专题1.集合常考题型及易错题型专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题1.集合常考题型及易错题型 题型1.集合的定义与性质 例1.下列各组对象中不能形成集合的是（    ） A.高一数学课本中较难的题 B.高一（2）班全体学生家长 C.高一年级开设的所有课程 D.高一（12）班个子高于的学生 【答案】A 【解析】 对A，高一数学课本中较难的题不具有确定性，不能形成集合； 对BCD，各组对象均满足确定性，互异性和无序性，能形成集合 故选：A 例2.已知，，为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则下列判断正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 根据题意，分种情况讨论； 1 、，，全部为负数时，则也为负数，则； 2 、，，中有一个为负数时，则为负数，则； 3 、，，中有两个为负数时，则为正数，则； 4 、，，全部为正数时，则也正数，则； 则；分析选项可得A符合． 故选：A. 练习： 1.下列四组集合中表示同一集合的为（    ） A.， B.， C.， D.， 【答案】B 【解析】 对A，两个集合中元素对应的坐标不同，则A不正确； 对B，集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，故B正确； 对C，两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，则C不正确； 对D，是以为元素的集合，是空集，则D不正确． 故选：B． 2.设是有理数，集合，在下列集合中； （1）；（2）；（3）；（4）；与相同的集合有（    ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 对于（1），由，得，，一一对应，则； 对于（2），由，得，，一一对应，则 对于（3），由，得，，一一对应，则 对于（4），，但方程无解，则与不相同 故选：B 题型2.集合的表示方法 例3.用列举法可将集合表示为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 ，；，；，；，. 集合表示为. 故选：D. 练习： 1.方程的解集为_________. 【答案】 【解析】 由方程 ， 所以或或，故该方程的解集为. 故答案为：. 2.已知集合，则中元素的个数为（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 因为， 所以， 故集合中元素的个数为， 故选：D. 题型3.元素与集合间的关系 例4.已知集合，则下列结论错误的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由，得，则， 所以，，，即ABD正确； 而，故C错误. 故选：C. 例5.若，且，则的取值范围为_______. 【答案】 【解析】 由于，所以，解得， 故答案为： 练习： 1.已知是由，，三个元素组成的集合，且，则实数为（　　） A. B. C. 或 D. ，，均可 【答案】B 【解析】 ，或． 当时，，不合题意，舍去； 当时，或，但不合题意，舍去． 综上可知，． 故选：B． 2.下列五个写法：①；②；③；④；⑤，其中错误写法的个数为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 对于①，“”是用于元素与集合的关系，故①错； 对于②，是任意集合的子集，故②对； 对于③，根据集合中元素的无序性可知两个集合是同一集合，任何一个集合都是它本身的子集，故③对； 对于④，因为是不含任何元素的集合，故④错； 对于⑤，因为“”用于集合与集合，故⑤错. 故错误的有①④⑤，共3个， 故选：C. 3.已知集合，则有（    ） A. B. C. 有个子集 D. 【答案】ABC 【解析】 由题意可得， 由集合与元素，集合与集合的关系可知正确；正确；错误； 由子集的概念可知：集合的子集有，，，共个，所以正确； 故选：ABC. 4.若，则的值是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 因为，所以①或②，由①得或，其中与元素互异性矛盾，舍去，符合题意，由②得，符合题意，两种情况代入得. 故选：C. 5.已知集合，，，则的值为（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 因为集合，，， 所以，即， 所以，因为，所以的值为. 故选：A . 6.若，求的取值范围． 【答案】 【解析】 ，，得， 综上，且，且 即的取值范围为 7.集合 ，若且，则的取值范围为（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 因为且，所以且，解得. 故选：B. 8.已知集合，若，则实数的取值范围为（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 因为集合，且， 所以，即，解得或. 故选：A. 9.（多选）已知集合，若，则实数的可能取值为（     ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 当，即时，，符合题意； 当，即时，不符合题意； 当，即或时．若，不符合题意；若，，符合题意． 故选:AB． 10.（多选）若，则实数的可能取值为（    ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 三个元素中有且只有一个是，要分三类讨论． 当时，，此时，，故符合题意； 当时，，此时（注意检验），不满足集合中元素的互异性，故舍去； 当时，，经检验符合题意． 综上可知，或． 故选：ABD 题型4.集合与集合间的关系 例6.若集合，，则集合，之间的关系表示最准确的为（    ） A. B. C. D.与互不包含 【答案】C 【解析】 对于集合，当时，，当时，，所以. 故选：C. 例7.已知集合，，，则实数的值为（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 ， 或（不可能，舍去）或（不可能，舍去） 故选：B 练习： 1.设集合，，. （1）讨论集合与的关系； （2）若，且，求实数的值. 【答案】（1）当时，；当时，是的真子集；（2）或. 【解析】 （1），， 当时，； 当时，，是的真子集. （2）当时，因为，所以. 当时，解得(舍去)或，此时，符合题意. 当时，解得，此时符合题意. 综上，或. 2.已知集合，，若，则的取值集合为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 由可得，若时，则， 若时，则由可得或，故或，则或， 故的取值集合为， 故选:D 3.已知集合，集合，则（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 对于集合中的元素都有，其中表示奇数， 对于集合中的能取所有的整数，集合和集合相比较，集合少了代入偶数时所对应的值，所以， 故选：. 4.设，，，若，则______． 【答案】或 【解析】 当时，，，满足，则； 当时，，，满足，则； 故答案为：或 5.含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为_______. 【答案】 【解析】 解：由题意，若，则或，检验可知不满足集合中元素的互异性， 所以，则， 所以，则， 故. 故答案为：. 6.已知集合，.若，求实数的取值范围. 【答案】或. 【解析】 由，则. ， 为方程的解集. 1 若，则， 或或， 当时有两个相等实根，即，不合题意，同理， 当时，，，符合题意； 2 若，则，即， 综上所述，实数的取值范围为或. 7.设集合，，且． （1）若，求实数，的值； （2）若，且，求实数的值． 【答案】（1），；（2）或 【解析】 （1）由解得，所以， 因为，所以，是集合中元素， 所以将代入得，解得，. （2）因为，由（1）得，是集合中元素， 当即时，此时符合题意； 当时，①，此时符合题意； ②，此时不满足集合元素的互异性，舍去； 综上或. 8.设集合，． （1）用列举法表示集合； （2）若，求实数的值． 【答案】（1）；（2）或 【解析】 （1）， 集合为方程的实数解组成的集合， 由，解得，， ， 用列举法表示集合为. （2）， 集合为方程的实数解组成的集合， 由，， 方程有解，， ①当时，方程， 方程有两个相等的实数根， 此时，满足； ②当时，方程， 解得，， 若要使，则需使，即， 综上所述，若，则或. 9.集合 ，若且，则的取值范围为（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 因为且，所以且，解得. 故选：B. 10.已知集合，若，则实数的取值范围为（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 因为集合，且， 所以，即，解得或. 故选：A. 11.（多选）已知集合，若，则实数的可能取值为（     ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 当，即时，，符合题意； 当，即时，不符合题意； 当，即或时．若，不符合题意；若，，符合题意． 故选:AB． 12.（多选）若，则实数的可能取值为（     ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 三个元素中有且只有一个是，要分三类讨论． 当时，，此时，，故符合题意； 当时，，此时（注意检验），不满足集合中元素的互异性，故舍去； 当时，，经检验符合题意． 综上可知或． 故选：ABD 13.（多选）已知集合，，若，则实数的值可以是（    ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 由，得到或，即， 因为，由， 当时，无解，此时，满足题意， 当时，得到，所以或，得到或， 故选：ABD. 14.（多选）已知集合，，若，则实数的取值可以是（     ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 当时，，满足条件， 当时，若，则，无解， 若，则，无解， 若，则，无解， 若，则，得， 综上可知，或，只有AC符合条件. 故选：AC 15.已知，. （1）若是的子集，求实数的值； （2）若是的子集，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）或 【解析】 （1）因为， 若是的子集，则， 所以，解得. （2）若是的子集，则. ①若为空集，则，解得； ②若为单元素集合，则，解得. 将代入方程，得，解得，所以，符合要求； ③若为双元素集合，，则. 综上所述，或. 题型5.子集真子集个数问题 例8.集合的真子集的个数是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由于，，，又，，，即集合， 该集合的所有真子集为，，，，，，， 该集合的真子集个数为， 故选：C. 例9.集合至多有个真子集，则的取值范围是（     ） A. B. C. D.或 【答案】D 【解析】 当时，，满足题意， 当时，由题意得，得， 综上，的取值范围是或 故选：D 练习： 1.已知集合，，则集合的真子集个数为（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 当，时，， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 所以， 所以集合的真子集的个数为个， 故选：C 2.已知集合满足，那么这样的集合的个数为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 因为， 所以集合可以为：，，，，，，，共8个， 故选：C. 3.若集合有且仅有两个子集，则实数的值为（    ） A. , B. C. D. ,, 【答案】D 【解析】 由题意，集合中只有一个元素，即方程仅有一个解， 当时，，可得或； 当时，方程为仅有一解，满足题设； 综上，实数的值为，，. 故选：D 4.（多选）已知集合有两个子集，那么的取值可以是（     ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 因为集合有两个子集，说明集合中只有一个元素， 所以当时，解得：或， 若时，，符合题意， 若时，，不符合题意； 当时，即，且集合有且仅有一个元素， 则，解得：（舍去）或， 综上所述，的可能取值为或． 故选：CD． 5.若集合，若的真子集个数是个，则的范围是______. 【答案】 【解析】 因为集合的真子集个数是个，所以集合中有两个元素， 所以方程有两个不相等的根， 所以，解得，且， 即的范围为， 故答案为：. 题型6.集合的运算 例10.已知集合，集合，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 由题意，，，因为（）表示所有偶数，（）能表示所有整数，故 故选：B 例11.设集合且，则的取值集合为（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 由题意知，所以，或， 当时，得，不符合题意； 当时，得，或， 当，不符合题意，时，，，符合题意. 故选：B 练习： 1.设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 ，所以. 故选：C 2.集合，，则的元素个数为（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 因为，， 联立方程可得， 解得或， 所以，则集合中的元素个数为. 故选：A. 3.已知集合，，且，则的值为（     ） A. B. 或 C. 或或 D. 或或或 【答案】C 【解析】 由可得或，解得，，或. 又集合与，故，故，或. 故选：C 4.已知集合，，，则的可能取值的个数为（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 因为，所以或， 所以或或或或或， 解得或或或， 经检验当或时，不满足集合中元素的互异性， 所以的可能取值为，，共个. 故选:B. 5.已知全集，集合，且，则______． 【答案】 【解析】 因为全集，集合，且， 所以且， 所以或， 当时，解得， 当时，方程组无解，故舍去. 综上可得. 故答案为： 6.已知集合，集合，若，则（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 因为，所以， 若，即当时，解得，此时符合题意； 若，因为，所以有，解得， 综上所述，. 故选：D 7.（多选）已知集合，，若使成立的实数的取值集合为，则的一个真子集可以是（    ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 由题意集合，， 因为，所以当时，，即 ； 当时，有，解得， 故，则的一个真子集可以是或， 故选：BC. 8.设为实数，集合，. （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1），；（2） 【解析】 （1）集合，时，， 所以， 又因为， 所以； （2）由，得或， 即或， 所以实数的取值范围是. 9.已知非空集合，. （1）当时，求，； （2）求能使成立的的取值范围. 【答案】（1），；（2） 【解析】 （1）解：当时，集合，， 由集合交集和并集的定义与运算，可得，. （2）解：由非空集合，， 因为，可得， 因为，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 10.已知集合，． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】 （1）若，则， 因为，所以； （2）由题，得，由，得， 若，则，得， 若，即时，则有，或，得或， 综上， 11.已知集合，集合. （1）求，； （2）设，若，求实数的取值范围. 【答案】（1），；（2） 【解析】 （1）依题意，集合，集合， 所以，. （2）由（1）得， 而且， 所以，解得，所以的取值范围是. 12.若集合有且仅有两个子集，则实数的值为（    ） A. ， B. C. D. ，， 【答案】D 【解析】 由题意，集合中只有一个元素，即方程仅有一个解， 当时，，可得或； 当时，方程为仅有一解，满足题设； 综上，实数的值为，，. 故选：D 13.（多选）已知集合有两个子集，那么的取值可以是（    ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 因为集合有两个子集，说明集合中只有一个元素， 所以当时，解得：或， 若时，，符合题意， 若时，，不符合题意； 当时，即，且集合有且仅有一个元素， 则，解得：（舍去）或， 综上所述，的可能取值为或． 故选：CD． 14.若集合，若的真子集个数是个，则的范围是______. 【答案】 【解析】 因为集合的真子集个数是个，所以集合中有两个元素， 所以方程有两个不相等的根， 所以，解得，且， 即的范围为， 故答案为： 15.设集合，，若，则实数的取值范围是（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 因为，所以， 又因为，， 所以，即， 故选：A 16.已知集合，，，则实数的值为（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由知：， 当，即，则，与集合中元素互异性有矛盾，不符合； 当，即或， 若，则，与集合中元素互异性有矛盾，不符合； 若，则，，满足要求. 综上，. 故选：A 17.设集合，集合，若，则______. 【答案】 【解析】 因为，，， 所以，，，，， 当时，，集合满足题意， 当时，或（舍去）， 此时，不满足题意， 综上， 故答案为： 18.设集合，，且，则的取值组成的集合是_______. 【答案】 【解析】 由题意，， ①若解得或， 当时,集合中，不符合集合的互异性,舍去; 当时，，，符合题意. ②若，解得，，，符合题意. 综上，的值是或. 故答案为：. 19.已知集合，. （1）若，，求实数的取值范围； （2）若，且，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【解析】 （1）集合，， ， 若，则，， 若，故，解得， 综上：，即实数的取值范围是. （2）， 由题意得，， 实数的取值范围是． 20.设集合，，. （1）若，求实数的值； （2）若且，求实数的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 （1）由题可得，由，得. 从而，是方程的两个根，即，解得. （2）因为，. 因为，所以，又，所以， 即，，解得或. 当时，，则，不符合题意； 当时，，则且，故符合题意， 综上，实数的值为. 题型7.韦恩图的应用 例12.某学校举办了第届运动会，期间有教职工的趣味活动“你追我赶”和“携手共进”．数学组教师除人出差外，其余都参与活动，其中有人参加了“你追我赶”， 人参加了“携手共进”，同时参加两个项目的人数不少于人，则数学组教师人数至多为（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】    如图所示，设两种项目都参加的有人，“你追我赶”为集合，“携手共进”为集合， 则数学组共有人，显然人. 故选：B 例13.已知集合，集合，则Venn图中阴影部分表示的集合中元素的个数为______． 【答案】 【解析】 由Venn图及集合的运算可知，阴影部分表示的集合为． 又，，，. 即Venn图中阴影部分表示的集合中元素的个数为. 故答案为：. 练习： 1.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有的学生喜欢足球或游泳，的学生喜欢足球，的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由题意可得如下所示韦恩图： 所求比例为：， 故选：C 2.若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（     ）    A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 ，， 所以阴影表示的集合为. 故选：B 题型8.新定义题型 例14.当一个非空数集满足：如果，，则，，，且时，时，我们称就是一个数域以下关于数域的说法：①是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则；③集合是一个数域．④有理数集是一个数域其中正确的选项是（    ） A.①②④ B. ②③④ C.①④ D.①② 【答案】A 【解析】 对于①，当且，时，， 所以是任何数域的元素，①正确； 对于②，当时，且，时，由数域定义知， 所以，，，，故选项②正确； 对于③，当，时，，故选项③错误； 对于④，如果，，则，，，且时，，所以有理数集是一个数域. 故选：A 练习： 1.定义，若，，则中元素个数为（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 因为，且，， 当时，可能为，，，此时的取值为：，，； 当时，可能为，，，此时的取值为：，，； 当时，可能为，，，此时的取值为：，，； 综上可知：，所以集合中元素个数为， 故选：D 2.定义差集，已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 因为，， 所以， 所以． 故选：B 3.已知集合，对于它的任一非空子集，可以将中的每一个元素都乘再求和，例如，则可求得和为.对所有非空子集，这些和的总和为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 因为元素，，，，，在集合的所有非空子集中分别出现次， 则对的所有非空子集中元素执行乘再求和， 则这些和的总和是． 故选：B. 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.集合常考题型及易错题型 题型1.集合的定义与性质 例1.下列各组对象中不能形成集合的是（    ） A.高一数学课本中较难的题 B.高一（2）班全体学生家长 C.高一年级开设的所有课程 D.高一（12）班个子高于的学生 例2.已知，，为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则下列判断正确的是（    ） A. B. C. D. 练习： 1.下列四组集合中表示同一集合的为（    ） A.， B.， C.， D.， 2.设是有理数，集合，在下列集合中； （1）；（2）；（3）；（4）；与相同的集合有（    ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 题型2.集合的表示方法 例3.用列举法可将集合表示为（    ） A. B. C. D. 练习： 1.方程的解集为_________. 2.已知集合，则中元素的个数为（     ） A. B. C. D. 题型3.元素与集合间的关系 例4.已知集合，则下列结论错误的是（    ） A. B. C. D. 例5.若，且，则的取值范围为_______. 练习： 1.已知是由，，三个元素组成的集合，且，则实数为（　　） A. B. C. 或 D. ，，均可 2.下列五个写法：①；②；③；④；⑤，其中错误写法的个数为（    ） A. B. C. D. 3.已知集合，则有（    ） A. B. C. 有个子集 D. 4.若，则的值是（    ） A. B. C. D. 5.已知集合，，，则的值为（     ） A. B. C. D. 6.若，求的取值范围． 7.集合 ，若且，则的取值范围为（     ） A. B. C. D. 8.已知集合，若，则实数的取值范围为（     ） A. B. C. D. 9.（多选）已知集合，若，则实数的可能取值为（     ） A. B. C. D. 10.（多选）若，则实数的可能取值为（    ） A. B. C. D. 题型4.集合与集合间的关系 例6.若集合，，则集合，之间的关系表示最准确的为（    ） A. B. C. D.与互不包含 例7.已知集合，，，则实数的值为（     ） A. B. C. D. 练习： 1.设集合，，. （1）讨论集合与的关系； （2）若，且，求实数的值. 2.已知集合，，若，则的取值集合为（    ） A. B. C. D. 3.已知集合，集合，则（     ） A. B. C. D. 4.设，，，若，则______． 5.含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为_______. 6.已知集合，.若，求实数的取值范围. 7.设集合，，且． （1）若，求实数，的值； （2）若，且，求实数的值． 8.设集合，． （1）用列举法表示集合； （2）若，求实数的值． 9.集合 ，若且，则的取值范围为（     ） A. B. C. D. 10.已知集合，若，则实数的取值范围为（     ） A. B. C. D. 11.（多选）已知集合，若，则实数的可能取值为（     ） A. B. C. D. 12.（多选）若，则实数的可能取值为（     ） A. B. C. D. 13.（多选）已知集合，，若，则实数的值可以是（    ） A. B. C. D. 14.（多选）已知集合，，若，则实数的取值可以是（     ） A. B. C. D. 15.已知，. （1）若是的子集，求实数的值； （2）若是的子集，求实数的取值范围. 题型5.子集真子集个数问题 例8.集合的真子集的个数是（    ） A. B. C. D. 例9.集合至多有个真子集，则的取值范围是（     ） A. B. C. D.或 练习： 1.已知集合，，则集合的真子集个数为（     ） A. B. C. D. 2.已知集合满足，那么这样的集合的个数为（    ） A. B. C. D. 3.若集合有且仅有两个子集，则实数的值为（    ） A. , B. C. D. ,, 4.（多选）已知集合有两个子集，那么的取值可以是（     ） A. B. C. D. 5.若集合，若的真子集个数是个，则的范围是______. 题型6.集合的运算 例10.已知集合，集合，则（    ） A. B. C. D. 例11.设集合且，则的取值集合为（     ） A. B. C. D. 练习： 1.设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2.集合，，则的元素个数为（     ） A. B. C. D. 3.已知集合，，且，则的值为（     ） A. B. 或 C. 或或 D. 或或或 4.已知集合，，，则的可能取值的个数为（     ） A. B. C. D. 5.已知全集，集合，且，则______． 6.已知集合，集合，若，则（     ） A. B. C. D. 7.（多选）已知集合，，若使成立的实数的取值集合为，则的一个真子集可以是（    ） A. B. C. D. 8.设为实数，集合，. （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围. 9.已知非空集合，. （1）当时，求，； （2）求能使成立的的取值范围. 10.已知集合，． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 11.已知集合，集合. （1）求，； （2）设，若，求实数的取值范围. 12.若集合有且仅有两个子集，则实数的值为（    ） A. ， B. C. D. ，， 13.（多选）已知集合有两个子集，那么的取值可以是（    ） A. B. C. D. 14.若集合，若的真子集个数是个，则的范围是______. 15.设集合，，若，则实数的取值范围是（     ） A. B. C. D. 16.已知集合，，，则实数的值为（     ） A. B. C. D. 17.设集合，集合，若，则______. 18.设集合，，且，则的取值组成的集合是_______. 19.已知集合，. （1）若，，求实数的取值范围； （2）若，且，求实数的取值范围. 20.设集合，，. （1）若，求实数的值； （2）若且，求实数的值. 题型7.韦恩图的应用 例12.某学校举办了第届运动会，期间有教职工的趣味活动“你追我赶”和“携手共进”．数学组教师除人出差外，其余都参与活动，其中有人参加了“你追我赶”， 人参加了“携手共进”，同时参加两个项目的人数不少于人，则数学组教师人数至多为（     ） A. B. C. D. 例13.已知集合，集合，则Venn图中阴影部分表示的集合中元素的个数为______． 练习： 1.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有的学生喜欢足球或游泳，的学生喜欢足球，的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（     ） A. B. C. D. 2.若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（     ）    A. B. C. D. 题型8.新定义题型 例14.当一个非空数集满足：如果，，则，，，且时，时，我们称就是一个数域以下关于数域的说法：①是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则；③集合是一个数域．④有理数集是一个数域其中正确的选项是（    ） A.①②④ B. ②③④ C.①④ D.①② 练习： 1.定义，若，，则中元素个数为（     ） A. B. C. D. 2.定义差集，已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 3.已知集合，对于它的任一非空子集，可以将中的每一个元素都乘再求和，例如，则可求得和为.对所有非空子集，这些和的总和为（    ） A. B. C. D. 4 学科网（北京）股份有限公司 $