专题02 有理数的运算七大技巧（专项训练）数学新教材浙教版七年级上册

**基本信息** 以七大运算技巧为核心，构建“方法提炼-题型应用-综合拔高”的有理数运算专项训练体系，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |归类法|5题|运用交换律、结合律归类同类数计算|基于加法运算律，实现同类数合并简化| |凑整法|4题|凑整数或互为相反数相消|利用数的互补性，减少计算步骤| |拆项法|6题|拆分一数为两数和差，用分配律|通过数的分解转化复杂运算| |逆向法|7题|转化数的形式逆用分配律|运算律逆向迁移，简化提取公因式| |组合法|3题|组合相同因数减少计算量|基于因数共性，优化运算结构| |裂项相消法|5题|分解项使部分项求和抵消|利用数列项的分解特性，化繁为简| |倒数求值法|3题|颠倒分子分母转化求解|通过倒数关系，简化分数运算|

专题02 有理数的运算七大技巧 常考题型·精准突破 题型 01·归类法 题型 02·凑整法 题型 03·拆项法 题型 04·逆向法 题型 05·组合法 题型 06·袈项相消法 题型 07·倒数求值法 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆ 题型1·归类法 方法：运用加法交换律、结合律归类加减，将同类数(如正数或负数)归类计算如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等。 1．计算： 2．计算： (1)； (2) (3)； 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 4．计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 5．计算： (1) (2) ◆题型2·凑整法 方法：将相加可得整数的数凑整，将相加得零的数(如互为相反数)相消 6．计算： 7．计算 (1)； (2)； (3)； (4) 8．计算： (1)； (2)． 9．计算： (1)； (2)； (3)． ◆题型3·拆项法 方法:将一个数拆分成两个或两个以上数和的形式，再利用加法交换律)(结合率或者利用乘法分配率从而使得计算变得简洁 10．阅读与思考 下面是博学小组研究性学习的部分内容．阅读下列材料，完成后面任务． 关于“用拆分法计算”的研究报告 博学小组 研究对象：计算． 研究思路：直接运算太麻烦了！观察算式，可得原式可分为，再利用乘法分配律运算能简单很多． 研究方法：先利用拆分法，再利用乘法分配律． 研究步骤：解：原式（依据1） （依据2） ▲ ． 任务： (1)上述研究报告中的依据1是指_________，依据2是指________． (2)研究报告中，“▲”处空缺的内容是________． (3)请用拆分法，计算：． 11．阅读与思考 下面是博学小组研究性学习的部分内容，阅读下列材料，并完成相应任务． 关于“用拆项法计算”的研究报告 博学小组 研究对象：用拆项法计算的值． 研究思路：由于2025与2024相差1，2033与2034相差1，因而可以将问题改写成． 研究方法：先利用拆项法，再利用乘法分配律． 研究步骤：解：原式（依据1） （依据2） = ▲ ． 任务： (1)上述研究报告中的依据1是指________，依据2是指________． (2)研究报告中的“▲”处空缺的内容为________． (3)请用另外一种拆分方法计算． 12．学习了有理数乘法后，王老师给同学们布置了一道数学题：计算．看谁算得又快又正确．嘉嘉、淇淇和媛媛的解法如下： 嘉嘉：原式； 淇淇：原式； 媛媛：原式． (1)淇淇和媛媛的解法都运用了拆项法，即把一个数拆成两个数的和或两个数的差，然后再运用有理数的运算律进行计算，可使计算简便，她们运用的运算律是（     ） A．乘法交换律        B．乘法结合律 C．乘法对加法的分配律    D．加法结合律 (2)请你选择以上三种解法中的一种计算的值． 13．数学张老师在多媒体上列出了如下的材料：计算 上述这种方法叫拆项法．请仿照上述方法计算： (1)； (2)． 14．阅读下题的计算方法 计算： 解：原式 上面这种解题方法叫做拆项法，按此方法计算： 15．数学家基斯顿·卡曼于1808年发明了一种运算符号叫阶乘，用“!”表示．它的意思是：一个正整数的阶乘是所有小于及等于该数的正整数的积，如，．正整数的阶乘记作，即．裂项相消法可以和阶乘结合起来研究，例如，我们可以把拆分为两个分母含有阶乘形式的分子为1的分数的差，即． 根据以上规律，解答下列问题： (1)填空：________； (2)将化简为两个分母含有阶乘形式的分子为1的分数的差的形式为________； (3)计算：． ◆题型4·逆向法 方法：主要是将式子中的一些小数、带分数、分数互相转化，然后将乘法分配率逆向使用，从而使得计算变得更加简单 16．计算： 17．计算： 18．用简便方法计算：． 19．阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用分配律解题我们知道，分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的时，我们可以逆用分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用分配律可得，这样计算就简便得多． 计算： (1)； (2)． 20．计算：． 21．计算： 22．用简便算法计算：． ◆题型5·组合法 方法：通过组合相同的因数，减少计算量 23．计算 24． 25．计算：． ◆题型6·袈项相消法 方法：通过将数列中的每一项分解成两部分，然后重新组合，使得部分项在求和过程中相互抵消，从而简化计算。 26．类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项． 【类比探究】（）猜想并写出：__________． 【理解运用】（）类比裂项的方法，计算：． 【拓展提高】（）计算：． 27．类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． 【类比探究】（1）猜想并写出：________； 【理解运用】（2）类比裂项的方法，计算：； 【迁移应用】（3）探究并计算：． 28．我们知道：；；；…，反过来，可得：；；；…，各式相加，可得：． 根据上面的规律，解答下列问题： (1)___________； (2)计算：； (3)计算：． 29．观察下列等式： ，，，… 将以上三个式子两边分别相加得：． (1)猜想并写出： ；（n正整数） (2)直接写出下列式子得计算结果： ； (3)计算：． ◆题型7·倒数求值法 方法：倒数法:有些含有分数的数学问题，直接求解比较繁琐，若将分子、分母上下颠倒，则便于求解，这种解法称为倒数法。 30．先阅读下面的材料，再回答后面的问题： 计算：． 解法一：原式 解法二：原式 解法三：原式的倒数为， 故原式． (1)上面三种解法得到的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法______是错误的； (2)请用两种不同的方法解决下面的问题：计算：． 31．课堂上老师给出一道计算题：．同学们积极思考，甲、乙、丙三位同学的做法如下： 甲：原式 乙：原式 丙：原式的倒数 故原式． 请认真阅读，解答下列问题： (1)上述三位同学的解法中，正确的是______，错误的是______；(填写“甲”“乙”“丙”) (2)计算： ① ② 32．我们知道对于非零有理数与互为倒数，所以求的值，就是求的值的倒数．现有一个计算题：． (1)若将看成，将看成，请写出的倒数，并利用上述方法将该题解答完整； (2)运用上述方法，计算：． 综合攻坚·知能拔高 1．用简便方法计算： (1)； (2)． (3) 2．用简便方法计算： (1) (2) 3．下列各题，要写出主要运算过程，能简便运算的，应采用简便方法运算． (1)计算：； (2)计算：． 4．计算： 5．计算： (1) (2) (3) (4) 6．简便计算： (1)； (2) 7．计算： (1)； (2)． 8．用简便方法计算： (1)； (2)． 9．简便运算． (1) (2) (3) (4) 10．计算： 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02有理数的运算七大技巧 常考题型精准突破 ◆题型1·归类法 1. 【详解1-3三=-3.75 原式=-6.37+-3.75+6.37+2.75 =|-6.37+6.37+-3.75+2.75 =0+-1 =-1 2. 【】拆12石-引- =5-2-3+7 4444 (2)解：-34++8++5+-23 =-34+8+5-23 =-44 e解2日 层 =-3+2 =-1. 3. 1_1-1+2 (详解】(1)2343 -店川到 1/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :3+4 1212 、13,51 (2)24612 司 3.5 =6*6 9+1 1212 (3)- =- + =-1+0+ 34 (4)-22 31-1-1 434 +3 =-3+2 =-1. 4. 【详解】(1)解：-59--46+-34-+73 =-59+46-34-73 =-59-34-73+46 =-166+46 =-120: 2/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：-72--37--22-17 =-72+37+22-17 =37-17+22-72 =20-50 =-30: =13-72+31-1 43 43 =5-8 =-3 4解：-5123+6引 4 55124369 > =-9+19 =10 5. 【详解】(1)解：8-（+3)+(-7)-（-4) =8-3-7+4 =8+4-3+7列 =12-10 =2 (2)解：0.125+3 2-1+52-0.25-5 483 是4g到 88°443 =0+3+4 =7 3/20 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型2·凑整法 6. 【详解】解：38+-22++62+-78 =38+-78+-22++62 =-40+40 =0】 7. 【详解】(1)解：-12-5+-14--39 =-12+-5+-14+39 =-12-5-14+39 =-31+39 =8: (2)解：-45+-71+-5+-9 =45+-71+5+-9 =45+5+-71+-9 =50+-80 =-30: (3)解：4.7-3.4+-8.3 =1.3-8.3 =-7: (4)解：-30--6)-+6-+30 =-30+6-6-30 =-30+6-6-30 =-60: 8 【详解】(1)解：原式=+12++18+-13+-7： =30+-20 =10: (2)解：原式=-2.39+-7.61++5.57+-0.57. =-10+5 4/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =-5 9 【详解1（①解：十+十 引- (2)解：0.36+-7.4+0.5+-0.6+0.14 =0.36+0.14+-7.4+-0.6j+0.5 =0.5+-8+0.5 =-7； 3解：2+-32+2 引++2 =-6+6+2 =2 ◆题型3·拆项法 10: 【详解】(1)解：上述研究报告中的依据1是指拆分；依据2是指乘法分配律： 故答案为：拆分：乘法分配律 2那照15-引副 25×- =25+另 2 .1 5/20 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故研究报告中，“▲~处空缺的内容是25弓： 故答案为25号 1 (3)解：原式=100- 25 ×-5 =-500+1 =-4994 11. 【详解】(1)解：研究报告中的依据1是指拆项法，依据2是指乘法分配律： (2)解：原式=2024+1×2033-2024×2033+1 =2024×2033+2033-2024×2033-2024 =2033-2024 =9, 故“▲”处空缺的内容为9； (3)略 12. 【详解】(1)解：她们运用的运算律是乘法对加法的分配律， 故选：C; (2)解：99号×-13 13 =1o0-号×4-1Bl =100×-13- -18 =-1300+2 =-1298 13. 【详解】(1)解： -123引 6/20 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 。- =40+1 0 （2)解：-2024号+-2025号引+40499 -24-引-2m引40e乳 2m4+20z5+4049+-引r-r川 =0+0, =0 14. 【1-22引r-20-引324-- =-2-2m3+2w24*1引 =-2022+ 、 8093 4· 15. 【详解】(1)解：5！=5×4×3×2×1=120， 故答案为：120： 6,7_7-1.8-1 (2)解：71+817！8！ =7-1+81 7!7！8!8! =1-1+1-1 6!7!7!8! =1、1 6!8!9 7/20 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1+2+3+4+…+18+19 (3)解：2+3！4！5！ 19!201 2=1+3-1+4-1+5-1++19-1+20-1 2！3！4！5！ 19!201 21314151 5233474755…+9-1+20 ）1 19！19!20!201 =1-1+1-1+1-1+-马+…+L 1 1 Γ1！2！2！3！3！4！4！5： 18!19!191201 1、1 -1!201 1 ◆题型4·逆向法 16. 【详解】解：原式=14.5-4.5×64 =10×64 =640 17. 【详解】解：原式=1111×7×9+1111×37 =1111×7×9+1111×37 =1111×63+1111×37 =1111×63+37 =1111×100 =111100 18. 【解1解7×号+26×2号+2×号 =-2x-7+26+2 7 =-2×21 7 =-66. 8/20 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19 【详解】(1)解：原式=188×-29+28=188×-1=-188： (2)解：原式=2025× 36.2 777 =2025×-1=-2025. 20. 【详解1解：原式=-3×385+4×385-1×38 11 11 11 =-3+4-1×385 1 =0×385 =0. 21. 【详解】解：原式=-兰 45 =15×27-25+18 4555 15×4 4 =15 22. 【详解】解：原式= -63×17-19+12 =0 ◆题型5·组合法 23. 【详解】每两个数为一组，结果是3， 一共有1+2002-10÷6=333组， 2002-1999+1996-1993+1990-1987+.+16-13+10-7+4 =3×333+4 =1003. 9120 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 24. 【详解】解：2+2-4+6-8+10-12+..+88-100 =2+2-4+6-8+10-12+...+88-100 =2+-2+-2+-2+.+-2 =2+-2×25 =2-50 =-48. 25. 【详解】解：-1+2-3+4-5+6-7+·-99+100 =-1+2+-3+4+-5+6+…+-99+100 =1+1+1+.·+1 =50. ◆题型6·袈项相消法 26. 【详解】解：(1)猜想并写出： 1-1-1 n×n+nnn+1 11 故答案为：nn+工 2中卦居传a画 99100 =1-+-t-1+…+- 22334 .99100 =1-100 1 9g 100 1 20242026 11 =1×1012 Γ22026 10120 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 253 1013 27. 1 11 【详解】解：(1)nxn+1nn+1 1 1+1+…+ 1 (2)1×22×33×4 99×100 传宽西 1号片+动品 11 =10 99 100 1+1t1。t+ 1 (3)1x33x55×77x9 2021×2023 -2×及3*35+577g2021×20四 2+2+2 2 1号号分片古 1 20212023 1×2022 22023 =1011 2023 28. 1111,1,1 【详解】(1)解：1x22x33×4+4×55×66×7 =1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1 22344556677 1月 6 2照原好甘甘甘B…可 11/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =x1-1 1 4 ,1×100=25 4101101 1 1 11 11 1 (3)解：原式=6× 十··十 6 1×44×74×77×107×1010×1394×9797×100 1 1 1 101 6 49700 2425 29. 【详解】(1)解： 1-11 nn+1 nn+1 11 故答案为：nn+1 (2)解： 2*4… 2024 2024×2025 20252025 2024 故答案为：2025 o)解3女5写女7*…四i0 1 1 1-写g分*+的0 99101 1 50 101 ◆题型7·倒数求值法 30. 【详解】(1)解：除法不满足分配律，不能将除以多个项和的运算拆分为分别除以各项再求和，因 此解法一是错误的 (2)方法一： 原欧动川品引个川-2京 方法三：原式的倒数为~是弓引（安是号》×灯-42， 12/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -2川 ×(-42)=9+12=21. 所以原式=21 31. 【详解】(1)解：除法不具有分配律，甲同学将除法错误地使用分配律，甲的解法错误： 乙同学先计算括号内的有理数加减，再进行除法运算，符合有理数混合运算顺序，解法正确： 丙同学先计算原式的倒数，再根据倒数关系求出原式的值，方法正确；故正确的是乙、丙，错误的是 甲 故答案为：乙、丙：甲. (2)①解： 11-2+5 5423+6 -1:2 =543 36 ②解：设原式为B,则B的倒数为 1-1-1+1-1+1-1 236'7142142 111L-1+1-5 422367142142 日号a*员0 -42-含×-2)-君-42)+号刘-2141-2+分1-42)安×-2) 3 6 14 =-21+14+7-6+3-2+1 =-4, .B的倒数为-4， 32. 【详解】(1)解：一648的倒数是： 135 3- 1 13/20 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3_5--1 4816 3-5×-16 48 ×1-161-5x-16 Γ4 8 =-12+10 =-2 1.23.1 (2)解：- 363 46 的倒数是： 6 2-3+ 346 居 ×-36) =号×-36)-3×-36)+2×-36) 4 6 =-24+27-6 =-3, 所以 1 2-3+1=-1 363463 综合攻坚·知能拔這 1. 【】果原武号君 11 =0-1+ 5 、1 (2)解：原式=4三+3-3.85+3.15 44 =8-7 14/20 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =1 g)解：限式=50×37+63× =50x1+-1 ×37+63 48 1.1 =50×+- ×100 48 =2525 22 =0 【详解】()解：19×2-0,4×-18+2×-19 5 5 =19×0.4+0.4×18-0.4×19 =0.4×19+18-19 =0.4×18 =7.2； (2)+0.125- 33/ -3g-+1.75 4 8 =+33-3 3 84 =1-31+ 3-1 -8686414 =-3+2 =-1: 3. 【详解】(1)解：0.365×640+3号×36.5+365×0.01 =36.5×6.4+3.5×36.5+36.5×0.1 =36.5×6.4+3.5+0.1 =36.5×10 =365 (2)解：2010-2009-2008+2007+2006-2005-2004+2003+.+6-5-4+3+2-1 =2010-2009-2008+2007+2006-2005-2004+2003+..+6-5-4+3+2-1 =0+0+..+0+1 15/20 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =1 4 1+1+1+1 【详解】解：3+81524 9999 1 1+1+ 1 1 1 1×32×43×54×6 +…+g8×10099×101 1.1 ,98100+9g-101 14949 202001 【解1a解1-32-81-+169-1忌 =-32+1-169-1号 -3.2-16.9+8.1=116 -20.1+8.1-13 =-12-115 =-1315 (2)解：-81：9×432 4 9 =81×号×号× 1 9 32 1 8132 -5+6-- 16/20 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0个 =0: 8 是*6 +66/~4 2 5号 6. 1+1+1+1+1 【详解】(1)解：2+6122030 1经哈产合号副 1-片号是+是是+11 223344556 6 1+3+7+15,31 (2)解：2+481632 -h品 11-1-*161最 11112六司 5++好日培66过 51 17/20 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5-1+ 32 32 7. 【详解】(1)解：原式=2016× 1+1+1+1+1 1×22×33×44×55×6 2016× 2-1+3-2+4-3+5-4+6-5 1×22×33×44×55×6 =2016× 21, 32 43 5.4 65 1×21×22×32×33×43×44×54x55x65×6 =2016× -3副 1+1-1+1-1+1-1+1_1 =2016×1-2*3+34*456 =2016×1- -32016×8 =1680, (2)解：原式=1+4+5+5+6-6+7,7+8 44×5'5×66×7'7×8 + 哈制信引制 =1+ 111.11_1_1.1+1 445566778 =1*8 9 8 【详解】(1)解：原式 4- =7+-9 18/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =-2 2)解：-16×-+253×169×025 =16×子+253×169× 4 卡×116+253-169 *20 =50: 9. 【详解】(1)解：当n≥1时， 2m+1+12m+1-1+2-1+2.1=1+11 2n+12-12n+12-1 2nn+12nn+1/ 3+1+5+1+7+1+9+1++5到+1 则32-i+5-i7-1g-151-1 245 =25+ 25 2 =2525 2 (2)解： 3242 1007 10082 1×32×4×3×5×…× 1006×10081007×1009 22×32×42×…×10072×10082 1×2×32×42×…×1007×1008×1009 2×1008 1009 2016 1009 )解，970×+7×+7动×为 5049 3029 19/20 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 98- 49 1 +78- 39 1 29 0 49 4039 58 3029 =2- 1+2- 1*2 1 5 40 30 =6- 1 1,1 504030 6 47 600 =5553 6009 (4)解：68× 11 +25× 1+1 2543 -43× 11 4368 2568 68 68+25+25-43+43 25 4343' 68 2568 68_43 6825/25, 43 =2525 4343 68 68 =1-1+1 =1. 10. 【详解)解：令S=1++号+1+1+ 33233 3、1 310, 则3S=3+1+1+1+1, 3323+…+1±1 :3S-S=3- 310, 即2S=3-1 00, 20120 专题02 有理数的运算七大技巧 常考题型·精准突破 题型 01·归类法 题型 02·凑整法 题型 03·拆项法 题型 04·逆向法 题型 05·组合法 题型 06·袈项相消法 题型 07·倒数求值法 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆ 题型1·归类法 方法：运用加法交换律、结合律归类加减，将同类数(如正数或负数)归类计算如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等。 1．计算： 【答案】 【分析】利用加法交换律和结合律，将互为相反数的项结合，将分数统一转化为小数形式后再进行简便计算． 【详解】， 原式 2．计算： (1)； (2) (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是有理数的加减混合运算，解题关键是通过通分、运用加法交换律和结合律对式子分组，简化计算过程． （1）通分后，分组结合同分母数计算． （2）通分后，按顺序或分组计算． （3）统一小数为分数，通分后分组结合计算． （4）拆分带分数，整数与分数部分分别分组计算． 【详解】（1） ． （2） ． （3） （4） ． 4．计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)10 【分析】本题考查了有理数的加减法，熟练掌握运算顺序，运算法则和运算律是解题的关键． （1）化简符号，运用加法交换律与结合律计算； （2）化简符号，运用加法交换律与结合律计算； （3）化简符号，运用加法交换律与结合律计算； （4）化简符号，运用加法交换律与结合律计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 5．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的加减混合运算． （1）先去括号，再计算； （2）将小数和分数统一形式后合并计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ◆题型2·凑整法 方法：将相加可得整数的数凑整，将相加得零的数(如互为相反数)相消 6．计算： 【答案】 【详解】解： ． 7．计算 (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)8 (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加减运算及绝对值的性质，解题的关键是熟练掌握有理数加减运算法则，先化简符号或去绝对值再计算． （1）先将减法化为加法，再合并同类项计算；（2）先去绝对值，再合并同类项计算；（3）直接按顺序进行加减运算；（4）先化简符号，再利用加法结合律简便计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； 8．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加法运算，加法运算律，正确计算是解题的关键． （1）根据加法交换律和结合律，把正数和负数分别相结合进行计算； （2）根据加法交换律和结合律，把能够凑整的，互为相反数相结合进行计算． 【详解】（1）解：原式； ； （2）解：原式． 9．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】本题考查了有理数的加法运算，熟练掌握有理数的加法运算法则，并能简算是解决本题的关键． （1）根据分数的加法与减法运算计算即可； （2）根据小数的加法与减法运算计算即可； （3）根据带分数的加法与减法运算计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． ◆题型3·拆项法 方法:将一个数拆分成两个或两个以上数和的形式，再利用加法交换律)(结合率或者利用乘法分配率从而使得计算变得简洁 10．阅读与思考 下面是博学小组研究性学习的部分内容．阅读下列材料，完成后面任务． 关于“用拆分法计算”的研究报告 博学小组 研究对象：计算． 研究思路：直接运算太麻烦了！观察算式，可得原式可分为，再利用乘法分配律运算能简单很多． 研究方法：先利用拆分法，再利用乘法分配律． 研究步骤：解：原式（依据1） （依据2） ▲ ． 任务： (1)上述研究报告中的依据1是指_________，依据2是指________． (2)研究报告中，“▲”处空缺的内容是________． (3)请用拆分法，计算：． 【答案】(1)拆分；乘法分配律 (2) (3) 【分析】本题主要查了有理数乘法分配律： （1）根据乘法分配律解答，即可； （2）根据乘法分配律解答，即可； （3）根据有理数乘法分配律解答，即可． 【详解】（1）解：上述研究报告中的依据1是指拆分；依据2是指乘法分配律； 故答案为：拆分；乘法分配律 （2）解：原式 故研究报告中，“▲”处空缺的内容是； 故答案为： （3）解：原式 ． 11．阅读与思考 下面是博学小组研究性学习的部分内容，阅读下列材料，并完成相应任务． 关于“用拆项法计算”的研究报告 博学小组 研究对象：用拆项法计算的值． 研究思路：由于2025与2024相差1，2033与2034相差1，因而可以将问题改写成． 研究方法：先利用拆项法，再利用乘法分配律． 研究步骤：解：原式（依据1） （依据2） = ▲ ． 任务： (1)上述研究报告中的依据1是指________，依据2是指________． (2)研究报告中的“▲”处空缺的内容为________． (3)请用另外一种拆分方法计算． 【答案】(1)拆项法；乘法分配律 (2)9 (3) 解：原式 ． 【分析】（1）根据拆项法和乘法分配律求解即可； （2）根据有理数的加减运算法则求解即可； （3）仿照题干方法，可将原式改写为，再利用乘法分配律和有理数的加减运算法则求解即可． 【详解】（1）解：研究报告中的依据1是指拆项法，依据2是指乘法分配律； （2）解：原式 ， 故“▲”处空缺的内容为9； （3）略 12．学习了有理数乘法后，王老师给同学们布置了一道数学题：计算．看谁算得又快又正确．嘉嘉、淇淇和媛媛的解法如下： 嘉嘉：原式； 淇淇：原式； 媛媛：原式． (1)淇淇和媛媛的解法都运用了拆项法，即把一个数拆成两个数的和或两个数的差，然后再运用有理数的运算律进行计算，可使计算简便，她们运用的运算律是（     ） A．乘法交换律        B．乘法结合律 C．乘法对加法的分配律    D．加法结合律 (2)请你选择以上三种解法中的一种计算的值． 【答案】(1)C (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，乘法运算律，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据乘法对加法的分配律进行求解即可； （2）利用拆项法和乘法对加法的分配律，进行计算即可． 【详解】（1）解：她们运用的运算律是乘法对加法的分配律， 故选：C； （2）解： ． 13．数学张老师在多媒体上列出了如下的材料：计算 上述这种方法叫拆项法．请仿照上述方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查有理数的加减乘除运算，解题的关键是正确理解题意给出的运算方法． （1）根据题意给出的运算方法以及有理数的加减乘除运算法则即可求出答案； （2）根据题意给出的运算方法以及有理数的加减运算法则即可求出答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， 14．阅读下题的计算方法 计算： 解：原式 上面这种解题方法叫做拆项法，按此方法计算： 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，根据拆项法将所求式子拆分计算即可． 【详解】解：原式 ． 15．数学家基斯顿·卡曼于1808年发明了一种运算符号叫阶乘，用“!”表示．它的意思是：一个正整数的阶乘是所有小于及等于该数的正整数的积，如，．正整数的阶乘记作，即．裂项相消法可以和阶乘结合起来研究，例如，我们可以把拆分为两个分母含有阶乘形式的分子为1的分数的差，即． 根据以上规律，解答下列问题： (1)填空：________； (2)将化简为两个分母含有阶乘形式的分子为1的分数的差的形式为________； (3)计算：． 【答案】(1)120 (2) (3) 【分析】本题主要考查了十字相乘法、因式分解解一元二次方程、裂项法、阶乘的运用等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据阶乘定义直接求解即可； （2）根据题干材料仿照即可得解； （3）根据（2）思路写出过程求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：120； （2）解： ； （3）解： ． ◆题型4·逆向法 方法：主要是将式子中的一些小数、带分数、分数互相转化，然后将乘法分配率逆向使用，从而使得计算变得更加简单 16．计算： 【答案】 【详解】解：原式 ． 17．计算： 【答案】 【详解】解：原式 ． 18．用简便方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律，观察式子，运用有理数的乘法运算律进行简便运算，即可作答． 【详解】解： ． 19．阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用分配律解题我们知道，分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的时，我们可以逆用分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用分配律可得，这样计算就简便得多． 计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的乘法分配律，解题的关键是理解题意； （1）逆用分配律把原式变形为，再计算求解； （2）逆用分配律把原式变形为，再计算求解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 20．计算：． 【答案】0 【分析】本题考查有理数的运算，利用乘法分配律简便运算是解答的关键．根据有理数的乘法分配律求解即可． 【详解】解：原式 ． 21．计算： 【答案】15 【分析】本题考查了有理数的加减乘除混合运算．解题的关键是将数统一形式后，提取相同公因数，运用乘法分配律简化计算． 将带分数和小数统一形式，再提取公因数，运用乘法分配律简化计算． 【详解】解：原式 22．用简便算法计算：． 【答案】0 【分析】本题考查了有理数乘法运算律，逆用分配律即可求解； 【详解】解：原式 ◆题型5·组合法 方法：通过组合相同的因数，减少计算量 23．计算 【答案】 【分析】根据观察，每两个数为一组，结果是，再算出这些数一共有组，再算出结果即可． 【详解】每两个数为一组，结果是， 一共有组， ． 【点睛】本题考查了数的规律，整式的加减法的速算与巧算，根据分组的方法计算是解答本题的关键． 24． 【答案】 【分析】将所求式子进行分组，然后再计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了有理数的加减运算，正确对原式进行分组求和是解题的关键． 25．计算：． 【答案】50 【分析】此题考查了有理数加减的简便运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 两两一组求和，进而求解即可． 【详解】解： ． ◆题型6·袈项相消法 方法：通过将数列中的每一项分解成两部分，然后重新组合，使得部分项在求和过程中相互抵消，从而简化计算。 26．类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项． 【类比探究】（）猜想并写出：__________． 【理解运用】（）类比裂项的方法，计算：． 【拓展提高】（）计算：． 【答案】（1），（2），（3） 【分析】（）根据题中材料即可求解； （）根据（）中的裂项方法，把每一个分数进行裂项，由有理数的加减法则即可完成计算； （）根据（）中的裂项方法，把每一个分数进行裂项，由有理数的加减法则即可完成计算； 本题考查了有理数的四则混合运算，掌握裂项法是解题的关键． 【详解】解：（）猜想并写出：， 故答案为：； （）原式 ； （）原式 ． 27．类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． 【类比探究】（1）猜想并写出：________； 【理解运用】（2）类比裂项的方法，计算：； 【迁移应用】（3）探究并计算：． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）根据题中材料即可得结果； （2）根据（1）中的裂项方法，把每一个分数进行裂项，由有理数的加减法则即可完成计算； （3）先变形，再由阅读感知把每个分数进行裂项，最后进行加减乘运算即可． 【详解】解：（1）； （2） （3） 【点睛】本题是材料阅读题，考查了有理数的四则混合运算，关键是读懂题中的材料，根据材料提供的方法灵活应用． 28．我们知道：；；；…，反过来，可得：；；；…，各式相加，可得：． 根据上面的规律，解答下列问题： (1)___________； (2)计算：； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据规律，裂项相减即可求解； （2）每项提出，然后根据规律，裂项相减即可求解； （3）每项提出，然后根据规律，裂项相减即可求解． 【详解】（1）解： （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【点睛】本题考查了有理数的加减运算，有理数的乘法运算，根据题意，找到规律是解题的关键． 29．观察下列等式： ，，，… 将以上三个式子两边分别相加得：． (1)猜想并写出： ；（n正整数） (2)直接写出下列式子得计算结果： ； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查有理数的乘法运算及加减运算，熟练掌握有理数的运算是解题的关键． （1）根据给出算式的规律进行求解即可； （2）根据给出算式的规律进行求解即可； （3）根据倍数关系和给出的算式的规律进行求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：； （3）解： ． ◆题型7·倒数求值法 方法：倒数法:有些含有分数的数学问题，直接求解比较繁琐，若将分子、分母上下颠倒，则便于求解，这种解法称为倒数法。 30．先阅读下面的材料，再回答后面的问题： 计算：． 解法一：原式 解法二：原式 解法三：原式的倒数为， 故原式． (1)上面三种解法得到的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法______是错误的； (2)请用两种不同的方法解决下面的问题：计算：． 【答案】(1)一 (2) 【分析】（1）本题考查有理数运算的法则．除法不存在分配律，解法一错误使用了分配律展开计算，因此解法一错误． （2）本题可采用两种正确方法计算，第一种先通分计算括号内的结果，再计算除法；第二种先计算原式的倒数，利用乘法计算后再求原式的值，均符合有理数运算法则． 【详解】（1）解 ：除法不满足分配律，不能将除以多个项和的运算拆分为分别除以各项再求和，因此解法一是错误的． （2）方法一： 原式 ． 方法二：原式的倒数为 ． 所以原式 31．课堂上老师给出一道计算题：．同学们积极思考，甲、乙、丙三位同学的做法如下： 甲：原式 乙：原式 丙：原式的倒数 故原式． 请认真阅读，解答下列问题： (1)上述三位同学的解法中，正确的是______，错误的是______；(填写“甲”“乙”“丙”) (2)计算： ① ② 【答案】(1)乙、丙；甲； (2)①；② 【分析】本题考查有理数的混合运算，核心知识点为有理数的除法法则与混合运算顺序，关键在于明确除法不满足分配律，对于复杂的除法运算可通过倒数法简化计算． （1）根据除法运算的性质判断：除法没有分配律，甲错误运用分配律导致结果错误；乙按照“先括号内，再括号外”的运算顺序计算，步骤正确；丙利用倒数的性质，先计算原式的倒数再求原式，方法简便且正确． （2）①可先计算括号内的加减运算，再进行除法运算； ②由于括号内的项较多，采用倒数法计算更简便，先求原式的倒数，再通过倒数关系得到原式的值． 【详解】（1）解：除法不具有分配律，甲同学将除法错误地使用分配律，甲的解法错误； 乙同学先计算括号内的有理数加减，再进行除法运算，符合有理数混合运算顺序，解法正确； 丙同学先计算原式的倒数，再根据倒数关系求出原式的值，方法正确；故正确的是乙、丙，错误的是甲； 故答案为：乙、丙；甲． （2）①解： ； ②解：设原式为，则的倒数为， ， 的倒数为， ． 32．我们知道对于非零有理数与互为倒数，所以求的值，就是求的值的倒数．现有一个计算题：． (1)若将看成，将看成，请写出的倒数，并利用上述方法将该题解答完整； (2)运用上述方法，计算：． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查除法运算及倒数关系的应用，有理数的乘法运算．对于非零有理数 和 ，有 ． （1）先求出原式的倒数，再计算，取倒数即得到原式的值； （2）先求出原式的倒数，再计算，取倒数即得到原式的值，计算过程中需注意分数的通分和运算顺序． 【详解】（1）解：的倒数是：， ． ∴； （2）解：的倒数是：， ， 所以 ． 综合攻坚·知能拔高 1．用简便方法计算： (1)； (2)． (3) 【答案】(1) (2)1 (3)0 【分析】（1）利用加法结合律将同分母的分数先计算，即可实现简便计算； （2）将带分数和带分数计算，小数与小数计算，即可实现简便计算； （3）将转化为，可先用乘法分配律计算，即可实现简便计算． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 2．用简便方法计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将分数化为小数，再逆用乘法的分配律即可； （2）将小数统一化为分数，再将同分母结合即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； 3．下列各题，要写出主要运算过程，能简便运算的，应采用简便方法运算． (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 4．计算： 【答案】 【分析】先把原式变形为，再根据异分母分数加减法运算，可得，进而求解即可． 【详解】解： ． 5．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 6．简便计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）小题采用裂项相消法，将每个分数拆分为两个单位分数之差，中间项相互抵消后简化运算； （2）小题采用凑1拆分法，把每个真分数写成1减去一个单位分数，再结合等比数列裂项抵消计算剩余分数和． 【详解】（1）解： = = = =； （2）解： = = = = = = =． 7．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1680 (2) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 8．用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把小数化为分数，把分母相同的有理数结合在一起求解即可； （2）把小数化为分数，再逆用分配律求解即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解： ； 9．简便运算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）对于，，分别取，相加即可； （2）把各因数通分相乘得分子是从2开始的连续自然数的平方，分母是从1开始的相差2的两个自然数的积，再相乘并依次约分即可； （3）拆分带分数，利用乘法分配律简便计算； （4）利用乘法分配律展开，再把同分母分数相加减即可． 【详解】（1）解：当时，， 则 ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 10．计算： 【答案】 【分析】本题考查了错位相减法求和，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据错位相减法即可计算． 【详解】解：令， 则， ∴， 即， ∴． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $