5.3 转化 表达［同步精编培优讲义］导图+知识梳理+9个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共52题-2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步培优精讲练

该初中数学中考复习讲义聚焦“空间图形转化与表达”核心考点，涵盖正方体展开图识别、几何体表面积与体积计算、三视图等中考高频内容。以“知识梳理-题型讲练-真题演练-分层训练”为教学主线，通过11种正方体展开图分类、9大题型典例与变式讲解，帮助学生构建从平面到立体的思维体系，突破空间想象难点。 亮点在于将核心素养融入复习设计，如“正方体相对面推理”题型培养推理意识，“展开图补面”训练空间观念，结合中考真题演练和“基础夯实+培优拔高”分层练习。特设5分钟题型微测和错题归因指导，确保学生高效掌握转化方法，教师可据此精准把控复习节奏，提升学生中考空间图形题的解题能力。

5.3 转化 表达［同步精编培优讲义］ （知识梳理+9个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共52题） 【2026-2027学年苏科版数学新教材•七年级上册（原卷版）】 思维导图 2 知识梳理 2 知识点梳理01：正方体的平面展开图 2 知识点梳理02：常见空间几何体的平面展开图 3 题型讲练 3 题型一 几何体展开图的认识 3 题型二 由展开图计算几何体的表面积 4 题型三 由展开图计算几何体的体积 5 题型四 正方体几种展开图的识别 6 题型五 正方体相对两面上的字 7 题型六 含图案的正方体的展开图 8 题型七 求展开图上两点折叠后的距离 8 题型八 补一个面使图形围成正方体 9 题型九 从不同方向看几何体 10 中考真题演练 11 难度分层训练 13 【基础夯实】 13 【培优拔高】 15 知识点梳理01：正方体的平面展开图 1.平面展开图：有些空间几何体是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形.这样的平面图形称为相应空间几何体的平面展开图. 2.正方体是特殊的棱柱,它的六个面都是大小相同的正方形,将一个正方体的表面沿某些棱剪开,可以得到11种不同的展开图，如下表. 知识点梳理02：常见空间几何体的平面展开图 题型一 几何体展开图的认识 【典例精讲】（26-27七年级上·全国·课后作业）下列图形分别是哪种几何体表面的展开图?先想一想，再折一折． 【变式训练1】（26-27七年级上·全国·课后作业）下列图形是某些多面体的表面展开图，请说出这些多面体的名称， (1) (2) 【变式训练2】（26-27七年级上·全国·课后作业）如图是正方体的表面展开图，如果a在后面，b在下面，c在左面，试说明其他各面的位置． 题型二 由展开图计算几何体的表面积 【典例精讲】（26-27七年级上·河北唐山·开学考试）如图，一个正方体展开图的6个面上分别写着“唐”“诗”“里”“的”“中”“国”．与“唐”相对面上的字是“( )”．如果这个正方体的棱长是，那么这个正方体的表面积是( )． 【变式训练1】（24-25七年级上·江苏苏州·阶段检测）某种茶叶的包装盒为长方体，它的长、宽、高分别为，，，为了生产这种包装盒，需要先画出展开图纸样． (1)如图是给出的四种纸样①，②，③，④，其中正确的有________； (2)从已知正确的纸样中选出一种，在原图上标注上尺寸； (3)利用你所选的一种纸样，求出包装盒的表面积． 【变式训练2】（25-26七年级上·广东广州·期末）如图是某包装盒的表面展开图，这个几何体的表面积是________平方米． 题型三 由展开图计算几何体的体积 【典例精讲】（2026·河南南阳·一模）小明想送给同桌一套迷你文具，他找到了一个长方体纸盒，其表面展开图及尺寸如图（单位：），为了确定能否装下这套文具，需要计算盒子的容积．这个盒子的容积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．15 【变式训练1】（25-26七年级上·河北保定·期末）如图是长方体的展开图，且长方体的底面为正方形．根据图中标示的长度，则此长方体的体积为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26六年级上·山东烟台·期末）如图（1），在边长为的正方形纸片的四个角各剪去一个同样大小的正方形，折成一个如图（2）所示的无盖的长方体．设剪去的小正方形的边长为，则这样折成的无盖长方体的容积是_____． 题型四 正方体几种展开图的识别 【典例精讲】（2026·四川雅安·一模）下列图形中，能折成正方体的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26七年级上·河北·期末）如图，是一个正方体，它的展开图是下列四个展开图中的（     ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26六年级上·山东东营·期末）下列图形可以折成一个正方体的有______．（填序号） 题型五 正方体相对两面上的字 【典例精讲】（24-25七年级上·福建泉州·开学考试）将如图折成一个正方体后，“我”对面的字是( )，“喜”对面的字是( )． 【变式训练1】（24-25七年级上·四川成都·开学考试）如图是一个正方体的展开图，则该正方体上与“国”字相对的字是________． 【变式训练2】（25-26七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“的”字一面的相对面上的字是（     ） A．我 B．中 C．国 D．梦 题型六 含图案的正方体的展开图 【典例精讲】（26-27七年级上·全国·课后作业）折一折，连一连． 【变式训练1】如图，正方体纸盒的三个侧面分别印有文字“铜”、“陵”、“市”，现在沿着它的棱剪开，展开成一个平面图形，这个正方体的平面展开图可以是（     ） A． B． C． D． 【变式训练2】（2026·河北邯郸·模拟预测）“有志者，事竟成”出自《后汉书·耿弇传》，这句话的含义是有志向的人，做事终究会成功．如图是正方体的某个展开图，则这个正方体与“成”字所在面相对的面上的字为（     ） A．有 B．志 C．者 D．事 题型七 求展开图上两点折叠后的距离 【典例精讲】（23-24七年级上·河南南阳·阶段检测）如下图，一条数轴上有A，B，C三点，其中点A，B表示的数分别是，8，点C在线段上，现在以点C为折点将数轴（点C左侧的部分）向右对折，若点A的对应点落在射线上，且，则C点表示的数是_________． 【变式训练1】图①是边长为1的六个正方形组成的图形，经过折叠能围成如图②的正方体，一只蜗牛从点沿该正方体的棱爬行到点的最短距离为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式训练2】如图①是边长为2的六个小正方形组成的图形，它可以围成如图②所示的正方体，则图①中小正方形的顶点在围成的正方体上的距离是______． 题型八 补一个面使图形围成正方体 【典例精讲】（25-26七年级上·甘肃庆阳·期末）小丁帮爸爸设计了一个正方体包装盒，如图所示，由于粗心少设计了其中一个面． (1)请你在图中添加一个正方形，使该展开图折叠后成为一个封闭的正方体包装盒．（只需画出一种方法） (2)在（1）画出的设计图中，把3，5，，，，这些数分别填入六个小正方形中，使得折成的正方体包装盒每组相对面上的两个数相加的和相等．（直接在图中填上数字，一种情况即可） 【变式训练1】（2024七年级上·全国·专题练习）李明同学设计的某个产品的正方体包装盒如下图所示．由于粗心少设计了其中一个顶盖，请你把它补上，使其成为一个两面均有盖的正方体盒子． (1)共有_________种弥补方法； (2)任意画出一种成功的设计图； (3)在你帮忙在设计成功的图中，把，8，10，10，8，这些数字分别填入六个小正方形中，使得折成的正方体相对面上的两个数相等． 【变式训练2】（2025·福建厦门·三模）如图，在的正方形网格中，下列小正方形中能与阴影部分组成正方体展开图的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 题型九 从不同方向看几何体 【典例精讲】（26-27七年级上·福建泉州·开学考试）观察如图所示的立体图形，从上面看到的图形是（     ） A． B． C． D． 【变式训练1】（26-27七年级上·全国·开学考试）从上面观察如图的物体，看到的形状是（     ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26七年级上·广东揭阳·期末）如图是由一些相同的小正方体组成的几何体． (1)请在指定位置画出该几何体从正面、左面和上面看到的形状图； (2)设小正方形的边长为，求这个几何体的表面积． 【真题演练1】（2025·上海·中考真题）在如图的7个正方形中减去一个正方形，使剩下的正方形折叠后成为一个正方体，应减去的正方形的标记为（    ） A．“弘”或“扬”或“精” B．“扬”或“精”或“二” C．“弘”或“精”或“神” D．“弘”或“建”或“神” 【真题演练2】（2025·浙江杭州·中考真题）一个立体图形，从上面看到的形状是，从右面看到的形状是，搭这样一个立体图形至少需要（     ）个小正方体． A．10 B．8 C．7 D．6 【真题演练3】（2025·湖北武汉·中考真题）在学校的倡导下，同学们积极投入我市开展创造“全国文明城市”活动中，为此小萌同学特别设计了一个正方体，其展开图如图所示，则“文”在正方体中所对的字是________． 【真题演练4】（2025·江苏南京·中考真题）一个立体图形是由若干个小正方体拼成的，小军分别从前面、右面、上面观察看到的图形如下，这个立体图形是由( )个小正方体拼成的． 【真题演练5】（2025·福建三明·中考真题）在手工制作课上，老师要求学生备了刻度尺，剪刀，粘接剂等用具，以及如图1所示的长方形卡纸．该长方形卡纸的长为，宽为．制作中，先按要求设计制作方案，在图中画出制作示意图：用实线表示裁剪线、虚线表示折叠线，剪除部分用斜线标注阴影． (1)要求大家对该卡纸进行裁剪之后，是能经过折叠成为一个无盖的长方体纸盒的展开图（卡纸的4个边沿参与做成长方体开口的边沿）． ①在图1中画出制作示意图； ②裁剪线长用，，……等字母，在你的制作示意图中标注裁剪线长，并列代数式表示其体积（不必化简）； (2)要求大家对该卡纸进行裁剪之后，是能经过折叠成为一个封闭的长方体纸盒的展开图（卡纸的4个边沿都参与做成长方体纸盒的棱）． ③在图2中小明同学已画好了一条折叠线所在的虚线，请你在此基础上帮小明画完制作示意图； ④若③中裁剪出的正好是底面是正方形、高为的长方体纸盒的展开图，那么该卡纸的长与宽的数量、应满足怎么的等量关系？ 【基础夯实】 1．（25-26七年级上·陕西咸阳·开学考试）如图是正方体，各个面展开后如图所示，对应的六个面分别用字母、、、、、表示，则正方体前、后两个面，分别是展开后图中的（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．（25-26七年级上·辽宁大连·期末）如图是一个多面体的表面展开图，每个面上都标注了数字．若数字为2的面是底面，则朝上一面所标注的数字为（     ） A．5 B．4 C．3 D．6 3．（25-26七年级上·河北邯郸·开学考试）把一个长方体前、后、左、右四个面沿高展开后如图．则这个长方体的上、下两个面是两个如（    ）的图形． A． B． C． 4．（26-27七年级上·山东临沂·开学考试）用同样的小正方体搭成一个立体图形，从上面看和从前面看到的图形如图所示．那么搭成这个立体图形，最少要用( )个小正方体，最多要用( )个小正方体． 5．（25-26七年级上·陕西商洛·阶段检测）若将如图所示的平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数都互为相反数，则________． 6．（25-26七年级上·河南驻马店·开学考试）仓库里有一堆存放货物的正方体纸箱，从三个不同方向看到的形状如右图所示，这堆货物有_____箱． 7．（25-26七年级上·江苏扬州·开学考试）如图，一个正方体的平面展开图，每个面上都填有一个数，且相对两个面上的数互为倒数，那么( )，( )． 8．（26-27七年级上·全国·课后作业）根据要求完成下面问题： (1)将正方体沿图中红色的棱剪开，请画出它的展开图． (2)请你编一道类似（1）的题目．如果正方体是“无盖”的呢？ 9．（26-27七年级上·全国·课后作业）下列图形是正方体表面的展开图，将它们折叠成正方体后，与“1”“2”“3”面相对的面分别是什么？ 10．（26-27七年级上·全国·课后作业）将正方体的表面分别标上数字0、1、2、3、4、5，使任两个相对面的数字之和为5，展开后能形成下面的平面图形吗？ （1）   （2） 【培优拔高】 1．（2026·江西上饶·模拟预测）如图是一个的正方形网格，图中阴影部分为一个正方体五个面的展开图形．现需在网格内的空白小正方形中选择一个，使它与阴影部分拼接后，恰好能构成一个完整的正方体表面展开图，则符合条件的选择方法共有（    ）． A．种 B．种 C．种 D．种 2．（25-26七年级上·山东青岛·期中）一个小立方块的六个面分别涂上了六种不同的颜色，从三个不同方向看到的情形如图所示．下面说法正确的是（    ） A．白色的对面是黄色 B．黄色的对面是绿色 C．黑色的对面是白色 D．绿色的对面是蓝色 3．（2023八年级下·全国·竞赛）正八面体有八个面，都是等边三角形，在每个顶点处有四个面相交．如图所示，把左边的纸片折成了右边的正八面体．问出现在Q的右边的那个面上的数是几？ A．1 B．2 C．3 D．4 E．5 4．（25-26七年级上·陕西渭南·期末）如图是一个正方体的表面展开图，把展开图折叠成正方体后，相对面上的数互为倒数，则的值为______． 5．（25-26七年级上·辽宁本溪·期末）如图是一个正方体的表面展开图，将它折叠成一个正方体后，相对面上的两个数字互为相反数，则的值是______． 6．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上（如图①），在图②中，将骰子向右翻滚，然后在桌面上按逆时针方向旋转，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图①所示的状态，那么按上述规则连续完成20次变换后，骰子朝上一面的点数是______． 7．有同样大小的三个立方体骰子，每个骰子的展开图如图1所示，现在把三个骰子放在桌子上（如图2），凡是能看得到的点数之和最大是_______．    8．（25-26七年级上·广东佛山·期末）综合与实践 主题：探究长方体展开图棱长间的相互关系 (1)下列图形中是长方体的展开图有________（填序号）； (2)下图是某个长方体的展开图，根据图中所给各棱长之和的信息，求出长方体的体积； (3)设计一个长、宽、高分别为2、3、4的长方体的展开图方案，使得裁剪的棱长之和最短．（呈现必要的分析过程，并在展开图中标注棱长数据） 9．（25-26七年级上·山西晋城·期末）用一张长为，宽为的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒，如图为三位同学提供的方案，其中，阴影为剪去部分，虚线为折痕． (1)直接用含的代数式表示出方案中的长； (2)当，通过计算说明，哪个方案制作的长方体纸盒容积最大？ (3)若用这张长方形纸片制作一个有盖的长方体纸盒，满足高为，容积最大，在下图中画出一种满足上述条件的设计图，阴影为剪去部分，虚线为折痕，并求出长方体纸盒的容积． 10．（25-26七年级上·广东深圳·期末）在完成“设计并制作一个体积尽可能大的无盖长方体收纳盒”的任务后，兴趣小组进一步研究用长方形纸片制作符合不同需求的长方体纸盒． 【基础回顾】 （1）如图1，将一张边长为的正方形纸片的四个角各剪去一个边长为的小正方形，将剩下的纸片沿着虚线折叠成无盖的长方体纸盒． ①该纸盒的底面边长为______（用含有的代数式表示）； ②该纸盒的容积为______（用含有的代数式表示）． 【进阶研究】 用普通长方形纸片制作长方体纸盒（长方形中，，）． （2）兴趣小组继续制作无盖长方体纸盒（纸片无剩余），如图2，用把长方形纸片分成个长方形，并沿着剪开．将长方形沿着虚线折叠成纸盒的侧面，将长方形做纸盒的下底面．经观察后，兴趣小组分析，能折成纸盒的关键是：找到长方形与长方形相关线段之间的等量关系． ①他们先确定了，请你写出另一组关键的等量关系 ____________； ②求长方体纸盒的容积． （3）兴趣小组尝试制作有盖长方体纸盒（纸片无剩余），设计了如下方案： 如图3，沿将长方形剪成两部分，将长方形沿着虚线折叠成收纳盒的侧面，将长方形沿剪成两部分，分别作为收纳盒的上、下底面．该方案是否可行？______（填写“是”或“否”） 如果可行，请求长方体纸盒的容积；若不可行，请简要说明理由． （4）请你设计一个制作“有盖长方体纸盒”的方案（纸片无剩余）：请在图4中画出裁剪示意图，并求出纸盒的容积． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $null 5.3 转化 表达［同步精编培优讲义］ （知识梳理+9个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共52题） 【2026-2027学年苏科版数学新教材•七年级上册（解析版）】 思维导图 2 知识梳理 2 知识点梳理01：正方体的平面展开图 2 知识点梳理02：常见空间几何体的平面展开图 3 题型讲练 3 题型一 几何体展开图的认识 3 题型二 由展开图计算几何体的表面积 5 题型三 由展开图计算几何体的体积 6 题型四 正方体几种展开图的识别 8 题型五 正方体相对两面上的字 9 题型六 含图案的正方体的展开图 11 题型七 求展开图上两点折叠后的距离 12 题型八 补一个面使图形围成正方体 14 题型九 从不同方向看几何体 16 中考真题演练 18 难度分层训练 22 【基础夯实】 22 【培优拔高】 27 知识点梳理01：正方体的平面展开图 1.平面展开图：有些空间几何体是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形.这样的平面图形称为相应空间几何体的平面展开图. 2.正方体是特殊的棱柱,它的六个面都是大小相同的正方形,将一个正方体的表面沿某些棱剪开,可以得到11种不同的展开图，如下表. 知识点梳理02：常见空间几何体的平面展开图 题型一 几何体展开图的认识 【典例精讲】（26-27七年级上·全国·课后作业）下列图形分别是哪种几何体表面的展开图?先想一想，再折一折． 【答案】（1）是长方体表面的展开图；（2）是五棱柱表面的展开图． 【变式训练1】（26-27七年级上·全国·课后作业）下列图形是某些多面体的表面展开图，请说出这些多面体的名称， (1) (2) 【答案】(1)长方体（或四棱柱） (2)三棱柱 【分析】通过展开图各面的形状判断多面体即可． 【详解】（1）解：该展开图包含1个长方形，符合长方体展开图的特征，故该多面体是长方体，也称四棱柱． （2）解：该展开图包含2个三角形和3个长方形，符合三棱柱展开图的特征，故该多面体是三棱柱． 【变式训练2】（26-27七年级上·全国·课后作业）如图是正方体的表面展开图，如果a在后面，b在下面，c在左面，试说明其他各面的位置． 【答案】e在前面，d在上面，f在右面 【分析】由正方体各个面之间的关系可知，a与e是相对面，b与d是相对面，c与f是相对面，据此即可解答． 【详解】解：因为a在后面，b在下面，c在左面， 根据相对面的特点可知e在前面，d在上面，f在右面． 题型二 由展开图计算几何体的表面积 【典例精讲】（26-27七年级上·河北唐山·开学考试）如图，一个正方体展开图的6个面上分别写着“唐”“诗”“里”“的”“中”“国”．与“唐”相对面上的字是“( )”．如果这个正方体的棱长是，那么这个正方体的表面积是( )． 【答案】 的 【分析】根据正方体相对面的特征和正方体的表面积公式进行解答即可． 【详解】解：“唐”“诗”“里”“的”“中”“国”．与“唐”相对面上的字是“的”， 如果这个正方体的棱长是，那么这个正方体的表面积是． 【变式训练1】（24-25七年级上·江苏苏州·阶段检测）某种茶叶的包装盒为长方体，它的长、宽、高分别为，，，为了生产这种包装盒，需要先画出展开图纸样． (1)如图是给出的四种纸样①，②，③，④，其中正确的有________； (2)从已知正确的纸样中选出一种，在原图上标注上尺寸； (3)利用你所选的一种纸样，求出包装盒的表面积． 【答案】(1)①，④ (2)标注尺寸如图． (3) 【分析】（1）根据长方体的展开特点即可作出判断； （2）找到对应边，标注上尺寸即可； （3）根据长方体的侧面积，表面积的公式计算即可； 【详解】（1）解：①，④ （2）解：略 （3）解：； ； 【变式训练2】（25-26七年级上·广东广州·期末）如图是某包装盒的表面展开图，这个几何体的表面积是________平方米． 【答案】 【分析】本题主要考查了长方体的展开图，求长方体的表面积，根据展开图可得该几何体是长方体，且长、宽、高分别为3米，2米，1米，据此根据长方体的表面积公式求解即可． 【详解】解：由展开图可知，该几何体是一个长方体，且长、宽、高分别为3米，2米，1米， ∴这个几何体的表面积是平方米， 故答案为：． 题型三 由展开图计算几何体的体积 【典例精讲】（2026·河南南阳·一模）小明想送给同桌一套迷你文具，他找到了一个长方体纸盒，其表面展开图及尺寸如图（单位：），为了确定能否装下这套文具，需要计算盒子的容积．这个盒子的容积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．15 【答案】A 【详解】解：， ∴这个盒子的容积为． 【变式训练1】（25-26七年级上·河北保定·期末）如图是长方体的展开图，且长方体的底面为正方形．根据图中标示的长度，则此长方体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了长方体的展开图和长方体体积的计算，弄清展开图中的数据和长方体的长、宽、高之间的关系是解题的关键；设底面正方形的边长为，根据图示中的相关数据列出方程，求出，再根据长方体的体积求解即可． 【详解】解：设底面正方形的边长为， 由图可得， 解得， 则， ∴长方体的体积为， 故选：D． 【变式训练2】（25-26六年级上·山东烟台·期末）如图（1），在边长为的正方形纸片的四个角各剪去一个同样大小的正方形，折成一个如图（2）所示的无盖的长方体．设剪去的小正方形的边长为，则这样折成的无盖长方体的容积是_____． 【答案】400 【分析】本题主要考查了展开图折叠成几何体，由于正方形的边长为，同时在正方形纸片的四个角各剪去一个同样大小的正方形，剪去的小正方形的边长为，由此得到长方体的长、宽、高，最后利用长方体的容积公式即可求解． 【详解】解：依题意得：长方体的容积为：； 故答案为：400． 题型四 正方体几种展开图的识别 【典例精讲】（2026·四川雅安·一模）下列图形中，能折成正方体的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵A选项中出现一行个正方形，不符合正方体展开图特征， ∴不能折成正方体； ∵B选项中一行个正方形，其余个正方形均在同一侧， ∴折叠后两个面重叠，不能折成正方体； ∵C选项中含有“田”字格结构， ∴不能折成正方体； ∵D选项属于“”型，中间个连成一串，两侧各有一个且不相邻， ∴能折成正方体． 【变式训练1】（25-26七年级上·河北·期末）如图，是一个正方体，它的展开图是下列四个展开图中的（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面图形的折叠及正方体的表面展开图的特点，即可求解． 【详解】解：由原正方体的特征可知，含有4，6，8数字的三个面相交于一点，所在的平面不可能是对面， A、折叠后，含有4，6，8数字的三个面相交于一点，故选项符合题意； B、折叠后，含有4，8数字的两个面是对面，故选项不符合题意； C、折叠后，含有6，8数字的两个面是对面，故选项不符合题意； D、折叠后，含有6，8数字的两个面是对面，故选项不符合题意． 【变式训练2】（25-26六年级上·山东东营·期末）下列图形可以折成一个正方体的有______．（填序号） 【答案】（1）（3）（4） 【分析】此题考查了正方体几种展开图的识别，解题的关键是明确能组成正方体的“一，四，一”“三，三”“二，二，二”“一，三，二”的基本形态要记牢．利用正方体及其表面展开图的特点解题即可得出答案． 【详解】解：（1）（3）（4）可以折成正方体， （2）（5）折叠后有一个面重合，缺少一个底面，故不能折成正方体， 故答案为：（1）（3）（4）． 题型五 正方体相对两面上的字 【典例精讲】（24-25七年级上·福建泉州·开学考试）将如图折成一个正方体后，“我”对面的字是( )，“喜”对面的字是( )． 【答案】 数 学 【分析】根据正方体的表面展开图的规律判断即可． 【详解】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面， 根据正方体展开图的特征，相对的面之间相隔一个正方形，或者呈“Z”字两端， 面“我”与面“数”中间隔着“喜”和“欢”的拐角，符合“Z”字两端规律，故它们是相对面； 面“喜”与面“学”中间隔着“欢”和“数”的拐角，符合“Z”字两端规律，故它们是相对面． 【变式训练1】（24-25七年级上·四川成都·开学考试）如图是一个正方体的展开图，则该正方体上与“国”字相对的字是________． 【答案】运 【分析】根据正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点即可判断． 【详解】解：根据正方体的表面展开图可知：“中”与“神”是相对面，“奥”与“精”是相对面，“国”与“运”是相对面， 因此该正方体上与“国”字相对的字是“运”． 【变式训练2】（25-26七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“的”字一面的相对面上的字是（     ） A．我 B．中 C．国 D．梦 【答案】B 【分析】在正方体的表面展开图中，相对的面之间一定相隔一个正方形，由此即可得出结果． 【详解】解：由图形可得，有“的”字一面的相对面上的字是中． 题型六 含图案的正方体的展开图 【典例精讲】（26-27七年级上·全国·课后作业）折一折，连一连． 【答案】 【分析】第二个展开图，骑自行的选手与打网球的选手是面对面的，而第三个展开图的骑自行的选手与打网球的选手是背对背的，即第二个展开图对应下方中间的图，第三个展开图对应下方第一个图， 【变式训练1】如图，正方体纸盒的三个侧面分别印有文字“铜”、“陵”、“市”，现在沿着它的棱剪开，展开成一个平面图形，这个正方体的平面展开图可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 解：把四个选项的展开图折叠，能复原的是． 【变式训练2】（2026·河北邯郸·模拟预测）“有志者，事竟成”出自《后汉书·耿弇传》，这句话的含义是有志向的人，做事终究会成功．如图是正方体的某个展开图，则这个正方体与“成”字所在面相对的面上的字为（     ） A．有 B．志 C．者 D．事 【答案】B 【分析】利用正方体展开图的特点，相对的面之间一定相隔一个正方形，或者通过“Z”字形两端判断相对面． 【详解】解：“者”与“竟”相对，“有”与“事”相对，“志”与“成”相对． 题型七 求展开图上两点折叠后的距离 【典例精讲】（23-24七年级上·河南南阳·阶段检测）如下图，一条数轴上有A，B，C三点，其中点A，B表示的数分别是，8，点C在线段上，现在以点C为折点将数轴（点C左侧的部分）向右对折，若点A的对应点落在射线上，且，则C点表示的数是_________． 【答案】或 【分析】本题考查数轴上的有理数，数轴上两点之间的距离公式，一元一次方程的应用，设出点C所表示的数，根据点A、B所表示的数，可以表示出的距离，再根据，表示出，由折叠性质得，列方程求解即可． 【详解】解：设点C所表示的数为x， 点A，B表示的数分别是，8， ，B表示的数分别是8， ①当位于B点右侧时，表示的数为， 根据折叠可得：， ， 解得：， ②当位于B点左侧时，表示的数为， 根据折叠可得：， ， 解得：， 故答案为：或． 【变式训练1】图①是边长为1的六个正方形组成的图形，经过折叠能围成如图②的正方体，一只蜗牛从点沿该正方体的棱爬行到点的最短距离为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】将图①折成正方体，然后判断出、的在正方体中的位置，从而可得到之间的距离． 【详解】解：如图所示，将图①折成正方体后点、的在正方体中的位置， 蜗牛是从点沿该正方体的棱爬行到点 ， 故选：C． 【变式训练2】如图①是边长为2的六个小正方形组成的图形，它可以围成如图②所示的正方体，则图①中小正方形的顶点在围成的正方体上的距离是______． 【答案】2 【分析】将图1折成正方体，然后判断出在正方体中的位置关系，从而可得到之间的距离． 【详解】解：将图1折成正方体后点A和点B为同一条棱的两个端点，得出， 故答案为：2． 题型八 补一个面使图形围成正方体 【典例精讲】（25-26七年级上·甘肃庆阳·期末）小丁帮爸爸设计了一个正方体包装盒，如图所示，由于粗心少设计了其中一个面． (1)请你在图中添加一个正方形，使该展开图折叠后成为一个封闭的正方体包装盒．（只需画出一种方法） (2)在（1）画出的设计图中，把3，5，，，，这些数分别填入六个小正方形中，使得折成的正方体包装盒每组相对面上的两个数相加的和相等．（直接在图中填上数字，一种情况即可） 【答案】(1) 作图如下： （答案不唯一） (2) 填写如下： （答案不唯一） 【分析】本题考查正方体的展开图，熟练掌握正方体的11种展开图，是解题的关键： （1）利用1，4，1型，添加一个小正方形即可； （2）根据正方体的相对面必定相隔一个小正方形，结合题意，进行作答即可． 【详解】（1）略 （2）解：； 【变式训练1】（2024七年级上·全国·专题练习）李明同学设计的某个产品的正方体包装盒如下图所示．由于粗心少设计了其中一个顶盖，请你把它补上，使其成为一个两面均有盖的正方体盒子． (1)共有_________种弥补方法； (2)任意画出一种成功的设计图； (3)在你帮忙在设计成功的图中，把，8，10，10，8，这些数字分别填入六个小正方形中，使得折成的正方体相对面上的两个数相等． 【答案】(1)4 (2) 解：示例：如图①所示． (3) 解：示例：如图②所示（答案不唯一）． 【分析】（1）根据正方体表面展开图的特征进行解答即可； （2）根据正方体表面展开图的特征画出图形即可； （3）想象出折叠后的立方体，把数字填上即可，注意答案不唯一． 【详解】（1）解：根据正方体表面展开图的特征可知，中间四个连在一起，上面一个，下面有四个位置，所以有种弥补方法 故答案为：． 【变式训练2】（2025·福建厦门·三模）如图，在的正方形网格中，下列小正方形中能与阴影部分组成正方体展开图的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了几何体的展开图，依据正方体的展开图的结构特征进行判断，即可得出结论． 【详解】解：如图所示： 根据“141型”，②能与阴影部分组成正方体展开图， 故选：B． 题型九 从不同方向看几何体 【典例精讲】（26-27七年级上·福建泉州·开学考试）观察如图所示的立体图形，从上面看到的图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：从上面看到的图形如图所示： 【变式训练1】（26-27七年级上·全国·开学考试）从上面观察如图的物体，看到的形状是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：从上面看有2行，前边1行3个小正方形，后边1行靠左1个小正方形， 则从上面观察，看到的形状是． 【变式训练2】（25-26七年级上·广东揭阳·期末）如图是由一些相同的小正方体组成的几何体． (1)请在指定位置画出该几何体从正面、左面和上面看到的形状图； (2)设小正方形的边长为，求这个几何体的表面积． 【答案】(1) (2)这个几何体的表面积为． 【分析】（1）根据从不同方向看几何体作图即可； （2）根据表面积公式结合图形计算即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：， 这个几何体的表面积为． 【真题演练1】（2025·上海·中考真题）在如图的7个正方形中减去一个正方形，使剩下的正方形折叠后成为一个正方体，应减去的正方形的标记为（    ） A．“弘”或“扬”或“精” B．“扬”或“精”或“二” C．“弘”或“精”或“神” D．“弘”或“建”或“神” 【答案】A 【分析】本题考查了正方体的展开图的特点，正方体共有11种展开图，分为三种类型，分别是“1-4-1”、“2-3-1”、“2-2-2”、“3-3”型．解题的关键是掌握正方体展开图的特点． 根据正方体的展开图的特点解答即可． 【详解】解：题干中的图经过剪去某字后可将图变成正方体展开图的“1-4-1”型或“2-3-1”型，“1-4-1”型应剪去标记为“弘”或“扬的小正方形，“2-3-1”型应剪去标记为“精”的小正方形． 故选：A． 【真题演练2】（2025·浙江杭州·中考真题）一个立体图形，从上面看到的形状是，从右面看到的形状是，搭这样一个立体图形至少需要（     ）个小正方体． A．10 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【分析】根据从上面看到的形状得出最下面一层最少要有6个，根据从右面看到的形状可以得出第二层最少要有2个，从而得出总个数最少需要8个． 【详解】解：（个）， 即搭这样一个立体图形至少需要8个小正方体． 【真题演练3】（2025·湖北武汉·中考真题）在学校的倡导下，同学们积极投入我市开展创造“全国文明城市”活动中，为此小萌同学特别设计了一个正方体，其展开图如图所示，则“文”在正方体中所对的字是________． 【答案】城 【详解】解：根据正方体表面展开图的特点， “全”与“明”是相对面， “国”与“市”是相对面， “文”与“城”是相对面． 【真题演练4】（2025·江苏南京·中考真题）一个立体图形是由若干个小正方体拼成的，小军分别从前面、右面、上面观察看到的图形如下，这个立体图形是由( )个小正方体拼成的． 【答案】 【分析】从上面看确定底层小正方体的分布及数量，从前面看确定每一列的最大高度，从右边看确定每一行的最大高度，综合推断出每个位置的小正方体个数． 【详解】解：从上面看可知，该立体图形底层有个小正方体，分布在三行三列中， 从前面看可知，第列最高层，第列最高层，第列最高层， 第列的个位置高度均为，第列的个位置高度为， 从右边看可知，立体图形的前、中、后三行的最高层数分别为， 第列最高层，且只有第行（后）允许最高层， 第行第列位置有个小正方体， 第行（中）最高层，且该行第列高度为， 该行第列位置有个小正方体， 小正方体总数为． 【真题演练5】（2025·福建三明·中考真题）在手工制作课上，老师要求学生备了刻度尺，剪刀，粘接剂等用具，以及如图1所示的长方形卡纸．该长方形卡纸的长为，宽为．制作中，先按要求设计制作方案，在图中画出制作示意图：用实线表示裁剪线、虚线表示折叠线，剪除部分用斜线标注阴影． (1)要求大家对该卡纸进行裁剪之后，是能经过折叠成为一个无盖的长方体纸盒的展开图（卡纸的4个边沿参与做成长方体开口的边沿）． ①在图1中画出制作示意图； ②裁剪线长用，，……等字母，在你的制作示意图中标注裁剪线长，并列代数式表示其体积（不必化简）； (2)要求大家对该卡纸进行裁剪之后，是能经过折叠成为一个封闭的长方体纸盒的展开图（卡纸的4个边沿都参与做成长方体纸盒的棱）． ③在图2中小明同学已画好了一条折叠线所在的虚线，请你在此基础上帮小明画完制作示意图； ④若③中裁剪出的正好是底面是正方形、高为的长方体纸盒的展开图，那么该卡纸的长与宽的数量、应满足怎么的等量关系？ 【答案】(1) ①如图，制作示意图即为所求， ② (2) ③如图，制作示意图即为所求， ④ 【分析】本题主要考查了立方体的展开图，熟练掌握立体图形与展开图之间的对应关系是本题解题的关键． （1）①根据无盖长方体的展开图反推即可画出裁剪线和折叠线；②根据展开图求出长方体长、宽、高，即可求解体积； （2）③根据有盖长方体的展开图反推即可画出裁剪线和折叠线；④由展开图与立体图形的关系可得，长方形卡纸的长等于两倍的高加上两倍的底面长，据此列出关系式即可． 【详解】（1）解：①略 ②由①图可知，长方体的体积为； （2）解：③略 ④如图， 由题意可知，，，， ∴， 又∵底面是正方形， ∴， ∴，即， ∴长方形卡纸的长与宽的数量、应满足． 【基础夯实】 1．（25-26七年级上·陕西咸阳·开学考试）如图是正方体，各个面展开后如图所示，对应的六个面分别用字母、、、、、表示，则正方体前、后两个面，分别是展开后图中的（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】首先确定正方体的前面是，再根据的相对面是，即可确定正方体前、后两个面． 【详解】解：正方体前面的正方形中的两个黑色正方形分别位于正方形的左上角和右下角， 正方体的前面是， 由正方体的表面展开图可知的对面是， 正方体的后面是． 2．（25-26七年级上·辽宁大连·期末）如图是一个多面体的表面展开图，每个面上都标注了数字．若数字为2的面是底面，则朝上一面所标注的数字为（     ） A．5 B．4 C．3 D．6 【答案】D 【分析】本题考查长方体的展开图，寻找数字2的对立面即可找到答案． 【详解】由图可得，这是一个长方体的展开图，3的对立面是5，4的对立面是1，2的对立面是6，所以选D． 3．（25-26七年级上·河北邯郸·开学考试）把一个长方体前、后、左、右四个面沿高展开后如图．则这个长方体的上、下两个面是两个如（    ）的图形． A． B． C． 【答案】A 【分析】根据题意，判断长方体的高，长为5和3；高，宽为5和3，于是可以判定长方体的上下面的长，宽相等，都等于3，解答即可； 【详解】解：根据题意，得长方体的高，长为5和3；高，宽为5和3， 故长方体的上，下面的长，宽相等，都等于3即为； 4．（26-27七年级上·山东临沂·开学考试）用同样的小正方体搭成一个立体图形，从上面看和从前面看到的图形如图所示．那么搭成这个立体图形，最少要用( )个小正方体，最多要用( )个小正方体． 【答案】 【分析】由上面看确定底面小正方体的位置分布，由正面看确定每一列的最大高度，结合两者分析最少和最多的小正方体数量． 【详解】解：从上面看，该立体图形最底层有个小正方体，分别位于左列的前、后位置和右列的后位置， 从正面看，该立体图形左侧一列最高层数为，右侧一列最高层数为， ∵右侧一列在上面看中只有一个位置 ， ∴右侧位置的小正方体个数固定为， ∵左侧一列在上面看中有前、后两个位置，且从正面看显示最高为层， ∴左侧前、后两个位置中至少有一个位置的高度为层， 当左侧两个位置中一个高度为，另一个高度为时，小正方体数量最少，总数为个， 当左侧两个位置高度均为时，小正方体数量最多，总数为个． 5．（25-26七年级上·陕西商洛·阶段检测）若将如图所示的平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数都互为相反数，则________． 【答案】6 【分析】先找出正方体展开图各组相对的面，根据互为相反数求出、、的值，再代入代数式计算结果． 【详解】解：由题意可得，正方体展开图中，与相对，与相对，与相对， ∵相对面上的两个数互为相反数， ∴，，． ∴． 6．（25-26七年级上·河南驻马店·开学考试）仓库里有一堆存放货物的正方体纸箱，从三个不同方向看到的形状如右图所示，这堆货物有_____箱． 【答案】8 【分析】分别从前面、左面和上面观察到的形状进行分析即可． 【详解】解：从上面看，这堆纸箱分为前后2行、左右2列，第1层共有4个位置，每个位置至少有1个纸箱， 从左面看，左边（对应物体的后排）只有1层，右边（对应物体的前排）有3层， 从前面看，左列、右列的最大高度都是3层， ∴前排左列、前排右列都必须有3层， ∴前排（2个位置）：每个位置3层，共（箱）； 后排（2个位置）：每个位置1层，共（箱）， ∴总箱数（箱）． 7．（25-26七年级上·江苏扬州·开学考试）如图，一个正方体的平面展开图，每个面上都填有一个数，且相对两个面上的数互为倒数，那么( )，( )． 【答案】 【详解】解：根据题意得，． 8．（26-27七年级上·全国·课后作业）根据要求完成下面问题： (1)将正方体沿图中红色的棱剪开，请画出它的展开图． (2)请你编一道类似（1）的题目．如果正方体是“无盖”的呢？ 【答案】(1) (2)答案不唯一，合理即可． 【分析】本题是一道有关正方体的展开图的题，结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． 【详解】（1）略 （2）如图，是一个没有上底面的正方体纸盒，将该纸盒沿图中加粗的棱剪开，请画出它的展开图． 解： 9．（26-27七年级上·全国·课后作业）下列图形是正方体表面的展开图，将它们折叠成正方体后，与“1”“2”“3”面相对的面分别是什么？ 【答案】（1）1对4，2对6，3对5； （2）1对5，2对4，3对6； （3）1对6，2对4，3对5； （4）1对6，2对4，3对5． 【分析】先选定一个底面，再将其余各个面不重叠地折叠，使其形成一个正方体，此时6个数字两两相对，即可找出与“1”“2”“3”面相对的面． 【详解】（1）解：选定数字3为底面，再将各个面进行折叠，则数字1为左侧面，数字4为右侧面；数字2为背面，数字6为正面；数字5为顶面，可得到对应关系：1对4，2对6，3对5； （2）解：选定数字4为底面，再将各个面进行折叠，则数字6为左侧面，数字3为右侧面；数字5为背面，数字1为正面；数字2为顶面，可得到对应关系：1对5，2对4，3对6； （3）解：选定数字4为底面，再将各个面进行折叠，则数字3为左侧面，数字5为右侧面；数字1为背面，数字6为正面；数字2为顶面，可得到对应关系：1对6，2对4，3对5； （4）解：选定数字1为底面，再将各个面进行折叠，则数字3为左侧面，数字5为右侧面；数字2为背面，数字4为正面；数字6为顶面，可得到对应关系：1对6，2对4，3对5； 10．（26-27七年级上·全国·课后作业）将正方体的表面分别标上数字0、1、2、3、4、5，使任两个相对面的数字之和为5，展开后能形成下面的平面图形吗？ （1）   （2） 【答案】（1）（2）都能形成 【分析】根据正方体表面展开图中相对面的关系可判断作答． 【详解】解：图（1）中，，，， 图（2）中，，，， 故（1）（2）都能形成． 【培优拔高】 1．（2026·江西上饶·模拟预测）如图是一个的正方形网格，图中阴影部分为一个正方体五个面的展开图形．现需在网格内的空白小正方形中选择一个，使它与阴影部分拼接后，恰好能构成一个完整的正方体表面展开图，则符合条件的选择方法共有（    ）． A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】根据正方体展开图的常见类型，补充形成满足要求的展开图即可． 【详解】解：根据正方体展开图的常见类型：“”型，“”型， ∴可补全为正方体表面展开图的方格有如下种情况， 故选：． 2．（25-26七年级上·山东青岛·期中）一个小立方块的六个面分别涂上了六种不同的颜色，从三个不同方向看到的情形如图所示．下面说法正确的是（    ） A．白色的对面是黄色 B．黄色的对面是绿色 C．黑色的对面是白色 D．绿色的对面是蓝色 【答案】A 【分析】本题考查正方体的对面问题，掌握相关知识是解决问题的关键．先由三个图显示的邻面能够确定红色的对面是蓝色，黄色和黑色的对面分别是剩余的两个颜色，再由各个面的相对位置关系最终得出答案． 【详解】由图可知： 红色的邻面是黄、黑、绿、白， ∴红的对面是蓝， 黄色的邻面是黑、蓝、红， ∴黄的对面是绿或白， 黑色的邻面是黄、红、蓝， ∴黑的对面是绿或白， 结合三个图形中各个面的相对位置可知， 在第二个图中红色在最前面时，黑色应该在底部，而它的左侧应该是绿色， ∴白对黄，黑对绿． 故选：A． 3．（2023八年级下·全国·竞赛）正八面体有八个面，都是等边三角形，在每个顶点处有四个面相交．如图所示，把左边的纸片折成了右边的正八面体．问出现在Q的右边的那个面上的数是几？ A．1 B．2 C．3 D．4 E．5 【答案】A 【分析】本题考查了几何体的展开图，熟练掌握展开图是解题的关键．根据正八面体的展开图的折叠过程，判定解答即可． 【详解】解：根据展开图和折叠的过程，得在Q的右边的那个面上的数是1， 故选：A． 4．（25-26七年级上·陕西渭南·期末）如图是一个正方体的表面展开图，把展开图折叠成正方体后，相对面上的数互为倒数，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方体展开图相对面上的数字，求代数式的值，互为倒数， 【详解】解：将正方体展开图折叠成正方体设底面上的数为，前面的数是3，右面上的数为y，后面的数是z，左面上的数是，上面的数是x， 因为相对面上的数互为倒数， 所以， 解得， 所以． 故选：． 5．（25-26七年级上·辽宁本溪·期末）如图是一个正方体的表面展开图，将它折叠成一个正方体后，相对面上的两个数字互为相反数，则的值是______． 【答案】1 【分析】本题考查了正方体的展开图，相反数的定义，代数式求值．解题的关键是掌握正方体的展开图的相对面进行解题． 根据题意，先找出展开图的相对面，然后由相反数的定义求出，再代入进行计算即可． 【详解】解：∵正方体相对两个面上的数互为相反数， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上（如图①），在图②中，将骰子向右翻滚，然后在桌面上按逆时针方向旋转，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图①所示的状态，那么按上述规则连续完成20次变换后，骰子朝上一面的点数是______． 【答案】6 【分析】本题考查图形类规律探究，根据变换方法，确定出每3次变换为一个循环，进行求解即可． 【详解】解：如图， 由图可知，3次变换为一个循环， ∵， ∴按上述规则连续完成20次变换后，骰子朝上一面的点数是6； 故答案为：6． 7．有同样大小的三个立方体骰子，每个骰子的展开图如图1所示，现在把三个骰子放在桌子上（如图2），凡是能看得到的点数之和最大是_______．    【答案】51 【分析】观察图形可知，1和6相对、2和5相对，3和4相对；要使能看到的纸盒面上的数字之和最大，则把第一个正方体的数字1的面与第二个正方体的数字2的面相连，把数字2的面放在下面，则第一个图形露出的数字分别是3、4、5、6；第二个正方体的数字1面与第三个正方体的数字1的面相连，数字3的面放在下面，则第二个正方体露在外面的数字是4、5、6，第三个正方体露在外面的数字就是3、4、5、6，据此可得能看得到的点数之和最大值． 【详解】解：根据题意得：露在外面的数字之和最大是：， 故答案为：51． 8．（25-26七年级上·广东佛山·期末）综合与实践 主题：探究长方体展开图棱长间的相互关系 (1)下列图形中是长方体的展开图有________（填序号）； (2)下图是某个长方体的展开图，根据图中所给各棱长之和的信息，求出长方体的体积； (3)设计一个长、宽、高分别为2、3、4的长方体的展开图方案，使得裁剪的棱长之和最短．（呈现必要的分析过程，并在展开图中标注棱长数据） 【答案】(1)①②③ (2)30 (3) 如图， 【分析】本题考查了长方体的表面展开图，一元一次方程的应用，注意长方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题． （1）分析各展开图，看是否能围成长方体即可； （2）先判断出相对面上的数字，再进行计算即可； （3）为了使得裁剪的棱长之和最短最小，我们要避免剪长4的棱，尽量多剪长2的棱，据此画出图形即可． 【详解】（1）解：可能是图1所示的长方体表面展开图的有①②③， 故答案为：①②③； （2）解：由展开图得：，，， 解得，，， ∴长方体的体积； （3）解：为了使得裁剪的棱长之和最短，我们要避免剪长为4的棱，尽量多剪长2的棱， 需要剪开的7条棱总长度． 9．（25-26七年级上·山西晋城·期末）用一张长为，宽为的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒，如图为三位同学提供的方案，其中，阴影为剪去部分，虚线为折痕． (1)直接用含的代数式表示出方案中的长； (2)当，通过计算说明，哪个方案制作的长方体纸盒容积最大？ (3)若用这张长方形纸片制作一个有盖的长方体纸盒，满足高为，容积最大，在下图中画出一种满足上述条件的设计图，阴影为剪去部分，虚线为折痕，并求出长方体纸盒的容积． 【答案】(1) (2)方案纸盒的容积最大 (3) 【分析】本题考查代数式的表示与化简，图形的裁剪与折叠，掌握分类讨论思想是解题关键． （1）根据硬纸板的宽和，求出剪去的小正方形边长，再用原纸板的长减去两个小正方形边长，得到的长度； （2）将代入各方案，分别计算出三个方案的纸盒容积，比较大小后得出容积最大的方案； （3）在高固定为的条件下，分两种布局方向计算底面的长和宽，进而确定使容积最大的底面尺寸，最终算出最大容积． 【详解】（1）解：由纸片为长方形，纸盒为长方体，可知图的阴影部分为四个全等的正方形， ，长方形的长为，宽为， 小正方形的边长为， ． 答：． （2）解：据（1），方案中长方体长为，宽为，高为， 则其容积为； 方案中长方体长为，即，宽为，高为， 则其容积为； 方案中长方体长为，即，宽为，高为， 则其容积为． 综上，方案纸盒的容积最大． 答：方案纸盒的容积最大． （3）解：设纸盒底面长为，宽为，已知高为， 则盒子的容积为， 分两种布局进行计算， 当底面长平行于边： 可得，即， ，即， 此时纸盒的容积为； 当底面长平行于边： 可得，即， ，即， 此时纸盒的容积为， 下图即为纸盒的设计图： 可知，纸盒的最大容积为． 答：． 10．（25-26七年级上·广东深圳·期末）在完成“设计并制作一个体积尽可能大的无盖长方体收纳盒”的任务后，兴趣小组进一步研究用长方形纸片制作符合不同需求的长方体纸盒． 【基础回顾】 （1）如图1，将一张边长为的正方形纸片的四个角各剪去一个边长为的小正方形，将剩下的纸片沿着虚线折叠成无盖的长方体纸盒． ①该纸盒的底面边长为______（用含有的代数式表示）； ②该纸盒的容积为______（用含有的代数式表示）． 【进阶研究】 用普通长方形纸片制作长方体纸盒（长方形中，，）． （2）兴趣小组继续制作无盖长方体纸盒（纸片无剩余），如图2，用把长方形纸片分成个长方形，并沿着剪开．将长方形沿着虚线折叠成纸盒的侧面，将长方形做纸盒的下底面．经观察后，兴趣小组分析，能折成纸盒的关键是：找到长方形与长方形相关线段之间的等量关系． ①他们先确定了，请你写出另一组关键的等量关系 ____________； ②求长方体纸盒的容积． （3）兴趣小组尝试制作有盖长方体纸盒（纸片无剩余），设计了如下方案： 如图3，沿将长方形剪成两部分，将长方形沿着虚线折叠成收纳盒的侧面，将长方形沿剪成两部分，分别作为收纳盒的上、下底面．该方案是否可行？______（填写“是”或“否”） 如果可行，请求长方体纸盒的容积；若不可行，请简要说明理由． （4）请你设计一个制作“有盖长方体纸盒”的方案（纸片无剩余）：请在图4中画出裁剪示意图，并求出纸盒的容积． 【答案】（1）①；②； （2）①，（答案不唯一）；②； （3）该方案不可行， 故答案为：否； 或，故该方案不可行； （4）答案不唯一，如： 方法一：示意图如下， 折叠成的长方体纸盒容积为； 方法二：示意图如下： 折叠成的长方体纸盒容积为． 【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用，图形的折叠与剪拼，代数式，找到原图形与折叠剪拼后新图形之间边长的数量关系是解题的关键． （1）①该纸盒的底面边长等于正方形纸片的边长减去两个小正方形的边长； ②根据正方体的容积公式求解即可； （2）①根据图形的折叠与剪拼即可求解；②根据题意，以及图形的折叠与剪拼求出长方体的长、宽、高，即可求解； （3）结合图形即可判定； （4）根据（2）的制作方法画出图形，再根据长方体的容积公式求解即可． 【详解】解：（1）略 （2）①请你写出另一组关键的等量关系， 故答案为：，（答案不唯一）； ②长方形纸片无剩余，长方形中，，， 长方体长为，宽为，高为， 长方体纸盒的容积为； （3）略 （4）方法一：示意图如下， 由题可知，设，则有， 解得， ， 答：折叠成的长方体纸盒容积为； 方法二：示意图如下： 由题可知，取的中点， ， 设， ， 解得， 故容积为， 答：折叠成的长方体纸盒容积为． 第 1 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