培优01 集合的概念及基本关系6大常考题型（专项训练）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦集合概念与关系，以基础题型为载体，分层覆盖核心考点，构建从概念到参数应用的逻辑链条，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集合的概念-题型1|4题|元素与集合关系判断|概念生成：元素属性→集合确定性| |集合的概念-题型2|4题|表示方法辨析（列举/描述法）|表示方法→集合本质属性理解| |集合的概念-题型3|5题|元素参数求解（高频）|概念应用→参数分类讨论| |集合间关系-题型1|5题|子集/真子集计数|关系构建：子集定义→个数计算| |集合间关系-题型2|5题|包含关系判断|关系应用：集合特征→包含关系推理| |集合间关系-题型3|7题|关系参数求解（高频）|综合应用：关系性质→参数范围确定|

专题01 集合的概念及其集合间的基本关系 常考题型·精准突破 考点一 集合的概念 题型1 集合与元素的基本关系 题型2 集合的表示方法（重） 题型3 集合与元素中的参数问题（高频） 考点二 集合间的基本关系 题型1 子集和真子集（重） 题型2 集合间的包含关系 题型3 集合间的基本关系中的参数问题（高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 集合的概念 ◆题型1集合与元素的基本关系 1．下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 3．设集合，（偶数集），，（奇数集），，若，则（    ） A． B． C． D．均不属于 4．非空集合具有如下性质：①若，则；②若，则；由此可知：下列判断中，错误的是（ ） A． B． C．若，则 D．若，则 5．不小于2的所有整数构成的集合可表示为（    ） A． B． C． D． ◆题型2 集合的表示方法 1．方程组的解集为（    ） A． B． C． D． 2．集合的列举法表示为（    ） A． B． C． D． 3．下列与集合表示同一集合的是（   ） A． B． C． D． 4．若集合，则集合A的元素个数为（    ） A．4042 B．4044 C．20212 D．20222 题型3 集合与元素中的参数问题 1．已知集合，且，则（   ） A． B．或 C． D． 2．含有三个实数的集合表示为，也可表示为，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 3．若集合中恰有6个整数元素，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知集合，用表示非空集合A中的元素个数，定义．若，则实数的所有可能取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 5．设，其中，，，是1，2，3，4的一个组合，若下列四个关系：①；②；③；④有且只有一个是错误的，则满足条件的的最大值与最小值的差为（      ） A． B． C． D． 考点二 集合的基本关系 ◆题型1子集和真子集 1．若，则A的子集个数为（    ） A．3 B．6 C．7 D．8 2．若，则的真子集个数为（     ） A．8 B．7 C．6 D．3 3．若对任意，都有，则称非空集合为“和谐集”，已知集合，则集合的子集中“和谐集”的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．已知集合，，则满足条件且CB的集合的个数为（    ） A．4 B．3 C．8 D．7 5．含有有限个元素的数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如的“交替和”是；而的交替和是，则集合的所有非空子集的“交替和”的总和为（    ） A． B． C． D． ◆题型2集合间的包含关系 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则M与N的关系是（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，则（    ） A． B． C． D．⫋ 4．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，集合，集合，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． ◆题型3集合间的基本关系中的参数问题 1．已知集合，，若，则实数（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 2．已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．设集合，若，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知集合，，若，则的值为（   ） A．或4 B．或1 C．4 D． 5．已知集合，若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 6．已知集合. (1)若，求； (2)若，求的取值集合. 7．已知集合，. (1)若是的真子集，求的取值范围； (2)若是的子集，求的取值范围； (3)若，求的值. 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．下列各对象可以组成集合的是（ ） A．与1非常接近的全体实数 B．中国著名的数学家 C．高一年级视力比较好的同学 D．某学校2026～2027学年度第一学期全体高一学生 2．已知，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 3．已知集合，若且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．下列表示集合和关系的图中正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知实数a，b，设，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 6．已知集合，，则满足B的集合C的个数为（   ） A．4 B．7 C．8 D．15 二、多选题 7．下列四个命题中正确的是（   ） A．由所确定的实数集合为 B．同时满足的整数解的集合为 C．与集合相等的是 D．中含有四个元素 0 1 2 3 4 5 8 1 2 3 6 2 1 0 8．已知为实数，若集合，且，则的值可以是（　　） A． B． C． D． 三、填空题 9．已知，，若集合，则的值为_______． 10．满足的集合A共有______个 11．设集合 ，且 ，则实数的取值集合为_____. 四、解答题 12．已知集合． (1)若，求实数的取值集合． (2)若的子集有两个，求实数的取值集合． 13．已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 14．设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 15．设是由若干正整数组成的集合，且存在3个不同的元素，使得，则称为“等差集”. (1)若集合，，且是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的； (2)若集合是“等差集”，求的值. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合的概念及其集合间的基本关系 常考题型·精准突破 考点一 集合的概念 题型1 集合与元素的基本关系 题型2 集合的表示方法（重） 题型3 集合与元素中的参数问题（高频） 考点二 集合间的基本关系 题型1 子集和真子集（重） 题型2 集合间的包含关系 题型3 集合间的基本关系中的参数问题（高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 集合的概念 ◆题型1集合与元素的基本关系 1．下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不是整数；0属于自然数；是有理数；是实数，综上只有C正确. 2．已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，， 则， 当只存在一个正数时，不妨设，则， 则， 当只存在一个负数时，不妨设，则， 则， 当时，， 则， 所以. ∴，A选项错误；，B选项错误；，C选项错误；，D选项正确. 3．设集合，（偶数集），，（奇数集），，若，则（    ） A． B． C． D．均不属于 【答案】B 【详解】由题意可知：为偶数为奇数，偶数+奇数=奇数， 故属于奇数集，即. 4．非空集合具有如下性质：①若，则；②若，则；由此可知：下列判断中，错误的是（ ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据题意，结合题设中集合的性质，结合特例和性质的运算方法，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，假设，令，则， 令，则；令，不存在，不符合题意， 所以，所以A正确； 对于B，由题意知：，则， 所以，所以B正确； 对于C，因为，所以， 因为，所以，所以C正确； 对于D，由，则，所以D错误. 故选：D. 5．不小于2的所有整数构成的集合可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】不小于2的所有整数构成的集合可表示为. ◆题型2 集合的表示方法 1．方程组的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，解得，方程组解集为点集，即为. 2．集合的列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据列举法的知识确定正确答案. 【详解】找条件为大于1且小于等于5的自然数，则符合条件的元素为， 所以列举法表示为. 3．下列与集合表示同一集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解方程，列举法表示集合，即可求解. 【详解】集合. 故选：C. 4．若集合，则集合A的元素个数为（    ） A．4042 B．4044 C．20212 D．20222 【答案】B 【分析】将条件变形为，然后讨论n为偶数和奇数两种情况，进而通过列举法求得答案. 【详解】由题意，. 若n为偶数，为奇数， 若， 以此类推，，共2022个n，每个n对应一个； 同理，若n为奇数，为偶数，此时，共2022个n，每个n对应一个. 于是，共有4044个n，每一个n对应一个m满足题意. 故选：B. 题型3 集合与元素中的参数问题 1．已知集合，且，则（   ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】由直接分两种情况：或，可得所求值，再验证集合中的元素是否有重复，进而可得所求值. 【详解】因为集合，且， 当时，即，解得或， 若时，，，集合的元素出现重复，故舍去； 若时，，符合题意. 当时，，此时，集合的元素出现重复，故舍去. 综上所述，. 2．含有三个实数的集合表示为，也可表示为，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据集合相等以及集合元素的互异性列出等式得出的值，再计算即可. 【详解】由， 则，且，即， 此时，结合集合中的元素互异可得，即， 此时集合为，也可表示为，满足题意， 所以. 故选：B 3．若集合中恰有6个整数元素，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意分析可得6个整数元素为2，3，4，5，6，7，列不等式求解即可. 【详解】若集合中恰有6个整数元素， 则，解得， 此时，， 所以集合中最小整数元素为，最大整数元素可以为或或， 因为集合中恰有6个整数元素，所以只能为2，3，4，5，6，7， 即，解得， 所以的取值范围为. 4．已知集合，用表示非空集合A中的元素个数，定义．若，则实数的所有可能取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据A中元素个数及新定义得或，分类讨论，根据元素个数研究方程的根即可求解a的取值集合． 【详解】由题意得，，所以，从而或． 方程的根由的根共同构成． 当时， 方程可化为， 因为恒成立，所以方程的根为，此时，满足条件． 当时， 方程的根为，方程的根为，方程的判别式， 当时，方程只有一个实根， 则必有，解得， 此时方程的判别式，方程无实根， 此时，满足条件． 当时，方程有3个不等的实根， 上面已经考虑了的情形，以下只需考虑的情形，此时， 所以方程有两个相等的实根且不为1和， 则，解得， 当时，方程即有两个相等的实根1， 此时，不符合题意； 当时，方程即有两个相等的实根， 此时方程有3个不等的实根：， 此时，符合题意， 综上，a的所有可能取值为，即所求集合为． 故选：D． 5．设，其中，，，是1，2，3，4的一个组合，若下列四个关系：①；②；③；④有且只有一个是错误的，则满足条件的的最大值与最小值的差为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因为只有一个错误，故分类讨论，若①错，有两种情况，若②错则互相矛盾，若③错，有三种情况，若④错，有一种情况，分别求解即可得结果． 【详解】若①错，则，，， 有两种情况：，，，， 或，，，，； 若②错，则，，互相矛盾，故②对； 若③错，则，，， 有三种情况：，，，，； ，，，，； ，，，，； 若④错，则，，， 只有一种情况：，，，， 所以 故选：C 考点二 集合的基本关系 ◆题型1子集和真子集 1．若，则A的子集个数为（    ） A．3 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据集合子集的性质可得 【详解】因为集合共含有个元素， 因此A的子集个数为 2．若，则的真子集个数为（     ） A．8 B．7 C．6 D．3 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以的真子集个数为个 3．若对任意，都有，则称非空集合为“和谐集”，已知集合，则集合的子集中“和谐集”的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据集合的新定义及元素与集合的关系判断求解. 【详解】由且可得： 若，则， 所以“和谐集”不含元素； 若，不存在，所以“和谐集”不含元素； 若，则，要求也属于该集合，产生矛盾， 所以“和谐集”不含元素； 若，则， 若，则， 若，则； 所以集合的子集中“和谐集”只有. 故选：B． 4．已知集合，，则满足条件且CB的集合的个数为（    ） A．4 B．3 C．8 D．7 【答案】D 【分析】根据集合的包含关系确定集合的元素，再根据集合的元素个数分类判断可得. 【详解】由，再由，得，. 由CB，根据集合C中的元素个数分3类： ①集合C中有2个元素时，集合C只能是，共1个； ②集合C中有3个元素时，集合C可以是，，，共3个； ③集合C中有4个元素时，集合C可以是，，，共3个； 所以满足且CB的集合的个数为个. 故选：D. 5．含有有限个元素的数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如的“交替和”是；而的交替和是，则集合的所有非空子集的“交替和”的总和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将集合的子集两两配对：使且，从而有集合与集合的交替和之和为4，再利用符合条件的集合对有个，即可求解. 【详解】由题知， 将集合的子集两两配对：使且，则符合条件的集合对有个， 又由题设定义有集合与集合的交替和之和为4， 所以交替和的总和为. 故选：A. ◆题型2集合间的包含关系 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助集合间基本关系判断即可得. 【详解】因为，所以． 2．已知集合，，则M与N的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知集合， 因为任何数的平方都大于等于0，要使成立，则必须满足， 即，，所以集合，集合M中的元素是一个点. 集合，集合N中的元素是两个数0和1. 所以集合M与集合N没有公共元素，即. 3．已知集合，则（    ） A． B． C． D．⫋ 【答案】C 【分析】根据集合的描述法将集合化成列举法，根据集合中的元素确定集合的关系. 【详解】， ， 则，故. 故选：C. 4．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为集合， ， 所以. 5．在平面直角坐标系中，集合，集合，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出集合中方程组的解集，然后根据集合之间的关系进行判断即可. 【详解】因为集合，集合， 因为是元素与集合之间的关系，而均为点集，所以A错误； 因为集合包含，所以B正确，C,D错误. 故选：B. ◆题型3集合间的基本关系中的参数问题 1．已知集合，，若，则实数（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 【答案】A 【详解】由，得或，解得或． 当时，，，，符合题意， 当时，A不满足元素互异性，不符合题意，所以. 2．已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，分、，结合进行求解． 【详解】当时，，符合； 当时，，，又， ， 综上，． 3．设集合，若，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合间的包含关系，判断端点大小关系即可. 【详解】集合，因为，所以. 4．已知集合，，若，则的值为（   ） A．或4 B．或1 C．4 D． 【答案】C 【详解】因为，， 且，所以，解得或. 当时，，不满足集合元素的互异性，故舍去； 当时，，，符合题意. 5．已知集合，若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】先解出，由可知，进而解出即可. 【详解】中最多只有2个元素， 又因为，所以，所以. 故选：C. 6．已知集合. (1)若，求； (2)若，求的取值集合. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两个集合相等得出一元二次方程有两个实数根代入联立方程组解出检验即可； （2）由，分与讨论分析即可. 【详解】（1）若，则和是方程的两个实数根， 所以， 解得，代入中得：， 解得：或，满足， 所以. （2）当时，，满足， 当且时，或， 当时，，                         当时，，                          故的取值构成的集合为. 7．已知集合，. (1)若是的真子集，求的取值范围； (2)若是的子集，求的取值范围； (3)若，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由真子集的定义，确定的取值范围； （2）由子集的定义，确定的取值范围； （3）由集合相等求出的值. 【详解】（1）   若是的真子集，则由图知，， 故的取值范围为. （2）   若是的子集，已知，则， 则由图知，， 故的取值范围为. （3）若，则. 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．下列各对象可以组成集合的是（ ） A．与1非常接近的全体实数 B．中国著名的数学家 C．高一年级视力比较好的同学 D．某学校2026～2027学年度第一学期全体高一学生 【答案】D 【详解】对于A，“非常接近”不具有确定性，根据元素的确定性可知A错误. 对于B，“著名”不具有确定性，根据元素的确定性可知B错误. 对于C，“视力比较好”不具有确定性，根据元素的确定性可知C错误. 对于D，根据元素的确定性可知D正确， 2．已知，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系及集合中元素的互异性，分情况讨论实数的值，排除不符合条件的取值. 【详解】因为元素，所以有或两种情况， 当时，集合中元素，不满足集合元素的互异性； 当时，即，当时，不符合题意； 当时，集合为，满足，符合条件. 3．已知集合，若且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为且， 则得(I)或(II)， 由(I)解得，由(II)解得， 故实数的取值范围是. 4．下列表示集合和关系的图中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为集合，， 所以集合和关系的图为A. 5．已知实数a，b，设，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】，则集合中元素都在集合中， 若，解得，则集合有两个2，不符合集合中元素的互异性，舍去； 若，方程无解； 由题意知，则必有， 此时，若，则，方程无实数根， ，则或， 当时，，此时； 当时，，此时； 综上可得，． 6．已知集合，，则满足B的集合C的个数为（   ） A．4 B．7 C．8 D．15 【答案】B 【分析】方法一：根据集合关系写出所有满足题意的集合C即可得答案. 方法二：转化为求集合的任意一个真子集的个数求解即可. 【详解】方法一：因为集合，， 所以满足条件的集合C有：，，，，，，，共7个． 方法二：集合中有2个元素，集合中有5个元素， 故满足条件的集合C可以是集合的任意一个真子集与集合A的并集， 因为集合的真子集的个数为， 所以满足条件的集合C有 二、多选题 7．下列四个命题中正确的是（   ） A．由所确定的实数集合为 B．同时满足的整数解的集合为 C．与集合相等的是 D．中含有四个元素 【答案】ABD 【分析】对于A选项:对的符号分类讨论即可；对于B选项：解不等式组并结合整数解的概念即可；对于C选项：对讨论验证相应的是否是自然是即可；对于D选项：结合的因数并对讨论即可. 【详解】对于A，讨论的符号并列出以下表格： 由上表可知，的所有可能的值组成集合，故A正确. 对于B，选项:由，， 所以解不等式组得，其整数解所组成的集合为，故B正确. 对于C，若 满足且，所以，所有只需讨论时的情形，由此列出以下表格： 0 1 2 3 4 5 8 由表可知集合可以化简为，故C不正确. 对于D选项：若满足，则是6的正因数，又6的正因数有1，2，3，6，由此可列出以下表格： 1 2 3 6 2 1 0 因此满足上述条件的的可能取值的个数为4个，即中含有4个元素，故D正确. 故选：ABD. 8．已知为实数，若集合，且，则的值可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】先解方程表示出集合，然后根据和进行分类讨论即可，由此可求结果. 【详解】由解得或，则， 当时，此时，满足； 当时，此时，则， 若，则或，所以或； 综上所述，的可取值为， 故选：ABC. 三、填空题 9．已知，，若集合，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据集合相等的定义判断的取值进行计算. 【详解】因为，所以，， 此时两个集合即，所以，解得或， 若，则两个集合都是不满足互异性， 所以此时两个集合都是，满足条件. 所以， 故答案为：. 10．满足的集合A共有______个 【答案】63 【详解】问题等价于求集合的真子集个数，故所求为． 11．设集合 ，且 ，则实数的取值集合为_____. 【答案】 【分析】化简集合，分类讨论，根据求解. 【详解】， 因为， 当，即时，， 满足； 当，即时，由可得或， 所以，由 ， 所以或，解得或. 综上所述，实数的取值集合为. 四、解答题 12．已知集合． (1)若，求实数的取值集合． (2)若的子集有两个，求实数的取值集合． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由可得，分和进行讨论； （2）由的子集有两个得出只含有一个元素，分和进行讨论. 【详解】（1）若，则， 若，则，不符合题意， 若，则，解得， 所以实数的取值集合为. （2）若的子集有两个，则集合只含有一个元素， 若，则，符合题意； 若，，解得. 综上所述，实数的取值集合为. 13．已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用集合间的关系，计算参数范围即可； （2）利用集合间的关系，分类讨论计算参数范围即可 【详解】（1）当时，如图，此时． 则，即，因此的取值范围为． （2）当时，如图， 此时，解得，此时无解； 当时，由，解得． 综上可得：的取值范围为． 14．设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由，对集合进行分类讨论：①若，②若为，，③若，由此求得的值即可. （2）先化简集合，，再由 ，能求得的值. 【详解】（1）集合，， 由题意， ①若，则，则； ②若或，则 解得：，将代入方程得：得：， 即符合要求； ③若，则，即 即的两根分别为、0， 则有且，则. 综上所述，实数的取值范围是或. （2），， 则，即 ， 即0和是方程的两根， ，， 解得：或（舍去）， 故. 15．设是由若干正整数组成的集合，且存在3个不同的元素，使得，则称为“等差集”. (1)若集合，，且是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的； (2)若集合是“等差集”，求的值. 【答案】(1)或或 (2)2 【分析】（1）首先根据，再结合“等差集”的定义，确定集合有3个元素或4个元素，结合新定义，即可列举； （2）由“等差集”的定义可知，得，即可列式求解. 【详解】（1）因为集合，，存在3个不同的元素，使得， 所以集合中必然同时含有元素或， 则或或 （2）因为集合是“等差集”， 所以或或， 计算可得或或或或， 又因为集合的元素为正整数，所以为正整数，所以， 经检验，当时，集合，满足题意，故. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $