| |填空题|5/15|实际问题列方程、二次函数取值范围、图表信息分析|第14题通过表格数据判断函数性质，培养数据意识| |解答题|8/59|方程求解、实际应用（种植场地/销售利润）、二次函数综合|23题二次函数与几何综合，考查空间观念与创新应用；21题销售利润模型，体现应用意识|

2026-2027学年广东省湛江市雷州市九年级（上） 第一次月考数学模拟练习 一．选择题（共10小题，满分30分） 1．（3分）下列关于x的一元二次方程的是（　　） A．2x＝3 B．x2+1＝0 C．x2+y＝5 D． 2．（3分）一元二次方程x2+2x﹣3＝0可配方成（x+m）2＝n的形式．则m+n的值为（　　） A．﹣5 B．﹣4 C．5 D．﹣2 3．（3分）要得到二次函数y＝﹣（x﹣2）2+1的图象，需将y＝﹣x2的图象（　　） A．向左平移2个单位，再向下平移1个单位 B．向右平移2个单位，再向上平移1个单位 C．向左平移1个单位，再向上平移2个单位 D．向右平移1个单位，再向下平移2个单位 4．（3分）抛物线交x轴于点A（m，0），B（n，0），若﹣1＜m＜0，则n的取值范围是（　　） A． B． C．1＜n＜2 D．2＜n＜3 5．（3分）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝bx﹣a的图象可能是（　　） A． B． C． D． 6．（3分）“指尖上的非遗——麻柳刺绣”，针线勾勒之间，绣出世间百态．如图是在一幅长80cm，宽60cm的麻柳刺绣的四周镶嵌宽度相同的边框，制成的一幅矩形挂图，且整个挂图的面积是6300cm2．设边框的宽度为xcm，则列出的方程为（　　） A．（60+x）（80+x）＝6300 B．（60﹣x）（80﹣x）＝6300 C．（60+2x）（80+2x）＝6300 D．（60﹣2x）（80﹣2x）＝6300 7．（3分）若关于x的方程（k﹣1）x2+2x﹣1＝0有实数解，则k的取值范围是（　　） A．k≥0 B．k＞0且k≠1 C．k≥0且k≠1 D．k≤0 8．（3分）已知二次函数y＝（x﹣3）2+2m+1（m为常数），其图象上有两点A（a﹣1，y1），B（a+1，y2），如果y1＞y2，那么a的取值范围是（　　） A．a＞0或a＜﹣2 B．﹣1＜a＜3 C．a＜3 D．1＜a＜3 9．（3分）已知m、n是一元二次方程x2+1011x﹣2026＝0的两个实数根，则代数式m2+1012m+n的值等于（　　） A．1015 B．1014 C．1013 D．1011 10．如图是抛物线图象的一部分．抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点是B（4，0），直线y1＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A、B两点．下列结论： ①abc＞0； ②2a+b＝0； ③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根； ④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）； ⑤当1＜x＜4时，有y2＞y1． 其中正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③⑤ D．②④⑤ 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．（3分）已知两个连续正奇数的积是143，设其中较小的正奇数是x，可列方程　 　 ． 12．（3分）一元二次方程x2+3x+a＝0的一个根为一1，则另一个根为 　 　 ． 13．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+3x+4，当0＜x＜3时，y的取值范围是　 　 ． 14．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0）的自变量x与函数y的部分对应值如表，其中﹣2＜m＜0．以下结论： x … 0 1 2 3 4 … y … m 4 n 4 s … ①abc＞0； ②若抛物线经过点（﹣2，y1），（7，y2），则y2＞y1； ③关于x的方程ax2﹣bx+4b+c＝3有两个不相等的实数根； ④； ⑤当m＝﹣1，t﹣1≤x≤t+1，y的最大值是﹣1，则t＝1或5． 其中正确的结论是　 　 （填写序号）． 15．（3分）市中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷泉管喷出的抛物线形水柱在与喷泉管的水平距离为处达到最高，高度为3，在如图所示的平面直角坐标系中，这个喷泉管喷出的抛物线形水柱的函数关系式是 　 　 ． 三．解答题（共8小题，满分59分） 16．（12分）用适当的方法解下列方程： （1）（x+1）（x﹣3）＝2x﹣6； （2）4x2﹣20x+25＝7； （3）3x2﹣4x﹣1＝0； （4）x2+2x﹣4＝0． 17．如图，一矩形花坛一边靠墙，长4m，宽3m．为便于游客赏花，另外三边铺设宽度相等的甬路，若甬路面积恰为花坛面积的，求甬路的宽度． 18．（8分）已知关于x的方程x2﹣（n+2）x+3（n﹣1）＝0． （1）求证：无论n取何值，该方程总有实数根； （2）若等腰三角形的底边长为5，另两边恰好是该方程的两个实数根，求这个等腰三角形的周长． 19．某地为提升区域交通效率，促进经济发展，修建了一条隧道，如图是其截面图，轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线的宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由． 20．（9分）为贯彻实施劳动课程，某校计划建造一个矩形种植场地．为充分利用现有资源，该矩形种植场地一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成．已知栅栏的总长度为18m． （1）若矩形种植场地的总面积为36m2，求矩形场地中垂直于墙的一边长为多少米？ （2）当矩形场地中垂直于墙的一边长为多少米时，矩形种植场地的面积最大？最大面积为多少？ 21．（10分）新冠疫情期间，邻居小王在淘宝上销售某类型口罩，每袋进价为20元，经市场调研，销售定价为每袋25元时，每天可售出250袋；销售单价每提高1元，每天销售量将减少10袋，已知平台要求该类型口罩每天销售量不得少于120袋． （1）直接写出：①每天的销售量y（袋）与销售单价x（元）之间的函数关系式 　 　 ； ②每天的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式 　 　 ； （2）小王希望每天获利1760元，则销售单价应定为多少元？ （3）若每袋口罩的利润不低于10元，则小王每天能否获得2000元的总利润，若能，求出销售定价；否则，说明理由． 22．（9分）某地计划完善公交站设施，给公交站加上顶棚，如图，公交站的顶棚由两段抛物线：L1，L2组成，立柱DE，AO，BC均与地面EC垂直，垂足分别为E，O，C，且米，OC＝6米，抛物线L1的最高点与地面EC的距离为3米，点B，D分别在抛物线L1，L2上，抛物线L1和抛物线L2关于AO所在直线对称．以O为坐标原点，EC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系． （1）求抛物线L1的函数表达式； （2）如图，现要在抛物线L2的下方安装一个矩形广告牌MNPQ（点M在点Q的左侧），MQ∥x轴，且点M到地面EC的距离为米，到抛物线L2的竖直距离为米，QP与OA之间的距离为2米，求MQ的长． 23．（11分）抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B（3，0），对称轴为直线x＝1，对称轴与x轴交于点D． （1）求该抛物线的解析式； （2）作直线BC，点P是抛物线上一动点，作直线PC，当∠PCB＝∠ABC时，求点P的坐标； （3）点E为线段OC上一动点，当点E坐标为何值时，有最小值，并求出最小值． 2026-2027学年广东省湛江市雷州市九年级（上） 第一次月考数学模拟练习 一．选择题（共10小题，满分30分） 1．（3分）下列关于x的一元二次方程的是（　　） A．2x＝3 B．x2+1＝0 C．x2+y＝5 D． 【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：A、2x＝3是一元一次方程，不符合题意； B、x2+1＝0是一元二次方程，符合题意； C、x2+y＝5含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D、x＝0含有分式，不是一元二次方程，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键． 2．（3分）一元二次方程x2+2x﹣3＝0可配方成（x+m）2＝n的形式．则m+n的值为（　　） A．﹣5 B．﹣4 C．5 D．﹣2 【分析】先利用配方法把方程变形为（x+1）2＝4，从而得到m＝1，n＝4，然后计算它们的和即可． 【解答】解：x2+2x﹣3＝0， x2+2x＝3， x2+2x+1＝4， （x+1）2＝4， ∴m＝1，n＝4， ∴m+n＝1+4＝5． 故选：C． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 3．（3分）要得到二次函数y＝﹣（x﹣2）2+1的图象，需将y＝﹣x2的图象（　　） A．向左平移2个单位，再向下平移1个单位 B．向右平移2个单位，再向上平移1个单位 C．向左平移1个单位，再向上平移2个单位 D．向右平移1个单位，再向下平移2个单位 【分析】根据函数图象平移的法则解答即可． 【解答】解：二次函数y＝﹣x2的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位即可得到二次函数y＝﹣（x﹣2）2+1的图象． 故选：B． 【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键． 4．（3分）抛物线交x轴于点A（m，0），B（n，0），若﹣1＜m＜0，则n的取值范围是（　　） A． B． C．1＜n＜2 D．2＜n＜3 【分析】根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线，则点A与点B关于直线对称，然后根据点A在（﹣1，0）与（0，0）之间可判断点B在（1，0）与（2，0）之间，从而得到n的取值范围． 【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线， 而抛物线交x轴于点A（m，0），B（n，0）， ∴点A与点B关于直线对称， ∵﹣1＜m＜0， 即点A在（﹣1，0）与（0，0）之间， ∴点B在（1，0）与（2，0）之间， ∴若﹣1＜m＜0，则n的取值范围是1＜n＜2， 故选：C． 【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质和对称性，解题的关键是掌握二次函数的性质． 5．（3分）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝bx﹣a的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】先确定一次函数与二次函数图象无交点，且二次函数过原点，即可判断B，D选项，进而根据图形中给出的一次函数图象确定a、b的符号，进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据选项逐一讨论即可解决问题． 【解答】解：联立二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝bx﹣a， 消去y得，ax2+a＝0， ∴Δ＝﹣4a2＜0，即一次函数与二次函数图象无交点，故B不正确； 令ax2+bx＝0， 解得：x1＝0，， ∴二次函数y＝ax2+bx与x轴的交点坐标为（0，0）或，故D不正确，不符合题意； A．抛物线开口向上，对称轴在y轴的右侧，则a＞0，b＜0，一次函数图象经过一、三、四象限，则b＞0，﹣a＜0，即a＞0，b＞0，矛盾，故不正确，不符合题意； C．抛物线开口向上，对称轴在y轴的右侧，则a＞0，b＜0，一次函数图象经过二、三、四象限，则b＜0，﹣a＜0，即a＞0，b＜0，故正确，符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的图象，一次函数的图象，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 6．（3分）“指尖上的非遗——麻柳刺绣”，针线勾勒之间，绣出世间百态．如图是在一幅长80cm，宽60cm的麻柳刺绣的四周镶嵌宽度相同的边框，制成的一幅矩形挂图，且整个挂图的面积是6300cm2．设边框的宽度为xcm，则列出的方程为（　　） A．（60+x）（80+x）＝6300 B．（60﹣x）（80﹣x）＝6300 C．（60+2x）（80+2x）＝6300 D．（60﹣2x）（80﹣2x）＝6300 【分析】当边框的宽度为xcm时，矩形挂图的长为（80+2x）cm，宽为（60+2x）cm，根据整个挂图的面积是6300cm2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：当边框的宽度为xcm时，矩形挂图的长为（80+2x）cm，宽为（60+2x）cm， 根据题意得：（60+2x）（80+2x）＝6300． 故选：C． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 7．（3分）若关于x的方程（k﹣1）x2+2x﹣1＝0有实数解，则k的取值范围是（　　） A．k≥0 B．k＞0且k≠1 C．k≥0且k≠1 D．k≤0 【分析】讨论：当k﹣1＝0时，方程为一元一次方程，方程有一个解；当k﹣1≠0时，方程为一元二次方程，利用根的判别式的意义得到Δ＝22﹣4（k﹣1）×（﹣1）≥0，于是得到k≥0且k≠1，然后综合两种情况得到k的取值范围． 【解答】解：当k﹣1＝0时，即k＝1，方程化为2x﹣1＝0，解得x； 当k﹣1≠0时，根据题意得Δ＝22﹣4（k﹣1）×（﹣1）≥0， 解得k≥0且k≠1， 综上所述，k的取值范围为k≥0． 故选：A． 【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系，当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的定义． 8．（3分）已知二次函数y＝（x﹣3）2+2m+1（m为常数），其图象上有两点A（a﹣1，y1），B（a+1，y2），如果y1＞y2，那么a的取值范围是（　　） A．a＞0或a＜﹣2 B．﹣1＜a＜3 C．a＜3 D．1＜a＜3 【分析】由二次函数解析式，利用二次函数的性质，可得出抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝3，当x≤3时，y随x的增大而减小，当x＞3时，y随x的增大而增大，分a+1≤3，a﹣1＜3＜a+1，及a﹣1≥3三种情况考虑，根据y1＞y2，即可求出a的取值范围．（其实利用点B到对称轴的距离小于点A到对称轴的距离来解决很简单）． 【解答】解：∵二次函数的解析式为y＝（x﹣3）2+2m+1， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝3， ∴当x≤3时，y随x的增大而减小，当x＞3时，y随x的增大而增大， ∴当a+1≤3，即a≤2时，显然成立； 当a﹣1＜3＜a+1，即2＜a＜4时，3﹣（a﹣1）＞a+1﹣3， 解得：a＜3， ∴2＜a＜3； 当a﹣1≥3，即a≥4时，显然不成立． 综上所述，a的取值范围为a＜3． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，牢记“在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，当a＞0时，抛物线开口向上，离对称轴越远的点，函数值越大；当a＜0时，抛物线开口向下，离对称轴越远的点，函数值越小”是解题的关键． 9．（3分）已知m、n是一元二次方程x2+1011x﹣2026＝0的两个实数根，则代数式m2+1012m+n的值等于（　　） A．1015 B．1014 C．1013 D．1011 【分析】先利用根的定义得到m2+1011m的值，再利用根与系数的关系得到m+n的值，对所求代数式变形后整体代入计算即可． 【解答】解：由条件可知m2+1011m﹣2026＝0， ∴m2+1011m＝2026， ∵m、n是该一元二次方程的两个实数根， ∴m+n＝﹣1011， 对所求代数式变形得： m2+1012m+n＝（m2+1011m）+（m+n）， 代入得：原式＝2026+（﹣1011）＝1015． 故选：A． 【点评】本题考查一元二次方程根的意义与根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 10．如图是抛物线图象的一部分．抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点是B（4，0），直线y1＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A、B两点．下列结论： ①abc＞0； ②2a+b＝0； ③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根； ④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）； ⑤当1＜x＜4时，有y2＞y1． 其中正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③⑤ D．②④⑤ 【分析】由①根据图象特征可确定a，b，c的符号，即可判定；②根据对称轴为直线x＝1，确定a，b的关系，然后判定即可；③方程ax2+bx+c＝3的根，就是直线y＝3与抛物线交点的横坐标，判定即可；④根据对称性判断即可；⑤由图象可得，当1＜x＜4时，抛物线总在直线的上面，则y2＞y1． 【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵对称轴在y右侧， ∴b＞0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴c＞0， ∴abc＜0，故①错误； ∵抛物线的顶点坐标A（1，3）， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴2a+b＝0，故②正确； ∵抛物线的顶点坐标A（1，3）， ∴x＝1时，二次函数有最大值， ∴方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根，故③正确； ∵抛物线与x轴的一个交点为（4，0），而抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣2，0），故④错误； ∵抛物线与直线y2＝mx+n（m≠0）交于A（1，3），B（4，0）， ∴当1＜x＜4时，y2＞y1，故⑤正确， 综上可知：②③⑤正确， 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．（3分）已知两个连续正奇数的积是143，设其中较小的正奇数是x，可列方程x（x+2）＝143　 ． 【分析】设其中较小的奇数为x，则较大的奇数为（x+2），根据两个奇数之积为143，即可得出关于x的一元二次方程． 【解答】解：设其中较小的奇数为x，则较大的奇数为（x+2）， 依题意得：x（x+2）＝143， 故答案为：x（x+2）＝143． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 12．（3分）一元二次方程x2+3x+a＝0的一个根为一1，则另一个根为 　﹣2　 ． 【分析】根据根与系数的关系可得出两根之和为﹣3，从而得出另一个根． 【解答】解：设另外一个根为x2， 则﹣1+x2＝﹣3， 解得：x2＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 13．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+3x+4，当0＜x＜3时，y的取值范围是　　 ． 【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征进行计算即可． 【解答】解：由题知， 二次函数的解析式为y＝﹣x2+3x+4， 所以抛物线的对称轴为直线x且开口向下． 又因为0＜x＜3时， 则当x时，y取得最大值为， 当x＝0时，y＝4， 所以． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 14．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0）的自变量x与函数y的部分对应值如表，其中﹣2＜m＜0．以下结论： x … 0 1 2 3 4 … y … m 4 n 4 s … ①abc＞0； ②若抛物线经过点（﹣2，y1），（7，y2），则y2＞y1； ③关于x的方程ax2﹣bx+4b+c＝3有两个不相等的实数根； ④； ⑤当m＝﹣1，t﹣1≤x≤t+1，y的最大值是﹣1，则t＝1或5． 其中正确的结论是　①③④　 （填写序号）． 【分析】结合不等式分析函数值和方程根的情况，根据相关知识逐项判断即可． 【解答】解：∵x＝1和x＝3时，y＝4， ∴对称轴x2， ∴2，即b＝﹣4a， 当x＝0时，y＝m＝c， ∵﹣2＜m＜0， ∴c＜0， 又∵抛物线过（1，4）， ∴a+b+c＝4即﹣3a+c＝4得c＝3a+4＜0， ∴a＜0，抛物线开口向下， ∴b＝﹣4a＞0， ∴abc＞0，故①正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝2， 点（7，y2）到对称轴距离大于点（﹣2，y1）到对称轴距离， ∴y2＜y1，故②错误； ∵b＝﹣4a，c＝3a+4， ∴关于x的方程ax2﹣bx+4b+c＝3化为ax2+bx+c＝2bx﹣4b+3， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点为（2，n），与y轴的交点为（0，m），﹣2＜m＜0， ∴抛物线过第一、三、四象限， ∵直线y＝2bx﹣4b+3＝2b（x﹣2）+3，且b＞0， ∴直线y＝2bx﹣4b+3过点（2，3）， ∵n＞4， ∴点（2，3）在抛物线顶点（2，n）的下方， ∴直线y＝2bx﹣4b+3与抛物线y＝ax2+bx+c一定有两个交点， ∴关于x的方程ax2﹣bx+4b+c＝3有两个不相等的实数根，故③正确； ∵对称轴为直线x＝2，点（0，m）和点（4，s）对称， ∴s＝m＝c， 当x＝2时，y＝4a+2b+c＝4a﹣8a+c＝﹣4a+c＝﹣4a+3a+4＝﹣a+4， ∴n＝﹣a+4， ∵s＝m＝c＝3a+4， ∴s+n＝3a+4﹣a+4＝2a+8， ∵﹣2＜m＜0， ∴﹣2＜3a+4＜0， ∴﹣2＜a， ∴4＜2a+8， ∴，故④正确； ∵当m＝﹣1时，m＝c＝s＝﹣1， 此时抛物线过点（0，﹣1），（4，﹣1），抛物线y＝ax2+bx﹣1与y＝﹣1交于点（0，﹣1），（4，﹣1）， ∵t﹣1≤x≤t+1时，y的最大值是﹣1， ∴t+1＝0或t﹣1＝4， ∴t＝﹣1或t＝5，故⑤错误． 综上所述，正确结论为①③④． 故答案为：①③④． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，根的判别式，二次函数图象上点的坐标，二次函数的最值，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 15．（3分）市中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷泉管喷出的抛物线形水柱在与喷泉管的水平距离为处达到最高，高度为3，在如图所示的平面直角坐标系中，这个喷泉管喷出的抛物线形水柱的函数关系式是 y＝﹣12（x）2+3　 ． 【分析】由待定系数法即可求解． 【解答】解：由题意得，抛物线的顶点坐标为：（，3）， 设抛物线的表达式为：y＝a（x）2+3， 将点O（0，0）代入上式得：0＝a（0）2+3， 解得：a＝﹣12， 则抛物线的表达式为：y＝﹣12（x）2+3， 答案为：y＝﹣12（x）2+3． 【点评】本题考查了二次函数的应用，确定相应点的坐标是解题的关键． 三．解答题（共8小题，满分59分） 16．（12分）用适当的方法解下列方程： （1）（x+1）（x﹣3）＝2x﹣6； （2）4x2﹣20x+25＝7； （3）3x2﹣4x﹣1＝0； （4）x2+2x﹣4＝0． 【分析】（1）直接利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）直接利用公式法解一元二次方程即可； （3）直接利用公式法解一元二次方程即可； （4）直接利用配方法解一元二次方程即可； 【解答】解：（1）（x+1）（x﹣3）＝2x﹣6， （x+1）（x﹣3）＝2（x﹣3）， ∴（x+1﹣2）（x﹣3）＝0， ∴（x﹣1）（x﹣3）＝0， ∴x﹣1＝0或x﹣3＝0， ∴x1＝1，x2＝3； （2）4x2﹣20x+25＝7， 4x2﹣20x+18＝0， ∴2x2﹣10x+9＝0， a＝2，b＝﹣10，c＝9， ∴x， ∴x1，x2； （3）3x2﹣4x﹣1＝0， a＝3，b＝﹣4，c＝﹣1， ∴x， ∴x1，x2； （4）x2+2x﹣4＝0， x2+2x＝4， x2+2x+1＝4+1， ∴（x+1）2＝5， ∴x+1， ∴x1， ∴x11，x21． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法，配方法，公式法，是解题的关键． 17．如图，一矩形花坛一边靠墙，长4m，宽3m．为便于游客赏花，另外三边铺设宽度相等的甬路，若甬路面积恰为花坛面积的，求甬路的宽度． 【分析】设甬路的宽度为x米，根据甬路面积恰为花坛面积的，列出方程，解之即可． 【解答】解：设甬路的宽度为x米， 由题意可得：， 解得：，（负值舍去）， ∴甬路的宽度为米． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是能够在方程中表示出甬路的面积． 18．（8分）已知关于x的方程x2﹣（n+2）x+3（n﹣1）＝0． （1）求证：无论n取何值，该方程总有实数根； （2）若等腰三角形的底边长为5，另两边恰好是该方程的两个实数根，求这个等腰三角形的周长． 【分析】（1）根据完全平方公式的非负性判别即可得到证明； （2）解一元二次方程，再根据周长公式求解即可得到答案． 【解答】（1）证明：由题意得Δ＝[﹣（n+2）]2﹣4×3（n﹣1）＝（n﹣4）2≥0， ∴无论n取何值，该方程总有实数根． （2）解：由条件可知另两边的长为等腰三角形的腰长， 即方程x2﹣（n+2）x+3（n﹣1）＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝（n﹣4）2＝0， 解得n＝4， ∴原方程为x2﹣6x+9＝0， 解得x1＝x2＝3， ∴这个等腰三角形的三边长分别为3，3，5， ∴这个等腰三角形的周长为3+3+5＝11． 【点评】本题考查一元二次方程根与判别式的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根与判别式的关系是解题的关键． 19．某地为提升区域交通效率，促进经济发展，修建了一条隧道，如图是其截面图，轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线的宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由． 【分析】（1）先得到顶点坐标，然后设顶点式，再代入（12，0）即可求解a，继而得到函数解析式； （2）先求出点A坐标，然后求出点A距离抛物线的距离，然后减去车辆的高度，得到的差值与0.5比较即可． 【解答】解：（1）由题意得，顶点为，即（6．，8）． 设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣6）2+8（a≠0）， ∵抛物线过 （12，0）， ∴a（12﹣6）2+8＝0． ∴． ∴； （2）能安全通过．理由如下： 如图，由题意得：， ∴将x＝2代入， ∴． ∵， ∴能安全通过． 【点评】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 20．（9分）为贯彻实施劳动课程，某校计划建造一个矩形种植场地．为充分利用现有资源，该矩形种植场地一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成．已知栅栏的总长度为18m． （1）若矩形种植场地的总面积为36m2，求矩形场地中垂直于墙的一边长为多少米？ （2）当矩形场地中垂直于墙的一边长为多少米时，矩形种植场地的面积最大？最大面积为多少？ 【分析】（1）依据题意，根据矩形的面积＝36列出方程，解方程去符合条件的x的取值即可； （2）依据题意，根据矩形的面积公式列出函数解析式，并根据函数的性质和x的取值范围求最值． 【解答】解：（1）设矩形场地中垂直于墙的一边长为xm， 由题意得：x（18﹣2x）＝36， 整理得：x2﹣9x+18＝0， 解得x1＝3，x2＝6， ∵18﹣2x≤10， ∴x≥4． ∴x＝6， 即矩形场地中垂直于墙的一边长为6米； （2）设矩形种植场地的面积为ym2， 由题意得：y＝x（18﹣2x）＝﹣2x2+18x＝﹣2（x）， ∵﹣2＜0，4≤x＜9， ∴当x时，y最大，最大值为． 答：当矩形场地中垂直于墙的一边长为米时，矩形种植场地的面积最大，最大值是m2． 【点评】本题主要考查一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程及函数关系式． 21．（10分）新冠疫情期间，邻居小王在淘宝上销售某类型口罩，每袋进价为20元，经市场调研，销售定价为每袋25元时，每天可售出250袋；销售单价每提高1元，每天销售量将减少10袋，已知平台要求该类型口罩每天销售量不得少于120袋． （1）直接写出：①每天的销售量y（袋）与销售单价x（元）之间的函数关系式 y＝﹣10x+500　 ； ②每天的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式 w＝﹣10x2+700x﹣10000　 ； （2）小王希望每天获利1760元，则销售单价应定为多少元？ （3）若每袋口罩的利润不低于10元，则小王每天能否获得2000元的总利润，若能，求出销售定价；否则，说明理由． 【分析】（1）①根据销售定价为每袋25元时，每天可售出250袋；销售单价每提高1元，每天销售量将减少10袋，即可列出函数关系式；②根据每天的销售利润w（元）等于每袋的利润乘以每天的销售量即可 列出每天的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式． （2）根据平台要求该类型口罩每天销售量不得少于120袋，可得关于x的一元一次不等式，从而可解得x的取值范围；根据小王希望每天获利1760元，可得关于x的一元二次方程，解方程并作出取舍即可． （3）根据每袋口罩的利润不低于10元及（2）的结论，可得x的取值范围；根据利润为2000元，得出关于x的一元二次方程，解方程并与x的取值范围相比较，即可作出判断． 【解答】解：（1）①∵销售定价为每袋25元时，每天可售出250袋；销售单价每提高1元，每天销售量将减少10袋， ∴y＝250﹣10（x﹣25） ＝﹣10x+500； 故答案为：y＝﹣10x+500； ②根据题意得： w＝（x﹣20）（﹣10x+500） ＝﹣10x2+700x﹣10000； 故答案为：y＝﹣10x2+700x﹣10000． （2）∵y＝﹣10x+500≥120， ∴x≤38， 小王希望每天获利1760元，则﹣10x2+700x﹣10000＝1760，、 解得：x1＝28，x2＝42（舍去）， ∴要想获利1760元，销售单价应定为28元； （3）能． ∵x﹣20≥10， ∴x≥30， 由（2）知x≤38， ∴30≤x≤38． 当w＝﹣10（x﹣35）2+2250＝2000时， 解得x＝40或30． 又∵30≤x≤38． ∴x＝30， ∴在每袋口罩销售利润不低于10元的情况下，能获得2000元的总利润． 【点评】本题考查了二次函数和一元二次方程在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 22．（9分）某地计划完善公交站设施，给公交站加上顶棚，如图，公交站的顶棚由两段抛物线：L1，L2组成，立柱DE，AO，BC均与地面EC垂直，垂足分别为E，O，C，且米，OC＝6米，抛物线L1的最高点与地面EC的距离为3米，点B，D分别在抛物线L1，L2上，抛物线L1和抛物线L2关于AO所在直线对称．以O为坐标原点，EC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系． （1）求抛物线L1的函数表达式； （2）如图，现要在抛物线L2的下方安装一个矩形广告牌MNPQ（点M在点Q的左侧），MQ∥x轴，且点M到地面EC的距离为米，到抛物线L2的竖直距离为米，QP与OA之间的距离为2米，求MQ的长． 【分析】（1）由题意可知，，得到对称轴为直线x＝3，根据抛物线L1的最高点与地面EC的距离为3米可设抛物线L1的函数表达式为y＝a（x﹣3）2+3，将代入计算即可； （2）根据抛物线L1和抛物线L2关于AO所在直线对称求出抛物线L2的函数表达式为，延长NM交抛物线L2于M′，求出yM′＝2.7，进而求出，进而可求MQ的长． 【解答】解：（1）∵AO，BC均与地面EC垂直，垂足分别为O，C，米，OC＝6米， ∴，， ∴抛物线L1的对称轴为直线， ∵抛物线L1的最高点与地面EC的距离为3米， ∴抛物线L1的顶点坐标为（3，3）， ∴设抛物线L1的函数表达式为y＝a（x﹣3）2+3，将点A的坐标代入得： ， 解得：， ∴抛物线L1的函数表达式为； （2）由（1）知，的顶点坐标为（3，3）， ∵抛物线L1和抛物线L2关于AO所在直线对称， ∴抛物线L2开口大小、方向不变，顶点坐标变为（﹣3，3）， ∴抛物线L2的函数表达式为， 如图，延长NM交抛物线L2于M′， ∵点M到地面EC的距离为米，到抛物线L2的竖直距离为米， ∴， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）， ∵QP与OA之间的距离为2米， ∴． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 23．（11分）抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B（3，0），对称轴为直线x＝1，对称轴与x轴交于点D． （1）求该抛物线的解析式； （2）作直线BC，点P是抛物线上一动点，作直线PC，当∠PCB＝∠ABC时，求点P的坐标； （3）点E为线段OC上一动点，当点E坐标为何值时，有最小值，并求出最小值． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）当点P在BC下方时，证明CH＝BH，即（3﹣x）2＝x2+16，得到H（，0），即可求解；当点P（P′）在BC上方时，则点C、P′关于抛物线的对称轴对称，即可求解； （3）证明当点D、E、H三点共线时，DH最小，即可求解． 【解答】解：（1）由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：yx2x+4； （2）当点P在BC下方时， 设CP交x轴于点H， ∵∠PCB＝∠ABC， 则CH＝BH，即（3﹣x）2＝x2+16， 解得：x， 则点H（，0）， 由点C、H的坐标得，直线CH的表达式为：yx+4， 联立上式和抛物线的表达式得：x+4x2x+4， 解得：x＝0（舍去）或， 则点P的坐标为：（，）； 当点P（P′）在BC上方时， ∵∠P′CB＝∠ABC， 则CP′∥x轴， 则点C、P′关于抛物线的对称轴对称， 则点P（2，4）； 综上，点P的坐标为：（，）或（2，4）； （3）过点C作直线CT使sin∠TCO，CT交x轴于点T，则OT＝3， 则tan∠TCO，cos∠TCO， 过点E作EH⊥CT，则EH＝CE•sin∠TCOCE， 故DE+EH， 则当点D、E、H三点共线时，DH最小， ∵DH⊥CT，∴∠CHE＝90°＝∠DOE， ∴∠CEH＝∠DEO，∠CHE+∠CEH+∠TCO＝∠DOE+∠DEO+∠ODE＝180°， ∴∠ODE＝∠TCO，∴tan∠ODE＝tan∠TCO，cos∠ODE＝cos∠TCO， ∴OE，DH， 由抛物线解析式yx2x+4得，对称轴直线为x＝1，∴D（1，0），∴OD＝1， ∴OE，DT＝OD+OT＝1+3＝4， ∴E（0，），DH， ∴当点E坐标为（0，）时，有最小值，最小值为． 【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及解析式、图象上点坐标特征、解直角三角形等知识，综合性强，分类求解和确定DE+EH是解题的关键 学科网（北京）股份有限公司 $