专题 3.5 勾股定理与折叠问题（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年苏科版八年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本初中数学讲义聚焦勾股定理与折叠问题，系统梳理折叠的核心性质（全等、等线段、等角）、通用解题步骤及直角三角形、矩形两大折叠模型，为解决折叠求边长、折痕长等问题搭建学习支架。 资料通过分层题型（基础与综合）、例题变式及丰富检测题，培养学生几何直观与模型意识。如矩形折叠例题引导构造直角三角形列方程，课中辅助分层教学，课后助力学生查漏补缺，提升推理能力与解题技能。

专题 3.5 勾股定理与折叠问题（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.学习目标与重难点 1 （一）学习目标 1 （二）重难点 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】图形折叠的核心性质（解题根本） 2 【知识点二】勾股定理折叠问题通用解题步骤 2 【知识点三】折叠问题两大必考模型 2 三.题型精析（夯实基础） 3 【题型 1】直角三角形折叠求边长 3 【题型 2】矩形顶点基础折叠 5 四.题型精析（综合提升） 9 【题型 3】直角三角形折叠求折痕长（高频压轴） 9 【题型 4】矩形折叠求折痕长（高频压轴） 15 五.同步检测 18 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 18 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 26 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 32 一.学习目标与重难点 （一）学习目标 1. 知识目标：掌握图形折叠的核心性质，理解折叠问题“全等、等线段、等角”的特点；熟练掌握折叠问题结合勾股定理的解题模型与通用步骤。 2. 能力目标：能在折叠图形中准确寻找相等线段、构造直角三角形；学会利用设未知数、列方程结合勾股定理求解边长，提升几何方程解题能力。 3. 素养目标：培养数形结合、转化思想与方程思想，提升几何识图、推理运算与模型应用素养。 （二）重难点 1. 重点：折叠性质的应用；在折叠图形中构造直角三角形；利用勾股定理列方程求线段长。 2. 难点：复杂折叠中隐蔽直角三角形的识别；合理设元建立方程；综合折叠、矩形、直角三角形的多结论计算。 3. 易错点 （1）不会利用折叠找相等线段，无法转化边长；（2）未找准直角三角形，盲目套公式；（3）未知数设置不合理，方程建立错误；（4）忽略图形位置关系，出现增根不取舍。 二.知识梳理与解读 【知识点一】图形折叠的核心性质（解题根本） 折叠属于轴对称变换，折叠前后图形全等。 核心结论： 1. 折叠前后对应边相等、对应角相等； 2. 折痕为对应点连线的垂直平分线； 3. 折叠后重合线段相等、重合角度相等。 解题关键：把“折叠产生的相等线段”作为已知条件，转化边长。 【知识点二】勾股定理折叠问题通用解题步骤 步骤1：找相等——根据折叠性质，标出所有相等线段； 步骤2：设未知——求谁设谁，设所求线段为 ，其余线段用含 代数式表示； 步骤3：找直角——锁定图中天然直角三角形或折叠后形成的直角三角形； 步骤4：列方程——利用勾股定理 建立方程； 步骤5：求解作答——舍去负数解，得到线段长度。 【知识点三】折叠问题两大必考模型 模型一：直角三角形内部折叠 将直角三角形沿某条线段折叠，顶点落在直角边上，形成新小直角三角形，利用剩余边长+折叠等量关系列方程。 模型二：矩形折叠（考试最高频） 矩形沿对角线、沿顶点、沿边上一点折叠，产生全等三角形与直角三角形，边长多为“总长减未知”形式，极其适合方程思想求解。 三.题型精析（夯实基础） 【题型 1】直角三角形折叠求边长 【例题1】（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，将折叠，使点B与点A重合，折痕为． （1）求的周长． （2）求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由翻折易得，则的周长； （2）由翻折易得，利用直角三角形，勾股定理即可求得长． 本题考查了折叠性质以及勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）解：∵将折叠，使点B与点A重合，折痕为， ∴， 则的周长； （2）解：由题意得； 设，则， ， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得； 即． 【变式1】（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，沿折叠直角三角形纸片，使两个锐角顶点B和C重合，，，求的长．设，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用折叠的性质和勾股定理求解即可． 解：由折叠得， 设，则， ， ， ，在中，， ． 【变式2】（25-26八年级下·全国·单元测试）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，将折叠，使落在斜边上，折痕为，则的长为__． 【答案】6 【分析】本题主要考查折叠的性质、勾股定理．根据勾股定理可求得，由折叠的性质可得，，，进而得到，，设，则，在中，根据勾股定理列出方程求解即可． 解：在直角三角形中，，， ， 根据折叠的性质可得，，，， ，， 设，则， 在中，， ， 解得：， ． 故答案为：6． 【变式3】（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）如图．在直角三角形纸片中，，，，现将直角边沿过点的直线折叠，使它落在边上、若折痕交于点，点落在点处，你能求出的长吗？请写出求解过程． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，利用勾股定理求出，由折叠的性质可推出，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 解：∵在直角三角形纸片中，，，， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 【题型 2】矩形顶点基础折叠 【例题2】（23-24八年级下·山东济宁·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形（长方形），，，将沿对角线翻折，使点B落在点处，与轴交于点D，求点D的坐标．    【答案】D的坐标为 【分析】根据题意由折叠的性质可知，易得设则，在中，由勾股定理得，进一步求得D的坐标,并且主要考查了翻折变换的性质及勾股定理的应用问题，灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答是解题的关键． 解：由折叠的性质可知， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 即， 解得：， ∴点D的坐标为： 【变式1】（24-25八年级上·新疆伊犁·期末）如图，将矩形沿折叠，使点D与点B重合，已知，求的长（   ） A．3 B． C．5 D．6 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用以及翻折变换的性质，根据已知得出的长是解题关键．首先根据则进而利用勾股定理求出即可． 解：设则 在中，， 则， 解得：． ∴的长为5． 故选：C 【变式2】（24-25八年级下·江苏宿迁·阶段检测）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使D点与BC边的中点D′重合．若BC=8，CD=6，则CF的长为_________________． 【答案】 【分析】设，在中利用勾股定理求出x即可解决问题． 解：∵是的中点，，， ∴， 由折叠的性质知：， 设， 则， 在中，根据勾股定理得：， 即：，解得， ∴． 故答案为： 【点拨】本题考查翻折变换、勾股定理，解题的关键是利用翻折不变性解决问题，学会转化的思想，利用方程的去思考问题，属于中考常考题型． 【变式3】（24-25八年级下·吉林松原·期中）如图，在矩形中，点在边上，把沿直线折叠，使点落在边上的点处，连接，过点作，垂足为． （1）求证：； （2）若，则线段的长为_______． 【答案】（1）证明：如图， ∵四边形是矩形,    ∴，，， ∴ ∵, ∴. 由翻折可知:， 在与中， ， ； （2） 【分析】（1）根据矩形的性质可知，又根据，可得，根据折叠的性质，可得，即可证得； （2）由（1）知，得，即可得出． 解：（1）略 （2）由（1）知 ， ， ， ， 故答案为：． 【点拨】本题考查了勾股定理的应用与折叠，矩形的性质，三角全等等知识，熟练掌握三角全等知识和勾股定理的应用是解题的关键． 四.题型精析（综合提升） 【题型 3】直角三角形折叠求折痕长（高频压轴） 【例题3】（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图，在长方形中，，，为上的点，将沿折叠，使点落在长方形纳的点处．连接，已知． （1）求证：为直角三角形； （2）求线段的长． 【答案】（1）证明：由折叠，可知． ∵且， ∴． 根据勾股定理的逆定理，是直角三角形． （2）2． 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理以及勾股逆定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由折叠得，结合故，即可作答． （2）由折叠，可知．得证三点共线．再，则，结合勾股定理列式，再代入数值计算，即可作答． 解：（1）略 （2）解：由折叠，可知． ∵， ∴， ∴三点共线． 设，则， ∵， ∴． 在中，由勾股定理，得， 即． 解得． 即线段的长为2． 【变式1】（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，将直角三角形纸片沿折叠，使点落在延长线上的点处．若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C．6 D．9 【答案】D 【分析】此题考查了折叠的性质，勾股定理．由勾股定理求出，设，则，根据求出x得到的长，利用三角形面积公式求出答案． 解：∵， ∴， 由折叠得，， 设，则， 在中，，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴图中阴影部分的面积是， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）有一块直角三角形纸片： （1）如图，若两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使恰好在斜边上，且点与点重合，则的长为______； （2）如图，若两直角边，，点在边上，以为折痕折叠得到，边与边交于点．若为直角三角形，则的长为______． 【答案】 ； 或 【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、一元二次方程的解法，解决本题的关键是根据勾股定理得到方程，解方程求线段的长度． （1）首先根据勾股定理求出，根据折叠的性质可知，，，设，则，，根据勾股定理可得方程，解方程求出的长即可； （2）过点作垂足在的延长线上，则四边形是矩形，设，则，，，根据勾股定理可得，解方程求出的值，即为线段的长；当平分时 ，点在的延长线上时，设，则，，根据勾股定理可得，解方程求出的值即为的长度． （1）解：在中，，， ， 由折叠的性质可知：， ，，， ， 设，则，， 在中，， ， 解得：， ， 故答案为：； （2）解：如下图所示，过点作垂足在的延长线上， 则四边形是矩形， ，， 设，则， ，， 由可知， ， 在中，， ， 解得：，（不符合题意，舍去）， 时，为直角三角形； 如下图所示，当平分时 ，点在的延长线上， 则，， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 当时，为直角三角形； 综上所述，若为直角三角形则的长为或 . 故答案为：或． 【变式3】（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·阶段检测）如图、为一块直角三角形纸片，． 【问题初探】：直角三角形纸片的对折问题，可以通过全等变换把所求线段转化成直角三角形的边，进而通过勾股定理来解决，体现数学中的转化思想． （1）如图1，现将纸片沿直线折叠，使直角边落在斜边上，的对应点为，若，求的长． 【学以致用】 （2）如图2，若将直角沿折叠，点与中点重合，点分别在，上，则之间有怎样的数量关系？并证明你的结论． 【答案】（1）；（2）， 理由如下： 过点作交延长线于点，连接，如图： ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了翻折的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，掌握相关性质是解题的关键． （1）先求出，由由翻折的性质可得，，再进一步得到即可求解． （2）过点作交延长线于点，连接，先证明，得到，进一步即可得到． （1）解：在中， ， 由翻折的性质可知：，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）略 【题型 4】矩形折叠求折痕长（高频压轴） 【例题4】（23-24八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，，．在边上取一点D，将纸片沿翻折，使点O落在边上的点E处，求点D的坐标． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题），坐标与图形性质，勾股定理等知识点，关键在于找到直角三角形．先根据勾股定理求出的长，从而可得出的长，求出E点坐标．在中，由及勾股定理可求出的长，从而得出D点坐标． 解：依题意可知，折痕是四边形的对称轴， ∴在中，，， ∴， ∴， 在中，， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（24-25八年级下·江苏镇江·期中）如图所示，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到直角三角形BEF，若BC=1，则BE的长度为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】首先根据矩形的性质，得出，，，然后再根据折叠的性质，得出，进而得出，利用勾股定理，得出的长，再由第二次折叠，得出，进而得出，最后利用线段的关系，即可得出结果． 解：由折叠补全图形如图所示， ∵四边形是矩形， ∴，，， 由第一次折叠得：，， ∴， ∴， 在中， 根据勾股定理得，， 由第二次折叠可知，， ∴， ∴． 故选：A 【点拨】本题考查了图形的折叠和勾股定理，搞清楚折叠中线段的数量关系是解本题的关键． 【变式2】（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，将，的矩形纸片放在直角坐标系中，顶点B、C在x轴上，E为边上一点，连接，将纸片沿折叠，使点B落在边与y轴的交点F处，则E点的坐标为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，坐标与图形的性质．利用折叠的性质求得，利用勾股定理求得，设，则，在中，利用勾股定理求解即可． 解：∵四边形是矩形， ∴，，， 由折叠的性质知：，， 设，则， ∴， ∴， 在中，，即， 解得， ∴E点的坐标为， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·山东烟台·期中）阅读材料，回答问题：中国古代数学著作《周髀算经》（如图1）有着这样的记载：“勾广三，股修四，径隅五．”这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边长分别为3和4，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在中，如果，，，，那么a，b，c，三者之间的数量关系是． （1）对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图2，它是由八个全等的直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明．参考赵爽的思路，试说明：． （2）如图3，把矩形折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果，，求的长． 【答案】（1）解：，，，且， 整理得，， ； （2）3 【分析】（1）根据题意，结合图形，根据完全平方公式进行计算即可； （2）根据翻折变换的特点、结合勾股定理列出方程，解方程即可． 解：（1）略 （2）解：设，则， 由折叠的性质可知，， 在中，， 则， 解得，， 则的长为3． 【点拨】本题考查了勾股定理、翻折变换的性质，正确理解勾股定理、灵活运用数形结合思想是解题的关键． 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（24-25八年级下·辽宁抚顺·阶段检测）直角三角形纸片的两直角边长分别为，，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合折叠性质得，设，，根据勾股定理列出一元一次方程并求解即可． 解：依题意得：，，，， 设，， 中，， ， 解得， ． 2．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点A落在直角边延长线上的点D处，折痕为，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理和折叠问题．勾股定理求出的长，折叠得到，利用即可得解． 解：∵，，， ∴， 由翻折的性质得， ∴． 故选：B． 3．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在纸片中，，，，沿过点的直线将纸片折叠，使得点落在上的点处，再折叠纸片，使得点与点重合，若折痕交于点，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，一元一次方程，掌握相关知识点是解题的关键． 设的长度为x，根据折叠和，可证为直角三角形，用含有x的式子将表示出来，用勾股定理列方程，即可求解． 解：设的长度为x， 根据折叠可知， ， ， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理，可得， 即，解得， 的长度为． 故选：A． 4．（25-26八年级上·贵州六盘水·期末）如图，在长方形中，，将此长方形沿折叠，使点与点重合，则的长度为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，解题的关键是理解，先表示出，再根据勾股定理计算即可． 解：∵长方形沿折叠，使点D与点B重合， ， ， 在长方形中，， ，即， 解得：， 故选：A． 5．（25-26九年级上·湖南湘潭·自主招生）如图，在长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查折叠的性质和勾股定理，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键． 根据折叠的性质可得，，，，设，则，根据勾股定理列出方程，求解即可． 解：如图，记点C的对应点为， 长方形中，，， ，，， 由折叠可得，，，， 设，则， 在中，， ，解得， 则的长为． 故选：C． 6．（25-26八年级上·广东清远·期中）如图，长方形中，点在边上，将一边折叠，使点恰好落在边的点处，折痕为.若，，则的长是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查知识点是翻折变换的性质和勾股定理，解决这类题目的关键会利用勾股定理列出方程．设，在中，由勾股定理建立方程求解即可 解：设， 则， 由折叠的性质可得：， ∵四边形是长方形 ∴ 在中，由勾股定理得，， 即， 解得， 即的长为． 故选：C 7．（25-26八年级上·河南郑州·阶段检测）如图所示，在长方形纸片中，，，现将其沿对折，使得点与点重合，则AE的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，由折叠的性质可得，设，则，利用勾股定理可得，解方程即可得到答案． 解：由折叠的性质可得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 8．（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片折叠，使C点与A点重合，则的长是（     ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据折叠的性质可知，设，则，在中利用勾股定理建立方程求解即可． 解：连接， ∵折叠使点与点重合， ∴， 设，则， ∵四边形是长方形， ∴，，， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， ∴． 9．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，中，，，，，分别是边，上的两个动点．将沿直线折叠，使得点的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为（   ） A．3 B． C．3或 D．3或 【答案】C 【分析】根据题意，分点D在上且靠近点B的三等分点时和点D在上且靠近点C的三等分点时两种情形，设，在中，勾股定理建立方程，解方程即可求解． 解：①当点D在上且靠近点B的三等分点时， ∴， 设，则， ∴在中，， ∴， 解得， ②当点D在上且靠近点C的三等分点时， ∴， 设，则， ∴在中，， ∴， 解得， 综上所述，或． 10．（25-26八年级下·上海奉贤·期中）如图，将长方形纸片对折后展开，折痕为，点为上一点，将沿折叠，使点落到上的点处，若，则的长是（   ） A．8 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】连接，由长方形纸片沿对折，得垂直平分，则有；由沿折叠知，，则是等边三角形，，利用含30度直角三角形的性质及勾股定理即可求解． 解：如图，连接， ∵长方形纸片沿对折， ∴垂直平分， ∴； ∵沿折叠， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵四边形是长方形， ∴； 由折叠知，， ∴； ∵， ∴， ∴． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中， ，，，将沿所在直线折叠（点、分别在上），使点与的中点重合，则线段的长为_____． 【答案】4 【分析】设，则由折叠可得，，再对运用勾股定理建立方程求解． 解：设，则， 由折叠可得， ∵，点D为的中点， ∴， ∵， ∴ ∴ 解得， ∴线段的长为． 12．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在长方形纸片中，，．点E在边上，将这张纸片沿翻折，使点D落在长方形内的点F处．若直线恰好经过点B，则的长为_________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了折叠的性质与勾股定理的综合应用，利用折叠的性质转化线段是解题的关键． 通过折叠得到对应边相等，运用勾股定理建立方程，进而求出线段长度． 解：∵四边形是长方形，且，， ∴，，， 设， ∴， 由折叠性质得：，，， ∵直线恰好经过点B， ∴， ∴和都是直角三角形， 在中，由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：2． 13．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是上一点，将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为_______  ． 【答案】 【分析】本题考查折叠性质、勾股定理，运用方程思想，关键是利用折叠得相等线段，设未知数结合勾股定理列方程，易错点为折叠后线段长度关系分析错误；先由折叠得，算出，再设，结合勾股定理列方程求解点坐标． 解：由折叠可知，，； ∵点，点， ∴， 则； ∵点，则， ∴； 设，则， 在中，， 即 解方程得：，即 ∵点是上，在轴上， ∴点的坐标为； 故答案为． 14．（24-25八年级下·河南周口·阶段检测）折叠矩形纸片，使点B 与点D 重合，折痕分别交于点 E，F，若 ，，则 _____________ 【答案】5.8 【分析】本题主要考查勾股定理与折叠问题；根据题意得到，设，利用勾股定理得到，计算求解即可． 解：根据题意得，， ∴设， ∵， ∴， ∵， ∴在中， 即， 解得：， ∴， 故答案为：． 15．（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）如图，将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点B落在边的中点E处，压平后得到折痕．则线段的长为______． 【答案】 【分析】本题考查的是折叠问题及勾股定理，由折叠性质可知，设，则，利用勾股定理可以求出最后结果． 解：为中点， ， 由折叠的性质可知：， 设，则， 在中，， ， 解得：， 故答案为：． 16．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，一直角三角形纸片，在中，，，，点D在上，现将沿直线折叠，使它落在上，点C的对应点为点E，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换的性质，勾股定理的应用，先根据勾股定理求得的长，再根据折叠的性质求得，的长，从而利用勾股定理可求得的长，然后根据勾股定理即可求得．掌握折叠的性质及勾股定理是解题的关键． 解：∵，，， ∴， ∴ 将该纸片沿直线折叠，使点落在斜边上的点处， ∴，，， ∴， 设， ∴，， 在中，， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 17．（25-26八年级下·辽宁铁岭·期中）如图，长方形中，点在边上，将长方形沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，若，，则的长是______． 【答案】1 【分析】由折叠得，然后根据矩形的性质得到，，然后利用勾股定理求解即可． 解：由折叠得， ∵四边形是长方形 ∴， ∴ ∴． 18．（25-26八年级下·广西南宁·期中）如图，在长方形中，，，点在边上，将沿着折叠，使点恰好落在对角线上点处，则的面积是 __________ ． 【答案】 【分析】根据矩形的性质可得，，勾股定理求出，由折叠可得，，，推出，设，则，在中，由勾股定理列方程求出，最后根据，即可求解． 解：在长方形中，，，， ，，， 由折叠可得，，，， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ， ， 故答案为：． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）如图，已知，两直角边，，点为上一点，现将沿折叠，使点落在斜边上的点处， （1）求的长； （2）求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，熟记性质并表示出的三边，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键． （1）先根据勾股定理求得的长，再根据折叠的性质求得，进而即可求出的长． （2）在中，用勾股定理列方程即可求得的长． （1）解：，，， 根据翻折的性质可得， 则． （2）解：设，由折叠可知：，， 在中， ∴ 解得： ∴的长为． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在长方形中，点E在边上，将沿直线翻折，点A恰好落在边上的点F处，，． （1）求的长； （2）求的面积． 【答案】（1）18；（2） 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． （1）由折叠的性质可知，，然后再直角中利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）设，则，根据勾股定理得出，求出，即可得到答案． （1）解：由折叠可知：， 在长方形中，， 在中，由勾股定理得： ， ∴； （2）解：由折叠可知：， 在长方形中，，，， 设，则， 在中，由勾股定理得： ∴， 解之得：， ∴， ∴． 21．（本小题满分10分）（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在长方形中，，E是边上一点．将四边形沿BE折叠，折叠后点C，D的对应点分别为．若恰好经过点A，求： （1）的长． （2）的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】题目主要考查折叠的性质，勾股定理解三角形，求三角形的面积，结合图形求解是解题关键． （1）根据长方形的性质得出，再由折叠的性质确定，利用勾股定理求解即可； （2）结合图形直接求面积即可． （1）解：因为四边形为长方形， 所以． 由折叠的性质，得． 由勾股定理，得， 所以， 所以． 设，则． 所以， 解得， 所以． （2）． 22．（本小题满分10分）（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，在中，，，，为上一点．将沿折叠，点的对应点落在边上． （1）求的长； （2）求的周长． 【答案】（1）4；（2） 【分析】本题考查了轴对称性质，直角三角形的性质，勾股定理定理，利用勾股定理求出线段是解题的关键． （1）先根据勾股定理求出线段，根据轴对称的性质，最后求得的长； （2）由翻折知，在中，利用勾股定理求出，在中，求出，即可求得的周长． （1）解：在中，，，， ， 由折叠得： ， 的长为4； （2）由翻折得， ， 在中，， 设，则， ， 解得， ， 在中，， 的周长． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级上·福建漳州·阶段检测）如图，在长方形中，． （1）如图①，将长方形沿翻折，使点A与点C重合，点D落在点处，求BF的长； （2）如图②，将沿翻折，若交于点E，求的面积； （3）如图③，，P为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点E，F，且，求的长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】此题考查勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，正确理解题意确定三角形的三边由勾股定理建立方程是解题的关键． （1）设，在中，根据，构建方程即可解决问题； （2）首先证明，设，在中，利用勾股定理构建方程，求出，再代入数值到进行计算，即可解决问题； （3）设，首先证明，推出，，由，推出，，，在中，可得，解方程即可解决问题； （1）解：根据折叠的性质，得． ∵四边形是长方形， ∴． 设， 则， 在Rt中， ， ∴， 解得， ∴． （2）解：∵四边形是长方形， ∴． 根据折叠的性质，得． 又∵， ∴． ∵交于点， ∴， ∴， ∴． 设， 则． 在Rt中， ， ∴， 解得， ∴． ∴， ∴． （3）解：∵四边形是长方形， ∴． 由折叠的性质， 得， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， 设， 则， ∴． 在Rt中，， 解得， ∴． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，把一张长方形纸片折叠起来，为折痕，使其对角顶点A与点重合，点与点重合．若长方形的长为8，宽为4． （1）求的长； （2）求的值； （3）求阴影部分的面积． 【答案】（1）3；（2）20；（3） 【分析】（1）由折叠可知，设，则，在中，根据，求出的长即可； （2）过点作于点，在 中，由勾股定理求出的长，即可得的长，在中，由勾股定理即可得出答案； （3）过点作于点，根据三角形面积不变性，，求出的长，根据三角形面积求出结果即可． 本题主要考查了折叠的性质、勾股定理以及三角形面积不变性，灵活运用折叠的性质、勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理是解题的关键． （1）解：由折叠可知 ，． 设，则，． 在中，， ∴， 解得， ∴． （2）解：如图，过点作于点，则． 在中， ∵， ∴由勾股定理，得， 即， ∴． ∵， ∴， ∴． （3）解：如图，过点作于点． 在中，，，． 由， 得， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.5 勾股定理与折叠问题（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.学习目标与重难点 1 （一）学习目标 1 （二）重难点 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】图形折叠的核心性质（解题根本） 2 【知识点二】勾股定理折叠问题通用解题步骤 2 【知识点三】折叠问题两大必考模型 2 三.题型精析（夯实基础） 3 【题型 1】直角三角形折叠求边长 3 【题型 2】矩形顶点基础折叠 4 四.题型精析（综合提升） 5 【题型 3】直角三角形折叠求折痕长（高频压轴） 5 【题型 4】矩形折叠求折痕长（高频压轴） 6 五.同步检测 7 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 7 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 10 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 12 一.学习目标与重难点 （一）学习目标 1. 知识目标：掌握图形折叠的核心性质，理解折叠问题“全等、等线段、等角”的特点；熟练掌握折叠问题结合勾股定理的解题模型与通用步骤。 2. 能力目标：能在折叠图形中准确寻找相等线段、构造直角三角形；学会利用设未知数、列方程结合勾股定理求解边长，提升几何方程解题能力。 3. 素养目标：培养数形结合、转化思想与方程思想，提升几何识图、推理运算与模型应用素养。 （二）重难点 1. 重点：折叠性质的应用；在折叠图形中构造直角三角形；利用勾股定理列方程求线段长。 2. 难点：复杂折叠中隐蔽直角三角形的识别；合理设元建立方程；综合折叠、矩形、直角三角形的多结论计算。 3. 易错点 （1）不会利用折叠找相等线段，无法转化边长；（2）未找准直角三角形，盲目套公式；（3）未知数设置不合理，方程建立错误；（4）忽略图形位置关系，出现增根不取舍。 二.知识梳理与解读 【知识点一】图形折叠的核心性质（解题根本） 折叠属于轴对称变换，折叠前后图形全等。 核心结论： 1. 折叠前后对应边相等、对应角相等； 2. 折痕为对应点连线的垂直平分线； 3. 折叠后重合线段相等、重合角度相等。 解题关键：把“折叠产生的相等线段”作为已知条件，转化边长。 【知识点二】勾股定理折叠问题通用解题步骤 步骤1：找相等——根据折叠性质，标出所有相等线段； 步骤2：设未知——求谁设谁，设所求线段为 ，其余线段用含 代数式表示； 步骤3：找直角——锁定图中天然直角三角形或折叠后形成的直角三角形； 步骤4：列方程——利用勾股定理 建立方程； 步骤5：求解作答——舍去负数解，得到线段长度。 【知识点三】折叠问题两大必考模型 模型一：直角三角形内部折叠 将直角三角形沿某条线段折叠，顶点落在直角边上，形成新小直角三角形，利用剩余边长+折叠等量关系列方程。 模型二：矩形折叠（考试最高频） 矩形沿对角线、沿顶点、沿边上一点折叠，产生全等三角形与直角三角形，边长多为“总长减未知”形式，极其适合方程思想求解。 三.题型精析（夯实基础） 【题型 1】直角三角形折叠求边长 【例题1】（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，将折叠，使点B与点A重合，折痕为． （1）求的周长． （2）求的长． 【变式1】（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，沿折叠直角三角形纸片，使两个锐角顶点B和C重合，，，求的长．设，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·全国·单元测试）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，将折叠，使落在斜边上，折痕为，则的长为__． 【变式3】（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）如图．在直角三角形纸片中，，，，现将直角边沿过点的直线折叠，使它落在边上、若折痕交于点，点落在点处，你能求出的长吗？请写出求解过程． 【题型 2】矩形顶点基础折叠 【例题2】（23-24八年级下·山东济宁·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形（长方形），，，将沿对角线翻折，使点B落在点处，与轴交于点D，求点D的坐标．    【变式1】（24-25八年级上·新疆伊犁·期末）如图，将矩形沿折叠，使点D与点B重合，已知，求的长（   ） A．3 B． C．5 D．6 【变式2】（24-25八年级下·江苏宿迁·阶段检测）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使D点与BC边的中点D′重合．若BC=8，CD=6，则CF的长为_________________． 【变式3】（24-25八年级下·吉林松原·期中）如图，在矩形中，点在边上，把沿直线折叠，使点落在边上的点处，连接，过点作，垂足为． （1）求证：； （2）若，则线段的长为_______． 四.题型精析（综合提升） 【题型 3】直角三角形折叠求折痕长（高频压轴） 【例题3】（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图，在长方形中，，，为上的点，将沿折叠，使点落在长方形纳的点处．连接，已知． （1）求证：为直角三角形； （2）求线段的长． 【变式1】（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，将直角三角形纸片沿折叠，使点落在延长线上的点处．若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C．6 D．9 【变式2】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）有一块直角三角形纸片： （1）如图，若两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使恰好在斜边上，且点与点重合，则的长为______； （2）如图，若两直角边，，点在边上，以为折痕折叠得到，边与边交于点．若为直角三角形，则的长为______． 【变式3】（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·阶段检测）如图、为一块直角三角形纸片，． 【问题初探】：直角三角形纸片的对折问题，可以通过全等变换把所求线段转化成直角三角形的边，进而通过勾股定理来解决，体现数学中的转化思想． （1）如图1，现将纸片沿直线折叠，使直角边落在斜边上，的对应点为，若，求的长． 【学以致用】 （2）如图2，若将直角沿折叠，点与中点重合，点分别在，上，则之间有怎样的数量关系？并证明你的结论． 【题型 4】矩形折叠求折痕长（高频压轴） 【例题4】（23-24八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，，．在边上取一点D，将纸片沿翻折，使点O落在边上的点E处，求点D的坐标． 【变式1】（24-25八年级下·江苏镇江·期中）如图所示，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到直角三角形BEF，若BC=1，则BE的长度为（   ） A． B． C． D．2 【变式2】（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，将，的矩形纸片放在直角坐标系中，顶点B、C在x轴上，E为边上一点，连接，将纸片沿折叠，使点B落在边与y轴的交点F处，则E点的坐标为______． 【变式3】（25-26七年级上·山东烟台·期中）阅读材料，回答问题：中国古代数学著作《周髀算经》（如图1）有着这样的记载：“勾广三，股修四，径隅五．”这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边长分别为3和4，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在中，如果，，，，那么a，b，c，三者之间的数量关系是． （1）对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图2，它是由八个全等的直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明．参考赵爽的思路，试说明：． （2）如图3，把矩形折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果，，求的长． 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（24-25八年级下·辽宁抚顺·阶段检测）直角三角形纸片的两直角边长分别为，，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点A落在直角边延长线上的点D处，折痕为，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在纸片中，，，，沿过点的直线将纸片折叠，使得点落在上的点处，再折叠纸片，使得点与点重合，若折痕交于点，则的值为（    ） A． B． C． D．2 4．（25-26八年级上·贵州六盘水·期末）如图，在长方形中，，将此长方形沿折叠，使点与点重合，则的长度为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（25-26九年级上·湖南湘潭·自主招生）如图，在长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·广东清远·期中）如图，长方形中，点在边上，将一边折叠，使点恰好落在边的点处，折痕为.若，，则的长是（    ） A． B．3 C． D． 7．（25-26八年级上·河南郑州·阶段检测）如图所示，在长方形纸片中，，，现将其沿对折，使得点与点重合，则AE的长为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片折叠，使C点与A点重合，则的长是（     ） A．5 B． C． D． 9．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，中，，，，，分别是边，上的两个动点．将沿直线折叠，使得点的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为（   ） A．3 B． C．3或 D．3或 10．（25-26八年级下·上海奉贤·期中）如图，将长方形纸片对折后展开，折痕为，点为上一点，将沿折叠，使点落到上的点处，若，则的长是（   ） A．8 B． C．6 D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中， ，，，将沿所在直线折叠（点、分别在上），使点与的中点重合，则线段的长为_____． 12．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在长方形纸片中，，．点E在边上，将这张纸片沿翻折，使点D落在长方形内的点F处．若直线恰好经过点B，则的长为_________． 13．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是上一点，将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为_______  ． 14．（24-25八年级下·河南周口·阶段检测）折叠矩形纸片，使点B 与点D 重合，折痕分别交于点 E，F，若 ，，则 _____________ 15．（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）如图，将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点B落在边的中点E处，压平后得到折痕．则线段的长为______． 16．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，一直角三角形纸片，在中，，，，点D在上，现将沿直线折叠，使它落在上，点C的对应点为点E，则的长为________． 17．（25-26八年级下·辽宁铁岭·期中）如图，长方形中，点在边上，将长方形沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，若，，则的长是______． 18．（25-26八年级下·广西南宁·期中）如图，在长方形中，，，点在边上，将沿着折叠，使点恰好落在对角线上点处，则的面积是 __________ ． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）如图，已知，两直角边，，点为上一点，现将沿折叠，使点落在斜边上的点处， （1）求的长； （2）求的长． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在长方形中，点E在边上，将沿直线翻折，点A恰好落在边上的点F处，，． （1）求的长； （2）求的面积． 21．（本小题满分10分）（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在长方形中，，E是边上一点．将四边形沿BE折叠，折叠后点C，D的对应点分别为．若恰好经过点A，求： （1）的长． （2）的面积． 22．（本小题满分10分）（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，在中，，，，为上一点．将沿折叠，点的对应点落在边上． （1）求的长； （2）求的周长． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级上·福建漳州·阶段检测）如图，在长方形中，． （1）如图①，将长方形沿翻折，使点A与点C重合，点D落在点处，求BF的长； （2）如图②，将沿翻折，若交于点E，求的面积； （3）如图③，，P为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点E，F，且，求的长． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，把一张长方形纸片折叠起来，为折痕，使其对角顶点A与点重合，点与点重合．若长方形的长为8，宽为4． （1）求的长； （2）求的值； （3）求阴影部分的面积． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $