专题03 有理数的乘方与混合运算重难点题型专训（4个知识点+14大题型+自我检测）-2026-2027学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

**基本信息** 以“概念-运算-应用”为主线，通过4个核心知识点与16类题型构建从基础到提高的训练体系，突出抽象能力与运算能力培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点|4个（乘方/混合运算/科学记数法/近似数）|乘方符号规律/科学记数法互化/近似数取值范围推断|从乘方概念（基础）到混合运算（综合），延伸至科学记数法与近似数（实际应用），形成完整知识链| |题型|16类（14基础+2提高）|定义新运算/程序流程图计算/规律探究（如二进制转化）|基础题型覆盖概念理解与基本运算，提高题型聚焦跨学科应用（如进制转换）与逻辑推理，典例精选中考高频易错点|

专题03 有理数的乘方与混合运算重难点题型专训（4个知识点+14大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、有理数幂的概念理解 1 题型二、有理数的乘方运算 2 题型三、有理数乘方逆运算 3 题型四、乘方运算的符号规律 4 题型五、乘方的应用 5 题型六、用科学记数法表示绝对值大于1的数 6 题型七、将用科学记数法表示的数变回原数 7 题型八、程序流程图与有理数计算 8 题型九、算“24”点 9 题型十、含乘方的有理数混合运算 10 题型十一、求一个数的近似数 11 题型十二、求近似数的精确度 12 题型十三、近似数推断取值范围 13 题型十四、计算器——有理数 14 第二部分·练提高题型 题型一、二进制问题 1 题型二、有理数乘方中规律探究问题 2 第三部分・自我检测 知识点01 理数的乘方 1.乘方的概念：一般地，n个相同的因数a相乘，记作，读作a的n次方。 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。 2.乘方的结果叫做幂（power）；在中，a叫做底数（base number），n叫做指数（exponent）。 【即时训练】 1．（2026·贵州遵义·一模）计算的结果是（     ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据乘方的定义，表示n个a相乘，解答即可． 【详解】解： ． 2．（25-26七年级上·福建福州·期末）________． 【答案】1 【详解】解：． 知识点02 有理数的混合运算 1.有理数混合运算法则：①先算乘方,再算乘除,最后算加减。 ②如果有括号,先算括号里面的。 2.混合运算顺序：· 先算乘方，再乘除，后加减； · 同级运算，从左到右进行； · 如有括号，先算括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 【即时训练】 1．（2026·吉林长春·模拟预测）是的（     ） A．2倍 B．3倍 C．6倍 D．9倍 【答案】B 【详解】解：，，且， 是的倍． 2．（25-26七年级上·江苏南京·期末）计算：___________． 【答案】 【分析】利用幂的运算法则计算即可. 【详解】解：原式 ． 知识点03 科学计数法 （1）把一个大于10的数记成的形式，其中a是整数数位只有一位的数（即），n是正整数，这样的记数方法叫科学记数法。 （2）把还原成原数时，只需把a的小数点往前移动n位。 【即时训练】 1．（2026·宁夏吴忠·模拟预测）节约是一种美德，节约是一种智慧．据不完全统计，全国每年浪费食物总量折合粮食可养活约3亿6千万人．360000000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：． 2．（2026七年级上·安徽合肥·专题练习）地球上的陆地面积约为149 000 000平方千米，这个数据用科学记数法表示为_______________． 【答案】 【详解】解：149000000用科学记数法表示为． 知识点04 近似数 1、近似数概念：在实际问题中，由“四舍五入”得到的数或大约估计的数都是近似数。（近似数小数点后的末位数是0的，不能去掉0.） 2、有效数字概念：一个近似数从左边第一位非0的数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。一个近似数有几个有效数字，就称这个近似数保留几个有效数字。 3、精确度：表示一个近似数与准确数的接近程度，一个近似数，四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）近似数2.30精确到（    ） A．十分位 B．百分位 C．千分位 D．个位 【答案】B 【分析】根据近似数精确度的定义，即最后一位有效数字所在的数位就是该近似数精确到的数位，即可求解． 【详解】解：∵近似数的精确度由最后一位有效数字所在的数位决定，2.30的最后一位有效数字是0，位于百分位， ∴近似数2.30精确到百分位． 2．（25-26七年级上·宁夏固原·阶段检测）按四舍五入法则取近似值：_________(精确到)． 【答案】 【分析】确定需要观察的下一位数字(千分位)，再根据四舍五入规则判断是否进位． 【详解】解：要将精确到，需保留两位小数，观察千分位上的数字为7， ∴． 【基础题型一 有理数幂的概念理解】 【例1】（26-27七年级·全国·暑假作业）计算可以表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据有理数幂的意义得：． 【例2】（25-26七年级上·广西钦州·期中）把式子写成乘方的形式 __________． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的乘方的定义，根据题意可知底数为，指数为，据此可得答案． 【详解】解：， 故答案为：． 1．（25-26七年级上·河北廊坊·期中）计算：（分子是x个6相乘，分母是y个7相加），则计算结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查乘方的定义，分子是x个6相乘，即；分母是y个7相加，即，再计算即可． 【详解】解：原式=， 故选：D． 2．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测），，说说它们的意义与读法． ，表示4个相乘，读作____________． 表示4个2相乘的相反数，读作__________或____． 【答案】 负2的4次方 负的2的4次方 2的4次方的相反数 【分析】根据有理数乘方的定义，表示底数为的4次幂，读法强调底数是负数；表示2的4次幂的相反数，读法有两种，一种强调负号与指数的关系，另一种强调相反数的意义． 【详解】解：中，括号表示底数是，指数4表示4个相乘，即，读作“负2的4次方”； 中，没有括号，指数运算优先于负号，即4个2相乘的积的相反数，结果为，读作“负的2的4次方”或“2的4次方的相反数”． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知；；；… (1)请用我们学过的乘法交换律和乘方的意义说明成立． (2)上述性质可以用来进行计算，反之也成立，即．请应用上述性质计算：． 【答案】(1) 证明： ． (2) 【分析】（1）根据乘法交换律和乘方的意义进行说明即可； （2）根据（1）中的结论即进行化简计算即可． 【详解】（1）略 （2） ． 【点睛】本题考查了有理数幂的概念，积的乘方运算，掌握积的乘方运算法则是解题的关键. 【基础题型二 有理数的乘方运算】 【例1】（25-26七年级上·河北石家庄·期末）下列各组数中，数值相等的是（     ） A． B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】注意乘方运算中括号对底数的影响，准确计算各选项数值． 【详解】解：A选项：，，数值相等，符合题意； B选项：，，数值不等，不符合题意； C选项：，，数值不等，不符合题意； D选项：，，数值不相等，不符合题意． 【例2】（2026七年级上·全国·专题练习）计算：_______． 【答案】 【详解】解：． 1．（2026·山东德州·二模）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由乘方的定义和乘法的意义，分别化简分子分母即可得到结果． 【详解】解：根据乘方的定义，个相乘可表示为；根据乘法的意义，个相加可表示为， ∴． 2．（25-26七年级上·广东梅州·期中）设、都表示有理数，规定一种新运算“△”：当时，；时，．则______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 3．（26-27七年级上·全国·课后作业）一个数的平方是16，这个数可能是几？一个数的平方可能是零吗？可能是负数吗？ 【答案】一个数的平方是16，这个数是，一个数的平方可能是零，不可能是负数． 【详解】解：因为， 所以一个数的平方是16，这个数是； 由于一个数的平方是非负数，故一个数的平方可能是零，不可能是负数． 【基础题型三 有理数乘方逆运算】 【例1】（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）计算的结果是（    ）． A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查有理数乘方的意义，通过拆分指数将原式转化为可利用乘方意义进行计算的形式，进而简便计算． 【详解】解：∵， ∴原式 ， 故选：A． 【例2】（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）定义之间一种运算，记作：如果，那么．则__________． 【答案】3 【分析】本题考查了新定义运算． 根据题目给出的新定义计算即可． 【详解】解：根据新定义，若，则． ∵， ∴， 即． 故答案为：3． 1．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的乘方及其逆运算． 按照运算法则，将原式转化为，计算即可． 【详解】解： ． 故选：C． 2．（25-26七年级下·山东枣庄·期末）规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么．例如：，．根据上述规定，填空：___________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 3．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）根据乘方的意义及乘法运算律可知： ； ； (1)根据以上材料可知： ___________， ___________（n为正整数）； (2)根据上面得到的结论，计算： ___________． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了有理数的乘方、有理数乘方的逆运算等知识点，掌握有理数乘方的逆运算是解题的关键． （1）根据阅读材料中的运算过程变形即可解答； （2）根据阅读材料，结合根据（1）的结论进行计算即可． 【详解】（1）解：； ． 故答案为：，． （2）解：由（1）的结论可得：． 【基础题型四 乘方运算的符号规律】 【例1】（25-26七年级上·江西上饶·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的乘法法则与积的乘方逆运算，将高次幂拆分为同指数幂，进行凑整计算是解题关键． 先把拆成，再把和合并为，最后算出结果． 【详解】解：原式 ， ． 故选：． 【例2】（2026·甘肃武威·模拟预测）观察下列等式：，，，，，，，…通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是______． 【答案】4 【分析】观察已知等式可知，以2为底的幂的个位数字按，，，依次循环，计算得到余数，根据余数即可确定的个位数字． 【详解】解：观察给出的等式，，，，，…， ∴以2为底的幂的个位数字每4个数为一个循环组依次循环，循环顺序为，，，． ， ∴的个位数字与的个位数字相同，是． 1．（25-26七年级上·全国·课堂例题）当时，下列式子：①；②；③；④中，成立的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】根据负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数即可解答． 【详解】解：当时， 是负数，故①正确； ，故②正确，④错误； ，故③正确； 综上所述，①②③正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了有理数乘方的符号规律，掌握有理数乘方的符号规律：一个负数的奇次幂是负数，一个负数的偶次幂是正数． 2．（24-25七年级上·甘肃白银·期中）观察下列算式：根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是_____． 【答案】5 【分析】本题考查了尾数特征的应用，先分别得出前几个的末位数字，得出末位数字每4个为一组，依次为1、3、7、5，据此即可解答． 【详解】解：根据题意可得： 1的末位数字为1， 的末位数字为3， 的末位数字为7， 的末位数字为5， 的末位数字为1， 末位数字每4个为一组，依次为1、3、7、5， ， 则该式末位数字为第506组的第四个数字， 的末位数字是5， 故答案为：5． 3．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）你能迅速的判断下列各幂的正负吗？ (1)； (2)． 【答案】(1)正，正，负，正，负，正 (2)正，正，既不为正也不为负，正，正 【分析】（1）根据正数的乘方为正数，负数的偶数次方为正数，奇数次方为负数即可求解． （2）根据正数的乘方为正数，负数的偶数次方为正数，奇数次方为负数即可求解，0既不是正数，也不是负数． 【详解】（1）解：根据正数的乘方为正数，负数的偶数次方为正数，奇数次方为负数，则：16为正，故为正； 25为正，故为正； 为负，且9为奇数，故为负； 为负，6为偶数，故为正； -1为负，101为奇数，故为负； 为负，50为偶数，故为正． （2）根据正数的乘方为正数，负数的偶数次方为正数，奇数次方为负数， 0.01为正，故为正； 为负，2为偶数，故为正； ，0既不是正数也不是负数； 为正，故为正； 为负，2为偶数，故为正． 【点睛】本题考查了乘方运算符号的规律，熟练掌握正数的乘方为正数，负数的偶数次方为正数，奇数次方为负数且0既不是正数也不是负数是解题的关键． 【基础题型五 乘方的应用】 【例1】（25-26七年级上·湖南永州·期末）对于数，规定第一次操作为，第二次操作为，如此反复操作，则第次操作后得到的数是(    ) A．25 B．250 C．55 D．133 【答案】C 【分析】本题考查了数字类规律探究．操作规则是每次将数的各位数字的立方和作为新数，计算发现形成的数字序列以3为周期循环：． 第次操作相当于循环中的第一次操作，结果为． 【详解】∵第一次操作： 第二次操作： 第三次操作： ∴运算结果每3次为一个循环 ∵余1 ∴第次操作后的数与第一次操作后的数相同，为 故选：C． 【例2】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）将八进制数转换十进制数为_______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数乘方的应用．将八进制数的每一位数字乘以8的相应次幂后求和，即可求解． 【详解】解：八进制数转换为十进制数的计算过程为：． 故答案为：． 1．（25-26七年级下·江苏·期中）数的进制是一种计数方式．如十进制数用0至9这十个数字表示，满十进一，如；计算机中使用0和1这两个数字表示二进制数，满二进一，如二进制数1101可用式子转换为十进制数13．下列说法中：①二进制数1110可转化为十进制数14；②十进制数17可转化为二进制数10001；③古代用结绳计数，满七进一，则图1的七进制数转化为十进制数为111；④用黑白小正方形分别表示数码1和0，图2表示二进制数1010，则图3表示的二进制数转化为十进制数是7；正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据题意列式计算后逐项判断即可． 【详解】解：①，那么二进制数1110可转化为十进制数14，则①正确； ②，那么十进制数17可转化为二进制数10001，则②正确； ③，那么图1的七进制数转化为十进制数为111，则③正确； ④用黑白小正方形分别表示数码1和0，图2表示二进制数1010，图3表示二进制数110， ，那么图3表示的二进制数转化为十进制数是6，则④不正确． 综上所述，正确的有3个． 2．（25-26七年级上·北京·期中）某聊天软件的客户等级用四个标识图展示，从低到高分别为星星、月亮、太阳、皇冠，采用“满四进一”制，一个星星为1级，4个星星升级为1个月亮（即1个月亮为4级），4个月亮升级为1个太阳，4个太阳升级为1个皇冠（如图1）．小军一家的聊天软件等级标识图如图2所示，其中小军的等级为级．那么妈妈的等级为__________级，爸爸的等级为__________级． 【答案】 13 103 【分析】本题考查了有理数乘方的应用，根据题意列出算式，然后求解即可． 【详解】解：由题意得，妈妈的等级为级， 爸爸的等级为级， 故答案为：13，103． 3．（25-26七年级·全国·暑假作业）阅读下面的材料，然后按照材料中提供的方法计算． 计算：． 解：设， 则， 所以 ， 即． 按照上面的方法，计算：． 【答案】 【分析】理解题意，模仿题干过程进行分析作答即可． 【详解】解：设， 则 ∴， 即． 【基础题型六 用科学记数法表示绝对值大于1的数】 【例1】（25-26七年级下·河北秦皇岛·期末）某计算机的固态硬盘能写入1560000兆字节的数据，则写入的数据用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为，要求满足，为整数，确定和的值即可得到答案． 【详解】． 【例2】（2025·山东聊城·模拟预测）用科学记数法表示137.6亿元为_______________元． 【答案】 【详解】解：亿. 1．（25-26七年级上·云南昆明·期末）某县常住人口约为450000人，将数字450000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：. 2．（24-25七年级上·黑龙江鹤岗·期中）假设、两颗行星的距离约为千米，用科学记数法表示的结果是________ 【答案】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数. 确定的值时，要看把原数变成时小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同. 当原数绝对值大于时，为正整数，据此即可求解． 【详解】解：将用科学记数法表示为：， 故答案为：． 3．（25-26七年级下·陕西宝鸡·阶段检测）现有某种浓度的葡萄糖溶液，每瓶大约为滴，每滴葡萄糖溶液中大约有个葡萄糖分子，5瓶这样的葡萄糖溶液中大约有多少个葡萄糖分子？（结果用科学记数法表示） 【答案】5瓶这样的葡萄糖溶液中大约有个葡萄糖分子 【分析】每滴葡萄糖溶液中大约有个葡萄糖分子，每瓶大约为滴，5瓶这样的葡萄糖溶液中，这三个数相乘，结果用科学记数法表示． 【详解】解： 答：5瓶这样的葡萄糖溶液中大约有个葡萄糖分子． 【基础题型七 将用科学记数法表示的数变回原数】 【例1】（2026七年级上·安徽合肥·专题练习）表示的原数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据科学记数法的定义，移动小数点即可得到原数． 【详解】解：科学记数法形式为（，为正整数），还原原数时需将的小数点向右移动位， 本题中，，将的小数点向右移动位， 得到原数为． 【例2】（24-25七年级上·全国·单元复习）下列是用科学记数法表示的数，把原数填在横线上：_______；_______． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．科学记数法的形式为，其中，为整数，当时，原数等于把小数点向右移动位，据此解答． 【详解】解：； ． 故答案为：；． 1．（2026·海南海口·模拟预测）一个整数510…0用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题考查科学记数法的概念，将科学记数法还原为原数，再数出原数中0的个数即可解题． 【详解】解：， 数原数可得，原数中0的个数为7． 故选：D． 2．（24-25七年级上·四川成都·期中）比较大小：_______； _______（填“”、“ ”或“” ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法以及有理数大小比较，掌握科学记数法表示较大的数是解答本题的关键． 根据科学记数法的定义以及有理数大小比较方法，解答即可． 【详解】解：，， ； ． 故答案为：；． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数？ ． 【答案】，，， 【分析】本题考查了科学记数法表示较大的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，确定a的值以及n的值是解题的关键． 科学记数法的标准形式为（，n为整数），将a的小数点向右移动n位即可恢复原数． 【详解】解：； ； ； ． 【基础题型八 程序流程图与有理数计算】 【例1】（24-25七年级下·陕西西安·期末）任意给一个非零数，按如图所示的程序写出输出结果，则与之间的关系式为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照程序给出运算顺序列出代数式，然后化简式子即可得到与的关系式． 【详解】解：根据程序步骤列式： ， ， ． 【例2】（25-26七年级上·四川达州·期中）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，；②当n为偶数时，（其中k是使为奇数的正整数）…，两种运算交替重复进行，例如，取则： 若，则第2025次“F”运算的结果是_______． 【答案】4 【分析】本题考查了有理数的相关运算以及找规律，理解题意，找出相应的规律是解题的关键．根据题目表述，逐一进行计算，找到规律即可得出结果． 【详解】解：若，则第1次“F”运算的结果是； 第2次“F”运算的结果是； 第3次“F”运算的结果是； 第4次“F”运算的结果是； 第5次“F”运算的结果是； 第6次“F”运算的结果是； …， 发现规律为：从第4次开始，进入1，4的循环，周期为2． ， 对应周期内第二个结果，即4， 故答案为：4． 1．（25-26七年级上·河南新乡·期中）按如图所示的运算程序输入，则输出的的值为（   ） A．2 B．4 C．9 D．11 【答案】A 【分析】本题考查了程序图问题． 将代入程序图运算，直到结果输出即可． 【详解】解：按如图所示的运算程序输入，， 按如图所示的运算程序输入，， 则输出的的值为． 故选：A． 2．（25-26六年级上·山东淄博·阶段检测）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为7，我们发现第1次输出的结果为12，第2次输出的结果为6，第3次输出的结果为3，依次继续下去…第2025次输出的结果为____． 【答案】3 【分析】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现输出结果的变化特点，求出相应的输出结果．根据题意，可以写出前几次的输出结果，从而可以发现输出结果的变化特点，即可解答． 【详解】解：第1次输出的结果为， 第2次输出的结果为， 第3次输出的结果为， 第4次输出的结果为， 第5次输出的结果为， 第6次输出的结果为， 第7次输出的结果为， 第8次输出的结果为， 归纳类推得：从第2次运算开始，输出的结果是以6，3，8，4，2，1为周期循环往复的， ∵， ∴第2025次输出的结果为周期中的第2个结果，即为3， 故答案为：3． 3．（25-26七年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，把四个数按顺序依次填入四个圆圈中．第一次运算：将相邻两个圆圈中的数分别求乘积，将得到的积分别填入三个正方形中；第二次运算：将相邻的两个正方形中的数分别求和，将得到的和分别填入两个三角形中；第三次运算：求两个三角形中的数的平均数，将最终平均数填入长方形中． (1)若填入的四个数分别为，，，，求最终的平均数； (2)若填入的四个数分别为、、、，若输出的最终平均数为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算与一元一次方程的应用，熟练掌握运算顺序并按步骤列式计算是解题的关键． （1）按照运算步骤，先计算四个数相邻的乘积（第一次运算），再计算相邻乘积的和（第二次运算），最后计算和的平均数（第三次运算）； （2）同理先按运算步骤列出含的表达式，再根据最终平均数列方程求解． 【详解】（1）解：第一次运算：，，； 第二次运算：，； 第三次运算：， 所以最终的平均数为．． （2）解：第一次运算：，，； 第二次运算：，； 第三次运算：， 所以， 解得． 所以的值为． 【基础题型九 算“24”点】 【例1】（25-26七年级上·云南保山·期中）有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数必须且只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10．运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，通过计算每个算式的值，判断是否等于24即可得到答案． 【详解】解：A、，原式不正确，符合题意； B、，原式正确，不符合题意； C、，原式正确，不符合题意； D、，原式正确，不符合题意； 故选：A． 【例2】（25-26七年级上·安徽宿州·期中）根据如图所示的4张扑克牌上的点数进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为，可以列出综合算式是________． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，弄清“24点”游戏规则是解本题的关键．利用“24点”游戏规则列出等式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 1．（25-26七年级上·广东佛山·期中）“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 【答案】A 【分析】根据题意，逐项组合计算，即可作答． 【详解】A项，1，6，8，7，不能算出结果为24，故符合题意； B项，，能算出结果为24，故不符合题意； C项，，能算出结果为24，故不符合题意； D项，，能算出结果为24，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了数之间的混合运算，根据已有的数据灵活组合举例，是解答本题的关键． 2．（24-25六年级上·山东烟台·期中）你会玩“24点”游戏吗？规则：任取四个整数（每个数用且只能用一次，可以加括号）进行加、减、乘、除四则运算，算其结果等于24或．现在四个数分别是、、3、5，请根据规则写出结果为24或的等式__________________ 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：依题意可得（答案不唯一）． 3．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）游戏“ 点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为 ，其中红色（方块、红桃）扑克牌代表负数，黑色（梅花、黑桃）扑克牌代表正数．请用如图抽取出的张牌，写出符合规则的算式． 【答案】（答案不唯一）. 【详解】解：由题意得： （答案不唯一）． 【基础题型十 含乘方的有理数混合运算】 【例1】（2026·吉林长春·模拟预测）是的（     ） A．2倍 B．3倍 C．6倍 D．9倍 【答案】B 【详解】解：，，且， 是的倍． 【例2】（2026·河南周口·一模）定义新运算：，例如：☆，则_____． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 1．（2026·河北石家庄·二模）有一个硬纸做成的礼品盒，用彩带扎住（如图），打结处用去的彩带长厘米．做这样一个礼品盒至少要硬纸（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用两个底面积加侧面积即可. 【详解】解：， ∴做这样一个礼品盒至少要硬纸. 2．（25-26七年级下·山西太原·期中）在数学创新实践活动中，同学们需要制作一个的小型身份二维码，这个二维码由16个被涂成黑色或白色小方格组成（黑色代表1，白色代表0）．如图1是小颖同学的身份二维码，其中第一行代表二进制的数字，将二进制数转换成十进制数方法如下：记为07，同理第二行至第四行代表二进制的数字分别转换成十进制的数（不足两位前面添0），依次组合到一起就是小颖同学的编号为07080502，小颖同学按此编号找到自己的位置参加活动．图2是小强同学的身份二维码，请写出小强同学的编号为________ 【答案】10061404 【分析】根据题意先写出每一行代表的二进制数，再进行转化为十进制数，即可求解． 【详解】解：第一行代表二进制的数字； 第二行代表二进制的数字； 第三行代表二进制的数字； 第四行代表二进制的数字， ∴小强同学的编号为10061404． 3．（25-26七年级上·山东济南·阶段检测）综合与探究： 【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”． 一般地写作，读作“的圈次方”． (1)【初步探究】直接写出计算结果：_______；_______． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，则有理数的除方运算也可以按如图所示的方式转化为乘法运算． (2)【探究应用】试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式：______，______； (3)算一算：． 【答案】(1)； (2)， (3)0 【分析】（1）根据题目中的例子计算即可得解； （2）根据题目中的例子计算即可得解； （3）先求出、、，再结合有理数的运算法则计算即可得解． 【详解】（1）解：； ； （2）解： ， ； （3）解：，， 原式 ． 【基础题型十一 求一个数的近似数】 【例1】（2026·山东烟台·模拟预测）精确到万位是（　　 ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意精确到万位可得，． 【例2】（25-26七年级上·河南周口·期中）一个三位小数“四舍五入”到百分位约是，这个三位小数最小是________． 【答案】 【分析】根据“五入”法则逆推原数各数位即可得到结果． 【详解】解：根据题意可知，由五入得到近似数， 千分位向百分位进、百分位向十分位进，使百分位和十分位变成，则原来是， 个位进后是，则原来个位是， 千分位最小取，得到． 1．（25-26七年级上·陕西榆林·期中）小华的期中考试各科平均分是分，用四舍五入法对分别取近似值，其中错误的是（   ） A．（精确到百分位） B．（精确到十分位） C．（精确到） D．（精确到） 【答案】D 【分析】本题考查四舍五入取近似值． 根据精确度要求，逐项判断近似值是否正确． 【详解】解：选项A要求精确到百分位，需看千分位数字：千分位为，百分位8进1，得，正确； 选项B要求精确到十分位，需看百分位数字：百分位为，十分位5进1，得，正确； 选项C要求精确到，需看万分位数字：万分位为，千分位6不变，得，正确； 选项D要求精确到，需看千分位数字：千分位为，百分位8应进1得，但选项为，错误； 故选：D． 2．（26-27七年级上·河南郑州·期中）【近似数】一个三位小数保留两位小数是，这个三位小数最大是________，最小是________． 【答案】 【分析】分两种情况讨论得到近似数的原数，四舍得到近似数时原数更大，五入得到近似数时原数更小，分别确定最大和最小的三位小数即可． 【详解】解：求保留两位小数得到的三位小数，分“四舍”和“五入”两种情况讨论： 若为“四舍”得到，说明千分位上的数小于，舍去后得到，千分位最大取， 因此最大的三位小数是， 若为“五入”得到，说明千分位上的数大于或等于，进后得到，原来的百分位为，千分位最小取， 因此最小的三位小数是． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）一个四位数先四舍五入到十位，所得的数为，再将四舍五入到百位，所得的数为，再将四舍五入到千位，所得的数恰好为． (1)数的最大值和最小值分别是多少？ (2)将数的最大值和最小值的差用科学记数法表示出来（精确到千位）． 【答案】(1)最大值是3444，最小值是2445． (2)． 【分析】（1）由于是把四位数x先四舍五入到十位，再四舍五入到百位，再四舍五入到千位，恰好是，所以可据此结合四舍五入的原则求解； （2）相减后用科学记数法表示，然后取近似值即可． 【详解】（1）解：根据题意和四舍五入的原则可知， ①，，，； ②，，，．故最大值是3444，最小值是2445． （2）解：因为最大值是3444，最小值是2445，所以数x的最大值和最小值的差四舍五入到千位，并用科学记数法表示出来是． 【点睛】本题考查了近似数，科学记数法，先确定精确的数位再根据四舍五入的原则取近似值，抓住四舍五入的原则是解题的关键． 【基础题型十二 求近似数的精确度】 【例1】（25-26七年级上·湖北随州·期末）《九章算术》的“粟米”一章中提到斗粟米可以兑换斗御米，用四舍五入法将精确到百分位，得到的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数的近似，准确分析判断是解题的关键． 精确到百分位需看千分位数字，千分位为，故进位． 【详解】∵ 的千分位数字是8，， ∴ 向百分位进位，百分位1变为2， ∴ 得到． 故选：D． 【例2】（25-26七年级上·河南商丘·阶段检测）近似数亿精确到____________位． 【答案】百万 【分析】本题主要考查了根据一个数的近似数求这个数精确度，近似数亿，有效数字为3、1、4，最后一个数字4对应百万位，因此精确到百万位． 【详解】解：亿中数字4在百万位上，故精确到百万位． 故答案为：百万． 1．（25-26七年级上·云南昭通·期末）下列说法正确的是 （    ） A．6.610精确到千分位 B．1.8和1.80的精确度相同 C．用四舍五入法对3.14159取近似数， 精确到百分位， 则 D．用四舍五入法对0.129取近似数， 精确到0.01， 则 【答案】A 【分析】本题考查近似数的精确度，根据四舍五入法则判断各选项的正确性． 【详解】解：∵6.610的最后一位数字在千分位，∴它精确到千分位，A正确； ∵1.8精确到十分位，1.80精确到百分位，∴精确度不同，B错误； ∵3.14159精确到百分位，需看千分位数字为，∴应舍去，得3.14，不是3.1，C错误； ∵0.129精确到0.01，需看千分位数字为，∴应进位，得0.13，不是0.12，D错误； 故选：A． 2．（25-26七年级上·广东中山·期中）用四舍五入法将精确到十分位为________． 【答案】 【分析】本题考查用四舍五入法写小数的近似值，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 按照四舍五入法写出该数的近似值即可． 【详解】解：精确到十分位是， 故答案为：． 3．（26-27七年级上·全国·课后作业）小明和小刚测量同一根铜管的长，用四舍五入法记录测得的结果，小明测量结果的记录是，小刚测量结果的记录是．这两个测量结果是否相同？为什么？ 【答案】解：不相同．理由如下： 小明测得，是精确到百分位；小刚测得，是精确到十分位， 因为两人测量结果的精确度不同，所以两人测得的结果不相同． 【分析】根据测量的精确度解答即可． 【详解】略 【基础题型十三 近似数推断取值范围】 【例1】（24-25七年级上·广西贺州·期中）数a的近似值为，那么a的真实值的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查四舍五入，熟练掌握四舍五入的定义是解题的关键．根据四舍五入进行判断即可． 【详解】解：数a的近似值为，那么a的真实值的范围是． 故选B． 【例2】（25-26七年级上·河南省直辖县级单位·期中）一只田园猫的体重经称量数值是一个两位小数，保留一位小数是，那么这只田园猫的体重最重为______ ，最轻为______ ． 【答案】 【分析】本题考查了近似数，根据四舍五入法解答即可求解，掌握四舍五入法是解题的关键． 【详解】解：根据四舍五入法可知，当小数的第二位小于时，保留一位小数后，第一位不变，所以保留一位小数后为的两位小数的最大值是；当小数的第二位大于等于时，保留一位小数后，第一位加，所以保留一位小数后为的两位小数的最小值是， ∴这只田园猫的体重最重为，最轻为， 故答案为：，． 1．（25-26七年级上·河南南阳·期中）下列说法：①几个有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数；②两个正数中，较大数的倒数反而小；③若，则；④若，则；⑤近似数所表示的准确数的范围是：；其中不正确的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数的乘法运算、倒数、绝对值的意义及近似数，熟练掌握各个概念及运算是解题的关键；因此此题可根据有理数的乘法运算、倒数、绝对值及近似数可进行排除选项． 【详解】解：①几个有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数，说法错误，当这几个有理数中含有0时，乘积就不会为负数； ②两个正数中，较大数的倒数反而小，说法正确； ③若，则，原说法错误； ④若，则，原说法错误； ⑤近似数所表示的准确数的范围是：，说法正确； 综上所述：不正确的个数有3个； 故选B． 2．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）（1）按要求用四舍五入法取近似数，263400（精确到万位）__________（结果用科学记数法表示）； （2）由四舍五入法得到的近似数，它表示大于或等于 ________，而小于 ________的数． 【答案】 【分析】本题主要考查近似数和科学记数法． （1）精确到哪位，就是对它后边的一位进行四舍五入．然后再用科学记数法表示即可． （2）根据四舍五入的方法即可求解． 【详解】解：（1）263400精确到万位即为260000， ， 故答案为：． （2）由四舍五入法得到的近似数26.4，它表示大于或等于，而小于， 故答案为：，． 3．（25-26七年级上·河南周口·阶段检测）车工小王加工生产了两根轴，当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废！”小王不服气地说：“图纸要求轴长精确到，一根为，另一根为，怎么不合格？” (1)图纸要求精确到2.80m，原轴的长度范围是多少？ (2)你认为是小王加工的轴不合格，还是质检员故意刁难？说明理由 【答案】(1) (2) 小王加工的轴不合格，理由：原轴的范围是， 故轴长为与的产品不合格，即小王加工的轴不合格． 【分析】（1）根据近似数的精确度说明，近似数精确到哪一位， 应当看末位数字实际在哪一位； （2）根据原轴的范围是，于是得到轴长为与的产品不合格． 【详解】（1）解：近似数的要求是精确到， 所以原轴的范围是. （2）略 【点睛】本题考查了近似数及有效数字，小数的位数不同它们表示的计数单位就不相同，意义也不相同． 【基础题型十四 计算器——有理数】 【例1】（25-26六年级上·山东烟台·期末）用课本上的计算器进行计算，若按键顺序如下：，则计算结果是（    ） A．1 B．2 C．4 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的除法运算，先理解题意，得出，即可作答． 【详解】解：观察题干，得出， 则计算结果是 故选：C． 【例2】（25-26六年级上·山东烟台·期中）如图，利用课本上的计算器进行计算，其按键顺序如下： 则显示器显示的结果为______． 【答案】 【分析】本题考查了计算器的使用，有理数的混合运算，熟练掌握计算器的使用和有理数的运算法则是解题的关键． 根据计算器的按键顺序，列出算式，再运算即可得答案． 【详解】解：由题意可得，， 故答案为：． 1．（2026七年级上·全国·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．用计算器进行混合运算时，应先按键进行乘方运算再按键进行乘除运算，最后按键进行加减运算 B．输入的按键顺序是 C．输入的按键顺序是 D．计算应按键 【答案】D 【分析】本题考查了用计算器进行有理数的运算，熟练掌握计算器的按键顺序是解题的关键． 根据计算器的运算要求和按键顺序逐项判断即可． 【详解】解： 用计算器进行混合运算时，直接输入计算即可，不用根据有理数的混合运算顺序输入，故选项A不正确； 输入的按键顺序是，故选项B不正确； 输入的按键时要有括号，故选项C不正确； 按键顺序正确，故选项D正确； 故选：D． 2．（25-26六年级上·山东淄博·期中）运用科学计算器（如图是其面板的部分截图）进行计算，按键顺序为，则计算器显示的结果是______． 【答案】 【分析】本题考查了运用科学计算器计算，有理数的混合运算，根据题意列出式子，结合有理数的混合运算法则计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得： ， 故答案为：． 3．（26-27七年级上·全国·课后作业）如图，你能由此得出计算规律吗？ (1)计算：． (2)由此猜测：从1开始的n个连续奇数之和等于多少？选择n的一些值，用计算器计算，验证你的猜想． 【答案】(1)6 (2)解：由（1）可推知，从开始的个连续奇数的和是：． 验证猜想：时，， 时，． 验证正确． 【分析】（1）观察图形总结规律解答即可； （2）利用（1）得出的规律即可解决问题． 【详解】（1）解：由题可知： ， ， ， ， ， ∴． （2）略． 【提高题型一 二进制问题】 【例1】（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）二进制就是逢二进一，其各数位上的数字为0或1，例如十进制数5可以写成二进制数101，因为（规定当时，）；13可以写成二进制数1101，因为．按此方式，十进制数23化为二进制数为（    ） A．11011 B．10111 C．10110 D．11010 【答案】B 【分析】本题考查幂运算．根据二进制转换规则，将十进制数23分解为2的幂之和，从而得到对应的二进制数． 【详解】解：∵， ∴二进制数为10111． 故选：B． 【例2】（2026·河北唐山·模拟预测）2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数：． 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数：． 将二进制数化为三进制数为______________ 【答案】 【分析】根据有理数的乘方解题即可． 【详解】解：化为十进制数：， 化为三进制数：． 1．（24-25七年级下·重庆·阶段检测）二维码在我们日常生活中应用越来越广泛，它是用某种待定的几何图形按照一定的规律在平面分布的、黑白相间的、记录数据符号信息的图形；在代码编制上巧妙利用构成计算机内部逻辑基础的“0”，“1”，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图是某次考试中两位同学的准考证号的二维码的简易编码，如图1，是同学“小胡”的准考证号的二维码的简易编码，其中第一行代表二进制的数字11000，转化成10进制为：，同理，第二行至第五行代表二进制的数字分别为1110，111，11100，1101，转化成10进制为：14，07，28，13，将五行编码组合到一起就是“小胡”的准考证号2414072813，其中第一行编码“24”和第二行编码“14”表示区域和学校，第三行编码“07”表示班级为07班，第四行编码“28”表示考场号为28，第五行编码“13”表示座位号是13；若图2是本次考试“小张”同学的准考证号的二维码的简易编码，则小张的准考证号为（   ） A．2410252110 B．2010272108 C．2212272408 D．2410272108 【答案】D 【分析】本题考查了含有乘方的有理数的混合运算，理解题意，掌握有理数的混合法则是解题的关键． 根据题意，分别表示每行的二进制编码，再转换成10进制进行判定即可． 【详解】解：黑色代表1，白色代表0， ∴图2中，第一行，转换成10进制数为：， 第二行，转换成10进制数为：， 第三行，转换成10进制数为：， 第四行，转换成10进制数为：， 第五行，转换成10进制数为：， ∴小张的准考证号为， 故选：D ． 2．（24-25六年级上·上海·期中）我们平常用的数是十进制数，如，表示十进制的数要用10个数码（又叫数字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9在电子数字计算机中用的是二进制，只要两个数码：0和1．如二进制中等于十进制的数5，等于十进制中的数23，那么二进制中的1011等于十进制的数________________． 【答案】11 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，弄清题中的转换方法是解本题的关键．根据题意得出二进制与十进制的转换方法，计算即可得到结果． 【详解】解：二进制数1011等于十进制的数为， 故答案为：11． 3．（2026·湖北襄阳·模拟预测）请完成以下数学活动： 活动目标 认识进位制，理解不同进位制的数之间的转换 材料1 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 十进制数，记作1024； 八进制数，记作； 五进制数，记作； 二进制数，记作； 十六进制数，记作． （十六进制数使用0—9和A—F来表示，其中10，11，12，13，14，15这五个数分别用字母A，B，C，D，E，F表示）． n（，且n为整数）进制数转化成与其相等的十进制数，只需要将n进制数的每个数字，依次乘n的相应次幂相加，就可得到与它相等的十进制数．如：八进制数转十进制数为：． 材料2 十进制整数转化为二进制整数通常采用除二取余法，即用2连续除十进制数，直到商为0，逆序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法．同样的，十进制数转化为八进制数可用除八取余法．例如： 解决问题 任务1： (1)将下列进制数转化为十进制数： ①______；②______； (2)现有三进制数，二进制数，试比较a，b的大小． 任务2： (3)十进制数21转化为二进制数得． (4)如何将一个二进制数转化为十六进制数呢？小勤提出一种想法： 第一步：先将二进制数转为十进制数； 第二步：再将所得的十进制数转化为十六进制数． 根据小勤的思路可以得出：． 【答案】(1)①13 ，②435 (2) (3)10101 (4)2D 【分析】（1）根据进制数的位值表示法，将每一位数字乘以对应基数的幂次后求和，即可转化为十进制． （2）分别将三进制数和二进制数转化为十进制数，再比较大小． （3） 采用“除二余法”将十进制数反复除以，记录余数，倒序排列即为二进制结果． (4) 先将二进制数按位值展开转化为十进制数，再用“除十六取余法”将十进制数转化为十六进制数． 【详解】（1）解：① ． ② ． （2）解：， ， ， ． （3）解：用除取余法， ， ， ， ， ， 将余数从下往上倒序排列，得． （4）解：第一步，将二进制数转化为十进制数： ． 第二步，用除16取余法将45转化为十六进制数： ， ， 将余数从下往上倒序排列，得， ． 【提高题型二 有理数乘方中规律探究问题】 【例1】（24-25七年级上·山东青岛·阶段检测）探究： 请你找规律，并计算：（   ） A．0 B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，根据前几个式子找出规律，再根据结论的逆运算将原式整理计算即可，熟练掌握数字的变化规律是解决此题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴ ， 故选：B． 【例2】（24-25六年级上·山东泰安·期末）阅读探究：；；；； （1）根据上述规律，_____（填写计算后的结果）． （2）根据你发现的规律，_____． 【答案】 55 1185 【分析】此题考查了有理数的混合运算，以及数字的变化规律，找到规律是解题的关键 ． （1）根据所给的4个算式的规律，可知等于； （2）根据所给的算式总结得到规律：等于；用的值减去的值，求出算式的值是多少即可．1 【详解】解：（1）根据所给的4个算式的规律：， 故答案为：55； （2）根据所给的算式总结得到规律： ∴原式 ． 故答案为：1185． 1．（25-26七年级上·贵州遵义·期末）小明为了求的值，进行了以下探究：他令，在等式两边同乘2得，，因此，所以．即．请仿照以上推理计算：的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，正确理解题干中的推理过程是解题关键． 仿照题干中的推理过程，令，则，再利用，求出的值，即可得到答案． 【详解】解：令， 则， 因此， 所以． 故选：B． 2．（25-26七年级上·北京东城·期中）在数学小组探究活动中，小月请同学想一个数，然后将这个数按以下步骤操作： 小月就能说出同学最初想的那个数．如果小红想了一个数，并告诉小月操作后的结果是，那么小红所想的数是___________． 【答案】 【分析】根据题意进行相应步骤的逆运算即可得出结果． 【详解】解：如果小红想了一个数，并告诉小月操作后的结果是， 小红所想的数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算以及运算顺序，根据题意得出其逆运算的算式是解本题的关键． 3．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）观察是数学抽象的基础．在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题．请你擦亮眼睛，开动脑筋，解答下列问题： ， ， ；… (1)按规律填空： ①______； ②如果为正整数，那么______； (2)探究、计算的值； (3)由此拓展，计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查阅读理解，理解材料中的解法，采用裂项相消法计算是解决问题的关键． （1）由材料中的解法直接求解即可得到答案； （2）由材料中的解法直接求解即可得到答案； （3）由材料中的解法直接求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由材料中的解法： ， 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：； （3）解： ． 1．（2026·四川内江·模拟预测）光的速度约是万千米/秒，这个速度用科学记数法表示为（     ） A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．米/秒 【答案】D 【分析】先将题目中的速度单位换算为米/秒，再根据科学记数法的定义（形式为，其中，为整数）得到正确结果，判断选项． 【详解】解：∵ 30万千米/秒 = 千米/秒 = 米/秒 米/秒， 符合科学记数法的要求， ∴ 正确选项为D． 2．（25-26七年级上·四川泸州·期末）比较这组数，0，，，，大小正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题先化简每个给出的数，再将化简后的数按从大到小排序，即可得到正确选项． 【详解】解：，，，， 将所有数从大到小排序得：， 即． 故选：B． 3．（25-26七年级上·内蒙古兴安·期中）拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成许多细的面条，如图所示，这样捏合到第8次后，就可以拉出（    ）根细面条． A．16 B．32 C．64 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的乘方，能够根据题意列出式子是解题的关键．由图可知，第一次捏合是，即，第二次是，即，第三次是，即，即可得到答案． 【详解】解：第一次捏合后面条根，即根， 第二次捏合后面条根，即根， 第三次捏合后面条根，即根， 故第8次捏合后面条为根， 故选D． 4．（25-26七年级上·安徽宿州·期末）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是时，根据程序计算，第一次输出的结果为，第二次输出的结果为……这样下去第次输出的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据程序框图计算出前个数，从而得出这列数除前个数外，每个数为一个周期，据此求解可得． 【详解】解：当时，第一次输出的结果为， 第二次输出的结果为， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为， 第五次输出的结果为， 第六次输出的结果为， 第七次输出的结果为， 第八次输出的结果为， 第九次输出的结果为， 第十次输出的结果为，…… 由上可知，从第五次开始，输出结果三次一循环，分别为：， ∵， ∴第次计算输出的结果是， 故选：D． 5．（24-25七年级上·广东江门·期中）为求的值，可令，则，然后用，可以得到，则．仿照计算的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查与有理数有关的规律探究，读懂题意并理解题中的计算方法是解题的关键． 仿照题中的方法求解即可． 【详解】解：设，两边同乘以5，得： 用减去原式S，得： 右侧除首项和末项外，其余项均抵消，故：， 解得：． 故选D． 6．（2026·山东泰安·模拟预测）近似数精确到______位，它有______个有效数字． 【答案】 万分 四 【详解】解：近似数精确到万分位，它有四个有效数字． 7．（25-26七年级上·河南郑州·期中）算式 的计算结果的整数部分为_____． 【答案】 【分析】将带分数拆分为整数部分和分数部分分别计算，先算出整数部分的和，再通过放缩法估算分数部分的和的范围，即可得到原式结果的整数部分． 【详解】解：原式 整数部分的和为 设分数部分的和为， ∵分子相同，分母越大分数值越小，且所有分母满足分母， ∴ 解得 ∴原式的总和满足 原式， 即 原式， ∴原式计算结果的整数部分为． 8．（25-26七年级上·湖南长沙·期中）在二进制数中，“1101”表示十进制数的；“11000”表示十进制数的；则二进制数中的“111111”表示的是十进制数的________． 【答案】63 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，读懂题目信息，正确理解二进制转化为十进制的方法是解题的关键． 根据二进制数转换为十进制数的方法，将二进制数每位数字乘以对应的2的幂次后求和即可． 【详解】解：根据题意得：二进制数“111111”有6位，从高位到低位分别对应 至 ，每位数字均为1，因此转换为十进制数为：， 故答案为：63． 9．（25-26七年级上·重庆渝北·期中）执行如下的程序框图，若输入的，则输出的值为________． 【答案】 【分析】根据运算的程序进行计算，符合要求时输出即可． 【详解】解：当输入的时，，， 可得：， ， 再次输入计算， 可得：， 可得：， ， 再次输入计算， 可得：， 可得：， ， 输出，输出的值为． 10．（25-26七年级上·全国·课后作业）观察下列等式： ；；；；… （1）根据上面规律，若，，则____，____． （2）用含有自然数n的式子表示上述规律为_______________． 【答案】 11 15 【分析】此题主要考查了含乘方的数字变化规律，得出数字之间的运算规律是解题关键． （1）根据所给等式两边数字变化规律可得答案； （2）根据所给等式两边数字变化规律列出等式即可． 【详解】解：（1）∵； ； ； ； … 故，， 故答案为：11，15； （2）第n个等式为； 故答案为：． 11．（2026七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1） 先计算平方、立方、绝对值，再算乘除，最后算减法； （2） 先算乘方与小括号，再算中括号，接着算乘法，最后做减法． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（26-27七年级上·全国·课后作业）利用计算器进行如下计算： 任意写出一个正整数（例如3708），求出它的各位数字的平方和（）：再对这个平方和求出各位数字的平方和……，如此继续下去．你能发现什么规律？ 【答案】任意正整数反复计算各位数字的平方和，最终只会出现两种结果： （1）最终得到1，之后不断以1循环； （2）最终进入循环，无其他情况． 【分析】先计算出前15次的各项数字的平方和，找出规律求解． 【详解】解：对正整数1，可知各位数字的平方和恒为1； 对正整数205， 第1次求出它的各位数字的平方和： ， 第2次求出它的各位数字的平方和：， 第3次求出它的各位数字的平方和：， 第4次求出它的各位数字的平方和：， 第5次求出它的各位数字的平方和：， 第6次求出它的各位数字的平方和：， 第7次求出它的各位数字的平方和：， 第8次求出它的各位数字的平方和： = 16， 第9次求出它的各位数字的平方和：， 第10次求出它的各位数字的平方和：， 第11次求出它的各位数字的平方和：， …； ∴从第三次操作开始，序列进入循环：， 对正整数3708， 第1次求出它的各位数字的平方和：； 第2次求出它的各位数字的平方和：； 第3次求出它的各位数字的平方和：81； 第4次求出它的各位数字的平方和：； 第5次求出它的各位数字的平方和：； 第6次求出它的各位数字的平方和：； 第7次求出它的各位数字的平方和：； 第8次求出它的各位数字的平方和：； 第9次求出它的各位数字的平方和：； 第10次求出它的各位数字的平方和：； 第11次求出它的各位数字的平方和：； 第12次求出它的各位数字的平方和：4； 第13次求出它的各位数字的平方和：16； 第14次求出它的各位数字的平方和：； 第15次求出它的各位数字的平方和：； …； 从第6次开始，结果为37、58、89、145、42、20、4、16不断地重复循环出现； 综上所述，任意正整数反复计算各位数字的平方和，最终只会出现两种结果： （1）最终得到1，之后不断以1循环； （2）最终进入循环，无其他情况． 13．（25-26七年级上·福建三明·期中）（1）计算下面两组算式： ①(3×5)2与32×52 ； ②[(－2)×3]2与(－2)2×32 ； （2）根据以上计算结果猜想： (ab)3＝ (直接写出结果) （3）猜想与验证：当n为正整数时，(ab)n等于什么?请你利用乘方的意义说明理由． 【答案】（1）①225，225；②36，36；（2）a³b³； （3）(ab)n＝． 理由如下： (ab)n＝＝＝ 【分析】（1）①②根据有理数的乘方运算分别计算即可； （2）（3）根据乘方的意义以及乘法交换律计算即可； 【详解】(1)计算下面两组算式： ①(3×5)2与32×52；       解：(3×5)2＝15²＝225 32×52＝9×25＝225 ②[(－2)×3]2与(－2)2×32； [(－2)×3]2＝(－6)²＝36 (－2)2×32＝4×9＝36 (2) (ab)3＝ 故答案为： (3) 略 【点睛】本题考查了有理数的乘方的计算，理解乘方的意义是解题的关键． 14．（25-26七年级上·甘肃陇南·期末）一粒米微不足道，平时总会在饭桌上毫不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整碗米饭倒掉.针对这种浪费粮食现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米大约重10克，现在请同学们来计算． (1)按我国14亿人口计，每年365天，每人每天三餐米饭计算，如果每人每餐节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（用科学记数法表示） (2)如果我们把一年节约的大米卖成钱，按4元/千克计算，可卖得人民币多少元？（用科学记数法表示） 【答案】(1)千克 (2)元 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，科学记数法等知识．注意对于绝对值大于10的数，可以用科学记数法表示为形式，其中，，n为整数位数减1﹒ （1）先把14亿化为，再根据题意列式计算，最后用科学记数法表示即可求解； （2）根据题意列式计算即可求解． 【详解】（1）解：14亿， （千克）． 答：一年大约能节约大米千克． （2）解：（元）． 答：可卖得人民币元． 15．（25-26七年级上·全国·期末）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中抽取2张卡片，将2张卡片上的数字分别作为底数和指数，使所得的幂最大，应如何抽取？幂的最大值是多少？ (2)从中抽取3张卡片，使这3张卡片上数字的乘积最小，应如何抽取？积的最小值是多少？ (3)从中抽取4张卡片，将四个数（四个数都用且只能用一次，可使用括号） “”、“”、“”、“”运算，使其结果等于．（写出一种情况即可） 【答案】(1)抽取和两张卡片，幂最大，最大为 (2)抽取、、三张卡片，乘积最小，最小为； (3)抽取、、、，（答案不唯一） 【分析】（1）如果底数是正数，指数越大，幂越大；如果底数是负数，指数必须是偶数，结果才为正数，且底数的绝对值越大、指数越大，幂越大．指数越大，幂通常越大，据此即可求解； （2）根据同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，计算积，再根据有理数的大小比较解答即可； （3）根据有理数的混合运算解答即可． 【详解】（1）解：和两张卡片，幂最大，； （2）解：根据正数大于零，正数大于负数， 故抽取的卡片上的数字之积为负数时，积最小， 抽取、和三张卡片，乘积最小，最小为； （3）解：抽取、、、，（答案不唯一） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 有理数的乘方与混合运算重难点题型专训（4个知识点+14大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、有理数幂的概念理解 1 题型二、有理数的乘方运算 2 题型三、有理数乘方逆运算 3 题型四、乘方运算的符号规律 4 题型五、乘方的应用 5 题型六、用科学记数法表示绝对值大于1的数 6 题型七、将用科学记数法表示的数变回原数 7 题型八、程序流程图与有理数计算 8 题型九、算“24”点 9 题型十、含乘方的有理数混合运算 10 题型十一、求一个数的近似数 11 题型十二、求近似数的精确度 12 题型十三、近似数推断取值范围 13 题型十四、计算器——有理数 14 第二部分·练提高题型 题型一、二进制问题 1 题型二、有理数乘方中规律探究问题 2 第三部分・自我检测 知识点01 理数的乘方 1.乘方的概念：一般地，n个相同的因数a相乘，记作，读作a的n次方。 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。 2.乘方的结果叫做幂（power）；在中，a叫做底数（base number），n叫做指数（exponent）。 【即时训练】 1．（2026·贵州遵义·一模）计算的结果是（     ） A．5 B．6 C．8 D．9 2．（25-26七年级上·福建福州·期末）________． 知识点02 有理数的混合运算 1.有理数混合运算法则：①先算乘方,再算乘除,最后算加减。 ②如果有括号,先算括号里面的。 2.混合运算顺序：· 先算乘方，再乘除，后加减； · 同级运算，从左到右进行； · 如有括号，先算括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 【即时训练】 1．（2026·吉林长春·模拟预测）是的（     ） A．2倍 B．3倍 C．6倍 D．9倍 2．（25-26七年级上·江苏南京·期末）计算：___________． 知识点03 科学计数法 （1）把一个大于10的数记成的形式，其中a是整数数位只有一位的数（即），n是正整数，这样的记数方法叫科学记数法。 （2）把还原成原数时，只需把a的小数点往前移动n位。 【即时训练】 1．（2026·宁夏吴忠·模拟预测）节约是一种美德，节约是一种智慧．据不完全统计，全国每年浪费食物总量折合粮食可养活约3亿6千万人．360000000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 2．（2026七年级上·安徽合肥·专题练习）地球上的陆地面积约为149 000 000平方千米，这个数据用科学记数法表示为_______________． 知识点04 近似数 1、近似数概念：在实际问题中，由“四舍五入”得到的数或大约估计的数都是近似数。（近似数小数点后的末位数是0的，不能去掉0.） 2、有效数字概念：一个近似数从左边第一位非0的数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。一个近似数有几个有效数字，就称这个近似数保留几个有效数字。 3、精确度：表示一个近似数与准确数的接近程度，一个近似数，四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）近似数2.30精确到（    ） A．十分位 B．百分位 C．千分位 D．个位 2．（25-26七年级上·宁夏固原·阶段检测）按四舍五入法则取近似值：_________(精确到)． 【基础题型一 有理数幂的概念理解】 【例1】（26-27七年级·全国·暑假作业）计算可以表示为（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·广西钦州·期中）把式子写成乘方的形式 __________． 1．（25-26七年级上·河北廊坊·期中）计算：（分子是x个6相乘，分母是y个7相加），则计算结果是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测），，说说它们的意义与读法． ，表示4个相乘，读作____________． 表示4个2相乘的相反数，读作__________或____． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知；；；… (1)请用我们学过的乘法交换律和乘方的意义说明成立． (2)上述性质可以用来进行计算，反之也成立，即．请应用上述性质计算：． 【基础题型二 有理数的乘方运算】 【例1】（25-26七年级上·河北石家庄·期末）下列各组数中，数值相等的是（     ） A． B．和 C．和 D．和 【例2】（2026七年级上·全国·专题练习）计算：_______． 1．（2026·山东德州·二模）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·广东梅州·期中）设、都表示有理数，规定一种新运算“△”：当时，；时，．则______． 3．（26-27七年级上·全国·课后作业）一个数的平方是16，这个数可能是几？一个数的平方可能是零吗？可能是负数吗？ 【基础题型三 有理数乘方逆运算】 【例1】（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）计算的结果是（    ）． A． B． C． D．4 【例2】（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）定义之间一种运算，记作：如果，那么．则__________． 1．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·山东枣庄·期末）规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么．例如：，．根据上述规定，填空：___________． 3．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）根据乘方的意义及乘法运算律可知： ； ； (1)根据以上材料可知： ___________， ___________（n为正整数）； (2)根据上面得到的结论，计算： ___________． 【基础题型四 乘方运算的符号规律】 【例1】（25-26七年级上·江西上饶·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2026·甘肃武威·模拟预测）观察下列等式：，，，，，，，…通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是______． 1．（25-26七年级上·全国·课堂例题）当时，下列式子：①；②；③；④中，成立的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 2．（24-25七年级上·甘肃白银·期中）观察下列算式：根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是_____． 3．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）你能迅速的判断下列各幂的正负吗？ (1)； (2)． 【基础题型五 乘方的应用】 【例1】（25-26七年级上·湖南永州·期末）对于数，规定第一次操作为，第二次操作为，如此反复操作，则第次操作后得到的数是(    ) A．25 B．250 C．55 D．133 【例2】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）将八进制数转换十进制数为_______． 1．（25-26七年级下·江苏·期中）数的进制是一种计数方式．如十进制数用0至9这十个数字表示，满十进一，如；计算机中使用0和1这两个数字表示二进制数，满二进一，如二进制数1101可用式子转换为十进制数13．下列说法中：①二进制数1110可转化为十进制数14；②十进制数17可转化为二进制数10001；③古代用结绳计数，满七进一，则图1的七进制数转化为十进制数为111；④用黑白小正方形分别表示数码1和0，图2表示二进制数1010，则图3表示的二进制数转化为十进制数是7；正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26七年级上·北京·期中）某聊天软件的客户等级用四个标识图展示，从低到高分别为星星、月亮、太阳、皇冠，采用“满四进一”制，一个星星为1级，4个星星升级为1个月亮（即1个月亮为4级），4个月亮升级为1个太阳，4个太阳升级为1个皇冠（如图1）．小军一家的聊天软件等级标识图如图2所示，其中小军的等级为级．那么妈妈的等级为__________级，爸爸的等级为__________级． 3．（25-26七年级·全国·暑假作业）阅读下面的材料，然后按照材料中提供的方法计算． 计算：． 解：设， 则， 所以 ， 即． 按照上面的方法，计算：． 【基础题型六 用科学记数法表示绝对值大于1的数】 【例1】（25-26七年级下·河北秦皇岛·期末）某计算机的固态硬盘能写入1560000兆字节的数据，则写入的数据用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【例2】（2025·山东聊城·模拟预测）用科学记数法表示137.6亿元为_______________元． 1．（25-26七年级上·云南昆明·期末）某县常住人口约为450000人，将数字450000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·黑龙江鹤岗·期中）假设、两颗行星的距离约为千米，用科学记数法表示的结果是________ 3．（25-26七年级下·陕西宝鸡·阶段检测）现有某种浓度的葡萄糖溶液，每瓶大约为滴，每滴葡萄糖溶液中大约有个葡萄糖分子，5瓶这样的葡萄糖溶液中大约有多少个葡萄糖分子？（结果用科学记数法表示） 【基础题型七 将用科学记数法表示的数变回原数】 【例1】（2026七年级上·安徽合肥·专题练习）表示的原数是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·全国·单元复习）下列是用科学记数法表示的数，把原数填在横线上：_______；_______． 1．（2026·海南海口·模拟预测）一个整数510…0用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（24-25七年级上·四川成都·期中）比较大小：_______； _______（填“”、“ ”或“” ． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数？ ． 【基础题型八 程序流程图与有理数计算】 【例1】（24-25七年级下·陕西西安·期末）任意给一个非零数，按如图所示的程序写出输出结果，则与之间的关系式为（   ）． A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·四川达州·期中）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，；②当n为偶数时，（其中k是使为奇数的正整数）…，两种运算交替重复进行，例如，取则： 若，则第2025次“F”运算的结果是_______． 1．（25-26七年级上·河南新乡·期中）按如图所示的运算程序输入，则输出的的值为（   ） A．2 B．4 C．9 D．11 2．（25-26六年级上·山东淄博·阶段检测）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为7，我们发现第1次输出的结果为12，第2次输出的结果为6，第3次输出的结果为3，依次继续下去…第2025次输出的结果为____． 3．（25-26七年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，把四个数按顺序依次填入四个圆圈中．第一次运算：将相邻两个圆圈中的数分别求乘积，将得到的积分别填入三个正方形中；第二次运算：将相邻的两个正方形中的数分别求和，将得到的和分别填入两个三角形中；第三次运算：求两个三角形中的数的平均数，将最终平均数填入长方形中． (1)若填入的四个数分别为，，，，求最终的平均数； (2)若填入的四个数分别为、、、，若输出的最终平均数为，求的值． 【基础题型九 算“24”点】 【例1】（25-26七年级上·云南保山·期中）有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数必须且只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10．运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·安徽宿州·期中）根据如图所示的4张扑克牌上的点数进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为，可以列出综合算式是________． 1．（25-26七年级上·广东佛山·期中）“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 2．（24-25六年级上·山东烟台·期中）你会玩“24点”游戏吗？规则：任取四个整数（每个数用且只能用一次，可以加括号）进行加、减、乘、除四则运算，算其结果等于24或．现在四个数分别是、、3、5，请根据规则写出结果为24或的等式__________________ 3．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）游戏“ 点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为 ，其中红色（方块、红桃）扑克牌代表负数，黑色（梅花、黑桃）扑克牌代表正数．请用如图抽取出的张牌，写出符合规则的算式． 【基础题型十 含乘方的有理数混合运算】 【例1】（2026·吉林长春·模拟预测）是的（     ） A．2倍 B．3倍 C．6倍 D．9倍 【例2】（2026·河南周口·一模）定义新运算：，例如：☆，则_____． 1．（2026·河北石家庄·二模）有一个硬纸做成的礼品盒，用彩带扎住（如图），打结处用去的彩带长厘米．做这样一个礼品盒至少要硬纸（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·山西太原·期中）在数学创新实践活动中，同学们需要制作一个的小型身份二维码，这个二维码由16个被涂成黑色或白色小方格组成（黑色代表1，白色代表0）．如图1是小颖同学的身份二维码，其中第一行代表二进制的数字，将二进制数转换成十进制数方法如下：记为07，同理第二行至第四行代表二进制的数字分别转换成十进制的数（不足两位前面添0），依次组合到一起就是小颖同学的编号为07080502，小颖同学按此编号找到自己的位置参加活动．图2是小强同学的身份二维码，请写出小强同学的编号为________ 3．（25-26七年级上·山东济南·阶段检测）综合与探究： 【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”． 一般地写作，读作“的圈次方”． (1)【初步探究】直接写出计算结果：_______；_______． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，则有理数的除方运算也可以按如图所示的方式转化为乘法运算． (2)【探究应用】试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式：______，______； (3)算一算：． 【基础题型十一 求一个数的近似数】 【例1】（2026·山东烟台·模拟预测）精确到万位是（　　 ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·河南周口·期中）一个三位小数“四舍五入”到百分位约是，这个三位小数最小是________． 1．（25-26七年级上·陕西榆林·期中）小华的期中考试各科平均分是分，用四舍五入法对分别取近似值，其中错误的是（   ） A．（精确到百分位） B．（精确到十分位） C．（精确到） D．（精确到） 2．（26-27七年级上·河南郑州·期中）【近似数】一个三位小数保留两位小数是，这个三位小数最大是________，最小是________． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）一个四位数先四舍五入到十位，所得的数为，再将四舍五入到百位，所得的数为，再将四舍五入到千位，所得的数恰好为． (1)数的最大值和最小值分别是多少？ (2)将数的最大值和最小值的差用科学记数法表示出来（精确到千位）． 【基础题型十二 求近似数的精确度】 【例1】（25-26七年级上·湖北随州·期末）《九章算术》的“粟米”一章中提到斗粟米可以兑换斗御米，用四舍五入法将精确到百分位，得到的结果是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·河南商丘·阶段检测）近似数亿精确到____________位． 1．（25-26七年级上·云南昭通·期末）下列说法正确的是 （    ） A．6.610精确到千分位 B．1.8和1.80的精确度相同 C．用四舍五入法对3.14159取近似数， 精确到百分位， 则 D．用四舍五入法对0.129取近似数， 精确到0.01， 则 2．（25-26七年级上·广东中山·期中）用四舍五入法将精确到十分位为________． 3．（26-27七年级上·全国·课后作业）小明和小刚测量同一根铜管的长，用四舍五入法记录测得的结果，小明测量结果的记录是，小刚测量结果的记录是．这两个测量结果是否相同？为什么？ 【基础题型十三 近似数推断取值范围】 【例1】（24-25七年级上·广西贺州·期中）数a的近似值为，那么a的真实值的范围是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·河南省直辖县级单位·期中）一只田园猫的体重经称量数值是一个两位小数，保留一位小数是，那么这只田园猫的体重最重为______ ，最轻为______ ． 1．（25-26七年级上·河南南阳·期中）下列说法：①几个有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数；②两个正数中，较大数的倒数反而小；③若，则；④若，则；⑤近似数所表示的准确数的范围是：；其中不正确的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）（1）按要求用四舍五入法取近似数，263400（精确到万位）__________（结果用科学记数法表示）； （2）由四舍五入法得到的近似数，它表示大于或等于 ________，而小于 ________的数． 3．（25-26七年级上·河南周口·阶段检测）车工小王加工生产了两根轴，当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废！”小王不服气地说：“图纸要求轴长精确到，一根为，另一根为，怎么不合格？” (1)图纸要求精确到2.80m，原轴的长度范围是多少？ (2)你认为是小王加工的轴不合格，还是质检员故意刁难？说明理由 【基础题型十四 计算器——有理数】 【例1】（25-26六年级上·山东烟台·期末）用课本上的计算器进行计算，若按键顺序如下：，则计算结果是（    ） A．1 B．2 C．4 D．9 【例2】（25-26六年级上·山东烟台·期中）如图，利用课本上的计算器进行计算，其按键顺序如下： 则显示器显示的结果为______． 1．（2026七年级上·全国·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．用计算器进行混合运算时，应先按键进行乘方运算再按键进行乘除运算，最后按键进行加减运算 B．输入的按键顺序是 C．输入的按键顺序是 D．计算应按键 2．（25-26六年级上·山东淄博·期中）运用科学计算器（如图是其面板的部分截图）进行计算，按键顺序为，则计算器显示的结果是______． 3．（26-27七年级上·全国·课后作业）如图，你能由此得出计算规律吗？ (1)计算：． (2)由此猜测：从1开始的n个连续奇数之和等于多少？选择n的一些值，用计算器计算，验证你的猜想． 【提高题型一 二进制问题】 【例1】（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）二进制就是逢二进一，其各数位上的数字为0或1，例如十进制数5可以写成二进制数101，因为（规定当时，）；13可以写成二进制数1101，因为．按此方式，十进制数23化为二进制数为（    ） A．11011 B．10111 C．10110 D．11010 【例2】（2026·河北唐山·模拟预测）2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数：． 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数：． 将二进制数化为三进制数为______________ 1．（24-25七年级下·重庆·阶段检测）二维码在我们日常生活中应用越来越广泛，它是用某种待定的几何图形按照一定的规律在平面分布的、黑白相间的、记录数据符号信息的图形；在代码编制上巧妙利用构成计算机内部逻辑基础的“0”，“1”，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图是某次考试中两位同学的准考证号的二维码的简易编码，如图1，是同学“小胡”的准考证号的二维码的简易编码，其中第一行代表二进制的数字11000，转化成10进制为：，同理，第二行至第五行代表二进制的数字分别为1110，111，11100，1101，转化成10进制为：14，07，28，13，将五行编码组合到一起就是“小胡”的准考证号2414072813，其中第一行编码“24”和第二行编码“14”表示区域和学校，第三行编码“07”表示班级为07班，第四行编码“28”表示考场号为28，第五行编码“13”表示座位号是13；若图2是本次考试“小张”同学的准考证号的二维码的简易编码，则小张的准考证号为（   ） A．2410252110 B．2010272108 C．2212272408 D．2410272108 2．（24-25六年级上·上海·期中）我们平常用的数是十进制数，如，表示十进制的数要用10个数码（又叫数字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9在电子数字计算机中用的是二进制，只要两个数码：0和1．如二进制中等于十进制的数5，等于十进制中的数23，那么二进制中的1011等于十进制的数________________． 3．（2026·湖北襄阳·模拟预测）请完成以下数学活动： 活动目标 认识进位制，理解不同进位制的数之间的转换 材料1 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 十进制数，记作1024； 八进制数，记作； 五进制数，记作； 二进制数，记作； 十六进制数，记作． （十六进制数使用0—9和A—F来表示，其中10，11，12，13，14，15这五个数分别用字母A，B，C，D，E，F表示）． n（，且n为整数）进制数转化成与其相等的十进制数，只需要将n进制数的每个数字，依次乘n的相应次幂相加，就可得到与它相等的十进制数．如：八进制数转十进制数为：． 材料2 十进制整数转化为二进制整数通常采用除二取余法，即用2连续除十进制数，直到商为0，逆序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法．同样的，十进制数转化为八进制数可用除八取余法．例如： 解决问题 任务1： (1)将下列进制数转化为十进制数： ①______；②______； (2)现有三进制数，二进制数，试比较a，b的大小． 任务2： (3)十进制数21转化为二进制数得． (4)如何将一个二进制数转化为十六进制数呢？小勤提出一种想法： 第一步：先将二进制数转为十进制数； 第二步：再将所得的十进制数转化为十六进制数． 根据小勤的思路可以得出：． 【提高题型二 有理数乘方中规律探究问题】 【例1】（24-25七年级上·山东青岛·阶段检测）探究： 请你找规律，并计算：（   ） A．0 B．2 C． D．1 【例2】（24-25六年级上·山东泰安·期末）阅读探究：；；；； （1）根据上述规律，_____（填写计算后的结果）． （2）根据你发现的规律，_____． 1．（25-26七年级上·贵州遵义·期末）小明为了求的值，进行了以下探究：他令，在等式两边同乘2得，，因此，所以．即．请仿照以上推理计算：的值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·北京东城·期中）在数学小组探究活动中，小月请同学想一个数，然后将这个数按以下步骤操作： 小月就能说出同学最初想的那个数．如果小红想了一个数，并告诉小月操作后的结果是，那么小红所想的数是___________． 3．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）观察是数学抽象的基础．在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题．请你擦亮眼睛，开动脑筋，解答下列问题： ， ， ；… (1)按规律填空： ①______； ②如果为正整数，那么______； (2)探究、计算的值； (3)由此拓展，计算的值． 1．（2026·四川内江·模拟预测）光的速度约是万千米/秒，这个速度用科学记数法表示为（     ） A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．米/秒 2．（25-26七年级上·四川泸州·期末）比较这组数，0，，，，大小正确的为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·内蒙古兴安·期中）拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成许多细的面条，如图所示，这样捏合到第8次后，就可以拉出（    ）根细面条． A．16 B．32 C．64 D． 4．（25-26七年级上·安徽宿州·期末）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是时，根据程序计算，第一次输出的结果为，第二次输出的结果为……这样下去第次输出的结果为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·广东江门·期中）为求的值，可令，则，然后用，可以得到，则．仿照计算的值是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·山东泰安·模拟预测）近似数精确到______位，它有______个有效数字． 7．（25-26七年级上·河南郑州·期中）算式 的计算结果的整数部分为_____． 8．（25-26七年级上·湖南长沙·期中）在二进制数中，“1101”表示十进制数的；“11000”表示十进制数的；则二进制数中的“111111”表示的是十进制数的________． 9．（25-26七年级上·重庆渝北·期中）执行如下的程序框图，若输入的，则输出的值为________． 10．（25-26七年级上·全国·课后作业）观察下列等式： ；；；；… （1）根据上面规律，若，，则____，____． （2）用含有自然数n的式子表示上述规律为_______________． 11．（2026七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2) 12．（26-27七年级上·全国·课后作业）利用计算器进行如下计算： 任意写出一个正整数（例如3708），求出它的各位数字的平方和（）：再对这个平方和求出各位数字的平方和……，如此继续下去．你能发现什么规律？ 13．（25-26七年级上·福建三明·期中）（1）计算下面两组算式： ①(3×5)2与32×52 ； ②[(－2)×3]2与(－2)2×32 ； （2）根据以上计算结果猜想： (ab)3＝ (直接写出结果) （3）猜想与验证：当n为正整数时，(ab)n等于什么?请你利用乘方的意义说明理由． 14．（25-26七年级上·甘肃陇南·期末）一粒米微不足道，平时总会在饭桌上毫不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整碗米饭倒掉.针对这种浪费粮食现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米大约重10克，现在请同学们来计算． (1)按我国14亿人口计，每年365天，每人每天三餐米饭计算，如果每人每餐节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（用科学记数法表示） (2)如果我们把一年节约的大米卖成钱，按4元/千克计算，可卖得人民币多少元？（用科学记数法表示） 15．（25-26七年级上·全国·期末）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中抽取2张卡片，将2张卡片上的数字分别作为底数和指数，使所得的幂最大，应如何抽取？幂的最大值是多少？ (2)从中抽取3张卡片，使这3张卡片上数字的乘积最小，应如何抽取？积的最小值是多少？ (3)从中抽取4张卡片，将四个数（四个数都用且只能用一次，可使用括号） “”、“”、“”、“”运算，使其结果等于．（写出一种情况即可） 学科网（北京）股份有限公司 $