2.2 基本不等式课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦基本不等式，以“100米篱笆围矩形菜地求最大面积”为导入，通过数据计算引导学生观察规律，再从重要不等式推导定理，构建“观察-猜想-证明-应用”的学习支架，衔接具体问题与抽象知识。 其亮点在于问题驱动探究，结合数据观察培养数学眼光，代数推导与半圆几何证明发展数学思维，“一正二定三相等”口诀强化数学语言表达。实例丰富如“1的代换”，助学生掌握求最值方法，教师可直接用此提升教学效率与学生逻辑推理能力。

人教A版 · 必修第一册 · 第二章 2.2 基本不等式 周长固定时，正方形的面积为什么最大？ 新授课 · 第二章 一元二次函数、方程和不等式 1.7.2013 同学们好，今天我们学习第二章第二节《基本不等式》。先看封面副标题——周长固定时，正方形的面积为什么最大？这个问题看似简单，但背后藏着一个非常重要的不等式工具，它在求最值、证明不等式中都有广泛应用。这节课我们就从这个围地问题出发，一步步认识它、证明它、使用它。 ‹#› 00 · 本课导航 这节课，我们要走完哪三步？ 核心问题：用 100 m 长的篱笆围成矩形菜地，长和宽取多少时面积最大？ 01 观察 换几组长和宽算一算，看看面积什么时候最大、什么时候变小。 02 证明 从已经学过的重要不等式 a²+b²≥2ab 出发，严格推出基本不等式。 03 应用 记住"一正、二定、三相等"，会用它求最大值和最小值。 1.7.2013 这节课我们围绕一个具体问题展开：用100米篱笆围矩形菜地，怎样围面积最大？我们分三步走。第一步先观察，换几组长和宽算一算，凭直觉发现规律；第二步证明，从学过的重要不等式严格推出基本不等式；第三步应用，掌握使用口诀，会求最值。请大家带着核心问题往下走。 ‹#› 01 · 观察 100 米篱笆，围成矩形菜地，怎样围面积最大？ 设矩形的长为 m，因为周长固定为 100 m， 所以长 + 宽 = 50 m，宽就是 m。 面积 。 问题来了： 长和宽一个变大、另一个就变小，面积到底怎么变？ x m 宽 x 周长 = 2(x + 50 − x) = 100 m（定值） 1.7.2013 先来看引题。用100米篱笆围矩形菜地，怎样围面积最大？我们设长为x米，因为周长固定100米，所以长加宽等于50米，宽就是50减x米，面积S等于x乘以(50减x)。这里有一个难点：长变大宽就变小，面积到底怎么变？直觉可能告诉我们正方形面积最大，但这只是猜想，下面我们用数据验证。 ‹#› 01 · 观察 换几组长和宽算一算，发现了什么？ 长 x（m） 宽 50−x（m） 面积 S（m²） 5 45 225 10 40 400 15 35 525 20 30 600 25 25 625 30 20 600 观察结论 · 长和宽差距越大，面积越小； · 长和宽越接近，面积越大； · 当长 = 宽 = 25 时， 面积最大为 625 m²。 猜想：两个正数的和一定时，两数相等，它们的乘积最大。这个猜想对吗？怎么严格证明？ 1.7.2013 我们来算几组数据。长取5米时宽45米，面积225；长10米宽40米，面积400；长15米宽35米，面积525；长20米宽30米，面积600；长25米宽25米，面积625；再长30米宽20米，面积又回到600。大家发现规律了吗？长和宽差距越大，面积越小；越接近，面积越大；长和宽相等时面积最大。这只是猜想，接下来我们要严格证明。 ‹#› 02 · 证明 先回忆一位"老熟人"：重要不等式 对 任意实数 ，都有： 　当且仅当 时等号成立 证明（作差法）： 因为平方数恒非负，所以 ；当且仅当 即 时取等号。 1.7.2013 证明从哪里出发呢？从一位老熟人——重要不等式。我们已经学过：对任意实数a和b，都有a方加b方大于等于2ab，当且仅当a等于b时等号成立。证明很简单，作差：a方加b方减2ab等于(a减b)的平方，而平方数恒大于等于0，所以不等式成立。注意，这个不等式对全体实数都成立，不要求a和b是正数。这就是我们推导基本不等式的出发点。 ‹#› 02 · 证明（核心推导） 在重要不等式里做一次"换元"，能得到什么？ 重要不等式对任意实数 a、b 成立。现在我们只让 a、b 取正数——做一次换元： 第 1 步 出发点：（a、b 为任意实数） 第 2 步 令 （其中 ，保证算术平方根有意义） 第 3 步 代入得： 结论 两边同除以 2，并把字母换回 a、b：（） 1.7.2013 这是本节课最关键的推导。第一步，出发点是重要不等式a方加b方大于等于2ab，它对任意实数都成立。第二步，现在我们只让a和b取正数，做一次换元：令a等于根号x，b等于根号y，其中x和y都大于0，这样才能保证根号有意义。第三步，代入重要不等式，左边根号x的平方就是x，根号y的平方就是y，所以得到x加y大于等于2倍根号xy。最后两边同除以2，把字母换回a和b，就得到了基本不等式：根号ab小于等于二分之a加b，其中a和b都是正数。注意等号成立的条件是a等于b。 ‹#› 02 · 证明 这就是"基本不等式"：它在说什么？ （） 当且仅当 时，等号成立。 左边 叫做 a、b 的几何平均数 右边 叫做 a、b 的算术平均数 一句话记忆：两个正数的几何平均数，不大于它们的算术平均数。 1.7.2013 这就是基本不等式：根号ab小于等于二分之a加b，其中a和b都是正数，当且仅当a等于b时等号成立。注意左右两边各有名字：左边根号ab叫几何平均数，右边二分之a加b叫算术平均数。所以基本不等式也可以说成：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数。这个不等方向千万不要记反——是几何平均小于等于算术平均。 ‹#› 02 · 证明 画个半圆就看明白了：半弦为什么不大于半径？ AB 为直径，长度 a + b； D 把 AB 分成 AD = a，DB = b； CD ⊥ AB，交半圆于 C。 由射影定理：CD² = AD · DB = ab， 所以 CD = √ab。 半径 OC = (a+b)/2。 因为 CD 是弦，OC 是半径， 所以 CD ≤ OC，即 √ab ≤ (a+b)/2。 当 D 与圆心重合，即 a = b 时，CD = OC。 1.7.2013 基本不等式还可以用几何图形直观理解。以a加b为直径作半圆，点D把直径分成a和b两段，过D作垂线交半圆于C。由射影定理，CD的平方等于AD乘DB等于ab，所以CD等于根号ab。而半径OC等于(a+b)/2。从图上一眼看出，CD是弦，OC是半径，弦永远不大于半径，所以根号ab小于等于二分之a加b。当D与圆心重合，也就是a等于b时，CD等于OC，等号成立。 ‹#› 03 · 应用 用它求最值，必须守住哪三条？ 一正 参与运算的两个数（或式子）必须都是正数。如果是负数，不能直接套公式。 二定 和或积必须是定值：积定和有最小值，和定积有最大值。 三相等 等号必须真的能取到——即存在 a = b 的情况。取不到等号，最值就不成立。 口诀：一正、二定、三相等——三条缺一不可。 1.7.2013 用基本不等式求最值，必须同时满足三个条件，简称"一正二定三相等"。第一，两个数必须都是正数，负数不能直接用。第二，和或积必须是定值——积是定值时和有最小值，和是定值时积有最大值。第三，等号必须真的能取到，也就是两个数确实能相等。这三条缺一不可，后面我们会通过例题看到，漏掉任何一条都会出错。 ‹#› 03 · 应用 · 例1 当 x > 0 时， 的最小值是多少？ ① 看"一正" ，，两个都是正数，可以用。 ② 看"二定" ，积为定值 → 积定，和有最小值。 ③ 套公式 ④ 看"三相等" 当 ，即 时取等号。 结论：当 x = 1 时， 取得最小值 2。 1.7.2013 我们来做第一道例题：x大于0时，x加x分之一的最小值是多少？按口诀三步走。第一，一正：x大于0，x分之一也大于0，都是正数。第二，二定：x乘x分之一等于1，积是定值，所以和有最小值。第三，套公式：x加x分之一大于等于2倍根号下x乘x分之一等于2。最后检查三相等：当x等于x分之一，即x等于1时等号成立。所以最小值是2。 ‹#› 03 · 应用 · 例2 回到开头的围地问题：答案出来了 面积 ，其中 ，且 为定值。 由基本不等式（和定 → 积最大）： 当且仅当 ，即 时取等号。 结论：当长 = 宽 = 25 m 时（即正方形），面积最大为 625 m²。 1.7.2013 现在我们回到开头的围地问题。面积S等于x乘(50减x)，x和50减x都是正数，而且它们的和等于50，是定值。由基本不等式，积定和最大反过来——和定，积最大。所以x乘(50减x)小于等于二分之x加(50减x)的平方，也就是25的平方等于625。当x等于50减x，即x等于25时取等号。结论：围成边长25米的正方形时面积最大，为625平方米。我们的猜想被严格证明了。 ‹#› 03 · 应用 · 易错警示 已知 x > 2，求 的最小值——最小值真是 2 吗？ 常见错误做法 因为 ， 所以 ， 最小值为 2。 错在哪里？ 等号成立要求 ，即 但题目条件是 ！ x = 1 不在定义域内，等号取不到，2 就不是最小值。 记住：用基本不等式求最值，"三相等"是最后一道检查—— 等号成立的条件（a = b）必须在给定的取值范围内。取不到等号，就不能用基本不等式下结论。 1.7.2013 这是一个经典易错题目。已知x大于2，求x加x分之一的最小值。很多同学会直接套公式：x乘x分之一等于1，所以x加x分之一大于等于2，最小值是2。但这是错的！因为等号成立要求x等于x分之一，即x等于1，而题目条件是x大于2，x等于1不在定义域内，等号根本取不到。所以2不是最小值。这就是"三相等"的重要性——用公式之前一定要检查等号能不能真的取到。 ‹#› 03 · 应用 · 例3 和不是定值怎么办？——凑一凑 已知 ，求 的最大值。 直接看：，不是定值，不能直接套公式。 配凑思路：提取系数，凑出"和为定值"的两项。 ，而 （定值） 所以 ，从而 当 即 时取等，最大值为 。 1.7.2013 第三道例题：已知0小于x小于2，求x乘(6减2x)的最大值。直接看，x加(6减2x)等于6减x，不是定值，不能直接套公式。怎么办？配凑！我们把式子改写：x乘(6减2x)等于2乘x乘(3减x)，这时候x和(3减x)的和等于3，是定值了。由基本不等式，x乘(3减x)小于等于(3/2)的平方等于9/4，所以原式小于等于2乘9/4等于9/2。当x等于3减x，即x等于3/2时取等。这就是配凑法的思路：通过提取系数，把不是定值的和凑成定值。 ‹#› 03 · 应用 · 例4 已知 且 ，求 的最小值 妙招：把条件中的"1"换成 x + 2y，再拆开—— 其中 ，且 （定值）。 ，所以 当且仅当 ，即 时取等号。 最小值为 。这种方法叫"1的代换"。 1.7.2013 第四道例题：已知x大于0，y大于0，且x加2y等于1，求x分之一加y分之一的最小值。这里有个妙招——把条件中的1换成x加2y。于是x分之一加y分之一等于(x加2y)除以x加(x加2y)除以y，拆开就是1加2y/x加x/y加2，等于3加2y/x加x/y。这时候2y/x和x/y都是正数，它们的乘积等于2，是定值。所以2y/x加x/y大于等于2倍根号2，原式大于等于3加2倍根号2。当2y/x等于x/y时取等。这种方法叫"1的代换"。 ‹#› 主动尝试 课堂小练：自己动手算一算 1 已知 ，求 的最小值。 提示：积定和最小，先检查"一正、二定、三相等"。 2 已知 ，且 ，求 的最大值。 提示：和定积最大，当 x = y 时取等。 1.7.2013 现在请大家自己动手做两道题。第一题：已知x大于0，求2x加x分之8的最小值。第二题：已知x和y都大于0，且x加y等于4，求xy的最大值。请大家按"一正二定三相等"三步来检查，做完再看下一页的答案。 ‹#› 获得反馈 对一对答案，错在哪里？ 1 （一正）；（二定）。 ，当 即 时取等。最小值为 8。 2 （一正）；（二定）。 ，当 时取等。最大值为 4。 自查三问：两个数都是正数吗？和或积是定值吗？等号真的能取到吗？ 1.7.2013 对答案。第一题：2x和x分之8都是正数，它们的乘积等于16是定值，所以大于等于2倍根号16等于8，当2x等于x分之8即x等于2时取等，最小值是8。第二题：x和y都是正数，和等于4是定值，所以xy小于等于(4/2)的平方等于4，当x等于y等于2时取等，最大值是4。大家对照自查三问：正数了吗？定值了吗？等号取得到吗？ ‹#› 本章小结 回到引题：为什么正方形面积最大？ ① 基本不等式：（），当且仅当 时取等号。 ② 使用口诀：一正、二定、三相等——两条数为正、和或积为定值、等号能取到，三条缺一不可。 ③ 求最值四招：直接套用、和定积最大、配凑定和、"1"的代换。 核心结论：两个正数越接近，它们的乘积越大；和一定时，两数相等积最大。 1.7.2013 最后我们来小结。这节课从围地问题出发，学了三个支柱。第一，基本不等式：根号ab小于等于二分之a加b，a和b都是正数，当a等于b时取等。第二，使用口诀：一正二定三相等，三条缺一不可。第三，求最值的四种方法：直接套用、和定积最大、配凑法、1的代换。回到开头的问题：周长固定时，正方形面积最大，因为长和宽相等时乘积最大。 ‹#› 课后作业 课后练习与预习 1. 课本习题 2.2 第 1、2、3 题（求最值，注意"一正二定三相等"）。 2. 思考题：已知 ，求 的最小值。 3. 预习 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式。 人教A版 · 必修第一册 · 第二章 2.2 基本不等式 1.7.2013 课后作业有三项。第一，课本习题2.2第1、2、3题，做的时候记得用"一正二定三相等"检查。第二，思考题：已知x大于1，求x加x减1分之一的最小值，提示：需要配凑。第三，预习下一节二次函数与一元二次方程、不等式。下课。 ‹#› $