专题3.2 勾股定理的逆定理『重点难点同步培优讲义』导图知识卡片+知识梳理+5个题型讲练+难度分层练 共35题-2026-2027学年苏科版数学八年级上册同步培优精讲练

本讲义聚焦勾股定理的逆定理核心知识点，系统梳理定理内容、判定步骤（找最长边、算平方和、判断）及勾股数，前承勾股定理的边关系，后续为几何证明与实际应用搭建学习支架，含思维导图指引、知识细节强化及解题技巧总结。 资料以知识梳理与题型讲练融合为特色，通过网格判断直角三角形等题型培养几何直观与空间观念，精选分层真题（基础夯实+培优拔高）发展推理能力，课中辅助教师系统授课，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用与创新意识。

专题3.2 勾股定理的逆定理『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+5个题型讲练+难度分层练 共35题） 【苏科版数学新教材•八年级上册】 同学你好，该份讲义用于苏科版新教材八年级上册内容章节学习同步举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 优选期中期末真题难度分层集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合苏科版八上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 知识梳理 温故知新 2 知识点一 勾股定理的逆定理 2 知识点二 勾股数 3 考点讲练 真题汇总 3 题型一 勾股树(数)问题 3 题型二 判断三边能否构成直角三角形 3 题型三 在网格中判断直角三角形 4 题型四 利用勾股定理的逆定理求解 5 题型五 勾股定理逆定理的拓展问题 6 优选真题 实战演练 7 【基础夯实】 7 【培优拔高】 10 知识点一 勾股定理的逆定理 1、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a、b、c，且那么这个三角形是直角三角形. 2、利用勾股定理的逆定理判定直角三角形的步骤 （1）“找”：找出三角形三边中的最长边； （2）“算”：计算其他两边的平方和与最长边的平方； （3）“判”：若两者相等，则这个三角形是直角三角形；否则，不是。 3、勾股定理的逆定理的延伸与拓展 设三角形的三边长分别为a、b、c（c为最长边的长） 知识点二 勾股数 1、勾股数： 2、常见的勾股数：①3、4、5；②6、8、10；③8、15、17；④7、24、25；⑤5、12、13； ⑥9、12、15. 题型一 勾股树(数)问题 【典例精讲】（26-27八年级上·四川达州·开学考试）下列各组数中，是勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式训练1】（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）下列四组数中，是勾股数的是（    ） A．6，8，10 B．0.3，0.4，0.5 C．1，2，3 D． 【变式训练2】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）有一个边长为1的正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上长出两个小正方形，其中，三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形，再经过1次这样的“生长”后，变成了如图1所示的图形．如果照此规律继续“生长”下去，它将变成如图2所示的“枝繁叶茂的勾股树”，请你算出“生长”了2027次后形成的图形中所有正方形的面积和是_______． 题型二 判断三边能否构成直角三角形 【典例精讲】（25-26八年级下·天津东丽·期末）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（     ） A．2，3，4 B．3，3，6 C．6，8，10 D．5，7，9 【变式训练1】（25-26八年级下·福建厦门·期末）以下列各组数为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式训练2】（25-26七年级下·山东烟台·期中）如图，已知中，，，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的长为__________． 题型三 在网格中判断直角三角形 【典例精讲】（2026·辽宁朝阳·二模）如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，点，，，均是格点，则的度数为_____． 【变式训练1】（25-26八年级上·江西景德镇·期末）请在如图所示的网格中，运用无刻度直尺作图． (1)在图1中找一个格点，以为腰，使为等腰三角形． (2)在图2中画一个格点，以为底，使为等腰直角三角形． 【变式训练2】（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把顶点均在格点上的三角形称为“格点三角形”，如图，就是一个格点三角形． (1)求的面积； (2)作出关于直线成轴对称的图形； (3)利用网格在直线上求作点，使得是以为直角的直角三角形．（提示：作图时，先用铅笔作图，确定不再修改后用中性笔描黑，保留作图痕迹） 题型四 利用勾股定理的逆定理求解 【典例精讲】（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，．求的度数．（用表示） 【变式训练1】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图是一个机器零件的示意图，根据标准，该零件中的度数应为．连接，现测得，，，，．在不考虑其他因素的情况下，请通过计算说明该零件是否符合标准（即的度数是否为）． 【变式训练2】（25-26八年级下·广东广州·期末）如图是某公园的局部平面图，四边形为草坪，已知米，米，米，米，． (1)为了让市民去点看桃花更方便，公园管理处决定从正门点处修一条笔直小路通往点处，求小路的长度； (2)求四边形草坪的面积． 题型五 勾股定理逆定理的拓展问题 【典例精讲】如图，在笔直的公路旁有一条河流，为方便运输货物，现要从公路上的D处建一座桥梁到达C处，已知点C与公路上的停靠站A的直线距离为，与公路上另一停靠站B的直线距离为，公路AB的长度为，且． (1)求证：； (2)求修建的桥梁的长． 【变式训练1】【再读教材】：我们八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦—秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为． 【解决问题】：已知在中，，，． (1)请你用“海伦—秦九韶公式”求的面积． (2)除了利用“海伦—秦九韶公式”求的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法． 【变式训练2】已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c. （1）试判断△ABC的形状. （2）求AB边上的高． 【基础夯实】 1．（26-27八年级上·湖南衡阳·开学考试）如图，在中，，，，将沿射线折叠，使点与边上的点重合，为射线上的一个动点，当的周长最小时，的长为（    ） A．7 B．8 C． D． 2．（25-26八年级下·贵州遵义·期中）如图，，两点相距，机器狗由点出发，沿北偏东方向行走到达点，然后从点行走到达点，此时机器狗位于点的（     ） A．北偏东方向上 B．北偏西方向上 C．北偏西方向上 D．北偏西方向上 3．（25-26八年级下·北京密云·期末）的三边长分别为，，，由下列条件能判断为直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．（25-26八年级下·贵州黔南·期末）如图是一株美丽的勾股树，图中所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，若，，，，则正方形E的面积为_______． 5．（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，，，，则的面积是___________． 6．（25-26八年级下·四川南充·期末）一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口出发，如图所示，轮船从港口沿北偏东的方向行30海里到达点处，同一时刻渔船已航行到与港口相距40海里的点处，若、两地相距50海里，则渔船从港口出发的方向为______． 7．（25-26八年级下·湖北恩施·期中）如图，，，，，，则四边形的面积是______． 8．（26-27八年级上·陕西西安·开学考试）如图，中，，，，垂直平分，交于点D，交于点E，连接，求的长． 9．（26-27八年级上·四川达州·开学考试）如图，在中，于点D，，，． (1)求的值； (2)判断的形状，并说明理由． 10．（26-27八年级上·全国·课后作业）若一个三角形的三条边长、、满足，则这个三角形是直角三角形吗？ 【培优拔高】 1．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）毕达哥拉斯在他找到的勾股数的表达式中，用（n为任意正整数）表示勾股数中最大的一个数，则另外两个数中较小数的表达式是（  ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江西南昌·期末）为直角三角形的三边，且为斜边，为斜边上的高，有下列说法正确结论的个数是（    ） ①，，能组成三角形； ②能组成三角形； ③能组成直角三角形； ④能组成直角三角形． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，以的三边为边长向外作正方形，已知这三个正方形构成的图形中，，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．12 4．（25-26九年级下·山东聊城·期中）如图， 在中，，，， 分别为上的动点，为的中点，将绕点旋转，点刚好落在边上，则的最小值为______． 5．（25-26九年级上·湖北十堰·阶段检测）点D是以为斜边的等腰直角三角形内一点，若，则________；的面积是________． 6．（25-26八年级上·甘肃天水·阶段检测）如图，中，．将沿射线折叠，使点A与边上的点D重合，E为射线上一个动点，当周长最小时，的长为______________． 7．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在等腰直角三角形中，，O是内一点，，，，为外一点，且，则四边形的面积为______． 8．（26-27八年级上·四川达州·开学考试）【问题解决】 (1)如图1，在中，为的中线，若，，请求出的取值范围． 【思考探究】 (2)如图2，为线段上一点，，分别以、为斜边向上作等腰直角和等腰直角，为中点，连结，，．请判断的形状，并说明理由； 【拓展延伸】 (3)若将图2中的等腰绕点转至图3的位置（，，不在同一条直线上），连结，为中点，且，在同侧，连结，．若，，，则的面积为 ． 9．（25-26八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在中，，以为边在的同侧作，已知，，，，求阴影部分的面积． 10．（25-26八年级下·广东梅州·期中）阅读下面材料，并解决问题： (1)如图①，等边内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求的度数． 为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出 ． (2)基本运用 请你利用第(1)题的解答思想方法，解答下面问题： 如图②，在中，，，E，F为上的点且，求证： (3)能力提升 如图③，在中，，，，O为内一点，连接，，，且，求的值． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2 勾股定理的逆定理『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+5个题型讲练+难度分层练 共35题） 【苏科版数学新教材•八年级上册】 同学你好，该份讲义用于苏科版新教材八年级上册内容章节学习同步举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 优选期中期末真题难度分层集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合苏科版八上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 知识梳理 温故知新 2 知识点一 勾股定理的逆定理 2 知识点二 勾股数 3 考点讲练 真题汇总 3 题型一 勾股树(数)问题 3 题型二 判断三边能否构成直角三角形 5 题型三 在网格中判断直角三角形 6 题型四 利用勾股定理的逆定理求解 9 题型五 勾股定理逆定理的拓展问题 11 优选真题 实战演练 13 【基础夯实】 13 【培优拔高】 20 知识点一 勾股定理的逆定理 1、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a、b、c，且那么这个三角形是直角三角形. 2、利用勾股定理的逆定理判定直角三角形的步骤 （1）“找”：找出三角形三边中的最长边； （2）“算”：计算其他两边的平方和与最长边的平方； （3）“判”：若两者相等，则这个三角形是直角三角形；否则，不是。 3、勾股定理的逆定理的延伸与拓展 设三角形的三边长分别为a、b、c（c为最长边的长） 知识点二 勾股数 1、勾股数： 2、常见的勾股数：①3、4、5；②6、8、10；③8、15、17；④7、24、25；⑤5、12、13； ⑥9、12、15. 题型一 勾股树(数)问题 【典例精讲】（26-27八年级上·四川达州·开学考试）下列各组数中，是勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】勾股数需满足两个条件：三个数均为正整数，两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此验证各选项即可． 【详解】解：A选项，∵，，， ∴不是勾股数，不符合题意； B选项，∵，，， ∴不是勾股数，不符合题意； C选项，∵，且三个数均为正整数， ∴是勾股数，符合题意； D选项，∵，，， ∴不是勾股数，不符合题意． 【变式训练1】（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）下列四组数中，是勾股数的是（    ） A．6，8，10 B．0.3，0.4，0.5 C．1，2，3 D． 【答案】A 【分析】利用勾股数需为正整数的特征先排除部分选项，再验证剩余选项的平方和关系． 【详解】解：∵0.3，0.4，0.5与均不是正整数， ∴B，D选项不符合要求； ∵， ∴C选项不符合要求； ∵6，8，10均为正整数，且， ∴A选项符合要求． 【变式训练2】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）有一个边长为1的正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上长出两个小正方形，其中，三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形，再经过1次这样的“生长”后，变成了如图1所示的图形．如果照此规律继续“生长”下去，它将变成如图2所示的“枝繁叶茂的勾股树”，请你算出“生长”了2027次后形成的图形中所有正方形的面积和是_______． 【答案】2028 【分析】根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1， ∵三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形， ∴由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， ……， ∴“生长”了2027次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2028． 题型二 判断三边能否构成直角三角形 【典例精讲】（25-26八年级下·天津东丽·期末）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（     ） A．2，3，4 B．3，3，6 C．6，8，10 D．5，7，9 【答案】C 【分析】验证每组数中两较短边的平方和是否等于最长边的平方，判断能否构成直角三角形． 【详解】解：A选项，∵，∴不能构成直角三角形； B选项，∵，∴不能构成三角形，∴不能构成直角三角形； C选项，∵，∴能构成直角三角形； D选项，∵，∴不能构成直角三角形． 【变式训练1】（25-26八年级下·福建厦门·期末）以下列各组数为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】根据勾股定理的逆定理分别计算各选项两较短边的平方和与最长边的平方是否相等即可． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，不符合题意； B、，能构成直角三角形，符合题意； C、，不能构成直角三角形，不符合题意； D、，不能构成直角三角形，不符合题意． 【变式训练2】（25-26七年级下·山东烟台·期中）如图，已知中，，，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的长为__________． 【答案】 【详解】解：， ， 由勾股定理逆定理得是直角三角形，， 设，由垂直平分线的性质知， ， 在直角三角形中， 由勾股定理得，即， 解得，即． 题型三 在网格中判断直角三角形 【典例精讲】（2026·辽宁朝阳·二模）如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，点，，，均是格点，则的度数为_____． 【答案】/45度 【分析】将线段向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，至，可得，证明为等腰直角三角形即可解答． 【详解】解：如图，将线段向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，至， 则点的对应点为点，点的对应点为，， ， ，，， ，， 为等腰直角三角形， ． 【变式训练1】（25-26八年级上·江西景德镇·期末）请在如图所示的网格中，运用无刻度直尺作图． (1)在图1中找一个格点，以为腰，使为等腰三角形． (2)在图2中画一个格点，以为底，使为等腰直角三角形． 【答案】(1)如图，为所求， (2)如图，为所求， 【分析】此题考查格点作图，熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理，是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质作图即可； （2）根据等腰三角形的性质和勾股定理的逆定理作图即可． 【详解】（1）解：找一个格点，以为腰，使，则为等腰三角形． （2）在图2中画一个格点，以为底，使，为等腰直角三角形． 理由：∵， ∴， ∴是等腰直角三角形． 【变式训练2】（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把顶点均在格点上的三角形称为“格点三角形”，如图，就是一个格点三角形． (1)求的面积； (2)作出关于直线成轴对称的图形； (3)利用网格在直线上求作点，使得是以为直角的直角三角形．（提示：作图时，先用铅笔作图，确定不再修改后用中性笔描黑，保留作图痕迹） 【答案】(1) (2) 如图所示，即为所求； (3) 如图所示，点P即为所求； 根据网格的特点可知是等腰直角三角形，即． 【分析】本题主要考查了网格作图，割补法求三角形面积，画轴对称图形等等，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）利用割补法求解即可； （2）根据轴对称图形的作图方法作图即可； （3）如图所示，取格点G，连接交直线n于P，点P即为所求． 【详解】（1）解； 题型四 利用勾股定理的逆定理求解 【典例精讲】（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，．求的度数．（用表示） 【答案】 【分析】勾股定理求出的长，勾股定理逆定理求出，再根据直角三角形的性质，求出的度数即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式训练1】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图是一个机器零件的示意图，根据标准，该零件中的度数应为．连接，现测得，，，，．在不考虑其他因素的情况下，请通过计算说明该零件是否符合标准（即的度数是否为）． 【答案】符合标准，理由如下： ，，， 在中，由勾股定理，得， 在中，， ， 该零件符合标准． 【分析】由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理证明，即可得出结论． 【变式训练2】（25-26八年级下·广东广州·期末）如图是某公园的局部平面图，四边形为草坪，已知米，米，米，米，． (1)为了让市民去点看桃花更方便，公园管理处决定从正门点处修一条笔直小路通往点处，求小路的长度； (2)求四边形草坪的面积． 【答案】(1)20米； (2)246平方米． 【分析】（1）利用勾股定理求出的长即可； （2）先判断出是直角三角形，再分别求出两个直角三角形的面积，即可得出结论． 【详解】（1）解：， 根据勾股定理可得（米）， 答：小路的长度为20米； （2）解：由（1）知，， ， ， 是直角三角形，且， （平方米）． 答：四边形草坪的面积是246平方米． 题型五 勾股定理逆定理的拓展问题 【典例精讲】如图，在笔直的公路旁有一条河流，为方便运输货物，现要从公路上的D处建一座桥梁到达C处，已知点C与公路上的停靠站A的直线距离为，与公路上另一停靠站B的直线距离为，公路AB的长度为，且． (1)求证：； (2)求修建的桥梁的长． 【答案】(1) 证明：由题可知，，． ∵， 即， ∴是直角三角形，且， ∴． (2) 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可求证； （2）根据即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，，， ∴． 答：修建的桥梁CD的长为． 【变式训练1】【再读教材】：我们八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦—秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为． 【解决问题】：已知在中，，，． (1)请你用“海伦—秦九韶公式”求的面积． (2)除了利用“海伦—秦九韶公式”求的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法． 【答案】(1)15 (2) 证明：∵，， ∴，， ∴ ∴ 所以∆ABC为直角三角形； ∴ 【分析】（1）直接用海伦—秦九韶公式计算面积即可； (2)计算得到AC2+BC2=AB2，即△ABC为直角三角形，直接两直角边的积除以2求面积， 【详解】（1）∵，，    ∴ ∴ 【变式训练2】已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c. （1）试判断△ABC的形状. （2）求AB边上的高． 【答案】（1）直角三角形；（2）. 【分析】把a2+b2+c2+338=10a+24b+26c化为（a-5）2+（b-12）2+（c-13）2=0，根据非负数的性质求得a、b、c的值，再利用勾股定理的逆定理判断△ABC为直角三角形即可；（2）利用直角三角形面积的两种表示法求得AB边上的高即可. 【详解】（1）∵a2+b2+c2+338=10a+24b+26c， ∴a2-10a+25+b2-24b+144-c2+26c+169=0， ∴（a-5）2+（b-12）2+（c-13）2=0， 即a=5，b=12，c=13（a，b，c都是正的）， ∵52+122=132， ∴该三角形是直角三角形，且∠ACB=90°． （2）设AB边上的高为h， 根据直角三角形面积的两种表示法可得，， 即， 解得h=. ∴AB边上的高为. 【基础夯实】 1．（26-27八年级上·湖南衡阳·开学考试）如图，在中，，，，将沿射线折叠，使点与边上的点重合，为射线上的一个动点，当的周长最小时，的长为（    ） A．7 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】连接，由折叠的性质可得，，，则，因此的周长等同于，当、、三点共线时，取得最小值．设，则，由勾股定理的逆定理可得，从而得到，在中，使用勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】解：如图，连接， 由题意可知，与关于射线对称， ∴， ∴， ∵为射线上的一个动点， ∴， ∴， ∴的周长为，当、、三点共线时，取得最小值， 当、、三点共线时，如图，设，则， ∵， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴． 2．（25-26八年级下·贵州遵义·期中）如图，，两点相距，机器狗由点出发，沿北偏东方向行走到达点，然后从点行走到达点，此时机器狗位于点的（     ） A．北偏东方向上 B．北偏西方向上 C．北偏西方向上 D．北偏西方向上 【答案】B 【分析】先通过勾股定理逆定理判定为直角三角形，得到，再利用南北方向线互相平行的性质求出的度数，作差算出与的夹角，从而确定相对于的方位． 【详解】解：， ， ， ，如下图： ， ， ， 此时机器狗位于点的北偏西方向上． 3．（25-26八年级下·北京密云·期末）的三边长分别为，，，由下列条件能判断为直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】先确定各选项中三角形的最长边，再利用勾股定理逆定理验证两短边平方和是否等于最长边平方． 【详解】解：A选项，，，，不是直角三角形； B选项，，，，∴不是直角三角形； C选项，，，，∴不是直角三角形； D选项，，，，∴是直角三角形． 4．（25-26八年级下·贵州黔南·期末）如图是一株美丽的勾股树，图中所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，若，，，，则正方形E的面积为_______． 【答案】9 【详解】解：∵所有的四边形都是正方形， ∴图中所有三角形都为直角三角形， 由勾股定理得：正方形E的面积． 5．（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，，，，则的面积是___________． 【答案】 【分析】根据勾股定理的逆定理判断 为直角三角形，再利用直角三角形面积公式求解即可． 【详解】解：，，， ，， ， 是直角三角形，且 ， ． 6．（25-26八年级下·四川南充·期末）一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口出发，如图所示，轮船从港口沿北偏东的方向行30海里到达点处，同一时刻渔船已航行到与港口相距40海里的点处，若、两地相距50海里，则渔船从港口出发的方向为______． 【答案】南偏东 【分析】先根据的长度，利用勾股定理的逆定理判断的形状，确定的度数．结合轮船航行方向是北偏东，确定正北方向与的夹角，再根据的度数计算与正南、正东或正北方向的夹角．根据方向角的定义，确定渔船的航行方向． 【详解】 ∵海里，海里，海里， ∴， ∴是直角三角形，． ∵ 轮船方向为北偏东，， ∴与正南方向的夹角为， 因此渔船从港口出发的方向为南偏东． 7．（25-26八年级下·湖北恩施·期中）如图，，，，，，则四边形的面积是______． 【答案】24 【分析】连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再根据四边形的面积求解即可． 【详解】解：连接， ，， ， ， ， ， 是直角三角形，且， 四边形的面积． 8．（26-27八年级上·陕西西安·开学考试）如图，中，，，，垂直平分，交于点D，交于点E，连接，求的长． 【答案】 【分析】由题意易得是直角三角形，即，然后根据线段垂直平分线的性质可得，设，则，进而根据勾股定理可建立方程进行求解． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴是直角三角形，即， ∵垂直平分， ∴， 设，则， ∴在中，由勾股定理可得，即， 解得：， ∴． 9．（26-27八年级上·四川达州·开学考试）如图，在中，于点D，，，． (1)求的值； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)； (2)是直角三角形，理由如下： 由（1）可知，， ∴ 5， ∵， ∴是直角三角形，且． 【分析】（1）利用勾股定理求出，再利用勾股定理求出． （2）先求出，再利用勾股定理逆定理求解即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴AD； 10．（26-27八年级上·全国·课后作业）若一个三角形的三条边长、、满足，则这个三角形是直角三角形吗？ 【答案】 这个三角形是直角三角形． 【分析】利用等式的性质变形可得 ，即可证明结论． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 即， 整理得 ， ∵ ，，是三角形的三边长， ∴ 根据勾股定理逆定理该三角形是直角三角形． 【培优拔高】 1．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）毕达哥拉斯在他找到的勾股数的表达式中，用（n为任意正整数）表示勾股数中最大的一个数，则另外两个数中较小数的表达式是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用勾股定理的平方关系，推导勾股数中较小数的表达式，关键是利用勾股数的性质设出中间数并进行代数变形． 【详解】解：题中所给表达式是毕达哥拉斯生成勾股数的一种形式 该类勾股数的三边可表示为、和， 其中最大数为， 另外两个数为和， 当为正整数时，， 所以， 因此，较小数的表达式是 故选：C． 2．（25-26八年级上·江西南昌·期末）为直角三角形的三边，且为斜边，为斜边上的高，有下列说法正确结论的个数是（    ） ①，，能组成三角形； ②能组成三角形； ③能组成直角三角形； ④能组成直角三角形． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查三角形三边关系与勾股定理逆定理的应用，需结合直角三角形的勾股定理、面积公式，对每个结论逐一分析判断． 【详解】解：是的三边，为斜边，为斜边上的高 ，， ， ①，不满足三角形两边之和大于第三边的条件， ①错误； ②，， 又能组成三角形， ， ， 即， 均为正数， ， ∴能组成三角形，②正确； ③， 又， 根据勾股定理逆定理，能组成直角三角形， ③正确； ④， 又， ， ， 即， 不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形， ④错误； 综上，正确的结论有2个． 故选：B． 3．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，以的三边为边长向外作正方形，已知这三个正方形构成的图形中，，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理逆定理，直角三角形的性质，难度较大，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 过点作于点，先由面积关系证明，然后证明，，，最后得到，再由求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点 由题意得，， ∵ ∴， ∴， ∴， 由正方形可得，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵，， ∴， ∴，， 同理可证明：， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 故选：B． 4．（25-26九年级下·山东聊城·期中）如图， 在中，，，， 分别为上的动点，为的中点，将绕点旋转，点刚好落在边上，则的最小值为______． 【答案】 【分析】根据勾股定理逆定理判定 为直角三角形，由旋转的性质可知点的对应点与点关于点对称，即为的中点，即得，可知当 时最短，即最小，再利用等面积法求出的长即可求解． 【详解】解：， ，， ， 是直角三角形，且， 设旋转后点落在上的点为，如图， 由旋转的性质可知，与关于点中心对称， ∴点与点关于点对称， 为线段的中点， ， 要使最小，则需最小， ∵点在边上 ， ∴当 时，的值最小，此时， 即， 解得 ， 的最小值为． 5．（25-26九年级上·湖北十堰·阶段检测）点D是以为斜边的等腰直角三角形内一点，若，则________；的面积是________． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质．等腰三角形的判定与性质，将绕点C顺时针旋转得到，根据旋转的性质得，，，，则可判断为等腰直角三角形，所以，，然后根据勾股定理的逆定理可判断为直角三角形，；则，所以，则的面积． 【详解】解：如图，将绕点C顺时针旋转90度得到， ，，，． ， ． 为等腰直角三角形． ，． 在中，，，． ， ． 为直角三角形，． ． ． 将绕点C顺时针旋转得到， ． ， 故答案为：，． 6．（25-26八年级上·甘肃天水·阶段检测）如图，中，．将沿射线折叠，使点A与边上的点D重合，E为射线上一个动点，当周长最小时，的长为______________． 【答案】 【分析】本题主要考查了翻折变换、勾股定理及逆定理，轴对称的性质，掌握其性质是解决此题关键，根据翻折的性质及勾股定理的逆定理可得为直角三角形，设，则，然后再由勾股定理可得答案． 【详解】解：由题意可知，两点关于射线对称， ∴， ∵为定值， 要使周长最小，即最小， ∴由两点之间线段最短知，与射线的交点，即为使周长最小的点，如图所示， ∵ ，且， ∴ ， ∴为直角三角形， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，，即， ∴， ∴， 故答案为： ． 7．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在等腰直角三角形中，，O是内一点，，，，为外一点，且，则四边形的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理与逆定理，根据全等三角形的性质得出，， ，根据等式的性质得出，在中，根据勾股定理求出，在中，根据勾股定理的逆定理得出，然后根据求解即可． 【详解】解：连接． ， ，， ， ，即， 在中，， ，，， ， ， ． 故答案为：． 8．（26-27八年级上·四川达州·开学考试）【问题解决】 (1)如图1，在中，为的中线，若，，请求出的取值范围． 【思考探究】 (2)如图2，为线段上一点，，分别以、为斜边向上作等腰直角和等腰直角，为中点，连结，，．请判断的形状，并说明理由； 【拓展延伸】 (3)若将图2中的等腰绕点转至图3的位置（，，不在同一条直线上），连结，为中点，且，在同侧，连结，．若，，，则的面积为 ． 【答案】(1) (2)解：E为等腰直角三角形，理由如下： 延长至点，使得，连结，，如图， ∵等腰直角和等腰直角， ∴，，，， ∴， ∵为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴为等腰直角三角形； (3)28 【分析】（1）延长至点，使得，连结，结合中线利用证明，则，在中利用三边关系得到，求得即可； （2）延长至点，使得，连结，，由等腰直角三角形得，，，，结合中点利用证明，则和，再次利用证明，即有和，可证明为等腰直角三角形，进一步证明为等腰直角三角形； （3）延长至点，使得，连结，，，同理可证，则有，，，设，求得 ，利用证明，即有，，，得到为等腰直角三角形，利用勾股定理逆定理证明为直角三角形，且，即可证明，且有，，三点共线，利用面积公式求得，结合中点得到． 【详解】（1）解：延长至点，使得，连结，如图， ∵为的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，，即， ∴， ∵， ∴； （2）略 （3）解：延长至点，使得，连结，，，如图， ∵为中点， 同理即可证明， ∴，， 设， ∵ ， ∴， ∵等腰直角， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴，， ∴， 在中，， ∴为直角三角形，且， ∴，， ∴，且有，，三点共线， ∴， ∴， ∵为中点， ∴． 9．（25-26八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在中，，以为边在的同侧作，已知，，，，求阴影部分的面积． 【答案】26 【分析】利用勾股定理及其逆定理，结合直角三角形的面积，运用分割法求解即可； 【详解】解：在中，，， 由勾股定理得：， 在中，， ， ， ， ． 10．（25-26八年级下·广东梅州·期中）阅读下面材料，并解决问题： (1)如图①，等边内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求的度数． 为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出 ． (2)基本运用 请你利用第(1)题的解答思想方法，解答下面问题： 如图②，在中，，，E，F为上的点且，求证： (3)能力提升 如图③，在中，，，，O为内一点，连接，，，且，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，利用旋转的性质，易得为等边三角形，得到，勾股定理逆定理得到，进而推出的度数，即可得解； （2）把绕点A逆时针旋转得到，证明，可得，即可得证； （3）将绕点B顺时针旋转至处，连接，易得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：如图，点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，将绕顶点A逆时针旋转到，连接， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，把绕点A逆时针旋转得到， 由旋转的性质得，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴． ∴． 由勾股定理得，， 即． （3）解：如图，将绕点B顺时针旋转至处，连接， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∵绕点B顺时针旋转至， ∴，，，， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴四点共线， 在中，由勾股定理得：． ∴． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $nullnull