1.4 用一元二次方程解决问题【分层作业】- 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 分层清晰，从知识梳理到中考链接梯度递进，强化模型应用与综合探究，适配新授课巩固与核心素养培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |知识梳理|核心步骤、公式模型|填空默写夯实基础，培养抽象能力| |基础巩固|增长率、图形面积等单一应用|生活情境题（新能源汽车销售），强化模型意识| |综合提升|动点几何、利润与函数综合|动态问题（矩形围栏），发展推理能力| |拓展探究|开放探究题|棋子摆放规律探究，激发创新意识| |中考链接|中考真题|题型全面，衔接阶段测评|

1.4 用一元二次方程解决问题【分层作业】 2026—2027学年苏科版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.基础巩固 2 【题型1】增长率与下降率问题 2 【题型2】图形边框面积问题 5 【题型3】静态几何问题 8 【题型4】销售利润问题 8 三.综合提升 15 【题型5】矩形面积围栏问题 15 【题型6】函数问题 19 【题型7】动点几何面积问题 24 【题型8】销售利润与增长率综合问题 30 四.拓展探究 30 【题型9】综合探究 35 五.中考链接 35 六.自我评价 46 一.知识梳理（前置作业） 请完成下列核心步骤、模型公式、数量关系填空（本节解题必考默写内容）： 1. 一元二次方程解应用题五步核心步骤 ① ________；② ________；③ ________；④ ________；⑤ _______（取舍作答）。 2. 增长率、下降率模型 设基数为，平均增长率（下降率）为，增长（下降）次数为，最终量为。 （1）连续增长公式：_____________（2）连续下降公式：_____________ （3）常见考法：连续两次变化，即，增长：_______；下降：________。 3. 销售利润问题（核心关系式填空） （1）单件利润 = 售价 － ____________（2）总利润 = ____________ × 销售数量 参考答案： 1. 审题；设元；列方程；解方程；检验 2.（1） （2） （3）； 3.（1）进价（成本） （2）单件利润 二.基础巩固 【题型1】增长率问题 1.（26-27九年级上·全国·课后作业）随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车10月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，12月份的销售量达到4.32万辆．求从10月份到12月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． 【答案】 【分析】本题是“平均增长率”应用题，可利用“复利增长模型”建立方程再求解．已知初始值是10月销售量3万辆，经过2个月后的终值为12月份的销售量4.32万辆，设月平均增长率为x，则列出一元二次方程，再通过解方程即可求出一元二次方程的两个根，最后应注意增长率为正数，应舍去负根． 解：设从10月份到12月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）； 答：从10月份到12月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为． 2.（26-27九年级上·北京西城·开学考试）某厂家某种产品2026年1至5月份的产量统计图如图所示．设从2月份到4月份该厂家这种产品产量的月平均增长率为，根据题意可列方程（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用增长后的量增长前的量增长率，设这个增长率为x，根据“2月份的万只，4月份的产量将达到万只”，即可得出方程． 解：根据题意可得． 3.（25-26八年级下·江苏扬州·期末）生成式AI被认为将为全球经济贡献约7万亿美元的价值，我国率先加大投入研究开发AI技术，预计两年内对这项技术的投入从300亿美元增长到507亿美元．设两年内我国平均每年投入增长的百分率为，则可列方程为_________． 【答案】 【分析】设两年内我国平均每年投入增长的百分率为，根据预计两年内对这项技术的投入从300亿美元增长到507亿美元，列出方程即可． 解：设两年内我国平均每年投入增长的百分率为，根据题意得： ． 4.（25-26九年级上·山东济宁·期中）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”学校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆200人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末进馆288人次．若进馆人次的月平均增长率相同： （1）求进馆人次的月平均增长率； （2）因学校条件限制，图书馆月接纳能力不超过400人次．在进馆人次月平均增长率不变的前提下，学校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次？请说明理由 【答案】（1）；（2） 解：学校图书馆能接纳第四个月的进馆人次，理由如下： 进馆人次的月平均增长率， 第四个月的进馆人次为（人次）． ， 学校图书馆能接纳第四个月的进馆人次． 【分析】（1）设进馆人次的月增长率为，利用第三个月进馆人次数第一个月进馆人次数月平均增长率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用第四个月进馆人次数第三个月进馆人次数月平均增长率），可求出第四个月进馆人次数，再将其与400比较后即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）解：设进馆人次的月增长率为， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：进馆人次的月平均增长率． （2）略 【题型2】图形边框面积问题 1.（25-26九年级上·广东汕尾·期中）软笔书法承载着中华五千年的灿烂文化，如图1是一幅软笔作品，它是长，宽的矩形．为了美观，现需装裱此作品，将作品四周裱上边衬（上、下边衬宽度相等，左、右边衬宽度也相等），装裱后的作品如图2． （1）若上、下、左、右边衬宽度都相等，均为，求装裱后的作品面积． （2）若左边衬的宽度是上边衬的2倍，装裱后的作品面积变成原作品的倍，求上边衬的宽度是多少？ 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据题意及图形可直接进行求解； （2）设上边衬的宽度是，则左边衬的宽度是，由题意易得，进而求解即可． （1）解：由图可知：装裱后的作品面积为． 答：装裱后的作品面积为． （2）解：设上边衬的宽度是，则左边衬的宽度是，依题意得： ， 整理得：， 解得：（舍去）； 答：此作品上边衬的宽度是． 2.（25-26八年级下·浙江杭州·期中）有一块长30米、宽20米的矩形空地，现要在空地上修建两条纵向平行的小路和一条横向的小路（小路宽度均相等），纵向小路为平行四边形，剩余空地用于铺设塑胶跑道．已知塑胶跑道的面积为504平方米，设小路宽度为米，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 解：根据题意及平移规则可知，若设小路的宽度为米，则剩余部分可合成长为米，宽为米的矩形， ∴可列方程为． 3.（24-25九年级上·山西阳泉·期末）山西剪纸是最古老的传统民间艺术之一，在视觉上给人以镂空的感觉和艺术享受．小雨奶奶以冬奥会元素为主题，裁剪了一张长为，宽为的矩形剪纸（如图所示），小雨为了完好保存剪纸，计划将其塑封，塑封时需四周留白（上下左右宽度相同），且塑封后整幅图的面积为，设留白部分的宽度为，则可列方程为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程解实际问题，根据题意，塑封的长为，宽为，根据塑封后的面积可列式求解． 解：根据题意，得， 故答案为：． 4.（24-25八年级下·浙江金华·期末）用一张长为，宽为的长方形硬纸片，裁去一部分后折成纸盒． （1）如图裁去角上四个小正方形之后，折成如图的无盖纸盒若纸盒底面积为，则纸盒的高是多少？ （2）如图，在纸片左边的两个角裁去两个正方形，纸片右边的两个角裁去两个长方形之后，将剩下的纸片空白部分折成一个有盖的纸盒若折成纸盒的表面积为，则裁去的正方形的边长是多少？ 【答案】（1）纸盒的高为；（2）裁去的正方形的边长为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 对于（1）, 设纸盒的高为，则纸盒的底面是长为，宽为的长方形，根据纸盒底面积为，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； 对于（1），正方形的边长为，根据折成纸盒的表面积为长方形硬纸板的面积阴影部分的面积，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． （1）解：设纸盒的高为，则纸盒的底面是长为，宽为的长方形， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：纸盒的高为； （2）解：设裁去的正方形的边长为，根据题意得： 解得：，不符合题意，舍去． 答：裁去的正方形的边长为． 【题型3】静态几何问题 1.（25-26八年级下·上海普陀·期末）如图，已知菱形的对角线、相交于点O，，比长2．求菱形的面积． 【答案】 【分析】由菱形的性质得，，，利用勾股定理求出，再结合菱形的面积公式计算即可得出结果． 解：∵四边形为菱形， ∴，，， ∵比长2， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴或（负值不符合题意，舍去）， ∴， ∴，， ∴菱形的面积． 2.（24-25九年级上·河北邯郸·阶段检测）如图，四边形是边长为的菱形，对角线，的长度分别是一元二次方程的两个实数根，是边上的高，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的面积和一元二次方程根与系数的关系的应用，根据对角线的长度分别是一二次方程的两实数根，得到，根据菱形的面积公式得到，再根据得到． 解：∵对角线的长度分别是一二次方程的两实数根， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 3.（23-24九年级上·山东德州·期中）菱形中，较短的对角线与较长的对角线长度相差4，若此菱形的面积为6，则这两条对角线的长度之和是___________． 【答案】8 【分析】设菱形较短对角线为，较长对角线为，然后根据菱形的性质可进行求解． 解：设菱形较短对角线为，较长对角线为， 则，解得，（舍）， 当时，， 两条对角线长度之和为． 故答案为8． 【点拨】本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 4.（25-26九年级上·河南南阳·期中）如图，菱形中，m、n、t分别是菱形的两条对角线和边长，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“菱系一元二次方程”．请解决下列问题： （1）填空：①当时，________；②用含m、n的代数式表示_______； （2）求证：关于x的“菱系一元二次方程”必有实数根． 【答案】（1）①；②；（2） 证明：， 这里，， ∴， ∵， ∴， ∴关于x的“菱系一元二次方程”必有实数根． 【分析】（1）由菱形的对角线互相垂直平分得出、的长，再利用勾股定理可得，从而得出答案； （2）此方程的判别式，结合可得答案． （1）解：①菱形中，、、分别是菱形的两条对角线和边长， 当，时，则，， 则，即， 故答案为：； ②由题意知，， 则， ， 故答案为：； （2）略 【点拨】本题考查了菱形的性质、勾股定理、一元二次方程等知识，解题的关键是掌握菱形的性质、一元二次方程的根的判别式等知识点． 【题型4】销售利润问题 1.（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）某农村居委会以16000元的成本收购了一种农产品40吨，目前就可以按600元/吨的价格全部销往外地，如果将该农产品先储藏起来，每星期的重量会损失1吨，且每星期需支付各种费用共400元，每星期每吨的价格能上涨100元，但储藏时间不超过10个星期，那么储藏多少个星期出售这种农产品可获利20500元？ 【答案】储藏5个星期出售这种农产品可获利20500元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系式是解题的关键． 根据题意列出方程求解即可． 解：设储藏x个星期出售这种农产品可获利20500元， 根据题意得：， 解得，，（舍去）， 答：储藏5个星期出售这种农产品可获利20500元． 2.（24-25九年级上·福建泉州·期中）某商场销售一款上衣，每件上衣的进价为50元，当售价为每件80元时，平均每天可售出20件．经调查发现，如果每件上衣降价1元，平均每天可多售出2件．如果商场平均每天想要盈利672元，那么每件上衣的售价应为多少元？小安假设“每件上衣的售价为元”，小溪假设“每件上衣应降价元”，下列说法正确的是（    ） A．按小安的设元方法，则该商场平均每天可售出2x件上衣 B．按小溪的设元方法，则该商场平均每天可售出2y件上衣 C．按小安的设元方法，应列方程为 D．按小溪的设元方法，应列方程为 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；因此此题可根据小安的设元方法和小溪的设元方法结合题意可依次排除选项． 解：A、按小安的设元方法，则该商场平均每天可售出件上衣，故原说法错误； B、按小溪的设元方法，则该商场平均每天可售出件上衣，故原说法错误； C、按小安的设元方法，应列方程为，故原说法错误； D、按小溪的设元方法，应列方程为，故原说法正确； 故选D． 3.（2026·山西长治·三模）山西某品牌老陈醋改进了包装，采用标志性的古建筑作为主视觉元素，直观传递山西地域文化底蕴．某特产店购入的新款包装的老陈醋每瓶进价为40元．市场调查发现，当售价为50元时，平均每天可销售500瓶；售价每上涨1元，平均每天销量减少10瓶．该特产店要想使平均每天销售新包装老陈醋的利润达到8000元，则售价应定为________元． 【答案】60或80 【分析】每瓶售价定为元，则每瓶利润为元，销售量减少瓶，则日销售量为瓶，再由总利润=每瓶利润销量建立一元二次方程求解． 解：每瓶售价定为元， 由题意得，， 整理得， 解得， ∴每瓶售价定为60或80元． 4.（25-26九年级上·河北唐山·期中）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施，假设在一定范围内，衬衫的单价每降2元，商场平均每天可多售出4件； （1）衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出 件； （2）如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？ 【答案】（1）2；（2）衬衫的单价降了15元 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是由题意找到等量关系并列出方程． （1）根据衬衫的单价每降2元，商场平均每天可多售出4件，得出答案即可； （2）设衬衫的单价降了x元．根据题意等量关系：降价后的销量×每件的利润，根据等量关系列出方程即可． （1）解：∵衬衫的单价每降2元，商场平均每天可多售出4件， ∴衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件． （2）解：设衬衫的单价降了x元，根据题意，得： ， 解得：， 答：衬衫的单价降了15元． 三.综合提升 【题型5】矩形面积围栏问题 1.（2026·湖南张家界·模拟预测）如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设． （1）的长用含的代数式表示为 m； （2）现要围成面积为的花圃能行吗？若能，请求出长方形的边长；若不能，请说明理由． 【答案】（1）；（2）解：不能，理由如下： 根据题意，得， 整理，得， 解得， 当时，，不符合题意， 答：不能围成面积为的花圃． 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）根据题意，列方程求得方程的根，检验即可得到答案． （1）解：设， 则； （2）略． 2.（25-26九年级上·河南洛阳·期末）某学校生物兴趣小组在该校空地上围了一块面积为的矩形试验田，用来种植蔬菜．如图，试验田一面靠墙，墙长，另外三面用长的篱笆围成，其中一边开有一扇宽的门（不包括篱笆）．设试验田垂直于墙的一边的长为，则下列所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．先求出的长，再根据面积公式列方程即可． 解：∵试验田垂直于墙的一边的长为， ∴， 则边使用篱笆， ∵边开有一扇宽的门， ∴， ∵面积为， ∴． 故选：B． 3.（25-26九年级上·吉林·阶段检测）电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害．“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段．阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字形．若车棚占地面积为，设电动车车棚的宽为，则列方程为：________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设电动车车棚的宽为，则车棚的长，根据车棚占地面积为，列出一元二次方程即可． 解：设电动车车棚的宽为，则车棚的长， 由题意得，， 故答案为：． 4.（26-27九年级上·全国·课后作业）综合与实践 【问题背景】国家对地下车库设计的核心标准是：过道的宽度不仅是为了“通过”，更是为了车辆安全、顺利地转弯、停入和驶出车位．为保证车辆交会时能安全通过，采取“宁宽勿窄”的原则，设计在条件允许的情况下，双向行驶车道的宽度标准为米． 【数据收集】我市某小区地下车库分为等多个区域，其中A区域为长40米，宽22米的标准矩形场地，规划如图所示，停车场内车道宽度均为x米．另据调查分析，该小区每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，设小区每个车位月租金上涨金额为y元． 【建立模型】 （1）当车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积为时，通过计算判断车道宽度是否符合标准？ （2）若该小区E区域共有停车位50个，当每个车位的月租金上涨多少元时，该区域停车场的月租金收入为10125元？ 【答案】（1）车道宽度符合标准；（2）每个车位月租金上涨25元 【分析】（1）通过平移计算车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积，再列方程求解即可； （2）设该区域每个车位月租金上涨y元，则租出的车位数量为个，再根据“该区域停车场的月租金收入为10125元”列方程求解即可． （1）解：先将图形平移，如解图， 由题意，得， 或（不符合实际，舍去）， ， ∴车道宽度符合标准． （2）解：设该区域每个车位月租金上涨y元，则租出的车位数量为个， 由题意得． 解得， ∴每个车位月租金上涨25元． 【题型6】函数问题 1.（2025·江苏常州·一模）某商店销售乌馒头，通过分析销售情况发现，乌馒头的日销售量y（盒）是销售单价x（元/盒）的一次函数，销售单价、日销售量的部分对应值如下表，已知销售单价不低于成本价且不高于20元，每天销售乌馒头的固定损耗为20元，且成本价为12元/盒． 销售单价x（元/盒） 15 13 日销售量y（盒） 500 700 （1）直接写出乌馒头的日销售量y（盒）与销售单价x（元/盒）的函数表达式并写出自变量的范围； （2）“端午乌馒重阳粽”是慈城的习俗，端午节期间，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，在顾客获得最大实惠的前提下，当乌馒头每盒定价多少元时，商店日销售纯利润为1480元． 【答案】（1）；（2）当乌馒头每盒定价15元时，商店日销售纯利润为1480元 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元二次方程的应用，弄清题意，理清各量间关系是解题的关键． （1）设乌馒头的日销售量y（盒）与销售单价x（元/盒）的函数表达式为，待定系数法即可求解； （2）根据销售量单价损耗费用销售总利润，列出方程，求解即可． （1）解：设函数表达式为，将，；，代入得： ， 解得：， ∵销售单价不低于成本价且不高于20元， ∴， ∴乌馒头的日销售量y（盒）与销售单价x（元/盒）的函数表达式为； （2）解：由题意得：， 解得：，， ∵顾客获得最大实惠， ∴， ∴当乌馒头每盒定价15元时，商店日销售纯利润为1480元． 2.（25-26八年级下·山东·期末）已知一次函数（）的图象不过第三象限，则方程的根的个数为（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 【答案】D 【分析】先根据一次函数位置得到、的取值范围，再分情况讨论方程类型，判断根的个数． 解：∵一次函数的图象不过第三象限， ∴，， 分两种情况讨论： 当时，原方程化为，是一元一次方程，仅有1个根； 当时，原方程为一元二次方程，计算判别式得， ∵，， ∴， ∴，即方程有2个不相等的实数根， 综上，方程根的个数为1个或2个． 3.（24-25九年级上·江苏南通·阶段检测）已知一次函数的图象在y轴上的截距与一次函数的图象在y轴上的截距互为相反数，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与y轴的交点问题．令，分别代入解析式，可求得一次函数在y轴上的截距，根据题意列出一元二次方程，计算即可求得． 解：令，和， 由题意得， 整理得， 解得或， 当时，，不符合题意，舍去， 当时，符合题意， 故答案为：． 4.（25-26八年级下·浙江宁波·期末）某机器人研究小组对机器人行走时的步长（米/步）、步频（步/秒）与步行速度（米/秒）进行研究，步长是指机器人单步前进的距离，步频是指单位时间内机器人完成的步数，则机器人的步行速度步长步频，即．在测试模式下，已知步长与步频满足一次函数（）． （1）当步频（步/秒）时，步长为_______（米/步），步行速度为_______（米/秒）． （2）机器人的步行速度能否达到1.8（米/秒）？若能，请求出此时步频的值；若不能，请说明理由． （3）研究小组记录了某两次测试情况：在第一次测试中，机器人以某步频行走了8米；在第二次测试中，机器人的步频比第一次多了1步/秒，并在与第一次相同的时间内行走了9米，求第一次测试中机器人的步频． 【答案】（1），；（2）能，此时步频的值为；（3）第一次测试中机器人的步频为（步/秒） 【分析】（1）利用题干给出的关系，结合已知的与的一次函数关系求解，第一问直接代入计算即可； （2）令列一元二次方程，判断解是否在范围内； （3）设第一次测试中机器人的步频为（步/秒），则第二次步频为（步/秒） ，分别表示行走时间，再由两次行走时间相等建立方程求解． （1）解：当步频（步/秒）时，步长（米/步），步行速度（米/秒）； （2）解：由，，可得 令，得方程 整理得 解得 ，符合条件 步行速度能达到（米/秒），此时； （3）解：设第一次测试中机器人的步频为（步/秒），则第二次步频为（步/秒） 第一次步行速度为，行走时间为 第二次步行速度为，行走时间为 由两次行走时间相等，得 整理得 解得， ∵， ∴舍去 ∴第一次测试中机器人的步频为2步/秒． 【题型7】动点几何面积问题 1.（25-26九年级下·山东淄博·期末）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． （1）若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． （2）若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 【答案】（1）①经过2秒或4秒后，的面积等于；②的面积不能等于；（2）当为秒或秒，的面积等于． 【分析】（1）①设运动时间为x秒，根据三角形面积公式构建方程求解即可； ②设运动时间为x秒，的面积等于，根据三角形面积公式构建方程，解方程即可判断； （2）分两种情况讨论，用面积公式列方程即可得到答案． （1）解：①设运动时间为x秒，则，， 又， ∴， 根据题意，得， 解得，． ∴经过2秒或4秒后，的面积等于； ②设运动时间为x秒，的面积等于， 根据题意，得， 整理得， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不能等于； （2）解：设运动的时间为t秒， ①当时，， 由题意，得， 解得：，； ②当时，， 由题意，得， 解得：，（舍去）， 综上所述，当为秒或秒时，的面积等于． 2.（25-26八年级下·安徽淮南·期中）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿边向点匀速运动，同时另一点从点出发，以的速度沿射线匀速运动，当的面积为时，运动时间为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】设运动时间为，根据题意列一元二次方程求解即可． 解：设运动时间为，其中，则，, ， 的面积为， ， 解得：或， 即当的面积为时，运动时间为或． 3.（2024·辽宁朝阳·一模）如图，菱形中，，交于，，，动点从出发沿方向以每秒匀速直线运动到，动点从出发沿方向以每秒匀速直线运动到，若，同时出发，问出发后________s时，的面积为菱形面积的？    【答案】1或4 【分析】本题考查了菱形的性质，一元二次方程的应用及分类讨论的数学思想，解题的关键是根据出发后时间的多少确定列方程的方法． 根据点、运动过程中与点的位置关系，分当时，点在线段上，点在线段上、当时，点在线段上，点在线段上和当时，点在线段上，点在线段上三种情况分别讨论． 解：设出发后秒时，． 四边形是菱形，，， ，，，， ， 当时，点在线段上，点在线段上． 此时，， 则； 解得，（舍去） 当时，点在线段上，点在线段上， 此时， 则；化简为， 此时方程，原方程无实数解； 当时，点在线段上，点在线段上， 此时，， 则； 解得（舍去）， 综上所述，出发后或时，． 故答案为：1或4． 4.（25-26九年级上·内蒙古通辽·阶段检测）已知：如图所示，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动． （1）如果、分别从、同时出发，那么几秒后，的面积等于？ （2）在（1）中，的面积能否等于？请说明理由． 【答案】（1）1秒；（2） 解：的面积不能等于，理由如下： 令，即， ∴， 整理得：， 由于，则该方程没有实数根， 在（1）中，的面积不等于． 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决几何问题，根的判别式判断根的情况，解题的关键是掌握找准等量关系，借助方程求解． （1）设时间为秒，根据面积列出方程求解即可； （2）设时间为秒，根据面积列出方程，利用根的判别式进行求解即可． （1）解：设时间为秒，则，，，（秒） ∴， ， 即 解得：，（不合题意，舍去） 答：1秒后，的面积等于； （2）略 【题型8】销售利润与增长率综合问题 1．（26-27九年级上·山东聊城·开学考试）年是中国农历马年，一款“笑笑马”玩偶因缝制失误，意外变成嘴角下撇的“哭哭马”，凭借“反差感”迅速走红，两款玩偶组成“情绪”刷屏社交平台．某商店紧抓商机，以每套元的进价购入“哭哭马+笑笑马”组合套装，以每套元的价格出售．经统计，年月份的销售量为套，年月份的销售量为套． （1）求该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率． （2）从年月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该组合套装每套每降价元，月销售量就会在月份销售量的基础上增加套．当该组合套装的售价为多少元时，月销售利润为元？ 【答案】（1）；（2）当该组合套装的售价为元时，月销售利润为元 【分析】（1）增长率模型：初始量最终量； （2）根据“单件利润销售量总利润”，表示出降价后每件的利润与当月销量，列出一元二次方程，求出符合实际意义的售价． （1）解：设该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率为． 根据题意，得， 解得不合题意，舍去 答：该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率为． （2）设该组合套装的售价为元，则月销售量为套． 根据题意，得， 解得不合题意，舍去 答：当该组合套装的售价为元时，月销售利润为元． 2．（25-26八年级下·浙江金华·期末）某地农业研究所培育海水稻，其中第一期试验田亩产量为，在每期亩产量平均增长率保持不变的情况下，第三期亩产量达到． （1）求每期海水稻亩产量的平均增长率． （2）农业研究所将收获的海水稻对外售卖，且海水稻的进价为每千克4元．经市场调研发现：若售价定为每千克8元，则日销售量为200千克；若售价每提高0.5元，则日销售量减少10千克．当海水稻的定价为每千克多少元时，每天可获利960元？ 【答案】（1）平均增长率为；（2）海水稻的定价为每千克10元或12元 【分析】（1）设平均增长率为，根据“第三期亩产量达到”建立等式求解即可． （2）设海水稻的定价为每千克元，根据“每天可获利960元”建立等式求解即可． （1）解：设平均增长率为， 则， 解得：（负值舍）， 答：每期海水稻亩产量的平均增长率为． （2）解：设海水稻的定价为每千克元，则每千克的利润为元， 根据题意可知，日销售量减少千克，则日销售量为千克， 则：，即， 解得：或12， 答：海水稻的定价为每千克10元或12元． 3．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2023年的32万人增加到2025年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1400元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于998元．已知市政府向该公司支付货款20万元，求购买的这种健身器材的套数． 【答案】（1）；（2）套 【分析】（1）本题为增长率问题，设年均增长率为，利用两年后人数等于初始人数乘以增长率的平方列一元二次方程，舍去不符合题意的负根即可得到结果． （2）先判断购买套数超过100套，再根据优惠规则表示出每套售价，结合总货款列一元二次方程，求解后根据最低售价要求舍去不符合题意的解，即可得到最终结果． （1）解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为，由题意得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答∶该市参加健身运动人数的年均增长率为． （2）解∶（元）， 购买的健身器材套数大于100套， 设购买的健身器材套数为套， 根据题意，每套售价为， 列方程得， 整理得， 解得， 当时，每套售价为元，，符合题意， 当时，每套售价为元，，不符合题意，舍去， 若每套售价最低为998元，购买总套数不是正整数，不符合实际，该情况不存在， 综上所述，购买的这种健身器材的套数为200套， 答∶购买的这种健身器材的套数为200套． 4．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）长鑫存储是合肥市政府重大招商引资项目，也是国内专注于存储芯片研发、生产与销售的龙头企业，坐落于合肥经开区，实现了存储芯片自主化突破，旗下内存产品广泛应用于电脑、服务器等设备．随着技术不断成熟与市场需求增长，企业经营业绩稳步攀升．请结合以下信息解答问题． （1）长鑫存储2023年全年营收为90亿元，2025年全年营收达到608.4亿元，求2023年至2025年这两年营收的年平均增长率． （2）某经销商主营长鑫内存条，该内存条进价为240元/条．经市场调研：当售价定为300元/条时，每月可售出200条；若售价每降低5元，每月销量可增加25条．为减少库存，若该经销商每月想要获得12375元的销售利润，求此时内存条的实际售价． 【答案】（1）年平均增长率为；（2）内存条实际售价为元 【分析】（1）设至年平均增长率为，结合2025年全年营收达到608.4亿元，再建立方程求解即可； （2）设每条内存条降价元，可得单件利润：，月销量：，进一步列方程求解即可. （1）解：设至年平均增长率为， ∴， ， 开平方，得， 增长率不能为负，故舍去， 所以， 即， 答：年平均增长率为． （2）解：设每条内存条降价元，则 单件利润：， 月销量：， ∴， 化简得：， ， 解得，． 越大，销售量越大，库存越少，所以舍去， 当时，售价：元， 答：内存条实际售价为元． 四.拓展探究 【题型9】综合探究 1．（2026·湖北咸宁·模拟预测）数学兴趣课上，老师拿出两盒数量相同的棋子，分给奋进组和探究组各一盒．开展有关“形数”的探究活动．最终同学们经过讨论，分别设计出如下两种方案： 奋进组的同学按照图①所示的方式摆放 探究组的同学按照图②所示的方式摆放 【观察与思考】 （1）先研究特殊情况，若两组都摆放6层，则奋进组共用去棋子的数量为____枚，探究组共用去棋子的数量为____枚； （2）再探究一般情况，若摆放层，奋进组共用去棋子的数量为____枚，探究组共用去棋子的数量为____枚；（用含有的式子表示） 【拓展探究】 （3）若奋进组按照图①所示的方式摆放老师所给的一盒棋子，完整摆完最后一层后恰好用完，探究组按照图②所示的方式摆放老师所给的一盒棋子，完整摆完最后一层后还剩下8枚棋子，且比奋进组多摆了4层，请计算一盒棋子的数量为多少枚？ 【答案】（1）36，21；（2），；（3）144枚 【分析】（1）摆放6层，奋进组共用去棋子的数量为；探究组共用去棋子的数量为，再计算即可； （2）令奋进组共用去棋子的数量为：，则，两式子相加即可得到奋进组共用去棋子的数量；探究组共用去棋子的数量为：； （3）设奋进组共摆放了层，则探究组摆放了层，由题意，得，再解一元二次方程即可． （1）解：奋进组共用去棋子的数量为（枚） 探究组共用去棋子的数量为（枚）. （2）解：令奋进组共用去棋子的数量为：， 则， 两式子相加得：， ∴； 探究组共用去棋子的数量为：， （3）解：设奋进组共摆放了层，则探究组摆放了层， 由题意，得， 解得，（舍去）， 一盒棋子的数量为（枚）， 答：一盒棋子的数量为144枚． 2．（2025·福建三明·一模）【问题情境】 九年级上册《综合与实践》中的“猜想、证明与拓广”中，对于矩形的“减半”问题进行研究，即：任意给定一个矩形，是否一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？ 【理解探究】 （1）小明同学分别研究了长和宽为2和1，3和1，4和1，5和1这四个矩形，发现都不存在“减半”矩形，因此得出结论：对于长为，宽为1的已知矩形，一定不存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半．你认为小明得出的结论是否正确？如果正确，请用小明研究的这四个矩形中的任意一个进行验证；如果不正确，请举例，并说明理由； 【拓展延伸】 （2）若已知矩形的长为，宽为，是否存在另一个矩形，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半？如果存在，写出与应满足的关系式；如果不存在，说明理由． 【答案】（1）小明得出的结论不正确． 举例说明如下： 若已知矩形的长为6，宽为1，则已知矩形的周长为，面积为， 设周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半的另一个矩形的长为，则它的宽为， 由题意得：， 解得或， 当时，，不符合题设，舍去， 当时，，符合题设， 所以周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半的另一个矩形的长为2，宽为， 即对于长为6，宽为1的已知矩形，存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半． （2）存在，此时与应满足的关系式为 【分析】本题考查了矩形、一元二次方程的应用、一元二次方程根的判别式等知识，熟练掌握一元二次方程的应用是解题关键． （1）小明得出的结论不正确．举例说明：若已知矩形的长为6，宽为1，设周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半的另一个矩形的长为，则它的宽为，根据矩形的面积公式建立方程，解方程求出的值，由此即可得； （2）设长为，宽为另一个矩形，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半，建立方程组，化简可得一个关于的一元二次方程，利用一元二次方程根的判别式求解即可得． 解：（1）略 （2）设“减半”矩形长为，宽为另一个矩形，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半， 由题意得：， 由①得：③， 将③代入②得：，即， 则当关于的一元二次方程有实数根时，存在另一个矩形，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半， 所以这个方程根的判别式， 整理得：， 综上，存在另一个矩形，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半，此时与应满足的关系式为． 五.中考链接 一、单选题 1．（2025·山东滨州·中考真题）某市大力推进新能源汽车充电桩建设，助力绿色交通发展．截至2025年初，全市公共充电桩数量已从2023年初的10万个增长至16.9万个．设全市公共充电桩数量的年平均增长率为x，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用，涉及年平均增长率的计算．从2023年初到2025年初是两年时间，设年平均增长率为x，则两年后的数量为初始数量乘以的平方． 解：∵ 初始数量为10万个，两年后数量为16.9万个，年平均增长率为x， ∴ 一年后数量为，两年后数量为， ∴ 可列方程：， 故选：B． 2．（2024·内蒙古·中考真题）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平步，其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设长为x步，则下列符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列一元二次方程，找准等量关系是解题关键．先求出宽为步，再利用矩形的面积公式列出方程即可得． 解：由题意可知，宽为步， 则可列方程为， 故选：C． 3．（2025·四川广元·中考真题）如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程在几何图形面积问题中的应用，解题的关键是根据花卉带宽度相同的条件，正确表示出中间草坪的长和宽，再结合草坪面积与总面积的关系列出方程． 确定矩形总面积：矩形地面长、宽总面积为分析草坪的长和宽：花卉带宽度为且在四周，因此草坪的长需减去左右两侧花卉带宽度（共即草坪的宽需减去上下两侧花卉带宽度（共即列面积关系方程：草坪面积为且等于总面积的，由此确定方程形式． 解：根据题意，矩形地面的总面积为，草坪面积为总面积的，即草坪面积为． ∵花卉带宽度为，且分布在矩形四周， ∴中间草坪的长应等于原矩形的长减去左右两侧花卉带的总宽度（每侧宽即 草坪的宽应等于原矩形的宽减去上下两侧花卉带的总宽度（每侧宽即． 因此，草坪的面积可表示为结合面积关系可列方程： 故选：D． 二、填空题 4．（2024·重庆·中考真题）重庆在低空经济领域实现了新的突破．今年第一季度低空飞行航线安全运行了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次．设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为，根据题意，可列方程为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为，则第二季度低空飞行航线安全运行了架次，第三季度低空飞行航线安全运行了架次，据此列出方程即可． 解：设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为， 由题意得，， 故答案为：． 5．（2024·四川绵阳·中考真题）超市销售某种礼盒，该礼盒的原价为500元．因销量持续攀升，商家在3月份提价20%，后发现销量锐减，于是经过核算决定在3月份售价的基础上，4，5月份按照相同的降价率r连续降价．已知5月份礼盒的售价为486元，则______． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，掌握运用一元二次方程解决增长率问题成为解题的关键． 4月份价格从元开始降价，如果两个月平均降价率为r，根据“5月份的售价为486元”作为相等关系得到方程求解即可． 解：根据题意得， 解得，（不合理舍去）． 所以4，5月份两个月平均降价率为．即． 故答案为：． 6．（2025·山东威海·中考真题）如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为，则折成立方体的棱长为___________． 【答案】/ 【分析】本题考查了正方体的展开图、正方形的性质、勾股定理以及一元二次方程的求解等知识； 如图，设，则，根据勾股定理列出方程求解即可． 解：如图，设，则， 则在直角三角形中，由勾股定理可得：， 即， 解得：或（舍去）， ∴正方体的棱长为cm， 故答案为：． 三、解答题 7．（2024·西藏·中考真题）列方程（组）解应用题 某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同． （1）求该商场投入资金的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？ 【答案】（1）该商场投入资金的月平均增长率；（2）预计该商场七月份投入资金将达到万元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）设该商场投入资金的月平均增长率为，根据“四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元”列出一元二次方程，解方程即可得出答案； （2）根据（1）中求得的增长率，即可求得七月份投入资金． （1）解：设该商场投入资金的月平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴该商场投入资金的月平均增长率； （2）解：（万元）， ∴预计该商场七月份投入资金将达到万元． 8．（2025·江苏南通·中考真题）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）． （1）求方案一中与墙垂直的边的长度； （2）要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 【答案】（1）15米；（2）当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大． 【分析】考查了一元二次方程的应用以及二次函数的实际应用，熟练掌握矩形的周长、面积公式，以及二次函数的性质（如顶点式求最值）是解题的关键． （1）设与墙垂直的边为，根据矩形周长（栅栏总长）表示出与墙平行的边，再结合面积公式列方程求解． （2）设与墙平行的边为，根据栅栏总长和出口情况表示出与墙垂直的边，从而得出面积函数，利用二次函数性质求最大值时的值． （1）解：设与墙垂直的边的长度为，则与墙平行的边的长度为， 根据题意得， 解得 答：与墙垂直的边的长度为15米； （2）解：设与墙平行的长度为，花圃的面积为， 根据题意得 ∴ ∵， ∴当时，有最大值363， 答：当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大． 六.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 巩固性作业 □顺利 □有困难 拓展性作业 □顺利 □有困难 探究性作业 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4 用一元二次方程解决问题【分层作业】 2026—2027学年苏科版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.基础巩固 2 【题型1】增长率与下降率问题 2 【题型2】图形边框面积问题 3 【题型3】静态几何问题 5 【题型4】销售利润问题 5 三.综合提升 7 【题型5】矩形面积围栏问题 7 【题型6】函数问题 9 【题型7】动点几何面积问题 11 【题型8】销售利润与增长率综合问题 13 四.拓展探究 13 【题型9】综合探究 14 五.中考链接 14 六.自我评价 19 一.知识梳理（前置作业） 请完成下列核心步骤、模型公式、数量关系填空（本节解题必考默写内容）： 1. 一元二次方程解应用题五步核心步骤 ① ________；② ________；③ ________；④ ________；⑤ _______（取舍作答）。 2. 增长率、下降率模型 设基数为，平均增长率（下降率）为，增长（下降）次数为，最终量为。 （1）连续增长公式：_____________（2）连续下降公式：_____________ （3）常见考法：连续两次变化，即，增长：_______；下降：________。 3. 销售利润问题（核心关系式填空） （1）单件利润 = 售价 － ____________（2）总利润 = ____________ × 销售数量 二.基础巩固 【题型1】增长率问题 1.（26-27九年级上·全国·课后作业）随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车10月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，12月份的销售量达到4.32万辆．求从10月份到12月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． 2.（26-27九年级上·北京西城·开学考试）某厂家某种产品2026年1至5月份的产量统计图如图所示．设从2月份到4月份该厂家这种产品产量的月平均增长率为，根据题意可列方程（     ） A． B． C． D． 3.（25-26八年级下·江苏扬州·期末）生成式AI被认为将为全球经济贡献约7万亿美元的价值，我国率先加大投入研究开发AI技术，预计两年内对这项技术的投入从300亿美元增长到507亿美元．设两年内我国平均每年投入增长的百分率为，则可列方程为_________． 4.（25-26九年级上·山东济宁·期中）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”学校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆200人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末进馆288人次．若进馆人次的月平均增长率相同： （1）求进馆人次的月平均增长率； （2）因学校条件限制，图书馆月接纳能力不超过400人次．在进馆人次月平均增长率不变的前提下，学校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次？请说明理由 【题型2】图形边框面积问题 1.（25-26九年级上·广东汕尾·期中）软笔书法承载着中华五千年的灿烂文化，如图1是一幅软笔作品，它是长，宽的矩形．为了美观，现需装裱此作品，将作品四周裱上边衬（上、下边衬宽度相等，左、右边衬宽度也相等），装裱后的作品如图2． （1）若上、下、左、右边衬宽度都相等，均为，求装裱后的作品面积． （2）若左边衬的宽度是上边衬的2倍，装裱后的作品面积变成原作品的倍，求上边衬的宽度是多少？ 2.（25-26八年级下·浙江杭州·期中）有一块长30米、宽20米的矩形空地，现要在空地上修建两条纵向平行的小路和一条横向的小路（小路宽度均相等），纵向小路为平行四边形，剩余空地用于铺设塑胶跑道．已知塑胶跑道的面积为504平方米，设小路宽度为米，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 3.（24-25九年级上·山西阳泉·期末）山西剪纸是最古老的传统民间艺术之一，在视觉上给人以镂空的感觉和艺术享受．小雨奶奶以冬奥会元素为主题，裁剪了一张长为，宽为的矩形剪纸（如图所示），小雨为了完好保存剪纸，计划将其塑封，塑封时需四周留白（上下左右宽度相同），且塑封后整幅图的面积为，设留白部分的宽度为，则可列方程为______． 4.（24-25八年级下·浙江金华·期末）用一张长为，宽为的长方形硬纸片，裁去一部分后折成纸盒． （1）如图裁去角上四个小正方形之后，折成如图的无盖纸盒若纸盒底面积为，则纸盒的高是多少？ （2）如图，在纸片左边的两个角裁去两个正方形，纸片右边的两个角裁去两个长方形之后，将剩下的纸片空白部分折成一个有盖的纸盒若折成纸盒的表面积为，则裁去的正方形的边长是多少？ 【题型3】静态几何问题 1.（25-26八年级下·上海普陀·期末）如图，已知菱形的对角线、相交于点O，，比长2．求菱形的面积． 2.（24-25九年级上·河北邯郸·阶段检测）如图，四边形是边长为的菱形，对角线，的长度分别是一元二次方程的两个实数根，是边上的高，则的长为（   ） A． B． C． D． 3.（23-24九年级上·山东德州·期中）菱形中，较短的对角线与较长的对角线长度相差4，若此菱形的面积为6，则这两条对角线的长度之和是___________． 4.（25-26九年级上·河南南阳·期中）如图，菱形中，m、n、t分别是菱形的两条对角线和边长，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“菱系一元二次方程”．请解决下列问题： （1）填空：①当时，________；②用含m、n的代数式表示_______； （2）求证：关于x的“菱系一元二次方程”必有实数根． 【题型4】销售利润问题 1.（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）某农村居委会以16000元的成本收购了一种农产品40吨，目前就可以按600元/吨的价格全部销往外地，如果将该农产品先储藏起来，每星期的重量会损失1吨，且每星期需支付各种费用共400元，每星期每吨的价格能上涨100元，但储藏时间不超过10个星期，那么储藏多少个星期出售这种农产品可获利20500元？ 2.（24-25九年级上·福建泉州·期中）某商场销售一款上衣，每件上衣的进价为50元，当售价为每件80元时，平均每天可售出20件．经调查发现，如果每件上衣降价1元，平均每天可多售出2件．如果商场平均每天想要盈利672元，那么每件上衣的售价应为多少元？小安假设“每件上衣的售价为元”，小溪假设“每件上衣应降价元”，下列说法正确的是（    ） A．按小安的设元方法，则该商场平均每天可售出2x件上衣 B．按小溪的设元方法，则该商场平均每天可售出2y件上衣 C．按小安的设元方法，应列方程为 D．按小溪的设元方法，应列方程为 3.（2026·山西长治·三模）山西某品牌老陈醋改进了包装，采用标志性的古建筑作为主视觉元素，直观传递山西地域文化底蕴．某特产店购入的新款包装的老陈醋每瓶进价为40元．市场调查发现，当售价为50元时，平均每天可销售500瓶；售价每上涨1元，平均每天销量减少10瓶．该特产店要想使平均每天销售新包装老陈醋的利润达到8000元，则售价应定为________元． 4.（25-26九年级上·河北唐山·期中）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施，假设在一定范围内，衬衫的单价每降2元，商场平均每天可多售出4件； （1）衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出 件； （2）如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？ 三.综合提升 【题型5】矩形面积围栏问题 1.（2026·湖南张家界·模拟预测）如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设． （1）的长用含的代数式表示为 m； （2）现要围成面积为的花圃能行吗？若能，请求出长方形的边长；若不能，请说明理由． 2.（25-26九年级上·河南洛阳·期末）某学校生物兴趣小组在该校空地上围了一块面积为的矩形试验田，用来种植蔬菜．如图，试验田一面靠墙，墙长，另外三面用长的篱笆围成，其中一边开有一扇宽的门（不包括篱笆）．设试验田垂直于墙的一边的长为，则下列所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 3.（25-26九年级上·吉林·阶段检测）电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害．“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段．阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字形．若车棚占地面积为，设电动车车棚的宽为，则列方程为：________． 4.（26-27九年级上·全国·课后作业）综合与实践 【问题背景】国家对地下车库设计的核心标准是：过道的宽度不仅是为了“通过”，更是为了车辆安全、顺利地转弯、停入和驶出车位．为保证车辆交会时能安全通过，采取“宁宽勿窄”的原则，设计在条件允许的情况下，双向行驶车道的宽度标准为米． 【数据收集】我市某小区地下车库分为等多个区域，其中A区域为长40米，宽22米的标准矩形场地，规划如图所示，停车场内车道宽度均为x米．另据调查分析，该小区每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，设小区每个车位月租金上涨金额为y元． 【建立模型】 （1）当车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积为时，通过计算判断车道宽度是否符合标准？ （2）若该小区E区域共有停车位50个，当每个车位的月租金上涨多少元时，该区域停车场的月租金收入为10125元？ 【题型6】函数问题 1.（2025·江苏常州·一模）某商店销售乌馒头，通过分析销售情况发现，乌馒头的日销售量y（盒）是销售单价x（元/盒）的一次函数，销售单价、日销售量的部分对应值如下表，已知销售单价不低于成本价且不高于20元，每天销售乌馒头的固定损耗为20元，且成本价为12元/盒． 销售单价x（元/盒） 15 13 日销售量y（盒） 500 700 （1）直接写出乌馒头的日销售量y（盒）与销售单价x（元/盒）的函数表达式并写出自变量的范围； （2）“端午乌馒重阳粽”是慈城的习俗，端午节期间，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，在顾客获得最大实惠的前提下，当乌馒头每盒定价多少元时，商店日销售纯利润为1480元． 2.（25-26八年级下·山东·期末）已知一次函数（）的图象不过第三象限，则方程的根的个数为（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 3.（24-25九年级上·江苏南通·阶段检测）已知一次函数的图象在y轴上的截距与一次函数的图象在y轴上的截距互为相反数，则_______． 4.（25-26八年级下·浙江宁波·期末）某机器人研究小组对机器人行走时的步长（米/步）、步频（步/秒）与步行速度（米/秒）进行研究，步长是指机器人单步前进的距离，步频是指单位时间内机器人完成的步数，则机器人的步行速度步长步频，即．在测试模式下，已知步长与步频满足一次函数（）． （1）当步频（步/秒）时，步长为_______（米/步），步行速度为_______（米/秒）． （2）机器人的步行速度能否达到1.8（米/秒）？若能，请求出此时步频的值；若不能，请说明理由． （3）研究小组记录了某两次测试情况：在第一次测试中，机器人以某步频行走了8米；在第二次测试中，机器人的步频比第一次多了1步/秒，并在与第一次相同的时间内行走了9米，求第一次测试中机器人的步频． 【题型7】动点几何面积问题 1.（25-26九年级下·山东淄博·期末）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． （1）若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． （2）若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 2.（25-26八年级下·安徽淮南·期中）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿边向点匀速运动，同时另一点从点出发，以的速度沿射线匀速运动，当的面积为时，运动时间为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 3.（2024·辽宁朝阳·一模）如图，菱形中，，交于，，，动点从出发沿方向以每秒匀速直线运动到，动点从出发沿方向以每秒匀速直线运动到，若，同时出发，问出发后________s时，的面积为菱形面积的？    4.（25-26九年级上·内蒙古通辽·阶段检测）已知：如图所示，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动． （1）如果、分别从、同时出发，那么几秒后，的面积等于？ （2）在（1）中，的面积能否等于？请说明理由． 【题型8】销售利润与增长率综合问题 1．（26-27九年级上·山东聊城·开学考试）年是中国农历马年，一款“笑笑马”玩偶因缝制失误，意外变成嘴角下撇的“哭哭马”，凭借“反差感”迅速走红，两款玩偶组成“情绪”刷屏社交平台．某商店紧抓商机，以每套元的进价购入“哭哭马+笑笑马”组合套装，以每套元的价格出售．经统计，年月份的销售量为套，年月份的销售量为套． （1）求该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率． （2）从年月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该组合套装每套每降价元，月销售量就会在月份销售量的基础上增加套．当该组合套装的售价为多少元时，月销售利润为元？ 2．（25-26八年级下·浙江金华·期末）某地农业研究所培育海水稻，其中第一期试验田亩产量为，在每期亩产量平均增长率保持不变的情况下，第三期亩产量达到． （1）求每期海水稻亩产量的平均增长率． （2）农业研究所将收获的海水稻对外售卖，且海水稻的进价为每千克4元．经市场调研发现：若售价定为每千克8元，则日销售量为200千克；若售价每提高0.5元，则日销售量减少10千克．当海水稻的定价为每千克多少元时，每天可获利960元？ 3．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2023年的32万人增加到2025年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1400元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于998元．已知市政府向该公司支付货款20万元，求购买的这种健身器材的套数． 4．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）长鑫存储是合肥市政府重大招商引资项目，也是国内专注于存储芯片研发、生产与销售的龙头企业，坐落于合肥经开区，实现了存储芯片自主化突破，旗下内存产品广泛应用于电脑、服务器等设备．随着技术不断成熟与市场需求增长，企业经营业绩稳步攀升．请结合以下信息解答问题． （1）长鑫存储2023年全年营收为90亿元，2025年全年营收达到608.4亿元，求2023年至2025年这两年营收的年平均增长率． （2）某经销商主营长鑫内存条，该内存条进价为240元/条．经市场调研：当售价定为300元/条时，每月可售出200条；若售价每降低5元，每月销量可增加25条．为减少库存，若该经销商每月想要获得12375元的销售利润，求此时内存条的实际售价． 四.拓展探究 【题型9】综合探究 1．（2026·湖北咸宁·模拟预测）数学兴趣课上，老师拿出两盒数量相同的棋子，分给奋进组和探究组各一盒．开展有关“形数”的探究活动．最终同学们经过讨论，分别设计出如下两种方案： 奋进组的同学按照图①所示的方式摆放 探究组的同学按照图②所示的方式摆放 【观察与思考】 （1）先研究特殊情况，若两组都摆放6层，则奋进组共用去棋子的数量为____枚，探究组共用去棋子的数量为____枚； （2）再探究一般情况，若摆放层，奋进组共用去棋子的数量为____枚，探究组共用去棋子的数量为____枚；（用含有的式子表示） 【拓展探究】 （3）若奋进组按照图①所示的方式摆放老师所给的一盒棋子，完整摆完最后一层后恰好用完，探究组按照图②所示的方式摆放老师所给的一盒棋子，完整摆完最后一层后还剩下8枚棋子，且比奋进组多摆了4层，请计算一盒棋子的数量为多少枚？ 2．（2025·福建三明·一模）【问题情境】 九年级上册《综合与实践》中的“猜想、证明与拓广”中，对于矩形的“减半”问题进行研究，即：任意给定一个矩形，是否一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？ 【理解探究】 （1）小明同学分别研究了长和宽为2和1，3和1，4和1，5和1这四个矩形，发现都不存在“减半”矩形，因此得出结论：对于长为，宽为1的已知矩形，一定不存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半．你认为小明得出的结论是否正确？如果正确，请用小明研究的这四个矩形中的任意一个进行验证；如果不正确，请举例，并说明理由； 【拓展延伸】 （2）若已知矩形的长为，宽为，是否存在另一个矩形，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半？如果存在，写出与应满足的关系式；如果不存在，说明理由． 五.中考链接 一、单选题 1．（2025·山东滨州·中考真题）某市大力推进新能源汽车充电桩建设，助力绿色交通发展．截至2025年初，全市公共充电桩数量已从2023年初的10万个增长至16.9万个．设全市公共充电桩数量的年平均增长率为x，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·内蒙古·中考真题）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平步，其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设长为x步，则下列符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·四川广元·中考真题）如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（2024·重庆·中考真题）重庆在低空经济领域实现了新的突破．今年第一季度低空飞行航线安全运行了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次．设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为，根据题意，可列方程为________． 5．（2024·四川绵阳·中考真题）超市销售某种礼盒，该礼盒的原价为500元．因销量持续攀升，商家在3月份提价20%，后发现销量锐减，于是经过核算决定在3月份售价的基础上，4，5月份按照相同的降价率r连续降价．已知5月份礼盒的售价为486元，则______． 6．（2025·山东威海·中考真题）如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为，则折成立方体的棱长为___________． 三、解答题 7．（2024·西藏·中考真题）列方程（组）解应用题 某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同． （1）求该商场投入资金的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？ 8．（2025·江苏南通·中考真题）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）． （1）求方案一中与墙垂直的边的长度； （2）要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 六.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 巩固性作业 □顺利 □有困难 拓展性作业 □顺利 □有困难 探究性作业 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $