专题05 有理数的运算章末易错必刷题型专训（51题17个考点）-2026-2027学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

**基本信息** 聚焦有理数运算17个易错考点，以51题构建“概念辨析-运算技巧-综合应用”三阶训练体系，提炼拆项法、符号规律等实用方法，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |科学记数法|3题|表示规则与还原方法|数感培养→实际应用| |近似数|3题|四舍五入精确法|精确度概念→多情境取值| |加减混合运算|3题|拆项法与符号处理|运算顺序→简便计算| |运算律|3题|交换律与结合律联用|算理理解→技巧迁移| |乘除运算|3题|倒数性质与符号规律|法则推导→混合应用| |乘方|3题|幂的概念与符号判定|概念生成→运算深化| |综合应用|6题（程序/24点/新定义）|模型转化与规则应用|知识整合→问题解决|

专题05 有理数的运算章末易错必刷题型专训（51题17个考点） 【易错必刷一 用科学记数法表示】 1．（2026七年级上·安徽合肥·专题练习）用科学记数法表示的数正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·江西·模拟预测）初三学生从三月初开学后每天在校学习时间大约28000秒，请将数28000用科学记数法表示，记为______． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数？ ． 【易错必刷二 求一个数的近似数】 4．（25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·期中）用四舍五入法，把精确到十分位，取得的近似数（   ） A．4 B． C． D． 5．（25-26七年级上·安徽安庆·期末）自然常数精确到0.01的近似数是______． 6．（25-26六年级下·全国·假期作业）用四舍五入法，按要求对下列各数取近似值： (1)38063（精确到千位）； (2)（精确到百分位）： (3)（精确到）； (4)（精确到十分位）． 【易错必刷三 有理数的加减混合运算】 7．（2026·河北廊坊·二模）与相等的是（     ） A． B． C． D． 8．（25-26六年级上·上海·阶段检测）如果一个数减去，再加上等于，那么这个数是______． 9．（25-26七年级上·山西朔州·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【易错必刷四 有理数加法运算律】 10．（24-25七年级上·四川内江·阶段检测）计算运用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律与结合律 D．分配律 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）根据加法运算律填空： (1)________； (2)； (3)． 12．（24-25七年级上·全国·单元复习）阅读第①小题的计算方法，再计算第②小题． ① 解：原式 ． 上述这种方法叫作拆项法．灵活运用加法的交换律、结合律可使运算简便． ②仿照上面的方法计算：． 【易错必刷五 省略加法和括号的形式】 13．（25-26七年级上·福建泉州·期中）不改变原式的值，将改写成省略加号和括号的和的形式是 （    ） A． B． C． D． 14．（25-26七年级上·四川遂宁·期中）写成省略加号的和的形式___________； 15．（25-26七年级上·全国·课后作业）将下列式子写成省略括号的和的形式，并说出它的两种读法： （1）； （2）． 【易错必刷六 有理数加减中的简便运算】 16．（25-26七年级上·河北石家庄·阶段检测）甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示： 甲： 乙： 下列判断正确的是（   ） A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 17．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）如图，步骤①的运算依据是______． 计算： ① ② . 18．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【易错必刷七 有理数乘除混合运算】 19．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算的结果是（    ） A． B．1 C． D． 20．（2026七年级·全国·模拟预测）计算：______． 21．（25-26七年级上·河北保定·期中）有个填写运算符号的游戏：在“1367”中的每个内，填入“+，，×，÷”中的某一个（可重复使用），然后计算结果． (1)计算：； (2)若，请推算内的符号； (3)在“”的内填入运算符号后，使计算结果为，直接写出一个满足条件的算式． 【易错必刷八 倒数】 22．（25-26七年级上·河南郑州·期末）农历年是丙午马年，数字的倒数是（    ） A． B． C． D． 23．（25-26七年级上·湖南邵阳·期中）若是，则的倒数是______． 24．（26-27七年级上·全国·课后作业）根据下表每行中的已知数，填写该行中其他的数： 原数 原数的相反数 原数的绝对值 原数的倒数 0 【易错必刷九 有理数乘法运算律】 25．（24-25七年级上·福建福州·期中）若．则的值可表示为（   ） A． B． C． D． 26．（24-25七年级上·四川巴中·阶段检测）有理数乘法运算律 交换律：_____；结合律：______﹔分配律：_____． 27．（25-26七年级上·全国·周测）计算：． 【易错必刷十 有理数乘除中的简便运算】 28．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）的值为________． 29．（25-26七年级上·吉林松原·期中）用简便方法计算：． 30．（25-26七年级上·四川成都·期中）用适当方法计算 (1) (2) 【易错必刷十一 有理数四则混合运算】 31．（25-26七年级上·北京·阶段检测）有下列四个算式：①；②；③；④．其中正确的有（　　） A．①② B．①②③ C．③④ D．②③④ 32．（25-26七年级上·四川泸州·期中）新定义运算：对于任意有理数a、b，规定．例如：．计算：______． 33．（25-26七年级上·安徽宿州·阶段检测）已知，均为有理数，现在我们定义一种新运算，规定．例如：． (1)求的值； (2)求的值． 【易错必刷十二 有理数幂的概念理解】 34．（25-26七年级上·广东湛江·阶段检测）对于式子，下列说法不正确的是（   ） A．幂为 B．底数是 C．指数是3 D．表示3个相乘 35．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测），，说说它们的意义与读法． ，表示4个相乘，读作____________． 表示4个2相乘的相反数，读作__________或____． 36．（25-26七年级上·全国·单元复习）相传，古印度有位国王很喜欢下国际象棋．有一天，他想要重赏国际象棋的发明者．发明者说∶“陛下，我不要您的重赏，只要您在我的棋盘上赏一些麦子就可以．在棋盘的第1个格子里放1粒，在第2个格子里放2粒，在第3个格子里放4粒，在第4个格子里放8粒，依此类推，以后每一个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的 2倍，直到放满第64个格子就行了．”国王觉得这个要求很容易满足，就欣然答应了．然而，当人们开始在棋盘上放麦粒时，国王才发现问题的严重性． 提问∶你知道是为什么吗？ 【思考1】 (1)边长为a的正方形的面积为___________ (2)棱长为a的正方体的体积为___________ (3)这两个过程有什么简单的写法吗？（类比单位的写法） (4)这种写法读作什么呢？ 【易错必刷十三 有理数的乘方运算】 37．（2026·河北沧州·二模）可以记作（    ） A． B． C． D． 38．（25-26七年级上·北京通州·期末）计算的结果用含的代数式表示为________． 39．（25-26七年级上·陕西汉中·期中）如图，点在数轴上，点由点向左平移6个单位长度得到． (1)点在数轴上表示的数为______； (2)在数轴上表示下列各数，并用“”把这些数连接起来． ，，0． 【易错必刷十四 乘方运算的符号规律】 40．（25-26七年级上·陕西宝鸡·期中）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 41．（25-26七年级上·北京·期中）当___________时，有最___________值（填“大”或“小”）是___________． 42．（25-26七年级上·全国·课后作业）判断下列各式计算结果的正负： （1）； （2）； （3）； （4）． 【易错必刷十五 程序流程图与有理数计算】 43．（24-25七年级下·陕西西安·期末）任意给一个非零数，按如图所示的程序写出输出结果，则与之间的关系式为（   ）． A． B． C． D． 44．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，把分别输入数值转换器，则输出的结果是______； 45．（25-26七年级上·河南驻马店·期中）小可同学设计了几张如图写有不同运算的卡片A，B，C，D，小可选择一个有理数，让她的同桌小佳选择A，B，C，D的顺序，进行一次列式计算． (1)当小可选择了4，小佳选择了的顺序，列出算式并计算结果； (2)当小可选择了，小佳选择了（______）（______）的顺序，若列式计算的结果刚好为，请通过计算判断小佳选择的顺序． 【易错必刷十六 算24点】 46．（25-26七年级上·云南保山·期中）有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数必须且只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10．运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 47．（25-26七年级上·浙江金华·期中）将2，5，10，11这四个数（每个数必须用且只用一次）进行加、减、乘、除四则运算，使运算结果等于24． （1）请写出满足条件的算式：______________________． （2）其它条件不变，若加上乘方运算，请写出满足条件的算式：______________________． 48．（25-26七年级上·浙江温州·期中）请你参加计算游戏： (1)“算24点”游戏：有四个数，可以按下面方式计算：，．利用加、减、乘、除、乘方运算（可用括号），每个数必须用一次且只能用一次，最终计算结果为24．下面有四个数：，请列出一个符合要求的算式，并写出计算全过程； (2)请在内填上中的一个，使计算更加简便，然后计算． 计算：． 【易错必刷十七 含乘方的有理数混合运算】 49．（2026·四川攀枝花·模拟预测）“快乐数”是指将正整数的每一位数字平方后相加，得到的新数再重复这一过程，最后结果为1的数．以“快乐数”70为例：，则下列数中不是“快乐数”的是（     ） A．3 B．7 C．13 D．31 50．（25-26七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）利用图1的二维码可以进行身份识别，某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为，（规定），如图2，第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为，表示该生为5班的学生．图3中表示学生所在班级序号是______． 51．（25-26七年级上·四川乐山·期末）学习完《有理数》后，小明对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，用“”定义了一种新运算，对任意有理数和有规则如下：， 如：． (1)求的值； (2)这种运算是否满足交换律，即是否成立，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 有理数的运算章末易错必刷题型专训（51题17个考点） 【易错必刷一 用科学记数法表示】 1．（2026七年级上·安徽合肥·专题练习）用科学记数法表示的数正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：科学记数法的标准形式为，需满足，为整数． A、，不满足科学记数法的要求，本选项不合题意； B、，满足，满足科学记数法的要求，本选项符合题意； C、，不满足科学记数法的要求，本选项不合题意； D、，不满足科学记数法的要求，本选项不合题意． 2．（2026·江西·模拟预测）初三学生从三月初开学后每天在校学习时间大约28000秒，请将数28000用科学记数法表示，记为______． 【答案】 【详解】． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数？ ． 【答案】，，， 【分析】本题考查了科学记数法表示较大的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，确定a的值以及n的值是解题的关键． 科学记数法的标准形式为（，n为整数），将a的小数点向右移动n位即可恢复原数． 【详解】解：； ； ； ． 【易错必刷二 求一个数的近似数】 4．（25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·期中）用四舍五入法，把精确到十分位，取得的近似数（   ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了四舍五入求近似数．精确到十分位，需看百分位数字，根据四舍五入规则处理． 【详解】解：∵ 精确到十分位，百分位数字为，， ∴ 向十分位进一，十分位变为， ∴ 近似数为． 故选：B． 5．（25-26七年级上·安徽安庆·期末）自然常数精确到0.01的近似数是______． 【答案】2.72 【分析】此题考查了近似数，根据四舍五入进行解答即可． 【详解】解：，精确到0.01即保留两位小数，第三位小数是8，由于，向百分位进一，百分位由1变为2，故结果为2.72, 故答案为：2.72． 6．（25-26六年级下·全国·假期作业）用四舍五入法，按要求对下列各数取近似值： (1)38063（精确到千位）； (2)（精确到百分位）： (3)（精确到）； (4)（精确到十分位）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了求一个数的近似数，精确到哪一位，即对该位的下一位数字进行四舍五入，据此求解即可． 【详解】（1）解：（精确到千位）； （2）解：（精确到百分位） （3）解：（精确到） （4）解：（精确到十分位）． 【易错必刷三 有理数的加减混合运算】 7．（2026·河北廊坊·二模）与相等的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 8．（25-26六年级上·上海·阶段检测）如果一个数减去，再加上等于，那么这个数是______． 【答案】 【分析】本题考查了分数的加减法，根据题意列出算式是解题的关键． 根据题意列出算式并计算即可． 【详解】解：根据题意，这个数应该是：． 故答案为： ． 9．（25-26七年级上·山西朔州·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)8 (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加减运算，熟知有理数的加减运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的减法运算法则求解即可； （2）根据有理数的加法运算法则求解即可； （3）根据有理数的加减运算法则求解即可； （4）根据有理数的加减运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【易错必刷四 有理数加法运算律】 10．（24-25七年级上·四川内江·阶段检测）计算运用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律与结合律 D．分配律 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法运算律．熟练掌握有理数的加法运算律是解题的关键． 根据有理数的加法运算律判断作答即可． 【详解】解：由题意知，运用了加法交换律与结合律， 故选：C． 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）根据加法运算律填空： (1)________； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)， (3)， 【分析】本题考查加法交换律和加法结合律的应用． （1）利用加法交换律求解； （2）利用加法结合律求解； （3）利用加法交换律和结合律求解． 【详解】（1）解：根据加法交换律，两个数相加，交换加数的位置，和不变， 因此，， 故答案为； （2）根据加法结合律，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变， 为了计算简便，将负数结合：， 故答案为，； （3）观察发现，与相加得，与相加得， 因此， 故答案为,． 12．（24-25七年级上·全国·单元复习）阅读第①小题的计算方法，再计算第②小题． ① 解：原式 ． 上述这种方法叫作拆项法．灵活运用加法的交换律、结合律可使运算简便． ②仿照上面的方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法交换律及结合律，熟练掌握有理数的加法交换律及结合律是解题的关键，把变形为，再利用有理数的加法法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 【易错必刷五 省略加法和括号的形式】 13．（25-26七年级上·福建泉州·期中）不改变原式的值，将改写成省略加号和括号的和的形式是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数加减法中省略加号和括号的写法，根据每个数的符号，直接写出带符号的数，加号省略，即可作答． 【详解】解：∵ 将改写成省略加号和括号的和的形式 ∴， 故选：D 14．（25-26七年级上·四川遂宁·期中）写成省略加号的和的形式___________； 【答案】 【分析】本题考查化简多重符号．根据相反数的意义，，，，再将原式写成省略加号的和的形式． 【详解】解：， 故答案为：． 15．（25-26七年级上·全国·课后作业）将下列式子写成省略括号的和的形式，并说出它的两种读法： （1）； （2）． 【答案】（1），读作：正3.7，正2.5，负3.5，负2.4的和；3.7加2.5减3.5减2.4 ；（2），负，负，负，正，正，正4的和；负减减加加； 【分析】（1）利用减法法则把减法改为加法，省略加号即可，按运算顺序与算式的意义读出即可； （2）利用减法法则把减法改为加法，省略加号即可，按运算顺序与算式的意义读出即可． 【详解】解：（1）原式； 读作：正3.7，正2.5，负3.5，负2.4的和；3.7加2.5减3.5减2.4 （2）原式． 读作：负，负，负，正，正，正4的和； 负减减加加； 【点睛】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【易错必刷六 有理数加减中的简便运算】 16．（25-26七年级上·河北石家庄·阶段检测）甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示： 甲： 乙： 下列判断正确的是（   ） A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 【答案】B 【分析】本题考查了有理数加减混合运算中加法交换律、结合律的应用及去括号法则的掌握，解题的关键是逐一检查甲、乙计算过程中符号处理和运算结果的正确性，判断其是否正确运用运算律． 先分析甲的计算：原式中，根据去括号法则，，但甲错误将其处理为，导致后续计算结果错误；再分析乙的计算：原式中，，乙未化简且错误计算的结果（正确结果为，乙算为），故甲、乙均错误． 【详解】解：A、判断“甲、乙都正确”：   先看甲的计算：，由去括号法则，，甲错误将其写为，正确过程应为，甲错误；   再看乙的计算：原式，乙错误；此选项不符合题意；   故选：B． 17．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）如图，步骤①的运算依据是______． 计算： ① ② . 【答案】加法的交换律 【分析】根据有理数的加减法法则解答即可． 【详解】解： ， 利用的是加法的交换律， 故答案为：加法的交换律． 【点睛】本题考查了有理数的加减法，解答本题关键是掌握有理数的加减运算法则． 18．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)0 (4) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序． （1）先去括号，然后从左向右依次计算即可； （2）将分母相同的两个数分别结合为一组求解； （3）利用加法交换律和结合律，将小数部分相同的数以及互为相反数的数分别结合求解； （4）先将带分数拆分成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【易错必刷七 有理数乘除混合运算】 19．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算的结果是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是有理数的乘除混合运算，先将除法转化为乘法，再根据乘法法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：B． 20．（2026七年级·全国·模拟预测）计算：______． 【答案】 【分析】根据原式的特点进行拆项，再进行加减运算即可得到答案，找到运算规律是解题的关键． 【详解】解；原式． 故答案为： 21．（25-26七年级上·河北保定·期中）有个填写运算符号的游戏：在“1367”中的每个内，填入“+，，×，÷”中的某一个（可重复使用），然后计算结果． (1)计算：； (2)若，请推算内的符号； (3)在“”的内填入运算符号后，使计算结果为，直接写出一个满足条件的算式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的运算规则并准确计算． （1）按照从左到右的顺序依次计算； （2）先计算已知部分的结果，再根据最终结果推导运算符号； （3）尝试不同运算符号组合，使结果为． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， ，所以□内的符号是：， 故答案为：； （3）解：尝试运算符号组合，可得算式： ， 故答案为：． 【易错必刷八 倒数】 22．（25-26七年级上·河南郑州·期末）农历年是丙午马年，数字的倒数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了倒数的定义，关键是理解“若两个数的乘积为1，则这两个数互为倒数”这一核心概念． 【详解】解：根据倒数的定义，非零数的倒数为， ∴的倒数是； 故选：A． 23．（25-26七年级上·湖南邵阳·期中）若是，则的倒数是______． 【答案】 【分析】本题考查了倒数，根据倒数的定义即可求解，掌握倒数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是， ∴的倒数是， 故答案为：． 24．（26-27七年级上·全国·课后作业）根据下表每行中的已知数，填写该行中其他的数： 原数 原数的相反数 原数的绝对值 原数的倒数 0 【答案】 原数 原数的相反数 原数的绝对值 原数的倒数 2 2 0 0 0 不存在 【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，乘积为1的两个数互为倒数，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此结合表格中的数据求解即可． 【详解】解：的相反数为，绝对值为，倒数为； 的相反数为，的绝对值为，倒数为； 0的相反数是0，0的绝对值是0，0没有倒数； 的倒数为，的相反数为，绝对值为； 填表见答案． 【易错必刷九 有理数乘法运算律】 25．（24-25七年级上·福建福州·期中）若．则的值可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了乘法的分配律，正确掌握乘法分配律的计算法则是解题的关键．将变形为，再利用乘法分配律计算即可得． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：C． 26．（24-25七年级上·四川巴中·阶段检测）有理数乘法运算律 交换律：_____；结合律：______﹔分配律：_____． 【答案】 【分析】本题考查乘法运算律，根据乘法运算律进行作答即可． 【详解】解：；；； 故答案为：，，． 27．（25-26七年级上·全国·周测）计算：． 【答案】10 【分析】本题考查有理数的混合运算，先利用乘法分配律计算，然后求和，最后运算除法解答即可． 【详解】解：原式 ． 【易错必刷十 有理数乘除中的简便运算】 28．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）的值为________． 【答案】 【分析】根据乘法分配律将算式变化，即可计算出结果． 【详解】解： 29．（25-26七年级上·吉林松原·期中）用简便方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律，观察式子，运用有理数的乘法运算律进行简便运算，即可作答． 【详解】解： ． 30．（25-26七年级上·四川成都·期中）用适当方法计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将原式拆分为两部分求和，分别计算后作差得结果； （2）先化简找出规律，再用裂项相消法抵消中间项，计算剩余项得结果． 【详解】（1）解： ∵，，，，共项，和为， ，，，，共项，和为， ∴原式； （2）解：对于第项，， ∴分母乘积为， ∴第项为， ∴ ． 【易错必刷十一 有理数四则混合运算】 31．（25-26七年级上·北京·阶段检测）有下列四个算式：①；②；③；④．其中正确的有（　　） A．①② B．①②③ C．③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 第①个式子根据有理数的加法可以计算出正确的结果； 第②个式子根据有理数的乘除法可以计算出正确的结果； 第③个式子根据有理数的加法可以计算出正确的结果； 第④个式子根据有理数的除法可以计算出正确的结果． 【详解】解：，故①不正确； ，故②不正确； ，故③正确； ，故④正确； 综上可知，正确的有③④． 故选：C． 32．（25-26七年级上·四川泸州·期中）新定义运算：对于任意有理数a、b，规定．例如：．计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的运算，根据新运算“”的定义，将和代入公式进行计算． 【详解】解： ， 故答案为：． 33．（25-26七年级上·安徽宿州·阶段检测）已知，均为有理数，现在我们定义一种新运算，规定．例如：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算，正确理解定义的新运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据题干信息列出算式进行计算即可； （2）先求出，再列出算式求出的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 【易错必刷十二 有理数幂的概念理解】 34．（25-26七年级上·广东湛江·阶段检测）对于式子，下列说法不正确的是（   ） A．幂为 B．底数是 C．指数是3 D．表示3个相乘 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘方．中a为底数，b为指数，结果为幂，表示b个a相乘，由此逐项判断即可． 【详解】解：对于式子，底数是；指数是3；表示3个相乘；幂为； 观察四个选项，选项A符合题意； 故选：A． 35．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测），，说说它们的意义与读法． ，表示4个相乘，读作____________． 表示4个2相乘的相反数，读作__________或____． 【答案】 负2的4次方 负的2的4次方 2的4次方的相反数 【分析】根据有理数乘方的定义，表示底数为的4次幂，读法强调底数是负数；表示2的4次幂的相反数，读法有两种，一种强调负号与指数的关系，另一种强调相反数的意义． 【详解】解：中，括号表示底数是，指数4表示4个相乘，即，读作“负2的4次方”； 中，没有括号，指数运算优先于负号，即4个2相乘的积的相反数，结果为，读作“负的2的4次方”或“2的4次方的相反数”． 36．（25-26七年级上·全国·单元复习）相传，古印度有位国王很喜欢下国际象棋．有一天，他想要重赏国际象棋的发明者．发明者说∶“陛下，我不要您的重赏，只要您在我的棋盘上赏一些麦子就可以．在棋盘的第1个格子里放1粒，在第2个格子里放2粒，在第3个格子里放4粒，在第4个格子里放8粒，依此类推，以后每一个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的 2倍，直到放满第64个格子就行了．”国王觉得这个要求很容易满足，就欣然答应了．然而，当人们开始在棋盘上放麦粒时，国王才发现问题的严重性． 提问∶你知道是为什么吗？ 【思考1】 (1)边长为a的正方形的面积为___________ (2)棱长为a的正方体的体积为___________ (3)这两个过程有什么简单的写法吗？（类比单位的写法） (4)这种写法读作什么呢？ 【答案】(1) (2) (3)； (4)读作a的二次方；读作a的三次方． 【分析】本题主要查了有理数的乘方： （1）根据正方形的面积公式解答即可； （2）根据正方形的体积公式解答即可； （3）利用乘方的形式书写即可； （4）根据乘方读法解答即可． 【详解】（1）解：边长为a的正方形的面积为； 故答案为： （2）解：棱长为a的正方体的体积为； 故答案为： （3）解：这两个过程的简单的写法分别为；； （4）解：读作a的二次方；读作a的三次方． 【易错必刷十三 有理数的乘方运算】 37．（2026·河北沧州·二模）可以记作（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：表示有个相乘，故记作． 38．（25-26七年级上·北京通州·期末）计算的结果用含的代数式表示为________． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数乘方的计算，理解题意是关键． 第一个部分表示m个3相加，根据有理数乘法意义，等于3与m的乘积；第二个部分表示n个4相乘，根据乘方意义，等于4的n次幂；因此结果为两者之差． 【详解】解： ，， ∴原式． 故答案为：． 39．（25-26七年级上·陕西汉中·期中）如图，点在数轴上，点由点向左平移6个单位长度得到． (1)点在数轴上表示的数为______； (2)在数轴上表示下列各数，并用“”把这些数连接起来． ，，0． 【答案】(1) (2) 数轴表示如下： 【分析】本题考查了绝对值，有理数的减法和乘方，在数轴上表示各数，以及利用数轴比较有理数大小，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据题意列式求解即可； （2）首先计算绝对值和乘方，然后在数轴表示出各数，然后用“”把这些数连接起来即可． 【详解】（1）∵点在数轴上，点由点向左平移6个单位长度得到 ∴ ∴点在数轴上表示的数为； （2），， ∴． 【易错必刷十四 乘方运算的符号规律】 40．（25-26七年级上·陕西宝鸡·期中）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A、 ；选项错误，不符合题意； B、 ；选项正确，符合题意； C、；选项错误，不符合题意； D、；选项错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算；熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 41．（25-26七年级上·北京·期中）当___________时，有最___________值（填“大”或“小”）是___________． 【答案】 大 2012 【分析】本题考查了平方式的非负性，熟练掌握平方式的非负性是解题的关键．由得到，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值是2012． 故答案为：；大；2012． 42．（25-26七年级上·全国·课后作业）判断下列各式计算结果的正负： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）正；（2）负；（3）负；（4）负 【分析】根据有理数乘方的符号规律解答即可． 【详解】解：（1）的指数是12，为偶数，根据负数的偶次幂是正数，可知的结果为正； （2）的指数是9，为奇数，根据负数的奇次幂是负数，可知的结果为负； （3）表示的是的相反数，根据正数的任何次幂都是正数，可知的结果为正，所以的结果为负； （4）的指数是11，为奇数，根据负数的奇次幂是负数，可知的结果为负． 【点睛】本题主要考查了有理数乘方的符号规律，掌握负数的偶次幂为正、奇次幂为负成为解答本题的关键． 【易错必刷十五 程序流程图与有理数计算】 43．（24-25七年级下·陕西西安·期末）任意给一个非零数，按如图所示的程序写出输出结果，则与之间的关系式为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照程序给出运算顺序列出代数式，然后化简式子即可得到与的关系式． 【详解】解：根据程序步骤列式： ， ， ． 44．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，把分别输入数值转换器，则输出的结果是______； 【答案】9 【分析】根据题意只需要计算出的结果即可得到答案． 【详解】解： ， ∴输出的结果是9． 45．（25-26七年级上·河南驻马店·期中）小可同学设计了几张如图写有不同运算的卡片A，B，C，D，小可选择一个有理数，让她的同桌小佳选择A，B，C，D的顺序，进行一次列式计算． (1)当小可选择了4，小佳选择了的顺序，列出算式并计算结果； (2)当小可选择了，小佳选择了（______）（______）的顺序，若列式计算的结果刚好为，请通过计算判断小佳选择的顺序． 【答案】(1)算式：，结果是； (2)解：小佳选择了，计算如下： 若选择， 可得： ； 若选择， 可得： ； 列式计算的结果刚好为， 小佳选择了． 【分析】本题考查程序流程图与有理数的混合运算： （1）按照选择的顺序列式计算即可； （2）按照，两种顺序分别计算，看哪个结果刚好是即可． 【详解】（1）解：由题意，算式为：， ； （2）略 【易错必刷十六 算24点】 46．（25-26七年级上·云南保山·期中）有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数必须且只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10．运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，通过计算每个算式的值，判断是否等于24即可得到答案． 【详解】解：A、，原式不正确，符合题意； B、，原式正确，不符合题意； C、，原式正确，不符合题意； D、，原式正确，不符合题意； 故选：A． 47．（25-26七年级上·浙江金华·期中）将2，5，10，11这四个数（每个数必须用且只用一次）进行加、减、乘、除四则运算，使运算结果等于24． （1）请写出满足条件的算式：______________________． （2）其它条件不变，若加上乘方运算，请写出满足条件的算式：______________________． 【答案】 【分析】（1）根据四则运算的法则，进行构造即可； （2）根据含乘方的有理数的运算法则，进行构造即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）； 故答案为：． 【点睛】本题考查有理数的混合运算．解题的关键是掌握有理数的混合运算法则和运算顺序． 48．（25-26七年级上·浙江温州·期中）请你参加计算游戏： (1)“算24点”游戏：有四个数，可以按下面方式计算：，．利用加、减、乘、除、乘方运算（可用括号），每个数必须用一次且只能用一次，最终计算结果为24．下面有四个数：，请列出一个符合要求的算式，并写出计算全过程； (2)请在内填上中的一个，使计算更加简便，然后计算． 计算：． 【答案】(1) 解：答案不唯一，例如 方法一： ； 方法二： ； (2) 内的符号应是； ． 【分析】（1）通过四个数的组合运算，列出结果为24的算式即可． （2）根据乘法分配律计算即可． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，利用了“24”点游戏为背景，蕴含了对混合运算的法则和顺序的考查，是一道开放性试题． 【易错必刷十七 含乘方的有理数混合运算】 49．（2026·四川攀枝花·模拟预测）“快乐数”是指将正整数的每一位数字平方后相加，得到的新数再重复这一过程，最后结果为1的数．以“快乐数”70为例：，则下列数中不是“快乐数”的是（     ） A．3 B．7 C．13 D．31 【答案】A 【分析】根据“快乐数”的定义，对各选项依次重复计算每一位数字的平方和，最终结果为1就是快乐数，否则不是． 【详解】解：A、∵，，，，，，，，，，，，， ∴计算进入循环，无法得到1，故3不是快乐数； B、∵， ∴最终结果为1，故7是快乐数； C、∵，， ∴最终结果为1，故13是快乐数； D、∵，， ∴最终结果为1，故31是快乐数． 50．（25-26七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）利用图1的二维码可以进行身份识别，某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为，（规定），如图2，第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为，表示该生为5班的学生．图3中表示学生所在班级序号是______． 【答案】9 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，图3中第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，据此根据题意计算出对应的序号即可得到答案． 【详解】解：如图3，第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，序号为，即表示该生为9班的学生， 故答案为：9． 51．（25-26七年级上·四川乐山·期末）学习完《有理数》后，小明对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，用“”定义了一种新运算，对任意有理数和有规则如下：， 如：． (1)求的值； (2)这种运算是否满足交换律，即是否成立，请说明理由． 【答案】(1)64 (2) 解：成立，理由如下： ∵； 故． 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握新定义是解题的关键： （1）根据新定义，列出算式进行计算即可； （2）根据新定义，进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意， ； （2）略 学科网（北京）股份有限公司 $