9月学情自测卷（测试范围：第25～26章）2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程与二次函数，以云南村T美育活动、铅球运动轨迹等现实情境为载体，考查运算能力、模型意识与几何直观，适配九年级9月学情检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|方程一般形式、二次函数图像性质|第10题结合铅球运动考查函数应用，体现数学眼光| |填空题|6/18|配方变形、增长率问题、日历数字规律|第14题以2025年日历表设计问题，培养数据意识| |解答题|8/72|利润最值、动点面积、函数综合应用|第18题商场销售问题构建模型，第23题动点面积探究发展推理能力，契合数学思维与表达要求|

2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （测试范围：第25～26章） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．将方程化为一般形式后，的值分别是（     ） A． B． C． D． 2．已知a，b是方程的两个实数根，则的值是（     ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 3．下列函数（，，是常数）中，一定是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 4．函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能为（     ） A． B． C． D． 5．抛物线与x轴的两个交点之间的距离是（     ） A． B．2 C． D．4 6．2025年4月，某区举办了“云南村T——有一种叫云南的时尚”美育时尚展演活动，并发起了邀请一定数量的好友“转发”海报得门票的活动．小昆被邀请参加一次“转发”海报得门票活动，他决定参与并按要求转发其他人，如果收到小昆邀请的人也同样参与了活动并按要求转发其他人，且从小昆开始算起，转发两轮后共有133人被邀请参与活动．设参与该活动后要求转发人，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 7． … 1 2 3 … … 3 0 … 则下列关于二次函数的说法正确的是（     ） A．二次函数图象的开口向下 B．二次函数图象的对称轴为直线 C．若点在该函数图象上，则 D．当时，随的增大而增大 8．对于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．抛物线可以由抛物线平移得到 B．抛物线的顶点坐标为 C．当时，x的取值范围是 D．当时，函数的最大值和最小值分别为和 9．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①②③ B．①③④ C．②④⑤ D．①②④ 10．如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球落地点到出手点的时间为（     ） A． B．8 C． D．9 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．关于x的方程是一元二次方程，则m为__________． 12．把二次函数变形为的形式，则的值为______ ． 13．某校办工厂生产的某种产品，今年产量为200件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，使得第三年的产量达到800件．若设这个百分数为x，则可列方程_______________． 14．如图，在2025年4月的日历表上用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为，则这个最小数为_________． 15．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则___________． 16．已知二次函数． （1）若点在该函数图象上，则点P的坐标为____________； （2）该函数图象与y轴的交点坐标为______； （3）当时，y随x的增大而______；当时，y随x的增大而______； （4）y有最______值，当时，y取得最______值，是______． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．用适当的方法解下列一元二次方程． (1) (2) (3) (4) 18．某商场销售一批鞋子，平均每天可售出40双，每双盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，调查发现，每双鞋子每降价1元，商场平均每天可多售出2双． (1)若每双鞋子降价20元，则商场平均每天可售出______双鞋子． (2)当每双鞋子降价多少元时，每天可以获得最大利润?最大利润为多少元? (3)若商场每天要盈利2448元，且让顾客尽可能多得实惠，则每双鞋子应降价______元． 19．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程总有实数根； (2)若方程的一个实数根是，求另一个实数根和的值． 20．如图，二次函数的图象经过坐标原点，与轴交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标； (3)在抛物线上存在点，满足，请直接写出点的坐标． 21．已知二次函数的图象经过点． (1)求证：； (2)若该二次函数的最小值为． ①求二次函数的表达式； ②若，为二次函数图象上的不同的两点，且，求证：． 22．将抛物线先向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线． (1)求a，h，k的值； (2)指出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)说明此二次函数的增减性和最大（小）值． 23．如图所示，已知在中，，点Q从点A开始沿边向点B以的速度移动，点P从点B开始沿边向点C以的速度移动，当P运动到C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空： ， ． （用含t的代数式表示）； (2)如果P、Q分别从A、B两点出发，那么几秒后，的面积等于？ (3)在（1）中，的面积能否等于？试说明理由． (4)点P、Q运动几秒后，的面积最大？最大值为多少？ 24．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，直线经过点． (1)求点的坐标； (2)不等式的解集为_____； (3)若点在抛物线上，且，求点的坐标． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （测试范围：第25～26章） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．将方程化为一般形式后，的值分别是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将原方程化为一元二次方程的一般形式，再确定的值． 【详解】解：将方程移项，得：， ∴ ，，． 2．已知a，b是方程的两个实数根，则的值是（     ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系计算即可． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴， ∴． 3．下列函数（，，是常数）中，一定是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，形如，注意二次项的系数不能为零． 根据二次函数的定义，需为整式且最高次项为二次，且二次项系数不为零，对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵二次函数形式为， 选项A：，含分式，非整式，故不是二次函数，不符合题意； 对于B：，为一次函数，故不是二次函数，不符合题意； 对于C：，即，故是二次函数，符合题意； 对于D：，若，则非二次函数，∴不一定是二次函数，不符合题意； 故选：C． 4．函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，分类讨论，当时，当时，结合二次函数图象，一次函数图象经过的象限判定即可求解． 【详解】解：当时，则， 一次函数的图象经过第一、二、四象限， 二次函数的图像开口向上； 当时，， 一次函数的图象经过第一、三、四象限， 二次函数图象开口向下； 综上所述，D选项符合题意． 5．抛物线与x轴的两个交点之间的距离是（     ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【详解】解：令，得； ∵， ∴或， 解得，， ∴抛物线与轴的两个交点为，， ∴两交点之间的距离为． 6．2025年4月，某区举办了“云南村T——有一种叫云南的时尚”美育时尚展演活动，并发起了邀请一定数量的好友“转发”海报得门票的活动．小昆被邀请参加一次“转发”海报得门票活动，他决定参与并按要求转发其他人，如果收到小昆邀请的人也同样参与了活动并按要求转发其他人，且从小昆开始算起，转发两轮后共有133人被邀请参与活动．设参与该活动后要求转发人，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据题意列一元二次方程． 根据转发规则，从小昆开始，第一轮他邀请x人，第二轮第一轮被邀请的x人每人再邀请x人，故两轮后总人数为小昆自己、第一轮被邀请者和第二轮被邀请者之和，即，据此列方程． 【详解】解：设每人转发x人， ∵第一轮后人数为（小昆及第一轮被邀请者）， ∵第二轮新增人数为（第一轮被邀请者每人邀请x人）， ∴两轮后总人数为， ∴方程为． 故选：B． 7． … 1 2 3 … … 3 0 … 则下列关于二次函数的说法正确的是（     ） A．二次函数图象的开口向下 B．二次函数图象的对称轴为直线 C．若点在该函数图象上，则 D．当时，随的增大而增大 【答案】C 【分析】根据表格中所给数据，可利用待定系数法求出函数解析式，并化为顶点式，进而得到开口方向，增减性和对称轴，再对所给选项依次进行判断，据此可得答案． 【详解】解：将点、代入中， 得：， 解得， ∴二次函数解析式为， A、∵， ∴函数图象开口向上， 故A不符合题意； B、∵二次函数解析式为， ∴对称轴为直线， 故B不符合题意； C、当时，， 故C符合题意； D、∵二次函数解析式的对称轴为直线，函数图象开口向上， ∴当时，的值随值的增大而增大， 故D项不符合题意． 8．对于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．抛物线可以由抛物线平移得到 B．抛物线的顶点坐标为 C．当时，x的取值范围是 D．当时，函数的最大值和最小值分别为和 【答案】C 【分析】将抛物线解析式配方化为顶点式，结合二次函数性质逐一判断各选项． 【详解】解：对抛物线解析式配方，得， 抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． 平移不改变二次项系数的符号与大小，该抛物线二次项系数为，与的二次项系数符号不同， 说法错误，不符合题意； 顶点坐标为，与选项中不符， 说法错误，不符合题意； 令，则， 整理得， 因式分解得， 解得，． 抛物线开口向下， 当时，的取值范围是， 说法正确，符合题意； 对称轴在范围内，且抛物线开口向下， 当时，取最大值，与选项中最大值为不符， 说法错误，不符合题意． 9．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①②③ B．①③④ C．②④⑤ D．①②④ 【答案】D 【分析】由抛物线开口方向、对称轴位置、与轴交点位置判断符号及关系；利用对称性求出抛物线与轴另一交点坐标，进而判断代数式符号；利用二次函数性质比较函数值大小及最值问题． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线，，即， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴的上方， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线经过，对称轴为直线， ∴抛物线经过， 即，故⑤不正确； 把代入得，即，故②正确； ∵，且开口向下， ∴到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ∴，故③不正确； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线， 当时，抛物线取得最大值， 当时，，且， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论是①②④． 10．如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球落地点到出手点的时间为（     ） A． B．8 C． D．9 【答案】C 【分析】先求出抛物线的解析式，再求出它与轴的正半轴的交点的横坐标即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 又它与轴的交点坐标为， 所以， 解得：， 所以抛物线的解析式为， 当时，， 解得：，， 所以铅球落地点到出手点的时间为秒． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．关于x的方程是一元二次方程，则m为__________． 【答案】 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程是一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴． 12．把二次函数变形为的形式，则的值为______ ． 【答案】4 【分析】先把二次函数化为顶点式，再求出，的值，进而可得出结论． 【详解】， ，， ． 13．某校办工厂生产的某种产品，今年产量为200件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，使得第三年的产量达到800件．若设这个百分数为x，则可列方程_______________． 【答案】 【详解】解：∵今年产量为200件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数， ∴明年产量为件， ∴第三年年产量为件， ∵第三年的产量达到800件， ∴． 14．如图，在2025年4月的日历表上用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为，则这个最小数为_________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这个最小数为，由日历的特点可知，最大数为，据此即可求解； 【详解】解：设这个最小数为，由日历的特点可知，最大数为， ∴， 解得：（舍去）， 故答案为： 15．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则___________． 【答案】3 【分析】将原方程通过移项、配方化为的形式，得到和的值，再计算即可． 【详解】解： ， 移项得， 在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得， 对比，可得，， 因此． 16．已知二次函数． （1）若点在该函数图象上，则点P的坐标为____________； （2）该函数图象与y轴的交点坐标为______； （3）当时，y随x的增大而______；当时，y随x的增大而______； （4）y有最______值，当时，y取得最______值，是______． 【答案】 或 增大 减小 小 小 【详解】解：已知二次函数． （1）若点在该函数图象上，则，解得或， ∴点P的坐标为或； （2）当时，， ∴该函数图象与y轴的交点坐标为； （3）∵， ∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小； （4）∵， ∴y有最小值，当时，y取得最小值，是． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．用适当的方法解下列一元二次方程． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解： ， ， ， ，；                                         （2）解：原方程可变形为， 因式分解，得， 或， ，．       （3）解：， ， ， ， ， 解得，；     （4）解：， ， ， 或， 解得，． 18．某商场销售一批鞋子，平均每天可售出40双，每双盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，调查发现，每双鞋子每降价1元，商场平均每天可多售出2双． (1)若每双鞋子降价20元，则商场平均每天可售出______双鞋子． (2)当每双鞋子降价多少元时，每天可以获得最大利润?最大利润为多少元? (3)若商场每天要盈利2448元，且让顾客尽可能多得实惠，则每双鞋子应降价______元． 【答案】(1)80 (2)当每双鞋子降价15元时，每天可以获得最大利润，最大利润为2450元 (3)16 【分析】（1）根据题意列出算式，即可求解； （2）设每双鞋子降价元时，每天可以获得最大利润元．根据题意列出二次函数，根据二次函数的性质，求得最值即可求解； （3）设每双降价元，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：（双）， ∴商场平均每天可售出80双鞋子； （2）解：设每双鞋子降价m元时，每天可以获得最大利润元． 由题意得， ， 当元时，元， 答：每双鞋子降价15元时，每天可以获得最大利润2450元； （3）解：设每双降价x元． 由题意得， 解得， 让顾客尽可能得实惠， ， ∴每双鞋子应降价16元． 19．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程总有实数根； (2)若方程的一个实数根是，求另一个实数根和的值． 【答案】(1)证明：在一元二次方程中，，，， ， ∵无论取何值，，即，∴无论取何值，方程总有实数根； (2)的值为，方程的另一个实数根为． 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）将代入求出的值，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵方程的一个实数根是， ∴， 解得：， ∴一元二次方程， ∴， 解得：，， ∴方程的另一个实数根为． 20．如图，二次函数的图象经过坐标原点，与轴交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标； (3)在抛物线上存在点，满足，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）把点和原点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求二次函数解析式即可得出答案； （2）把二次函数的解析式化为顶点式，即可得解； （3）根据三角形的面积公式求出点到的距离，然后分点在轴的上方与下方两种情况解答即可． 【详解】（1）解：将点，代入得， ，解得， 二次函数的解析式为； （2）解：∵， 抛物线的顶点坐标为； （3）解：， ， 设点到轴的距离为，则， 解得， 当点在轴上方时，， 解得， 点的坐标为； 当点在轴下方时，， 解得，， 点的坐标为或； 综上所述，点的坐标是或或． 21．已知二次函数的图象经过点． (1)求证：； (2)若该二次函数的最小值为． ①求二次函数的表达式； ②若，为二次函数图象上的不同的两点，且，求证：． 【答案】(1) 证明：二次函数的图象经过点， ， ； (2)①； ②证明：点在二次函数的图象上， ，， ， ， ， 由题意可知，点，关于直线对称， ，， ． 【分析】（1）把点代入解析式，求出即可； （2）①利用配方法得到顶点，再列式求解即可； ②根据题意可得，利用二次函数的对称性得到，再代入计算即可证明． 【详解】（1）略 （2）①解：， ， 该二次函数的最小值为， ，且， 解得，（舍去）， 该二次函数的表达式为； ②略 22．将抛物线先向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线． (1)求a，h，k的值； (2)指出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)说明此二次函数的增减性和最大（小）值． 【答案】(1)； (2)开口方向向下，对称轴为，顶点坐标为； (3)当时，y随x的增长而增大，当时，y随x的增长而减小，当时，y的最大值是． 【分析】本题主要考查了二次函数的平移、二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的平移规律：左加右减、上加下减是解题的关键． （1）由平移的规律可得函数平移后的解析式为，从而即可得到，，，进行计算即可； （2）根据二次函数的性质即可得到答案； （3）根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线先向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线， ∴抛物线平移后的解析式为， ∴，，， ∴； （2）解：由（1）知，抛物线为抛物线， ∴抛物线的开口方向向下，对称轴为，顶点坐标为； （3）解：∵， ∴当时，y随x的增长而增大，当时，y随x的增长而减小，当时，y的最大值是． 23．如图所示，已知在中，，点Q从点A开始沿边向点B以的速度移动，点P从点B开始沿边向点C以的速度移动，当P运动到C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空： ， ． （用含t的代数式表示）； (2)如果P、Q分别从A、B两点出发，那么几秒后，的面积等于？ (3)在（1）中，的面积能否等于？试说明理由． (4)点P、Q运动几秒后，的面积最大？最大值为多少？ 【答案】(1)；； (2)1秒后 (3)解：不能，理由如下： 当的面积等于时，则， 整理，得， ∴， ∴方程没有实数根， 故的面积不能等于； (4)当P、Q运动2秒后，的面积最大，最大为. 【分析】（1）根据路程等于速度乘以时间以及线段的和差关系列出代数式即可； （2）根据三角形的面积公式列出方程进行求解即可； （3）根据三角形的面积公式列出方程，求出判别式的符号，即可得出结果； （4）将三角形的面积转化为二次函数求最值即可. 【详解】（1）解：由题意，得， ∴； （2）解：∵，，， ∴的面积， 解得或， 当时，（不符合题意，舍去）； ∴， 答：1秒后，的面积等于； （3）略 （4）解：当点运动到点时，秒； 由题意，， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而增大， ∵， ∴当时，的值最大为； 故当P、Q运动2秒后，的面积最大，最大为. 24．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，直线经过点． (1)求点的坐标； (2)不等式的解集为_____； (3)若点在抛物线上，且，求点的坐标． 【答案】(1)，， (2)或 (3)或 【分析】（1）分别令，，解方程，即可得到抛物线与坐标轴的交点坐标； （2）观察图象，根据抛物线和直线的位置关系即可得解； （3）利用待定系数法得到直线的解析式，以及根据（1）中结论得到的面积，设，根据点位于轴左侧和右侧，分两种情况讨论，过点作轴交直线于点，则，，根据割补法求的面积，得到关于的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：对于抛物线， 令，得， ∴， 令，则，解得，， ∴，； （2）解：由图象可得的解集为直线在抛物线上方时对应的取值范围， 即或； （3）解：∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 将点，的坐标代入，得：，解得， ∴直线的解析式为， 如图，当点位于轴左侧时，过点作轴交直线于点， 设，则， ∴， ∵， ∴，解得， ∵， ∴取，此时， 故； 如图，当点位于轴右侧时，过点作轴交直线于点， 设，则， ∴， ∴， ∴，解得， ∵， 取，， 故； 综上，或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $