专题04因式分解易错必刷题型专项训练(18大题型共计66道题)2025-2026学年浙教版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦因式分解全章高频易错点，通过18类题型系统构建“定义辨析-方法应用-综合拓展-特殊技巧”的解题体系，强化抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念辨析|2类/5题|定义辨析法、系数匹配法|从因式分解定义出发，建立整式变形与参数求解的逻辑关联| |方法应用|8类/25题|提公因式法、公式法（平方差/完全平方）|按“提公因式→套公式”顺序递进，形成完整分解步骤链| |综合拓展|2类/6题|代数变形、简便计算|结合代数式求值与实际问题，体现因式分解的工具性价值| |特殊技巧|6类/20题|相反数变形、首项负号处理等|针对非常规结构，培养符号意识与运算能力，完善分解技能|

专题04因式分解易错必刷题型专项训练 本专题汇总因式分解全章考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.判断是否是因式分解 题型02.由因式分解的结果求参数 题型03.公因式 题型04.提公因式法分解因式 题型05.添括号 题型06.判断能否用公式法分解因式 题型07.平方差公式分解因式 题型08.完全平方公式分解因式 题型09.综合运用公式法分解因式 题型10.综合提公因式和公式法分解因式 题型11.因式分解的应用 题型12.因式分解的简便计算 题型13.相反数因式变形分解 题型14.首项负号整式分解 题型15.含分数系数因式分解 题型16.隐藏平方式分解 题型17.分解后代数式求值 题型18.新定义运算 易错必刷题型01.判断是否是因式分解 典题特征：考查因式分解定义辨析，题干给出整式变形等式，判定变形是否合规 易错点：①混淆因式分解与整式乘法变形形式 ②未区分等式左右运算结构判定失误 1．下列由左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 易错必刷题型02.由因式分解的结果求参数 典题特征：已知多项式因式分解式，通过对应项系数相等，求解未知字母数值 易错点：①对应项系数匹配错位 ②符号正负对应错误 ③常数项计算遗漏 4．若多项式可分解为，则的值为（   ） A． B．1 C．7 D． 5．已知整式（m是常数）可以分解为两个一次因式的积，其中一个因式是，则另一个因式是_____． 6．若关于x，y的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，则m的值为__________． 7．仔细阅读下面例题，并解答问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则，解得：．另一个因式为． (1)若二次三项式可分解为，则 ； (2)若二次三项式可分解为，求b，k的值； (3)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 易错必刷题型03.公因式 典题特征：从系数、相同字母、字母最低次数三个维度，提取多项式公共因式 易错点：①系数最大公因数求取错误 ②字母次数选取标准混淆 ③忽略负系数公因式 8．多项式中各项的公因式是（   ） A． B． C． D． 9．多项式2x2－12xy2+8xy3的公因式是_____________． 10．与的公因式是（   ） A． B． C． D．不存在 11．写出下列多项式各项的公因式： (1)； (2)． 易错必刷题型04.提公因式法分解因式 典题特征：单一使用提公因式法，对基础多项式进行因式拆分 易错点：①公因式提取后括号内常数项漏写1 ②首项为负未统一提取负号 ③公因式提取不完全 12．若，则的值为（    ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 13．已知可因式分解为（其中，，均为整数），则________． 14．已知，，则的值为_________ 15．因式分解： (1)； (2)． 易错必刷题型05.添括号 典题特征：依据添括号符号法则，对多项式进行结构改写，服务后续分解 易错点：①括号前为负号，括号内各项未统一变号 ②多层括号符号变换混乱 16．将代数式添括号后，正确的是（   ） A． B． C． D． 17．若，则的值为____． 18．已知代数式x+2y的值是3，则1-2x-4y的值是（　　） A．-2 B．-4 C．-5 D．-6 19．化简： (1)； (2)． 易错必刷题型06.判断能否用公式法分解因式 典题特征：依据式子结构特征，判定适配平方差或完全平方公式 易错点：①公式结构特征记忆模糊 ②非标准平方结构强行套用公式 20．下列多项式中，能用公式法分解因式的是（    ） A． B． C． D． 21．下列不能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 22．下列各多项式中：①，②，③，④，能直接运用公式法分解因式的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 易错必刷题型07.平方差公式分解因式 典题特征：针对两整式平方作差形式，单独运用平方差公式分解 易错点：①平方项底数识别错误 ②分解后未二次检查彻底性 ③运算符号书写错误 23．如果 ，那么的值为（     ） A． B． C．4 D．2 24．分解因式：______． 25．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么这个正整数就称为“智慧数”，例如：，5就是一个“智慧数”．下列各数不是“智慧数”的是（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 26．因式分解： (1)； (2)． 易错必刷题型08.完全平方公式分解因式 典题特征：符合首平方、尾平方、中间二倍乘积结构，单用完全平方公式分解 易错点：①遗漏中间项二倍系数 ②和完全平方式与差完全平方式混淆 ③首尾项判定颠倒 27．下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 28．已知，，，则代数式的值为______． 29．已知满足，，则的值为（   ） A．4 B．1 C．0 D．-8 30．分解因式： (1)__________． (2)__________． (3)____________． (4)____________． (5)______________． 易错必刷题型09.综合运用公式法分解因式 典题特征：同一道题依次搭配平方差、完全平方两类公式分步分解 易错点：①公式使用顺序安排错误 ②连续分解过程符号持续出错 ③最终化简不完整 31．下列因式分解正确的是（    ） A．x2﹣9＝（x﹣3）2 B．x2﹣2x﹣1＝x（x﹣2）﹣1 C．4y2﹣8y＋4＝（2y﹣2）2 D．x（x﹣2）﹣（2﹣x）＝（x﹣2）（x＋1） 32．若a+b=2，ab=3，则代数式a3b+2a²b²+ab3的值为________． 33．因式分解： (1)； (2)； (3)． 易错必刷题型10.综合提公因式和公式法分解因式 典题特征：遵循先提公因式、再套用公式的固定顺序进行因式分解 易错点：①跳过提公因式直接套用公式 ②公因式提取不干净再运算 ③解题步骤顺序颠倒 34．把多项式分解因式，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 35．因式分解：______． 36．小明是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：国、爱、我、中、丽、美，现将彻底因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．我爱美 B．中国美 C．我爱中国 D．中国美丽 37．因式分解 (1) (2) (3) (4)； 易错必刷题型11.因式分解的应用 典题特征：借助因式分解变形，求解代数式、数值判定等实际题型 易错点：①不会整体替换已知代数式 ②分解运算步骤出错 ③题意条件结合不当 38．已知，则整式应该是（    ） A． B． C． D． 39．如图所示，大长方形是由若干个长、宽分别为a，b的小长方形，边长为a的正方形，边长为b的正方形拼成的，由此可进行因式分解：_______． 40．如图，将一张长方形纸片按如图所示分割成6块，其中有两块是边长为的正方形，一块是边长为的正方形． (1)观察图形，代数式可因式分解为________． (2)图中阴影部分面积之和记作，非阴影部分面积之和记作，若，求的值． 易错必刷题型12.因式分解的简便计算 典题特征：将大数算式构造为因式结构，简化复杂数值运算 易错点：①不会拆分数字构造公式模型 ②运算过程符号计算失误 ③最终结果核算错误 41．计算 等于（ ） A． B． C． D． 42．计算：_______． 43．利用因式分解简便计算： (1)； (2)． 易错必刷题型13.相反数因式变形分解 典题特征：对互为相反数的因式做符号转换，统一结构后再分解 易错点：①相反数因式符号转换规则误用 ②无法统一同类因式结构 ③变形后分解出错 44．分解因式：____________． 45．分解因式：=___________ 46．分解因式：． 易错必刷题型14.首项负号整式分解 典题特征：统一多项式首项正负符号，标准化式子结构再分解 易错点：①提取负因式后内部各项变号不全 ②首项符号规整格式不规范 ③符号干扰后续分解 47．因式分解：________． 48．分解因式后结果是的多项式是（　　） A． B． C． D． 49．因式分解：________． 50．分解因式： (1)； (2)． 易错必刷题型15.含分数系数因式分解 典题特征：多项式带有分数系数，先化整系数再开展因式分解 易错点：①系数通分化整计算错误 ②整体公因式选取偏差 ③分数处理后分解不彻底 51．因式分解：_________． 52．分解因式：______． 53．将因式分解，正确的是（   ） A． B． C． D． 54．（1）计算：     （2）因式分解： 易错必刷题型16.隐藏平方式分解 典题特征：原式无直观平方结构，需添项拆项构造平方形式再分解 易错点：①无法识别题干隐藏平方关系 ②构造平方时增减项数值错误 ③变形后公式套用错误 55．因式分解__________． 56．分解因式：______． 57．分解因式：__________． 58．若实数、、满足，则下列式子一定成立的是（    ） A． B． C． D． E． 易错必刷题型17.分解后代数式求值 典题特征：先因式分解化简整式，再代入对应数值计算结果 易错点：①因式分解化简步骤出错 ②数值代入对应位置错误 ③基础四则运算计算失误 59．已知，则的值是____________． 60．已知，则______． 61．若，则的值为（   ） A．8 B．10 C．16 D．20 62．已知，求的值． 易错必刷题型18.新定义运算 典题特征：按照题干自定义运算法则，结合因式分解知识解题 易错点：①误解全新运算定义规则 ②固守旧解题思路生硬套用 ③定义转化式子结构错误 63．设、是有理数，定义一种新运算：，下面有四个推断： ①；②；③；④． 其中正确推断的序号是__________． 64．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，当，时，，8是一个智慧优数，若将智慧优数从小到大排列，第2024个智慧优数是__________． 65．定义：如果一个多项式能写成两个一次多项式相乘的形式，我们就称这个多项式为“双一次可分解式”．例如，多项式，它是“双一次可分解式”；而不能写成两个一次多项式相乘的形式，所以它不是“双一次可分解式”． 问题： (1)判断多项式是否为“双一次可分解式”，并说明理由． (2)判断多项式是否为“双一次可分解式”并说明理由． (3)已知多项式是“双一次可分解式”，且其中一个一次因式为，求的值． 66．我们定义两种运算“”和“”，对于任意两个数，，有，． (1)因式分解：________； (2)若，求的值； (3)若，求，之间满足的数量关系． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04因式分解易错必刷题型专项训练 本专题汇总因式分解全章考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.判断是否是因式分解 题型02.由因式分解的结果求参数 题型03.公因式 题型04.提公因式法分解因式 题型05.添括号 题型06.判断能否用公式法分解因式 题型07.平方差公式分解因式 题型08.完全平方公式分解因式 题型09.综合运用公式法分解因式 题型10.综合提公因式和公式法分解因式 题型11.因式分解的应用 题型12.因式分解的简便计算 题型13.相反数因式变形分解 题型14.首项负号整式分解 题型15.含分数系数因式分解 题型16.隐藏平方式分解 题型17.分解后代数式求值 题型18.新定义运算 易错必刷题型01.判断是否是因式分解 典题特征：考查因式分解定义辨析，题干给出整式变形等式，判定变形是否合规 易错点：①混淆因式分解与整式乘法变形形式 ②未区分等式左右运算结构判定失误 1．下列由左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因式分解是将一个多项式化为几个整式的乘积的变形，根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解： A、左边是整式的乘积，右边是多项式，属于整式乘法，不是因式分解，故此选项错误； B、右侧出现分式，不是整式乘积的形式，不符合因式分解要求，故此选项错误； C、左侧是单项式，且等式左右两边不相等，不符合因式分解定义，故此选项错误； D、左侧是多项式，右侧是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，故此选项正确． 2．下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对于选项A：是整式的乘法运算，右边是多项式和的形式，不是乘积，不属于因式分解； 对于选项B：，右边不是整式的积的形式，不属于因式分解； 对于选项C：，将多项式化为两个整式的积的形式，符合因式分解的定义； 对于选项D：，右边不是整式的积的形式，不属于因式分解． 3．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了判断是否是因式分解等知识点，解题关键是掌握因式分解的概念． 根据因式分解的定义，判断等式是否将多项式化为整式的积的形式． 【详解】解：中从左到右是整式乘法， 所以从左到右的变形不是因式分解， 故A不符合； 中，是将多项式化为积的形式， 所以从左到右的变形是因式分解， 故B符合； 中右边不是整式，不是整式的积， 所以从左到右的变形不是因式分解， 故C不符合； 中从左到右是整式乘法， 所以从左到右的变形不是因式分解， 故D不符合． 故选：B． 易错必刷题型02.由因式分解的结果求参数 典题特征：已知多项式因式分解式，通过对应项系数相等，求解未知字母数值 易错点：①对应项系数匹配错位 ②符号正负对应错误 ③常数项计算遗漏 4．若多项式可分解为，则的值为（   ） A． B．1 C．7 D． 【答案】B 【分析】将分解后的因式展开，对比原多项式对应项的系数，即可求出的值． 【详解】解： ∵ 多项式可分解为 ∴将展开结果与对比，对应项系数相等，可得． 5．已知整式（m是常数）可以分解为两个一次因式的积，其中一个因式是，则另一个因式是_____． 【答案】/ 【分析】本题考查了因式分解的意义，设另一个因式为一次式，通过比较系数求解． 【详解】解：设另一个因式为，则． ∴． ∴对于常数项，，解得； 对于一次项系数，，代入得，解得． ∴另一个因式为． 故答案为：． 6．若关于x，y的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，则m的值为__________． 【答案】或 【分析】本题考查了因式分解的意义，可根据已知条件设出这两个一次因式分别是与，相乘后根据多形式相等可求出、的值，从而得到答案． 【详解】解：设， ， ， 解得，或 或． 故答案为：或． 7．仔细阅读下面例题，并解答问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则，解得：．另一个因式为． (1)若二次三项式可分解为，则 ； (2)若二次三项式可分解为，求b，k的值； (3)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 【答案】(1)4 (2)， (3)另一个因式是，的值为 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式、因式分解，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题关键． （1）根据多项式乘多项式法则计算，由此可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得； （2）根据多项式乘多项式法则计算，再与进行比较即可得； （3）设另一个因式为，根据多项式乘多项式法则计算，由此即可得． 【详解】（1）解：由题意得：， 所以， 所以， 解得， 故答案为：4． （2）解：由题意得：， 所以， 所以， 所以，； （3）解：设另一个因式为， 则， 所以， 所以，， 解得，， 所以另一个因式是，的值为． 易错必刷题型03.公因式 典题特征：从系数、相同字母、字母最低次数三个维度，提取多项式公共因式 易错点：①系数最大公因数求取错误 ②字母次数选取标准混淆 ③忽略负系数公因式 8．多项式中各项的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按照确定公因式的方法，先求各项系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，将两者相乘即可得到公因式． 【详解】解：∵多项式的两项为和， ①系数部分，5和10的最大公约数是5， ②字母部分，两项都含字母和，的最低次幂是，的最低次幂是， ∴公因式为． 9．多项式2x2－12xy2+8xy3的公因式是_____________． 【答案】2x 【分析】按照公因式的提取方法提取公因式即可． 【详解】解： 多项式的公因式为2x． 故答案为：2x． 【点睛】此题考查了多项式的公因式，解题的关键是记住提取公因式方法，方法如下：方法如下：公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的． 10．与的公因式是（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【详解】解： 第一个多项式为 ∴ 两个多项式都含有的公因式为. 11．写出下列多项式各项的公因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】找多项式各项的公因式，需分别确定系数的最大公约数与各项都含有的相同字母的最低次幂，再将二者相乘即可． 【详解】（1）解：对于多项式，系数3、、6的最大公约数是3，各项都含有的相同字母为，且的最低次幂是1， ∴各项的公因式为． （2）解：对于多项式，系数4、的最大公约数是2，各项都含有的相同字母为、，的最低次幂是1，的最低次幂是2， ∴各项的公因式为． 易错必刷题型04.提公因式法分解因式 典题特征：单一使用提公因式法，对基础多项式进行因式拆分 易错点：①公因式提取后括号内常数项漏写1 ②首项为负未统一提取负号 ③公因式提取不完全 12．若，则的值为（    ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 【答案】A 【分析】根据题意可得，把所求式子变形为，再代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 13．已知可因式分解为（其中，，均为整数），则________． 【答案】 【详解】解：原式， ，，， ∴． 14．已知，，则的值为_________ 【答案】34 【分析】本题考查了利用完全平方公式化简求值，以及提取公因式的方法，将，这两式两边平方后再相加，经过提取公因式，左边可得，由此即可求值． 【详解】解：， ①两边平方，得， 即， ②两边平方，得， 即， 得，， ∴， ∴， 故答案为：34． 15．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依据题意，运用提公因式法即可分解因式得解； （2）依据题意，根据提公因式法进行分解可以得解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 易错必刷题型05.添括号 典题特征：依据添括号符号法则，对多项式进行结构改写，服务后续分解 易错点：①括号前为负号，括号内各项未统一变号 ②多层括号符号变换混乱 16．将代数式添括号后，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查添括号法则．解题的关键是准确应用添括号的符号法则．检查每个选项，去掉括号后，看结果是否等于原式，进而求解即可． 【详解】解：∵， A．，与原式不符； B．，与原式一致； C．，与原式不符； D．，与原式不符． 故选：B． 17．若，则的值为____． 【答案】 【分析】将所求代数式变形为含有的式子，利用整体代入的思想方法求解即可． 【详解】解：， ． 18．已知代数式x+2y的值是3，则1-2x-4y的值是（　　） A．-2 B．-4 C．-5 D．-6 【答案】C 【分析】先得到等式x+2y=3，后运用添括号法则变形被求式，代入计算即可． 【详解】∵x+2y=3， ∴2x+4y=6， ∴1-2x-4y=1-（2x+4y） =1-6 = -5， 故选C． 【点睛】本题考查了代数式的值，添括号，灵活运用添括号进行等式变形是解题的关键． 19．化简： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）直接合并同类项即可解答； （2）先去括号，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了整式的加减运算，掌握合并同类项、去括号、添括号是解答本题的关键． 易错必刷题型06.判断能否用公式法分解因式 典题特征：依据式子结构特征，判定适配平方差或完全平方公式 易错点：①公式结构特征记忆模糊 ②非标准平方结构强行套用公式 20．下列多项式中，能用公式法分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式因式，熟知分解因式的方法是解题的关键，公式法为． 【详解】解：A． ：可提取公因式得，属于提公因式法，非公式法，不符合题意． B． ：平方和无法在实数范围内用公式法分解，不符合题意． C． ：可利用平方差公式分解为，符合题意． D． ：可提取公因式得，同样属于提公因式法，非公式法，不符合题意． 故选：C． 21．下列不能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】平方差公式分解因式要求多项式可化为两个平方项作差，即形如，据此判断各选项即可． 【详解】解：A、，两项符号相同，无法写成两个平方项作差的形式，因此不能用平方差公式分解因式，符合题意； B、符合的形式，可以用平方差公式分解因式，不符合题意； C、，符合的形式，可以用平方差公式分解因式，不符合题意； D、 ，符合的形式，可以用平方差公式分解因式，不符合题意． 22．下列各多项式中：①，②，③，④，能直接运用公式法分解因式的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据平方差公式和完全平方公式的结构特征，逐个判断多项式是否符合即可得到结果． 【详解】解：①，不是完全平方项，不符合平方差公式结构，不能直接用公式法分解； ②，不符合两个公式的结构，不能直接用公式法分解； ③，不符合两个公式的结构，只能提取公因式，不能直接用公式法分解； ④，符合完全平方公式结构，能直接用公式法分解为； ∴能直接运用公式法分解因式的多项式共1个． 易错必刷题型07.平方差公式分解因式 典题特征：针对两整式平方作差形式，单独运用平方差公式分解 易错点：①平方项底数识别错误 ②分解后未二次检查彻底性 ③运算符号书写错误 23．如果 ，那么的值为（     ） A． B． C．4 D．2 【答案】C 【分析】利用平方差公式解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 24．分解因式：______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，利用完全平方公式和平方差公式因式分解即可，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：原式， 故答案为：． 25．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么这个正整数就称为“智慧数”，例如：，5就是一个“智慧数”．下列各数不是“智慧数”的是（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】D 【分析】根据“智慧数”的定义，若正整数是智慧数，则存在正整数，使得．利用平方差公式分解得 ，因此可以通过验证每个选项能否写成两个正整数的平方差来判断． 【详解】解：A、，符合智慧数定义，不符合题意； B、，符合智慧数定义，不符合题意； C、，符合智慧数定义，不符合题意； D、假设，其中为正整数，则与的奇偶性必须相同，18的正因数对有，这三对数均为一奇一偶，不满足同奇同偶的要求，故18不是智慧数，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用与正整数的因数分解，解题关键是利用平方差公式将“智慧数”转化为两个因数的乘积，通过分析因数的奇偶性和整数解来判断是否为智慧数． 26．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提取公因式，然后再用完全平方公式即可； （2）将原式转化为，然后利用平方差公式进行因式分解，注意检查每个小括号，是否有公因式存在． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 易错必刷题型08.完全平方公式分解因式 典题特征：符合首平方、尾平方、中间二倍乘积结构，单用完全平方公式分解 易错点：①遗漏中间项二倍系数 ②和完全平方式与差完全平方式混淆 ③首尾项判定颠倒 27．下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平方差公式和完全平方公式，对比等式左右两边即可判断． 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，该选项符合题意． 28．已知，，，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式因式分解．先求出的值，再利用恒等式进行计算． 【详解】解：已知， 则， ， ， 根据恒等式，将上述值代入可得： ． 故答案为：． 29．已知满足，，则的值为（   ） A．4 B．1 C．0 D．-8 【答案】C 【分析】根据题目条件可用x来表示z，并代入代数式中，运用公式法因式分解可得，再根据平方数的非负性可分别求出x，z的值，最后运算即可． 【详解】解：，， 又， ， ，， ， ， ， 代入得，=0． 故选：C． 【点睛】本题考查了运用公式法进行因式分解，平方数的非负性，熟练掌握运用公式法因式分解是解决本题的关键． 30．分解因式： (1)__________． (2)__________． (3)____________． (4)____________． (5)______________． 【答案】 ． 【分析】（1）观察式子符合完全平方公式的形式； （2）式子符合完全平方公式的形式； （3）式子符合完全平方公式的形式； （4）先将和看作平方项，用完全平方公式，再用平方差公式继续分解； （5）先将看作平方项，用平方差公式，再对每个因式用完全平方公式继续分解． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式 ． （5）解：原式 ． 故答案为：①②③④ ⑤． 【点睛】本题考查了完全平方公式和平方差公式的因式分解，解题关键是熟练识别公式的形式，并在能继续分解时分解彻底． 易错必刷题型09.综合运用公式法分解因式 典题特征：同一道题依次搭配平方差、完全平方两类公式分步分解 易错点：①公式使用顺序安排错误 ②连续分解过程符号持续出错 ③最终化简不完整 31．下列因式分解正确的是（    ） A．x2﹣9＝（x﹣3）2 B．x2﹣2x﹣1＝x（x﹣2）﹣1 C．4y2﹣8y＋4＝（2y﹣2）2 D．x（x﹣2）﹣（2﹣x）＝（x﹣2）（x＋1） 【答案】D 【分析】各式分解得到结果，即可作出判断． 【详解】解：A、原式＝（x＋3）（x﹣3），错误； B、原式不能分解，错误； C、原式＝4（y2﹣2y＋1）＝4（y﹣1）2，错误； D、原式＝x（x﹣2）＋（x﹣2）＝（x﹣2）（x＋1），正确． 故选：D． 【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 32．若a+b=2，ab=3，则代数式a3b+2a²b²+ab3的值为________． 【答案】12 【分析】首先提公因式ab，再利用完全平方公式进行分解，分解后再代入a+b＝2，ab＝3求值即可． 【详解】解：a3b+2a²b²+ab3 =ab（a²+2ab+b²） =ab（a+b）² a+b=2，ab=3 ∴原式=ab（a+b）2 =3×22 =3×4 =12 故答案为：12． 【点睛】此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． 33．因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平方差公式解答即可； （2）先提出公因式，再利用完全平方公式解答即可； （3）利用平方差公式和完全平方公式解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 易错必刷题型10.综合提公因式和公式法分解因式 典题特征：遵循先提公因式、再套用公式的固定顺序进行因式分解 易错点：①跳过提公因式直接套用公式 ②公因式提取不干净再运算 ③解题步骤顺序颠倒 34．把多项式分解因式，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先运用提公因式法，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】解： 35．因式分解：______． 【答案】 【分析】先将原式变形，提取公因式，再利用平方差公式进行二次因式分解即可得到结果． 【详解】解： 36．小明是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：国、爱、我、中、丽、美，现将彻底因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．我爱美 B．中国美 C．我爱中国 D．中国美丽 【答案】C 【分析】先提取公因式，再利用平方差因式分解，然后结合已知密码手册即可得解． 【详解】解：原式 ， 由题可知，对应“我”，对应“爱”，对应“中”，对应“国”， 则结果呈现的密码信息可能是“我爱中国”． 37．因式分解 (1) (2) (3) (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）． 易错必刷题型11.因式分解的应用 典题特征：借助因式分解变形，求解代数式、数值判定等实际题型 易错点：①不会整体替换已知代数式 ②分解运算步骤出错 ③题意条件结合不当 38．已知，则整式应该是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】已知两个整式的乘积和其中一个因式，求另一个因式，可通过提取公因式分解因式得到结果. 【详解】解：∵ ∴. 39．如图所示，大长方形是由若干个长、宽分别为a，b的小长方形，边长为a的正方形，边长为b的正方形拼成的，由此可进行因式分解：_______． 【答案】 【分析】根据图形可知，大长方形的面积等于各个小长方形和正方形面积之和，同时也等于大长方形的长乘以宽，利用面积相等建立等式即可求解． 【详解】解：由图可知，大长方形的面积可以表示为， 又大长方形的长为，宽为， 根据长方形的面积公式可得，大长方形的面积还可表示为， 所以． 40．如图，将一张长方形纸片按如图所示分割成6块，其中有两块是边长为的正方形，一块是边长为的正方形． (1)观察图形，代数式可因式分解为________． (2)图中阴影部分面积之和记作，非阴影部分面积之和记作，若，求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据题意可得长方形纸片的面积为，或者表示为，即可求解； （2）观察图形得到，，根据得到，再代入，即可求解． 【详解】（1）解：观察图形得：长方形纸片分为2块是边长为的正方形，1块是边长为的正方形，3块是长为y，宽为的长方形， ∴长方形纸片的面积为， ∵长方形纸片的长为，宽为， ∴长方形纸片的面积为， ∴， 即代数式可因式分解为； （2）解：根据题意得：，； ∵， ∴， 整理得：， ∴， ∴，即， ∴． 易错必刷题型12.因式分解的简便计算 典题特征：将大数算式构造为因式结构，简化复杂数值运算 易错点：①不会拆分数字构造公式模型 ②运算过程符号计算失误 ③最终结果核算错误 41．计算 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是提取公因式． 直接提取公因式，进而得出答案． 【详解】解： ． 故选：A． 42．计算：_______． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解后，计算即可． 【详解】解：原式 ； 故答案为：． 43．利用因式分解简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用因式分解简便计算，即可求解； （2）利用因式分解简便计算，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 【点睛】本题考查了利用因式分解简便计算，熟练掌握和运用利用因式分解简便计算是解决本题的关键． 易错必刷题型13.相反数因式变形分解 典题特征：对互为相反数的因式做符号转换，统一结构后再分解 易错点：①相反数因式符号转换规则误用 ②无法统一同类因式结构 ③变形后分解出错 44．分解因式：____________． 【答案】 【分析】先将原式变形得到相同公因式，提取公因式后利用平方差公式继续分解，即可得到结果． 【详解】解： ． 45．分解因式：=___________ 【答案】 【分析】先对原式中互为相反数的因式变形，提取相同公因式，再用提公因式法完成因式分解． 【详解】解：． 46．分解因式：． 【答案】 【分析】先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可． 【详解】解：原式 ． 易错必刷题型14.首项负号整式分解 典题特征：统一多项式首项正负符号，标准化式子结构再分解 易错点：①提取负因式后内部各项变号不全 ②首项符号规整格式不规范 ③符号干扰后续分解 47．因式分解：________． 【答案】 【分析】根据提公因式法的运算法则求解即可． 【详解】解：． 48．分解因式后结果是的多项式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解和完全平方公式的应用，解题的关键是掌握完全平方公式的结构特征，并能正确提取负号．将各选项逐一因式分解，与进行比对，判断是否符合题意． 【详解】解：A、，此选项符合题意； B、，无法分解为，此选项不符合题意； C、，此选项不符合题意； D、，此选项不符合题意． 故选：A． 49．因式分解：________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解．提公因式后利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 50．分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 易错必刷题型15.含分数系数因式分解 典题特征：多项式带有分数系数，先化整系数再开展因式分解 易错点：①系数通分化整计算错误 ②整体公因式选取偏差 ③分数处理后分解不彻底 51．因式分解：_________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式进行二次分解即可； 【详解】解：原式． 52．分解因式：______． 【答案】 【分析】先提取公因式，再多次运用平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 53．将因式分解，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了计算多项式乘多项式，完全平方公式分解因式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 展开原式并合并常数项，化为完全平方形式，再分解因式． 【详解】解：原式 ， 故选：D． 54．（1）计算：     （2）因式分解： 【答案】（1）； （2） 【分析】本题考查的是实数的混合运算，因式分解． （1）先求解立方根，乘方，算术平方根，再合并即可． （2）先计算乘法运算，合并同类项，最后利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：（1）    ． （2） ． 易错必刷题型16.隐藏平方式分解 典题特征：原式无直观平方结构，需添项拆项构造平方形式再分解 易错点：①无法识别题干隐藏平方关系 ②构造平方时增减项数值错误 ③变形后公式套用错误 55．因式分解__________． 【答案】 【分析】本题考查了公式法进行因式分解，先展开乘积，再合并常数项，最后应用完全平方公式进行因式分解． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 56．分解因式：______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．先将原式变形为，利用多项式乘以多项式的运算法则计算得到原式为，将看作整体，利用多项式乘以多项式的运算法则计算得到，然后根据完全平方公式分解即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 57．分解因式：__________． 【答案】/ 【分析】本题考查了综合提公因式法和公式法进行因式分解．熟练掌握综合提公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键． 根据综合提公因式法和公式法进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 58．若实数、、满足，则下列式子一定成立的是（    ） A． B． C． D． E． 【答案】D 【分析】本题主要考查的知识点为完全平方公式的应用以及因式分解．首先，利用完全平方公式和多项式乘法法则，将已知等式展开并化简．然后，通过观察式子的结构，对化简后的式子进行因式分解，得到，因为一个数的平方为时，这个数本身为，所以推导出，从而得出答案． 【详解】解： 发现， ∵， ∴，即 故选：D． 易错必刷题型17.分解后代数式求值 典题特征：先因式分解化简整式，再代入对应数值计算结果 易错点：①因式分解化简步骤出错 ②数值代入对应位置错误 ③基础四则运算计算失误 59．已知，则的值是____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，因式分解，积的乘方的逆运算，利用积的乘方的逆运算法则和完全平方公式把所求式子可变形为，据此利用整体代入法计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 60．已知，则______． 【答案】6 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握提取公因式法因式分解是解题的关键．先对所求式子进行因式分解，再将已知条件代入计算． 【详解】解： ， 把，代入得： 原式 ， 故答案为：． 61．若，则的值为（   ） A．8 B．10 C．16 D．20 【答案】B 【分析】把所求式子变形为，进一步可变形为，最后变形为，据此代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 62．已知，求的值． 【答案】 【详解】解：， ， ． 易错必刷题型18.新定义运算 典题特征：按照题干自定义运算法则，结合因式分解知识解题 易错点：①误解全新运算定义规则 ②固守旧解题思路生硬套用 ③定义转化式子结构错误 63．设、是有理数，定义一种新运算：，下面有四个推断： ①；②；③；④． 其中正确推断的序号是__________． 【答案】①②/②① 【分析】本题考查因式分解，根据新定义，逐一进行计算，判断即可． 【详解】解：， ∴；故①正确； ； ∴；故②正确； ， ∴，故③错误； ∴；故④错误； 故答案为：①②． 64．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，当，时，，8是一个智慧优数，若将智慧优数从小到大排列，第2024个智慧优数是__________． 【答案】8100 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，数字类的规律探索，利用平方差公式求出，据此得到是从8开始且能被4整除的正整数，再把代入中，计算出对应的结果即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵m、n都是正整数， ∴是大于等于2的正整数， ∴是从8开始且能被4整除的正整数， ∴第2024个智慧优数是， 故答案为：． 65．定义：如果一个多项式能写成两个一次多项式相乘的形式，我们就称这个多项式为“双一次可分解式”．例如，多项式，它是“双一次可分解式”；而不能写成两个一次多项式相乘的形式，所以它不是“双一次可分解式”． 问题： (1)判断多项式是否为“双一次可分解式”，并说明理由． (2)判断多项式是否为“双一次可分解式”并说明理由． (3)已知多项式是“双一次可分解式”，且其中一个一次因式为，求的值． 【答案】(1)是“双一次可分解式”，理由见解析 (2)是“双一次可分解式”，理由见解析 (3) 【分析】本题考查多项式的因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）把用完全平方公式进行因式分解即可； （2）把多项式变形为，提公因式即可； （3）根据常数项，设另一个因式为，则，解得． 【详解】（1）， 是“双一次可分解式”； （2）， 是“双一次可分解式”； （3）根据常数项，设另一个因式为，则， ，， 解得：， 则． 66．我们定义两种运算“”和“”，对于任意两个数，，有，． (1)因式分解：________； (2)若，求的值； (3)若，求，之间满足的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了新定义运算，因式分解，分式的化简求值，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）仿照题干计算即可； （2）仿照题干计算得到，则，则因式分解为，得到，再代入进行分式的求值； （3）先由新定义计算得到，化简因式分解可得，则即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：∵ ∴， 即 ∴ （3）解：∵， ， 解得或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $