第一次检测数学学科试卷2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 北师大版九年级上册数学月考卷，以一元二次方程与特殊四边形为核心，通过羊圈围建、茶园面积计算等真实情境，融合赵爽几何解法等文化素材，实现基础巩固（如解方程）、能力提升（函数几何综合）与创新应用（动态问题）的梯度设计，培养抽象能力、推理意识与模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|一元二次方程定义、矩形判定|第7题结合矩形面积构建方程，考查数学建模| |填空题|5/15|根的判别式、中点四边形|第14题关联三角形三边关系，体现知识综合| |解答题|7/55|配方法、菱形证明、动态几何|21题茶园面积最值问题融合二次函数应用；23题赵爽几何法解一元二次方程，渗透文化传承；22题正方形动态探究，发展推理能力|

· 第一次检测数学学科试卷 · 2026-2027学年北师大版数学九年级上册 一、选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分） 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．用配方法解方程时，原方程应变形为（　　） A． B． C． D． 3．关于的一元二次方程的实数根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 4．已知四边形是平行四边形，对角线相交于点O，下列条件中，不能判定四边形是矩形的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，菱形的周长为52，过点C作，交的延长线于点E，若，则的长为（    ） A．22 B．24 C．26 D．28 6．如图，在正方形中，点E为对角线边上一点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．张伟计划用家里现有的篱笆围建一个矩形羊圈．他计算了一下，如果把10米长的墙作为所围的矩形的一边，则这个矩形的面积是单纯利用篱笆围成的最大矩形面积的2倍．张伟家里现有的篱笆总共长度是（    ） A．20米 B．24米 C．28米 D．32米 8．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（     ） A． B．且 C．且 D．且 9．在坐标系中有函数与函数相交于A、B两点，分别连接坐标原点C，则的面积为（     ） A．4 B． C．3 D． 10．如图，在矩形中，，对角线相交于点O，点M，N分别在线段上，且，，且，若，当x，y的值变化时，下列代数式的值不变的是（ ） A．xy B． C． D． 二、填空题（共 5 小题，满分 15 分，每小题 3 分） 11．若，该方程的解为______． 12．关于x的方程有两个相等的实数根，那么m的值为___________ 13．如图，E，F，G，H分别为矩形各边的中点．若，，则四边形的周长为 ． （第13题图） （第14题图） 14．一个三角形的两边长分别为5和7，第三边长是方程的根，则这个三角形的周长为___________． 15．如图，在矩形中，E，F分别是边上的点，且，连接，M，N分别是的中点，连接，若，则的长为 ． 三、解答题（一）（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分） 16．解方程：(1); (2). 17．已知关于x的方程（为常数）． (1)求证：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根是，求的值． 18．如图，在平行四边形中，，点E是上一点，且． (1)尺规作图：过点E作，交于点F；（不写作法，保留作图痕迹） (2)已知平行四边形的周长是20，，求证：四边形为菱形． 四、解答题（二）（本大题共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分） 19．如图，已知在正方形中，E是的中点，F在上，且． (1)请你判断的形状，并说明理由． (2)若此正方形的面积为16，求的长． 20．某超市销售一种进价为元/件的商品，经市场调查发现：当售价为元/件时，平均每天可售出件；售价每降低1元，平均每天可多售出件． (1)设每件商品降价x元，则平均每天的销售量是______件，每件商品的利润是______元；（用含x的代数式表示） (2)超市要想平均每天销售这种商品的利润达到元，且让顾客得到更多实惠，每件商品应降价多少元？ 21．某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长，另外三面用长的篱笆围成，其中一边开有一扇宽的门（不包括篱笆）． (1)若矩形面积为，求这个茶园的长和宽． (2)当，分别为多少米时，茶园的面积最大？最大面积是多少？ 五、解答题（三）（第 22 题 13 分，第 22 题 14 分） 22. 在正方形中，E为上动点，连接，A和关于对称，连接交于点G，连接，如图所示． (1)如图1，当B、、D共线时， ①若时，求的长； ②若，求的长； (2)如图2，延长交于点F，连接，求证． 23. 请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法．赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程，即的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得原方程的正数解为． 任务： (1)参照上述图解一元二次方程的方法，请在三个构图中选择能够说明方程，解法的正确构图是______（从序号①②③中选择）． (2)请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求方程的正数解（写出必要的思考过程，图2中的网格不要求全部使用） (3)一般地对于形如的一元二次方程可以构造图3来解，已知图3由个相同矩形构成，这个矩形的总面积为，中间围成的正方形边长为．那么______，______． …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 第3页（共4页） ◎ 第4页（共4页） 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B A C B D A C A A 11．， 12．或 13． 14．10 15． 16．(1) (2)原方程没有实数根 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法并灵活运用是解答的关键． （1）利用公式法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：由得，，， ∴， ∴， ∴，； （2）解：由得， ∴， ∴原方程没有实数根． 17．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的运用，以及一元二次方程的解的定义，熟练掌握一元二次方程根的判别式和一元二次方程的解的概念是解答此题的关键． （1）根据，一元二次方程有两个不相等的实数根直接进行求解； （2）将方程的根代入方程中，再进行移项即可求解． 【详解】（1）证明：， 不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）解：方程有一个根是， 把代入方程， 得， 整理得 ． 18．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）在的上方作，交于点 F，则即为所求； （2）由题意得四边形为平行四边形，根据平行四边形的周长是20，可得，则，进而可得，则，可知四边形为菱形． 本题考查作图一复杂作图、平行四边形的性质、菱形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）证明：四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵平行四边形的周长是20， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为菱形． 19．(1)为直角三角形．理由见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的性质、比例关系、勾股定理及其逆定理等初中数学知识点，解题关键在于通过设定正方形边长，利用比例关系计算各线段长度，再应用勾股定理验证直角三角形的条件，最后结合正方形面积求解目标线段的长度，体现了数学建模和逻辑推理的能力． （1）可通过设正方形边长，利用勾股定理计算三边平方关系来确定； （2）先由正方形面积得出边长的平方，再结合第（1）问结论求的长． 【详解】解：（1）为直角三角形．理由如下： 设正方形的边长为，则． 是的中点， ． 在正方形中， 在中，； 在中，； 在中，， ， 为直角三角形； （2）因为正方形的面积为16， ， ， （负值已舍去）． 20．(1)， (2)每件商品应降价5元 【分析】本题考查了列代数式，营销问题(一元二次方程的应用)，解题关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）设每件商品降价x元，用x表示出平均每天的销售量与每件商品的利润； （2）利用总利润=每件商品的利润日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合要让顾客得到更多实惠，即可确定结论． 【详解】（1）解：设每件商品降价x元，则平均每天的销售量是件，每件商品的利润是元． 故答案为：，； （2）根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又要让顾客得到更多实惠， 答：每件商品应降价5元． 21．(1)这个茶园的长为，宽为 (2)当，时，茶园的面积最大，最大面积是 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用及二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）设这个茶园的宽为，则长为，由题意可得方程，进而求解即可； （2）设，则有，茶园的面积为，由题意易得，然后可得，进而根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：设这个茶园的宽为，则长为，由题意得： ， 解得：， ∵墙长， ∴，且， 解得：， ∴， ∴长为； 答：这个茶园的长为，宽为 （2）解：设，则有，茶园的面积为， 由题意得：， 由（1）可知：， ∵， ∴当时，茶园的面积为取得最大值，最大值为； 答：当，时，茶园的面积最大，最大面积是． 22. (1)①；② (2)见解析 【分析】（1）①根据正方形的性质得到，根据勾股定理求解即可；②根据正方形的性质得到，根据轴对称的性质得到垂直平分，易证，由全等三角形的性质可得，求得，再根据勾股定理求得的长即可； （2）由（1）知，，根据等腰三角形的性质得到求得，即，最后根据邻补角求解即可． 【详解】（1）解：①∵四边形是正方形， ∴， ∴； ②∵四边形是正方形， ∴，, ∵A和关于对称， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵, ∴, ∴, ∵， ∴，解得：或（不合题意舍弃）． （2）证明：由（1）知，， ∴， ∴， ∵四边形, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理、四边形的内角和定理等知识点，熟练掌握相关识点是解题的关键． 23. (1)② (2)如图： (3)； 【分析】本题考查构造图形解一元二次方程，解题的关键是读懂材料中提供的构图方法，并能正确构图解一元二次方程，运用了数形结合的思想． （1）仿照阅读材料构造图形，即可判断出构图方法； （2）仿照阅读材料构造大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，即可解决问题； （3）根据个矩形的总面积为，知，即；而中间围成的正方形边长为，可得解． 【详解】（1）解：∵应构造面积是的大正方形，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为， ∴大正方形的面积又可表示为， ∴大正方形的边长为， ∴， ∴， ∴解法正确的构图是②， 故答案为：②； （2）首先构造了如图2所示的图形， 图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为， ∴大正方形的面积又可表示为， ∴大正方形的边长为， ∴， 解得：， ∴方程的正数解是； （3）如图：∵， ∴， ∵个矩形的总面积为， ∴， ∴， 解得：， ∵中间围成的正方形边长为， ∴， ∵，表示边长， ∴， 解得：， 故答案为：；． 答案第8页（共8页） 答案第1页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $