专题2.3 实数【导图+知识卡片+知识梳理+10个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共45题】-2026-2027学年苏科版数学八年级上册同步培优精讲练

本讲义聚焦实数核心知识点，系统梳理有理数与无理数的概念（有限/无限循环小数与无限不循环小数），实数的分类（按定义和与0的大小）、与数轴的一一对应关系，大小比较方法及运算规则（延续有理数法则），构建从概念到性质再到应用的学习支架。 资料以思维导图助力知识结构化，提升抽象能力（数学眼光），10个题型讲练（如无理数估算、整数部分计算）培养运算能力与推理意识（数学思维），中考真题与分层训练（基础夯实、培优拔高）强化应用意识（数学语言）。课中辅助教师系统教学，课后帮助学生分层巩固，有效查漏补缺。

nullnull 专题2.3 实数『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+10个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共45题） 【苏科版数学新教材•八年级上册】 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 有理数与无理数 2 知识点二 实数 2 知识点三 实数大小的比较 3 知识点四 实数的运算 3 题型讲练 3 题型一 无理数 3 题型二 无理数的大小估算 4 题型三 无理数整数部分的有关计算 4 题型四 实数概念理解 4 题型五 实数的分类 4 题型六 实数的性质 5 题型七 实数与数轴 5 题型八 实数的大小比较 5 题型九 程序设计与实数运算 5 题型十 计算器——平方根和立方根 6 中考真题演练 7 难度分层训练 8 【基础夯实】 8 【培优拔高】 10 知识点一 有理数与无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 【要点提示】 （1） 无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数 的形式. （2） 常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111… （3） 带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 知识点二 实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 知识点三 实数大小的比较 对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. 正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小. 知识点四 实数的运算 有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数. 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用. 题型一 无理数 【典例精讲】在实数，，，中，无理数是(    ) A． B． C． D． 【变式训练】（24-25八年级上·陕西榆林·期末）写一个大于2而小于5的无理数________________． 题型二 无理数的大小估算 【典例精讲】（25-26八年级上·陕西西安·期中）________．（选填“”、“”或“”） 【变式训练】（25-26八年级上·江苏镇江·期末）若有理数a满足，则a的值可为__________．（写出一个即可） 题型三 无理数整数部分的有关计算 【典例精讲】（25-26八年级上·广东梅州·阶段检测）已知，且m为整数，则m的值为____． 【变式训练】（25-26八年级上·江苏镇江·期末）已知的立方根是2，的平方根是，c是的整数部分．求的平方根． 题型四 实数概念理解 【典例精讲】（25-26八年级上·上海杨浦·期末）如果在数轴上的点到原点的距离是，那么表示点的实数为（   ） A． B． C． D．5 【变式训练】（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知实数a，b满足． (1)求a、b的值． (2)求的平方根． 题型五 实数的分类 【典例精讲】（25-26八年级上·山西运城·期末）下列各数是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级上·宁夏银川·期末）在实数：，，，，，，中整数有________，分数有________，无理数有________． 题型六 实数的性质 【典例精讲】（25-26八年级上·河北保定·期末）下面关于的叙述不正确的是（   ） A．2的平方根是 B．面积是2的正方形的边长是 C．的绝对值是 D．的相反数是 【变式训练】（25-26八年级上·四川巴中·期中）的相反数是____，8的立方根是____，16的平方根是____． 题型七 实数与数轴 【典例精讲】如图，面积为7的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，以A为圆心，长为半径画弧，交于A右侧数轴于点E，则点E所表示的数为___________． 【变式训练】（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图，面积为3的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上点E所表示的数为_______ 题型八 实数的大小比较 【典例精讲】（24-25八年级上·吉林长春·阶段检测）比较大小：_____ 3（填“”或“”或“”）． 【变式训练】（25-26八年级上·河南郑州·期末）下列实数中，最小的数是（   ） A． B． C． D． 题型九 程序设计与实数运算 【典例精讲】（25-26八年级上·北京通州·期末）根据图中的程序，当输入的为时，输出的值是______． 【变式训练】（25-26八年级上·河南周口·期中）如图所示的是小明用计算机设计的计算小程序，当输入的值为时，输出的值是___________． 题型十 计算器——平方根和立方根 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课后作业）用计算器求下列各式的近似值：（结果精确到0.001） (1)； (2)； (3) (4)． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·课后作业）利用计算器求的值，其按键顺序正确的是（    ） A． B． C． D． 【真题演练1】（2025·安徽宿州·中考真题）规定取的整数部分，例如：，，，则的值等于（   ） A．4 B． C．5 D． 【真题演练2】（2025·山东滨州·中考真题）如图，数轴上表示2，的对应点为A、B，点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数为（   ） A． B． C． D． 【真题演练3】（2025·上海·中考真题）已知在数轴上点与点关于原点对称，且点在点的左侧．点也在该数轴上，且表示的数是．如果，那么的长为______． 【真题演练4】（2025·上海·中考真题）如图①，由8个同样大小的正方体组成一个“二阶魔方”，整个魔方的体积为．图①中阴影部分是一个正方形，它的面积是魔方侧面面积的一半，若把正方形放到数轴上，如图②．使得点与重合．若以点为圆心，的长为半径画圆，与数轴交于点，那么点在数轴上表示的数为_______． 【真题演练5】（2025·江苏无锡·中考真题）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)实数m的值是____________ (2)求的值 (3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c、d，且实数c满足，实数d表示面积为27的正方形的边长，小蚂蚁从点C出发，爬到点D后，就沿着数轴向左爬行，小蚂蚁的爬行速度为每秒3个单位长度，请判断第2秒结束时，小蚂蚁在点B的左侧还是右侧？并写出判断过程． 【基础夯实】 1．（25-26八年级上·北京·阶段检测）下列数，，，0.021021021…中，无理数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25八年级上·甘肃白银·期中）在下列各数中、、、0、、、3.1415、、2.010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）．是无理数的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．（25-26八年级上·广东梅州·期末）下列四个命题中是真命题的是（    ）． A．相等的角是对顶角 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．实数与数轴上的点是一一对应的 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 4．（24-25七年级下·河南洛阳·期中）如图是一个数值转换器，当输入的值为时，则输出的值是______． 5．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图所示，直径为个单位长度的半圆，从原点开始沿着数轴向右滚动一周，半圆上的一点由到达，则点对应的数为_____． 6．（25-26八年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，在数轴上表示实数的点可能是______点． 7．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）已知实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系为_____．（用“＜”连接） 8．（23-24七年级下·湖北恩施·期中）已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 9．（24-25八年级上·重庆·阶段检测）已知的平方根为，的立方根为1，的小数部分为，求的算术平方根． 10．（25-26八年级上·山西运城·期末）阅读与探究 我们在八年级上册第二章《实数》中学习了：负数没有平方根，即方程在实数范围内无解．为了解决这个问题，数学家引入了一个新数i，叫做虚数单位．规定：；实数范围内的运算法则（如交换律、结合律、分配律、完全平方公式等）在i引入后仍然适用． 例如：． 计算：．解：原式（利用平方差公式）（将换成）． 我们将形如（a，b均为实数）的数称为复数． (1)根据此规律，计算：_________． (2)请参照材料中的例子，计算和的值． (3)在实数范围内，方程无解．但在引入虚数i后，我们利用可以这样求解： ， ． 请你仿照上述方法，求方程的解． 【培优拔高】 1．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）下面四个命题： ①一个有理数与一个无理数的和一定是无理数； ②一个有理数与一个无理数的积一定是无理数； ③两个无理数的和一定是无理数； ④两个无理数的积一定是无理数． 其中真命题的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26八年级上·山东潍坊·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．无理数就是开方开不尽的数 C．互为相反数的立方根还是互为相反数 D．实数包括有理数、无理数和零 3．（25-26八年级上·福建三明·期中）若为无理数，但是有理数，则下列结论正确的是（   ） A．是有理数 B．是有理数 C．是无理数 D．是无理数 4．（25-26八年级上·四川成都·期末）有人在数轴上按照如图所示的方法“画出”了 按照这个方法继续画下去，画出的第2026个无理数是_____． 5．规定：对于任意实数，可用表示不超过的最大整数，如：，．现对38进行如下操作：，这样对38只需进行3次操作后变为1．某同学对实数2025进行了次操作后变为1，那么的值为______． 6．如图，通过画边长为的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，则点表示的实数为_____．（结果保留根号） 7．（25-26八年级上·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，点，点，点D为线段外一动点，且，以为斜边作如图所示的等腰直角，，．连接，以为直角边，作如图所示的等腰直角，，，连接，则线段长的最大值为______． 8．（25-26八年级上·福建漳州·期末）已知代数式（n为正整数）． (1)当时，_____（填得数），是_____（填“有理数”或“无理数”）；当时，_____（填得数），是_____（填“有理数”或“无理数”）； (2)可能是偶数吗？为什么？可能是奇数吗？为什么？ 9．（25-26八年级上·湖南株洲·期末）若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“湘一区间”为；同理规定无理数的“湘一区间”为．例如：因为，所以，所以的“湘一区间”为，的“湘一区间”为．请解答下列问题： (1)的“湘一区间”是___________；的“湘一区间”是___________； (2)若无理数（为正整数）的“湘一区间”为，且的“湘一区间”为，求的值； (3)实数满足关系式：，求的“湘一区间”． 10．如图，在的小正方形组成的图形中有一个阴影部分（阴影部分也是正方形）．若每个小正方形的边长为1，点表示的数为． (1)图中正方形的面积为多少？它的边长为多少？这个值在哪两个连续整数之间？ (2)若阴影正方形的边长的值的整数部分为，小数部分为，求的值， (3)若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，如图所示，我们把点滚到与数轴上，记为第一次翻滚，点与数轴的交点记为；点翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚，与数轴的交点记为；点翻滚到数轴上时，记为第三次翻滚，与数轴的交点记为；点翻滚到数轴上时，记为第四次翻滚，与数轴的交点记为，…，以此类推，请问点表示的数为多少？ 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 实数『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+10个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共45题） 【苏科版数学新教材•八年级上册】 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 有理数与无理数 2 知识点二 实数 2 知识点三 实数大小的比较 3 知识点四 实数的运算 3 题型讲练 3 题型一 无理数 3 题型二 无理数的大小估算 4 题型三 无理数整数部分的有关计算 5 题型四 实数概念理解 5 题型五 实数的分类 6 题型六 实数的性质 7 题型七 实数与数轴 8 题型八 实数的大小比较 9 题型九 程序设计与实数运算 10 题型十 计算器——平方根和立方根 11 中考真题演练 12 难度分层训练 16 【基础夯实】 16 【培优拔高】 22 知识点一 有理数与无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 【要点提示】 （1） 无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数 的形式. （2） 常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111… （3） 带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 知识点二 实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 知识点三 实数大小的比较 对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. 正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小. 知识点四 实数的运算 有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数. 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用. 题型一 无理数 【典例精讲】在实数，，，中，无理数是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据定义逐个判断各数即可得到结果． 【详解】解：是有限小数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数； ，是整数，属于有理数． 【变式训练】（24-25八年级上·陕西榆林·期末）写一个大于2而小于5的无理数________________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】由于一个大于2而小于5的无理数，可以先把这两个数都平方得到4和25，那么就可以从4和25之间找一个数开平方，而且是无理数即可． 【详解】解：大于2而小于5的无理数可以是． 题型二 无理数的大小估算 【典例精讲】（25-26八年级上·陕西西安·期中）________．（选填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】两个负数，绝对值大的其值反而小，先计算两数的绝对值，再比较绝对值的大小，进而判断原数的大小关系． 【详解】解：根据绝对值的定义，可得，， 因为，即， 所以． 【变式训练】（25-26八年级上·江苏镇江·期末）若有理数a满足，则a的值可为__________．（写出一个即可） 【答案】1.5（答案不唯一） 【分析】本题主要考查无理数的估算，根据题意可得，得到可以为2.25，即，进而求出a的值． 【详解】解：∵a为有理数， ∴为有理数， ， ∴， ∴可以为2.25，即， ∴， ∴a的值可为1.5． 故答案为：1.5（答案不唯一）． 题型三 无理数整数部分的有关计算 【典例精讲】（25-26八年级上·广东梅州·阶段检测）已知，且m为整数，则m的值为____． 【答案】4 【分析】本题主要考查无理数的估算，先估算出，即可求出整数的值． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，且为整数， ∴． 故答案为：． 【变式训练】（25-26八年级上·江苏镇江·期末）已知的立方根是2，的平方根是，c是的整数部分．求的平方根． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根，立方根，无理数的估算，解题的关键是掌握平方根和立方根的定义，以及用夹逼法估算无理数的方法和步骤． 先根据立方根和平方根的定义，求出a和b的值，再估算的值，最后将a、b、c的值代入，利用平方根的定义即可求解． 【详解】解：∵的立方根是，的平方根是， ∴，， 解得：，， ∵， ∴， ∴的整数部分是， ∴， ∴， ∴的平方根是． 题型四 实数概念理解 【典例精讲】（25-26八年级上·上海杨浦·期末）如果在数轴上的点到原点的距离是，那么表示点的实数为（   ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】根据数轴上点到原点的距离等于该点所表示实数的绝对值． 本题考查数轴上距离与绝对值的性质，掌握基本概念是解题关键． 【详解】解：∵点A到原点的距离是， ∴， ∴． 故选：C． 【变式训练】（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知实数a，b满足． (1)求a、b的值． (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查算术平方根的非负性，平方根及实数的定义，熟练掌握算术平方根的非负性，平方根及实数的定义是解题的关键； （1）根据算术平方根的非负性可进行求解； （2）由（1）可得的值，然后问题可求解． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴； （2）解：把代入得：， ∵的平方根是， ∴的平方根是． 题型五 实数的分类 【典例精讲】（25-26八年级上·山西运城·期末）下列各数是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】有理数是整数与分数的统称，有限小数和无限循环小数都是有理数，无理数是无限不循环小数，据此逐一判定即可. 【详解】解：∵选项A中，是有限小数，属于有理数，∴本选项不符合题意. ∵选项B中，，是整数，属于有理数，∴本选项不符合题意. ∵选项C中，开方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数，∴本选项符合题意. ∵选项D中，是分数，属于有理数，∴本选项不符合题意. 故选：C. 【变式训练】（25-26八年级上·宁夏银川·期末）在实数：，，，，，，中整数有________，分数有________，无理数有________． 【答案】 ，， ， ， 【分析】先化简题目中的算术平方根，再根据整数、分数、无理数的定义对各数进行分类即可. 【详解】解：， 整数是正整数、零、负整数的统称， 整数有：，，； 分数包括有限小数与无限循环小数， 分数有：，； 无理数是无限不循环小数， 无理数有：，. 题型六 实数的性质 【典例精讲】（25-26八年级上·河北保定·期末）下面关于的叙述不正确的是（   ） A．2的平方根是 B．面积是2的正方形的边长是 C．的绝对值是 D．的相反数是 【答案】A 【分析】本题考查平方根、绝对值、相反数等基本概念，根据平方根的定义，算术平方根的定义，绝对值的意义，相反数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．2的平方根有两个，即和，故选项A错误，符合题意； B．面积是2的正方形的边长是，故选项B正确，不符合题意； C．的绝对值是，故选项C正确，不符合题意； D．的相反数是，故选项D正确，不符合题意， 故选：A． 【变式训练】（25-26八年级上·四川巴中·期中）的相反数是____，8的立方根是____，16的平方根是____． 【答案】 2 【分析】本题考查了相反数，立方根，平方根．熟练掌握相反数，立方根，平方根的定义，是解题的关键． 利用相反数的定义求的相反数；利用立方根的概念求8的立方根；利用平方根的概念求16的平方根 【详解】解：的相反数是； 因为，所以8的立方根是2； 因为，所以16的平方根是. 故答案为, 2, 题型七 实数与数轴 【典例精讲】如图，面积为7的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，以A为圆心，长为半径画弧，交于A右侧数轴于点E，则点E所表示的数为___________． 【答案】/ 【分析】根据题意得出，结合数轴即可求解． 【详解】解：正方形的面积为， 正方形的边长为， 则由题意可知， 点表示的数为， 点所表示的数为． 【变式训练】（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图，面积为3的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上点E所表示的数为_______ 【答案】 【分析】根据正方形的面积公式求出的长，则可求出的长，再根据点A表示的数即可得到答案． 【详解】解：∵正方形的面积为3， ∴， ∴， ∵点A在数轴上，且表示的数为， ∴则数轴上点E所表示的数为 ． 题型八 实数的大小比较 【典例精讲】（24-25八年级上·吉林长春·阶段检测）比较大小：_____ 3（填“”或“”或“”）． 【答案】 【分析】对于两个正数，可通过比较平方后结果的大小判断原数大小，平方更大的原数更大，据此求解. 【详解】解：∵ ，， 又∵ ， ∴ . 【变式训练】（25-26八年级上·河南郑州·期末）下列实数中，最小的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据实数的大小比较法则比较即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵正数大于，负数小于，正数大于一切负数， ∴最小的数在和中， ∵，， ∴， 又∵两个负数比较大小，绝对值大的反而小， ∴， ∴最小的数是， 故选：． 题型九 程序设计与实数运算 【典例精讲】（25-26八年级上·北京通州·期末）根据图中的程序，当输入的为时，输出的值是______． 【答案】 【分析】本题考查求一个数的立方根，算术平方根，读懂题意是解题的关键．根据流程图逐步求解即可． 【详解】解：∵当，， ∴， ∵不是无理数，进入循环， 当，， ∴， ∵不是无理数，进入循环， 当，， ∴， ∵是无理数，退出循环， ∴输出． 故答案为：． 【变式训练】（25-26八年级上·河南周口·期中）如图所示的是小明用计算机设计的计算小程序，当输入的值为时，输出的值是___________． 【答案】 【分析】本题考查了实数的计算，掌握求一个数的立方根，算术平方根是解题的关键．将代入程序进行计算即可求解． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，，输出， 故答案为： 题型十 计算器——平方根和立方根 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课后作业）用计算器求下列各式的近似值：（结果精确到0.001） (1)； (2)； (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了用计算器计算算术平方根和立方根，解题的关键在于能够熟练使用计算器进行计算． （1）利用计算器进行求解即可得到答案； （2）利用计算器进行求解即可得到答案； （3）利用计算器进行求解即可得到答案； （4）利用计算器进行求解即可得到答案． 【详解】（1）解： （2） （3） （4）． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·课后作业）利用计算器求的值，其按键顺序正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了计算器—平方根和立方根，根据无理数运算中计算器的使用法则可知，是先是，再按8，是先按键，再按，再按6，即可作答． 【详解】解：利用计算器求的值，其按键顺序正确的是 ， 故选：A． 【真题演练1】（2025·安徽宿州·中考真题）规定取的整数部分，例如：，，，则的值等于（   ） A．4 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算，有理数的加减混合运算，正确理解题意是解题的关键．根据的定义，分别求出的值，再代入计算即可． 【详解】， ， ， ， ， ，， 至的值均为1，至的值均为2，至的值均为3，至的值均为4，至的值均为5，至的值均为6， ． 故选：A． 【真题演练2】（2025·山东滨州·中考真题）如图，数轴上表示2，的对应点为A、B，点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点C表示的数为x，根据对称得出，得出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：设点C表示的数为x， ∵数轴上表示2，的对应点分别是A、B， ∴， 即， 解得． 即点C表示的数为． 【真题演练3】（2025·上海·中考真题）已知在数轴上点与点关于原点对称，且点在点的左侧．点也在该数轴上，且表示的数是．如果，那么的长为______． 【答案】或 【分析】本题考查数轴上两点间的距离．解题关键是数轴上两点间的距离等于它们表示的两数差的绝对值，也可以“大减小”，分类讨论． 设点B表示的数为x，根据数轴上点与点关于原点对称，得点A表示的数为，根据点表示的数是．分当时，当时，写出长的表达式，再根据建立方程，解答即可． 【详解】解：设点B表示的数为x， ∵数轴上点与点关于原点对称， ∴点A表示的数为． ∵点表示的数是． 当时， ∴． ∵， ∴． 解得． ∴． 当时， ∴． ∴． 解得． ∴． 故答案为： 或． 【真题演练4】（2025·上海·中考真题）如图①，由8个同样大小的正方体组成一个“二阶魔方”，整个魔方的体积为．图①中阴影部分是一个正方形，它的面积是魔方侧面面积的一半，若把正方形放到数轴上，如图②．使得点与重合．若以点为圆心，的长为半径画圆，与数轴交于点，那么点在数轴上表示的数为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查实数与数轴、立方根的综合应用，解决此题的关键是能求出正方形的边长． 先用立方体的体积公式求出魔方的棱长，然后再求出侧面的面积，进而可求出的边长，进而可求出点代表的数． 【详解】解：∵魔方的体积为， ∴魔方的棱长为：， ∴侧面面积为：， ∴正方形的面积为：， ∴正方形的边长为：， ∴点与重合．若以点为圆心，的长为半径画圆，与数轴交于点，点在数轴上表示的数为， 故答案为： ． 【真题演练5】（2025·江苏无锡·中考真题）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)实数m的值是____________ (2)求的值 (3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c、d，且实数c满足，实数d表示面积为27的正方形的边长，小蚂蚁从点C出发，爬到点D后，就沿着数轴向左爬行，小蚂蚁的爬行速度为每秒3个单位长度，请判断第2秒结束时，小蚂蚁在点B的左侧还是右侧？并写出判断过程． 【答案】(1) (2) (3)在点B的右侧，过程见解析 【分析】本题主要考查实数与数轴，化简绝对值，相反数的意义，非负数的性质及算术平方根的意义，解题的关键是熟练掌握绝对值与算术平方根的意义． （1）根据利用数轴表示数的方法求解即可； （2）将m的值代入，判断、的正负，然后化简绝对值计算即可； （3）先根据求出，再求出，再根据题意求出小蚂蚁最后的位置表示的数，进一步判断出在点B的左侧还是右侧即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：∵， 则，， ∴ （3）在点B的右侧， 理由：∵， ∴， 解得， ∴， ∴，， ∴， 解得， ∵实数d表示面积为27的正方形的边长， ∴， ∵小蚂蚁的爬行速度为每秒3个单位长度，爬行时间为2秒， ∴小蚂蚁爬行的路程为个单位长度， ∵点C表示的数为，点D表示的数为， ∴， ∴此时小蚂蚁的位置表示的数为， ∵，且， ∴， ∴小蚂蚁在原点右侧， 则， ∵，， ∴ ∴在点B的右侧． 【基础夯实】 1．（25-26八年级上·北京·阶段检测）下列数，，，0.021021021…中，无理数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项．其中初中范围内学习的无理数有：，等；开不尽方的数；以及像0.101001000100001…等有这样规律的数． 【详解】解：是分数，属于有理数，故不符合题意； 是无理数，符合题意， 是分数，属于有理数，故不符合题意； 0.021021021…是无限循环小数，属于有理数，故不符合题意； 综上所述，无理数有，共  个． 2．（24-25八年级上·甘肃白银·期中）在下列各数中、、、0、、、3.1415、、2.010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）．是无理数的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．无理数就是无限不循环小数． 【详解】解：、、、0、3.1415是有理数， 、、、2.010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）是无理数， 故选：A． 3．（25-26八年级上·广东梅州·期末）下列四个命题中是真命题的是（    ）． A．相等的角是对顶角 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．实数与数轴上的点是一一对应的 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】C 【分析】根据两直线平行，同位角相等，实数与数轴，平行公理，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．相等的角不一定是对顶角，A是假命题，不符合题意； B．只有两条平行直线被第三条直线所截时，同位角才相等，B是假命题，不符合题意； C．实数与数轴上的点是一一对应的，C是真命题，符合题意； D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，D是假命题，不符合题意． 故选：C． 4．（24-25七年级下·河南洛阳·期中）如图是一个数值转换器，当输入的值为时，则输出的值是______． 【答案】 【分析】先求的算术平方根，判断结果为有理数，再重新求算术平方根，重复计算，到结果为无理数输出即可． 【详解】解：的算术平方根是，是有理数，继续输入， 的算术平方根是，是有理数，继续输入， 的算术平方根是，是无理数，输出， ∴输出的值是． 5．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图所示，直径为个单位长度的半圆，从原点开始沿着数轴向右滚动一周，半圆上的一点由到达，则点对应的数为_____． 【答案】 【分析】本题考查的是半圆滚动与数轴的结合，灵活运用半圆的周长公式是解题的关键．根据半圆的周长等于半圆弧长与直径之和，先求出直径为个单位长度的半圆的周长，进而确定点对应的数． 【详解】解：由图可知，半圆向右滚动一周，走过的路径为半圆的周长， 即， 点对应的数为． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，在数轴上表示实数的点可能是______点． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的大小估算，实数与数轴．熟练掌握无理数的大小估算，实数与数轴是解题的关键． 由题意知，，然后判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴表示实数的点可能是点， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）已知实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系为_____．（用“＜”连接） 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较、算术平方根和绝对值的非负性，熟练掌握非负数的性质是解题的关键． 根据平方、算术平方根和绝对值的非负性，三个非负数的和为0，则每个数都为0，求出a，b，c的值，再比较大小即可． 【详解】解：∵，，，且， ∴ ，，， ∴ ，，， ∴ ，，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（23-24七年级下·湖北恩施·期中）已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据立方根和算术平方根的定义列方程求出和，再估算的大小得到它的整数部分，即可求出； （2）将，，的值代入计算出结果，再求这个结果的平方根即可． 【详解】（1）解：的立方根是，的算术平方根是， ，， ， 将代入，得，解得， ， ， 是的整数部分， ； （2）解：将，，代入得：， 的平方根为， 即的平方根是． 9．（24-25八年级上·重庆·阶段检测）已知的平方根为，的立方根为1，的小数部分为，求的算术平方根． 【答案】 【分析】先根据“的平方根为，的立方根为1”列出关于x、y的方程组并求解，再根据“的小数部分为”求出z，再将x、y、z的值代入求值，从而求出其算术平方根． 【详解】解：∵的平方根为，的立方根为1， ∴， 解得：， 又∵的小数部分为，， ∴， ∴ ， ∴的算术平方根是． 10．（25-26八年级上·山西运城·期末）阅读与探究 我们在八年级上册第二章《实数》中学习了：负数没有平方根，即方程在实数范围内无解．为了解决这个问题，数学家引入了一个新数i，叫做虚数单位．规定：；实数范围内的运算法则（如交换律、结合律、分配律、完全平方公式等）在i引入后仍然适用． 例如：． 计算：．解：原式（利用平方差公式）（将换成）． 我们将形如（a，b均为实数）的数称为复数． (1)根据此规律，计算：_________． (2)请参照材料中的例子，计算和的值． (3)在实数范围内，方程无解．但在引入虚数i后，我们利用可以这样求解： ， ． 请你仿照上述方法，求方程的解． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】本题主要考查了新定义，数字类的规律探索，求平方根的方法解方程，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可得（n为正整数）这列数每4个数为一个循环，依次为，据此求出2026除以4的余数即可得到答案； （2）根据题目中给出的运算方法进行计算即可； （3）根据题目中给出的运算方法进行计算即可． 【详解】（1）解：， ……， 以此类推，可知，（n为正整数）这列数每4个数为一个循环，依次为， ∵， ∴； （2）解： ； ； （3）解：∵， ∴， ， . 【培优拔高】 1．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）下面四个命题： ①一个有理数与一个无理数的和一定是无理数； ②一个有理数与一个无理数的积一定是无理数； ③两个无理数的和一定是无理数； ④两个无理数的积一定是无理数． 其中真命题的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】通过反例判断各命题真假，即可判断． 本题考查了命题的判断，实数的运算及无理数、有理数的定义，熟知以上知识是解题关键． 【详解】对于命题①：设为有理数，为无理数，若为有理数，则为有理数，矛盾，∴为无理数，命题①真； 对于命题②：取反例，有理数0与无理数的积为0，是有理数，∴命题②假； 对于命题③：取反例，无理数与的和为0，是有理数，∴命题③假； 对于命题④：取反例，无理数与的积为2，是有理数，∴命题④假； ∴真命题只有1个； 故选：A． 2．（25-26八年级上·山东潍坊·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．无理数就是开方开不尽的数 C．互为相反数的立方根还是互为相反数 D．实数包括有理数、无理数和零 【答案】C 【分析】本题考查平方根、无理数、立方根和实数的概念，需逐一判断各选项的正确性． 【详解】解：A项：，4的平方根是，而非，故A错误； B项：无理数是无限不循环小数，开方开不尽的数只是无理数的一部分（如π是无理数但不是开方所得），故B错误； C项：设a为实数，则是a的相反数，，即它们的立方根互为相反数，故C正确； D项：实数包括有理数和无理数，零是有理数的一部分，故D错误． 故选：C． 3．（25-26八年级上·福建三明·期中）若为无理数，但是有理数，则下列结论正确的是（   ） A．是有理数 B．是有理数 C．是无理数 D．是无理数 【答案】D 【分析】本题主要考查了无理数的运用，掌握无理数与有理数的和差均为无理数是解题的关键． 由是有理数，展开得为有理数，设其为，则 为有理数．选项 D的表达式可化为 ，进一步利用已知条件化为 ，由于有理而无理，故无理，因此D正确．其他选项均可能为无理数或不满足条件，据此即可解答． 【详解】解：∵是有理数，设为， ∴为有理数． 对于选项 D：， ∵ ， 又 ∵ 为有理数， 为无理数， ∴ 为无理数， 故是无理数，选项D正确，符合题意． 其他选项： A．，含无理项，故是无理数，不符合题意； B．，含无理项，故是无理数，不符合题意； C．，为有理数，故不是无理数，不符合题意． 故选：D． 4．（25-26八年级上·四川成都·期末）有人在数轴上按照如图所示的方法“画出”了 按照这个方法继续画下去，画出的第2026个无理数是_____． 【答案】 【分析】本题考查了无理数，由于有理数仅出现在被开方数为完全平方数的项，通过计算前2025个数中有理数的个数为45个，可得第2026个无理数对应的被开方数． 【详解】解：， 当（为正整数）时，为有理数， ，，，， 第个无理数是，第个无理数是． 故答案为：． 5．规定：对于任意实数，可用表示不超过的最大整数，如：，．现对38进行如下操作：，这样对38只需进行3次操作后变为1．某同学对实数2025进行了次操作后变为1，那么的值为______． 【答案】4 【分析】本题考查了估算无理数的大小的应用，涉及算术平方根和取整运算，根据定义，逐步计算2025的算术平方根并取整，直到结果为1． 【详解】解：对2025进行操作： 第一次操作，； 第二次操作，； 第三次操作，； 第四次操作，， 故进行了4次操作后变为1， 故答案为：4． 6．如图，通过画边长为的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，则点表示的实数为_____．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．根据勾股定理可得，经过逐步推理计算即可． 【详解】解：由题意可得，， 且右侧最近的整数点为， 表示的数是， ， 表示的数是． 且右侧最近的整数点为， 表示的数是， ， 表示的数是． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，点，点，点D为线段外一动点，且，以为斜边作如图所示的等腰直角，，．连接，以为直角边，作如图所示的等腰直角，，，连接，则线段长的最大值为______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系．连接，证明，可得，从而得到当最大时，线段的长取得最大值，在中，根据三角形的三边关系，可得当点D，B，C三点共线时，取得最大值，此时的长取得最大值，为，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴当最大时，线段的长取得最大值， 在中，， ∴当点D，B，C三点共线时，取得最大值，此时的长取得最大值，为， ∵，点， ∴， ∵， ∴线段的长的最大值为． 故答案为： 8．（25-26八年级上·福建漳州·期末）已知代数式（n为正整数）． (1)当时，_____（填得数），是_____（填“有理数”或“无理数”）；当时，_____（填得数），是_____（填“有理数”或“无理数”）； (2)可能是偶数吗？为什么？可能是奇数吗？为什么？ 【答案】(1)，无理数，，无理数 (2)不可能是偶数，也不可能是奇数，理由见解析 【分析】本题考查了二次根式的化简与分类、整数的奇偶性及反证法的应用． （1）分别代入和计算的值，再分别判断和的数的类型即可； （2）先假设是偶数，通过开方推导可得出其不是偶数；当时，，此时，不是奇数，当时，假设是奇数，不妨设（且k为整数），通过计算推导可证得不是奇数． 【详解】（1）解：当时，， ∵5不是完全平方数， ∴是无理数， 当时，， ∵7不是完全平方数， ∴是无理数， 故答案为：，无理数，，无理数． （2）解：不可能是偶数，也不可能是奇数， 理由：假设是偶数，则是偶数， 即是偶数①， ∵n是正整数， ∴是偶数， ∵3是奇数， ∴是奇数②， ∴①和②矛盾， ∴不是偶数， 当时，，此时，不是奇数， 当时，假设是奇数，不妨设（且k为整数）， ∴， 整理得， ∵为偶数且1为奇数， ∴为奇数， ∵是偶数， ∴不成立， ∴不是奇数， 综上所述，不可能是偶数，也不可能是奇数． 9．（25-26八年级上·湖南株洲·期末）若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“湘一区间”为；同理规定无理数的“湘一区间”为．例如：因为，所以，所以的“湘一区间”为，的“湘一区间”为．请解答下列问题： (1)的“湘一区间”是___________；的“湘一区间”是___________； (2)若无理数（为正整数）的“湘一区间”为，且的“湘一区间”为，求的值； (3)实数满足关系式：，求的“湘一区间”． 【答案】(1)， (2)或3 (3) 【分析】本题考查无理数的估值，二次根式的双重非负性，理解题干中的湘一区间的概念是解题关键． （1）根据湘一区间的概念求解即可； （2）根据湘一区间的概念列出关于a的不等式，求出a的范围，根据a为正整数确定a的值，进而求解即可； （3）观察出和中，根号下的式子为相反数，从而利用根号下的式子大于等于0，确定的值和已知等式右边式子的值为0，再利用二次根式的双重非负性得到关于m和x，y的关系，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的“湘一区间”是； ∵， ∴， ∴根据题意，无理数的“湘一区间”是； （2）解：由题意，得，， ∴ ∴， ∵a为正整数， ∴或， 当时，； 当时，； （3）解：由题意，可知和有意义， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴的“湘一区间”是． 10．如图，在的小正方形组成的图形中有一个阴影部分（阴影部分也是正方形）．若每个小正方形的边长为1，点表示的数为． (1)图中正方形的面积为多少？它的边长为多少？这个值在哪两个连续整数之间？ (2)若阴影正方形的边长的值的整数部分为，小数部分为，求的值， (3)若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，如图所示，我们把点滚到与数轴上，记为第一次翻滚，点与数轴的交点记为；点翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚，与数轴的交点记为；点翻滚到数轴上时，记为第三次翻滚，与数轴的交点记为；点翻滚到数轴上时，记为第四次翻滚，与数轴的交点记为，…，以此类推，请问点表示的数为多少？ 【答案】(1)正方形的面积为，正方形的边长为，这个值在3与4之间 (2) (3) 【分析】（1）先求得正方形的面积，再开方求得正方形的边长为，再根据，可得，从而可得这个值在3与4之间； （2）先根据，得出，从而可得，再代入求值即可； （3）先写出前几个，再找出规律，然后利用规律求解即可． 【详解】（1）解：正方形的面积为， ∴正方形的边长为， ∵， ∴， ∴这个值在3与4之间； （2）∵阴影正方形的边长的值的整数部分为，小数部分为，， ∴， ∴， ∴ （3）∵点表示的数为，正方形的边长为， ∴把点滚到与数轴上，记为第一次翻滚，点与数轴的交点记为， ∴点表示的数为， ∵点翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚，与数轴的交点记为； ∴点表示的数为， ∵点翻滚到数轴上时，记为第三次翻滚，与数轴的交点记为， ∴点表示的数为， ∵点翻滚到数轴上时，记为第四次翻滚，与数轴的交点记为， ∴点表示的数为， … 以此类推， 点表示的数为． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $