2.3.1乘方 第2课时 有理数的混合运算 同步作业 2026-2027学年人教版数学七年级上册

**基本信息** 初中数学有理数混合运算同步练，分层梯度清晰，从基础运算到综合应用，培养运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|运算顺序、乘方概念、符号法则|选择填空为主，如乘方概念辨析题巩固抽象能力| |中档|混合运算、规律探究|含程序型运算、数列规律题，提升推理意识| |提升|实际应用、新定义拓展|结合温差/海拔问题，二十四点游戏培养应用意识与创新思维|

2.3.1乘方 第2课时 有理数的混合运算 同步作业 （总分：100 分 时间：45 分钟） 一、选择题（每小题 3 分，共 18 分） 1．【考点：有理数混合运算的基本顺序】 下列各式计算正确的是（ ） A． B． C． D． 2．【考点：乘除同级运算的变形与符号判断】 对于计算 ，下列变形过程错误的是（ ） A． B． C． D． 3．【考点：乘方的概念辨析】 小宇在计算 时，误算成 与 的乘积，所以求得的结果比正确答案（ ） A．小 2 B．大 2 C．小 14 D．大 14 4．【考点：绝对值与乘方的基础计算】 计算 的结果是（ ） A．5 B．13 C．−5 D．−13 5．【考点：有理数混合运算的实际应用（温差问题）】 某冷库的温度是 ，现有一批食品需要在 环境下冷藏。若冷库每小时匀速降温 ，则降到所需温度需要的时间是（ ） A．5 小时 B．6 小时 C．7 小时 D．8 小时 6．【考点：乘方的符号法则辨析】 下列各组数中，运算结果相等的是（ ） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 7．【考点：乘方与乘除的同级混合运算】 计算： 。 8．【考点：含括号的有理数基础混合运算】 计算： 。 9．【考点：数列规律探究（乘方应用）】 一列按规律排列的数：，，，，…，则第 10 个数是 。 10．【考点：程序型有理数混合运算】 按照 “输入 → 平方 → 乘以 2 → 减去 5 → 输出结果” 的计算程序，若输入 的值为 ，则输出的结果为 。 11．【考点：多组数组规律探究与综合运算】 观察下列三组数： 第一组：，，，，，…； 第二组：，，，，，…； 第三组：，，，，，…； 则第二组的第 7 个数是 ；第一组第 8 个数与第三组第 8 个数的和是 。 12．【考点：简单新定义运算】 定义运算 “”：，则 的值为 。 三、解答题（共 64 分） 13．【考点：有理数多级混合运算】 计算下列各题（每小题 4 分，共 12 分） （1）； （2）； （3）。 14．【考点：混合运算的错因分析与规范计算】 阅读下面的解题过程，回答问题（共 10 分） 计算： 某同学解答如下： （1）上面的解题过程中有两处错误：第一处是第 步，错误的原因是 ；第二处是第 步，错误的原因是 。（6 分） （2）请写出正确的解题过程。（4 分） 15．【考点：有理数混合运算的开放应用】 “二十四点” 游戏规则：将四个有理数（每个数必须用到且只能用一次，可添加括号）进行加减乘除四则运算，使其结果等于 24。现有四个有理数 ，，，，请你运用规则写出两道不同的算式，使其结果等于 24。（10 分，每道算式 5 分） 16．【考点：相反数、倒数、绝对值与乘方的综合求值】 已知 ， 互为负倒数（乘积为），， 互为相反数，。求式子 的值。（10 分） 17．【考点：有理数混合运算的实际应用（海拔气温问题）】 某登山队在海拔 200 米处测得气温为 。已知海拔每升高 100 米，气温下降 。 （1）求海拔 1000 米处的气温；（6 分） （2）若山顶的气温是 ，求这座山峰的海拔高度。（6 分） 18．【考点：新定义运算的规律探究与拓展】 定义 “” 运算，观察下列各式： ； ； ； ； ； ； 。 （1）归纳运算的法则：两数进行运算时，同号得 ，异号得 ，并把两数的 相加；特别地，0 和任何数进行运算，或任何数和 0 进行运算，等于这个数的 。（4 分） （2）计算：（3 分） （3）是否存在有理数 ，，使得 ？若存在，求出 ， 的值；若不存在，说明理由。（3 分） 答案与解析 一、选择题（每小题 3 分，共 18 分） 1．【答案】B 【解析】根据有理数混合运算 “先乘方、再乘除、后加减” 的顺序计算： 选项 A：，运算顺序正确但结果错误； 选项 B：，计算正确； 选项 C：，符号判断错误； 选项 D：，乘方符号与最终结果均错误。 【核心知识点】有理数混合运算的基本运算顺序 【易错点】混淆与的符号，违反运算顺序先算加减后算乘除。 2．【答案】C 【解析】原式先计算乘方：；乘除部分为同级运算，可交换顺序，。 选项 A：利用乘除同级运算的交换律变形，正确； 选项 B：根据 “负负得正” 化简乘除部分，正确； 选项 C：错误将计算为，且乘除部分符号处理错误； 选项 D：按从左到右顺序计算乘除，变形正确。 【核心知识点】乘除同级运算的性质、乘方的符号法则 【易错点】误将等同于计算，忽略底数的括号差异。 3．【答案】B 【解析】正确结果：； 误算结果：； 差值：，即误算结果比正确答案大 2。 【核心知识点】乘方的意义：表示个相乘 【易错点】混淆乘方运算与乘法运算的概念，将指数当成乘数。 4．【答案】B 【解析】先分别化简绝对值与计算乘方，再求和： ，，因此原式。 【核心知识点】绝对值的化简、有理数乘方运算 【易错点】负数的偶次乘方符号判断错误。 5．【答案】B 【解析】先计算需要降低的温度：； 再计算降温时间：小时。 【核心知识点】有理数减法与除法的实际应用 【易错点】温差计算时符号处理错误，误算为。 6．【答案】A 【解析】根据乘方的符号法则逐一计算： 选项 A：，，结果相等； 选项 B：，，结果互为相反数； 选项 C：，，结果不相等； 选项 D：，，结果不相等。 【核心知识点】乘方的符号法则：底数带括号与不带括号的区别 【易错点】对与的概念理解模糊。 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 7．【答案】 【解析】先算乘方，再按从左到右的顺序计算乘除： 【核心知识点】乘方运算、有理数乘除同级混合运算 【易错点】忽略的负号，误算为。 8．【答案】 【解析】先算括号内、乘方与乘法，再算除法，最后算加法： 【核心知识点】含小括号的有理数混合运算顺序 【易错点】运算顺序颠倒，先算加法后算除法。 9．【答案】 【解析】观察数列规律： 分子依次为，相邻两项差为 3，第项分子为； 分母依次为，第项分母为； 因此第个数为，代入得。 【核心知识点】数列规律探究、乘方的应用 【易错点】分子、分母的规律找错，或代入计算错误。 10．【答案】 【解析】根据程序步骤列出运算式：，代入： 。 【核心知识点】程序型有理数混合运算 【易错点】计算时符号错误，或运算顺序颠倒。 11．【答案】； 【解析】分析各组数的规律： 第一组：第个数为； 第二组：第个数为； 第三组：第个数为。 第二组第 7 个数：； 第一组第 8 个数：，第三组第 8 个数：，和为。 【核心知识点】多组数组规律探究、乘方的综合应用 【易错点】三组数的通项公式混淆，计算时符号出错。 12．【答案】 【解析】根据新定义的运算规则代入计算： 。 【核心知识点】新定义运算、乘方与乘法的混合计算 【易错点】对新定义运算的理解错误，代入时位置颠倒。 三、解答题（共 64 分） 13．【答案】(1) ；(2) ；(3) 【解析】（1）先算乘方、除法、绝对值，再从左到右计算加减： （2）先算乘方与中括号内的运算，再从左到右计算乘除： （3）先算多层乘方与绝对值，再算乘除，最后算加减： 【核心知识点】有理数多级混合运算、含绝对值与括号的综合运算 【易错点】的符号判断错误，括号与绝对值的运算优先级混淆。 14．【答案】 （1）一；对乘方概念理解错误，表示的平方的相反数，结果为，误算为得到；二；乘除同级运算未按从左到右的顺序计算，错误先计算后两个数的乘法，违反运算顺序。 （2）正确解题过程： 【解析】 （1）第一步属于乘方概念错误：的底数是 3，不包含负号，结果为；学生误将底数当成，按计算得到 9。第二步属于运算顺序错误：乘除是同级运算，必须从左到右依次计算，不能先算后面的乘法。 （2）按照 “先乘方、再算括号内、最后从左到右计算乘除” 的规范顺序计算即可。 【核心知识点】有理数混合运算的运算顺序、乘方的概念 【易错点】乘方底数的范围判断错误，同级运算顺序颠倒。 15．【答案】示例： （1） （2） （答案不唯一，合理即可） 【解析】“二十四点” 游戏核心是通过四则运算凑出乘积为 24 的组合（如、、），或通过加减得到 24。本题可通过凑出、等思路构造算式，注意每个数只能使用一次。 【核心知识点】有理数四则混合运算的灵活应用 【易错点】重复使用数字，或运算符号、括号使用错误导致结果偏差。 16．【答案】 【解析】根据题意可得： ，互为负倒数，则； ，互为相反数，则； ，由乘方的性质得。 将上述结果代入式子： 【核心知识点】相反数、倒数、绝对值的定义，乘方的运算性质 【易错点】负倒数的概念理解错误，误将算为；忽略有两个值但平方后结果唯一。 17．【答案】（1）；（2）1700 米 【解析】（1）先计算海拔升高的高度：米； 升高的百米数：； 下降的温度：； 海拔 1000 米处气温：。 （2）先计算山顶与测量点的温差：； 升高的百米数：； 山峰海拔：米。 【核心知识点】有理数混合运算在实际问题中的应用 【易错点】温差计算逻辑错误，高度增量与海拔基数的关系混淆。 18．【答案】 （1）正；负；平方；平方 （2） （3）存在，， 【解析】 （1）根据给出的运算示例归纳规律：同号运算结果为正，异号运算结果为负，运算部分为两数的平方和；0 参与运算时，结果为另一个数的平方。 （2）按运算顺序先算括号内，再算括号外： （3）由运算法则可知，运算结果的绝对值为两数的平方和。根据平方的非负性，结果为 0 当且仅当两数的平方和为 0，即且，解得，。 验证：，符合运算规则。 【核心知识点】新定义运算的规律归纳、乘方的非负性 【易错点】运算符号判断错误，忽略 0 参与运算的特殊规则。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $