28.1 图形的旋转 第2课时 旋转作图 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件围绕图形旋转作图展开，通过回顾平移、轴对称中“找关键点对应点”的方法，自然过渡到旋转作图，构建从旧知到新知的学习支架，帮助学生掌握旋转三要素及作图步骤。 其亮点在于以“找连转截作写”六步作图法为核心，结合坐标旋转规律推导及五角星图案设计实例，发展学生几何直观与空间观念。通过分情况讨论旋转方向等推理训练，助力学生掌握旋转性质，教师可利用分层练习提升教学效率。

第二十八章 旋转 28.1 图形的旋转 第2课时 旋转作图 目 录 1. 学习目标 4. 知识点1 旋转作图 7. 课堂小结 8. 当堂小练 CONTENTS 10. 拓展与延伸 3. 新课导入 2. 知识回顾 5. 知识点2 利用旋转作图进行计算 9. 对接中考 6. 知识点3 利用旋转设计图案 了解旋转作图，会用图形的旋转认识、理解和表达现实世界中相应的现象，感悟现实世界中的旋转美，发展几何直观和空间观念. 学习目标 知识回顾 把一个平面图形绕着平面内某一点O 转动一个角度，叫作图形的旋转，点O叫作旋转中心，转动的角叫作旋转角. 如果图形上的点 P 经过旋转后变为点 P′，那么这两个点叫作这个旋转的对应点. 旋转的有关概念 旋转中心、旋转方向和旋转角. 旋转的三要素 (1) 旋转前、后的图形全等； (2) 一个图形和其旋转得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等； (3) 对应点与旋转中心所连线段所成的角相等，都等于旋转角. 旋转的性质 知识回顾 B 按要求操作. (1) 以直线m为对称轴，作图形A的轴对称图形，得到图形B. (2) 将图形A向下平移3格，再向右平移4格，得到图形C. C 新课导入 我们之前学过平移、轴对称两种图形变换，要画出变换后的图形，关键是找关键点的对应点再连线. 今天我们要学习一种新的图形变换 —— 旋转，它和前两种变换一样，也可以通过找关键点的对应点完成作图. 生活里的五角星、风车纹样，很多都是用旋转设计出来的，今天我们就一起掌握旋转作图的方法，揭秘这些精美图案的设计原理. 解：如图所示. (1) 连接OA，OB，OC； (2) 分别以OA，OB，OC为一边作 ∠AOP=∠BOQ=∠COR=120°； (3) 分别在射线OP，OQ，OR上截取 OA'=OA，OB'=OB，OC'=OC； (4) 顺次连接A'B'，B'C'，C'A'，则△A'B'C'就是△ABC绕点O顺时针旋转120°后得到的图形. 新课讲解 知识点1 旋转作图 1. 如图，画出△ABC绕点O 顺时针旋转120°后得到的△A'B'C'. A' B' C' R P Q 例 新课讲解 例 分析：画图的关键是确定△ADE 三个顶点的对应点的位置. 解：因为点 A 是旋转中心，所以它的对应点是它本身. 在正方形 ABCD 中，AD=AB，∠DAB=90°. 所以旋转后点 D 与点 B 重合. 设点 E 的对应点为 E′， 因为旋转后的图形与旋转前的图形全等， 所以∠ABE′=∠ADE=90°, BE′=DE. 因此，在 CB 的延长线上取点 E′，使 BE′=DE，则 △ABE′ 为旋转后的图形. 2. 如图，E 是正方形 ABCD 的边 CD 上任意一点，A 为旋转中心，把△ADE顺时针旋转 90°，画出旋转后的图形. E′ 新课讲解 还有其他方法确定点 E的对应点 E′ 吗？ 答：延长CB，以点A为圆心，AE 的长为半径画弧，交CB的延长线于点E′，连接AE′，则△ABE'为旋转后的图形. E' 新课讲解 如果以点A为中心，把△ADE逆时针旋转90°，那么怎样画出旋转后的图形呢？ D′ E′ 答：延长BA至点D'，使得AD' =AB，作∠EAE' =90º，且AE' =AE ，连接D'E'，则△AD'E'为旋转后的图形. 新课讲解 归纳 旋转作图的基本步骤 ①找 ②连 ③转 ④截 ⑤作 ⑥写 确定旋转中心、旋转方向和旋转角. 找出图形的关键点 将图形中的每个关键点与旋转中心分别相连 把连线绕旋转中心按旋转方向旋转相同的角度(作旋转角) 在旋转后的射线上截取与各连线分别相等的线段，得到各关键点的对应点 按原图形的顺序连接各对应点，作出要求的图形 写 出 结 论 新课讲解 练一练 1. 将绕点旋转 得到 ，则下列作图正确的是 ( ) C A. B. C. D. 新课讲解 练一练 2. 如图，在方格纸中，将绕点 按顺时针方向旋转 后得到 ，则下列四个图形中正确的是 ( ) B A. B. C. D. 新课讲解 练一练 3. 如图，已知三个顶点的坐标分别为 ，， ，在图中的平面直角坐标系中： (1) 画出绕点顺时针旋转 后得到的 ； (2) 直接写出， 的坐标. 解：(1) 如图， 即为所求. (2) ， . 新课讲解 归纳 1. 作图依据：图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动相同的角度；对应点到旋转中心的距离相等. 2. 注意 (1) 画旋转后的图形，关键是根据旋转的性质作出对应点的位置. (2) 旋转的方向分顺时针和逆时针，若未指明，要分两种情况作图. (3) 旋转后的图形与原图形只是位置改变，形状和大小不改变. 新课讲解 知识点2 利用旋转作图进行计算 例 3. 如图， 在△ABC中，∠B=80°，∠C=65°， 将△ABC 绕点 A 逆时针旋转得到 △AB′C′． 当AB′ 落在 AC上时， ∠ BAC′ 的度数为( ) A. 65° B. 70° C. 75° D. 85° 解：由旋转的性质可得∠B′AC′ =∠BAC. ∵∠BAC+ ∠B+ ∠C=180 ， ∴∠BAC=180－80－65=35 . ∴∠B′AC′ = ∠BAC=35 . ∴∠BAC′ =∠BAC+∠B′AC′ =70 . B 新课讲解 例 4. 如图，在平面直角坐标系中， 三个顶点的坐标分别为，，.将绕原点逆时针旋转 得到，其中点，，的对应点分别为点，， . (1) 在图中画出旋转后的 ； 解：如图， 即为所求. (2) 点的坐标为________，点 的坐标为________； (3) 如果为边上一点，那么点的对应点 的坐标为_________. 新课讲解 解：在边上任取一点，点与点 的位置如图所示，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，，则 . 由旋转的性质，得 , ， ， ， ，, ， ，， 点的坐标为，即点的对应点 的坐标为 . 点绕原点顺时针旋转 的对应点的坐标为. 点 绕原点逆时针旋转 的对应点的坐标为 . 归纳 新课讲解 练一练 1. 如图，直线 y=2x+2 与x轴、y轴分别相交于点A，B，将△ AOB绕点A 逆时针方向旋转90 °得到△ACD，则点 D 的坐标为 ____________. (－3，1)　 新课讲解 练一练 2. 在平面直角坐标系中，点的坐标为 ，将线段绕着点逆时针旋转 得线段，则点 的坐标为 ( ) B A. B. C. D. 新课讲解 知识点3 利用旋转设计图案 利用旋转，可以设计美丽的图案. 如图，将一个等腰三角形绕着它正下方的一点旋转，就可以得到五角星图案. 需要旋转4次， 每次的旋转角是360÷5=72°. 思考 想一想，需要旋转几次，每次的旋转角是多少？ 新课讲解 当选择的旋转中心不同、旋转角不同，旋转同一个图案时，也会出现不同的效果. (1) 旋转中心不变，改变旋转角（如图）． O O β α 两个旋转中，旋转中心不变， ________改变了，产生了_______的旋转效果. 旋转角 不同 新课讲解 (2) 旋转角不变，改变旋转中心（如图）． 两个旋转中，旋转角不变，__________改变了，产生了_______的旋转效果. 旋转中心 不同 O1 γ O2 γ 新课讲解 我们可以利用旋转中心不变，改变旋转角；旋转角不变，改变旋转中心，设计许多美丽的图案. 新课讲解 练一练 1. 如图所示的图案，分别可以由哪个基本图形、经过怎样的旋转得到？ 解：图(1) 中的图案是以图案的中心为旋转中心，将基本图形 顺时针旋转120°两次得到的， 图(2) 中的图案是以图案的中心为旋转中心，将基本图形 顺时针旋转72°四次得到的， 图(3) 中的图案是以图案的中心为旋转中心，将基本图形 顺时针旋转60°五次得到的， 新课讲解 练一练 2. 如图所示的四个图案，能通过基本图形旋转得到的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 D 课堂小结 旋转作图 作旋转图形 作图基本步骤六步： ①找连③转④截⑤作⑥写 确定旋转中心 找两条对应点所连线段的垂直平分线的交点 当堂小练 1. 如图，在方格纸中，将绕点顺时针旋转 后得到 ，则下列四个图形中正确的是 ( ) A. B. C. D. A 当堂小练 2. 下面四个图案中，既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用平移来分析整个图案的形成过程的图案是 ( ) A. B. C. D. C 当堂小练 A. B. C. D. 3. 如图，将正方形向右平移，使点 与原点重合，再将所得正方形绕原点 逆时针旋转 ，得到四边形，则点 的对应点 的坐标是 ( ) C 当堂小练 A. B. C. D.或 4. 将含有 角的直角三角尺 如图所示放置在平面直角坐标系中，在 轴上，若，将三角尺绕原点旋转 ，则点 的对应点 的坐标为 ( ) D 当堂小练 5. 风力发电机有三个底端重合、两两成 角的叶片.如图，它以三个叶片的重合点为原点，水平方向为 轴建立平面直角坐标系，点的坐标为 ，在一段时间内，叶片每秒绕原点 顺时针转动 ，则第时，点 的对应点的坐标为_______. 解：如图.，叶片每秒绕原点 顺时针转动 ， 易得 ，，，， ， 点的坐标以每 为一个周期依次循环. ， 第时，点 的对应点的坐标与点相同，为 . 当堂小练 6. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，和 的顶点均在格点上，请解答下列问题： (1) 画出平面直角坐标系，使的顶点，， 的坐标分别为 ，， ； (2) 画出绕点顺时针旋转 得到的（点， 的对应点分别为点， ）； 解：(1) 画出的平面直角坐标系如图所示. (2) 如图， 即为所求. (3) 在(1) 的基础上将绕某点逆时针旋转 后，其对应点分别为，， ，则旋转中心的坐标为________. (3) 如图，连接，， ，交点即为旋转中心，可得坐标为 . 对接中考 1. 如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能.图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角 后，能够与它本身重合，则角 的大小可以为 ( ) 解：由题意得，整个图形由三个叶片组成，则相邻叶片之间的夹角为 ， 该叶片图案绕中心至少旋转 后能与原来的图案重合， 角 的大小可以为 （旋转的角度必须是 的整数倍才可以与原来的图案重合）. A. B. C. D. B 对接中考 解：∵AB⊥OB，∴∠ABO=90°.∵∠A=30°，∴∠AOB=60°. ①若是顺时针旋转150°，如图（1），点 A′ 在 y 轴负半轴，则 OA′=OA=4，所以，点 A′ 的坐标为(0，-4)； 2. 如图，在△AOB中，AB⊥OB，∠A=30° ，OA=4 ，将△OAB绕点O旋转150°得△OA'B'，则点A'的坐标为 . 易错警示：本题并未指明旋转方向，故应分两种情况(顺时针旋转和逆时针旋转),常出现只考虑一种情况的错解. ②若是逆时针旋转150°，如图（2）. ∵旋转角度为150°，∴OA′ 与 x 轴的负半轴的夹角为30°. 过点 A′ 作A′C⊥x 轴于点C，则 A′C=OA′= ×4=2. 由勾股定理得，OC===2， 所以，点 A′ 的坐标为(-2，-2)， 综上所述，点 A′ 的坐标为(0，-4)或(-2，-2)． (0,4)或(2,2) 拓展与延伸 1. 如图，等边三角形内有一点，已知 ，，.则 ______. 解：如图，把绕点 顺时针旋转 ，得到，连接 . 由旋转的性质，得 ，， ， . 为等边三角形. ， ， . 又 ， . . . 拓展与延伸 以点 为旋转中心 以点 为旋转中心 以点 为旋转中心 方法归纳：此题还有另外5种作辅助线的方法（解题思路同上）. 将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ，连接 . 将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ，连接 . 将 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，连接 . 将 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，连接 . 将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ，连接 . 拓展与延伸 2. 如图，已知点 在第一象限的角平分线 上，，点在轴正半轴上，点 在 轴正半轴上． (1) 点 的坐标为______. (2) 当绕点旋转时， 的值是否发生变化？ 若变化，求出其变化范围；若不变，求出这个定值． 解：的值不发生变化.如图，过点作轴于点，轴于点 ， 则 . ， 四边形 是矩形. . 平分，， ， . 矩形是正方形. . ， .， . . . 在和中， . ． $