2026-2027学年九年级数学上学期第一次月考自编模拟卷（广东省佛山市适用）

**基本信息** 2026-2027学年佛山九年级数学月考模拟卷，以一元二次方程、特殊四边形为核心，通过乡村小桥建设（第2题）、衬衫销售盈利（第19题）等真实情境，融合几何直观与应用意识，梯度覆盖基础巩固（如第1题方程概念）、能力提升（如第10题正方形折叠综合）及创新应用（如第23题动态几何探究）。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|一元二次方程概念、矩形性质|第4题用表格数据估计方程解，培养数据分析能力| |填空题|5/15|正方形判定、韦达定理|第13题矩形空地小路问题，体现数学建模思想| |解答题|8/90|几何证明、增长率应用、动态问题|第23题从课本再现到拓展迁移，发展推理能力与创新意识|

2026-2027学年九年级数学上学期第一次月考自编模拟卷 广东省佛山市适用 （本试卷共三大题23小题，满分120分，考试时间120分钟，不能使用计算器.） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列方程中，一元二次方程共有（    ） ①      ②      ③      ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．某乡村旅居示范点计划在村内池塘上搭建小桥，如图所示，两条村内道路、互相垂直，道路的中点M与点C被湖隔开．若测得的长为2400，则M、C两点间的距离为（   ） A．3600 B．2400 C．1200 D．600 3．用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（　　） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 4．根据表格中的信息，估计一元二次方程ax2+bx+c＝10（a、b、c为常数，a≠0）的一个解x的范围为（　　） x 0 0.5 1 1.5 2 ax2+bx+c ﹣15 ﹣8.75 ﹣2 5.25 13 A．0＜x＜0.5 B．0.5＜x＜1 C．1＜x＜1.5 D．1.5＜x＜2 5．下列语句中，不正确的是（   ） A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 C．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 D．有一个内角是直角的菱形是正方形 6．如图，正方形中，在延长线上取一点E，使，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．某电池厂2026年月份的电池产量如图所示．设从2月份到4月份，该厂电池产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程为（     ） A． B． C． D． 9．小美同学按如下步骤作四边形；（1）画；（2）以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交于点；（3）分别以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点；（4）连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 10．如图，在正方形中，E是边上的一点，，，将正方形边沿折叠到，延长交于G，连接、，现在有如下四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．在矩形中，与相交于点O，要使四边形是正方形，还需添加一个条件，这个条件可以是________．（只需填写一种情况） 12．若，是的两根，______． 13．如图，在一块长为30米，宽为24米的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的小路，其余部分建成花园，已知花园的占地面积为616平方米，则小路的宽为___________米． 14．如图，将一张矩形纸条折叠，若，则______． 15．如图，在菱形中，，．动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点D运动，点P，点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．当时，与交于点H，四边形、四边形的面积分别为（）、（）．则的值为______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 16．（本题满分8分） 解方程：（1）． （2）． 17．（本题满分8分） 如图，在6×6的方格纸中，请按要求作图． （1）图1中，A，B是方格纸中的格点，以AB为一边作一个矩形ABCD，要求C，D两点也在格点上； （2）图2中，E，F是方格纸中的格点，以EF为一边作一个菱形EFGH，要求G，H两点也在格点上． 18．（本题满分8分） 如图，在中，线段的垂直平分线交于，分别交，于，，连接，． (1)证明：四边形是菱形； (2)在（1）的条件下，如果，，，求四边形的面积． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19．（本题满分9分） 某品牌衬衫，由于改进生产工艺和打开了销售市场，工厂每年的生产总量不断提升．据统计，2023年生产总量有20万件，2025年生产总量达到45万件． (1)求2023年到2025年这种衬衫生产总量的年平均增长率； (2)某家商场正在销售这一批名牌衬衫，平均每天可售出40件，每件盈利40元，为扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商品平均每天可多售出4件．若商场平均每天要盈利2400元，每件衬衫应降价多少元？ 20．（本题满分9分） 如图，在中，，D是的中点，过点A作，且，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)取的中点F，作，交于点G，若，，求的长． 21．（本题满分9分） 定义：方程（）与方程互为“换位方程”．如一元二次方程的“换位方程”是．已知关于的一元二次方程①：，其中． (1)写出方程①的“换位方程”； (2)求证：当时，方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根； (3)若方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根，求这个公共根及的值． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题12分，第23小题12分，共24分． 22．（本题满分12分） 如图，点为平面直角坐标系的原点，四边形为菱形，点，，连接、交于点，交轴于点． (1)请直接写出线段的长及点坐标； (2)求出直线的解析式； (3)若点从点出发沿着向终点运动，速度为个单位长度/秒，连接，过点作，垂足为，设点的运动时间为秒． ①用含的式子表示； ②请直接写出当为等腰三角形时，的最小值． 23．（本题满分12分） 【课本再现】如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，四边形为两个正方形的重叠部分，正方形可绕点转动． 【问题发现】 (1)①线段之间的数量关系是_______________； ②在①的基础上，连接，则线段之间的数量关系是____________． 【拓展应用】 (2)如图2，若矩形顶点是矩形对角线的中点，相交于点，延长，，连接．矩形可绕点转动，猜想，，之间的数量关系，并进行证明． 【类比迁移】 (3)如图3，在中，，，，，点在边的中点处，它的两条边和分别与边，相交于点．可绕点转动，当时，请直接写出的面积． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期第一次月考自编模拟卷 广东省佛山市适用 （本试卷共三大题23小题，满分120分，考试时间120分钟，不能使用计算器.） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列方程中，一元二次方程共有（    ） ①      ②      ③      ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】只含有一个未知数，且未知数的次数是1的方程是一元二次方程，根据定义判断即可． 【详解】解：①符合定义，是一元二次方程；      ②含有两个未知数，不符合定义，不是一元二次方程；        ③未知数的最高次数是3，不符合定义，不是一元二次方程；       ④符合定义，是一元二次方程； 故选：B． 【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，熟记定义是解题的关键． 2．某乡村旅居示范点计划在村内池塘上搭建小桥，如图所示，两条村内道路、互相垂直，道路的中点M与点C被湖隔开．若测得的长为2400，则M、C两点间的距离为（   ）    A．3600 B．2400 C．1200 D．600 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，推出，即可解题． 【详解】解：、互相垂直，M为的中点，的长为2400， ， 故选：C． 3．用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（　　） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 【答案】B 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程．先将方程中常数项移至等号右边，然后在等号两边同时加上一次项系数一半的平方即可配方，即可求出． 【详解】解：， 移项得，， 配方得，， 即， ∴， 故选：B． 4．根据表格中的信息，估计一元二次方程ax2+bx+c＝10（a、b、c为常数，a≠0）的一个解x的范围为（　　） x 0 0.5 1 1.5 2 ax2+bx+c ﹣15 ﹣8.75 ﹣2 5.25 13 A．0＜x＜0.5 B．0.5＜x＜1 C．1＜x＜1.5 D．1.5＜x＜2 【答案】D 【分析】根据ax2+bx+c的符号即可估算ax2+bx+c=10的解． 【详解】解：由表格可知：当x=1.5时，ax2+bx+c=5.25，则ax2+bx+c-10=-4.75， 当x=2时，ax2+bx+c=13，则ax2+bx+c-10=3， ∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=10（a≠0）的一个解x的范围是1.5＜x＜2， 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的近似解． 5．下列语句中，不正确的是（   ） A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 C．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 D．有一个内角是直角的菱形是正方形 【答案】A 【分析】根据平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定解答即可． 本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】解：A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，原说法错误，符合题意； B. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形，说法正确，不符合题意； C. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形，说法正确，不符合题意； D. 有一个内角是直角的菱形是正方形，说法正确，不符合题意； 故选：A． 6．如图，正方形中，在延长线上取一点E，使，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形的性质，得∠ABD=∠ADB =45°，根据等腰三角形的性质，得∠BED=∠BDE=67.5°，从而根据∠EDA=∠BDE -∠ADB进行计算即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形（如下图所示）， ∴∠ABD=∠ADB=45°， ∵BE=BD， ∴∠BED=∠BDE=67.5°， ∴∠EDA=∠BDE -∠ADB =67.5°-45°=22.5°， 故答案为：D． 【点睛】此题综合运用了正方形的性质、等腰三角形的性质，正确理解正方形的性质、等腰三角形的性质是本题解题的关键． 7．若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据题意，得到根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 解得． 故选：A． 8．某电池厂2026年月份的电池产量如图所示．设从2月份到4月份，该厂电池产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：从2月份到4月份，该厂家电池产量的月平均增长率为，从折线统计图获取2月份的产量是180万节，4月份的产量是461万节， 依题意得：． 9．小美同学按如下步骤作四边形；（1）画；（2）以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交于点；（3）分别以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点；（4）连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：作图可得 ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴． 10．如图，在正方形中，E是边上的一点，，，将正方形边沿折叠到，延长交于G，连接、，现在有如下四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】利用折叠的性质证明，从而得出，并利用勾股定理求出的长度，进而逐一判断各个结论的真假． 【详解】解：如图，连接． ∵正方形，，， ∴，． 由折叠得：，，，， ∴， ∵，， ， ，， ，故①正确； 设，则，， 在中，由勾股定理， 即， ，解得， ∴，，， 若，则是等边三角形，， ∴， ∴，不符合题意， ∴， 即不是等边三角形，，故②错误； ， ， ， ，， ， ，故③正确， 在中，，， ∴， ∵和的顶点C相同，底边和在同一条直线上， ∴它们的高相等，面积之比等于底边之比， ∴， ∵，故④错误， 综上所述，正确的结论是①和③，共2个． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．在矩形中，与相交于点O，要使四边形是正方形，还需添加一个条件，这个条件可以是________．（只需填写一种情况） 【答案】（答案不唯一）． 【分析】本题考查了正方形的判定，矩形的性质，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键．根据正方形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：这个条件可以是（答案不唯一）， 理由：四边形是矩形，， 四边形是正方形， 故答案为：（答案不唯一）． 12．若，是的两根，______． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元二次方程根据与系数的关系，根据即可求解． 【详解】解：， ∴， ∵ ∴原式， 故答案为： ． 13．如图，在一块长为30米，宽为24米的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的小路，其余部分建成花园，已知花园的占地面积为616平方米，则小路的宽为___________米． 【答案】2 【分析】设小路的宽为米，两条小路的重合部分是边长为x米的正方形，根据矩形的面积两条小路的面积+小正方形的面积=花园面积，即可列出一元二次方程进行求解． 【详解】解：设小路的宽为米， 根据题意得：， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴小路的宽为2米， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 14．如图，将一张矩形纸条折叠，若，则______． 【答案】 【分析】根据折叠的性质得出，利用平角的定义求出，再根据矩形对边平行，利用平行线的性质求出的度数即可． 【详解】解：由折叠的性质可知， ∵， ∴， ∵， ∴． 15．如图，在菱形中，，．动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点D运动，点P，点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．当时，与交于点H，四边形、四边形的面积分别为（）、（）．则的值为______． 【答案】 【分析】由题中条件可得和都是等边三角形，当时，四边形为平行四边形，先求出运动时间t，可得到，，，进而得出和都是等边三角形，分别求出，，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴和都是等边三角形， ∴， ， ， 设点P运动的时间为，则，，，， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，即，解得， ∴，， ∴， ∴和都是等边三角形， ∴，， ∴，， ，， ∴， ， ∴． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 16．（本题满分8分） 解方程：（1）． （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据因式分解法即可求解； （2）根据公式法即可求解． 【详解】解：（1）， ， ． （2）， ， ， ∴． 【点睛】此题主要考查解一元二次方程，解题的关键是熟知方程的解法． 17．（本题满分8分） 如图，在6×6的方格纸中，请按要求作图． （1）图1中，A，B是方格纸中的格点，以AB为一边作一个矩形ABCD，要求C，D两点也在格点上； （2）图2中，E，F是方格纸中的格点，以EF为一边作一个菱形EFGH，要求G，H两点也在格点上． 【答案】（1）如图1，四边形ABCD即为所求作的矩形； （2）如图2，四边形EFGH即为所求作的菱形； ． 【分析】（1）根据网格，以AB为边在图1中即可画一个以A，B，C，D为顶点的矩形； （2）根据网格，分别以E，F为顶点，画1×2格对角线即可在图2中作一个菱形EFGH． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了作图-应用与设计作图，矩形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 18．（本题满分8分） 如图，在中，线段的垂直平分线交于，分别交，于，，连接，． (1)证明：四边形是菱形； (2)在（1）的条件下，如果，，，求四边形的面积． 【答案】(1) 证明：四边形是平行四边形， ， ， 是线段的垂直平分线， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形； (2) 【分析】（1）证明，得出，由，得出四边形是菱形； （2）由菱形的性质得出，证明，由平行线的性质得出，由直角三角形的性质和菱形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）略． （2）解：由（1）得：四边形是菱形，， ， ， ， ， ， ∴， ，， 四边形的面积． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19．（本题满分9分） 某品牌衬衫，由于改进生产工艺和打开了销售市场，工厂每年的生产总量不断提升．据统计，2023年生产总量有20万件，2025年生产总量达到45万件． (1)求2023年到2025年这种衬衫生产总量的年平均增长率； (2)某家商场正在销售这一批名牌衬衫，平均每天可售出40件，每件盈利40元，为扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商品平均每天可多售出4件．若商场平均每天要盈利2400元，每件衬衫应降价多少元？ 【答案】(1)2023年到2025年这种衬衫生产总量的年平均增长率； (2)每件衬衫应降价20元； 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，依据题意正确建立利润与价格的等式是解题关键； （1）设2023年到2025年这种衬衫生产总量的年平均增长率x，根据题意得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据商场平均每天盈利额每件的盈利售出件数；每件的盈利原来每件的盈利降价数．设每件衬衫应降价元，然后根据前面的关系式列出方程，解方程即可求出结果． 【详解】（1）解：设2023年到2025年这种衬衫生产总量的年平均增长率x 由题意得： 解得：或（不合题意，舍去） 答：2023年到2025年这种衬衫生产总量的年平均增长率； （2）解：设每件衬衫应降价m元 由题意得： 整理得：，即 解得：或 因为商场的目标是扩大销售，增加盈利，尽快减少库存 所以 答：每件衬衫应降价20元． 20．（本题满分9分） 如图，在中，，D是的中点，过点A作，且，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)取的中点F，作，交于点G，若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵，， 四边形是平行四边形， 是中点， ， ， 四边形是矩形； (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、垂直平分线的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． （1）首证明四边形是平行四边形，再结合等腰三角形“三线合一”的性质可得，即可证明结论； （2）连接，由垂直平分线的性质可得，设，则，在中，由勾股定理解得的值，即可获得答案． 【详解】（1）略 （2）解：连接，如下图， 是的中点，， ， 四边形是矩形，， ， 设，则， 四边形是矩形， ， 在中，则有， ， ，即． 21．（本题满分9分） 定义：方程（）与方程互为“换位方程”．如一元二次方程的“换位方程”是．已知关于的一元二次方程①：，其中． (1)写出方程①的“换位方程”； (2)求证：当时，方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根； (3)若方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根，求这个公共根及的值． 【答案】(1) (2)当时，对于方程①及其“换位方程”均有 ， ∴方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根． (3)或，或 【分析】（1）根据“换位方程”的定义解答即可； （2）根据一元二次方程根的判别式得出，即可得出结论； （3）把分别代入方程①及其“换位方程”可得，根据时两方程相同得出，解方程得出或，分别代入方程①求出的值即可得出答案． 【详解】（1）解：在方程中，，， ∴方程①的“换位方程”为． （2）解：略 （3）解：∵方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根， ∴，， ， ∴， 当时，方程①与其“换位方程”相同，不符合题意， ∴ 解得：或， 当时，代入方程①得，， 解得：； 当时，代入方程①得，， 解得：． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题12分，第23小题12分，共24分． 22．（本题满分12分） 如图，点为平面直角坐标系的原点，四边形为菱形，点，，连接、交于点，交轴于点． (1)请直接写出线段的长及点坐标； (2)求出直线的解析式； (3)若点从点出发沿着向终点运动，速度为个单位长度/秒，连接，过点作，垂足为，设点的运动时间为秒． ①用含的式子表示； ②请直接写出当为等腰三角形时，的最小值． 【答案】(1)，点坐标为； (2)直线的解析式为； (3)①；②的最小值为． 【分析】（）过作轴于点，通过勾股定理求得，则点； （2）通过待定系数法即可求解； （3）①过作轴于点，过作轴于点，由（）得，，，直线的解析式为，根据题意可得，设，则，由勾股定理得，即，则，即有，所以； ②由题意得点，由①得，又，，再分三种情况讨论，利用两点之间的距离公式求解即可． 【详解】（1）解：如图，过作轴于点， ∴， ∵点，， ∴，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∴点坐标为； （2）解：点，， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为； （3）解：①如图，过作轴于点，过作轴于点， 由（）得，，，直线的解析式为， ∵点的速度为个单位长度秒，运动时间为秒， ∴， 设，则， ∵， ∴， 整理得：， ∵， ∴，则， ∴； ②∵点，由①得，又，， ∴，， 当时，即，，解得； 当时，即，，解得（负值已舍）； 当时，即，，解得（舍去）或； ∵， ∴的最小值为． 23．（本题满分12分） 【课本再现】如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，四边形为两个正方形的重叠部分，正方形可绕点转动． 【问题发现】 (1)①线段之间的数量关系是_______________； ②在①的基础上，连接，则线段之间的数量关系是____________． 【拓展应用】 (2)如图2，若矩形顶点是矩形对角线的中点，相交于点，延长，，连接．矩形可绕点转动，猜想，，之间的数量关系，并进行证明． 【类比迁移】 (3)如图3，在中，，，，，点在边的中点处，它的两条边和分别与边，相交于点．可绕点转动，当时，请直接写出的面积． 【答案】(1)①；②； (2)解：；理由如下： 连接， ∵是矩形对角线的中点， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴， ∴垂直平分， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． (3) 【分析】（1）连接，利用正方形的性质证明可得，进而得到，再利用勾股定理即可得到线段之间的数量关系； （2）连接，利用矩形的性质证明可得，易得垂直平分，即，再利用勾股定理即可得到线段，，之间的数量关系； （3）构造矩形，延长交于G，连接，利用（2）的方法可得，利用勾股定理可得，设，，构建方程可求得，最后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：连接， ∵正方形的对角线相交于点， ∴，，， ∴， 又∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 在中，由勾股定理得：， ∴． （2）略 （3）解：∵，， ∴． 如图：构造矩形，延长交于G，连接， ∵D是矩形对角线的中点， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， 设，， ∴，解得：， 即， ∴的面积为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $