函数及其基本性质小题分类训练——2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以函数性质为逻辑主线，通过分类题型系统提炼解题方法，强化抽象能力与推理能力，实现知识应用与应试突破的统一。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直接求函数值|2题|特殊值代入法、方程联立求解|从函数定义出发，通过赋值转化为方程问题| |定义域与值域|3题|复合函数定义域求法、值域为R的条件分析|结合函数概念，从自变量取值范围到函数值范围的递进| |单调性判断及应用|4题|分段函数单调性判定、导数法求单调区间|以单调性定义为基础，结合导数工具实现性质应用| |奇偶性及应用|6题|奇偶性定义法、对称性转化、图像性质应用|从奇偶性定义推导对称性质，构建性质与图像的关联| |周期性（对称性）及应用|7题|周期推导、对称性与周期性综合应用|通过抽象函数关系推导周期，强化函数性质的综合迁移|

函数及其基本性质小题分类训练——2027届高三数学一轮复习 一、直接求函数值 1．是定义在上的函数，满足对都成立，则（    ） A． B． C． D． 2．定义在上的函数满足：，且，则的值为（    ） A．47 B． C．49 D． 二、函数的定义域与值域 3．若函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数则的值域是（    ） A． B． C． D． 三、函数单调性的判断及其应用 6．已知函数，若对任意的，都有，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．已知函数，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 8．如果函数在上是单调函数，那么实数的取值范围是（） A． B． C． D． 9．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 四、函数的奇偶性及其应用 10．已知是定义在上的奇函数，且当时，，若在上恒成立，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．已知定义域为的函数满足为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B．1 C． D． 12．（多选）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（     ） A． B．的零点个数为3 C．的极值点个数为2 D．若方程有三个实数根，则的取值范围是 13．（多选）函数是定义域为的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．是的极小值点 C．当时，函数有个零点 D．不等式的解集为 14．已知是定义在上的奇函数，若当时，，则________． 15．已知，若幂函数是偶函数，则______________． 五、函数的周期性（对称性）及其应用 16．已知是定义在上的奇函数且，当时，则（     ） A． B． C．0 D．1 17．已知函数满足，且，当时，，则（    ） A． B． C． D． 18．设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（     ） A． B． C． D． 19．已知定义在R上的函数满足条件，且函数是偶函数，当时，，当时，的最小值为，则a的值等于（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 20．（多选）已知是定义在上的奇函数，为偶函数，，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．的一个周期为4 C． D．的图象关于点对称 21．（多选）设与其导函数的定义域均为，，若，的图像关于对称，在上单调递减，且，则下列选项错误的是（   ） A．为奇函数 B．的图象关于原点对称 C． D．的极小值为 22．（多选）已知定义域为的函数为奇函数，的图象关于直线对称，则（    ） A．的图象关于点中心对称 B．为奇函数 C．是周期为4的函数 D．为偶函数 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026年9月18日高中数学作业》参考答案 1．B 【分析】根据已知条件，依次代入特殊值，，，联立方程组，即可求出. 【详解】令，则①， 令，则②， 令，则③， 令，则④， 联立③④，解得，，将代入②，解得， 再将代入①，解得. 2．D 【分析】先分析的取值进而通过与的关系解出答案. 【详解】令，则有恒成立，且有，所以； 令，则， 所以，且有，所以， 所以. 3．A 【分析】解不等式，可求得函数的定义域，进而利用复合函数的定义域的求法可求的定义域. 【详解】由，得，所以，解得， 所以函数的定义域为. 由，解得， 所以的定义域为. 故选：A. 4．C 【分析】由题得，即求. 【详解】∵，又函数的值域为R， 则，解得． 故选：C． 5．A 【分析】根据指数函数及二次函数的单调性得出值域. 【详解】当时，单调递增，， 当时，． 综上所述，的值域是． 6．D 【分析】变形得到，设，则在R上单调递增，分段函数在R上单调递增，需满足每段函数在定义域上单调递增，且分段处，左端点函数值小于等于右端点函数值，从而得到实数a的取值范围. 【详解】， 设，则， 因为，所以在R上单调递增， 其中， 需满足在上单调递增，在上单调递增， 且， 由得， 根据在上单调递增，得到，故， 所以， 当，即时，在上单调递增， 当，即时，在上单调递增， 当，即时，由对勾函数性质得， 在上单调递增，故需满足，解得， 所以， 综上，实数a的取值范围是. 故选：D 7．A 【分析】求出的定义域，得到是偶函数，判断时的单调性，再借助中间值比较大小即可. 【详解】方法一：由题知的定义域为，，所以是偶函数， 记，当时，，所以在上单调递增， 则在上单调递减， 因为，所以， 而. 令，则， 当时，，所以在上单调递增， 所以，即，所以， 又因为指数函数在上单调递减，所以， 所以， 所以，即. 方法二：由题知的定义域为，，所以是偶函数， ，当时，，即， 所以当时，，则在上单调递减， 因为，所以， 而. 因为指数函数在上单调递减， 所以， 因为幂函数在上单调递增， 所以，所以， 所以， 所以，即. 故选：A. 8．D 【分析】利用指数函数的性质结合二次函数的单调性即可求出的取值范围. 【详解】是底数大于的指数函数，在上严格单调递增， 要让整体在上单调，只需保证在上单调即可， 令，则函数开口向上，对称轴为， 单调递减区间是，单调递增区间是， 在上单调，只需满足对称轴不在内部， 即：或，解得或， 故的取值范围. 9．B 【分析】先对函数求导，利用恒正的性质，将区间上单调递减转化为二次因式恒小于等于0，结合二次函数解集与给定区间的包含关系求解参数范围. 【详解】 ， 因为，因此在上单调递减等价于对任意，恒成立， 二次函数图像开口向上， 零点为，，，所以不等式的解集是, 则 ，需满足 ， 解得，即. 10．D 【分析】根据函数的奇偶性以及二次函数的单调性求解即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以由在上恒成立，可得在上恒成立. 若，即，则在上单调递增，则，得. 若，即，则，化简得，得. 若，即，则在上单调递减，则，得. 综上所述，a的取值范围为. 11．C 【详解】因为是偶函数，， 所以，即①，因为 是奇函数，所以， 所以，即②， ①+②，并整理得． 12．BC 【分析】A.由奇函数性质得，化简后不等于选项值；B.分段求零点，正半轴一个，原点一个，负半轴对称一个，共三个；C.求导得正半轴一个极值点，由奇函数对称性得负半轴对应一个，共两个；D.结合图象，方程有三个根需的取值范围为，题给区间遗漏部分范围. 【详解】由题，为奇函数，且时. A选项：，故A错误； B选项：当，令得； 由奇函数的性质，时零点为，且，共3个零点，B正确； C选项：时，，在上，单调递减， 在上，单调递增，故为极小值点；由奇函数对称性，为极大值点， 且处导数不为，不是极值点，因此极值点共2个，C正确； D选项：在坐标平面内作出函数的图象，如图. 观察图象得当且仅当的取值范围为时，函数的图象与直线有3个交点，因此D错误. 13．AB 【分析】对于A：根据奇函数定义和性质求函数的解析式；对于B：求导，利用导数分析函数在内的单调性和极值；对于CD：根据奇函数的定义结合选项B可得函数的图象，根据图象分析判断. 【详解】对于A：因为函数是定义域为的奇函数，则， 当时，则，可得，故A正确. 对于B：当时，，则， 令，解得；令，解得； 可知在上单调递增；在上单调递减， 所以是的极小值点，故B正确； 对于C： 当时，由选项B可知：在内单调递增；在内单调递减， 则，且当x趋近于时，趋近于0， 结合奇函数性质可得函数的图象，如图所示，    由图象可知：当时，与的图象有3个不同的交点， 即函数有3个零点，故C错误； 对于D：由可得或， 由图象可得：或， 所以不等式的解集为，故D错误. 14． 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以； 当时，，所以， 则； 由可得； 所以. 15．2 【分析】根据幂函数的定义求参数的值，然后依次检验是否为偶函数即可 【详解】因为为幂函数，所以，解得或. 当时, ,该函数定义域为，定义域不关于原点对称，故不是偶函数. 当时,,因为,故该函数为偶函数. 综上,. 16．B 【分析】由题意根据函数的奇偶性可推出函数的周期为，从而将转化为，再利用奇偶性以及已知即可求解. 【详解】由已知条件知是定义在上的奇函数，所以， 又，可得， 故， 则，即函数的周期为， 而，又因为是奇函数，故， 当时， 所以， 因此 ， 所以. 17．B 【分析】先判断出函数为奇函数，再判断出函数的周期为，由此求解即可. 【详解】因为， 所以函数为奇函数， 又因为， 所以函数的周期为，且当时，， 所以. 18．D 【分析】先利用题设条件推出4是函数的一个周期，结合求出，再利用函数的周期性即可求得. 【详解】因为为奇函数，则， 又因为为偶函数，所以，则有， 故得，即得， 故4是函数的一个周期. 又是上的奇函数，故，解得， 即当时，， 所以. 19．D 【分析】借助函数的奇偶性与周期性，求出参数的值. 【详解】已知函数是偶函数，所以，即函数图像关于对称，即， 当时，，所以， 因为，所以，即， 在区间中，的最小值为，解得. 20．ABC 【分析】利用抽象函数的对称性、周期性一一判定选项即可. 【详解】对于A项，因为为偶函数，即， 所以的图象关于直线对称，即A正确； 对于B项，易知， 所以，即， 所以的一个周期为4，即B正确； 对于C项，由条件及上述选项结论可知， 且， 所以，即C正确； 对于D项，若的图象关于点对称，则有， 而，显然矛盾，即D错误. 21．ACD 【分析】根据题意，结合抽象函数的性质，得到图像关于中心对称，的图像关于对称，进而得到的周期，然后逐个选项判断即可. 【详解】因为， 所以，所以， 即，即， 所以图像关于中心对称， 又的图像关于对称， 所以的图像关于对称， 所以的周期为. 对于A，若为奇函数，则图像关于对称， 所以，即， 令，则，所以， 又周期为，所以，矛盾，A错误； 对于B，因为图像关于中心对称， 所以的图象关于原点对称，正确； 对于C，因为， 所以，C错误； 对于D，因为在上单调递减，图像关于中心对称， 所以在上单调递减， 又的图像关于对称， 所以在上单调递增，又周期为， 所以在处取得极大值， 又， 所以的极大值为，D错误. 22．ACD 【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义、函数对称性逐项分析判断. 【详解】为奇函数，得到， 的图象关于直线对称，则， 对于A，由，得的图象关于点中心对称，则A正确； 对于C，由，得， 又，则，即， 故，所以，则是周期为的函数，则C正确. 对于BD，因为函数的定义域为， 由得：， 所以函数为偶函数，故D正确，B错误. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $