专题04 有理数的运算64道计算题专项训练（8大题型）-2026-2027学年浙教版七年级数学上册

**基本信息** 聚焦有理数运算8大题型，64道题系统覆盖基础运算到规律探究，提炼拆项法、逆用分配律等实用技巧，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |有理数加法|8道（含拆项法示例）|拆项法、符号法则|从单一运算到技巧应用| |有理数减法|9道（含新定义运算）|转化加法、新运算规则|运算转化思想渗透| |有理数乘法|8道（含简便运算）|分配律逆用、符号判断|运算律应用深化| |有理数除法|8道（含错解分析）|除法转化乘法、运算顺序|运算规则辨析强化| |有理数乘方|8道（含规律探究）|乘方意义、符号规律|概念到规律推理过渡| |四则混合运算|8道（含新定义运算）|运算顺序、符号处理|综合运算能力提升| |简便计算|8道（含分配律逆用）|凑整法、拆项相消|运算技巧系统训练| |规律计算|7道（含归纳推理）|数列规律、模型构建|从特殊到一般思维培养|

第04讲 有理数的运算64道计算题专项训练（8大题型） 题型一 有理数的加法计算 题型二 有理数的减法计算 题型三 有理数的乘法计算 题型四 有理数的除法计算 题型五 有理数的乘方计算 题型六 有理数的四则混合运算 题型七 有理数的简便计算 题型八 有理数的规律计算题 【经典计算题一 有理数的加法计算】 1．（2026七年级上·四川泸州·模拟预测）计算： 2．（24-25七年级上·全国·单元复习）计算：． 3．（26-27七年级·全国·期中）计算下列各题： (1)； (2)； (3)． 4．（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 5．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 6．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）计算： (1)． (2)． 7．（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 8．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）数学白老师在多媒体上列出了如下的材料： 计算： 解：原式 ， 上述这种方法叫做拆项法． 请仿照上面的方法计算： ． 【经典计算题二 有理数的减法计算】 9．（25-26七年级上·重庆九龙坡·周测）计算： 10．（2026七年级上·四川泸州·模拟预测）计算： 11．（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 13．（2025七年级上·全国·专题练习）计算． (1)（﹣7）﹣（﹣14）﹣（﹣8）； (2)； (3)1.7﹣（﹣0.3）﹣（﹣2.5）． 14．（26-27七年级上·全国·课后作业）口算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)． 15．（24-25六年级上·山东淄博·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 16．（25-26七年级上·北京西城·期末）小东对有理数定义了一种新的运算，叫做“乘减法”，记作“”．他写出了一些按照“乘减法”运算的算式：，，，，，，，，，． 小玲看了这些算式后说：“我明白你定义的乘减法法则了．”她将法则整理出来给小东看，小东说：“你的理解完全正确．” (1)请将下面小玲整理的“乘减法”法则补充完整： 绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得______，异号得______，并______；绝对值相等的两数相“乘减”，都得0；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值． (2)若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同， 用“乘减法”计算：______． 小东发现交换律在有理数的“乘减法”中仍然成立，即．但是结合律在有理数的“乘减法”中不一定成立，请你举一个例子说明不成立． 【经典计算题三 有理数的乘法计算】 17．（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2) 18．（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 19．（25-26七年级上·辽宁营口·阶段检测）简便运算． (1)； (2)． 20．（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： (1)； (2)． 21．（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 22．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 23．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）一道习题及其错误的解答过程如下：请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． 计算： 解： 第一步 第二步 第三步 24．（25-26七年级上·河北衡水·期中）黑板上有一道题：计算，嘉嘉和淇淇给出了两种不同的解法． 嘉嘉： 原式 淇淇： 原式 _________________ _________________ _________________ (1)请将淇淇的解法补充完整； (2)计算：． 【经典计算题四 有理数的除法计算】 25．（25-26六年级下·上海静安·期中）计算：． 26．（25-26七年级上·贵州黔东南·期末）计算： (1)； (2)． 27．（25-26七年级上·湖南永州·期中）计算： (1)； (2)； 28．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 29．（25-26七年级上·江苏扬州·周测）已知、为有理数，现规定一种新运算，满足． (1)求的值； (2)求的值． 30．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）阅读理解：规定符号表示a，b两个数中小的一个，符号表示a，b两个数中大的一个．例如：，． (1)______；______； (2)求式子的值； (3)求式子的值． 31．（25-26七年级上·宁夏吴忠·期中）计算时，方方同学的计算过程如下： 原式请你判断方方的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程． 32．（25-26七年级上·广东茂名·期末）在计算时，小李的解题过程如下： 解：原式 ． 小李解法是否正确，若不正确，请指出错误的原因，并给出正确的解答． 【经典计算题五 有理数的乘方计算】 33．（2026七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 34．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）直接写出得数 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 35．（25-26七年级上·陕西咸阳·阶段检测）计算： (1) (2) (3) 36．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知m，n是正整数，若．化简： （1）；       （2）． 37．（24-25七年级上·上海奉贤·阶段检测）已知，，，其中、、均为正整数， (1)根据题意，可求得 ， ， ； (2)计算的值； 38．（25-26七年级上·全国·课后作业）阅读下列各式：解答下列问题： (1)猜想：________． (2)用学过的知识说明（1）中式子成立的理由． (3)计算：． 39．（25-26七年级上·河北保定·期末）（1）一道习题及其错误的解答过程如下： 计算： 解： …………第一步 …………………………第二步 ……………………第三步 请指出在第_______步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． （2）计算： 40．（25-26七年级上·江西赣州·期中）阅读以下解题过程． 求的值． 解：令， 则 所以， 即， 所以． 请根据上述材料中的方法计算下面的式子： 【经典计算题六 有理数的四则混合运算】 41．（25-26七年级上·广西南宁·期中）计算： 42．（25-26七年级上·甘肃临夏·阶段检测）计算：． 43．（25-26六年级上·山东淄博·期末）计算： (1)； (2)． 44．（25-26六年级上·全国·期末）脱式计算，能简便的用简便方法计算． (1)； (2)； (3) (4)； (5)； (6)． 45．（25-26七年级上·四川宜宾·阶段检测）请先阅读下列一组内容，然后解答问题： ，，… 计算： (1) (2) 46．（25-26七年级上·安徽宿州·阶段检测）已知，均为有理数，现在我们定义一种新运算，规定．例如：． (1)求的值； (2)求的值． 47．（25-26七年级上·陕西安康·期末）对于有理数，定义一种新运算：．例如：．求的值． 48．（25-26七年级上·辽宁盘锦·期中）对于实数，，定义关于“”的一种运算：．例如：． (1)求的值． (2)求的值． 【经典计算题七 有理数的简便计算】 49．（25-26七年级上·陕西西安·期中）用简便方法计算：． 50．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）计算下面各题，怎样简便就怎样算． (1)； (2)． 51．（25-26六年级上·山东泰安·期末）计算（能用简便方法计算的，尽量用简便方法计算） (1)； (2)； (3)； (4)． 52．（25-26六年级上·山东青岛·期中）我们知道，乘法分配律是，反过来，这就是逆用乘法分配律．逆用乘法分配律可使有些运算简便，例如： ． 逆用乘法分配律计算： (1)； (2)． 53．（25-26七年级上·河南南阳·期中）学习了有理数的运算后，王老师给同学们出了这样一道题：计算，看谁算得又对又快． 下面是两位同学给出的不同解法． 小亮：原式 小舒：原式． (1)以上两种解法，你认为谁的解法比较简便？理由是什么？ (2)请你用简便方法计算． 54．（25-26七年级上·河南周口·阶段检测）先阅读第①小题的计算方法，再计算第②小题． ①． 解：原式 上述这种方法叫做拆项法，灵活运用加法的交换律、结合律可使运算简便． ②仿照上面的方法计算：． 55．（25-26七年级上·山西朔州·期中）阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用分配律解题我们知道，分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的时，我们可以逆用分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用分配律可得，这样计算就简便得多． 计算： (1)； (2)． 56．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）请你参考黑板上老师的讲解，用运算律简便计算： 利用运算律有时能进行简便计算 例1： 例2： (1)； (2)． 【经典计算题八 有理数的规律计算题】 57．（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）某数学兴趣小组发现：，，…，按此规律： (1)直接写出：____________； (2)计算：． 58．（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）探索研究 (1)填空：①已知，则________，________． ②已知，则________，________． (2)观察（1）的计算结果，我们可以得到什么移动规律？ 59．（25-26七年级上·甘肃庆阳·期中）规定一种新的运算：，例如．请利用上述规律计算下列各式： (1)； (2)． 60．（25-26七年级上·甘肃定西·阶段检测）（1）计算，，的值； （2）观察上面三个式子的结果，用你观察出的规律计算：． 61．（25-26七年级上·辽宁沈阳·阶段检测）我们知道：，试根据上面规律，解答下面各题． 计算：； 62．（2026·河北·二模）借助计算器探索． (1)填表： x 0.5 1 10 1000 10000 100000 (2)观察上表，你能发现什么规律？ (3)当x非常大时，的值接近于什么数？ 63．（25-26七年级上·河北·单元复习）规律探究： 计算：； 如果一个个顺次相加显然太烦琐，我们仔细观察这个式子的特点，发现运用加法的运算律可简化计算，提高计算速度． . 计算： (1)； (2). 64．（25-26七年级上·重庆·期中）阅读材料，根据材料回答： 例如1： ． 例如2： ． (1)仿照上面材料的计算方法计算：； (2)由上面的计算可总结出一个规律：（用字母表示）______； (3)用（2）的规律计算：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 有理数的运算64道计算题专项训练（8大题型） 题型一 有理数的加法计算 题型二 有理数的减法计算 题型三 有理数的乘法计算 题型四 有理数的除法计算 题型五 有理数的乘方计算 题型六 有理数的四则混合运算 题型七 有理数的简便计算 题型八 有理数的规律计算题 【经典计算题一 有理数的加法计算】 1．（2026七年级上·四川泸州·模拟预测）计算： 【答案】 【分析】先省略加号，化简原式符号，再通分计算即可． 【详解】解： ． 2．（24-25七年级上·全国·单元复习）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数加法运算，解题的关键是熟练掌握裂项法．将变形为，然后再进行计算即可． 【详解】解： ． 3．（26-27七年级·全国·期中）计算下列各题： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． 4．（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）计算两个负数相加：和取负号，和的绝对值等于两个加数绝对值的和． （2）计算两个异号的数相加：和取绝对值较大的加数的符号，和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差． （3）计算负数与零相加：一个数与相加，仍得这个数． （4）计算两个相反数相加：互为相反数的两个数相加得． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 5．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【分析】本题考查了有理数的加法运算，同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数相加得0；任何数与0相加仍得原数． （）根据有理数加法法则进行计算即可； （）根据有理数加法法则进行计算即可； （）根据有理数加法法则进行计算即可； （）根据有理数加法法则进行计算即可； （）根据有理数加法法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 6．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)40 【分析】本题主要考查了有理数加法的运算，熟练掌握有理数加法的计算方法是解题的关键． （1）先将化为，再运用加法的交换律和结合律进行计算即可得到答案． （2）利用有理数的加法结合律求解即可． 【详解】（1）解： ． （2） ． 7．（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【分析】根据有理数加法的交换律，结合律，有理数的加法法则解答即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． （5）解：原式． （6）解：原式． （7）解：原式． （8）解：原式． 8．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）数学白老师在多媒体上列出了如下的材料： 计算： 解：原式 ， 上述这种方法叫做拆项法． 请仿照上面的方法计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法运算，仿照题例使用拆项法解答即可求解，掌握拆项法是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 【经典计算题二 有理数的减法计算】 9．（25-26七年级上·重庆九龙坡·周测）计算： 【答案】 【分析】根据有理数的加减混合运算法则计算即可． 【详解】解：原式． 10．（2026七年级上·四川泸州·模拟预测）计算： 【答案】 【详解】解： ． 11．（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式； （4）解：原式． 12．（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 13．（2025七年级上·全国·专题练习）计算． (1)（﹣7）﹣（﹣14）﹣（﹣8）； (2)； (3)1.7﹣（﹣0.3）﹣（﹣2.5）． 【答案】(1)15 (2)﹣2 (3)4.5 【分析】（1）根据有理数的减法运算法则进行计算即可得解； （2）先统一成加法运算，然后进行计算即可得解； （3）根据有理数的减法运算法则转化为加法，然后进行计算即可得解． 【详解】（1）解：（﹣7）﹣（﹣14）﹣（﹣8） ＝﹣7+14+8 ＝﹣7+22 ＝15； （2）解：﹣1﹣（﹣）﹣（+） ＝﹣1+﹣ ＝﹣1﹣1 ＝﹣2； （3）1.7﹣（﹣0.3）﹣（﹣2.5） ＝1.7+0.3+2.5 ＝2+2.5 ＝4.5． 【点睛】本题考查了有理数的减法，熟记运算法则是解题的关键． 14．（26-27七年级上·全国·课后作业）口算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：； （7）解：； （8）解：； （9）解：． 15．（24-25六年级上·山东淄博·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（）根据有理数的减法运算法则计算即可； （）根据有理数的减法运算法则计算即可； （）根据有理数的减法运算法则计算即可； （）根据有理数的减法运算法则计算即可； 本题考查了有理数的减法运算，掌握有理数的减法运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ， ； （3）解：原式 ， ； （4）解：原式 ， ． 16．（25-26七年级上·北京西城·期末）小东对有理数定义了一种新的运算，叫做“乘减法”，记作“”．他写出了一些按照“乘减法”运算的算式：，，，，，，，，，． 小玲看了这些算式后说：“我明白你定义的乘减法法则了．”她将法则整理出来给小东看，小东说：“你的理解完全正确．” (1)请将下面小玲整理的“乘减法”法则补充完整： 绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得______，异号得______，并______；绝对值相等的两数相“乘减”，都得0；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值． (2)若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同， 用“乘减法”计算：______． 小东发现交换律在有理数的“乘减法”中仍然成立，即．但是结合律在有理数的“乘减法”中不一定成立，请你举一个例子说明不成立． 【答案】(1)正，负，把绝对值相减 (2)；答案不唯一 【分析】（1）根据题中给出的例子即可得出结论； （2）根据（1）中的“乘减法”进行计算即可；设，，代入式子进行计算，看结果是否相同即可． 【详解】（1）解：，，，，，，，，，， 绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得正，异号得负，并把绝对值相减；绝对值相等的两数相“乘减”，都得0；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值； 故答案为：正，负，把绝对值相减； （2）解： ， 故答案为：； 答案不唯一， 设，，， 左边， 右边， ， 所以结合律在有理数的“乘减法”中不一定成立． 【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，根据题中给出的例子读懂题意是解题的关键． 【经典计算题三 有理数的乘法计算】 17．（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 18．（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 19．（25-26七年级上·辽宁营口·阶段检测）简便运算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的乘法运算律． 根据乘法分配律进行简便计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1680 (2) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 21．（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先根据负因数个数确定乘积的符号，再约分计算即可； （2）多个有理数相乘，若有一个因数为，乘积为； （3）先确定乘积的符号，将小数化为分数后约分计算即可； （4）先根据负因数个数确定乘积符号，再约分计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 22．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算和乘法运算律，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据乘法交换律简化计算即可； （2）根据乘法交换律和结合律简化计算即可； （3）根据乘法分配律进行计算即可； （4）逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 23．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）一道习题及其错误的解答过程如下：请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． 计算： 解： 第一步 第二步 第三步 【答案】 解：原解题步骤从第一步开始出现错误， 正确解答过程如下： 原式 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握乘法分配律的符号运算规则是解题的关键．利用乘法分配律将分别与括号内的数相乘，再进行加减运算． 【详解】略 24．（25-26七年级上·河北衡水·期中）黑板上有一道题：计算，嘉嘉和淇淇给出了两种不同的解法． 嘉嘉： 原式 淇淇： 原式 _________________ _________________ _________________ (1)请将淇淇的解法补充完整； (2)计算：． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ． 【经典计算题四 有理数的除法计算】 25．（25-26六年级下·上海静安·期中）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 26．（25-26七年级上·贵州黔东南·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握相关的运算法则． （1）直接根据有理数的加减运算法则计算即可； （2）先计算乘除，再计算加法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 27．（25-26七年级上·湖南永州·期中）计算： (1)； (2)； 【答案】(1)8 (2)1 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，准确的计算是解决本题的关键． （1）先去括号和绝对值，再按照有理数的加减混合运算法则求解即可； （2）按照有理数的四则混合运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 28．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据有理数加减混合运算法则计算即可； （2）先计算括号的减法，再从左到右计算乘除法即可； （3）根据乘法分配律计算即可； （4）根据有理数加减混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 29．（25-26七年级上·江苏扬州·周测）已知、为有理数，现规定一种新运算，满足． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 30．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）阅读理解：规定符号表示a，b两个数中小的一个，符号表示a，b两个数中大的一个．例如：，． (1)______；______； (2)求式子的值； (3)求式子的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据有理数的大小比较，结合新定义，即可求解； （2）根据新定义列出算式进行计算，即可求解； （3）根据新定义列出算式进行计算，即可求解． 【详解】（1）解：，； （2）解： ； （3）解： ． 31．（25-26七年级上·宁夏吴忠·期中）计算时，方方同学的计算过程如下： 原式请你判断方方的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程． 【答案】 解：不正确，正确的计算过程如下： ． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算， 先计算括号内的，再根据有理数的除法法则计算． 【详解】略 32．（25-26七年级上·广东茂名·期末）在计算时，小李的解题过程如下： 解：原式 ． 小李解法是否正确，若不正确，请指出错误的原因，并给出正确的解答． 【答案】 解：小李的解法不正确．错误原因：有理数的乘除混合运算属于同级运算，应按照从左到右的顺序依次计算，小李错误运用除法结合律改变了运算顺序，导致结果错误； 正确解答： 原式 ． 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，核心知识点是同级运算的运算顺序及有理数乘除法法则． 【详解】略 【经典计算题五 有理数的乘方计算】 33．（2026七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据乘方的定义进行计算即可．特别注意底数是负数或分数时要加括号，分清楚各个小题中的底数是解题的关键． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 34．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）直接写出得数 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【答案】(1)8.4 (2)0.5 (3)68 (4)1 (5)2.77 (6)3 (7) (8) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据分数乘以小数的运算法则计算即可得解； （2）先计算平方，再计算加法即可得解； （3）根据小数乘以整数的运算法则计算即可； （4）将百分数化简，再计算除法即可； （5）根据小数的减法法则计算即可； （6）根据小数乘以整数的计算法则计算即可； （7）先通分，再计算加法即可； （8）根据分数除以整数的计算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； （7）解： ； （8）解： ． 35．（25-26七年级上·陕西咸阳·阶段检测）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算顺序和运算法则是解题关键． （1）先算乘除，再算减法； （2）先算乘方，再算乘除，最后算加减； （3）先算乘方，再算括号内的运算，接着算乘除，最后算加法． 【详解】（1）原式 （2）原式 （3）原式 36．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知m，n是正整数，若．化简： （1）；       （2）． 【答案】（1）；（2）0 【分析】（1）根据有理数乘方的性质，判断出为偶数，然后求解即可； （2）根据有理数乘方的性质，判断出为偶数，为奇数，然后求解即可； 【详解】解：，则为偶数，为奇数 （1）， （2），， 【点睛】此题考查了有理数乘方的有关性质，解题的关键是根据题意判定出为偶数，为奇数． 37．（24-25七年级上·上海奉贤·阶段检测）已知，，，其中、、均为正整数， (1)根据题意，可求得 ， ， ； (2)计算的值； 【答案】(1)3，2，1 (2)216 【分析】本题主要考查了有理数乘方的运算，熟知乘方运算法则是正确解决本题的关键． （1）先根据，可得，即可求出n，a； （2）将数值代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵，即， ∴． ∵，即，且a为正整数， ∴． 故答案为：3，2，1； （2）解：原式． 38．（25-26七年级上·全国·课后作业）阅读下列各式：解答下列问题： (1)猜想：________． (2)用学过的知识说明（1）中式子成立的理由． (3)计算：． 【答案】(1) (2) 理由如下： ． (3) 32 【分析】本题考查了有理数的乘方和对幂的概念的理解，以及有理数的简便运算. （1）根据题干规律即可推导出结果； （2）利用有理数的乘方和乘法运算进行证明即可； （3）将小数化成分数，然后根据前两问得到的结论进行求解即可. 【详解】（1）解：根据题干的规律可得： ； 故答案为：. （2）略 （3）解：原式 ． 39．（25-26七年级上·河北保定·期末）（1）一道习题及其错误的解答过程如下： 计算： 解： …………第一步 …………………………第二步 ……………………第三步 请指出在第_______步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． （2）计算： 【答案】（1） 第一步开始出现错误， ． 故答案为：一 ． （2） 【分析】本题考查了乘法运算律以及含乘方和绝对值的有理数的运算，解决本题的关键是熟练掌握乘法的运算律． （1）根据乘法运算律求解即可． （2）根据含乘方和绝对值的有理数的运算计算即可． 【详解】解：（1）略 （2）． 40．（25-26七年级上·江西赣州·期中）阅读以下解题过程． 求的值． 解：令， 则 所以， 即， 所以． 请根据上述材料中的方法计算下面的式子： 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的乘方运算，解题的关键是理解题中所给运算方法．令，然后两边同乘以6，进而按照题中所给方法进行求解即可． 【详解】解：令， 则 ， 所以， 即， 所以， 即． 【经典计算题六 有理数的四则混合运算】 41．（25-26七年级上·广西南宁·期中）计算： 【答案】 【分析】先将除法转化为乘法，分别算出两部分的结果后再相加即可得到最终答案． 【详解】解： ． 42．（25-26七年级上·甘肃临夏·阶段检测）计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．先算乘除，再算加减法即可． 【详解】解： ． 43．（25-26六年级上·山东淄博·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据有理数的加减运算法则计算即可得出结果； （2）先计算乘除，再计算加减即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 44．（25-26六年级上·全国·期末）脱式计算，能简便的用简便方法计算． (1)； (2)； (3) (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)80 (2)112 (3)45 (4)750 (5)75 (6)0.4 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则运算顺序． （1）先计算乘除，再计算加法； （2）将除法化为乘法，并利用结合律求解； （3）利用交换律和结合律进行简便计算； （4）先将原式变形，再利用结合律进行乘法计算； （5）先将百分数和分数化为小数，再逆用乘法分配律计算； （6）先计算小括号内加法，再计算中括号内除法，最后计算减法． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： （4）解： ； （5）解： （6）解： 45．（25-26七年级上·四川宜宾·阶段检测）请先阅读下列一组内容，然后解答问题： ，，… 计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过观察可得，原式，再计算即可； （2）通过观察可得，原式，再计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． 46．（25-26七年级上·安徽宿州·阶段检测）已知，均为有理数，现在我们定义一种新运算，规定．例如：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算，正确理解定义的新运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据题干信息列出算式进行计算即可； （2）先求出，再列出算式求出的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 47．（25-26七年级上·陕西安康·期末）对于有理数，定义一种新运算：．例如：．求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义运算与有理数的混合运算，熟练掌握新运算的规则并准确进行有理数的加减运算是解题的关键．先根据新运算的定义，分别计算两个三角形对应的运算结果，再将结果相乘． 【详解】 解： ． 48．（25-26七年级上·辽宁盘锦·期中）对于实数，，定义关于“”的一种运算：．例如：． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2)26 【分析】本题考查了新定义计算问题，主要考查有理数的四则混合运算，掌握有理数四则混合运算法则为解题关键． （1）根据定义计算即可求解； （2）根据定义先计算，再计算即得． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 【经典计算题七 有理数的简便计算】 49．（25-26七年级上·陕西西安·期中）用简便方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算．根据乘法分配律将括号内的分数依次乘后再相加，约分后转化为计算有理数加减法，得出答案． 【详解】解： 50．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）计算下面各题，怎样简便就怎样算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用乘法分配律计算即可； （2）先把除法变为乘法，再利用乘法交换律和结合律计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 51．（25-26六年级上·山东泰安·期末）计算（能用简便方法计算的，尽量用简便方法计算） (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）根据加法的交换律和结合律求解即可； （2）先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减； （3）首先将小数化成分数的形式，然后利用加法结合律求解即可； （4）根据乘法的分配律求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 52．（25-26六年级上·山东青岛·期中）我们知道，乘法分配律是，反过来，这就是逆用乘法分配律．逆用乘法分配律可使有些运算简便，例如： ． 逆用乘法分配律计算： (1)； (2)． 【答案】(1)15 (2)0 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干的解题过程，逆用乘法分配律进行简便运算，即可作答． （2）模仿题干的解题过程，逆用乘法分配律进行简便运算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 53．（25-26七年级上·河南南阳·期中）学习了有理数的运算后，王老师给同学们出了这样一道题：计算，看谁算得又对又快． 下面是两位同学给出的不同解法． 小亮：原式 小舒：原式． (1)以上两种解法，你认为谁的解法比较简便？理由是什么？ (2)请你用简便方法计算． 【答案】(1)我认为小数的解法比较简便；理由是她把带分数拆成了一个整数与真分数的和，运用了乘法分配律简化了计算过程 (2) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算； （1）根据题意，说明理由即可； （2）根据乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解：我认为小舒的解法比较简便；理由是她把带分数拆成了一个整数与真分数的和，运用了乘法分配律简化了计算过程． （2）解： 54．（25-26七年级上·河南周口·阶段检测）先阅读第①小题的计算方法，再计算第②小题． ①． 解：原式 上述这种方法叫做拆项法，灵活运用加法的交换律、结合律可使运算简便． ②仿照上面的方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法交换律及结合律．把变形为，再利用有理数的加法法则求解即可． 【详解】解： ． 55．（25-26七年级上·山西朔州·期中）阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用分配律解题我们知道，分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的时，我们可以逆用分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用分配律可得，这样计算就简便得多． 计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的乘法分配律，解题的关键是理解题意； （1）逆用分配律把原式变形为，再计算求解； （2）逆用分配律把原式变形为，再计算求解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 56．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）请你参考黑板上老师的讲解，用运算律简便计算： 利用运算律有时能进行简便计算 例1： 例2： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，能够熟练运用乘法分配律是解题的关键． （1）把写成，利用乘法分配律进行计算； （2）逆用乘法分配律，提取，进行简便计算即可． 【详解】（1） （2） ． 【经典计算题八 有理数的规律计算题】 57．（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）某数学兴趣小组发现：，，…，按此规律： (1)直接写出：____________； (2)计算：． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）根据题干所给式子找出规律即可； （2）根据（1）的规律计算即可． 【详解】（1）解：，，…， 可知， 则． 故答案为：，； （2）解： ． 58．（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）探索研究 (1)填空：①已知，则________，________． ②已知，则________，________． (2)观察（1）的计算结果，我们可以得到什么移动规律？ 【答案】(1)①，②1.331，1331000 (2)移动规律：①当底数的小数点每向左(右)移动一位时，它的平方的小数点向左(右)移动两位②当底数的小数点每向左(右)移动一位时，它的立方的小数点向左(右)移动三位 【分析】本题考查了有理数的乘方，熟记有理数的乘方的定义是解题的关键； （1）根据有理数的乘方的定义计算即可； （2）观察（1）的计算结果，即可得出移动规律． 【详解】（1）解：①，， 故答案为：，； ②，， 故答案为：1.331，1331000； （2）解：观察（1）的计算结果，我们可以得到①当底数的小数点每向左(右)移动一位时，它的平方的小数点向左(右)移动两位，②当底数的小数点每向左(右)移动一位时，它的立方的小数点向左(右)移动三位． 59．（25-26七年级上·甘肃庆阳·期中）规定一种新的运算：，例如．请利用上述规律计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）原式利用题中的新定义先计算，再计算即可求出值． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解： ． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 60．（25-26七年级上·甘肃定西·阶段检测）（1）计算，，的值； （2）观察上面三个式子的结果，用你观察出的规律计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据有理数的加减进行计算即可求解； （2）根据（1）的结论可得连续4个数的和为，根据有理数的乘法进行计算即可求解． 【详解】解：（1），，． （2） ． 【点睛】本题考查了有理数的加减、有理数的乘法运算，找到规律是解题的关键． 61．（25-26七年级上·辽宁沈阳·阶段检测）我们知道：，试根据上面规律，解答下面各题． 计算：； 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握运算法则是解题关键．先计算出每个括号内的结果，将原式化为若干个负分数的乘积的性质，根据已知规律，即可计算求值，注意符号的化简． 【详解】解： ． 62．（2026·河北·二模）借助计算器探索． (1)填表： x 0.5 1 10 1000 10000 100000 (2)观察上表，你能发现什么规律？ (3)当x非常大时，的值接近于什么数？ 【答案】(1)填表如下： x 0.5 1 10 1000 10000 100000 1 (2)=； (3)接近于0． 【分析】（1）把相应的值代入运算即可； （2）分析所得到的数字，并进行总结即可得出结果； （3）根据（2）进行作答即可． 【详解】（1）解：当x=0.5时，1； 当x=1时，； 当x=10时，； 当x=1000时，； 当x=10000时，； 当x=100000时，； （2）解：规律：当x=n时，则有=； （3）解：当x非常大时，的值接近于0． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是分析清楚题中的数所存在的规律． 63．（25-26七年级上·河北·单元复习）规律探究： 计算：； 如果一个个顺次相加显然太烦琐，我们仔细观察这个式子的特点，发现运用加法的运算律可简化计算，提高计算速度． . 计算： (1)； (2). 【答案】(1) (2)2550 【分析】本题主要考查了有理数加法中的简便计算，熟练掌握有理数加法运算法则，是解题的关键． （1）将原式变形为，然后进行运算即可； （2）将原式变形为，然后进行运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 64．（25-26七年级上·重庆·期中）阅读材料，根据材料回答： 例如1： ． 例如2： ． (1)仿照上面材料的计算方法计算：； (2)由上面的计算可总结出一个规律：（用字母表示）______； (3)用（2）的规律计算：． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）根据所给材料中的方法进行计算即可； （2）根据题意找到规律即可； （3）根据得到的规律将原式变形，然后计算即可． 【详解】（1） ； （2）根据题意可得：； （3） ． 【点睛】此题考查有理数的乘方，解题关键是灵活运用材料中得出的规律． 学科网（北京）股份有限公司 $