2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册第一次月考测试卷

**基本信息** 以二次函数为核心，融合相似、位似等几何知识，通过自动喷灌抛物线、汉字黄金分割等情境，考查抽象能力、推理意识与模型观念，适配九年级月考对知识应用与思维进阶的要求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|二次函数开口方向、相似矩形判定、位似比计算|第5题结合喷灌系统考抛物线实际应用，体现数学眼光| |填空题|6/18|黄金分割计算、二次函数图像与方程关系、位似图形坐标|第16题含参数二次函数最值讨论，考查推理能力| |解答题|8/72|二次函数综合应用、位似作图、动态相似三角形、新定义伴随二次函数|23题定义“伴随二次函数”探究图像关系，24题抛物线平移与动态几何结合，发展创新意识与模型观念|

2026-2027学年沪教版九年级数学上册第一次月考测试卷 测试范围:第27章二次函数 一、单选题（本大题10题，每小题3分，共计30分） 1．已知二次函数的开口向下，则□可能是（    ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数性质是解题的关键． 二次函数开口向下需二次项系数为负，且□应为常数以保证函数为二次函数． 【详解】解：A、代入后函数变为 ，不是二次函数，故选项不符合题意； B、代入后，开口向下，故选项符合题意； C、代入后，不是二次函数，故选项不符合题意； D、代入后，开口向上，故选项不符合题意； 故选：B． 2．下面矩形中，和矩形ABCD相似的是（    ） A． B．C．D． 【答案】A 【分析】本题考查相似多边形的判定，矩形的性质，关键是掌握相似多边形的判定方法；由相似多边形的判定方法，即可判断． 【详解】解：相似多边形是指边数相同且对应角相等、对应边成比例的平面图形，题中图形角度都是90度，只需对应边成比例即可， A、，故A符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意． 故选：A． 3．如图，在平面直角坐标系中，和是以原点O为位似中心的位似图形，已知，，则的值为（     ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】首先得到，，然后由位似的性质得到，进而求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵和是以原点O为位似中心的位似图形， ∴， ∴． 4．如图，直线，直线和被直线，，所截，若，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理可得：，把，，代入即可求出的长． 【详解】解：直线， ， ，，， ， . 5．随着自动化设备的普及，家庭庭院也引入自动喷灌系统．从喷水口喷出的水柱成抛物线形．如图是该喷灌器喷水时的截面示意图，喷水口点离地高度为，喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，且水柱刚好落在庭院围墙和地面的交界点处．喷灌器与围墙的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是根据题意，求出相应的函数解析式． 先建立平面直角坐标，再求出相应的函数解析式，再令求出的值，即可得到的值． 【详解】解：如图，建立平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为， ∵点在函数图象上， ∴， 解得， ∴， 当时，， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴ 故选：C． 6．已知抛物线过三点，则该抛物线的解析式为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】已知抛物线与轴交于两点，设交点式代入第三点求解更简便． 【详解】解：∵抛物线过点，， ∴设抛物线解析式为， 将代入解析式，得， 解得， ∴． 7．如图，是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用网格平行线性质证明，得出线段比例关系，结合勾股定理求解． 【详解】解：由图可知， ， ， ， ， 由网格可知， ∴， ， 由勾股定理得 ， ． 8．如图，二次函数的图象与轴交于，对称轴为直线，以下结论正确的是（     ） A． B． C． D．（为实数） 【答案】D 【分析】二次函数图象开口向上，，与y轴交于负半轴，，对称轴在y轴左侧，，可以判断A选项是否正确；根据对称轴，可以判断B选项是否正确；根据二次函数图象的对称性和当时，可以判断C选项是否正确；根据时y有最小值，可以判断D选项是否正确． 【详解】解：由图象可知，，， ∵对称轴在轴左边， ∴， ∴， ，故A选项不符合题意； ， ， ，故B选项不符合题意； 当时，，根据二次函数图象的对称性可知，当时，， ，故C选项不符合题意； 当时，函数有最小值， （m为实数），D选项符合题意． 【点睛】二次函数图象开口向上，，有最小值，对称轴在x的负半轴，b和a同号． 9．如图，点，的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段之间（包括点、）来回平移，与轴交于、两点在的左侧），点的横坐标最小值为，则点的横坐标最大值为（     ） A．13 B．7 C．5 D．8 【答案】D 【分析】当点横坐标最小时，抛物线顶点必为，根据此时抛物线的对称轴，可判断出间的距离；当点横坐标最大时，抛物线顶点为，再根据此时抛物线的对称轴及的长，可判断出点横坐标最大值． 【详解】解：当点横坐标为时，抛物线顶点为，对称轴为，此时点横坐标为5，则； 当抛物线顶点为时，抛物线对称轴为，且，故，； 由于此时点横坐标最大， 故点的横坐标最大值为8． 10．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线上运动，过点A作轴于点C，以为对角线作矩形，连接，则对角线的最小值为（     ） A．5 B．4 C．2 D．1 【答案】D 【分析】先配方求出抛物线的顶点式得出顶点坐标，再根据矩形的性质解答． 【详解】解：， 则抛物线的顶点坐标是． 当点A在抛物线的顶点时，最小，其最小值为1． ∵四边形是矩形， ∴， ∴对角线的最小值是1． 二、填空题（本大题共计6题，每小题3分，共计18分） 11．黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图，汉字“干”刚劲有力、舒展美观．已知线段，点P恰好是线段的黄金分割点（），，则线段的长为________．（结果保留根号） 【答案】/ 【详解】解：∵，， ∴． 12．二次函数的部分图象如图所示，则一元二次方程的解为_______________，当时，x的取值范围是____________． 【答案】 【分析】关于x的一元二次方程的解即为二次函数的图象与x轴的交点的横坐标，根据函数图象写出x轴上方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：根据图象知，抛物线与x轴的一个交点是，对称轴是直线． 设该抛物线与x轴的另一个交点是． 则， 解得， 即该抛物线与x轴的另一个交点是． 所以关于x的一元二次方程的解为． 观察图象可知，当时，x的取值范围是． 13．如图，在中，分别是边和上的点，且，则的长为_____． 【答案】 【分析】根据可得，再由相似三角形的性质得到即可求解的长． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．如图，直线与x轴，y轴分别交于A、B两点，与是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为，则点的坐标为_______________． 【答案】或 【详解】解：当时，，当时，，则点B的坐标为， ． ，且相似比为， ， ，， 当在点A右侧时，； 当在点A左侧时，； 或． 15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，对称轴为直线．图象上有点，，，则，，的大小关系是______．（请用“”符号连接） 【答案】 【分析】根据图象判断抛物线开口向上，结合对称轴，利用二次函数图象上点到对称轴的距离越远函数值越大这一性质进行比较即可． 【详解】解：如图，抛物线的开口向上， ， ． 16．已知二次函数（h为常数），当自变量x的值满足时，函数值y的最小值为1，则h的值为__________． 【答案】 或 【分析】二次函数开口向上，顶点为，根据对称轴与给定自变量的范围的位置关系分类讨论，列方程求解即可． 【详解】解：二次函数开口向上，顶点坐标为， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，分三种情况讨论： ① 若，此时在的范围内，随增大而增大，最小值在处取得，可得，解得或， ， ； ②若，此时在的范围内，随增大而减小，最小值在处取得，可得，解得或， ， ； ③若，此时顶点的横坐标在的范围内，函数最小值为， 不满足最小值为的条件，舍去； 综上，的值为或． 三、解答题（本大题共计8题.共计72分） 17．（6分）二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题： (1)写出方程的根； (2)写出不等式的解集； (3)若方程有且只有一个实数根，写出的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）直接根据函数图象作答即可； （2）直接根据函数图象作答即可； （3）直接根据函数图象作答即可． 【详解】（1）解：观察图象可知，方程的根，即为抛物线与轴交点的横坐标， ∴，； （2）解：观察图象可知：不等式的解集为； （3）解：由图象可知，时，方程有且只有一个实数根． 18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、． (1)以原点O为位似中心，在第二象限内画出将放大为原来的2倍后的； (2)直接写出点的坐标为________，的长为________． 【答案】(1)如图所示即为所求 (2)， 【分析】（1）根据位似的定义作图； （2）原点为位似中心放大2倍，坐标同乘2；再利用网格中的水平、竖直线段，借助勾股定理求出两点间线段长． 【详解】（1）略 （2）解： ∵ 以原点为位似中心，放大为原来的倍，在第二象限， ∴ 对应点坐标为原坐标乘． ∵， ，． 根据勾股定理得 ． 19．（8分）如图所示，已知，，． (1)求证：四边形与四边形位似． (2)若，，求． 【答案】(1) 证明：∵，，， ∴． 又∵四边形与四边形的对应顶点的连线相交于点， ∴四边形与四边形位似． (2) 【分析】本题考查位似图形的判定与性质、平行线分线段成比例定理，同时运用相似图形面积比等于相似比的平方的性质及线段比例的转化计算，关键是位似图形判定与性质的综合应用． （1）借助已知的各组对应边分别平行的条件，结合平行线分线段成比例定理推导出两个四边形所有对应边的比相等，再结合两四边形对应顶点的连线相交于同一点，依据位似图形的判定定理即可完成证明； （2）先由转化得到，确定四边形与四边形的相似比为4：3，再根据相似图形的面积比等于相似比的平方，结合已知的，通过比例计算即可求出四边形的面积． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴四边形与四边形的相似比为． ∵， ∴． 20．（8分）如图，菱形的顶点在抛物线上，其中点O为坐标原点，对角线在y轴上，且． (1)求两点的坐标； (2)求菱形的面积． 【答案】(1) (2)菱形的面积为 【分析】（1）如图：连接交y轴于点D，由菱形的性质可得轴，，易得A，C点纵坐标为1，即，解得：，从而完成解答； （2）先说明，再利用菱形的性质求面积即可． 【详解】（1）解：如图：连接交y轴于点D， ∵菱形的顶点在抛物线上，其中点O为坐标原点，对角线在y轴上，且 ∴轴，， ∴轴，， ∴A，C点纵坐标为1，即，解得：， ∴． （2）解：∵轴，， ∴，即， ∴菱形的面积是：． 21．（9分）如图，，，动点P，Q分别以每秒和的速度同时开始运动，其中点P从点A出发，沿边一直移到点C为止，点Q从点B出发沿边一直运动到点A为止（点P到达点C后，点Q继续运动）． (1)请直接用含t的代数式表示的长和的长； (2)当t等于何值时，与相似？ 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据路程=速度时间列式即可； （2）分两种情况：当时，当时，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：当时，①若，则有， ， 又， 解得； ②由，若，则有， ， 解得（不合题意，舍去）； 当时，点与点重合，如图， ，只有当时，才有， ， 解得， 综上所述，或． 22．（9分）如图，点、点分别在的边、的延长线上，连接，若，则与相似吗？ (1)请解答上述习题． 【问题探究】 (2)同学们在完成这个习题后，老师进一步提出这样一个问题：如图，连接、，求与的数量关系． ①为了解决这个问题，小明提出了一个好方法： 由（1）中的两个三角形相似，通过更比性质，可进一步证出与相似，从而得到，再通过角度之间的关系，可将问题解决． 请按照小明的思路完成对与相似的证明，具体做法如下： 证明：由（1）得：________， ∴ ∴（相似三角形的对应角相等）． 请补全上述证明过程． ②根据（1）和（2）①中的结论，直接写出与的数量关系为________． (3)【拓展提升】如图，在和中，，，，延长交于点，连接、．当且时，________°，________． 【答案】(1)与相似，理由如下： ∵，， ∴； (2)①∵， ∴，，即， ∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∴； (3)90； 【分析】（1）利用两角对应相等即可证明； （2）①利用两边对应成比例且夹角相等证明，推出； ②利用三角形内角和定理即可得到； （3）证明，推出，，利用（2）的结论即可得到；再利用等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：略 （2）证明：略 （3）解：∵在和中，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在四边形中，， 由（2）得， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 23．（12分）定义：已知二次函数，则称二次函数是二次函数的伴随二次函数，t是伴随值． 定义理解 （1）下列二次函数中，是二次函数的伴随二次函数的是（    ） A．      B． C．             D． 深入探究 （2）已知二次函数的图象如图所示，其伴随二次函数是． ①伴随值为 ； ②在同一平面直角坐标系中直接画出伴随二次函数的图象； ③当时，记二次函数与的图象为W，若W的最高点的纵坐标为12，求W的最低点的坐标． 【答案】（1）C； （2）①2； ②画图如图所示： ③或 【分析】本题主要考查了新定义下二次函数的图像与性质，理解新定义，准确计算是正确解答此题的关键． （1）根据伴随二次函数的定义逐一判断即可； （2）①将变形即可求解；②根据画函数图像的步骤即可画出伴随二次函数的图像；③结合取值范围及二次函数的性质分情况求解即可． 【详解】解：（1）对于二次函数 当伴随值为1时，其伴随二次函数是 ； 当伴随值为时，其伴随二次函数是 ； 当伴随值为2时，其伴随二次函数是 ； 当伴随值为时，其伴随二次函数是 ； 故选：C． （2）①设伴随值为t， 则 ， ， ． 故答案为：2； ②列表： 0 2 3 4 6 5 5 依次描出点， ③令 得或； 令 得或． 结合函数图象可知，只能是或， 或3．     当时，，此时且随x的增大而减小， ∴当时，有最小值，为 ∴此时W的最低点的坐标为． 当时，，此时且随x的增大而增大， ∴当时，有最小值，为 ∴此时W的最低点的坐标为． 综上，W的最低点的坐标为或． 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，且经过点，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)P是线段上方抛物线上的一动点，过点P作，垂足为D，E，F是线段上动点（E在F上方），且，连接，．当的长度取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点C的对应点为G，M是平移后抛物线上一点，射线交直线于点N，且．请直接写出所有符合条件的点M的横坐标，并写出求解点M的横坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)；的最小值为 (3)符合条件的点M的横坐标为或； 将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，即将抛物线向右平移1个单位，向下平移1个单位， ∵， ∴， ∵点的对应点为G， ∴， 又，， ∴，． ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ 情形一：如图，当时， 由，可得直线的解析式为， 由，可得直线的解析式为． 设直线的解析式为， 代入得，，解得：， ∴直线的解析式为． 联立 ∴ 解得：或（舍去） 情形二：由情形一可得， 解得：，则 作关于的对称点， ∵，则点在直线上， ∴设， ∵ ∴ 解得： ∴ 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 联立 ∴ 解得：或（舍去） 综上所述，符合条件的点M的横坐标为或 【分析】（1）将，代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得直线的解析式，过点作轴交于点，过点作轴于点，得出，设，当的长度取得最大值时，取得最大值，进而求得关于的解析式，根据二次函数的性质求得最值；作，则，， ，得出，作点关于的对称点，连接，则，，进而根据轴对称的性质求得最小值； （3）根据已知得出，进而得出求得其中一个解，再根据对称性即可求得另一个解，即可求解． 【详解】（1）解：将，代入， 得：， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：令， 解得：， ∴． 设直线的解析式为，代入，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为． 如图，过点作轴交于点，过点作轴于点， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵轴，轴， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴当的长度取得最大值时，取得最大值． 设， ∴， ∴， ∵, ∴当时，取得最大值为，则的最大值为， 此时，， ∴． 如图，作，则，， ， ∴， 过点分别作轴的平行线交于点， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵，则 ∴， ∵， ∴，即最小值为． 作点关于的对称点，连接，，则，， 当与的交点即为点时取得最小值，最小值为的长， ∵的最大值为，且，又点关于的对称点， ∴， ∵， ∴ 在中， 即的最小值为； （3）略 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年沪教版八年级数学上册第一次月考测试卷 测试范围:第19章实数 一、单选题（本大题10题，每小题3分，共计30分） 1．下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】注意算术平方根仅取非负值，带分数开方需先化为假分数，立方根符号与被开方数一致． 【详解】解：∵表示16的算术平方根，结果为4， ∴A选项错误． ∵， ∴B选项错误． ∵， ∴C选项错误． ∵， ∴，D选项正确． 2．如图，全球单机容量最大的16兆瓦漂浮式海上风电平台“三峡领航号”投产发电后，预计每年发出的电能可满足万户三口之家全年用电．若按平均每户三口之家全年用电约计算，则“三峡领航号”每年发出的电能约为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， 即“三峡领航号”每年发出的电能约为． 3．下列说法正确的是（     ） A．无理数一定是无限不循环小数 B．无限小数都是无理数 C．带根号的数一定是无理数 D．实数分为正实数和负实数 【答案】A 【详解】解：∵无理数是无限不循环小数， ∴A选项说法正确； ∵无限小数包含无限循环小数与无限不循环小数，无限循环小数是有理数， ∴B选项说法错误； ∵举例，是有理数， ∴C选项说法错误； ∵实数分为正实数、0、负实数， ∴D选项说法错误 4．下列根式，，，，中，最简二次根式的个数是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的定义进行判断即可． 【详解】解：，的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式； 的被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； ，的被开方数含分母，不是最简二次根式； 所以最简二次根式共2个，故A选项符合题意． 5．分式的值为0，则的值是（     ） A．0 B． C．2 D．2或 【答案】C 【分析】分式的值为0时，需同时满足分子为0，且分母不为0，二者缺一不可． 【详解】解：由题意得，，且， ，且， ． 6．若m是的小数部分，n是的小数部分，则的值是（     ） A．1 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】先估算出m，n的值，然后再计算的值即可． 【详解】解：∵， ∴，即的整数部分为3， ∴． ∵， ∴， 即的整数部分为0． ∴． ∴． 7．算术平方根有如下运算：，（），故化简：可得或两种不同结果．化简：，会有几种不同的结果（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先由二次根式有意义的条件确定x的取值范围，再利用算术平方根的性质将原式转化为含绝对值的式子，通过零点分段讨论得到不同的化简结果． 【详解】解：由二次根式有意义的条件得，即 原式 ， ， ， 原式 当时，，， 原式 当时，，， 原式 当时，，， 原式 ∴会有3种不同的结果． 8．已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将变形为，结合的值利用平方差公式简化计算． 【详解】解：， ， ， 原式 9．如图，正方形的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的左侧），且，则点E所表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数与数轴，根据题意得，再根据数轴上两点间的距离公式求解即可． 【详解】解：∵正方形的面积为7， ∴， ∴， ∵点E在点A的左侧，点A在数轴上表示的数为1， ∴点E所表示的数为， 故选：D． 10．定义新运算“◎”：，如果，那么的值为（   ）． A．1或3或4 B．1或3 C．1或4 D．3或4 【答案】B 【分析】本题考查新定义运算，解分式方程，充分理解新定义运算是解题的关键． 首先根据新运算的定义，分两种情况讨论：当和，分别解分式方程，并检验解是否满足条件即可． 【详解】解：∵， 当时，， ∴，解得：， 经检验，，符合，且分母不为零， ∴； 当时，， ∴，解得：， 经检验，符合，且分母不为零， ∴； ∴x的值为1或3， 故选：B． 二、填空题（本大题共计6题，每小题3分，共计18分） 11．对于完全平方数，其算术平方根能够直接算出，如；而非完全平方数的算术平方根无法直接笔算得出，借助计算器是可行的求解途径，如．除此之外，我们还能依托数字间存在的内在规律与关联，推导求出对应算术平方根．请你观察下表： … 0.2 2 20 200 … … 0.4472 1.414 4.472 ？ … 利用这一规律，计算________． 【答案】14.14 【分析】先观察表格中被开方数与对应算术平方根的变化规律，得到被开方数小数点向右移动两位，算术平方根小数点向右移动一位，结合即可求出的近似值． 【详解】解：观察表格数据可得： 当被开方数扩大为原来的倍时，其算术平方根扩大为原来的倍． ，， ． 12．一个正数的两个不同的平方根分别是与，的立方根是．求的平方根________． 【答案】 【分析】先根据平方根的性质和立方根的定义求出、的值，再代入求的值，最后求其平方根即可． 【详解】解：由题可知：，， 解得，， ， 的平方根是． 13．比较大小：______（填“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查考查了二次根式混合运算，二次根式的大小比较，求出，即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 14．小明设计了一个如图所示的电脑运算程序： （1）当输入的值是时，输出的值是_____． （2）分析发现，当实数取_____时，该程序无法输出值．（写出所有的情况） 【答案】 或或负数 【分析】本题考查了实数的运算，关键是掌握立方根及算术平方根的求解． ()按照计算流程计算，如果不满足输出条件，继续循环计算即可 ()按照计算流程，探索即可得出答案解． 【详解】解：()输入，则， 是有理数，的立方根是， 是有理数， 的算术平方根得是，是无理数， ∴输出的数为； 故答案为：； ()∵按照计算流程发现最后都是无理数输出， ∴①当能计算第一步的算术平方根时， 则陷入死循环，即不停的计算算术平方根和立方根， 计算结果一直是有理数， ∴此时或，该程序无法输出值， ②当不能计算第一步的算术平方根时， ∵负数没有算术平方根， ∴取负数时该程序无法输出值， 故答案为：或或负数． 15．若实数，同时满足，，（为整数），则___________． 【答案】5 【分析】先根据绝对值的非负性确定的取值范围，去掉绝对值符号化简方程组，求解得到的值，再估算无理数的大小得到整数，最后代入代数式计算即可． 【详解】解：由 得 ， 根据绝对值的非负性得，即； 当时，， 代入 得 ， 整理得， 由得 ， 解得 ， 因此，代入 得， 将代入得：， 解得， 将代入得， ∵，∴， ∵ ，为整数， ∴， ∴ ． 16．计算：_______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴ ． 三、解答题（本大题共计8题.共计72分） 17．（6分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据求一个数的算术平方根、立方根、绝对值，进行计算即可求解； （2）根据有理数的乘方，化简绝对值，求一个数的立方根，算术平方根进行计算即可求解． 【详解】（1）解：． （2）解：． 18．（6分）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化为最简二次根式，再利用二次根式加减法的运算法则求解； （2）先利用平方差公式、二次根式除法法则算乘除，再算二次根式的加减法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 19．（8分）请根据下面的对话内容回答问题 小明：“我有一个正方体魔方，它的体积是” 小红：“我有一个长方体纸盒，它的体积是，纸盒的宽与你的魔方的棱长相等，纸盒的长与高相等．” (1)求该正方体魔方的棱长； (2)求该长方体纸盒的表面积． 【答案】(1)该魔方的棱长为 (2)该长方体纸盒的表面积为 【分析】（1）设该魔方的棱长为，由正方体的体积为列方程，再利用立方根定义求解即可； （2）设该长方体纸盒的长为，根据长方体纸盒的体积列方程并运用算术平方根可求得长方体纸盒的高为，由长方体的表面积公式求解即可． 【详解】（1）解：设该魔方的棱长为，可得，解得 答：该魔方的棱长6cm． （2）解：设该长方体纸盒的长为，则， 故，解得． 因为y是正数，所以． 所以长高，宽． ． 答：该长方体纸盒的表面积为． 20．（9分）在科技节活动中，爱探究思考的小明，在实验室利用计算器计算得到下列数据： … … … 0.18 0.569 1.8 5.69 18 56.9 180 … (1)通过观察可以发现当被开方数扩大100倍时，它的算术平方根扩大 倍； (2)已知，根据上述规律直接写出下列各式的值： ， ； (3)小明思考：如果把算术平方根换成立方根，若，，则 ， ． 【答案】(1) (2)， (3)， 【分析】（1）观察给出的表格数据得结论； （2）利用（1）的结论，可得结果； （3）先猜测立方根与被开方数间的关系，利用猜测的关系可得结论． 【详解】（1）解：通过观察可以发现当被开方数扩大倍时，它的算术平方根扩大倍； （2）解：∵， ∴，； （3）解：如果把算术平方根换成立方根，发现当被开方数扩大倍时，它的立方根扩大倍； ∵ ，， ∴，． 21．（9分）已知的平方根是，的立方根为2，的整数部分为． (1)求、、的值； (2)求的算术平方根与的小数部分的差． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据平方根，立方根的定义解答，再根据确定答案； （2）先求出，再求出算术平方根，小数部分：，然后求出差即可． 【详解】（1）解：∵的平方根是， ∴， 解得； ∵的立方根是， ∴， 解得； ∵， ∴整数部分； （2）解：，算术平方根为4， 小数部分：， 差值：． 22．（10分）用如图①所示的个边长为的小正方形，通过剪拼可以得到一个大正方形． (1)求正方形的边长，并求出的长在哪两个连续整数之间； (2)把图①中的正方形放到数轴上，如图②，点表示的数为．若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，我们把点翻滚到数轴上时，记为第一次翻滚点翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚，以此类推． ①第一次翻滚后，点表示的数为多少 ②是否存在正整数，使得该正方形经过次翻滚后，其顶点，，，中的某个点与数轴上的重合若存在，请求出的值若不存在，请说明理由． 【答案】(1)．的长在2和3之间； (2)①第一次翻滚后，点B表示的数为1+；②不存在．见解析． 【分析】（1）根据题意可求出正方形的面积，进而得到正方形的边长，再利用夹逼法即可求出其范围； （2）①根据点表示的数和正方形的边长即可得到一次翻滚后，点表示的数；②设存在正整数，则，由进行判断即可求解 【详解】（1）解：由题意得，正方形的面积为， ∴正方形的边长为， ∵， ∴， ∴的长在和之间； （2）解：①∵点表示的数为，正方形的边长为， ∴第一次翻滚后，点表示的数为； ②不存在，理由如下： 设存在正整数，则， ∴， ∵为正整数， ∴为有理数，而为无理数， ∴上述等式不成立，即不存在正整数． 23．（12分）【教材再现】 一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，记作，0的算术平方根是0，即，并且被开方数为非负数． 【探究新知】 (1)若，则的取值范围是 【知识应用】 (2)若，求的值． 【拓展提升】 (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据算术平方根的被开方数非负确定的取值范围． （2）利用非负数的性质得到的值，代入计算即可． （3）先由算术平方根的非负性确定的范围，化简绝对值后变形求解． 【详解】（1）解：∵的被开方数为非负数， ∴， 此时成立， 故的取值范围是． （2）解：∵，，且， ∴， ， ∴， ∴． （3）解：∵有意义， ∴，即， ∴ ， ∴ ， 原式化为， 整理得， 两边平方得， ∴ ． 24．（12分）在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值．他们是这样解答的： ， ， 即， ， ． 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1)____________． (2)化简：． (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）进行分母有理化即可； （2）分母有理化后求和即可； （3）把分母有理化，变形后代入计算即可． 【详解】（1）解： （2）解：原式 （3）解：， ， ， ． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年沪教版九年级数学上册第一次月考测试卷 测试范围:第27章二次函数 一、单选题（本大题10题，每小题3分，共计30分） 1．已知二次函数的开口向下，则□可能是（    ） A． B． C． D．5 2．下面矩形中，和矩形ABCD相似的是（    ） A． B．C．D． 3．如图，在平面直角坐标系中，和是以原点O为位似中心的位似图形，已知，，则的值为（     ） A． B．2 C． D．3 4．如图，直线，直线和被直线，，所截，若，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 5．随着自动化设备的普及，家庭庭院也引入自动喷灌系统．从喷水口喷出的水柱成抛物线形．如图是该喷灌器喷水时的截面示意图，喷水口点离地高度为，喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，且水柱刚好落在庭院围墙和地面的交界点处．喷灌器与围墙的距离为（　　） A． B． C． D． 6．已知抛物线过三点，则该抛物线的解析式为（     ）． A． B． C． D． 7．如图，是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则的长为（     ） A． B． C． D． 8．如图，二次函数的图象与轴交于，对称轴为直线，以下结论正确的是（     ） A． B． C． D．（为实数） 9．如图，点，的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段之间（包括点、）来回平移，与轴交于、两点在的左侧），点的横坐标最小值为，则点的横坐标最大值为（     ） A．13 B．7 C．5 D．8 10．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线上运动，过点A作轴于点C，以为对角线作矩形，连接，则对角线的最小值为（     ） A．5 B．4 C．2 D．1 二、填空题（本大题共计6题，每小题3分，共计18分） 11．黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图，汉字“干”刚劲有力、舒展美观．已知线段，点P恰好是线段的黄金分割点（），，则线段的长为________．（结果保留根号） 12．二次函数的部分图象如图所示，则一元二次方程的解为_______________，当时，x的取值范围是____________． 13．如图，在中，分别是边和上的点，且，则的长为_____． 14．如图，直线与x轴，y轴分别交于A、B两点，与是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为，则点的坐标为_______________． 15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，对称轴为直线．图象上有点，，，则，，的大小关系是______．（请用“”符号连接） 16．已知二次函数（h为常数），当自变量x的值满足时，函数值y的最小值为1，则h的值为__________． 三、解答题（本大题共计8题.共计72分） 17．（6分）二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题： (1)写出方程的根； (2)写出不等式的解集； (3)若方程有且只有一个实数根，写出的值． 18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、． (1)以原点O为位似中心，在第二象限内画出将放大为原来的2倍后的； (2)直接写出点的坐标为________，的长为________． 19．（8分）如图所示，已知，，． (1)求证：四边形与四边形位似． (2)若，，求． 20．（8分）如图，菱形的顶点在抛物线上，其中点O为坐标原点，对角线在y轴上，且． (1)求两点的坐标； (2)求菱形的面积． 21．（9分）如图，，，动点P，Q分别以每秒和的速度同时开始运动，其中点P从点A出发，沿边一直移到点C为止，点Q从点B出发沿边一直运动到点A为止（点P到达点C后，点Q继续运动）． (1)请直接用含t的代数式表示的长和的长； (2)当t等于何值时，与相似？ 22．（9分）如图，点、点分别在的边、的延长线上，连接，若，则与相似吗？ (1)请解答上述习题． 【问题探究】 (2)同学们在完成这个习题后，老师进一步提出这样一个问题：如图，连接、，求与的数量关系． ①为了解决这个问题，小明提出了一个好方法： 由（1）中的两个三角形相似，通过更比性质，可进一步证出与相似，从而得到，再通过角度之间的关系，可将问题解决． 请按照小明的思路完成对与相似的证明，具体做法如下： 证明：由（1）得：________， ∴ ∴（相似三角形的对应角相等）． 请补全上述证明过程． ②根据（1）和（2）①中的结论，直接写出与的数量关系为________． (3)【拓展提升】如图，在和中，，，，延长交于点，连接、．当且时，________°，________． 23．（12分）定义：已知二次函数，则称二次函数是二次函数的伴随二次函数，t是伴随值． 定义理解 （1）下列二次函数中，是二次函数的伴随二次函数的是（    ） A．      B． C．             D． 深入探究 （2）已知二次函数的图象如图所示，其伴随二次函数是． ①伴随值为 ； ②在同一平面直角坐标系中直接画出伴随二次函数的图象； ③当时，记二次函数与的图象为W，若W的最高点的纵坐标为12，求W的最低点的坐标． 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，且经过点，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)P是线段上方抛物线上的一动点，过点P作，垂足为D，E，F是线段上动点（E在F上方），且，连接，．当的长度取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点C的对应点为G，M是平移后抛物线上一点，射线交直线于点N，且．请直接写出所有符合条件的点M的横坐标，并写出求解点M的横坐标的其中一种情况的过程． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年沪教版八年级数学上册第一次月考测试卷 测试范围:第19章实数 一、单选题（本大题10题，每小题3分，共计30分） 1．下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，全球单机容量最大的16兆瓦漂浮式海上风电平台“三峡领航号”投产发电后，预计每年发出的电能可满足万户三口之家全年用电．若按平均每户三口之家全年用电约计算，则“三峡领航号”每年发出的电能约为（     ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（     ） A．无理数一定是无限不循环小数 B．无限小数都是无理数 C．带根号的数一定是无理数 D．实数分为正实数和负实数 4．下列根式，，，，中，最简二次根式的个数是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．分式的值为0，则的值是（     ） A．0 B． C．2 D．2或 6．若m是的小数部分，n是的小数部分，则的值是（     ） A．1 B． C．4 D． 7．算术平方根有如下运算：，（），故化简：可得或两种不同结果．化简：，会有几种不同的结果（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 9．如图，正方形的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的左侧），且，则点E所表示的数为（   ） A． B． C． D． 10．定义新运算“◎”：，如果，那么的值为（   ）． A．1或3或4 B．1或3 C．1或4 D．3或4 二、填空题（本大题共计6题，每小题3分，共计18分） 11．对于完全平方数，其算术平方根能够直接算出，如；而非完全平方数的算术平方根无法直接笔算得出，借助计算器是可行的求解途径，如．除此之外，我们还能依托数字间存在的内在规律与关联，推导求出对应算术平方根．请你观察下表： … 0.2 2 20 200 … … 0.4472 1.414 4.472 ？ … 利用这一规律，计算________． 12．一个正数的两个不同的平方根分别是与，的立方根是．求的平方根________． 13．比较大小：______（填“”或“”）． 14．小明设计了一个如图所示的电脑运算程序： （1）当输入的值是时，输出的值是_____． （2）分析发现，当实数取_____时，该程序无法输出值．（写出所有的情况） 15．若实数，同时满足，，（为整数），则___________． 16．计算：_______． 三、解答题（本大题共计8题.共计72分） 17．（6分）计算： (1)； (2)． 18．（6分）计算： (1)； (2) 19．（8分）请根据下面的对话内容回答问题 小明：“我有一个正方体魔方，它的体积是” 小红：“我有一个长方体纸盒，它的体积是，纸盒的宽与你的魔方的棱长相等，纸盒的长与高相等．” (1)求该正方体魔方的棱长； (2)求该长方体纸盒的表面积． 20．（9分）在科技节活动中，爱探究思考的小明，在实验室利用计算器计算得到下列数据： … … … 0.18 0.569 1.8 5.69 18 56.9 180 … (1)通过观察可以发现当被开方数扩大100倍时，它的算术平方根扩大 倍； (2)已知，根据上述规律直接写出下列各式的值： ， ； (3)小明思考：如果把算术平方根换成立方根，若，，则 ， ． 21．（9分）已知的平方根是，的立方根为2，的整数部分为． (1)求、、的值； (2)求的算术平方根与的小数部分的差． 22．（10分）用如图①所示的个边长为的小正方形，通过剪拼可以得到一个大正方形． (1)求正方形的边长，并求出的长在哪两个连续整数之间； (2)把图①中的正方形放到数轴上，如图②，点表示的数为．若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，我们把点翻滚到数轴上时，记为第一次翻滚点翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚，以此类推． ①第一次翻滚后，点表示的数为多少 ②是否存在正整数，使得该正方形经过次翻滚后，其顶点，，，中的某个点与数轴上的重合若存在，请求出的值若不存在，请说明理由． 23．（12分）【教材再现】 一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，记作，0的算术平方根是0，即，并且被开方数为非负数． 【探究新知】 (1)若，则的取值范围是 【知识应用】 (2)若，求的值． 【拓展提升】 (3)若，求的值． 24．（12分）在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值．他们是这样解答的： ， ， 即， ， ． 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1)____________． (2)化简：． (3)若，求的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $