精品解析：北京门头沟区2026-2027学年高三上学期9月学业水平阶段练习数学试题

门头沟区2026-2027年高三学业水平阶段练习数学 2026．09 本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，（是虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 3. 圆心为且过原点的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. 15 C. D. 30 5. 若是无穷等比数列，则“有最大项”是“存在常数，使”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知函数，则是（ ） A. 奇函数，且在单调递增 B. 偶函数，且在单调递增 C. 奇函数且在单调递减 D. 偶函数，且在单调递减 7. 已知函数，的图象的两个相邻对称中心的距离为，且，，则和的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 已知三棱锥，，，则它的体积为（ ） A. B. C. D. 9. 在潭柘寺智慧文旅体验活动中，已知青年游客人数多于中年游客人数，中年游客人数多于老年游客人数，老年游客人数的两倍多于青年游客人数，那么下列选项中一定成立的是（ ） A. 青年游客人数与中年游客人数之和多于老年游客人数的三倍 B. 青年游客人数与老年游客人数之和多于中年游客人数的两倍 C. 中年游客人数与老年游客人数之和多于青年游客人数 D. 青年游客人数的两倍与老年游客人数之和多于中年游客人数的三倍 10. 数学家邓煜因攻克狭义希尔伯特第六问题，荣获2026年菲尔兹奖，其发表的相关论文中涉及函数：，，则下列各数中与最接近的是（参考数据：，）（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 双曲线的离心率为__________． 12. 已知平面向量，满足，，则的最小值为__________． 13. 已知等差数列的前项和为，且，则__________；若恒成立，则符合条件的公差的一个取值为__________． 14. 已知集合中恰有2个元素，若，则的取值范围是__________；若，则的取值范围是__________． 15. 如图，在平面四边形中，，，，，给出下列三个结论： ①； ②若，则； ③四边形的面积的最大值为． 其中所有正确结论的序号是__________． 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）求的单调递减区间． 17. 年美加墨世界杯圆满收官，赛事热度带动全国校园足球氛围持续升温.为响应“体教融合”号召，某中学举办校园足球文化节配套的知识竞赛，赛后从全校所有参赛答卷中随机抽取份作为样本，成绩分布统计如下： 成绩分组 人数 假设所有参赛学生的成绩相互独立，以频率估计概率，完成下列问题： （1）从所有参赛学生中随机抽取人，估计该学生的成绩低于分的概率； （2）从所有参赛学生中随机抽取人，记为这人中成绩低于分的人数，求的分布列及数学期望； （3）从所有参赛学生中随机抽取人，记为这人中成绩低于分的人数，求使概率取得最大值时的的值．（直接写出结论） 18. 已知三棱柱，，平面平面，，为的中点． （1）证明：平面平面； （2）点在三棱柱表面上，且，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得点确定唯一，求直线与平面所成角的正弦值． 条件①：； 条件②：； 条件③：直线与所成角的余弦值为． 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分 19. 已知椭圆的焦距为2，椭圆上的点到两焦点距离之和为． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线交于，两点，直线与的另一个交点为，若的面积是的面积的4倍，求的方程． 20. 已知函数，曲线在点处的切线为． （1）求，的值； （2）求的极值点的个数； （3）证明：除切点外，曲线在直线的上方． 21. 已知数阵，其中．定义．若对于任意，都有，则称数阵具有性质． （1）数阵，直接写出，，，的值； （2）若数阵具有性质，求的最大值； （3）证明：不存在数阵具有性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 门头沟区2026-2027年高三学业水平阶段练习数学 2026．09 本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，，所以. 2. 已知复数，（是虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据共轭复数的概念及复数的加法公式求解. 【详解】因为，所以， 所以. 3. 圆心为且过原点的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】半径为圆上一点即原点到圆心(1，－1)的距离，即可写出圆的方程． 【详解】圆心为且过原点的圆的半径为， 故圆心为且过原点的圆的圆的方程为， 故选：C． 4. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. 15 C. D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】结合二项展开式的通项公式可求的系数. 【详解】的展开式的通项公式为， 令，故，故的系数为， 故选：B. 5. 若是无穷等比数列，则“有最大项”是“存在常数，使”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】通过分别验证充分性成立、必要性不成立，即可判断两者的条件关系. 【详解】充分性：若无穷等比数列有最大项，设该最大项为，取, 则对任意，都满足，因此充分性成立. 必要性：取无穷等比数列的首项，公比,则通项为, 该数列为递增数列，所有项均满足，因此存在常数，使得对任意，都有; 但该数列各项随增大趋近于，始终无法取到，不存在最大项，因此必要性不成立. 6. 已知函数，则是（ ） A. 奇函数，且在单调递增 B. 偶函数，且在单调递增 C. 奇函数且在单调递减 D. 偶函数，且在单调递减 【答案】C 【解析】 【分析】确定函数定义域，判断是否关于原点对称，根据奇偶性的定义判断函数奇偶性，可以判断选项B、D；化简函数表达式，进而根据复合函数单调性判断的单调性，可以判断选项A、C. 【详解】由题知，解得，定义域关于原点对称，代入得： ， 因此是奇函数，故B、D错误. 将函数化简为，令内层函数， 可知该函数在上随增大单调递减； 外层函数是单调递增函数，故在整个定义域上单调递减， 因此在子区间上也单调递减. 综上，是奇函数且在单调递减，故C正确. 7. 已知函数，的图象的两个相邻对称中心的距离为，且，，则和的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件分析出周期，并计算和求解. 【详解】由的图象的两个相邻对称中心的距离为，可知， 则，， ， ，即，因为，所以， 由，得，所以. 8. 已知三棱锥，，，则它的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取中点，连接，由条件可证明平面，由此将三棱锥的体积表示为，计算可得结果. 【详解】取中点，连接，如下图所示： 因为，所以， 又，平面，平面， 所以平面， 又因为，， 所以， 所以， 又因为， 9. 在潭柘寺智慧文旅体验活动中，已知青年游客人数多于中年游客人数，中年游客人数多于老年游客人数，老年游客人数的两倍多于青年游客人数，那么下列选项中一定成立的是（ ） A. 青年游客人数与中年游客人数之和多于老年游客人数的三倍 B. 青年游客人数与老年游客人数之和多于中年游客人数的两倍 C. 中年游客人数与老年游客人数之和多于青年游客人数 D. 青年游客人数的两倍与老年游客人数之和多于中年游客人数的三倍 【答案】C 【解析】 【分析】设青年、中年、老年游客人数分别为正整数，将题干条件转化为不等式组：，，，代入特殊值验证，可以判断选项A、B、D；由可得，进而可得，可以判断C. 【详解】设青年、中年、老年游客人数分别为正整数 选项A：若，满足所有题干条件，此时，不满足“多于三倍”，故A错误； 对选项B：若，，不满足“多于两倍”，故B错误； 对选项C：由可得，又，因此， 即恒成立，故C正确； 对选项D：若，满足，此时， 不满足“多于三倍”，故D错误. 10. 数学家邓煜因攻克狭义希尔伯特第六问题，荣获2026年菲尔兹奖，其发表的相关论文中涉及函数：，，则下列各数中与最接近的是（参考数据：，）（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先写出的具体表达式，通过取常用对数，结合已知的、近似值计算对数值，确定的值. 【详解】已知，分别计算的三个组成部分的对数值： ，因此； ，因此； ，因此. 所以， 故. 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 双曲线的离心率为__________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意可知，所以， 则，解得，因此双曲线的离心率. 12. 已知平面向量，满足，，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先计算的模长，再利用向量三角不等式求解的最小值. 【详解】首先计算向量的模长：由 ，得  ， 根据向量三角不等式得：  ， 代入已知，，可得： ， 当且仅当与方向相同时等号成立，故的最小值为. 13. 已知等差数列的前项和为，且，则__________；若恒成立，则符合条件的公差的一个取值为__________． 【答案】 ①. ②. （答案不唯一，满足即可） 【解析】 【分析】先利用等差数列前n项和公式与通项公式化简已知等式求解首项，再根据恒成立等价于且，解不等式得到公差d的取值范围. 【详解】设等差数列的公差为d，，其前n项和公式为，通项公式为，， 又，所以，解得. 因为恒成立， 所以数列递减，且， 所以，解得 符合条件的公差的一个取值为（答案不唯一，满足即可）. 14. 已知集合中恰有2个元素，若，则的取值范围是__________；若，则的取值范围是__________． 【答案】 ①. ； ②. . 【解析】 【分析】将方程的解的个数，转化为函数和的交点个数问题.结合题干条件，对函数关系进行分类讨论即可求解. 【详解】若，集合为，即方程的根， 当时，方程无解，不符合要求； 当时，方程为只有一解，不符合要求； 当时，在区间内，，所以方程为， 即，有一解， 在区间内，，所以方程为，即有一解， 所以此时方程共有两解，符合题意； 当时，在区间内，，所以方程为，即，无解， 在区间内，，所以方程为，即有一解， 所以此时方程共有一解，不符合题意； 综上所述，若，则的取值范围是； 若，集合为，即方程的根， 则直线过定点， 当时，直线与函数只有一个交点， 即方程只有一个实数解，不符合题意； 当时，直线与函数没有交点， 即方程无实数解，不符合题意； 当时，若，则，， 直线与函数没有交点， 所以交点只能出现在， 则方程等价于， 即方程在内有两个不同的实数解，即曲线与有两个不同交点， 设切点为，则，，，联立求得，， 此时曲线与相切，仅有一个交点， 当时，曲线与有两个交点，符合题意， 当时，曲线与至多存在一个交点，不符合题意， 综上所述，若，则的取值范围是. 15. 如图，在平面四边形中，，，，，给出下列三个结论： ①； ②若，则； ③四边形的面积的最大值为． 其中所有正确结论的序号是__________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据题意，利用正弦定理，可判定①正确；利用余弦定理，求得，结合勾股定理，可判定②正确；③连接，求得，再在和中，利用余弦定理，求得，化简得到，可判定③正确. 【详解】对于①，在中，由正弦定理知， 因为，，可得， 所以，所以①正确； 对于②，若，且， 在中，可得， 所以, 又因为，可得，所以，所以②正确； 对于③，连接，可得 ，即 在中，， 在中，， 可得，整理得，即， 则 ， 可得，即，当且仅当时，等号成立， 所以四边形面积的最大值为，所以③正确. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）求的单调递减区间． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 ， ， ， 所以，. 【小问2详解】 由得，， 所以的单调递减区间为. 17. 年美加墨世界杯圆满收官，赛事热度带动全国校园足球氛围持续升温.为响应“体教融合”号召，某中学举办校园足球文化节配套的知识竞赛，赛后从全校所有参赛答卷中随机抽取份作为样本，成绩分布统计如下： 成绩分组 人数 假设所有参赛学生的成绩相互独立，以频率估计概率，完成下列问题： （1）从所有参赛学生中随机抽取人，估计该学生的成绩低于分的概率； （2）从所有参赛学生中随机抽取人，记为这人中成绩低于分的人数，求的分布列及数学期望； （3）从所有参赛学生中随机抽取人，记为这人中成绩低于分的人数，求使概率取得最大值时的的值．（直接写出结论） 【答案】（1） （2） 的分布列为： 数学期望 （3） 【解析】 【分析】（1）根据统计数据求出样本中成绩低于的人数及频率，再由频率估计概率； （2）先说明服从二项分布， 结合二项分布分布列公式求结果，再由期望公式求结论； （3）判断的单调性，由此确定结论. 【小问1详解】 样本中成绩低于70分的是和两组， 总人数为，样本容量为， 从所抽取的学生中随机抽取人，该学生的成绩低于分的频率为； 用频率估计概率，从所有参赛学生中随机抽取人， 估计该学生的成绩低于分的概率；​ 【小问2详解】 由题意，抽取的人中每个人成绩低于分的概率为​，且各次抽取相互独立， 因此服从二项分布， 的可能取值为， ，， ，​， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 根据二项分布的数学期望公式可得， 【小问3详解】 由题意，， 令​ 当，即时，， 当，即时，， 因此时，取得最大值. 18. 已知三棱柱，，平面平面，，为的中点． （1）证明：平面平面； （2）点在三棱柱表面上，且，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得点确定唯一，求直线与平面所成角的正弦值． 条件①：； 条件②：； 条件③：直线与所成角的余弦值为． 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分 【答案】（1） 因为，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质证明平面，最后利用面面垂直的判定定理证明即可. （2）先建立空间直角坐标系，求出各个已知点的坐标，设出点P的坐标 若选条件①, 分别计算和，验证点P坐标是否唯一，若唯一，求出点P坐标. 若选条件②,利用垂直关系，向量数量积为0，列方程，验证点P坐标是否唯一，若唯一，求出点P坐标. 若选条件③，将两条直线的夹角转化为两个向量的夹角，利用向量夹角计算公式列方程, 验证点P坐标是否唯一，若唯一，求出点P坐标.最后求出平面的法向量和坐标，利用线面角的计算公式得到答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，平面，平面， 所以， 所以以点A为原点，分别以 ,,为x，y，z轴，建立空间直角坐标系. 则，，，，，，. 因为，方向向量， 所以点P的横坐标,竖坐标和D相同，设,， 若选条件①：， ，. ，， 所以，对于任意恒成立，点P不唯一，不能选条件①. 若选条件②：， ,， 因为，所以， 即，解得，得到唯一点. 若选条件③：直线与所成角的余弦值为． ，取方向向量,， ，解得或. 因为，所以得到唯一解，得到唯一点. 下面求直线与平面所成角的正弦值： ，所以， 平面内两个向量：,. 设平面的一个法向量， 则，， 令得，，， 所以平面的一个法向量. 所以直线与平面所成角的正弦值满足： . 19. 已知椭圆的焦距为2，椭圆上的点到两焦点距离之和为． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线交于，两点，直线与的另一个交点为，若的面积是的面积的4倍，求的方程． 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的概念及基本性质，即可求得椭圆的方程； （2）设直线方程为，与椭圆联立，结合韦达定理及三角形的面积关系，即可求解. 【小问1详解】 由椭圆定义，可得，解得， 又椭圆的焦距为2，即，解得， 又在椭圆中，，即，解得， 因此，椭圆的方程为. 【小问2详解】 由题意，直线的斜率一定存在，设其斜率为，则直线的方程为， 设，，将直线与椭圆联立，即， 整理得， 则，解得， 由韦达定理可得，， 因为直线与的另一个交点为，所以是关于原点的对称点， 所以, 又，所以，即，所以， 又，，所以， 代入韦达定理，可得，则，所以， 又，即，解得， 所以直线的方程为，即或. 20. 已知函数，曲线在点处的切线为． （1）求，的值； （2）求的极值点的个数； （3）证明：除切点外，曲线在直线的上方． 【答案】（1）， （2）1 （3）证明：设， 则， 由（2）知在上单调递增， 所以在上单调递增，且． 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 故在处取得最小值． 当时，，即， 故除切点外，曲线在直线的上方． 【解析】 【分析】（1）先求函数的导函数，再利用切线性质列方程，最后联立方程求解，的值； （2）先确定的解析式，再分析导函数的单调性，最后判断导函数的零点个数，即可得到的极值点的个数； （3）先构造辅助函数，求的导函数，再分析的单调性，最后求的最小值，即可求解． 【小问1详解】 已知， 则， 由曲线在点处的切线为， 可得， 两式相加得，解得， 代入得,解得, 故，． 【小问2详解】 由（1）得，， 则， 故在上单调递增， 因为，， 所以在上有且仅有1个零点，即的极值点个数为1． 【小问3详解】 略 21. 已知数阵，其中．定义．若对于任意，都有，则称数阵具有性质． （1）数阵，直接写出，，，的值； （2）若数阵具有性质，求的最大值； （3）证明：不存在数阵具有性质． 【答案】（1），，， （2）4 （3）假设存在数阵具有性质． 不妨设数阵的第1行均为1， 按列分类，只有4种情况： ＂三行中的数均为1＂，有列； ＂第1,2行中的数为1，且第3行中的数为-1＂，有列； ＂第1,3行中的数为1，且第2行中的数为-1＂，有列； ＂第1行中的数为1，且第2,3行中的数为-1＂，有列； 则， 由，得； 由，得； 由，得； 解得． 这与矛盾， 所以不存在数阵具有性质． 【解析】 【分析】（1）根据题目的新定义的式子，将s和t的值代入即可求解. （2）不妨设数阵的第1行均为1，再将2个1与2个构成的4个有数可分成如下3组，从而得到； （3）反证法,先假设结论成立, 再按列分类为4种情况t讨论即可. 【小问1详解】 ，， ，. 【小问2详解】 不妨设数阵的第1行均为1， 则对于其余任意一行的4个数，必为2个1与2个，且任意两行均不相同． 由2个1与2个构成的4个有数可分成如下3组： 与； 与； 与. 每组中至多选取1个作为数阵的行， 所以非首行的行数最多为3，即． 又数阵具有性质， 综上，的最大值为4． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $