专题06 有理数的运算章末54道压轴题型专训（6大题型）-2026-2027学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

**基本信息** 聚焦有理数运算核心素养，通过6大题型54道压轴题构建"概念理解-技能训练-应用拓展"的三阶提升体系，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |新定义运算|9题|定义转化法、符号规则归纳|从具体运算抽象数学符号，培养符号意识| |混合运算|10题|分步去括号、幂的符号规律|乘方与四则运算的层级关系，强化运算顺序| |运算律巧算|9题|凑整法、倒数法、裂项相消|运算律的正向应用与逆向构造，提升运算效率| |规律探究|9题|归纳法、递推公式构建|从特殊到一般的推理过程，发展数学抽象| |实际应用|9题|分段计费模型、数据图表转化|建立运算与实际问题的联系，培养应用意识| |科学记数法|8题|四舍五入规则、单位换算技巧|数的表示与实际意义的结合，强化量感|

专题06 有理数的运算章末54道压轴题型专训（6大题型） 目录 压轴题型・满分计划 题型一、有理数的新定义运算 1 题型二、含乘方的有理数混合运算综合问题 2 题型三、有理数中的运算律巧算问题 3 题型四、有理数运算规律探究 4 题型五、有理数四则混合运算的实际应用 5 题型六、近似数、科学记数法实际综合应用 6 【经典例题一 有理数的新定义运算】 1．（24-25七年级上·河北沧州·阶段检测）定义一种新运算：对于任意有理数，都有，例如：． (1)直接写出的值； (2)先化简，再求值：，其中，． 2．（24-25七年级上·江苏·阶段检测）小明同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，他借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，运算规则为：． (1)计算的值； (2)填空：___________（填“>”或“=”或“<”） (3)求的值． 3．（24-25七年级上·重庆·期中）在学习完有理数的混合运算后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．他利用所学知识定义了一种新运算“”，规则如下：．请你利用该运算规则解答下面的问题： (1)求的值； (2)求的值． 4．（25-26七年级上·广东深圳·阶段检测）已知m，n为有理数，如果规定一种新运算#，定义．解答下列各题． (1) ； (2) ； (3)探索：任意选取两个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列〇和◇内，并比较两个运算结果，你能发现什么？ 和 5．（25-26七年级上·福建福州·期末）用“”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，，其中等号右边的运算律与运算法则和有理数的运算律与运算法则一致． 例如：． (1)求和的值； (2)请判断运算“”是否具有交换律（即是否成立），并说明理由． 6．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）在学习完（有理数）后，小奇对有理数运算产生了浓厚的兴趣，帮助有理数的运算，定义：一种新运算“⊕”，规则如下：，（a，b不相等） (1)___________；___________；___________． (2)求的值； (3)试以和说明，新定义的运算“⊕”满足交换律吗？ 7．（25-26七年级上·云南曲靖·期中）定义新运算：，，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）．例如：，．若，则称有理数a，b为“隔一数对”．例如：所以2，3就是一对“隔一数对” ． (1)下列各组数是“隔一数对”的是______（请填序号）． ①，    ②，    ③， (2)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”． 计算： 8．（25-26七年级上·河南许昌·期中）新定义：求若干个相同的有理数（均不等于）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的下次方”，一般地，把个相除记作，读作“的下次方”． 理解： （1）直接写出计算结果：___________． （2）关于除方，下列说法正确的有___________（把正确的序号都填上）； ； 对于任何正整数，； ； 应用： （3）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如：（幂的形式）， 试一试：将下列除方运算直接写成幂的形式：___________； （4）计算：． 9．（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）【概念学习】定义新运算：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作：，读作“a的圈n次方”，特别地，规定：． 【初步探究】（1）直接写出计算结果： ； （2）关于除方，下列说法错误的是 ； A．任何非零数的圈2次方都等于1；     B．对于任何正整数，； C． ；     D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （3）请把有理数的圈次方写成幂的形式： ； （4）计算：． 【经典例题二 含乘方的有理数混合运算综合问题】 10．（26-27七年级·浙江·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 11．（25-26七年级上·四川南充·阶段检测）对于任意有理数，，我们规定：． 例如：；． (1)计算： ； (2)计算：． 12．（25-26七年级下·河南焦作·期中）为了求的值， 令．① 则．② ②①，得，即． 仿照以上解题过程，计算：． 13．（2026七年级上·全国·专题练习）阅读材料，求值：． 解：设①，将等式两边同时乘以得： ②， ②①，得：， 所以， 即， 请你仿照此法计算： (1)； (2)（其中为正整数）． 14．（25-26七年级上·河北衡水·期末）（1）一道习题及其错误的解答过程如下： 计算：． 解： 第一步 第二步 第三步 请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． （2）计算：． 15．（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10010转化为十进制数：；其他进制也有类似的算法⋯ (1)【发现】根据以上信息，将二进制数“10110”转化为十进制数是______； (2)【迁移】将十进制数“2298”转化为八进制数； (3)【应用】在古代，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数． 16．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）王明准备改造自己的房间，想让它更智能、更舒适． (1)王明想给正方形的书房地面铺设带有感应功能的方砖，用边长的方砖铺地正好需36块．改用边长的方砖需多少块？ (2)为了营造氛围，王明需要购买30个可调光调色的智能灯泡．现有甲、乙两家商城在销售，灯泡的单价都是10元．但两家商场的优惠活动不同： 甲商城：打8折销售            乙商城：购物每满200元，立减30元现金 王明想尽量节省费用，他应该选择哪家商场购买？为什么？（请写出计算过程） 17．（24-25七年级上·江苏南通·期中）【探究学习】二进制数和十进制数之间的相互转换．探究1：把十进制数89改写成二进制数． 方法：把十进制数89改写成二进制数，用这个十进制数89连续除以2，直到商为零为止，把每次所得的余数倒序写出来（如箭头方向），这样就化成了二进制数，这种方法是“除以2倒取余数”． 所以十进制数89转换成二进制数为，（注：二进制数通常在数的右下角标明基数2）探究2：把二进制数改写成十进制数． 方法：把二进制数，改写成十进制数，只要把它写成各位数上数字与基数2的幂的乘积之和的形式，然后按通常的方法进行计算即可． 所以二进制数转换成十进制数为89．（注：规定当时，） 【问题解决】 （1）请直接写出十进制数87转换成二进制数为：___________； （2）请通过计算将二进制数，改写成十进制数； 【拓展应用】 （3）十进制加法逢十进一，二进制加法逢二进一、请计算：（结果用二进制数表示）． 18．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）【问题情境】如图，日常生活中，我们经常看到条形码、二维码，他们都是一种编码方式．条形码在一个方向（一般是水平方向）上表述信息，而二维码在水平和竖直两个方向上同时存储信息，相对比下，二维码存储的信息容量要大得多，信息形式更为丰富，它通常使用某种特定的几何图形按一定规律在平面（二维方向上）分布，采用黑白相间的图形记录数据符号信息的，所以编码的范围比条形码更广． 【任务学习】在的正方形网格中，白色正方形我们用数字0表示，黑色正方形我们用数字1表示．我们把从上往下数叫第行、从左往右数叫第列，第行第列表示的数我们记为（其中，都是不大于4的正整数），例如，图1中，，，并规定对第行使用公式进行计算． 【应用生活】某小区为了方便管理，应用上述信息规定为居民设计了一个身份识别图案系统：将图1中所得结果、、、分别表示居民楼号、单元号、楼层、房间号． 如图1中，，说明该居民住在4层，03号房间，即403号． (1)________． (2)根据题意，王华同学作出了如下的判断：他认为图1代表的居民居住在小区的7号楼10单元，他的判断正确吗？请说明理由． (3)已知李丽家居住在该小区的在5号楼10单元207号，假如你是该小区的网络信息管理员，请你仿照图1，在图2中帮助李丽家设计一张居民的身份识别图案． (4)图3是该小区某居民的身份识别图案的一部分，由于不小心被损坏看不清第4行了，如果已知该居民居住的房间号不小于7号，则符合该条件的身份识别图案有________张． 【经典例题三 有理数中的运算律巧算问题】 19．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 20．（24-25七年级上·重庆·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 21．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）一道习题及其错误的解答过程如下：请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． 计算： 解： 第一步 第二步 第三步 22．（24-25七年级上·河南驻马店·阶段检测）根据加法的运算律进行简便运算， (1)将图中过程补充完整： __________……步骤一 ……步骤二 …………………………步骤三 ………………………………步骤四 (2)如图中过程，“步骤一”运用了____________（填序号），“步骤二”运用了____________（填序号） ①加法结合律；②加法交换律 (3)仿照图中的方法，简便计算：． 23．（24-25七年级上·山东临沂·阶段检测）阅读下面的材料：高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程． 解：设，① 则，② ①②得． 所以，， 所以． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”． 请类比以上做法，解答下列问题： (1)计算：； (2)计算：． 24．（25-26七年级上·广东东莞·期中）在学习了有理数的乘法之后，张老师出了两道例题，下面是小明的计算过程，请认真阅读并完成相应任务： (1)任务一：例，例都用到的运算律是 ； (2)任务二：请你参照上述例，例，用运算律简便计算下列式子：； (3)． 25．（25-26七年级上·甘肃武威·期中）先计算，再阅读材料，解决问题： (1)简便计算：． (2)认真阅读材料，解决问题：计算： 分析：除法没有分配律，无法运用简便运算．但可以先交换除数与被除数的位置，求出原 式的倒数． 解：原式的倒数是： 故原式． 请你根据以上方法，计算：． 26．（25-26七年级上·云南临沧·期中）课堂上，老师出了一道计算题：． 小丽发现，与互为倒数，那么可以先算，那么的值为． 请你根据小丽的方法，计算：． 27．（25-26七年级上·北京·单元复习）阅读下列内容，并完成相关问题． 小明定义了一种新的运算，取名为※（加乘）运算．按这种运算进行运算的算式举例如下： ；； ；； ；． 问题： (1)请归纳※（加乘）运算的运算法则： 两数进行※（加乘）运算时，________．特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算，________． (2)计算：．（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） (3)我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的※（加乘）运算中还适用吗？请任选一个运算律，判断它在※（加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子即可） 【经典例题四 有理数运算规律探究】 28．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）观察下列各式：   ，…   根据以上规律回答下面的问题： (1)计算：； (2)计算：． 29．（25-26七年级上·安徽阜阳·阶段检测）小学阶段我们学习了加减乘除四种运算，进入初中阶段我们又学习了一种新的运算——乘方，乘方表达式可以用来表示数学关系，也可以应用于多个学科，比如数学、物理、化学等，它还可以表达各种科学关系．请利用我们所学的知识来解决下面的数学问题． (1)计算：①，②，③，④，⑤ ，…，写出第5个关系式并归纳计算结果中的个位数字的规律，猜测的个位数字是______． (2)计算：． 30．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）探究规律，完成相关题目． 定义“（环加）”运算：；；；； (1)归纳运算的法则：同号两数进行运算___________，异号两数进行运算___________，特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，___________ (2)计算：___________． (3)是否存在有理数、，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 31．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）观察下列各式∶ ， ， ， (1)猜想 ． (2)根据上面的规律，解答下列问题： ． 32．（2026七年级上·全国·专题练习）学习情境·阅读理解先阅读材料，再解相关的问题： ； ； … 请运用上述规律计算： ． 33．（24-25七年级上·全国·期末）观察下面三行数： ， ， ， ， ， ， ； ， ， ， ， ， ， ； ， ， ， ， ， ， (1)第行中的数可以看成按什么规律排列？ (2)第行中的数与第行中的数分别有什么关系？ (3)取每行中的第个数，计算这三个数的和． 34．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段检测）乘方之美、乘方之趣、乘方之奇，有多少耐人寻味且神奇的现象隐藏于乘方之中．观察下列等式：，，，，，，，，，，……解答下列三个问题： (1)的末位数字是 ． (2)求的末位数字． (3)观察下列等式：，，，，…，想一想：等式左边各个幂的底数与右边幂的底数有什么关系，再利用这一规律计算的值． 35．（25-26七年级上·江西宜春·阶段检测）阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题，经过研究，他得出这个问题的一般性结论是：，其中n是正整数，现在我们一起来研究一个类似问题：观察下面三个特殊的等式： ①；②③； 把①、②、③三个等式相加，于是． 阅读以上材料，请你解答以下问题： (1)_____． (2)根据以上观察，聪明的你发现_____． (3)根据发现的规律并用转化的数学思想计算． 36．（24-25七年级上·浙江·期中）小强同学类比加法的学习过程，对有理数“”运算进行了如下探究． （一）法则探究 根据探究，小强发现有理数“”运算有下面的规律： （1），． （2），． （3），． 观察上面算式中“”运算的两数及所得结果的符号和绝对值，归纳“”运算的法则：两数进行“”运算时，同号______，异号______，并把绝对值______．特别地，0和任何数进行“”运算或任何数和0进行“”运算，______． （二）法则应用 （1）填空：______，______． （2）小强发现有理数“”运算符合有括号先算括号的运算顺序，请计算下列式子： ． （三）运算律探究 我们知道在有理数的加法运算中，有加法交换律．小强类比有理数“”运算法则的探究，分类举例探究了有理数“”运算的交换律，请完成小强的探究过程． 【经典例题五 有理数四则混合运算的实际应用】 37．（26-27七年级上·辽宁鞍山·期中）某市出租车收费标准： 千米以内（含千米）起步价元； 超过千米的部分，每千米收费元； 不足千米按千米计算． 李叔叔打车一共付了元，他最多乘坐了多少千米？ 38．（25-26六年级上·上海·期中）某市出租车收费标准如下：3千米以内（含3千米）8元；超过3千米至7千米部分，每千米1.4元；超过7千米，每千米2.1元．（不足1千米按1千米计算） (1)王阿姨从商场回家，乘坐出租车，行驶了11.4千米，她要付多少钱？ (2)陈叔叔一次从出发地到目的地乘坐出租车付费32.5元，则出发地到目的地之间的距离在什么范围内 39．（25-26七年级上·河南安阳·期末）某快递公司统计了某驿站连续七天每天的派件量（单位：件），以300件为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“”，记录如下表．已知第四天派件量为287件，第七天派件量为318件． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 ■ ● (1)“■”处的数为_______，“●”处的数为_______； (2)求该驿站这七天平均每天的派件量； (3)若每件快递的派件费为0.8元，则该驿站这七天派件的总费用是多少元？ 40．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）张明将自家的猕猴桃放到网上销售，他原计划每天卖猕猴桃，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值/ (1)根据上表的数据可知，销售量最多的一天是星期_______，有_______；最少的一天是星期_______，有_______． (2)若猕猴桃的售价是元，成本是元，则张明当周销售猕猴桃获得的总利润是多少元？（利润售价成本） 41．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下面是李老师今年8月份收入和支出的记录． 8月10日领取工资2400元；    8月13日交电话费88元； 8月15日交水电费120元；    8月24日买服装花467元； 8月26日收到稿费450元；    8月30日得加班费100元； 8月份伙食费支出合计800元 (1)领取工资2400元记作：元，请你将李老师的各项收支用正数和负数记录在下表中． 项目 工资 电话费 水电费 服装费 稿费 加班费 伙食费 收支/元 (2)李老师8月份一共收入多少钱？ (3)李老师这个月的总支出占总收入的百分之几？ 42．（25-26七年级上·陕西渭南·期末）某陶瓷厂计划每个工人一周生产陶瓷工艺品140个，平均每天生产20个，但实际每天的生产量与计划相比有出入，下表是该厂一工人某周的生产情况（以20个为标准，超过的部分记为正，不足的部分记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 实际与标准的差值（个） (1)该工人本周实际生产工艺品的数量为多少个？ (2)已知该厂实行计件工资制，每周结算一次，每生产一个工艺品可得5元，以140个为标准，超过部分每个另奖4元，未达标准的部分每个扣3元，求该工人在这一周实际获得的工资总额． 43．（25-26七年级上·河北保定·期末）出租车司机王师傅某日上午从A地出发，在南北方向的公路上行驶营运．下表是这天上午行驶的里程（单位：千米，规定向北走为正，向南走为负；○表示空载，√表示载有乘客）． 次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 里程 乘客 ○ √ √ ○ √ (1)王师傅走完第5次里程后，他在A地的什么方向？离A地多少千米？ (2)已知出租车每千米耗油约0.08升，王师傅开始营运前油箱里有14升油，若油箱里剩余油量8升时则会提醒加油，请通过计算说明王师傅这天上午是否会被提醒加油？ (3)已知载客时3千米以内（含3千米）收费8元，超过3千米后，超过的部分每千米收费1.9元，求王师傅这天上午的营业总额． 44．（25-26七年级上·陕西安康·期末）小华同学每学习完一个单元都会进行一次自我检测，他的四次数学测试成绩记录如下：（以分为标准，超出分的部分记为正数，不足分的部分记为负数） 测试次数 第1次 第2次 第3次 第4次 测试成绩与标准成绩的差值（分） (1)小华同学在计算上很粗心，但学习自觉，主动性很强，每次测试只要低于分，每低一分，就主动找2道计算题加强训练，以提高自己的计算能力．请问：根据这四次数学测试的成绩，小华一共找了多少道计算题进行训练？ (2)求小华这四次数学测试成绩的平均分． 45．（25-26六年级上·上海金山·期末）小明、小丽、小杰三人去一家餐厅吃火锅，付款时打印的结账单如图所示．现有三种优惠活动如下： 结账单 锅底 1份 精品羊肉 1份 雪花牛肉 1份 毛肚 1份 贡丸 1份 金针菇 1份 蔬菜拼盘 1份 可乐（饮料） 1瓶 共计 （1）大众点评网上可用88元购得该店100元的代金券（每单最多可用两张）； （2）支付宝付款可享受全单九折； （3）火锅店优惠活动“除锅底、酒水、饮料外，每消费满80元立减10元”． 以上三种优惠方式只能选择一种，你能帮他们算一算哪种支付方式最优惠吗? 【经典例题六 近似数、科学记数法实际综合应用】 46．（25-26七年级上·全国·单元测试）在一次救灾行动中，大约有人需要安置．假如一顶帐篷占地，帐篷内可以放置40个床位，若将上述受灾的人都进行安置，则需要多少顶帐篷？这些帐篷大约要占多大面积？ 47．（25-26七年级上·全国·单元复习）已知的氢气质量约为，请用科学记数法表示下列计算结果： (1)求一个容积为的氢气球所充氢气的质量； (2)一块橡皮重，这块橡皮的质量是的氢气质量的多少倍？ 48．（25-26七年级上·安徽·期中）一个三位数先四舍五入到十位，所得的数为， 再将四舍五入到百位，所得的数恰好为． (1)数的最大值和最小值分别是多少？ (2)将数x 的最大值和最小值的差用科学记数法表示出来（精确到百位）． 49．（26-27七年级上·全国·课后作业）按要求解答下列问题： (1)一棵生长了年的大树，仅能制成双一次性筷子．假设每人每天用1双一次性筷子，调查你所在地区的人口数，估算一下一年我们要为此砍多少棵这样的大树（用科学记数法表示）．如果是一个万人口的城市呢？ (2)根据（1）中的估算结果，你有何感想？ 50．（25-26七年级上·河南信阳·阶段检测）某省希望工程办公室收到社会各界人士捐款共计一千五百万元，以此来资助贫困失学儿童． (1)如果每名失学儿童可获得500元的资助，那么共可资助多少名失学儿童？（用科学记数法表示结果） (2)如果社会各界人士捐款数平均10元/人，则需要多少人才能捐出这笔捐款？（用科学记数法表示结果） (3)在山区，尚有不少孩子因为贫困，不能顺利地完成九年义务教育学业．上述数据给你什么启示？ 51．（24-25七年级上·内蒙古通辽·期末）一粒米微不足道，平时总会在饭桌上毫不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整碗米饭倒掉．针对这种浪费粮食现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米大约重10克，现在请同学来计算． (1)按我国14亿人口计，每年365天，每人每天三餐米饭计算，如果每人每餐节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克（用科学记数法表示）？ (2)如果我们把一年节约的大米卖成钱，按4元/千克计算，可卖得人民币多少元？ (3)经过以上计算，同学你有何感想和建议？ 52．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）按要求完成下列各题 (1)完成下列各数的近似数            （精确到十分位）                 （精确十位）          （精确到百分位）              （精确到百分位） (2)光年是天文学中的距离单位，1光年大约是，用科学记数法表示为 ． (3)截至年底，我国已建立的国家级自然保护区总面积约，用科学记数法表示为 ． (4)据工信部数据显示，年我国移动电话用户总数达到亿户，用科学记数法表示为 户． (5)地球上已发现的生物约种，用科学记数法表示为 种．   53．（24-25六年级下·江苏南京·期末）据南京智慧旅游大数据运行监测平台显示，2025年端午假期全市接待游客568万人次，乡村旅游点游客量达429300人次，其中，外地游客文旅消费总额亿元，同比增长． (1)乡村旅游点游客量改写成用“万”作单位是( )万人次；外地游客文旅消费总额精确到“亿”位约是( )亿元． (2)568万是一个近似数，请在数轴上用“· ”表示出来． 54．（25-26六年级上·山东烟台·期中）张老板在阳光小区附近开了一家手擀面店，为了吸引顾客、门前的宣传广告是这样写的：张氏打卤面开业大酬宾，第一周每碗9元，第二周每碗10元，第三周每碗11元，从第四周开始每碗12元，月末结算时，每周以500碗为标准，多卖的记为正，少卖的记为负、这四周的销售情况如下表． 周次 一 二 三 四 销售量 (1)若打卤面成本为元/碗，哪一周的收益最多？是多少元？ (2)这四周总销售额是多少元？用科学记数法表示为________．（精确到千位） (3)在（1）的条件下，为拓展消费群体，四周后，张老板又决定实行两种优惠方案： 方案一：凡来店中吃打卤面者，每碗附赠一瓶元的矿泉水； 方案二：凡一次性购买3碗以上的，可免费送货上门，但张老板需支付人工费4元． 若某人一次性购买4碗打卤面，则张老板更希望以哪种方案卖出？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 有理数的运算章末54道压轴题型专训（6大题型） 目录 压轴题型・满分计划 题型一、有理数的新定义运算 1 题型二、含乘方的有理数混合运算综合问题 2 题型三、有理数中的运算律巧算问题 3 题型四、有理数运算规律探究 4 题型五、有理数四则混合运算的实际应用 5 题型六、近似数、科学记数法实际综合应用 6 【经典例题一 有理数的新定义运算】 1．（24-25七年级上·河北沧州·阶段检测）定义一种新运算：对于任意有理数，都有，例如：． (1)直接写出的值； (2)先化简，再求值：，其中，． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了有理数的新定义运算，理解新定义运算是解题的关键． （1）根据新定义运算计算即可求解； （2）先根据新定义运算法则计算出的值，再根据新定义运算计算即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：， 所以，原式 2．（24-25七年级上·江苏·阶段检测）小明同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，他借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，运算规则为：． (1)计算的值； (2)填空：___________（填“>”或“=”或“<”） (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）， ； （2）， ， ， ； （3）， ． 3．（24-25七年级上·重庆·期中）在学习完有理数的混合运算后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．他利用所学知识定义了一种新运算“”，规则如下：．请你利用该运算规则解答下面的问题： (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据定义即可求解； （）先算的值，再将运算结构与进行新定义运算即可； 此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则，弄清题中的新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：原式； ； （2）解：原式 ． 4．（25-26七年级上·广东深圳·阶段检测）已知m，n为有理数，如果规定一种新运算#，定义．解答下列各题． (1) ； (2) ； (3)探索：任意选取两个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列〇和◇内，并比较两个运算结果，你能发现什么？ 和 【答案】(1) (2)44 (3) 设〇为2，◇为， ∴，， ∴和的运算结果相同． 【分析】（1）根据题中新运算法则计算即可； （2）先根据题中新运算法则计算，再根据新运算法则计算即可； （3）任意选符合条件的两个数计算，进而可得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）略 5．（25-26七年级上·福建福州·期末）用“”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，，其中等号右边的运算律与运算法则和有理数的运算律与运算法则一致． 例如：． (1)求和的值； (2)请判断运算“”是否具有交换律（即是否成立），并说明理由． 【答案】(1)9，9 (2) 是，理由：， ， ∵ ∴，即 ∴运算“”具有交换律． 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握新运算的法则，是解题的关键， （1）根据新运算的法则，列式计算即可； （2）根据新运算的法则，列式计算即可； 【详解】（1）解：； ； （2）略 6．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）在学习完（有理数）后，小奇对有理数运算产生了浓厚的兴趣，帮助有理数的运算，定义：一种新运算“⊕”，规则如下：，（a，b不相等） (1)___________；___________；___________． (2)求的值； (3)试以和说明，新定义的运算“⊕”满足交换律吗？ 【答案】(1)，， (2)40 (3) 新运算“”不满足交换律． ， ， ， 新运算“”不满足交换律． 【分析】本题考查了新运算，有理数的混合运算． （1）根据逐一计算可得； （2）根据法则，先计算，再计算可得； （3）计算和即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，，. 故答案为：，，； （2） ； （3）略 7．（25-26七年级上·云南曲靖·期中）定义新运算：，，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）．例如：，．若，则称有理数a，b为“隔一数对”．例如：所以2，3就是一对“隔一数对” ． (1)下列各组数是“隔一数对”的是______（请填序号）． ①，    ②，    ③， (2)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”． 计算： 【答案】(1)①② (2) 【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算，读懂题意并正确应用新定义是解题的关键． （1）根据新定义运算，仿照示例计算，即可判断； （2）根据题意，把式子转化的形式，进行相加减，即可得到结果． 【详解】（1）解：①，， ，， ， 和是一对“隔一数对”， ②； ，， ， 和是一对“隔一数对”， ③，， ，， ， 和不是一对“隔一数对”， 故答案为：①②； （2）解：解：两个连续的非零整数都是“隔一数对”， ∴ ． 8．（25-26七年级上·河南许昌·期中）新定义：求若干个相同的有理数（均不等于）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的下次方”，一般地，把个相除记作，读作“的下次方”． 理解： （1）直接写出计算结果：___________． （2）关于除方，下列说法正确的有___________（把正确的序号都填上）； ； 对于任何正整数，； ； 应用： （3）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如：（幂的形式）， 试一试：将下列除方运算直接写成幂的形式：___________； （4）计算：． 【答案】（）； （）； （）； （）． 【分析】本题考查了有理数的运算，新定义运算，化简绝对值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据新定义进行求解即可； （）根据新定义逐一排除即可； （）仿照题例进行求解即可； （）先求出，然后代入原式，再根据有理数的运算法则即可求解． 【详解】解：（）， 故答案为：； （）解： ，，正确； ，正确； ，，，错误； 故答案为； （）解：， 故答案为：； （）解：； ∴原式 ． 9．（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）【概念学习】定义新运算：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作：，读作“a的圈n次方”，特别地，规定：． 【初步探究】（1）直接写出计算结果： ； （2）关于除方，下列说法错误的是 ； A．任何非零数的圈2次方都等于1；     B．对于任何正整数，； C． ；     D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （3）请把有理数的圈次方写成幂的形式： ； （4）计算：． 【答案】（1）1，（2）C，（3），（4） 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确新定义的内容，计算出所求式子的值． （1）根据题意，计算出所求式子的值即可； （2）根据题意，可以分别判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题； （3）根据题意，可以计算出所求式子的值． （4）根据题意，可以计算出所求式子的值． 【详解】解：（1）由题意可得，， 故答案为：1； （2）A、任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除， 所以都等于1； 所以选项A正确，不符合题意； B、因为多少个1相除都是1， 所以对于任何正整数n，都等于1； 所以选项B正确，不符合题意； C、，， 则； 所以选项C错误，符合题意； D、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数． 所以选项D正确，不符合题意； 故选：C； （3）， 故答案为：； （4） ． 【经典例题二 含乘方的有理数混合运算综合问题】 10．（26-27七年级·浙江·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）先计算乘方，再计算乘法，最后计算减法即可； （2）先计算乘方，再计算除法，最后计算减法即可； （3）先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加法即可； （4）先计算乘方，再利用乘法结合律计算即可； （5）先计算乘方并把除法变为乘法，再计算乘法即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： =． （4）解： =． （5）解： ． 11．（25-26七年级上·四川南充·阶段检测）对于任意有理数，，我们规定：． 例如：；． (1)计算： ； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解：． 12．（25-26七年级下·河南焦作·期中）为了求的值， 令．① 则．② ②①，得，即． 仿照以上解题过程，计算：． 【答案】 【分析】仿照题干给定的方法，令，则，两式相减后，即可得出结果． 【详解】解：令，则， ∴， ∴， ∴，即． 13．（2026七年级上·全国·专题练习）阅读材料，求值：． 解：设①，将等式两边同时乘以得： ②， ②①，得：， 所以， 即， 请你仿照此法计算： (1)； (2)（其中为正整数）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据材料提示，设，结合题意的计算方法求解即可； （2）设，等式两边同时乘以，结合题意的计算方法求解即可． 【详解】（1）解：设， ， ， ； （2）设， ， ∴， ， ． 14．（25-26七年级上·河北衡水·期末）（1）一道习题及其错误的解答过程如下： 计算：． 解： 第一步 第二步 第三步 请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． （2）计算：． 【答案】（1）从第一步开始出现错误， 正确解答过程： ； （2） 【分析】本题考查有理数的混合运算，涉及乘法分配律的应用及有理数混合运算的顺序，关键是准确把握运算符号和运算顺序：先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内，能简便计算的优先使用简便方法． （1）该题错误出现在第一步，应用乘法分配律时符号处理错误，正确运用乘法分配律将与括号内每一项相乘，注意符号变化后再计算； （2）按照有理数混合运算顺序，先计算乘方和绝对值，再计算乘除运算，最后计算加减运算即可． 【详解】（1） 略 （2）解： ． 15．（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10010转化为十进制数：；其他进制也有类似的算法⋯ (1)【发现】根据以上信息，将二进制数“10110”转化为十进制数是______； (2)【迁移】将十进制数“2298”转化为八进制数； (3)【应用】在古代，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数． 【答案】(1)22； (2)； (3)孩子已经出生的天数为42天． 【分析】本题考查有理数的混合运算，理解题意并列出正确的算式是解题的关键． （1）根据题意列式计算即可； （2）根据题意列式计算，使结果为2298即可； （3）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解： ， 即将二进制数“10110”转化为十进制数是22， 故答案为：22； （2）解： ， 将十进制数“2298”转化为八进制数为； （3）解： （天）， 即孩子已经出生的天数为42天． 16．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）王明准备改造自己的房间，想让它更智能、更舒适． (1)王明想给正方形的书房地面铺设带有感应功能的方砖，用边长的方砖铺地正好需36块．改用边长的方砖需多少块？ (2)为了营造氛围，王明需要购买30个可调光调色的智能灯泡．现有甲、乙两家商城在销售，灯泡的单价都是10元．但两家商场的优惠活动不同： 甲商城：打8折销售            乙商城：购物每满200元，立减30元现金 王明想尽量节省费用，他应该选择哪家商场购买？为什么？（请写出计算过程） 【答案】(1)改用边长的方砖需81块 (2) 应该选择甲商场购买，原因如下： 去甲商场购买所需费用为：（元）； （元），， 故去乙商场购买所需费用为：（元）； 因为， 所以他应该选择甲商场购买． 【分析】本题考查正方形的面积，折扣问题，读懂题意，正确的列出算式，是解题的关键： （1）求出总面积，再除以边长的方砖的面积，进行计算即可； （2）根据优惠方法，求出分别到两个商城购买所需要的费用，进行比较即可． 【详解】（1）解：（块）； 答：改用边长的方砖需81块； （2）略 17．（24-25七年级上·江苏南通·期中）【探究学习】二进制数和十进制数之间的相互转换．探究1：把十进制数89改写成二进制数． 方法：把十进制数89改写成二进制数，用这个十进制数89连续除以2，直到商为零为止，把每次所得的余数倒序写出来（如箭头方向），这样就化成了二进制数，这种方法是“除以2倒取余数”． 所以十进制数89转换成二进制数为，（注：二进制数通常在数的右下角标明基数2）探究2：把二进制数改写成十进制数． 方法：把二进制数，改写成十进制数，只要把它写成各位数上数字与基数2的幂的乘积之和的形式，然后按通常的方法进行计算即可． 所以二进制数转换成十进制数为89．（注：规定当时，） 【问题解决】 （1）请直接写出十进制数87转换成二进制数为：___________； （2）请通过计算将二进制数，改写成十进制数； 【拓展应用】 （3）十进制加法逢十进一，二进制加法逢二进一、请计算：（结果用二进制数表示）． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】本题考查了二进制与十进制的转换，有理数的乘方，有理数的加法等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据十进制数转化为二进制数的方法计算即可； （2）根据二进制数转化为十进制数的方法计算即可； （3）将两数相加，逢二进一即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， ， ， ∴十进制数87转换成二进制数为：． 故答案为：； （2）． （3）． 18．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）【问题情境】如图，日常生活中，我们经常看到条形码、二维码，他们都是一种编码方式．条形码在一个方向（一般是水平方向）上表述信息，而二维码在水平和竖直两个方向上同时存储信息，相对比下，二维码存储的信息容量要大得多，信息形式更为丰富，它通常使用某种特定的几何图形按一定规律在平面（二维方向上）分布，采用黑白相间的图形记录数据符号信息的，所以编码的范围比条形码更广． 【任务学习】在的正方形网格中，白色正方形我们用数字0表示，黑色正方形我们用数字1表示．我们把从上往下数叫第行、从左往右数叫第列，第行第列表示的数我们记为（其中，都是不大于4的正整数），例如，图1中，，，并规定对第行使用公式进行计算． 【应用生活】某小区为了方便管理，应用上述信息规定为居民设计了一个身份识别图案系统：将图1中所得结果、、、分别表示居民楼号、单元号、楼层、房间号． 如图1中，，说明该居民住在4层，03号房间，即403号． (1)________． (2)根据题意，王华同学作出了如下的判断：他认为图1代表的居民居住在小区的7号楼10单元，他的判断正确吗？请说明理由． (3)已知李丽家居住在该小区的在5号楼10单元207号，假如你是该小区的网络信息管理员，请你仿照图1，在图2中帮助李丽家设计一张居民的身份识别图案． (4)图3是该小区某居民的身份识别图案的一部分，由于不小心被损坏看不清第4行了，如果已知该居民居住的房间号不小于7号，则符合该条件的身份识别图案有________张． 【答案】(1)1 (2) 王华同学的判断不正确，理由如下： 由题意得，，， ∴图1代表的居民居住在小区的7号楼11单元， ∴王华同学的判断不正确； (3) 如图所示，即为所求； (4)8 【分析】本题主要考查了有理数乘方的实际应用： （1）表示的是第四行第三列代表的数，据此可得答案； （2）根据题意求出的结果即可得到结论； （3）根据题意可得，据此设计求解即可； （4）根据题意求出可能的结果即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：1； （2）解：略； （3）解：略； （4）解：当时，， 当时，， ∴且为整数， ∵该居民居住的房间号不小于7号， ∴， ∴， ∴， ∴的值一共有8种， ∴符合该条件的身份识别图案有8张， 故答案为：8． 【经典例题三 有理数中的运算律巧算问题】 19．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1)5 (2)-2 【分析】本题考查有理数的加法，掌握算理是解决问题的关键． （1）将能凑整的数先相加，再进行运算最终得出答案即可． （2）将能凑整的数先相加，再进行运算最终得出答案即可． 【详解】（1）解：原式， ， ； （2）原式， ， ． 20．（24-25七年级上·重庆·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了有理数的加法，加法运算律，掌握有理数的加法法则是解题的关键． （1）根据有理数的加法法则和加法运算律计算即可； （2）根据有理数的加法法则和加法运算律计算即可； （3）根据有理数的加法法则和加法运算律计算即可； （4）根据有理数的加法法则和加法运算律计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 21．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）一道习题及其错误的解答过程如下：请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． 计算： 解： 第一步 第二步 第三步 【答案】 解：原解题步骤从第一步开始出现错误， 正确解答过程如下： 原式 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握乘法分配律的符号运算规则是解题的关键．利用乘法分配律将分别与括号内的数相乘，再进行加减运算． 【详解】略 22．（24-25七年级上·河南驻马店·阶段检测）根据加法的运算律进行简便运算， (1)将图中过程补充完整： __________……步骤一 ……步骤二 …………………………步骤三 ………………………………步骤四 (2)如图中过程，“步骤一”运用了____________（填序号），“步骤二”运用了____________（填序号） ①加法结合律；②加法交换律 (3)仿照图中的方法，简便计算：． 【答案】(1)， (2)②，① (3) 【分析】本题考查有理数加法运算及加法运算律． （1）根据图中过程结合有理数加法运算法则补充即可； （2）根据有理数加法运算律解答即可； （3）先将分数化为小数，再利用有理数加法法则及运算律计算即可． 【详解】（1）解： ……步骤一 ……步骤二 …………………………步骤三 ………………………………步骤四； （2）解：根据有理数加法运算律可得：“步骤一”运用了②加法交换律，“步骤二”运用了①加法结合律； （3）解：原式 ． 23．（24-25七年级上·山东临沂·阶段检测）阅读下面的材料：高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程． 解：设，① 则，② ①②得． 所以，， 所以． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”． 请类比以上做法，解答下列问题： (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1)500500 (2)15150 【分析】本题考查的是数式的变化规律和有理数的混合运算，从题目中找出数字间的变化规律是解题的关键． （1）根据题意，利用“倒序相加法”，计算即可． （2）计算出和的值；． 【详解】（1）解：（1）设，① 则，② ①②得：， ， ； （2）设，① 则，② ①②得：， ， ． ． 24．（25-26七年级上·广东东莞·期中）在学习了有理数的乘法之后，张老师出了两道例题，下面是小明的计算过程，请认真阅读并完成相应任务： (1)任务一：例，例都用到的运算律是 ； (2)任务二：请你参照上述例，例，用运算律简便计算下列式子：； (3)． 【答案】(1)分配律 (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握乘法分配律是解题的关键． （1）根据题意，例，例都用到的运算律是乘法分配律； （1）把写成，利用乘法分配律进行计算； （2）逆用乘法分配律，提取999，进行简便计算即可． 【详解】（1）解：例，例都用到的运算律是乘法分配律； 故答案为：分配律； （2）解： ； （3）解： ． 25．（25-26七年级上·甘肃武威·期中）先计算，再阅读材料，解决问题： (1)简便计算：． (2)认真阅读材料，解决问题：计算： 分析：除法没有分配律，无法运用简便运算．但可以先交换除数与被除数的位置，求出原 式的倒数． 解：原式的倒数是： 故原式． 请你根据以上方法，计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是有理数的混合运算； （1）根据乘法分配律可以解答本题； （2）根据题目中的例子，可以求出所求式子的值． 【详解】（1）解：； （2）解：原式的倒数是： ， 则原式． 26．（25-26七年级上·云南临沧·期中）课堂上，老师出了一道计算题：． 小丽发现，与互为倒数，那么可以先算，那么的值为． 请你根据小丽的方法，计算：． 【答案】 【分析】本题考查倒数的定义，有理数的混合运算，乘法分配律．先求得，根据阅读材料求出，据此计算即可求解． 【详解】解： ； ∵与互为倒数，且， ∴， ∴． 27．（25-26七年级上·北京·单元复习）阅读下列内容，并完成相关问题． 小明定义了一种新的运算，取名为※（加乘）运算．按这种运算进行运算的算式举例如下： ；； ；； ；． 问题： (1)请归纳※（加乘）运算的运算法则： 两数进行※（加乘）运算时，________．特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算，________． (2)计算：．（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） (3)我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的※（加乘）运算中还适用吗？请任选一个运算律，判断它在※（加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子即可） 【答案】(1)同号得正，异号得负，并把绝对值相加；都得此数的绝对值； (2)； (3) 解：选择交换律，交换律仍然适用， 例如：，， 所以， 故交换律仍然适用； 选择结合律，结合律不适用， 举例：，， ∴， 所以结合律不适用． 【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算，正确理解新定义的运算法则是解题的关键． （1）根据所给示例，进行总结即可； （2）根据总结的运算法则进行计算即可； （3）结合加法交换和结合律，根据运算法则举例计算，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意可知：两数进行※（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加．特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算，都得此数的绝对值； （2）解：； （3）略 【经典例题四 有理数运算规律探究】 28．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）观察下列各式：   ，…   根据以上规律回答下面的问题： (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1)3025 (2)25499475 【分析】本题考查了数字类规律探索，通过观察所给的等式，探索出等式的一般规律是解题的关键． （1）观察所给等式可知等式左边是几个数的立方和，右边是左边的数据的个数的平方乘以数据的个数加上1的和的平方的积的，即可得到答案； （2）先将原式化为，然后根据（1）中所得规律，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， ，…， 归纳可得：， 当时， ． （2）解： ． 29．（25-26七年级上·安徽阜阳·阶段检测）小学阶段我们学习了加减乘除四种运算，进入初中阶段我们又学习了一种新的运算——乘方，乘方表达式可以用来表示数学关系，也可以应用于多个学科，比如数学、物理、化学等，它还可以表达各种科学关系．请利用我们所学的知识来解决下面的数学问题． (1)计算：①，②，③，④，⑤ ，…，写出第5个关系式并归纳计算结果中的个位数字的规律，猜测的个位数字是______． (2)计算：． 【答案】(1)；8 (2) 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算及数字规律，熟练掌握含乘方的有理数混合运算及数字规律是解题的关键； （1）根据题中所给算式可直接得到第5个关系式和第6个关系式，然后根据前6个关系式可得个位数字的规律为按照4、0、8、2每4个一组，进而问题可求解； （2）根据含乘方的有理数混合运算可进行求解． 【详解】（1）解：①，②，③，④，⑤，⑥；…..； ∴规律为个位数字按照4、0、8、2每4个一组， ∵， ∴的个位数字为8； 故答案为；8； （2）解：原式 ． 30．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）探究规律，完成相关题目． 定义“（环加）”运算：；；；； (1)归纳运算的法则：同号两数进行运算___________，异号两数进行运算___________，特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，___________ (2)计算：___________． (3)是否存在有理数、，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)符号为正，并把它们的绝对值相加；符号为负，并把它们的绝对值相加；都得这个数的绝对值； (2) (3)存在，． 【分析】本题考查了新定义运算，理解题意是解题的关键． （1）根据定义得出法则即可； （2）根据法则计算即可； （3）根据法则和非负数的性质，即可证得． 【详解】（1）解：归纳⊕运算的法则：同号两数进行运算，符号为正，并把它们的绝对值相加，异号两数进行运算，符号为负，并把它们的绝对值相加，特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，都得这个数的绝对值． 故答案为：符号为正，并把它们的绝对值相加；符号为负，并把它们的绝对值相加；都得这个数的绝对值； （2） （3）当时，， 根据法则：，根据非负数的性质，只有时，． 31．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）观察下列各式∶ ， ， ， (1)猜想 ． (2)根据上面的规律，解答下列问题： ． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据所给各式发现规律，结果的分子为第1个分数的分子，分母为最后1个分数的分母； （2）计算每个括号，约分即可得到结果． 【详解】（1）解：∵， ， ， … ∴； 故答案为：． （2）解： ． 32．（2026七年级上·全国·专题练习）学习情境·阅读理解先阅读材料，再解相关的问题： ； ； … 请运用上述规律计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查有理数混合运算中的简便计算，依照阅读材料中的方法，将原式变形为，即可求解． 【详解】解：原式 ． 33．（24-25七年级上·全国·期末）观察下面三行数： ， ， ， ， ， ， ； ， ， ， ， ， ， ； ， ， ， ， ， ， (1)第行中的数可以看成按什么规律排列？ (2)第行中的数与第行中的数分别有什么关系？ (3)取每行中的第个数，计算这三个数的和． 【答案】(1)第行中的数可以看成按如下规律排列：，，，，．； (2)第行中的数是第行中相应的数加，第行中的数是第行中相应数的； (3)． 【分析】本题考查了数字类规律探索，有理数的混合运算，正确得出规律是解此题的关键． （1）观察第行中的数，发现各数均为的倍数．联系数的乘方，从符号和绝对值两方面考虑，可以发现排列的规律； （2）对比第两行中位置对应的数，可以发现：第行中的数是第行中相应的数加，对比第两行中位置对应的数，可以发现：第行中的数是第行中相应数的，即可得解； （3）根据得出的规律计算即可得解． 【详解】（1）解：观察的：第行中的数可以看成按如下规律排列：，，，，． （2）解：对比第两行中位置对应的数，可以发现：第行中的数是第行中相应的数加，即，，，，； 对比第两行中位置对应的数，可以发现：第行中的数是第行中相应数的，即 ，，，，． （3）解：每行中第个数的和是 ． 34．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段检测）乘方之美、乘方之趣、乘方之奇，有多少耐人寻味且神奇的现象隐藏于乘方之中．观察下列等式：，，，，，，，，，，……解答下列三个问题： (1)的末位数字是 ． (2)求的末位数字． (3)观察下列等式：，，，，…，想一想：等式左边各个幂的底数与右边幂的底数有什么关系，再利用这一规律计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查乘方的末位数字规律以及乘方运算的规律应用． 第()题通过观察已知的乘方等式，找出乘方末位数字的循环规律，进而确定的末位数字； 第()题先根据()中发现的末位数字规律，分别计算出到末位数字的和，再确定其末位数字； 第()题先观察等式左边各个幂的底数与右边幂的底数的关系，得出规律，再利用该规律计算的值； 【详解】（1）解：观察已知的乘方等式：，，，，，，，，，，…… 可以发现末位数字是以这个数字为一个循环周期， 刚好经过了个完整的循环周期， ∴的末位数字是． （2）由()可知，一个循环周期内末位数字的和为：， 从到刚好经过了个完整的循环周期， ∴的各项末位数字之和为， ∵的末位数字是， ∴的末位数字是0． （3）观察等式：，，，， 可以发现等式左边各个幂的底数之和等于右边幂的底数， 即，，，， 根据上述规律，右边幂的底数为， 根据等差数列求和公式(其中为项数，为首项，为末项)， 可得. 所以． 35．（25-26七年级上·江西宜春·阶段检测）阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题，经过研究，他得出这个问题的一般性结论是：，其中n是正整数，现在我们一起来研究一个类似问题：观察下面三个特殊的等式： ①；②③； 把①、②、③三个等式相加，于是． 阅读以上材料，请你解答以下问题： (1)_____． (2)根据以上观察，聪明的你发现_____． (3)根据发现的规律并用转化的数学思想计算． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握裂项相消法是解答本题的关键． （1）利用裂项相消法求解即可； （2）利用裂项相消法求解即可； （3）利用裂项相消法求解即可． 【详解】（1） 故答案为： （2） 故答案为： （3） 36．（24-25七年级上·浙江·期中）小强同学类比加法的学习过程，对有理数“”运算进行了如下探究． （一）法则探究 根据探究，小强发现有理数“”运算有下面的规律： （1），． （2），． （3），． 观察上面算式中“”运算的两数及所得结果的符号和绝对值，归纳“”运算的法则：两数进行“”运算时，同号______，异号______，并把绝对值______．特别地，0和任何数进行“”运算或任何数和0进行“”运算，______． （二）法则应用 （1）填空：______，______． （2）小强发现有理数“”运算符合有括号先算括号的运算顺序，请计算下列式子： ． （三）运算律探究 我们知道在有理数的加法运算中，有加法交换律．小强类比有理数“”运算法则的探究，分类举例探究了有理数“”运算的交换律，请完成小强的探究过程． 【答案】（一）法则探究：得正，得负，相加，结果为该数的相反数；（二）法则应用：（1）17，；（2）22； （三）运算律探究： ， ， 所以， 所以满足结合律． 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，正确理解新定义的运算法则是解题的关键． （一）根据上述计算，归纳“”运算的法则即可； （二）（1）根据（1）中的法则进行计算即可； （2）根据（1）中的法则进行计算即可； （三）根据题意，举例说明即可． 【详解】解：（一）根据上述运算，归纳“”运算的法则： 两数进行“”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加； 特别地，0与任何数进行“”运算或任何数与0进行“”运算结果为该数的相反数； 故答案为：得正，得负，相加，结果为该数的相反数； （二）（1）； 故答案为：17，； （2） ； （三）略 【经典例题五 有理数四则混合运算的实际应用】 37．（26-27七年级上·辽宁鞍山·期中）某市出租车收费标准： 千米以内（含千米）起步价元； 超过千米的部分，每千米收费元； 不足千米按千米计算． 李叔叔打车一共付了元，他最多乘坐了多少千米？ 【答案】 李叔叔最多乘坐了千米. 【分析】先判断乘车路程超过千米的起步里程，再计算超出起步价的费用，除以超出部分每千米元的单价，得到超出的最大计费里程，结合不足千米按千米计算的规则，加上起步里程得到结果． 【详解】解： 由题意得，千米以内（含千米）收费元，超过千米的部分每千米收费元，不足千米按千米计算． ∵ ， ∴ 乘坐路程超过千米 ， 超出起步价的费用：（元） ， 超出千米的最大计费路程：（千米）． ∵ 不足千米按千米计算 ， ∴ 实际超出路程最多为千米 ， 总最大路程：（千米）． 答：他最多乘坐了千米． 38．（25-26六年级上·上海·期中）某市出租车收费标准如下：3千米以内（含3千米）8元；超过3千米至7千米部分，每千米1.4元；超过7千米，每千米2.1元．（不足1千米按1千米计算） (1)王阿姨从商场回家，乘坐出租车，行驶了11.4千米，她要付多少钱？ (2)陈叔叔一次从出发地到目的地乘坐出租车付费32.5元，则出发地到目的地之间的距离在什么范围内 【答案】(1)24.1元 (2)比15千米大，但又小于或等于16千米 【分析】先处理行程的取整问题，因为题目规定不足1千米按1千米计算，所以首先要把实际行驶里程向上取整为计价里程． （1）把计价里程按照收费标准的分段区间拆分，分别计算各段的费用后求和，其中3千米内费用固定，3到7千米部分按1.4元/千米计算，超过7千米部分按2.1元/千米计算． （2）先计算各分段的累计最高费用，判断32.5元对应的里程区间，先减去前7千米的总费用，得到超出7千米部分的费用，再除以对应单价算出超出里程，最后结合不足1千米按1千米计算的规则，确定距离的范围． 【详解】（1）解：（千米）， （元）， 11.4千米向上取整为12千米， （千米）， （元）， （元） ． 答：她要付24.1元． （2）解：（千米） ， （元）， （元） ， （千米）， （千米） ， （千米）． 答：出发地到目的地之间的距离应比15千米大，但又小于或等于16千米． 39．（25-26七年级上·河南安阳·期末）某快递公司统计了某驿站连续七天每天的派件量（单位：件），以300件为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“”，记录如下表．已知第四天派件量为287件，第七天派件量为318件． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 ■ ● (1)“■”处的数为_______，“●”处的数为_______； (2)求该驿站这七天平均每天的派件量； (3)若每件快递的派件费为0.8元，则该驿站这七天派件的总费用是多少元？ 【答案】(1)， (2)305件 (3)1708元 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算的应用，正负数的应用，正确理解题意是解题的关键； （1）以300件为基准，用实际派件量减去300，即可得到记录数； （2）先算出每天的实际派件量，求和得到总派件量，再除以天数7； （3）用总派件量乘以每件的派件费即可解答； 【详解】（1）解：以300件为标准， 第四天派件量为287件， 所以“■”处的数 第七天派件量为318件， 所以“●”处的数， （2）解：七天的总派件量： （件） 平均每天派件量（件）； （3）解：∵每件派件费为0.8元： ∴总费用（元） 40．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）张明将自家的猕猴桃放到网上销售，他原计划每天卖猕猴桃，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值/ (1)根据上表的数据可知，销售量最多的一天是星期_______，有_______；最少的一天是星期_______，有_______． (2)若猕猴桃的售价是元，成本是元，则张明当周销售猕猴桃获得的总利润是多少元？（利润售价成本） 【答案】(1)六，，五， (2)元 【分析】（1）根据正负数的意义，结合表格数据得出销售量最多的和最少的是哪一天，进而用加上与计划量的差值，即可求解； （2）先计算猕猴桃的销售总量，再根据利润售价成本，进行计算即可求解． 【详解】（1）解：根据上表的数据可知，销售量最多的一天是星期六，有；最少的一天是星期五，有． （2）解：猕猴桃的销售总量为 （元） 答：张明当周销售猕猴桃获得的总利润是元． 41．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下面是李老师今年8月份收入和支出的记录． 8月10日领取工资2400元；    8月13日交电话费88元； 8月15日交水电费120元；    8月24日买服装花467元； 8月26日收到稿费450元；    8月30日得加班费100元； 8月份伙食费支出合计800元 (1)领取工资2400元记作：元，请你将李老师的各项收支用正数和负数记录在下表中． 项目 工资 电话费 水电费 服装费 稿费 加班费 伙食费 收支/元 (2)李老师8月份一共收入多少钱？ (3)李老师这个月的总支出占总收入的百分之几？ 【答案】(1) 项目 工资 电话费 水电费 服装费 稿费 加班费 伙食费 收支/元 (2)元； (3) 【分析】（1）收入用正数表示，支出用负数表示，据此求解即可； （2）将所有收入项目相加，计算得到总收入即可； （3）先将所有支出项目相加得到总支出，再用总支出除以总收入，计算即可得到对应的百分比． 【详解】（1）解：略 （2）解：元， 答：李老师8月份一共收入2950元； （3）解：， 答：李老师这个月的总支出占总收入的． 42．（25-26七年级上·陕西渭南·期末）某陶瓷厂计划每个工人一周生产陶瓷工艺品140个，平均每天生产20个，但实际每天的生产量与计划相比有出入，下表是该厂一工人某周的生产情况（以20个为标准，超过的部分记为正，不足的部分记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 实际与标准的差值（个） (1)该工人本周实际生产工艺品的数量为多少个？ (2)已知该厂实行计件工资制，每周结算一次，每生产一个工艺品可得5元，以140个为标准，超过部分每个另奖4元，未达标准的部分每个扣3元，求该工人在这一周实际获得的工资总额． 【答案】(1) 145个 (2) 745元 【分析】本题主要考查了正负数的应用，有理数的加减，有理数的混合运算的应用， 对于（1），求出七天与实际与标准差值的和，再加上标准值可得答案； 对于（2），先求出标准值的工资，再加上超过部分获得的工资． 【详解】（1）解：个， 所以工人本周实际生产工艺品的数量为145个； （2）解：元， 所以该工人在这一周实际获得的工资总额为745元． 43．（25-26七年级上·河北保定·期末）出租车司机王师傅某日上午从A地出发，在南北方向的公路上行驶营运．下表是这天上午行驶的里程（单位：千米，规定向北走为正，向南走为负；○表示空载，√表示载有乘客）． 次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 里程 乘客 ○ √ √ ○ √ (1)王师傅走完第5次里程后，他在A地的什么方向？离A地多少千米？ (2)已知出租车每千米耗油约0.08升，王师傅开始营运前油箱里有14升油，若油箱里剩余油量8升时则会提醒加油，请通过计算说明王师傅这天上午是否会被提醒加油？ (3)已知载客时3千米以内（含3千米）收费8元，超过3千米后，超过的部分每千米收费1.9元，求王师傅这天上午的营业总额． 【答案】(1)正南方向，离A地12千米 (2)王师傅这天上午不会被提醒加油 (3)86.7元 【分析】本题主要考查正负数的应用，有理数的运算及实际问题的处理，读懂题意，熟练运用有理数的运算是关键． （1）通过计算所有里程的代数和，确定方向与距离； （2）计算总行驶里程的绝对值之和，求耗油量，再比较剩余油量与8升的关系； （3）仅计算载客行程的收费，根据里程绝对值应用收费规则求和即可． 【详解】（1）解：由题意得，（千米）， 所以，王师傅走完第5次里程后，他在A地的正南方向，离A地12千米． （2）解：由题意得，（千米）， ， 所以，王师傅这天上午不会被提醒加油． （3）解：由题意得，（元） 答：王师傅这天上午的营业总额为元． 44．（25-26七年级上·陕西安康·期末）小华同学每学习完一个单元都会进行一次自我检测，他的四次数学测试成绩记录如下：（以分为标准，超出分的部分记为正数，不足分的部分记为负数） 测试次数 第1次 第2次 第3次 第4次 测试成绩与标准成绩的差值（分） (1)小华同学在计算上很粗心，但学习自觉，主动性很强，每次测试只要低于分，每低一分，就主动找2道计算题加强训练，以提高自己的计算能力．请问：根据这四次数学测试的成绩，小华一共找了多少道计算题进行训练？ (2)求小华这四次数学测试成绩的平均分． 【答案】(1)小华一共找了道计算题进行训练． (2)小华这四次数学测试成绩的平均分为分． 【分析】本题考查有理数的实际应用，正确掌握有理数的混合运算是解题的关键． （1）根据题意，计算即可求解； （2）根据题意，计算即可求解． 【详解】（1）解：（道）， 答：小华一共找了道计算题进行训练； （2） （分） 答：小华这四次数学测试成绩的平均分为分． 45．（25-26六年级上·上海金山·期末）小明、小丽、小杰三人去一家餐厅吃火锅，付款时打印的结账单如图所示．现有三种优惠活动如下： 结账单 锅底 1份 精品羊肉 1份 雪花牛肉 1份 毛肚 1份 贡丸 1份 金针菇 1份 蔬菜拼盘 1份 可乐（饮料） 1瓶 共计 （1）大众点评网上可用88元购得该店100元的代金券（每单最多可用两张）； （2）支付宝付款可享受全单九折； （3）火锅店优惠活动“除锅底、酒水、饮料外，每消费满80元立减10元”． 以上三种优惠方式只能选择一种，你能帮他们算一算哪种支付方式最优惠吗? 【答案】第三种 【分析】考查了有理数的混合运算．分别计算三种优惠方式的实际支付金额，比较后选择最小值． 【详解】解：优惠1：使用两张代金券，支付券费元，抵扣元，还需支付元，总支付元． 优惠2：全单九折，支付元． 优惠3：参与优惠金额为元，，整数部分为，减元，支付参与部分元，加上锅底元和饮料元，总支付元． 比较元、元、元，元最小，因此第三种支付方式最优惠． 【经典例题六 近似数、科学记数法实际综合应用】 46．（25-26七年级上·全国·单元测试）在一次救灾行动中，大约有人需要安置．假如一顶帐篷占地，帐篷内可以放置40个床位，若将上述受灾的人都进行安置，则需要多少顶帐篷？这些帐篷大约要占多大面积？ 【答案】6250顶；平方米 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、科学记数法的运算等知识点，掌握有理数的混合运算法则以及科学记数法的表示是解题的关键． 根据帐篷的数量等于总人数除以每一个帐篷所容纳的人数；所占面积等于帐篷数乘以一顶帐篷所占的面积，据此进行计算即可． 【详解】解：根据题意：得顶帐篷，平方米． 答：需要6250顶帐篷，这些帐篷大约要占平方米． 47．（25-26七年级上·全国·单元复习）已知的氢气质量约为，请用科学记数法表示下列计算结果： (1)求一个容积为的氢气球所充氢气的质量； (2)一块橡皮重，这块橡皮的质量是的氢气质量的多少倍？ 【答案】(1) (2)倍 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用； （1）先用乘法求出氢气球所充氢气的质量, 再用科学记数法表示最终结果； （2）先用除法计算出这块橡皮的质量是的氢气质量的多少倍，再用科学记数法表示最终结果. 【详解】（1）解：． （2）． 故这块橡皮的质量是的氢气质量的倍． 48．（25-26七年级上·安徽·期中）一个三位数先四舍五入到十位，所得的数为， 再将四舍五入到百位，所得的数恰好为． (1)数的最大值和最小值分别是多少？ (2)将数x 的最大值和最小值的差用科学记数法表示出来（精确到百位）． 【答案】(1)最大值是544，最小值是445 (2) 【分析】本题考查了四舍五入和科学记数法，熟悉掌握四舍五入的运算特征和科学记数法是解题的关键． （1）根据四舍五入的运算特征解答即可； （2）先运算出差值进行四舍五入，再进行科学记数法即可． 【详解】（1）解：∵ ∴四舍五入到十位后的数最大是540，四舍五入到十位后的数最小是450， ∴的最大值是，最小值是； （2）解：∵， ∴． 49．（26-27七年级上·全国·课后作业）按要求解答下列问题： (1)一棵生长了年的大树，仅能制成双一次性筷子．假设每人每天用1双一次性筷子，调查你所在地区的人口数，估算一下一年我们要为此砍多少棵这样的大树（用科学记数法表示）．如果是一个万人口的城市呢？ (2)根据（1）中的估算结果，你有何感想？ 【答案】(1)假设所在地区人口300万，一年需砍棵这样的大树 1000万人口的城市一年需砍棵这样的大树 (2)解：我们应减少一次性筷子的使用，保护森林资源，践行绿色生活（答案不唯一）． 【分析】（1）城市人口数乘以一年的天数分别除以和即可得到一年大约需要多少棵树，科学记数法的形式：，且n为整数； （2）从减少一次性筷子这方面提建议． 【详解】（1）解：假设所在地区人口约为万，一年按天计算， ， ， 所在地区一年需砍棵这样的大树； ， ， 1000万人口的城市一年需砍棵这样的大树． （2）略 50．（25-26七年级上·河南信阳·阶段检测）某省希望工程办公室收到社会各界人士捐款共计一千五百万元，以此来资助贫困失学儿童． (1)如果每名失学儿童可获得500元的资助，那么共可资助多少名失学儿童？（用科学记数法表示结果） (2)如果社会各界人士捐款数平均10元/人，则需要多少人才能捐出这笔捐款？（用科学记数法表示结果） (3)在山区，尚有不少孩子因为贫困，不能顺利地完成九年义务教育学业．上述数据给你什么启示？ 【答案】(1)共可资助名失学儿童 (2)需要人才能捐出这笔捐款 (3) 解：每个人应伸出援助之手，作为学生应节约用钱，节省零花钱，在力所能及范围内积极捐款，为帮助贫困学生贡献一份力量． 【分析】（1）用总捐款数除以资助每名失学儿童需要的钱，可得出资助失学儿童的数目，然后用科学记数法表式为的形式，其中，为整数；即可求解． （2）用总捐款数除以平均每人捐款数，可得出捐款的人数， 然后用科学记数法表式为的形式，其中，为整数；即可求解． （3）提出合理建议即可． 【详解】（1）解：由题意得 (名)； 答：共可资助名失学儿童． （2）解：由题意得 (人)； 答：需要人才能捐出这笔捐款． （3）略 【点睛】本题考查了科学记数法，掌握科学记数法是解题的关键． 51．（24-25七年级上·内蒙古通辽·期末）一粒米微不足道，平时总会在饭桌上毫不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整碗米饭倒掉．针对这种浪费粮食现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米大约重10克，现在请同学来计算． (1)按我国14亿人口计，每年365天，每人每天三餐米饭计算，如果每人每餐节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克（用科学记数法表示）？ (2)如果我们把一年节约的大米卖成钱，按4元/千克计算，可卖得人民币多少元？ (3)经过以上计算，同学你有何感想和建议？ 【答案】(1)一年大约节约（千克）大米 (2)可卖得到的人民币为元 (3) 解：感想和建议：节约粮食人人有责，节约能源，爱护劳动．（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，科学记数法的应用，解题的关键是根据题意列出算式． （1）先求出一粒大米的质量，然后根据题意列出算式进行计算即可，并利用科学记数法表示出结果即可； （2）根据题意列出算式进行计算即可； （3） 【详解】（1）解：（克） 一粒大米重约克， 根据题意知： （千克） 答：一年大约节约千克大米． （2）解：元． 答：可卖得到的人民币为元． （3）略 52．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）按要求完成下列各题 (1)完成下列各数的近似数            （精确到十分位）                 （精确十位）          （精确到百分位）              （精确到百分位） (2)光年是天文学中的距离单位，1光年大约是，用科学记数法表示为 ． (3)截至年底，我国已建立的国家级自然保护区总面积约，用科学记数法表示为 ． (4)据工信部数据显示，年我国移动电话用户总数达到亿户，用科学记数法表示为 户． (5)地球上已发现的生物约种，用科学记数法表示为 种． 【答案】(1)，，， (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）根据精确到哪一位即对这一位的下一位数字进行四舍五入进行求解即可； （2）（3）（4）（5）根据科学记数法的表示方法求解即可． 【详解】（1）解：（精确到十分位）        （精确十位） （精确到百分位）     精确到百分位）； （2）解： ， 故答案为：； （3）解：， 故答案为：； （4）解：亿户户， 故答案为：； （5）解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了科学记数法和近似数，熟知科学记数法的表示方法和近似数的求解方法是解题的关键． 53．（24-25六年级下·江苏南京·期末）据南京智慧旅游大数据运行监测平台显示，2025年端午假期全市接待游客568万人次，乡村旅游点游客量达429300人次，其中，外地游客文旅消费总额亿元，同比增长． (1)乡村旅游点游客量改写成用“万”作单位是( )万人次；外地游客文旅消费总额精确到“亿”位约是( )亿元． (2)568万是一个近似数，请在数轴上用“· ”表示出来． 【答案】(1) 18 (2) 568万表示在数轴上如图所示： 【分析】本题考查了精确数与近似数、在数轴上表示有理数，掌握近似数的概念是解题的关键． （1）根据题意即可作答； （2）根据题意，在数轴上表示568万即可． 【详解】（1）解：万， ∴乡村旅游点游客量改写成用“万”作单位是万人次； ， ∴外地游客文旅消费总额精确到“亿”位约是18亿元． 故答案为：；18． （2）略 54．（25-26六年级上·山东烟台·期中）张老板在阳光小区附近开了一家手擀面店，为了吸引顾客、门前的宣传广告是这样写的：张氏打卤面开业大酬宾，第一周每碗9元，第二周每碗10元，第三周每碗11元，从第四周开始每碗12元，月末结算时，每周以500碗为标准，多卖的记为正，少卖的记为负、这四周的销售情况如下表． 周次 一 二 三 四 销售量 (1)若打卤面成本为元/碗，哪一周的收益最多？是多少元？ (2)这四周总销售额是多少元？用科学记数法表示为________．（精确到千位） (3)在（1）的条件下，为拓展消费群体，四周后，张老板又决定实行两种优惠方案： 方案一：凡来店中吃打卤面者，每碗附赠一瓶元的矿泉水； 方案二：凡一次性购买3碗以上的，可免费送货上门，但张老板需支付人工费4元． 若某人一次性购买4碗打卤面，则张老板更希望以哪种方案卖出？ 【答案】(1)第二周的收益最多，是2888元 (2)27640元；元 (3)方案一 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数混合运算的实际应用，理解题意，正确列出算式是解题的关键． （1）分别求出每周收益，再比较即可； （2）分别求出每周销售额，再相加，最后精确到千位即可； （3）分别求出方案一和方案二的利润，再比较即可； 【详解】（1）解：第一周的收益：（元）， 第二周的收益：（元）， 第三周的收益：（元）， 第四周的收益：（元）， 所以第二周的收益最多，是2888元； （2）解：第一周的销售额：（元）， 第二周的销售额：（元）， 第三周的销售额：（元）， 第四周的销售额：（元）， 这四周的总销售额：（元）； 用科学记数法表示为元， 故答案为：； （3）解：方案一的收益：（元） 方案二的收益：（元）； 所以张老板希望以方案一的方式卖出． 学科网（北京）股份有限公司 $