专题1.1～1.2直线的相交与同位角、内错角、同旁内角重难点题型专训（8个知识点+8大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

专题1.1~1.2直线的相交与同位角、内错角、同旁内角重难点题型专训 （8个知识点+8大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 相交线 题型二 对顶角的定义 题型三 对顶角相等 题型四 垂线的定义理解 题型五 画垂线 题型六 垂线段最短 题型七 点到直线的距离 题型八 同位角、内错角、同旁内角 拓展题型一 结合对顶角与垂线相关知识求角度 拓展题型二 垂线段性质与点到直线距离综合应用 知识点一：对顶角的概念 对顶角定义：两个角有一个公共顶点，并且两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．如图，与是一对对顶角，另外还有一对对顶角． 【即时训练】 1．（24-25七年级下·广东湛江·月考）下列各图中，和互为对顶角的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·四川成都·月考）若条直线两两相交于不同的点时，可形成 对对顶角． 知识点二：对顶角的性质 对顶角相等．如图，与是一对对顶角，． 【即时训练】 1.（25-26七年级下·福建泉州·课后作业）光线从空气斜射向水中时会发生折射现象，长方形为盛满水的水槽，一束光线从点P射向水面上的点D，折射后照到水槽底部的点C．测得，，若P，D，B三点在同一条直线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·新疆巴州·月考）如图，三条直线a，b，c交于一点，从小到大排序，用“<”连接为 ． 知识点三：垂线 定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，我们说这两条直线互相垂直．其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如图，直线AB与直线CD相交于点O，当（或其他任意一个交角等于）时，直线AB与直线CD垂直，记作，读作“AB垂直于CD”，交点O是垂足．反之，若，则四个交角均为． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·河南郑州·课后作业）已知直线a、b相交，如图所示，下列条件中不能得到的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知直线AB和CD相交于点O，射线于点O，射线于点O．若，则与的度数分别为 ． 知识点四：垂线的画法 一“落”：让直角三角板的一条直角边落在已知直线上，即与已知直线重合． 二“移”：沿已知直线移动三角板，使其另一条直角边经过已知点． 三“画”：沿与已知直线不重合的直角边画直线，这条直线就是已知直线的垂线． 【即时训练】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列选项利用三角板过点画直线的垂线，方法正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）过点向线段所在直线作垂线段，作图正确的是（   ） A． B． C． D． 知识点五：垂线的性质 垂线的性质：在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 【即时训练】 1．（23-24七年级下·山东滨州·课后作业）在平面内，过一点画已知直线的垂线，可画垂线的条数是（   ） A．1 B．2 C．无数 D．不存在 2．（25-26七年级下·河北沧州·期中）如图，若，，为垂足，那么，，三点在同一直线上，其理由是 ． 知识点六：垂线段及其垂线段的性质 1. 垂线段：过直线外一点向已知直线作垂线，这点与垂足之间的线段，叫做垂线段．如图，线段CO叫做点C到直线AB的垂线段． 2. 垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短．简单说成:垂线段最短． 如图，点P是直线l外一点，，垂足为O．A，B，C，D都是直线l上的点，在线段PA，PB，PC，PD，PO中，PO最短，因为垂线段最短．又因为“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”,所以点P到直线l的垂线段也只有一条． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·江苏南通·课后作业）如图，在直线外有一点A，，，点D可以在直线上自由移动，的长不可能是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，在三角形中，，，，．点是线段上的一动点，则线段的最小值是 ． 知识点七：点到直线的距离 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．如图，垂线段CO的 【即时训练】 1．（25-26七年级下·浙江·假期作业）如图，下列线段的长度与点C到所在直线的距离相等的是线段（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·黑龙江绥化·开学考试）如图，在中，，，，，则点到边的距离为 ． 知识点八：同位角、内错角、同旁内角 1. 同位角：两个角分别在两条被截直线的同一方，并且都在截线的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角． 2. 内错角：两个角都在两条被截直线之间,并且分别在截线两侧，即被截线“错开”,具有这种位置关系的一对角叫做内错角． 3. 同旁内角：两个角都在两条被截直线之间,并且在截线的同一旁,具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角． 如图，直线AB，CD被直线EF所截，同位角有与，与，与，与，共4对；内错角有与，与，共2对；同旁内角有与，与，共2对． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·广东深圳·课后作业）如图，直线被直线，所截，下列是内错角的是（    ）． A．和 B．和 C．和 D．和 2．（24-25七年级下·全国·周测）如图，给出下列说法：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的是 （填序号）． 【经典例题一 相交线】 【例1】（24-25七年级下·江苏南京·月考）若平面内两条直线，被第三条直线l3所截，则这三条直线把平面分成（   ）个部分． A．5或6 B．6 C．6或7 D．7或8 【例2】（24-25七年级下·福建厦门·课后作业）某城市新区规划建设10条主干道（道路近似于直线），为有效引导车流，交通运输局计划每条主干道交汇点处设置一组交通信号灯，则交通运输局需要准备的交通信号灯组数最多为 ． 1．（25-26七年级下·福建福州·课后作业）a，b，c为同一平面内的任意三条直线，那么它们的交点可能有（    ）个 A．1，2或3 B．0，1，2或3 C．1或2 D．以上都不对 2．（23-24七年级下·福建厦门·课后作业）根据语句“直线l与线段AB的延长线交于点C”画出的图形是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·湖北黄冈·月考）观察如图图形，并阅读图形下面的相关文字．像这样的十条直线相交最多的交点个数有 ． 4．（25-26七年级下·吉林·课后作业）下列语句中，有一个是错误的，其余三个都是正确的： ①直线EF经过点C；      ②点A在直线l外； ③直线AB的长为5 cm；   ④两条线段m和n相交于点P． （1）错误的语句为________（填序号）． （2）按其余三个正确的语句，画出图形． 【经典例题二 对顶角的定义】 【例1】（23-24七年级下·河北秦皇岛·课后作业）光线从空气射入玻璃时，光的传播方向发生了改变，一部分光线通过玻璃表面反射形成反射光线，一部分光线穿过玻璃发生了折射，如图所示，由科学实验知道，，，下列结论正确的是（    ）    A．与是对顶角 B．与是对顶角 C． D． 【例2】（25-26七年级下·上海·期中）9条不重合的直线相交于一点，构成的对顶角共有 对． 1．（24-25七年级下·甘肃甘南·月考）下列图形中，和互为对顶角的是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·陕西西安·月考）6条直线相交于一点，有（　　）对不同的对顶角． A．30 B．42 C．36 D．40 3．（23-24七年级下·山东烟台·课后作业）若一个角的对顶角是它的补角的，则这个角的度数为 ． 4．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，直线，相交于点，在的内部． (1)图中的对顶角为______________，的补角为_________________； (2)若，且，求的大小． 【经典例题三 对顶角相等】 【例1】（2026·陕西西安·一模）如图，直线与相交于点，射线在内部，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，为了测量一座古塔外墙底部的底角的度数，李萧同学设计了如下测量方案：作，的延长线，，量出的度数，从而得到的度数．这个测量方案的依据是 ． 1．（25-26七年级下·全国·期中）下列说法正确的有（   ） 如果，那么、、互为补角； ，那么是的余角； 互为补角的两个角的平分线互相垂直； 有公共顶点且相等的角是对顶角； 如果两个角相等，那么它们的余角也相等． A．个 B．个 C．个 D．个 2．（23-24七年级下·福建莆田·课后作业）汉代初期的《淮南万毕术》记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就．图1是古人利用光的反射定律改变光路的方法．如图2，入射光线、法线、反射光线在同一平面上，法线垂直于平面镜，反射角等于入射角，即．如图3，李想的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜，利用光的反射原理找到了乒乓球的位置，已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·上海普陀·期中）已知与是对顶角，且与互余，那么 ． 4．（25-26七年级下·河南洛阳·课后作业）如图，已知直线相交于点O，与互余． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【经典例题四 垂线的定义理解】 【例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．在同一平面内，过直线外一点向该直线画垂线，垂足一定在该直线上 B．在同一平面内，过线段或射线外一点向该线段或射线画垂线，垂足一定在该线段或射线上 C．过线段或射线外一点不一定能画出该线段或射线的垂线 D．在同一平面内，过直线上一点可画无数条直线与该直线垂直 【例2】（25-26七年级下·河北石家庄·月考）如图，，点B，O，D在同一条直线上，若，则的度数是 ． 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线AB，CD相交于点O，给出下列条件：①；②；③；④．其中能说明的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级下·福建龙岩·月考）如图，直线与相交于点，，若，则为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·浙江宁波·课后作业）图为《天工开物》记载用于春（）捣谷物的工具“碓（）”的平面结构示意图，与水平线相交于点，于点，于点，．若，则的大小为 度． 4．（25-26七年级下·浙江湖州·课后作业）如图，直线和交于点，在内作射线，使得，在内作射线，使得． (1)若，求的度数； (2)若射线于点，，请先依据题意补全图形，再求的度数． 【经典例题五 画垂线】 【例1】（24-25七年级下·山西朔州·期中）如图，点P是直线外一点，下列是同学们利用直角三角板过点P画直线的垂线的示意图，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（22-23七年级下·天津南开·课后作业）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点称为格点，线段和的端点A，B，C均在格点上，请按要求用无刻度的直尺在如图所示的网格中画图． （1）过点A画线段的垂线，垂足为点D； （2）作经段，； （3）在线段上确定点F，使得最小，在图中画出点F(保留作图痕迹)． 1．（24-25七年级下·贵州黔东南·月考）下列作图能表示点A到的垂线段的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·河北唐山·期中）下面是夕夕的作业纸，通过作图痕迹判断她做对了几个（    ） 题目：过点P画出线段的垂线 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（25-26七年级下·四川成都·课后作业）在平面内，已知点P在直线l外，则过点P可以画 条直线与直线l相垂直． 4．（25-26七年级下·吉林长春·课后作业）如图，每个小正方形的边长为1，按下述要求画图，并回答下列问题： (1)过点画出线段的垂线，垂足为点； (2)画出线段的垂直平分线； (3)过点画的平行线，直线和直线的有怎样的位置关系，并说明理由． 【经典例题六 垂线段最短】 【例1】（25-26七年级下·江苏盐城·课后作业）如图，河道的一侧有甲、乙两个村庄，现要铺设一条引水管道把河水引向甲、乙两村，下列四种方案中最节省材料的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·河南南阳·课后作业）运动会上，甲、乙两名同学测黎明的立定跳远成绩，如图测得数据分别为米，米，米，则黎明的立定跳远成绩应该为 米． 1．（24-25七年级下·陕西西安·月考）如图，要把河里的水引到A点，村民选择线段，理由是（ ） A．垂线段最短 B．两点之间的所有连线中线段最短 C．经过两点有且只有一条直线 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 2．（24-25七年级下·广东湛江·月考）如图，数学课上老师让同学们在方格纸上进行如下操作：经过线段外一点，画线段的垂线段，并测量．同学们发现：点到点的距离均大于点到点的距离，这其中蕴含的数学原理是（   ） A．两点确定一条直线 B．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点之间的所有连线中，线段最短 D．直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短 3．（23-24七年级下·吉林·课后作业）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小敏站在点处，她觉得沿走过斑马线到达马路边更节省时间，这一想法体现的数学道理是 ． 4．（25-26七年级下·江苏扬州·月考）如图网格图中每个小正方形的边长为1，三角形的三个顶点都在格点上， (1)求的面积； (2)过点作的垂线，垂足为； (3)用或填空： ___________，理由是___________． 【经典例题七 点到直线的距离】 【例1】（2026七年级下·全国·专题练习）如图，点在直线上，点，在直线上，，，，，，则下列说法正确的是（   ） A．点到直线的距离等于4 B．点到直线的距离等于4 C．点到的距离等于4 D．点到的距离等于3 【例2】（25-26七年级下·全国·周测）如图，已知直角三角形ABC中，，，，，点D从点A到点B沿AB方向运动．若，则x的取值范围是 ． 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，观察图形，下列说法：①过点A有且只有一条直线AC垂直于直线l；②线段AB，AC，AD中，线段AC最短，因为两点之间，线段最短；③线段AB，AC，AD中，线段AC最短，因为垂线段最短；④线段AC的长是点A到直线l的距离．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26七年级下·全国·单元测试）下列说法： 有且只有一条直线垂直于已知直线； 两条直线相交时，如果对顶角的和是，那么这两条直线互相垂直； 过直线外一点作，垂足为，则线段的长度是点到直线的距离； 在同一平面内，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线． 其中正确的说法有（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·福建福州·期中）如图，点是直线上的一个动点，点是直线外一定点，现给出以下结论： ①点在运动过程中，使直线的点有两个； ②若，当点从出发，沿射线的方向运动时，先变大再变小； ③若，则三角形的面积是三角形的面积的倍； ④当时，线段的长度就是点到直线的距离．其中正确的是 ．(写出所有正确结论的序号) 4．（25-26七年级下·山西临汾·课后作业）按照下列要求完成画图及相应的问题解答． （1）画直线； （2）画； （3）画线段； （4）过点画直线的垂线，垂足为点； （5）点到直线的距离是线段 的长度﹒ 【经典例题八 同位角、内错角、同旁内角】 【例1】（23-24七年级下·贵州六盘水·课后作业）如图，下列说法正确的是（   ） A．与是对顶角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是同旁内角 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图． （1）与是直线，被直线所截形成的 角； （2）与是直线 被直线 所截形成的 角； （3）与是直线 被直线 所截形成的 角； （4）与是直线 被直线 所截形成的 角． 1．（2023七年级·全国·竞赛）如图，直线、同时与第三条直线相交，其中与在与之间，且同时位于两侧，我们称与为一组内错角，图1中有两组内错角（另一对为与）．如图2，5条直线围成一个五角星图案，那么图2中共有（　　）组内错角． A．20 B．30 C．60 D．120 2．（24-25七年级下·重庆渝北·课后作业）如图，，第1次，作相交、，则产生了4对同位角，第2次，作相交、、，则又产生了12组同位角，第3次，作相交、、、，则又产生了24组同位角，推测第6次又产生了（   ）对同位角． A．60 B．84 C．112 D．144 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，同位角有a对，内错角有b对，同旁内角有c对，其中同旁内角为 （写出每组具体名称），则的值是 ． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，请分别指出各图中的同位角、内错角和同旁内角． 【拓展训练一 结合对顶角与垂线相关知识求角度】 【例1】（2022·广东阳江·一模）如图，直线、相交于点，，垂足为，．则的度数为（  ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图：已知直线、直线相交于点，，则下列结论：①；②的补角是；③若，则；④若平分，则；⑤若，则．其中正确结论有 ． 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分，于点O．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 一题多解法∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵OE平分， ∴． 2．（25-26七年级下·河南周口·课后作业）如图，直线、相交于点，于，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·陕西榆林·课后作业）如图，直线、相交于点，射线平分，，若，则的度数为 ． 4．（25-26七年级下·江苏扬州·课后作业）如图，直线、相交于点，平分，于． (1)的余角是______．（写出图中所有符合要求的角） (2)若，求的度数． 【拓展训练二 垂线段性质与点到直线距离综合应用】 【例1】（25-26七年级下·浙江·课后作业）如图，沿笔直小路的一侧栽植两棵小树，小明在处测得米，米，则点到的距离可能为（   ） A．6.4米 B．7.2米 C．8米 D．9米 【例2】（2022·湖北十堰·一模）“已知点和直线，求点P到直线的距离d可用公式计算”．根据以上材料解决下面问题：如图，的圆心C的坐标为，半径为，直线l的表达式为，M是直线l上的动点，N是上的动点，则MN的最小值为 ． 1．（2025七年级下·河南·专题练习）如图，点是直线外的一点，点A、、在直线上，且，垂足是，，则下列不正确的语句是（　　） A．线段的长是点到直线的距离 B．、、三条线段中，最短 C．线段的长是点A到直线的距离 D．线段的长是点到直线的距离 2．（23-24七年级下·山西大同·月考）有下列说法：其中正确的说法的个数是（    ） （1）对顶角相等；（2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （3）直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离； （4）过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24七年级下·江西九江·期中）观察图形，以下结论： ①线段的长必大于点A到直线l的距离； ②线段的长小于线段的长，根据是两点之间线段最短； ③图中共有两对角互为余角； ④线段的长是点D到直线的距离，正确的是 （填序号）． 4．（25-26七年级下·江苏宿迁·课后作业）（1）如图，点、、都在格点上，请仅用无刻度的直尺完成画图．过点画直线的垂线CD，并标出直线CD所经过的格点及垂足，连接线段； （2）线段_____的长就是点到直线的距离； （3）比较大小：_____（填“＞”“＜”或“＝”）． 1．（25-26七年级下·四川南充·课后作业）如图，直线和相交于点，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·广东广州·课后作业）将一副三角板按如图所示位置摆放，其中的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 3．（25-26七年级下·河南周口·课后作业）如图，直线，相交于点，，，平分，下列结论中错误的是（   ） A．当时， B．与相等的角至少有3个 C．一定平分 D． 4．（24-25七年级下·重庆潼南·课后作业）如图，具有同位角关系的一对角是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 5．（25-26七年级下·广西贺州·课后作业）下列说法正确的个数有（    ） ①内错角相等； ②相等的角是对顶角； ③过一点有且只有一条直线垂直于已知直线； ④直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．（25-26七年级下·重庆黔江·课后作业）如图，点在同一条直线上，是的角平分线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·甘肃甘南·月考）点是直线外一点，在直线上．经过测量，，，，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·福建厦门·课后作业）阅读下列“”的说理过程： 如图1，在和中，，．接下来说明和完全重合． 如图2，由可知，如果使点与点重合，并且使射线与重合，那么射线与重合．再由，可知点与点重合，接下来说明点与点重合． 设点在直角边（不包括端点），连接，则，是钝角．若过点且垂直于的直线与线段交于点，则有．设点在线段的延长线上，连接，同理可得，因此，在射线上，与点的连线长度等于的点只有一个．再由点在射线上，，即可证明点与点重合．这样，的三个顶点与的三个顶点分别重合，与能够完全重合． 为能够同理说明，需要作的垂线是（    ） A．过点作的垂线 B．过点作的垂线 C．过点作的垂线 D．过点作的垂线 9．（25-26七年级下·江苏镇江·月考）如图，在同一平面内，线段的长为6，点到直线的距离分别为2和3，则符合条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 10．（25-26七年级下·安徽安庆·课后作业）定义：平面内的直线与相交于点，对于该平面内任意一点，点到直线，的距离分别为，，则称有序非负实数对是点的“距离坐标”根据上述定义，距离坐标为的点的个数是（ ） A． B． C． D． 11．（25-26七年级下·安徽合肥·课后作业）如图，直线、交于点O，，，平分，则的补角是 ． 12．（25-26七年级下·浙江绍兴·课后作业）同一平面内，直线，相交于点，是的角平分线，，于点，则的度数是 ． 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，若，则的同位角的度数为 ，的内错角的度数为 ，的同旁内角的度数为 ． 14．（25-26七年级下·吉林长春·课后作业）如图，A、O、B三点依次在同一直线上，且平分，平分．给出下面四个结论： ①； ②与互补； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 15．（25-26七年级下·山东济宁·期中）如图，在三角形ABC中，，，BC边上的高．若点P在AC边上移动，则BP最短时，其值为 ． 16．（25-26七年级下·江苏南通·课后作业）如图，已知直线、相交于点，平分，． (1)如果，求的度数； (2)如果，则 （用含n的代数式表示）； (3)图中与互余的角有： ． 17．（25-26七年级下·江西吉安·课后作业）如图，点在同一直线上，，，平分． (1)求的度数； (2)猜想吗？请说明理由； (3)是否存在射线，使得分别为以为一边的两个角的平分线？如果存在，直接写出的度数，如果不存在，说明理由． 18．（24-25七年级下·山东威海·课后作业）如图，已知直线与交于点M，与交于点O，平分，若，． (1)求的度数； (2)写出的所有内错角，同旁内角的度数之和． 19．（25-26七年级下·江苏无锡·月考）（1）在如图所示的方格纸上用无刻度直尺作图并标上相应的字母． ①过点P画线段的垂线，垂足为H； ②点A到线段的距离即线段________的长； ③线段、的大小关系是________（用“”连接），理由是______________________________． （2）如图，在同一平面内有四个点A、B、C、D，请用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图（注此题作图不要求写出画法和结论）． ①画射线、直线、线段； ②在线段的反向延长线上作线段，使得线段． 20．（25-26七年级下·全国·单元测试）小华站在长方形操场的左侧处． (1)若要到操场的右侧，怎样走最近？在图①中画出所走路线，并说明理由； (2)若要到操场对面的处，怎样走最近？在图②中画出所走路线，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1~1.2直线的相交与同位角、内错角、同旁内角重难点题型专训 （8个知识点+8大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 相交线 题型二 对顶角的定义 题型三 对顶角相等 题型四 垂线的定义理解 题型五 画垂线 题型六 垂线段最短 题型七 点到直线的距离 题型八 同位角、内错角、同旁内角 拓展题型一 结合对顶角与垂线相关知识求角度 拓展题型二 垂线段性质与点到直线距离综合应用 知识点一：对顶角的概念 对顶角定义：两个角有一个公共顶点，并且两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．如图，与是一对对顶角，另外还有一对对顶角． 【即时训练】 1．（24-25七年级下·广东湛江·月考）下列各图中，和互为对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查对顶角的概念及识别，掌握对顶角的概念，图形结合分析是解题的关键．根据对顶角的概念“一个角的两边分别是另一个角的反向延长线”即可求解． 【详解】解：A：没有公共顶点，不是对顶角，故A错误，不符合题意； B：的两边不是两边的延长线，不是对顶角，故B错误，不符合题意； C：根据概念可知和互为对顶角，故C正确，符合题意； D：的两边不是两边的延长线，不是对顶角，故D错误，不符合题意； 故选：C． 2．（23-24七年级下·四川成都·月考）若条直线两两相交于不同的点时，可形成 对对顶角． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角的定义，熟记对顶角的概念是解题的关键．根据对顶角的概念即可求解． 【详解】解：若三条直线两两相交，最多有3个交点，对对顶角； 四条直线两两相交，最多有个交点，对对顶角； ， 条直线两两相交于不同的点时，可形成对对顶角； 故答案为：． 知识点二：对顶角的性质 对顶角相等．如图，与是一对对顶角，． 【即时训练】 1.（25-26七年级下·福建泉州·课后作业）光线从空气斜射向水中时会发生折射现象，长方形为盛满水的水槽，一束光线从点P射向水面上的点D，折射后照到水槽底部的点C．测得，，若P，D，B三点在同一条直线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查对顶角，根据“对顶角相等”得，代入数据求解即可． 【详解】解：根据题意得：， ∵，， ∴， 故选：C． 2．（24-25七年级下·新疆巴州·月考）如图，三条直线a，b，c交于一点，从小到大排序，用“<”连接为 ． 【答案】 【分析】根据题意，得，解答即可． 本题考查了对顶角相等，角的和差计算，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故， 故答案为：． 知识点三：垂线 定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，我们说这两条直线互相垂直．其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如图，直线AB与直线CD相交于点O，当（或其他任意一个交角等于）时，直线AB与直线CD垂直，记作，读作“AB垂直于CD”，交点O是垂足．反之，若，则四个交角均为． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·河南郑州·课后作业）已知直线a、b相交，如图所示，下列条件中不能得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角度的计算及垂直的定义，熟练掌握垂直的定义是解题的关键． 根据垂直的定义及角度的计算、对顶角相等进行判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴，故该选项不符合题意； B、∵，， ∴， ∴，故该选项不符合题意； C、，不能判定，故该选项符合题意； D、 ∵， ∴， ∴，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知直线AB和CD相交于点O，射线于点O，射线于点O．若，则与的度数分别为 ． 【答案】， 【分析】本题考查了垂线，熟练掌握垂线的相关内容是解题的关键； 根据垂直可得角度，已知的度数，即可求得的度数，即可求得的度数，根据对顶角相等即可求得的度数，再根据垂直即可求得的度数. 【详解】解：∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：，． 知识点四：垂线的画法 一“落”：让直角三角板的一条直角边落在已知直线上，即与已知直线重合． 二“移”：沿已知直线移动三角板，使其另一条直角边经过已知点． 三“画”：沿与已知直线不重合的直角边画直线，这条直线就是已知直线的垂线． 【即时训练】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列选项利用三角板过点画直线的垂线，方法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图-简单作图，垂线的定义等知识，解题的关键是理解垂线的定义．根据垂线的定义判断即可． 【详解】解：根据垂线的定义可知选项C中，直线经过点P，，符合题意． 故选：C． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）过点向线段所在直线作垂线段，作图正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了作图复杂作图，垂线，注意垂线和垂线段的区别是解题关键． 根据垂线的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、所作直线过点，但不与垂直，作图错误，不符合题意； B、所作直线与垂直，但不经过点，作图错误，不符合题意； C、所作直线过点，且与垂直，但作的是垂线，不是垂线段，作图错误，不符合题意； D、所作直线是过点，且与垂直的垂线段，作图正确，符合题意． 故选：D． 知识点五：垂线的性质 垂线的性质：在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 【即时训练】 1．（23-24七年级下·山东滨州·课后作业）在平面内，过一点画已知直线的垂线，可画垂线的条数是（   ） A．1 B．2 C．无数 D．不存在 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂线的性质，根据垂线的性质解答即可，理解性质是解题的关键．即在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 【详解】在平面内，过一点画已知直线的垂线，可画垂线的条数是， 故选：． 2．（25-26七年级下·河北沧州·期中）如图，若，，为垂足，那么，，三点在同一直线上，其理由是 ． 【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【分析】本题考查的是垂线的性质，利用在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直可得答案． 【详解】解：∵，，为垂足， ∴，，三点在同一直线上， 理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 故答案为：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 知识点六：垂线段及其垂线段的性质 1. 垂线段：过直线外一点向已知直线作垂线，这点与垂足之间的线段，叫做垂线段．如图，线段CO叫做点C到直线AB的垂线段． 2. 垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短．简单说成:垂线段最短． 如图，点P是直线l外一点，，垂足为O．A，B，C，D都是直线l上的点，在线段PA，PB，PC，PD，PO中，PO最短，因为垂线段最短．又因为“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”,所以点P到直线l的垂线段也只有一条． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·江苏南通·课后作业）如图，在直线外有一点A，，，点D可以在直线上自由移动，的长不可能是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了垂线段最短． 根据垂线段最短求出的范围，进而判断即可． 【详解】解：∵，，点D可以在直线上自由移动， ∴， 只有A选项不在范围内． 故选：A． 2．（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，在三角形中，，，，．点是线段上的一动点，则线段的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂线段最短，掌握点到直线垂线段最短是解题的关键． 根据题意，当时，的长度最短，由等面积法求高的方法列式求解即可． 【详解】解：由垂线段最短可知，当时，的长度最短， 在中， 由面积公式得：， 即， 解得，； 故答案为：． 知识点七：点到直线的距离 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．如图，垂线段CO的 【即时训练】 1．（25-26七年级下·浙江·假期作业）如图，下列线段的长度与点C到所在直线的距离相等的是线段（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查点到直线的距离的定义，掌握点到直线的距离是直线外一点到这条直线的垂线段的长度是解题的关键．先明确点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线所作垂线段的长度，再找到点C到的垂线段，对比选项中线段的长度是否与该垂线段相等． 【详解】解：根据点到直线的距离的定义，点C到所在直线的距离，是从C向所作垂线段的长度， 观察图形，，因此的长度就是点C到的距离． 故选：D． 2．（25-26七年级下·黑龙江绥化·开学考试）如图，在中，，，，，则点到边的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点到直线的距离，点到边的距离就是过作的垂直线，即． 【详解】 点到边的距离为的长． 点到边的距离为． 故答案为：． 知识点八：同位角、内错角、同旁内角 1. 同位角：两个角分别在两条被截直线的同一方，并且都在截线的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角． 2. 内错角：两个角都在两条被截直线之间,并且分别在截线两侧，即被截线“错开”,具有这种位置关系的一对角叫做内错角． 3. 同旁内角：两个角都在两条被截直线之间,并且在截线的同一旁,具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角． 如图，直线AB，CD被直线EF所截，同位角有与，与，与，与，共4对；内错角有与，与，共2对；同旁内角有与，与，共2对． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·广东深圳·课后作业）如图，直线被直线，所截，下列是内错角的是（    ）． A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角． 【详解】解：A、和是同位角，故此选项不符合题意； B、和不是内错角，故此选项不符合题意； C、和是内错角，故此选项符合题意； D、和是同旁内角，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级下·全国·周测）如图，给出下列说法：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查对顶角、内错角、同旁内角的相关概念，熟练掌握相关概念是解决本题的关键． 根据对顶角、同旁内角、内错角的性质判断即可． 【详解】解：与是对顶角，①说法正确； 与是同旁内角，②说法正确； 与不是同旁内角，③说法错误； 与是内错角，④说法正确； 故答案为：①②④． 【经典例题一 相交线】 【例1】（24-25七年级下·江苏南京·月考）若平面内两条直线，被第三条直线l3所截，则这三条直线把平面分成（   ）个部分． A．5或6 B．6 C．6或7 D．7或8 【答案】C 【分析】本题考查了直线定义，相交线，掌握直线的位置关系是解题的关键． 根据题意，画出图形，分两种情况：①，不平行；②，平行时，进行解答即可． 【详解】解：分两种情况： ①若，不平行，如图所示， 观察图形可知，这三条直线把平面分成7个部分． ②若，平行，如图所示， 观察图形可知，这三条直线把平面分成6个部分， 综上所述，这三条直线把平面分成6或7个部分． 故选：C． 【例2】（24-25七年级下·福建厦门·课后作业）某城市新区规划建设10条主干道（道路近似于直线），为有效引导车流，交通运输局计划每条主干道交汇点处设置一组交通信号灯，则交通运输局需要准备的交通信号灯组数最多为 ． 【答案】45 【分析】此题考查平面内不重合直线的位置关系，是寻找规律的题型，找到n条直线相交，最多有个交点是解题的关键；要探求相交直线的交点的最多个数，则应尽量让每两条直线产生不同的交点．根据两条直线相交有一个交点，然后可画出图形找出规律即可求解． 【详解】解：如图， ∵两条直线相交，最多有1个交点， 三条直线相交，最多有个交点， 四条直线相交，最多有个交点． 五条直线相交，最多有个交点； …..； ∴n条直线相交，最多有个交点； ∴10条直线相交，最多有个交点； 即交通运输局需要准备的交通信号灯组数最多为45； 故答案为45． 1．（25-26七年级下·福建福州·课后作业）a，b，c为同一平面内的任意三条直线，那么它们的交点可能有（    ）个 A．1，2或3 B．0，1，2或3 C．1或2 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了相交线，掌握分类讨论思想是解题关键． 分以下四种情况①三条直线两两平行，②三条直线交于一点，③两条直线平行与第三条直线相交，④三条直线两两相交不交于同一点解答即可． 【详解】解：①三条直线两两平行，没有交点； ②三条直线交于一点，有一个交点； ③两条直线平行与第三条直线相交，有两个交点； ④三条直线两两相交不交于同一点，有三个交点． 综上，它们的交点可能有0，1，2或3个． 故选：B． 2．（23-24七年级下·福建厦门·课后作业）根据语句“直线l与线段AB的延长线交于点C”画出的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相交线以，两条直线交于一点，我们称这两条直线为相交线．根据语句“直线l与线段AB的延长线交于点C″进行判断，即可得出结论． 【详解】解：根据语句“直线l与线段AB的延长线交于点C”画出的图形是： 故选：C． 3．（25-26七年级下·湖北黄冈·月考）观察如图图形，并阅读图形下面的相关文字．像这样的十条直线相交最多的交点个数有 ． 【答案】45 【分析】根据直线两两相交且不交于同一点，可得答案． 【详解】解：每条直线都与其他九条直线有一个交点，即9个交点，十条直线一共有9×10 =90个交点，因为每个交点都重复了一次，所以十条直线相交最多的交点个数有90÷2=45， 故答案为：45． 【点睛】本题考查了相交线，n条直线与其它每条直线都有一个交点，可有（n−1）个交点，n条直线有n（n−1）个交点，每个交点都重复了一次，n条直线最多有 个交点． 4．（25-26七年级下·吉林·课后作业）下列语句中，有一个是错误的，其余三个都是正确的： ①直线EF经过点C；      ②点A在直线l外； ③直线AB的长为5 cm；   ④两条线段m和n相交于点P． （1）错误的语句为________（填序号）． （2）按其余三个正确的语句，画出图形． 【答案】（1）③；（2）见解析 【分析】（1）点与直线的位置关系，直线的定义，两条直线的位置关系，逐项判断即可求解； （2）根据点与直线的位置关系，两条直线的位置关系，画出图形，即可求解． 【详解】解：（1）①直线EF经过点C，故本说法正确； ②点A在直线l外，故本说法正确； ③因为直线向两端无限延伸，所以长度无法测量，故本说法错误； ④两条线段m和n相交于点P，故本说法正确； 所以错误的语句为③； （2）图形如图所示：                         【点睛】本题主要考查了点与直线的位置关系，直线的定义，两条直线的位置关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【经典例题二 对顶角的定义】 【例1】（23-24七年级下·河北秦皇岛·课后作业）光线从空气射入玻璃时，光的传播方向发生了改变，一部分光线通过玻璃表面反射形成反射光线，一部分光线穿过玻璃发生了折射，如图所示，由科学实验知道，，，下列结论正确的是（    ）    A．与是对顶角 B．与是对顶角 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了对顶角的定义、余角的定义等知识点，掌握对顶角和余角的定义成为解题的关键．根据对顶角的性质可判定A、B选项，再根据余角的定义可判定C、D选项． 【详解】解：由对顶角的定义可知∠1和∠2不是对顶角，∠3和∠4也不是对顶角，即A、B选项不符合题意； ∵，， ∴，即C选项符合题意； ∵， ∴，即D选项不符合题意． 故选C． 【例2】（25-26七年级下·上海·期中）9条不重合的直线相交于一点，构成的对顶角共有 对． 【答案】72 【分析】本题考查对顶角的定义，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角． 【详解】解：①两条直线相交共2对对顶角； ②三条直线相交，在2对的基础上再加4对，共6对； ③四条直线相交，在6对的基础上再加6对，共12对； ④五条直线相交，在12对的基础上再加8对，共20对； 即对顶角的对数为，2，6，12，20……， 以此类推，当n条直线相交时，对顶角的总对数为：  ； 根据n条直线相交于一点，构成对对顶角的规律可知， 当时，=（92-9）=72（对）， 故答案为：72． 【点睛】本题考查了对顶角的定义及n条直线相交于一点，构成对顶角的规律，注意对顶角是两条直线相交而成的四个角中，没有公共边的两个角． 1．（24-25七年级下·甘肃甘南·月考）下列图形中，和互为对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了对顶角的识别，熟知对顶角的定义是解题的关键． 根据对顶角的定义来判断，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角，然后即可求解． 【详解】解：根据对顶角的定义可知，只有C中和属于对顶角， 故选：C． 2．（22-23七年级下·陕西西安·月考）6条直线相交于一点，有（　　）对不同的对顶角． A．30 B．42 C．36 D．40 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角的定义，熟练掌握定义并总结出一般规律是解题的关键．分别列出两条直线、三条直线、四条直线相交于一点时的情况，从而总结一般规律，即可解决问题． 【详解】解：两条直线相交与一点，共形成对不同的对顶角； 三条直线相交于一点，共形成对不同的对顶角； 四条直线相交于一点，共形成对不同的对顶角； 条直线相交于一点，共形成对不同的对顶角； 6条直线相交于一点，共形成对不同的对顶角； 故选：A． 3．（23-24七年级下·山东烟台·课后作业）若一个角的对顶角是它的补角的，则这个角的度数为 ． 【答案】/45度 【分析】本题主要考查对顶角和补角，一元一次方程的几何应用，设这个角的度数是x，根据一个角的对顶角是它的补角的，列出方程求解即可． 【详解】解：设这个角的度数是x， 角的对顶角也为x， 根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，直线，相交于点，在的内部． (1)图中的对顶角为______________，的补角为_________________； (2)若，且，求的大小． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了对顶角的性质，邻补角的意义，解题关键是能读懂所给的图． （1）根据对顶角，补角的意义求解； （2）先根据对顶角的性质，求得，再结合，求出，然后求出其补角的大小． 【详解】解：（1），； 故答案为：，； （2）∵直线，相交于点，， ∴， ∵， ， ． 【经典例题三 对顶角相等】 【例1】（2026·陕西西安·一模）如图，直线与相交于点，射线在内部，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角，角的和差，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．根据题意可得，再根据对顶角相等可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由图可得， ∴， ， ， ．      故选：A． 【例2】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，为了测量一座古塔外墙底部的底角的度数，李萧同学设计了如下测量方案：作，的延长线，，量出的度数，从而得到的度数．这个测量方案的依据是 ． 【答案】对顶角相等 【分析】本题考查了对顶角的性质，掌握对顶角相等，利用该性质可以通过测量易获取的角来得到不易直接测量的角是解题的关键． 观察与的位置关系，判断其为对顶角，根据对顶角的性质确定测量方案的依据． 【详解】解：∵与是对顶角，根据对顶角相等的性质， ∴量出的度数，即可得到的度数． 因此，这个测量方案的依据是：对顶角相等． 故答案为：对顶角相等． 1．（25-26七年级下·全国·期中）下列说法正确的有（   ） 如果，那么、、互为补角； ，那么是的余角； 互为补角的两个角的平分线互相垂直； 有公共顶点且相等的角是对顶角； 如果两个角相等，那么它们的余角也相等． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查对顶角，余角，补角． 根据对顶角，余角，补角的定义，对各说法进行分析判断即可． 【详解】解：和为的两个角互为补角，故原说法不正确； ，那么是的补角，故原说法不正确； 互为补角的两个角的平分线不一定互相垂直，故原说法不正确； 有公共顶点且相等的角不一定是对顶角，故原说法不正确； 等角的余角相等，故原说法正确； ∴说法正确的有个． 故选：A． 2．（23-24七年级下·福建莆田·课后作业）汉代初期的《淮南万毕术》记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就．图1是古人利用光的反射定律改变光路的方法．如图2，入射光线、法线、反射光线在同一平面上，法线垂直于平面镜，反射角等于入射角，即．如图3，李想的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜，利用光的反射原理找到了乒乓球的位置，已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角度的计算，对顶角相等．明确角度之间的数量关系是解题的关键． 由题意知，，由，可得，由，可得，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 3．（24-25七年级下·上海普陀·期中）已知与是对顶角，且与互余，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角、邻补角，余角和补角，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 根据对顶角相等得出，再根据互为余角的定义得出，即可求出的度数． 【详解】解：∵与是对顶角， ∴， ∵与互余， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（25-26七年级下·河南洛阳·课后作业）如图，已知直线相交于点O，与互余． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了余角的定义，对顶角，熟知度数之和为的两个角互为余角是解题的关键． （1）由余角的定义即可得到，再根据对顶角相等即可求解； （2）由余角的定义得到，求得，由题意求得，由平角的定义即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵与互余，， ∴， ∵与是对顶角， ∴； （2）解：∵与互余， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴． 【经典例题四 垂线的定义理解】 【例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．在同一平面内，过直线外一点向该直线画垂线，垂足一定在该直线上 B．在同一平面内，过线段或射线外一点向该线段或射线画垂线，垂足一定在该线段或射线上 C．过线段或射线外一点不一定能画出该线段或射线的垂线 D．在同一平面内，过直线上一点可画无数条直线与该直线垂直 【答案】A 【分析】本题考查对垂线定义的理解． 根据直线垂直的定义，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．在同一平面内，过直线外一点向该直线画垂线，垂足一定在该直线上，原说法正确，符合题意； B．在同一平面内，过线段或射线外一点向该线段或射线画垂线，垂足可能在它们的延长线（或反向延长线）上，原说法错误，不符合题意； C．过线段或射线外一点可以画出一条直线与之垂直，原说法错误，不符合题意； D．在同一平面内，过直线上一点可画一条直线与该直线垂直，原说法错误，不符合题意． 故选：A． 【例2】（25-26七年级下·河北石家庄·月考）如图，，点B，O，D在同一条直线上，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查垂直的定义，与余角、补角相关的计算． 由，可得，结合已知可得，由点B，O，D在同一条直线上，可得，即可得的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵点B，O，D在同一条直线上， ∴， ∴． 故答案为：． 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线AB，CD相交于点O，给出下列条件：①；②；③；④．其中能说明的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题主要考查垂线的定义，角的概念，对顶角、邻补角的定义，准确识图，理解垂线的定义，对顶角、邻补角的定义是解决问题的关键． 根据垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直进行判定即可． 【详解】解：①∵直线，相交于点，， ∴， 故条件①能说明； ②∵直线，相交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故条件②能说明； ③∵直线，相交于点， ∴， 根据已知条件，不能得到， 故条件③不能说明； ④∵直线，相交于点， ∴， ∵， ∴， 故条件④能说明， 综上所述：能说明的条件有①②④，共3个． 故选：C． 2．（24-25七年级下·福建龙岩·月考）如图，直线与相交于点，，若，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂直的意义和平角，解题的关键是掌握垂线的性质，根据垂线的性质以及平角的定义即可求出答案． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 3．（24-25七年级下·浙江宁波·课后作业）图为《天工开物》记载用于春（）捣谷物的工具“碓（）”的平面结构示意图，与水平线相交于点，于点，于点，．若，则的大小为 度． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂线的定义，根据垂直定义可得，从而可得，然后利用四边形内角和是进行计算，即可求解，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 【详解】解：∵于点，于点，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（25-26七年级下·浙江湖州·课后作业）如图，直线和交于点，在内作射线，使得，在内作射线，使得． (1)若，求的度数； (2)若射线于点，，请先依据题意补全图形，再求的度数． 【答案】(1) (2)图见解析；射线在左侧时的度数为，当射线在右侧时的度数为 【分析】本题考查角的计算，垂线的定义； （1）根据题意先求得，根据，得出，再根据，即可求解． （2）分两种情况，①当射线在左侧时，②当射线在右侧时，补全图形后根据垂线定义结合图形，即可求解． 【详解】（1）解：因为， 所以， 又因为， 所以， 因为， 所以， 所以． （2）解：补全图形如下， 由（1）可知，， 因为，所以． ①当射线在左侧时，如图1，， 所以． ②当射线在右侧时，如图2，， 所以． 【经典例题五 画垂线】 【例1】（24-25七年级下·山西朔州·期中）如图，点P是直线外一点，下列是同学们利用直角三角板过点P画直线的垂线的示意图，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图-简单作图，垂线的定义等知识，解题的关键是理解垂线的定义．根据垂线的定义判断即可． 【详解】解：根据垂线的定义可知选项C中，直线经过点P，，符合题意． 故选：C． 【例2】（22-23七年级下·天津南开·课后作业）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点称为格点，线段和的端点A，B，C均在格点上，请按要求用无刻度的直尺在如图所示的网格中画图． （1）过点A画线段的垂线，垂足为点D； （2）作经段，； （3）在线段上确定点F，使得最小，在图中画出点F(保留作图痕迹)． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析． 【分析】（1）根据网格线的特征画图； （2）根据网格线的特征画图； （3）根据两点之间线段最短求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，线段即为所求； （3）∵两点之间线段最短， ∴直接连接即可， 如图，点即为所求． 【点睛】本题考查了作图，熟悉网格线的特征是解题的关键． 1．（24-25七年级下·贵州黔东南·月考）下列作图能表示点A到的垂线段的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了画垂线，点到直线的距离：过直线外一点向直线作垂线，这点与垂足间线段的长度；根据此概念判断即可． 【详解】解：A、表示点B到的距离，不符合题意； B、表示点A到的距离，符合题意； C、不表示点A到的距离，不符合题意； D、表示点C到的距离，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25七年级下·河北唐山·期中）下面是夕夕的作业纸，通过作图痕迹判断她做对了几个（    ） 题目：过点P画出线段的垂线 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查作图-基本作图，解题的关键是理解垂线段的概念及作法．根据垂线的定义判断即可． 【详解】解：根据题意：她做对了2个，分别是（1）和（3）， 故选：C． 3．（25-26七年级下·四川成都·课后作业）在平面内，已知点P在直线l外，则过点P可以画 条直线与直线l相垂直． 【答案】一/1 【分析】应用垂线的性质，在平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，进行判断即可得出答案． 【详解】解：在平面内，已知点P在直线l外，则过点P可以画一条直线与直线l相垂直． 故答案为：一． 【点睛】本题主要考查了垂线的性质，熟练掌握垂线的性质进行求解是解决本题的关键． 4．（25-26七年级下·吉林长春·课后作业）如图，每个小正方形的边长为1，按下述要求画图，并回答下列问题： (1)过点画出线段的垂线，垂足为点； (2)画出线段的垂直平分线； (3)过点画的平行线，直线和直线的有怎样的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)，见详解 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，平行线的性质，线段的垂直平分线，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）取格点J，作直线交于点D，直线即为所求； （2）取格点E，F，作直线即可； （3）取格点G，作直线即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，直线即为所求； （3）解：如图，直线即为所求． 理由：，， ， ， ． 【经典例题六 垂线段最短】 【例1】（25-26七年级下·江苏盐城·课后作业）如图，河道的一侧有甲、乙两个村庄，现要铺设一条引水管道把河水引向甲、乙两村，下列四种方案中最节省材料的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂线段最短，两点之间，线段最短，根据垂线段最短；两点之间，线段最短解答即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据垂线段最短，两点之间，线段最短可得：四种方案中最节省材料的是， 故选：． 【例2】（25-26七年级下·河南南阳·课后作业）运动会上，甲、乙两名同学测黎明的立定跳远成绩，如图测得数据分别为米，米，米，则黎明的立定跳远成绩应该为 米． 【答案】 【分析】本题考查了垂线段最短，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．根据垂线段最短求解． 【详解】解：根据题意，得黎明的立定跳远成绩应该为米． 故答案为： 1．（24-25七年级下·陕西西安·月考）如图，要把河里的水引到A点，村民选择线段，理由是（ ） A．垂线段最短 B．两点之间的所有连线中线段最短 C．经过两点有且只有一条直线 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】A 【分析】本题考查垂线段最短，根据垂线段最短进行判断即可，理解垂线段最短是正确解答的关键． 【详解】解：根据题意可知，要把河里的水引到A点，村民选择线段，理由是垂线段最短， 故选： 2．（24-25七年级下·广东湛江·月考）如图，数学课上老师让同学们在方格纸上进行如下操作：经过线段外一点，画线段的垂线段，并测量．同学们发现：点到点的距离均大于点到点的距离，这其中蕴含的数学原理是（   ） A．两点确定一条直线 B．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点之间的所有连线中，线段最短 D．直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂线段最短，根据“垂线段最短”即可求解． 【详解】解：点C到点A，B的距离均大于点C到点D的距离这其中蕴含的数学原理是直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短． 故选：D． 3．（23-24七年级下·吉林·课后作业）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小敏站在点处，她觉得沿走过斑马线到达马路边更节省时间，这一想法体现的数学道理是 ． 【答案】垂线段最短 【分析】本题主要考查了垂线段最短的性质，熟练掌握性质是解题的关键．根据垂线段最短的性质进行解答解答． 【详解】解：根据题意可得：垂直马路方向走斑马线更节省时间，体现了垂线段最短， 故答案为：垂线段最短． 4．（25-26七年级下·江苏扬州·月考）如图网格图中每个小正方形的边长为1，三角形的三个顶点都在格点上， (1)求的面积； (2)过点作的垂线，垂足为； (3)用或填空： ___________，理由是___________． 【答案】(1)5 (2)见解析 (3)，垂线段最短 【分析】本题考查网格中计算三角形的面积、作垂线、垂线段最短，解决本题的关键是根据网格准确作图． （1）利用割补法求解可得的面积； （2）根据线的定义，结合网格作图即可得； （3）根据垂线段最短即可完成填空． 【详解】（1）解：． （2）解：如图所示． （3）解：， （垂线段最短）． 故答案为：，垂线段最短． 【经典例题七 点到直线的距离】 【例1】（2026七年级下·全国·专题练习）如图，点在直线上，点，在直线上，，，，，，则下列说法正确的是（   ） A．点到直线的距离等于4 B．点到直线的距离等于4 C．点到的距离等于4 D．点到的距离等于3 【答案】B 【分析】本题考查了点到直线的距离的定义，熟练掌握相关内容是解题的关键； 逐一分析各选项所述是否符合点到直线距离的定义． 【详解】解：A、点C到直线的距离为过点C作的垂线段即AC的长度，则点C到直线的距离为5，错误，不符合题意； B、根据定义，点A到直线的距离为AB的长4，正确，符合题意； C、根据定义，点C到AB的距离为线段BC的长为3，错误，不符合题意； D、根据定义，点B到AC的距离为：，错误，不符合题意； 故选：B． 【例2】（25-26七年级下·全国·周测）如图，已知直角三角形ABC中，，，，，点D从点A到点B沿AB方向运动．若，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】点在点时，值最大，当点运动到时，值最小，求出的值即可． 【详解】解：根据题意，当时，取得最小值， 此时； 当点与点重合时，取得最大值，最大值为4． 综上，的取值范围为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了点到直线的距离和直角三角形的性质，根据直角三角形的面积等于两条直角边的乘积的一半，也等于斜边与斜边上的高的积的一半，进行计算． 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，观察图形，下列说法：①过点A有且只有一条直线AC垂直于直线l；②线段AB，AC，AD中，线段AC最短，因为两点之间，线段最短；③线段AB，AC，AD中，线段AC最短，因为垂线段最短；④线段AC的长是点A到直线l的距离．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题主要考查了垂线段，解题的关键是掌握垂线的性质，以及点到直线的距离，是垂线段的长度． 根据垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段；垂线段的性质：垂线段最短；垂线的性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，可得答案． 【详解】解：①过点有且只有一条直线垂直于直线，该说法正确，符合题意； ②线段、、中，线段最短，是因为垂线段最短，该说法错误，不符合题意； ③线段、、中，线段最短，是因为垂线段最短，该说法正确，符合题意； ④线段的长是点到直线的距离，该说法正确，符合题意； 正确的说法为①③④，有个， 故选：C． 2．（25-26七年级下·全国·单元测试）下列说法： 有且只有一条直线垂直于已知直线； 两条直线相交时，如果对顶角的和是，那么这两条直线互相垂直； 过直线外一点作，垂足为，则线段的长度是点到直线的距离； 在同一平面内，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线． 其中正确的说法有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直线之间的位置关系，在平面内，能作无数条直线与已知直线垂直，可知错误，正确，根据对顶角相等和对顶角的和是，可知这两条直线垂直，故正确，根据点到直线的距离的定义，可知正确． 【详解】解：在平面内，能作无数条直线与已知直线垂直，故错误； 两直线相交，对顶角相等，若对顶角的和是，则每个角都是，即两直线相交形成的夹角是，两条直线互相垂直，故正确； 根据点到直线的距离的定义，可知：过直线外一点作，垂足为，则线段的长度是点到直线的距离，故正确； 在同一平面内，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，故正确． 综上所述，正确的说法有． 故选：B． 3．（23-24七年级下·福建福州·期中）如图，点是直线上的一个动点，点是直线外一定点，现给出以下结论： ①点在运动过程中，使直线的点有两个； ②若，当点从出发，沿射线的方向运动时，先变大再变小； ③若，则三角形的面积是三角形的面积的倍； ④当时，线段的长度就是点到直线的距离．其中正确的是 ．(写出所有正确结论的序号) 【答案】②④ 【分析】本题主要考查了点到直线的距离和三角形面积公式的理解，根据过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，逐项分析即可，熟练掌握点到直线的距离和三角形面积公式是解题的关键． 【详解】解：①点在运动过程中，使直线的点有两个，说法错误，只有一个； ②若，当点从出发，沿射线的方向运动时，先变大再变小，说法正确； ③若，则三角形的面积是三角形的面积的倍，说法错误，因为点在线段点左边或在点右边时，但点不是线段中点，不能使三角形的面积是三角形的面积的倍； ④当时，线段的长度就是点到直线的距离，说法正确． 综上，正确的是②④， 故答案为：②④． 4．（25-26七年级下·山西临汾·课后作业）按照下列要求完成画图及相应的问题解答． （1）画直线； （2）画； （3）画线段； （4）过点画直线的垂线，垂足为点； （5）点到直线的距离是线段 的长度﹒ 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析；（5）CD 【分析】（1）画直线AB即可； （2）画∠BAC即可； （3）画线段BC即可； （4）过C点画直线AB的垂线，交直线AB于点D即可； （5）根据点到直线的距离即可得点C到直线AB的距离． 【详解】解： 如图所示： （1）直线AB即为所求作的图形； （2）∠BAC即为所求作的图形； （3）线段BC即为所求作的图形； （4）过C点画直线AB的垂线，交直线AB于点D，CD即为所求作的图形； （5）点C到直线AB的距离为线段CD的长． 【点睛】本题考查了作图，作直线、射线、线段、垂线、点到直线的距离，解决本题的关键是根据语句准确画出图形． 【经典例题八 同位角、内错角、同旁内角】 【例1】（23-24七年级下·贵州六盘水·课后作业）如图，下列说法正确的是（   ） A．与是对顶角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是同旁内角 【答案】D 【分析】本题考查了角的位置关系，熟悉掌握位置关系是解题的关键． 根据位置关系逐一判断即可． 【详解】解：A：与是同位角，故A错误； B：与是内错角，故B错误； C：与没有位置关系，故C错误； D：与是同旁内角，故D正确； 故选：D． 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图． （1）与是直线，被直线所截形成的 角； （2）与是直线 被直线 所截形成的 角； （3）与是直线 被直线 所截形成的 角； （4）与是直线 被直线 所截形成的 角． 【答案】 内错 同位 同旁内 内错 【分析】本题考查的知识点是同位角，内错角，同旁内角的概念，解题关键是熟记同位角、内错角、同旁内角的位置关系． （1）利用内错角的概念进行判断填空即可； （2）利用同位角的概念进行判断填空即可； （3）利用同旁内角的概念进行判断填空即可； （4）利用内错角的概念进行判断填空即可． 【详解】解：（1）与是直线，被直线所截形成的内错角； 故答案为：内错； （2）与是直线被直线所截形成的同位角； 故答案为：，，同位； （3）与是直线被直线所截形成的同旁内角； 故答案为：，，同旁内； （4）与是直线被直线所截形成的内错角． 故答案为：，，内错． 1．（2023七年级·全国·竞赛）如图，直线、同时与第三条直线相交，其中与在与之间，且同时位于两侧，我们称与为一组内错角，图1中有两组内错角（另一对为与）．如图2，5条直线围成一个五角星图案，那么图2中共有（　　）组内错角． A．20 B．30 C．60 D．120 【答案】C 【分析】本题考查了求内错角，将图2分为10种情况求出一种情况的组数是解题的关键． 任意三条直线相交，可知共有六组内错角，求出5条直线任取三条的情况数，即可求出总的组数，根据内错角需三条直线才得以成立可知不存在重复情况，即可作答． 【详解】如图，任意三条直线相交， 根据内错角的定义可知与、与、与、与、与、与是内错角共六组； 设5条直线分别为a、b、c、d、e，任取三条， 则共有共10种情况， 则共有（组） ∵内错角需三条直线才得以成立， ∴不存在重复情况， 例如将移走，则均不存在，即已知与、与、与、与、与、与六组内错角不存在． 故选：C 2．（24-25七年级下·重庆渝北·课后作业）如图，，第1次，作相交、，则产生了4对同位角，第2次，作相交、、，则又产生了12组同位角，第3次，作相交、、、，则又产生了24组同位角，推测第6次又产生了（   ）对同位角． A．60 B．84 C．112 D．144 【答案】B 【分析】本题主要考查了同位角的概念和规律题，可先通过分析前几次作直线后产生同位角的数量，找出其规律，再根据规律计算第6次产生同位角的数量，即可求解． 【详解】解： 设作第n次直线后产生的同位角对数为， 第1次，作​​相交​​，此时有2条被截直线 ，1条截线​​，产生了对同位角； 第2次，作​​相交​​，此时有3条被截直线​​，1条截线​​，产生了对同位角； 第3次，作​​相交，此时有4条被截直线，1条截线​​，产生了对同位角； 以此类推，可得到规律：作第n次直线后，有条被截直线，1条截线，产生的同位角对数； 当时，代入上述规律公式可得：（对） 故选项为：B． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，同位角有a对，内错角有b对，同旁内角有c对，其中同旁内角为 （写出每组具体名称），则的值是 ． 【答案】 与，与，与，与 14 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的识别，掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是解题的关键． 先根据同位角、内错角、同旁内角的定义，分别找出图中这三类角的具体组合并数出对数，再将三类角的对数相加得到结果． 【详解】解：同位角有与，与，与，与，与，与，所以； 内错角有与，与，与，与，所以； 同旁内角有与，与，与，与，所以， 所以． 故答案为：与，与，与，与；14． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，请分别指出各图中的同位角、内错角和同旁内角． 【答案】见解析 【分析】本题考查同位角、内错角、同旁内角的识别，明确平行线与截线形成的角的位置关系是解题关键． “同位角：同位置；内错角：交错在截线两侧；同旁内角：在截线同侧”，根据角的位置特征进行识别． 【详解】（1）同位角：和，和，和，和， 内错角：和，和， 同旁内角：和，和． （2）同位角：和，和， 内错角：和，和， 同旁内角：和，和，和，和． 【拓展训练一 结合对顶角与垂线相关知识求角度】 【例1】（2022·广东阳江·一模）如图，直线、相交于点，，垂足为，．则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂线和对顶角，根据垂直定义可得，再根据角的和差关系可得，再根据对顶角相等可得结论．解题的关键是掌握当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【例2】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图：已知直线、直线相交于点，，则下列结论：①；②的补角是；③若，则；④若平分，则；⑤若，则．其中正确结论有 ． 【答案】①③④⑤ 【分析】本题考查了对顶角性质、角平分线定义、垂线定义、余角和补角的知识，解题关键是熟练掌握相关概念和性质，准确分析角之间的关系．利用对顶角相等、角平分线的定义、垂线定义以及余角、补角的概念，对每个结论逐一进行分析判断即可． 【详解】解：①∵， ∴，故①正确，符合题意； ②∵， ∴的补角不是，故②错误，不符合题意； ③∵， ∴，故③正确，符合题意； ④∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确，符合题意； ⑤∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故⑤正确； 综上，正确的有①③④⑤． 故答案为：①③④⑤． 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分，于点O．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可得到，通过角度的和差关系可得到，根据对顶角相等可得到，最后根据角平分线的定义可得到的度数．也可以根据可得到，通过角度的和差关系得到，再根据邻补角的定义得到，最后根据角平分线的定义可得到的度数． 【详解】解：∵， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． ∵OE平分， ∴． 一题多解法∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵OE平分， ∴． 故选：C 【点睛】本题考查了对顶角、邻补角、角平分线，利用邻补角的定义和角平分线的定义是解题的关键． 2．（25-26七年级下·河南周口·课后作业）如图，直线、相交于点，于，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求角度，涉及垂直定义、对顶角相等等知识，数形结合表示出相关角度是解决问题的关键． 由得到，从而得到，再由对顶角相等即可得到答案． 【详解】解：于， ， ， ， ， 故选：B． 3．（23-24七年级下·陕西榆林·课后作业）如图，直线、相交于点，射线平分，，若，则的度数为 ． 【答案】80 【分析】本题考查几何图形中的角度计算，由得，进而可得，由角平分线的定义得，再由对顶角相等即可求解． 【详解】解：， ， 又， ， 射线平分， ， ， 故答案为：80． 4．（25-26七年级下·江苏扬州·课后作业）如图，直线、相交于点，平分，于． (1)的余角是______．（写出图中所有符合要求的角） (2)若，求的度数． 【答案】(1)、、 (2) 【分析】本题考查余角的定义与性质，角平分线的定义，对顶角的性质，掌握角的和差计算是解题关键． （1）先由垂直关系找到的一个余角，再利用角平分线和对顶角相等的性质，推导出另外两个余角； （2）先通过角的和差求出的度数，再根据（1）的结论，直接得到的度数． 【详解】（1）解：， ， ， ， 平分， ， ， 故的余角是、、． 答：、、． （2）解：，， ， 根据（1）可知，， ． 答：． 【拓展训练二 垂线段性质与点到直线距离综合应用】 【例1】（25-26七年级下·浙江·课后作业）如图，沿笔直小路的一侧栽植两棵小树，小明在处测得米，米，则点到的距离可能为（   ） A．6.4米 B．7.2米 C．8米 D．9米 【答案】A 【分析】本题考查了垂线段最短，熟练掌握垂线段最短是解题关键．根据垂线段最短即可得． 【详解】解：∵小明在处测得米， ∴点到的距离米（当时，等号成立）， 观察四个选项可知，只有选项A符合要求， 故选：A． 【例2】（2022·湖北十堰·一模）“已知点和直线，求点P到直线的距离d可用公式计算”．根据以上材料解决下面问题：如图，的圆心C的坐标为，半径为，直线l的表达式为，M是直线l上的动点，N是上的动点，则MN的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据点到直线的距离公式求出点C到直线的距离，进而即可求解． 【详解】如图，过点C作CM⊥直线l，交于点N，此时MN的值最小， 根据点到直线的距离公式可知： 点C（1，1）到直线的距离为：， ∵的半径为， ∴MN的最小值， 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数的性质，点到直线的距离公式，解题的关键是灵活运用所学知识点解决问题． 1．（2025七年级下·河南·专题练习）如图，点是直线外的一点，点A、、在直线上，且，垂足是，，则下列不正确的语句是（　　） A．线段的长是点到直线的距离 B．、、三条线段中，最短 C．线段的长是点A到直线的距离 D．线段的长是点到直线的距离 【答案】D 【分析】本题主要考查了点到直线的距离的定义，及垂线段最短的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键； 利用点到直线的距离的定义、垂线段最短分析判断即可． 【详解】A．根据点到直线的距离的定义∶即点到这一直线的垂线段的长度．因为，垂足是B，故此选项正确，不符合题意； B．、、三条线段中，依据垂线段最短可知最短，说法正确，故此选项不符合题意； C．线段的长是点A到直线的距离，说法正确，故此选项不符合题意； D．线段的长是点到直线的距离，说法错误，故此选项符合题意． 故选：D． 2．（23-24七年级下·山西大同·月考）有下列说法：其中正确的说法的个数是（    ） （1）对顶角相等；（2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （3）直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离； （4）过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质、垂线的性质、平行线公理，点到直线的距离，解题关键是准确掌握相关性质和概念，正确进行判断．根据平行线公理，点到直线的距离、垂线的性质、平行线的性质逐项判断即可． 【详解】解：（1）对顶角相等，正确； （2）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法错误； （3）从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，原说法错误； （4）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误； 故选：A． 3．（23-24七年级下·江西九江·期中）观察图形，以下结论： ①线段的长必大于点A到直线l的距离； ②线段的长小于线段的长，根据是两点之间线段最短； ③图中共有两对角互为余角； ④线段的长是点D到直线的距离，正确的是 （填序号）． 【答案】①④/④① 【分析】本题考查了点到直线的距离、垂线段最短、余角的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据点到直线的距离、垂线段最短可判断①②④，根据余角的定义可判断③，即可得出结论． 【详解】解：线段的长必大于点A到直线l的距离，故①正确； 线段的长小于线段的长，根据是垂线段最短，故②错误； 图中共有8对角互为余角，故③错误； 线段的长是点D到直线的距离，故④正确； 综上所述，正确的是①④． 故答案为：①④． 4．（25-26七年级下·江苏宿迁·课后作业）（1）如图，点、、都在格点上，请仅用无刻度的直尺完成画图．过点画直线的垂线CD，并标出直线CD所经过的格点及垂足，连接线段； （2）线段_____的长就是点到直线的距离； （3）比较大小：_____（填“＞”“＜”或“＝”）． 【答案】（1）见解析 （2）（3） 【分析】本题主要考查了利用网格作图，垂线段最短，解题的关键是熟练利用网格特征和几何基本性质． （1）利用网格的边长与角度特征，构造直角三角形来作垂线； （2）根据点到直线的距离定义，确定垂线段的长度即为点到直线的距离； （3）根据“垂线段最短”的性质，比较垂线段与斜线段的长度大小． 【详解】解：（1）如图，线段即为所求； （2）线段的长就是点到直线的距离， 故答案为：； （3） 故答案为：． 1．（25-26七年级下·四川南充·课后作业）如图，直线和相交于点，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了对顶角、垂直的定义、几何图形中角度计算等知识，首先根据“对顶角相等”可知，再由垂直的定义可得，然后由求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 2．（25-26七年级下·广东广州·课后作业）将一副三角板按如图所示位置摆放，其中的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查了几何图形中角的计算，三角板中角的计算余角的性质，熟练掌握三角板中角的特点，是解答本题的关键．根据题意计算、结合图形比较，即可得到答案． 【详解】解：①图形中，根据同角的余角相等可得，故①符合题意； ②图形中，，和不一定相等，故②不符合题意； ③图形中，，故③符合题意； ④图形中，，，，故④不符合题意； 综上，正确的有①③． 故选：B． 3．（25-26七年级下·河南周口·课后作业）如图，直线，相交于点，，，平分，下列结论中错误的是（   ） A．当时， B．与相等的角至少有3个 C．一定平分 D． 【答案】C 【分析】根据同角的余角相等可得，再根据余角以及角平分线的意义即可判断选项A；根据角平分线的定义，可得，由对顶角相等得出，利用同角的余角相等可得，即可选项B；结合题意无法证明为的角平分线，即可判断选项C；根据平角的定义以及，即可判断选项D． 【详解】解：， ， ， ∴， ， ， 当时，， ∴， ∵平分， ∴， 故A选项结论正确，不符合题意； 平分， ． 直线，交于点， ． ， ， 与相等的角至少有3个， 故B选项结论正确，不符合题意； 不能证明， 无法证明为的角平分线， 故C选项结论错误，符合题意； ，， ， 故D选项结论正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了垂直的性质、同角的余角相等、对顶角相等、角平分线的定义，注意结合图形，发现角与角之间的关系是解题的关键． 4．（24-25七年级下·重庆潼南·课后作业）如图，具有同位角关系的一对角是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查同位角的识别，根据邻补角、同位角、对顶角以及同旁内角依次对各选项进行判断即可．解题的关键是掌握邻补角、同位角、对顶角以及同旁内角的定义． 【详解】解：A．和互为邻补角，故此选项不符合题意； B．和是同位角，故此选项符合题意； C．和互为对顶角，故此选项不符合题意； D．和是同旁内角，故此选项不符合题意． 故选：B． 5．（25-26七年级下·广西贺州·课后作业）下列说法正确的个数有（    ） ①内错角相等； ②相等的角是对顶角； ③过一点有且只有一条直线垂直于已知直线； ④直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】根据内错角的定义、对顶角的定义、垂线的性质、点到直线的距离的定义，对选项一一进行分析，即可得出结果． 【详解】解：①内错角不一定相等，只有两直线平行，内错角才相等，故原说法错误； ②对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故原说法错误； ③在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，故原说法错误； ④直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离，故原说法错误； 综上可得：说法正确的0个． 故选：A 【点睛】本题考查了内错角的定义、对顶角的定义、垂线的性质、点到直线的距离的定义，熟练掌握相关定义是解本题的关键． 6．（25-26七年级下·重庆黔江·课后作业）如图，点在同一条直线上，是的角平分线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算，解题关键是熟练掌握角平分线的相关计算．先根据，设，，由算出和，进而算出，再根据平分得，最后根据即可求解． 【详解】解：∵， ∴设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故选：C． 7．（24-25七年级下·甘肃甘南·月考）点是直线外一点，在直线上．经过测量，，，，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查直线外一点与直线上的所有连线中垂线段距离最短，解决本题的关键是要熟练掌握点到直线的距离的性质； 根据直线外一点与直线上的所有连线中，垂线段最短，进行作答，即可求解； 【详解】解：∵点是直线外一点，在直线上，且，，， ∴直线外一点与直线上的所有连线中垂线段最短可得：点到直线的距离小于或等于， 故选：D； 8．（25-26七年级下·福建厦门·课后作业）阅读下列“”的说理过程： 如图1，在和中，，．接下来说明和完全重合． 如图2，由可知，如果使点与点重合，并且使射线与重合，那么射线与重合．再由，可知点与点重合，接下来说明点与点重合． 设点在直角边（不包括端点），连接，则，是钝角．若过点且垂直于的直线与线段交于点，则有．设点在线段的延长线上，连接，同理可得，因此，在射线上，与点的连线长度等于的点只有一个．再由点在射线上，，即可证明点与点重合．这样，的三个顶点与的三个顶点分别重合，与能够完全重合． 为能够同理说明，需要作的垂线是（    ） A．过点作的垂线 B．过点作的垂线 C．过点作的垂线 D．过点作的垂线 【答案】B 【分析】本题考查了用垂线段性质的说理过程．熟练掌握垂线段性质，是解答此题的关键．过点A作，交于点，则有，即，再逐一判断． 【详解】解：如图，过点A作，交于点，则有，即， A、过点作的垂线，不正确； B、过点作的垂线，正确； C、过点作的垂线，不正确； D、过点作的垂线，不正确． 故选：B． 9．（25-26七年级下·江苏镇江·月考）如图，在同一平面内，线段的长为6，点到直线的距离分别为2和3，则符合条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【分析】本题考查了点到直线的距离，即直线外一点到这条直线的垂线段的长度，注意距离都是非负数．根据点到直线的距离，即可求解． 【详解】解：如图： 符合条件的直线共有4条； 故选：D． 10．（25-26七年级下·安徽安庆·课后作业）定义：平面内的直线与相交于点，对于该平面内任意一点，点到直线，的距离分别为，，则称有序非负实数对是点的“距离坐标”根据上述定义，距离坐标为的点的个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平面直角坐标系的特点，先明确距离坐标的含义，即到直线距离为2、到直线距离为3的点，再根据“到一条直线距离为定值的点在两条平行于该直线的直线上”，分析两组直线的交点个数即可． 【详解】解：∵到直线距离为2的点，在两条平行于的直线上， 到直线距离为3的点，在两条平行于的直线上， 又∵与相交， ∴上述两组直线共有4个交点， ∴距离坐标为的点的个数是4个， 故选：C． 11．（25-26七年级下·安徽合肥·课后作业）如图，直线、交于点O，，，平分，则的补角是 ． 【答案】，， 【分析】本题考查了角平分线的定义，补角的定义，掌握角平分线的定义和补角的定义是解题关键． 根据角平分线的定义找到相等角，再通过等量代换和角的和差计算，找到与之和为的角即可． 【详解】解：∵平分， ∴， 设，则，， ∵，， ∴， ∴， ∴，图中等于的角即为的补角， 由图可知，； ； ， 故答案为：，， ． 12．（25-26七年级下·浙江绍兴·课后作业）同一平面内，直线，相交于点，是的角平分线，，于点，则的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查相交线的相关知识，涉及垂直的定义，角平分线的性质，对顶角相等以及角的和差计算．弄清楚角之间的和差关系是解题关键．分在两侧两种情况，利用角平分线、垂直及平角性质求． 【详解】解：情况一：在内部， 设，则， ∵平分， ∴， 由， 得， 即， ∵， ∴， 则， 因此； 情况二：在内部， 同上，， ∴（对顶角相等）， ∵， ∴， 因此； ∴的度数有两种可能：或． 故答案为：或． 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，若，则的同位角的度数为 ，的内错角的度数为 ，的同旁内角的度数为 ． 【答案】 /80度 /80度 /100度 【分析】本题考查了相交线及其所成的角（同位角、内错角、同旁内角），熟练掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是解题的关键． 由同位角、内错角、同旁内角的定义即可直接得出答案． 【详解】解：， 的同位角的度数为， 的内错角的度数为， 的同旁内角的度数为， 故答案为：，，． 14．（25-26七年级下·吉林长春·课后作业）如图，A、O、B三点依次在同一直线上，且平分，平分．给出下面四个结论： ①； ②与互补； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查角平分线的性质、余角、补角和角度的和差关系，根据角平分线的和，利用平角即可判断①，结合补角的定义即可判断②，利用角平分线的性质和平角即可判断③，利用角平分线的性质与角度和差关系即可判断④． 【详解】解：∵平分，平分，， ∴，即， ∴，故①正确； ∵平分，， ∴， ∴， ∴与互补，故②正确； ∵，故③不正确； ∵平分，平分， ∴，， ∴，故④正确； 故答案为：①②④． 15．（25-26七年级下·山东济宁·期中）如图，在三角形ABC中，，，BC边上的高．若点P在AC边上移动，则BP最短时，其值为 ． 【答案】 【分析】根据 “垂线段最短”，当垂直于时，的长度最短。此时可利用三角形面积的两种表示方法来计算的长度． 【详解】解：根据垂线段最短可知，当时，最短． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂线段最短的性质和三角形面积公式的应用，解题关键是利用 “垂线段最短” 确定的最短位置，再通过面积法建立等式求解长度． 16．（25-26七年级下·江苏南通·课后作业）如图，已知直线、相交于点，平分，． (1)如果，求的度数； (2)如果，则 （用含n的代数式表示）； (3)图中与互余的角有： ． 【答案】(1)， (2) (3)，； 【分析】（1）按照补角的定义求即可，根据对顶角相等以及角平分线的定义求即可； （2）按照角平分线的定义以及对顶角的性质即可求解； （3）根据互余的两角之和为解答即可． 【详解】（1）解：直线、相交于点，， ， 平分， ， ∵ ， （2）解：直线、相交于点，， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：， ， ， 与互余， ， ， 平分， ， ， 与互余， 故答案为：，． 【点睛】此题主要考查了角的计算，对顶角的性质，互为余角的定义，角平分线的定义，理解对顶角的性质，互为余角的定义，角平分线的定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． 17．（25-26七年级下·江西吉安·课后作业）如图，点在同一直线上，，，平分． (1)求的度数； (2)猜想吗？请说明理由； (3)是否存在射线，使得分别为以为一边的两个角的平分线？如果存在，直接写出的度数，如果不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)当在内部时，存在；当在外部时，存在． 【分析】本题主要考查了角的和差、角平分线的定义等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）先根据已知条件可得，再根据角平分线的定义求解即可； （2）由（1）可知，，再根据角的和差得到即可解答； （3）分当在内部和当在外部两大类，再将在外部分平分、平分、平分三种情况，分别画出图形并分别运用角平分线的定义、角的和差求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分． ∴． （2）解：，理由如下： 由（1）可得，， ∵点在同一直线上， ∴，即． （3）解：如图：当在内部时，平分，平分， ∴，， ∴，即符合题意； 当在外部时， ①如图：当平分时，此时，显然不符合题意； ②如图：当平分时， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴不平分，也不平分，不符合题意； ③如图：当平分时， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴平分，符合题意． 综上，当在内部时，存在；当在外部时，存在． 18．（24-25七年级下·山东威海·课后作业）如图，已知直线与交于点M，与交于点O，平分，若，． (1)求的度数； (2)写出的所有内错角，同旁内角的度数之和． 【答案】(1) (2)的所有内错角为，，同旁内角， 【分析】（1）根据对顶角相等，得，结合平分， 求的度数即可； （2）确定的所有内错角，同旁内角，计算各角的度数，再求和即可． 本题考查了对顶角相等，角平分线的定义，角的和差计算，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：根据对顶角相等，得， ∵平分， ∴． （2）解：根据题意，得的所有内错角为，， 同旁内角， ∵， ∴， ∴， ∴． 19．（25-26七年级下·江苏无锡·月考）（1）在如图所示的方格纸上用无刻度直尺作图并标上相应的字母． ①过点P画线段的垂线，垂足为H； ②点A到线段的距离即线段________的长； ③线段、的大小关系是________（用“”连接），理由是______________________________． （2）如图，在同一平面内有四个点A、B、C、D，请用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图（注此题作图不要求写出画法和结论）． ①画射线、直线、线段； ②在线段的反向延长线上作线段，使得线段． 【答案】（1）①见详解；②；③，垂线段最短；（2）①见详解；②见详解 【分析】（1）①借助网格，根据垂线的定义画图即可． ②根据点到直线的距离的定义可知，点A到线段PH的距离即线段AH的长． ③根据垂线段最短可得答案． （2）①要画出射线、直线、线段，需明确射线、直线、线段的定义，射线是由一点出发向一端无限延伸，直线是向两端无限延伸，线段有两个端点． ②要作出线段，需先作出的长度，再减去的长度． 【详解】解：（1）①如图，线段即为所求． ②点A到线段的距离即线段的长． 故答案为：． ③线段、的大小关系是． 理由是：垂线段最短． 故答案为：；垂线段最短． （2）①射线：以为端点，经过作射线． 直线：经过、两点作直线． 线段：连接、两点． ②如图所示，即为所求， 【点睛】本题主要考查作图—应用与设计作图、垂线、垂线段最短、点到直线的距离，射线、直线、线段的定义以及线段的和差作图，熟练掌握这些基本概念和作图方法是解题的关键． 20．（25-26七年级下·全国·单元测试）小华站在长方形操场的左侧处． (1)若要到操场的右侧，怎样走最近？在图①中画出所走路线，并说明理由； (2)若要到操场对面的处，怎样走最近？在图②中画出所走路线，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了垂线段最短和两点之间线段最短的性质，掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据垂线段最短解答； （2）根据两点之间线段最短解答． 【详解】（1）解：如图①，线段即为所求．理由：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短． （2）解：如图②，线段即为所求．理由：两点之间线段最短． 学科网（北京）股份有限公司 $