2.3.1有理数的乘方（第1课时有理数的乘方）课时同步练习- 2026‑2027学年人教版七年级数学上册

**基本信息** 围绕有理数的乘方，通过基础概念辨析、简单应用到综合拓展的三阶分层设计，覆盖从单一知识点到跨情境应用的巩固路径，培养运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|乘方概念与基本运算|选择1-4辨析底数指数意义，填空11明确概念要素，解答17强化符号运算| |进阶层|简单应用与辨析|选择5（细菌分裂）、8（庄子问题），填空15（截取剩余），解答19（拉面拉扣）结合生活情境| |提高层|综合拓展与规律探究|选择6（五进制转换）、10（个位数字规律），填空16（错位相减），解答22-23（新定义、折纸问题）渗透推理与建模|

第二章 有 理 数 的 运 算 2.3.1 有理数的乘方 第1课时 有理数的乘方 一、选择题 1．下列说法正确的是（   ） A．的底数是 B．表示3个相加 C．与意义相同 D．表示个相乘的积的相反数 2．下列选项中，数值相等的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．有下列各数：①；②；③；④，其中结果等于的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 4．下列说法中，正确的是（    ） A．当为偶数时，和相等 B．和一定互为相反数 C．当为奇数时，和相等 D．和一定不相等 5．如图，某种细菌在适宜环境下，细胞每过30分钟便会由1个分裂成2个，经过4小时，1个细胞能分裂成（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 6．二进制数转换为十进制数是，即，则五进制数202转换为十进制数为（    ） A．5 B．20 C．52 D．1010 7．若，且，则的值是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 8．《庄子·天下篇》讲到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”意思是说一尺长的木棍，每天截取它的一半，千秋万代也截不完．一天之后“一尺之棰”剩尺，两天之后剩尺，那么五天之后，这个“一尺之棰”还剩（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 9．年第十四届国际数学教育大会在上海召开，本次会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的卦“”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以作为进位基数的数字系统，有共个基本数字． 八进制数换算成十进制数是，表示的举办年份． 某同学设计了一个进制数， 换算成十进制数是， 则的值为（      ） A． B． C． D． 10．生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n来表示，即∶21=2， 22=4， 23=8， 24=16，25=32…，请你推算21+22+23+24+…+22026的个位数字是（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 二、填空题 11．（1）在中，底数是 ，指数 ． （2）在中，底数是 ，指数是 ． 12．下列各数：，，，，中，负数的个数是 ． 13．设、都表示有理数，规定一种新运算“△”：当时，；时，．则______． 14．已知与互为相反数，是最大的负整数，的倒数是本身，的绝对值是1，求________． 15．《庄子》中记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1的木棍，第5天截取后木棍剩余的长度是___________． 16．阅读材料：求的值． 解：设，记为①式，将①式两边同时乘以2得： ，记为②式， 将②式减去①式，得即 即 仿照此法计算（其中为正整数）的结果为 ． 三、解答题 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．已知下列有理数：，，0，，． (1)画出数轴，在数轴上标出表示这些数的点； (2)用“＜”号把这些数连接起来． 19．手工拉面是我国的传统面食，制作时，拉面师傅将一团和好的面，揉搓成1根长条后，手握两端用力拉长，然后将长条对折，再拉长，再对折（每次对折称为一扣），如此反复操作，连续拉扣若干次后，便成了许多细细的面条．你能算出拉扣7次后共有多少根面条？ 20．已知，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 21．根据乘方的意义及乘法运算律可知： ； ； (1)根据以上材料可知： ___________， ___________（n为正整数）； (2)根据上面得到的结论，计算： ___________． 22．数学兴趣小组在合作学习过程中获得知识的同时，也提出新的问题．例如：根据，知道a和n的值，可以求b的值，如果知道a和b的值，可以求n的值吗？他们对此进行了研究，并规定：若，那么，例如：若，则．根据他们的研究结果，解答下列各题： (1)填空：_________，________； (2)计算：； (3)若，求的值． 23．【再现】：你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如图： (1)这样捏合到第五次后，拉面师傅将面放入锅中煮好后（两头断裂啦）盛入碗中，此时碗中有 根面条． (2)据报道，在南京的一个美食节上，一个师傅用面粉拉出了约万根面条，请问这个师傅拉出约万根面条大概需要拉 次．（已知） (3)若一张纸片毫米的厚度，我们住的住宅楼的高度约为米，那么对折次后约有 层楼房高？（结果取整数，参考数据：） (4)将一张长方形的纸对折，可得到一条折痕，继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到条折痕，那么对折次可以得到 条折痕．如果对折次，可以得到 条折痕． (5)按照如图方式对折次后，用剪子在中间将所有纸片剪断，请问，总共有 张纸片． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 有 理 数 的 运 算 2.3.1 有理数的乘方 第1课时 有理数的乘方 一、选择题 1．下列说法正确的是（   ） A．的底数是 B．表示3个相加 C．与意义相同 D．表示个相乘的积的相反数 【答案】D 【详解】解：的底数是，负号不属于底数部分，故A错误． 表示个相乘，不是相加，故B错误． 表示个相乘的相反数，表示个相乘，二者意义不同，故C错误． 是的相反数，表示个相乘的积，故表示个相乘的积的相反数，D正确． 2．下列选项中，数值相等的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查了乘方符号的规律，根据负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，逐项进行比较即可． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C． 3．有下列各数：①；②；③；④，其中结果等于的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据有理数的乘方，以及相反数的求法，逐项判定即可． 【详解】解：①， ②， ③， ④， ∴其中结果等于的是：①②③④． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了有理数的乘方，以及相反数的求法，求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“”． 4．下列说法中，正确的是（    ） A．当为偶数时，和相等 B．和一定互为相反数 C．当为奇数时，和相等 D．和一定不相等 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方，难点在于分n是偶数和奇数讨论.比较表达式和在不同奇偶性指数下的结果，判断各选项的正确性. 【详解】解：A、当n为偶数时，，而为的相反数，故A不符合题意； B、当n为奇数时，，此时与相等，而非互为相反数，故B不符合题意； C、当n为奇数时，，故C符合题意； D、当n为奇数时，与相等，故D不符合题意. 故选：C. 5．如图，某种细菌在适宜环境下，细胞每过30分钟便会由1个分裂成2个，经过4小时，1个细胞能分裂成（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据每过30分钟便会由1个分裂成2个，由4小时求出分裂的次数，即可确定出分裂的个数． 【详解】解：4小时求出分裂的次数为（次）， 经过30分钟，这种细胞由1个能分裂成个 经过60分钟，这种细胞由1个能分裂成个， ...， ∴经过4小时，这种细胞由1个能分裂成个． 6．二进制数转换为十进制数是，即，则五进制数202转换为十进制数为（    ） A．5 B．20 C．52 D．1010 【答案】C 【分析】本题考查的是不同进制数转换为十进制数的方法，解题关键是按照进制的位权展开式进行计算． 将五进制数转换为十进制数，需按权展开相加，各位权为5的幂次． 【详解】五进制数 202 转换为十进制数，是按位权展开：， 故选C． 7．若，且，则的值是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查的是有理数的运算与绝对值的性质，结合不等式条件确定、的取值是解题的关键．根据先确定、的所有可能值，再利用的条件筛选出符合要求的组合，进而求出的值． 【详解】解：， 或， ， ， 或， 又， 当时，不满足，满足， ， 当时，不满足，满足， ， 的值为或． 故选：． 8．《庄子·天下篇》讲到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”意思是说一尺长的木棍，每天截取它的一半，千秋万代也截不完．一天之后“一尺之棰”剩尺，两天之后剩尺，那么五天之后，这个“一尺之棰”还剩（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，弄懂题意并掌握乘方的运算法则是解答的关键． 【详解】解：根据题意，第一天后剩尺， 两天之后剩（尺）， 第三天后剩（尺）， … 第n天后剩（尺）， 第五天后这个“一尺之棰”还剩（尺）． 故选：D． 9．年第十四届国际数学教育大会在上海召开，本次会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的卦“”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以作为进位基数的数字系统，有共个基本数字． 八进制数换算成十进制数是，表示的举办年份． 某同学设计了一个进制数， 换算成十进制数是， 则的值为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数乘方逆运算的应用，根据题意得，即可求得的值．熟练掌握该运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵一个进制数， 换算成十进制数是， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（负值不符合题意，舍去）， ∴的值为． 故选：D． 10．生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n来表示，即∶21=2， 22=4， 23=8， 24=16，25=32…，请你推算21+22+23+24+…+22026的个位数字是（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了数字变化规律，乘方， 通过观察的个位数字循环规律（每4个为一循环：2,4,8,6），计算循环组的个数和剩余项，求和后得到个位数字． 【详解】解：∵的个位数字每4个循环一次：2,4,8,6，且每组个位和为20（个位0）， 从到共2026项， 2026 ÷ 4 = 506余2， ∴前2024项（506组）个位和为0， 剩余两项和： ∵余1，个位为2； 余 2，个位为4， ∴剩余两项个位和为， 故总和个位数字为6． 故选：B． 二、填空题 11．（1）在中，底数是 ，指数 ． （2）在中，底数是 ，指数是 ． 【答案】 3 5 7 【分析】本题主要考查了乘方的定义，根据乘方的定义，在中，是底数，是指数． （1）对于，负号是运算符号，底数是 3； （2）对于，括号内整体是底数． 【详解】解：（1）在中，乘方部分是，因此底数是3，指数是5； 故答案为：3；5 （2）在 中，括号表示底数是，指数是7， 故答案为：；7 12．下列各数：，，，，中，负数的个数是 ． 【答案】3 【分析】先利用有理数的乘方运算、绝对值的性质化简各数，再根据负数的定义判断其中负数的个数． 【详解】解：，是负数； ，是正数； ，是负数； ，是正数； ，是负数． 综上，负数共有3个． 13．设、都表示有理数，规定一种新运算“△”：当时，；时，．则______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 14．已知与互为相反数，是最大的负整数，的倒数是本身，的绝对值是1，求________． 【答案】0或 【分析】本题考查相反数、最大负整数、倒数性质及绝对值的定义，先确定各字母的值，再代入表达式计算即可． 【详解】解：由题意得，，，，则， ， 当时，原式； 当时，原式， 故答案为0或． 15．《庄子》中记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1的木棍，第5天截取后木棍剩余的长度是___________． 【答案】 【分析】据题意，每天截取后剩余长度是前一天剩余长度的一半，逐天计算即可得出结果． 【详解】解：根据题意， 第1天截取后剩余长度为：， 第2天截取后剩余长度为：， 第3天截取后剩余长度为：， 第4天截取后剩余长度为：， 第5天截取后剩余长度为：， 故第5天截取后木棍剩余长度为． 16．阅读材料：求的值． 解：设，记为①式，将①式两边同时乘以2得： ，记为②式， 将②式减去①式，得即 即 仿照此法计算（其中为正整数）的结果为 ． 【答案】. 【分析】本题考查了有理数乘方的应用，读懂材料是解题的关键．仿照所给的解答方式进行求解即可. 【详解】设，将等式两边同时乘以3得： ， 将下式减去上式得， 即， 即， 故答案为：． 三、解答题 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)8 【分析】（1）根据有理数的乘方计算即可； （2）根据负数的奇数次幂是负数，确定符号，再根据有理数的乘方法则求解即可； （3）先确定结果的符号为负，再计算即可； （4）根据，再计算立方即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 18．已知下列有理数：，，0，，． (1)画出数轴，在数轴上标出表示这些数的点； (2)用“＜”号把这些数连接起来． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了有理数的大小比较和数轴的应用，关键是求出各个数的大小和在数轴上把各个数表示出来，注意：在数轴上右边的数总比左边的数大． （1）先根据多重符号化简、绝对值化简、乘方运算将式子简化，再在数轴上把各个数表示出来； （2）根据数轴上右边的数总比左边的数大比较即可． 【详解】（1）解：，，，如图所示． （2）由数轴可得：． 19．手工拉面是我国的传统面食，制作时，拉面师傅将一团和好的面，揉搓成1根长条后，手握两端用力拉长，然后将长条对折，再拉长，再对折（每次对折称为一扣），如此反复操作，连续拉扣若干次后，便成了许多细细的面条．你能算出拉扣7次后共有多少根面条？ 【答案】 拉扣7次后共有128根面条 【分析】每次拉扣后，面条根数变为拉扣前的2倍，可推得拉扣次后面条总根数为，代入计算即可得到最终结果. 【详解】解：根据题意可得 初始有1根面条， 第1次拉扣后面条根数是， 第2次拉扣后面条根数是， 第3次拉扣后面条根数是， …… 故第7次拉扣后面条根数是. 答：拉扣7次后共有128根面条. 20．已知，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的乘方，代数式求值． （1）先根据已知条件求出、的值，进而代入计算即可； （2）先根据已知条件求出、的值，进而代入计算即可． 【详解】（1）∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴或； （2）∵，， ∴，， ∵， ∴，或，， ∴或． 21．根据乘方的意义及乘法运算律可知： ； ； (1)根据以上材料可知： ___________， ___________（n为正整数）； (2)根据上面得到的结论，计算： ___________． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了有理数的乘方、有理数乘方的逆运算等知识点，掌握有理数乘方的逆运算是解题的关键． （1）根据阅读材料中的运算过程变形即可解答； （2）根据阅读材料，结合根据（1）的结论进行计算即可． 【详解】（1）解：； ． 故答案为：，． （2）解：由（1）的结论可得：． 22．数学兴趣小组在合作学习过程中获得知识的同时，也提出新的问题．例如：根据，知道a和n的值，可以求b的值，如果知道a和b的值，可以求n的值吗？他们对此进行了研究，并规定：若，那么，例如：若，则．根据他们的研究结果，解答下列各题： (1)填空：_________，________； (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1)3；2； (2)； (3)2． 【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算： （1）根据结合新定义即可得到答案； （2）根据新定义分别求出和的值即可得到答案； （3）根据新定义分别求出a、b的值，进而求出的值，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 故答案为：3；2； （2）解：∵， ∴ ∴； （3）解：∵， ∴． ∴． 23．【再现】：你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如图： (1)这样捏合到第五次后，拉面师傅将面放入锅中煮好后（两头断裂啦）盛入碗中，此时碗中有 根面条． (2)据报道，在南京的一个美食节上，一个师傅用面粉拉出了约万根面条，请问这个师傅拉出约万根面条大概需要拉 次．（已知） (3)若一张纸片毫米的厚度，我们住的住宅楼的高度约为米，那么对折次后约有 层楼房高？（结果取整数，参考数据：） (4)将一张长方形的纸对折，可得到一条折痕，继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到条折痕，那么对折次可以得到 条折痕．如果对折次，可以得到 条折痕． (5)按照如图方式对折次后，用剪子在中间将所有纸片剪断，请问，总共有 张纸片． 【答案】(1) (2) (3) (4)， (5) 【分析】本题考查有理数的乘方运算，规律探究与归纳，归纳规律和通用公式是解题关键． （1）利用每次捏合后面条数量翻倍的规律，第次捏合后数量为，代入计算； （2）用乘方近似关系，推导，得出拉万根面条需要次； （3）先计算纸张对折次后的厚度，换算单位后除以楼房层高，取整数得到楼层数； （4）通过前几次对折的折痕数归纳出规律，代入求出对折次的折痕数； （5）分析对折次后剪断的纸片数与层数的关系，归纳出纸片数为． 【详解】（1）解：由图可知，第一次捏合，面条数为根，第二次捏合，面条数为根，第三次捏合，面条数为根， 可得，第次捏合，面条数为根， 则第五次捏合，面条数为根． 故答案为：． （2）解：已知第次捏合，面条数为根， 令， ∵ ∴， 即， ∴第次捏合时，面条数约为万根． 故答案为：． （3）解：根据题意可知，对折次后，纸张的厚度为毫米， 由，则纸张的厚度可表示毫米， 毫米可换算为米， 住宅楼的高度约为米，则对折后的纸相当于楼层数为层． 故答案为：． （4）解：对折一次，有条折痕， 对折两次，有条折痕， 对折三次，有条折痕， 可知对折次，有条折痕， 则第五次折叠，有条折痕． 故答案为：，． （5）解：第一次折叠有层纸片，用剪子在中间剪开会有张纸条，即张纸片； 第二次折叠有层纸片，用剪子在中间剪开会有张纸条，即张纸片； 第三次折叠有层纸片，用剪子在中间剪开会有张纸条，即张纸片； 可知第次折叠有层纸片，用剪子在中间剪开会有张纸片． 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $