2.4.1 圆的标准方程-（配套课件）【精讲精练】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

该高中数学课件聚焦圆的标准方程，涵盖方程推导、求解及点与圆位置关系。通过问题链引导，从圆的定义出发，结合坐标法推导方程，衔接直线方程知识，形成解析几何框架，辅以教材梳理问题和基础自测作为学习支架。 其亮点是“问题驱动-多法探究-变式拓展”模式，通过数学抽象（从定义到方程）和数学运算（方程求解、距离计算）培养核心素养。如用三种方法求圆的方程，触类旁通与变式训练提升思维，助力学生逻辑推理与运算能力，为教师提供结构化资源，便于分层教学。

第二章　直线和圆的方程 2.4　圆的方程 2.4.1　圆的标准方程 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 课前案·自主学习 01 课堂案·互动探究 02 课后案 ·学业评价 03 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 课前案·自主学习 栏目导航 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 (x－a)2＋(y－b)2＝r2 x2＋y2＝r2 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 d＜r 在圆上 d＝r 在圆外 d＞r 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 课堂案·互动探究 栏目导航 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 课后案·学业评价 栏目导航 点击进入Word 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 谢谢观看 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 学业标准 素养目标 1．会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特点．(重点) 2．会根据已知条件求圆的标准方程． (重点、难点) 3．能准确判断点与圆的位置关系．(易错点) 通过探索圆的标准方程并运用方程解决问题，培养数学抽象及数学运算素养． 导学　圆的标准方程 圆的定义是什么？ [提示] 平面内到定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆．定点是圆心，定长为半径． [提示] 圆心和半径．圆心确定圆的位置；半径确定圆的大小． [提示] (x－a)2＋(y－b)2＝r2. [提示] |MA|＝r. [提示] P＝{M||MA|＝r}． ◎结论形成 1．圆的标准方程 (1)条件：圆心为C(a，b)，半径长为r. (2)方程：__________________________. (3)特例：圆心为坐标原点，半径长为r的圆的方程是______________. 2．点与圆的位置关系 圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其圆心为C(a，b)，半径长为r，点P(x0，y0)，设点P到圆心的距离为d. 位置关系 d与r的大小 点P的坐标特点 点P在圆内 ________ (x0－a)2＋(y0－b)2＜r2 点P________ ________ (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点P________ ________ (x0－a)2＋(y0－b)2＞r2 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)圆心位置和圆的半径确定，圆就唯一确定．(　　) (2)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．(　　) (3)圆(x＋1)2＋(y－1)2＝2的圆心坐标是(1，－1)，半径长是2.(　　) (4)点(0，0)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1上．(　　) 解析　(1)√.确定圆的几何要素就是圆心和半径． (2)×.当m＝0时，不表示圆． (3)×.圆(x＋1)2＋(y－1)2＝2的圆心坐标是(－1，1)，半径长是 eq \r(2). (4)×.因为(0－1)2＋(0－2)2＞1，所以点(0，0)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1外． 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．圆心为(－2，3)，半径长为2的圆的方程是(　　) A．(x－2)2＋(y＋3)2＝2 B．(x＋2)2＋(y－3)2＝4 C．(x＋2)2＋(y－3)2＝2 D．(x－2)2＋(y＋3)2＝4 答案　B 3．圆(x＋1)2＋(y－ eq \r(3))2＝a2(a≠0)的圆心为________，半径长为________． 解析　由圆的标准方程知，圆心为(－1， eq \r(3))，半径r＝|a|. 答案　(－1， eq \r(3))　|a| 4．圆心为C(1，－5)，且经过原点的圆的方程是________________． 解析　由条件知，r2＝12＋(－5)2＝26， 故圆的方程为(x－1)2＋(y＋5)2＝26. 答案　(x－1)2＋(y＋5)2＝26 题型一　用直接法求圆的标准方程 (1)圆心是(4，－1)，且过点(5，2)； (2)圆心是直线x＋y－1＝0与2x－y＋3＝0的交点，半径长为 eq \f(1,4). [解析]　(1)设圆的半径为r(r＞0)， 则r2＝(5－4)2＋(2＋1)2＝10， 故圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋1)2＝10. (2)圆心是两直线的交点， 解方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y－1＝0，,2x－y＋3＝0，))得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－\f(2,3)，,y＝\f(5,3)，)) 所以圆心为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，\f(5,3)))，又半径长为 eq \f(1,4)， 所以圆的标准方程为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2,3))) eq \s\up12(2)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(5,3))) eq \s\up12(2)＝ eq \f(1,16). 用直接法求圆的标准方程的策略 (1)首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程． (2)确定圆心和半径时，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“过切点与切线垂直的直线必过圆心”等． 提醒：当圆与坐标轴相切时要特别注意圆心的坐标与圆的半径的关系． [触类旁通] 1．⊙C的圆心坐标为(x0，x0)，且过点P(4，2). (1)求⊙C的方程； (2)当x0为何值时，⊙C的面积最小？求出此时圆的标准方程． 解析　(1)由已知得到圆的半径为 |PC|＝ eq \r((x0－4)2＋(x0－2)2)＝ eq \r(2(x0－3)2＋2)， 所以圆的方程为 (x－x0)2＋(y－x0)2＝2(x0－3)2＋2. (2)⊙C的面积为π[2(x0－3)2＋2]， 要使圆面积最小，只要x0＝3， 此时圆的标准方程为(x－3)2＋(y－3)2＝2. 题型二　用待定系数法求圆的标准方程　一题多解　一题多变 [解析]　解法一　设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 由已知条件知 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1((1－a)2＋(－1－b)2＝r2，,(－1－a)2＋(1－b)2＝r2，,a＋b－2＝0，)) 解此方程组，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝1，,r2＝4.)) 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. 解法二　设点C为圆心， ∵点C在直线x＋y－2＝0上， ∴可设点C的坐标为(a，2－a). 又该圆经过A，B两点，∴|CA|＝|CB|， ∴ eq \r((a－1)2＋(2－a＋1)2)＝ eq \r((a＋1)2＋(2－a－1)2)，解得a＝1. ∴圆心坐标为C(1，1)，半径长r＝|CA|＝2. 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. 解法三　由已知可得线段AB的中点坐标为(0，0)，kAB＝ eq \f(1－(－1),－1－1)＝－1， 所以弦AB的垂直平分线的斜率为k＝1， 所以AB的垂直平分线的方程为y－0＝1·(x－0)，即y＝x，则圆心是直线y＝x与x＋y－2＝0的交点， 由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝x，,x＋y－2＝0，))得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))即圆心坐标为(1，1)， 圆的半径为 eq \r((1－1)2＋[1－(－1)]2)＝2， 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. [母题变式] 1．(变条件)本例2中条件“圆心C在直线x＋y－2＝0上”若换为“圆心C在y轴上”，其他条件不变，其结论又如何呢？ 解析　设圆心C(0，b)，则|AC|＝|BC|，解得b＝0，故圆的方程为x2＋y2＝2. 2．(变条件、变结论)本例2中条件“圆心C在直线x＋y－2＝0上”去掉，其他条件不变，试求周长最小的圆的方程． 解析　经过A，B两点且周长最小即半径最小，故应是以AB为直径的圆．又AB中点为(0，0)，半径R＝ eq \r(2)，所以所求圆的方程为x2＋y2＝2. [素养聚焦]　本题主要考查待定系数法求圆的标准方程，着重培养数学抽象和数学运算的核心素养． [触类旁通] 2．(教材例2·提升)△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1，0)，B(3，0)，C(3，4)，求△ABC的外接圆的方程． 解析　 解法一(待定系数法)设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1((1－a)2＋b2＝r2，,(3－a)2＋b2＝r2，,(3－a)2＋(4－b)2＝r2，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝2，,r＝\r(5)，)) 所以外接圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5. 解法二(几何法)易知△ABC是直角三角形，∠B＝90°，所以圆心是斜边AC的中点(2，2)，半径是斜边长的一半，即r＝ eq \r(5)，所以外接圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5. 题型三　点和圆的位置关系 (1)求以P1P2为直径的圆的方程； (2)试判断点M(6，9)，N(3，3)，Q(5，3)是在 圆上、在圆内，还是在圆外． [解析]　(1)设圆心C(a，b)，半径长为r， 则由C为P1P2的中点， 得a＝ eq \f(4＋6,2)＝5，b＝ eq \f(9＋3,2)＝6. 由两点间的距离公式得 r＝|CP1|＝ eq \r((4－5)2＋(9－6)2)＝ eq \r(10)， 故所求圆的方程为(x－5)2＋(y－6)2＝10. (2)由(1)知，圆心C为(5，6)，则分别计算点到圆心的距离： |CM|＝ eq \r((6－5)2＋(9－6)2)＝ eq \r(10)， |CN|＝ eq \r((3－5)2＋(3－6)2)＝ eq \r(13)＞ eq \r(10)， |CQ|＝ eq \r((5－5)2＋(3－6)2)＝3＜ eq \r(10). 因此，点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内． 判断点与圆的位置关系的方法 (1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小． (2)代数法：主要是把点的坐标代入圆的标准方程来判断： 点P(x0，y0)在圆C上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2； 点P(x0，y0)在圆C内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2； 点P(x0，y0)在圆C外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2. [触类旁通] 3．已知点A(1，2)和圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2，试分别求满足下列条件的实数a的取值范围． (1)点A在圆的内部； (2)点A在圆上； (3)点A在圆的外部． 解析　(1)点A在圆的内部，则(1－a)2＋(2＋a)2＜2a2，且a不为0， 解得a＜－ eq \f(5,2). (2)点A在圆上，则(1－a)2＋(2＋a)2＝2a2， 解得a＝－ eq \f(5,2). (3)点A在圆的外部，则(1－a)2＋(2＋a)2＞2a2， 且a不为0，解得a＞－ eq \f(5,2)且a≠0. 知识落实 技法强化 圆的标准方程及点和圆的位置关系． (1)圆的标准方程的求法有直接法和待定系数法；判断点与圆位置关系的方法有几何法和代数法． (2)利用几何法求圆的标准方程时，要全面考虑，否则易出现漏解的情况． $