专题02 直线和圆的方程（期中真题汇编）高二数学上学期人教A版

**基本信息** 聚焦直线和圆的方程5大高频考点，汇编25-26学年山东青岛、江苏苏州等地期中及联考真题，涵盖选择、多选、填空、解答等题型，梯度设计适配期中复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|约80题|倾斜角与斜率、直线方程、圆的方程等|基础题占比60%，如倾斜角计算；中档题结合几何意义，如斜率范围确定| |多选|约15题|直线与圆位置关系、圆的对称问题|考查概念辨析，如两圆位置关系判定、直线平行条件| |填空|约25题|距离公式、轨迹方程|注重知识迁移，如阿波罗尼斯圆方程推导| |解答|约30题|综合应用|突出逻辑推理，如直线与圆相切的切线方程求解、动圆轨迹探究，贴合高考命题趋势|

专题02 直线和圆的方程 5大高频考点概览 考点01 直线的倾斜角与斜率 考点02 直线的方程 考点03 直线的交点坐标与距离公式 考点04 圆的方程 考点05 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点01 直线的倾斜角与斜率 1．（2026·广东多校·联考）直线的倾斜角为（     ） A.  B.  C. 1 D. 不存在 2．（25-26学年高二上·山东青岛·期中）直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·山西期中学·期中）直线yx的倾斜角为（       ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 4．（25-26学年高二上·云南普洱·期中）经过两点的直线的倾斜角是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·北京大兴·期中）经过两点，的直线的斜率为（     ） A.  B. 1 C. 2 D. 3 6．（25-26学年高二上·广东清远·期中）直线经过两点，则的斜率为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高二上·新疆喀什·期中）已知两点，则直线的斜率为（     ） A.  B. -1 C. 2 D. 1 8．（25-26学年高二上·新疆喀什·期中）已知直线经过，两点，直线的倾斜角为135°，那么与（     ） A. 垂直 B. 平行 C. 重合 D. 相交但不垂直 9．（25-26学年高二·安徽·期中）过点作直线，若与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（     ） A.  B. 或 C.  D.  10．（25-26学年高二上·天津南开·期中）若直线l经过点，，则直线l的倾斜角为（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高二上·天津南开·期中）已知直线的斜率为，直线的倾斜角比直线的倾斜角小30°，则直线的斜率为（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高二上·江苏苏州·期中）直线过点，，则的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高二上·重庆部分·期中）倾斜角为钝角的直线l一定经过（       ） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、二象限 D. 第二、三象限 14．（25-26学年高二上·江西景德镇·期中）直线的倾斜角是（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）已知直线：与直线：，若，则（       ） A.  B. 2 C. 2或 D. 5 16．（25-26学年高二上·江苏南通·期中）直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年高二上·江苏南通·期中）已知直线与平行，则（       ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 18．（25-26学年高二上·北京大兴·期中）直线的倾斜角等于，则（     ） A.  B.  C. 1 D. 3 19．（25-26学年高二上·江苏徐州·期中）直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年高二上·天津河东·期中）已知直线与直线平行，且在轴上的截距为，则的值为（       ） A. 9 B. 6 C. －6 D. －9 21．（25-26学年高二上·天津河东·期中）已知直线经过点，则直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年高二上·宁夏自治区银川·期中）已知两点，则线段AB的垂直平分线方程为（     ） A.  B.  C.  D.  23．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）直线的倾斜角为（     ） A.  B.  C.  D.  24．（2026·吉林吉林·调研）已知直线与直线垂直，则实数的值为（       ） A.  B.  C. 或3 D. 3 25．（25-26学年高二上·山西期中学·期中）已知直线过点且与以为端点的线段有公共点，则直线斜率的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  26．（25-26学年高二上·天津南开·期中）已知直线：，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（     ） A.  B.  C.  D.  27．（25-26学年高二上·江苏苏州·期中）已知点，，点在轴上，是直角三角形，这样的三角形的个数是（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 28．（25-26学年高二上·江苏徐州·期中）已知直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（       ） A.  B.  C.  D.  29．（25-26学年高二上·广东清远·期中）“”是“直线和直线平行”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 30．（25-26学年高二上·新疆喀什·期中）（多选）已知直线和直线，下列说法正确的是（       ） A. 始终过定点 B. 若，则 C. 若，则或2 D. 当时，始终不过第三象限 31．（25-26学年高二上·山东青岛·期中）已知，，直线，相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的商是2，则点的轨迹方程是　　　　　. 32．（25-26学年高二上·江苏徐州·期中）若直线与垂直，则　　　　　　　　　　. 33．（2026·广东多校·联考）已知的三个顶点的坐标分别为，，. （1）求边上的中线所在直线的斜率； （2）求边上的高所在直线的斜截式方程. 34．（2026·广西南宁·质量检测）已知点，直线与线段有公共点，则a的取值范围是　　　　　　　　　　　　． 考点02 直线的方程 1．（25-26学年高二上·甘肃陇南·期中）已知直线，则直线在轴上的截距为（     ） A. 4 B.  C. 6 D.  2．（25-26学年高二上·新疆喀什·期中）直线过点，且倾斜角为，则下列方程中能表示直线的是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（2026·广西南宁·质量检测）直线的斜率是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（2026·吉林吉林·调研）直线的倾斜角为（     ） A. 0° B. 45° C. 60° D. 90° 5．（25-26学年高二·安徽·期中）已知直线l过点和，则直线l在x轴上的截距为（     ） A. 2 B.  C.  D.  6．（2026·广东多校·联考）（多选）设直线（、不同时为0），则（   ） A. 若，则与坐标轴平行 B. 若，则的倾斜角唯一 C. 若，则的斜率唯一 D. 若，则在坐标轴上的截距唯一 7．（25-26学年高二上·山东青岛·期中）（多选）已知直线，则（     ） A. 过定点 B. 当时，与直线垂直 C. 当时，与直线平行 D. 当时，在两坐标轴上的截距相等 8．（25-26学年高二上·江苏苏州·期中）直线与直线及直线相交于同一点，且为的一个方向向量，则在轴上的截距为（       ） A.  B.  C. 1 D. 2 9．（25-26学年高二上·山西期中学·期中）（多选）已知直线，则下列结论正确的是（     ） A. 直线在轴和轴上的截距相等 B. 直线的截距式方程为 C. 直线的斜率为1 D. 是直线的一个方向向量 10．（25-26学年高二上·天津南开·期中）经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（     ）. A.  B. 或 C.  D. 或 11．（25-26学年高二上·江西景德镇·期中）在中，已知，则BC边上中线所在的直线方程为（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）已知，，则下列直线的方程不可能是的是（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高二上·北京大兴·期中）已知直线的倾斜角为60°，在轴上的截距与另一条直线在轴上的截距相同，则点到直线的距离为（     ） A.  B.  C. 1 D.  14．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）的三个顶点是，，，则边上的高所在直线的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年高二上·天津南开·期中）过点且与直线平行的直线的方程是　　　　　　. 16．（25-26学年高二上·重庆部分·期中）（1）分别求直线在x轴、y轴上的截距； （2）求过点，且与直线垂直的直线方程； （3）求圆M：的圆心坐标与半径. 17．（25-26学年高二上·北京大兴·期中）经过坐标原点且与直线平行的直线方程为　　　　　　． 18．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）求满足下列条件的直线的方程： （1）经过点，倾斜角为； （2）经过点和； （3）经过点，且与直线平行. 19．（25-26学年高二上·甘肃陇南·期中）已知直线经过点． （1）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； （2）若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点B，O为坐标原点，的面积为S，求S的最小值及此时直线的方程． 20．（25-26学年高二上·新疆喀什·期中）直线方程为，则该直线在x轴上的截距为　　　　　　　　，在y轴上的截距为　　　　　　　　． 21．（25-26学年高二上·新疆喀什·期中）已知的顶点分别为． （1）求边的中线所在直线的方程； （2）求边的垂直平分线所在直线的方程． 22．（25-26学年高二·安徽·期中）求符合下列条件的直线方程： （1）过两条直线和的交点，且与平行； （2）直线过点，且横截距为纵截距的两倍. 23．（25-26学年高二上·山西期中学·期中）已知的三个顶点． （1）求边上的高所在直线的斜截式方程； （2）求边上的中线所在直线的一般式方程． 24．（25-26学年高二上·江西景德镇·期中）在中，. （1）求边上的高的方程； （2）若直线经过点，且到直线的距离相等，求直线的方程. 25．（25-26学年高二上·江西景德镇·期中）已知直线的一个方向向量为\vec {v}=\left(1,-2\right)，且经过点，则直线在轴上的截距为　　　　　　　　　　. 26．（25-26学年高二上·北京大兴·期中）已知顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． （1）求边所在直线方程； （2）求点和点的坐标． 27．（25-26学年高二上·甘肃陇南·期中）直线与轴、轴分别交于，两点，则（为坐标原点）的平分线所在直线的一般式方程为　　　　　　　　　　　． 考点03 直线的交点坐标与距离公式 1．（25-26学年高二上·山西期中学·期中）直线与直线之间的距离是（     ） A.  B. 1 C.  D. 2 2．（25-26学年高二上·江苏徐州·期中）已知，点在轴上，且使得取最小值，则点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·江苏南通·期中）点关于直线的对称点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·广东清远·期中）（多选）下列说法中，正确的有（     ） A. 直线在y轴上的截距为-2 B. 直线的倾斜角为120° C. 直线(m∈R)必过定点(0，-3) D. 点(5，-3)到直线y+2=0的距离为7 5．（2026·吉林吉林·调研）（多选）已知直线，则（     ） A. 过点与直线平行的直线方程为 B. 过点与直线平行的直线方程为 C. 与直线关于原点对称的直线方程为 D. 与直线关于原点对称的直线方程为 6．（25-26学年高二·安徽·期中）已知，则的最小值为（     ） A.  B.  C.  D. 4 7．（25-26学年高二上·山西期中学·期中）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．已知函数，，则下列结论正确的是（     ） A. 有最小值 B. 有最大值5 C. 有最小值5 D. 有最大值 8．（25-26学年高二上·重庆部分·期中）一条光线从点出发，与x轴相交于点P，经过x轴反射后，反射光线经过点，则（       ） A. 4 B. 5 C.  D.  9．（25-26学年高二上·江西景德镇·期中）（多选）下列说法正确的有（     ） A. 点关于直线的对称点为 B. 直线关于点的对称直线为 C. 经过点，且与直线平行的直线方程是 D. 当时，直线与垂直 10．（25-26学年高二上·江苏南通·期中）（多选）已知三条直线和不能围成一个三角形，则实数的可能取值为（       ） A.  B. 3 C.  D.  11．（25-26学年高二上·北京大兴·期中）若三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值最多有（       ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 12．（25-26学年高二上·甘肃陇南·期中）（多选）已知的三个顶点分别为，，，则下列说法正确的有（     ） A.  B.  C. 的面积是10 D. 边上的高所在直线方程为 13．（25-26学年高二上·重庆部分·期中）两条平行直线之间的距离为　　　　　　　　　　　　. 14．（25-26学年高二上·新疆喀什·期中）求两平行线与的距离为　　　　　　　　． 15．（25-26学年高二上·云南普洱·期中）如图，光线从 出发，经过直线反射到，该光线又在点被轴反射，若反射光线恰与直线平行，且，则实数的取值范围是　　　　　　　　. 16．（25-26学年高二上·云南普洱·期中）已知直线过点和，直线：． （1）若直线关于直线的对称直线为，求直线的方程． （2）已知直线是过点的直线，点到直线的距离为，求直线的方程. 17．（25-26学年高二上·江苏南京·期中）两条直线与间的距离为　　　　　　　　　　　． 18．（25-26学年高二上·江苏徐州·期中）已知平行四边形的两条边所在直线的方程分别为，，且它的对角线的交点为，求这个平行四边形其他两边所在直线的方程． 19．（25-26学年高二上·新疆喀什·期中）已知直线：，：，：． （1）求与的交点的坐标； （2）求点到直线的距离． 20．（2026·广东多校·联考）已知点，位于直线上，其中在轴上，是平面中的一点. （1）若为正三角形，求直线的斜率； （2）设为的重心. （i）证明：始终在同一条直线上，并求这条直线的方程； （ii）若的面积为3，求点的坐标. 21．（25-26学年高二上·天津南开·期中）已知直线与直线（）垂直，直线在轴和轴的截距分别为和. （1）求，，的方程； （2）求与的交点到的距离. 22．（25-26学年高二上·江苏南通·期中）已知两条直线和都经过点，则两点，间的最短距离为　　　　　　　　　　. 23．（25-26学年高二上·天津河东·期中）在菱形中，对角线与轴平行，． （1）求直线在轴上的截距； （2）求边与边之间的距离． 24．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）已知两直线：和：，若，则与间的距离为　　　　　　. 25．（25-26学年高二上·广东清远·期中）已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为，，. （1）求平行四边形ABCD的顶点D的坐标. （2）求四边形ABCD的面积. （3）求边AB上的高所在直线方程. 26．（25-26学年高二上·江苏南通·期中）（1）过点作直线的垂线，垂足为. ①求点的坐标； ②求以为直径的圆被轴截得的劣弧的长度； （2）已知点和直线（不同时为零），证明：点到直线的距离. 27．（25-26学年高二上·北京大兴·期中）已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，设点，，记，． （1）若，求点的坐标； （2）若点，点，且，求的最大值； （3）已知点，是直线上的动点，是否存在直线使得？若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，说明理由． 考点04 圆的方程 1．（25-26学年高二上·天津南开·期中）求以为圆心，且经过点的圆的一般方程（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·天津河东·期中）圆心是，半径为的圆的标准方程为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·新疆喀什·期中）圆的方程为，则该圆的圆心与半径分别是（     ） A. 圆心，半径 B. 圆心，半径 C. 圆心，半径5 D. 圆心，半径 5 4．（25-26学年高二上·新疆喀什·期中）若方程表示圆，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（2026·吉林吉林·调研）圆的圆心坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·江西景德镇·期中）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高二上·江苏南通·期中）若方程：表示圆，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高二上·北京大兴·期中）圆的半径长为（     ） A.  B. 5 C.  D.  9．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）圆心为且经过原点的圆的方程是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高二上·甘肃陇南·期中）以点为圆心，3为半径的圆的一般方程为（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高二上·新疆喀什·期中）（多选）已知圆的半径为2，则下列说法正确的是（       ） A.  B. 点在圆的外部 C. 圆心C的坐标为 D. 当直线平分圆的周长时， 12．（25-26学年高二上·山东青岛·期中）若点在圆外，则的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高二上·山东青岛·期中）圆关于直线对称的圆的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高二上·山西期中学·期中）圆关于直线对称的圆的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）已知圆过点，则圆心到原点距离的最小值为（       ） A.  B.  C. 1 D.  16．（25-26学年高二上·江苏南通·期中）已知直线和圆交于两点，设线段的中点为为坐标原点，则的最大值为（       ） A.  B.  C.  D.  17．（2026·吉林吉林·调研）（多选）已知动点与两定点的距离的比为，设点所构成的曲线为，则（     ） A. 曲线的方程为 B. 曲线上的点到直线的最小距离为 C. 曲线上恰有三点到直线的距离为，则 D. 若点坐标为，则的最小值为 18．（25-26学年高二上·山东青岛·期中）（多选）已知，，，动点满足、是直线上一点，记点的轨迹为曲线，过点作的两条切线、切点分别为，，则（     ） A. 的方程为 B. 的最小值为 C. 的最小值为2 D. 直线恒过定点 19．（25-26学年高二上·天津南开·期中）若，分别为圆：与圆：上的动点，为直线上的动点，则的最小值为（     ）. A. 12 B. 9 C. 6 D.  20．（25-26学年高二上·江苏苏州·期中）已知点是圆上的动点，点，则的最大值是（       ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年高二上·宁夏自治区银川·期中）（多选）已知曲线，则 A. 曲线C关于y轴对称 B. 曲线C上任意一点到原点的距离都不超过 C. 曲线所围成的图形的面积为 D. 当点在曲线C上时， 22．（25-26学年高二上·天津南开·期中）对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为　　． 23．（25-26学年高二上·天津南开·期中）经过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 24．（25-26学年高二上·天津河东·期中）经过点的圆的一般方程为　　　　　　． 25．（25-26学年高二上·广东清远·期中）若方程表示圆，则实数的取值范围为　　　　　　　． 26．（25-26学年高二上·广东清远·期中）求下列各圆的方程. （1）圆心为点，且过点； （2）过，，三点． 27．（25-26学年高二上·山东青岛·期中）已知，. （1）求线段的垂直平分线的方程； （2）若圆经过，两点，且圆心在直线上，求圆的标准方程. 28．（25-26学年高二上·江苏苏州·期中）已知的三个顶点分别是，，. （1）求边上的中线所在直线的方程； （2）求的外接圆的方程. 29．（25-26学年高二上·重庆部分·期中）某圆拱桥的圆拱的平面图如图所示，该圆拱的跨度，拱高．为加固该圆拱桥，现决定建造两根支柱（将支柱视为两条线段），且，则支柱的高度为　　　　　　　　　　　m． 30．（25-26学年高二上·江西景德镇·期中）已知圆经过抛物线与坐标轴的三个交点. （1）求圆的方程； （2）若从点向圆引两条切线，切点分别为M，N，求四边形AMCN的面积. 31．（25-26学年高二上·江苏南通·期中）已知的三个顶点为. （1）求边上的中线的长； （2）求的外接圆方程. 32．（25-26学年高二上·北京大兴·期中）已知圆经过点，，． （1）求圆的方程； （2）求经过点的圆的切线方程． 33．（25-26学年高二上·山西期中学·期中）平面内到两个定点距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆，该圆被称为阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是关于定点的阿波罗尼斯圆，其方程为，，且．若点，则的最小值为　　　　　　． 34．（25-26学年高二上·天津南开·期中）已知的三个顶点是，，. （1）求平分线所在直线的方程； （2）若直线经过点，且，到直线的距离相等，求的方程； （3）求外接圆的方程. 35．（25-26学年高二上·江苏苏州·期中）已知圆，点是圆上一动点，点是平面直角坐标系中一点，动点满足. （1）若，点的坐标为，求动点的轨迹方程； （2）若，点为圆上的动点.试问：是否存在定点恒在动点的轨迹上？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若，，记为动点在时轨迹的面积，求满足对任意恒成立的最小正整数. 考点05 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．（25-26学年高二上·广东清远·期中）圆与圆的位置关系为（       ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 2．（25-26学年高二·安徽·期中）（多选）已知圆的半径为2，则下列说法正确的是（     ） A.  B. 点在圆的外部 C. 圆与圆外切 D. 当直线平分圆的周长时， 3．（25-26学年高二上·天津南开·期中）已知圆与圆交于、两点，则（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·重庆部分·期中）已知圆，点，在圆上存在点，使得为钝角，则的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）（多选）已知圆和圆相切，则实数的值可以是（       ） A.  B.  C. 0 D.  6．（25-26学年高二上·北京大兴·期中）直线与圆的位置关系是（     ） A. 相切 B. 相交且过圆心 C. 相离 D. 相交且不过圆心 7．（25-26学年高二上·江苏徐州·期中）过三点，，的圆交轴于，两点，则（       ） A.  B.  C.  D.  8．（2026·广西南宁·质量检测）已知直线与圆，则直线与圆的位置关系是（       ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 与的取值有关 9．（2026·吉林吉林·调研）圆与圆的公切线的条数是（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10．（25-26学年高二·安徽·期中）若直线与曲线仅有一个公共点，则实数k的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高二上·山西期中学·期中）（多选）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证和思维方法等之中，揭示了数学知识的规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列结论正确的是（     ） A. 曲线所围成图形的周长是 B. 曲线所围成图形的面积是 C. 曲线上任意两点间距离的最大值为 D. 直线与曲线一定有两个交点 12．（25-26学年高二上·云南普洱·期中）设，，直线经过圆C：的圆心，则的最小值为（     ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 13．（25-26学年高二上·云南普洱·期中）如图，圆C的部分圆弧在如图所示的网格纸上（小正方形的边长为1），图中直线与圆弧相切于一个小正方形的顶点，若圆C经过点，则圆C的半径为（     ） A. 8 B.  C. 10 D.  14．（25-26学年高二上·江苏苏州·期中）（多选）已知直线，圆（       ） A. 对任意实数，直线恒过定点 B. 对任意实数，直线与圆相交，且被圆截得弦的长度最小值是4 C. 存在实数，使得直线分圆所得弧长之比为 D. 存在实数，使得圆上有3个点到直线的距离为1 15．（25-26学年高二上·重庆部分·期中）（多选）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值可以是（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高二上·重庆部分·期中）直线l：被圆C：截得的弦AB的长为（       ） A. 4 B.  C.  D. 2 17．（25-26学年高二上·重庆部分·期中）若直线与曲线只有一个公共点，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年高二上·江西景德镇·期中）已知直线，圆，若直线与圆交于M，N两点，则的最小值为（     ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年高二上·江西景德镇·期中）已知圆与圆恰有一条公切线，则实数的最大值为（     ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）若圆上恰有三点到直线的距离为2，则的值为（　　） A.  B.  C.  D. 2 21．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）过点的直线与曲线有两个交点，则直线斜率的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年高二上·江苏南京·期中）若圆上存在点，其关于轴的对称点在圆上，则的取值范围为（　　） A.  B.  C.  D.  23．（25-26学年高二上·江苏南通·期中）（多选）已知圆与圆，则（       ） A. 圆心距 B. 两圆的公共弦所在直线的方程为 C. 两圆的公共弦长为 D. 直线是两圆的一条公切线 24．（25-26学年高二上·江苏徐州·期中）已知直线与相交于点P，点Q在圆上，则（       ）． A. 有最大值 B. 有最大值 C. 有最小值 D. 有最小值 25．（25-26学年高二上·江苏徐州·期中）（多选）已知圆：，直线：，则（       ） A. 直线与圆的轨迹一定相交 B. 直线与圆交于两点，则的最大值为 C. 圆上点到直线距离的最大值为 D. 当时，则圆上存在四个点到直线的距离为1. 26．（25-26学年高二上·天津河东·期中）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（       ） A. 若点在圆上，则圆关于直线对称 B. 若点在圆外，则圆上存在两个点到直线的距离为 C. 若点在直线上，则直线与圆相交于两点 D. 若点在圆内，则直线与圆相离 27．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）为直线上任意一点，过总能作圆的切线，则的最大值为（       ） A. 1 B.  C.  D. -1 28．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）已知圆：上恰有两个点到直线：的距离等于1，则b的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  29．（25-26学年高二上·广东清远·期中）已知直线，若直线与圆交于两点，则的最小值为（       ） A.  B. 2 C.  D. 4 30．（25-26学年高二上·甘肃陇南·期中）（多选）已知点与圆：，则下列说法正确的有（     ） A. 点在圆上 B.  C. 若AP与圆相切于点，则 D. 若圆A与圆相切，则圆的半径为 31．（25-26学年高二上·云南普洱·期中）（多选）已知圆：，圆：（）交于不同的，两点，下列结论正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  32．（25-26学年高二上·江西景德镇·期中）（多选）在平面直角坐标系xOy中，圆，点为直线：上一动点，则（     ） A. 圆上有且仅有两个点到直线的距离为2 B. 已知点，圆上动点，则的取值范围是 C. 过点作圆的一条切线，切点为可以为 D. 过点作圆的两条切线，切点分别为M，N，则直线MN恒过定点 33．（25-26学年高二上·北京大兴·期中）已知直线与直线相交于点，线段是圆的一条动弦，且，点是线段的中点，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  34．（25-26学年高二上·天津河东·期中）已知点是直线和的交点，点是圆上的动点，则的最大值是（       ） A.  B.  C.  D.  35．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）已知是圆：上的一个动点，且直线与直线交于点，则对于任意实数，的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  36．（25-26学年高二上·广东清远·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为，圆，点为轴上一动点.现由点向点发射一道粗细不计的光线，光线经轴反射后与圆有交点，则的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  37．（2026·吉林吉林·调研）过点作圆的切线，则切线方程为　　　　　　. 38．（25-26学年高二上·山西期中学·期中）已知直线与圆相交于两点，则　　　　　　　　　　　． 39．（25-26学年高二上·江苏南通·期中）过点作圆的切线，则切线长为　　　　　　　　　　. 40．（25-26学年高二上·北京大兴·期中）已知圆与圆有4条公切线，则实数可以取的一个值为　　　　　　. 41．（25-26学年高二·安徽·期中）已知圆的圆心为，且过点,点在斜率为的直线上． （1）求圆的标准方程； （2）若直线与圆交于两点，且,求直线的方程； 42．（25-26学年高二·安徽·期中）由直线上任一点向圆引切线，切点为，，则四边形面积的最小值为 　　 ． 43．（25-26学年高二上·山东青岛·期中）圆与圆的公切线的条数为　　　　　. 44．（25-26学年高二上·云南普洱·期中）一动点到两定点距离的比值为非零常数，当时，动点的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆已知两定点、的坐标分别为：、，动点满足． （1）求动点的阿波罗尼斯圆的方程； （2）过作该圆的切线，求的方程． 45．（25-26学年高二上·云南普洱·期中）过圆内的点作一条直线，使它被该圆截得的线段最短，则直线的方程是　　　　　　． 46．（25-26学年高二上·江苏苏州·期中）已知圆，圆. （1）判断并证明圆，圆的位置关系； （2）若两圆与相交于，两点，满足，则称圆与圆正交.现有动圆与圆，圆均正交，自引动圆的切线.求证：切线长是定值. 47．（25-26学年高二上·江苏苏州·期中）过点的直线与圆相交于，两点，且.请写出满足要求的一条直线的方程：　　　　　　　　　　　. 48．（25-26学年高二上·重庆部分·期中）已知直线，圆. （1）证明：过定点. （2）若与圆相切，求的方程. （3）若点在圆上，求的取值范围. 49．（25-26学年高二上·江西景德镇·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知，若圆上存在点满足，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　. 50．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，M是线段AB的中点， （1）求点M的轨迹方程； （2）记（1）中所求轨迹为曲线C，过定点的直线l与曲线C交于P，Q两点，曲线C的中心记为点C，求面积的最大值，并求此时直线l的方程． 51．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）在平面直角坐标系中，圆的方程为，斜率为的直线过点且与圆相交于，两点.若\vec {CA}\cdot \vec {CB}=-\frac{25}{2}，则所有满足条件的直线的斜率之积为　　　　　　　　　　. 52．（25-26学年高二上·江苏南京·期中）已知圆的圆心在直线上，且圆与轴的交点分别为． （1）求圆的方程； （2）过点的直线交圆于另一点，连接．若，求直线的方程． 53．（25-26学年高二上·天津河东·期中）圆与圆的公共弦的弦长为　　　　　． 54．（25-26学年高二上·宁夏自治区银川·期中）已知圆C经过原点和点，且圆心在轴上. （1）求圆C的方程： （2）若直线l交圆于，两点，且三等分圆周，求直线的方程. 55．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线：上. （1）求圆C的方程； （2）求直线被圆C所截得的弦长. 56．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）已知点，点在圆：上，则的最大值为　　　　　　　；若与圆相切，则切线的方程为　　　　　　　. 57．（25-26学年高二上·甘肃陇南·期中）已知点，，动点到点的距离是到点的距离的3倍，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）若直线与曲线交于M，N两点．求的值； （3）已知动点在直线上，过点作曲线的两条切线，，切点分别为C，D，直线CD是否过定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由． 58．（2026·吉林吉林·调研）已知圆M经过点，，且_______． （1）求圆M的标准方程； （2）若直线与圆M相交于P，Q两点，求． 要求：从①过点，②圆心M在直线上这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并给出解答．如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 59．（25-26学年高二上·山西期中学·期中）在平面直角坐标系中，定义为两点的“棋盘距离”（源自国际象棋中王的走法规则，又名“切比雪夫距离”）．已知圆，圆，且． （1）判断圆与圆的位置关系； （2）若直线与圆交于两点，圆与轴交于两点．求证：直线与的交点在定直线上． 60．（25-26学年高二上·天津南开·期中）设点是：上的动点，点是直线：上的动点，记，则的最小值是　　　　　　. 61．（25-26学年高二上·天津南开·期中）已知点，，动点满足. （1）求点的轨迹的方程； （2）过直线上一点作的切线，切点分别为，，求证：直线过定点； （3）过坐标原点作两条互相垂直的直线分别交曲线于点，和，，求的最大值. 62．（25-26学年高二上·重庆部分·期中）已知点，O为坐标原点，动点满足，记点的轨迹为曲线. （1）求的标准方程. （2）若直线与交于，两点，求的最大值. （3）过点的动直线与交于，两点，试问轴上是否存在点，使得\vec {BP}\cdot \vec {BQ}为定值?若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由. 63．（25-26学年高二上·江西景德镇·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点，圆与轴正半轴的交点为，过点的直线与圆交于不同的两点A，B. （1）直线与轴交于点，且\vec {DP}\cdot \vec {DQ}=36，求直线的方程； （2）设AB的中点为，若，求的面积； （3）设直线QA，QB的斜率分别为，请问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 64．（25-26学年高二上·江苏南通·期中）已知曲线. （1）求曲线围成的平面图形的面积； （2）若是曲线上的两个动点，求的最大值； （3）是否存在直线与曲线至少有三个不同的公共点？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 65．（25-26学年高二上·北京大兴·期中）已知直线，半径为2的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右侧. （1）求圆的方程； （2）若直线与圆相交于，两点，且，求实数的值； （3）若直线与圆交于，两点，对于任意直线，在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 66．（25-26学年高二上·天津河东·期中）在平面直角坐标系中，圆，点为直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点为，，则直线恒过定点　　　　　． 67．（25-26学年高二上·广东清远·期中）已知定点，，动点满足. （1）求动点的轨迹的方程； （2）过点作两条互相垂直的直线与，直线交曲线于，两点，直线交曲线于，两点，求四边形面积的最大值. 68．（2026·广西南宁·质量检测）已知圆经过两点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程. （2）已知斜率为的直线过点，且与圆交于两点，直线与直线交于点. ①记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：. ②试问点是否在定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，请说明理由. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 直线和圆的方程 考点01 直线的倾斜角与斜率 考点02 直线的方程 考点03 直线的交点坐标与距离公式 考点04 圆的方程 考点05 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点01 直线的倾斜角与斜率 1．B 2．B 3．B 4．B 5．D 6．A 7．D 8．A 9．B 10．D 11．B 12．D 13．B 14．D 15．C 16．A 17．D 18．A 19．A 20．A 21．B 22．D 23．B 24．B 25．B 26．D 27．C 28．D 29．C 30．ACD 31．【答案】 【分析】 设点，根据两点斜率公式直接列式即可求解. 【详解】 设点，则，整理得，显然. 所以点的轨迹方程为. 故答案为： 32．【答案】 【分析】 根据直线垂直关系即得. 【详解】 由题意可得，解得. 故答案为：. 33．【答案】（1）     （2）.      【分析】 （1）首先求出中点坐标，再由两点斜率公式即可求解； （2）首先由两点斜率公式求出直线的斜率，然后根据垂直关系求出边上的高所在直线的斜率，最后根据点斜式方程即可求解. (1) 小问详解： 由，，得的中点. 则边上的中线的斜率为. (2) 小问详解： 由，，可得直线的斜率为， 则边上的高所在直线的斜率为， 所以边上的高所在直线方程为， 化为斜截式方程为. 34．【答案】 【分析】 易知直线l过定点，结合的斜率得出不等式，求得的范围即可. 【详解】 由，得． 令 得 则直线l过定点， 故． 显然直线的斜率一定存在，设直线l的斜率为k，如下图所示：    则，即， 解得． 因此a的取值范围是. 故答案为： 考点02 直线的方程 1．D 2．C 3．D 4．B 5．D 6．BC 7．ABC 8．A 9．AD 10．B 11．A 12．B 13．C 14．C 15．【答案】 【分析】 根据平行直线系的性质即可求解. 【详解】 设与直线平行的直线的方程为， 将点代入可得，， 故所求直线方程为. 故答案为： 16．【答案】（1），；（2）；（3）， 【分析】 （1）根据题意，得到，结合截距式的概念，即可求解； （2）设直线的方程为，将点的坐标代入求得的值，即可求解； （3）化简圆的方程为，结合圆的标准方程，即可求解. 【详解】 解：（1）由，可得， 所以直线在x轴、y轴上的截距分别为和. （2）依题意，可设所求直线的方程为，将点的坐标代入得， 解得，所以所求直线的方程为. （3）由，可得， 所以圆M的圆心坐标为，半径为. 17．【答案】 【分析】 根据平行关系可设直线方程为，将点代入求得，从而得到结果. 【详解】 设与直线平行的直线方程为， 因为过原点，所以，得， 所以所求直线方程为. 故答案为：. 18．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）借助斜率与倾斜角的关系求出斜率后，利用点斜式计算即可得； （2）借助斜率公式求出斜率后，利用点斜式计算即可得； （3）借助直线平行的性质，设出直线后代入点计算即可得. (1) 小问详解： 因为直线过点，斜率， 代入直线的点斜式方程得：. 所以直线的方程为； (2) 小问详解： 因为直线经过点和， 所以直线的斜率. 代入直线的点斜式方程得：. 所以直线的方程为； (3) 小问详解： 因为所求直线与直线平行， 所以设所求直线的方程为. 因为直线经过点， 所以，即. 所以直线的方程为. 19．【答案】（1）或     （2）12，      【分析】 （1）根据截距是否为零分为两种情况讨论，代入点求解即可； （2）根据题意设直线l的方程为，其中，，进一步求得，直线过点C可得，最后结合均值不等式求解即可． (1) 小问详解： 当截距都为0也即直线过原点时，设直线方程为，因为直线过点，所以，解得，此时直线方程为，即； 当截距不为0时，设两者截距为a，直线方程为，即，因为直线过点，所以，解得，此时直线方程为； 综上，直线l的方程为或． (2) 小问详解： 由题意知，直线在x、y轴的截距都不为零， 设直线l的方程为，且根据题干可得，， 因为直线过点，所以， 的面积， 由，其中，， 所以，化简可得， 所以，当且仅当时取等号， 解得此时，， 直线l的截距式方程为，整理得． 20．【答案】①     ② 【分析】 根据直线的截距式方程求直线在坐标轴上的截距. 【详解】 直线的截距式方程为：. 所以直线在轴上的截距为4，在轴上的截距为. 故答案为：4； 21．【答案】（1）     （2）．      【分析】 （1）求出的中点D的坐标，再求出的斜率，进而由点斜式可得直线方程； （2）求出的中点D的坐标，再求出的斜率，进而由垂直可得垂直平分线的斜率，由点斜式可得直线方程； (1) 小问详解： 设中点的坐标为，则，，所以， 边的中线过点两点， 所以， 所以所在直线方程为， 即； (2) 小问详解： 因为的斜率， 所以的垂直平分线的斜率， 所以的垂直平分线所在直线的方程为， 即． 22．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）根据两直线相交，可得交点坐标，根据平行可设直线一般式方程，代入交点坐标即可得到结果. （2）分截距为0和不为0两种情况求解. (1) 小问详解： 由 得 ，即交点坐标为，                     ∵直线与直线平行， ∴设所求直线方程为，代入得，解得    ∴所求直线方程为. (2) 小问详解： 当横、纵截距都为0时，设直线的方程为， ∵直线过点，∴，解得，      ∴直线的方程为，即. 当截距均不为0时，设直线的方程为. ∵直线过点，∴，解得， ∴直线方程为，即.           综上，所求直线方程为或. 23．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先求出，从而求出边上的高所在直线的斜率，然后利用点斜式写出直线方程即可； （2）先求出的中点坐标，然后求出边上的中线所在直线的斜率，利用点斜式先表示出直线方程，然后化为一般方程即可. (1) 小问详解： 因为， 所以， 所以边上的高所在直线的斜率， 所以边上的高所在直线的点斜式方程为， 则其斜截式方程为． (2) 小问详解： 设是边的中点， 则 ，即， 则， 所以边上的中线的方程为，即：， 所以边上的中线的一般式方程为：． 24．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）先求直线的斜率，进而得，再根据点斜式方程求解即可； （2）分直线的斜率不存在与存在两种情况分别讨论求解即可; (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴边上的高的斜率为， ∴边上的高的方程为，即 (2) 小问详解： 解：当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时两点到直线的距离相等，且等于，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， ∵到直线的距离相等， ∴，即，解得， ∴直线的方程为， 综上，直线的方程为或 25．【答案】 【分析】 根据题意求得直线的方程为，再求直线在轴上的截距即可. 【详解】 由直线的一个方向向量为\vec {v}=\left(1,-2\right)得直线的斜率为， 由直线经过点， 所以直线的方程为，即， 令得，即直线在轴上的截距为. 故答案为： 26．【答案】（1）     （2），      【分析】 （1）先利用上的高所在方程求出斜率，再利用点斜式求出方程； （2）先利用是与中线的交点，联立直线与方程求出点坐标，利用是中点，结合在上的高所在直线方程上，求出点坐标． (1) 小问详解： 上的高所在直线方程为，斜率为， 而与其高所在直线垂直，，解得， ，根据点斜式得，整理得． (2) 小问详解： 是与中线的交点，联立直线与方程 得， ， . 设点，是的中线，为中点，，， 又在直线上，，整理得， 又在上的高所在直线方程上，联立 ，解得 ， ． 27．【答案】 【分析】 结合正切三角函数的二倍角公式以及直线斜率和倾斜角的关系即可求解． 【详解】 如图所示，设角平分线与x轴负半轴的夹角为α， 令代入直线方程，可得，所以，令代入直线方程，可得， 所以，在中，的正切值为， 也即，解得（负值已舍去）， 设角平分线的斜率为，则， 所以由点斜式方程可得角平分线方程为， 整理为一般式为． 故答案为：． 考点03 直线的交点坐标与距离公式 1．C 2．C 3．C 4．AC 5．BC 6．C 7．D 8．D 9．ABD 10．BCD 11．B 12．ACD 13．【答案】 【分析】 利用两平行线间的距离公式求解. 【详解】 之间的距离， 即直线之间的距离为. 故答案为：. 14．【答案】 【分析】 根据平行线间距离公式即可求解. 【详解】 即与的距离为， 故答案为： 15．【答案】 【分析】 先记经过点的入射光线与直线的交点为，由题意得到直线的斜率为：，与直线垂直的直线斜率为：；设直线斜率为，由到角公式求出 ，再由直线与直线联立求出点坐标，表示出，求出关系，进而可得出结果. 【详解】 记经过点的入射光线与直线的交点为， 由题意可得：直线的斜率为：， 与直线垂直的直线斜率为：； 设直线斜率为， 由到角公式可得：，即， 解得， 又直线的方程为：，由 解得， 因此，解得， 又，所以. 故答案为 【点睛】 本题主要考查直线的应用，熟记直线方程，以及直线的斜率公式即可，属于常考题型. 16．【答案】（1）     （2）或．      【分析】 （1）求得直线上一点关于直线的对称点，结合与的交点求得直线的方程. （2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离求得直线的方程. (1) 小问详解： 直线的方程为，即， 取直线上的一点，设关于直线的对称点为， 则 ，解得. 由 解得， 所以直线过点和点， 所以直线的方程为，即. (2) 小问详解： 直线斜率不存在时，可得， 点与直线的距离为，符合题意. 当直线斜率存在时，设直线斜率为， 故可得直线的方程为， 即， 因为点到直线的距离为， 即， 解得， 故可得直线的方程为，即， 综上所述，直线的方程为：或． 17．【答案】 【分析】 根据平行线间的距离公式求解即可. 【详解】 . 故答案为： 18．【答案】和 【分析】 依题意，由方程组 可解得平行四边形ABCD的顶点A的坐标，再结合对角线的交点是，可求得C点坐标，利用点斜式即可求得其他两边所在直线的方程. 【详解】 解：联立方程组 ，解得 . 所以平行四边形的顶点. 设，由题意知点是线段的中点， 所以 ， 解得 ，所以. 由已知，得直线的斜率，因为与平行， 所以直线的方程为，即 由已知，得直线的斜率，因为与平行， 所以直线的方程为，即 故这个平行四边其它两边所在直线的方程是和 19．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）联立直线方程得方程组，求解即得交点坐标. （2）根据点到直线的距离公式求解即可. (1) 小问详解： 由题设得方程组 ， ，故. (2) 小问详解： 由点到直线的距离公式可得所求距离. 20．【答案】（1）或.     （2）（i）设，设中点， 由为的重心，故\vec {OC}=2\vec {DO}，解得. ，，解得， 故始终在直线上. （ii）或.      【分析】 （1）求正三角形时 的斜率，确定直线 的倾斜角为 45° ，利用正三角形性质，找到 所在直线与轴正半轴的夹角角度 ，计算对应的正切值，得到 的斜率. （2）（i）证明 在定直线上，设 的坐标为参数 ，利用重心坐标公式（三点坐标平均值为重心坐标），建立 与 的关系，消去参数 ，得到 的坐标满足的直线方程.（ii）已知面积求 的坐标，利用重心性质：三个小三角形面积相等，每个面积为原三角形的 ，用 的坐标计算 的面积，得到关于 的方程，解出 ，代入 与 的关系式，得到 的坐标. (1) 小问详解： 因为在轴上，所以，因为直线的倾斜角为45°， 若为正三角形，则直线的倾斜角为105°或165°， 故斜率为， 或. (2) 小问详解： （i）略 （ii）因为为的重心，所以，故， ，解得或， 故代入的坐标得或. 21．【答案】（1），，     （2）      【分析】 （1）由，得到，求得，得到直线与的方程，再由直线在轴和轴的截距分别为和，结合直线的截距式方程，即可求解； （2）联立方程组，求得直线与的交点为，结合点到直线的距离公式，即可求解. (1) 小问详解： 解：由直线和， 因为，则，即，解得或， 又因为，所以，可得，， 又由直线在轴和轴的截距分别为和，可得直线的方程为， 即. (2) 小问详解： 解：联立方程组 ，解得，即直线与的交点为， 则与的交点到的距离. 22．【答案】 【分析】 确定，分别在直线上，由平行线间距离即可求解. 【详解】 因为两条直线和都经过点， 所以，， 所以，分别在直线上， 所以两点，间的最短距离为两平行线间距离，即， 故答案为： 23．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先利用菱形性质确定、坐标，再求直线方程进而得截距； （2）求出、的直线方程，利用平行线间距离公式求解. (1) 小问详解： 因为菱形中与轴平行，，设. 由，， 则， 解得（与重合，舍去），即. 又\vec {AB}=\left(2,1\right)，且\vec {DC}=\vec {AB}， 所以\vec {OC}=\vec {OD}+\vec {DC}=\vec {OD}+\vec {AB}=\left(-3,1\right)+\left(2,1\right)=\left(-1,2\right)，即. 直线的斜率， 直线的方程为，即. 因此，直线在轴上的截距为. (2) 小问详解： 、，则直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 、，则直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 根据平行线间距离公式，与的距离为. 24．【答案】2 【分析】 由平行线间距离公式即可求解. 【详解】 因为， 所以，即：， 所以与间的距离为， 故答案为：2 25．【答案】（1）；     （2）；     （3）.      【分析】 (1)利用平行四边形的性质结合中点坐标公式计算得解. (2)求出直线BC的方程，再求出顶点A到直线BC的距离及线段BC的长即可计算得解. (3)求出直线AB的斜率即可求得边AB上的高所在直线方程. (1) 小问详解： 的顶点，，，则对角线AC中点为， 于是得对角线BD的中点是，设，因此有，，解得： ， 所以平行四边形ABCD的顶点. (2) 小问详解： 因，，即有直线BC斜率，直线BC的方程：，即， 因此，点A到直线BC的距离为，而， 从而得， 所以四边形ABCD的面积为. (3) 小问详解： 依题意，直线AB的斜率，则边AB上的高所在直线的斜率为， 于是有：，即. 所以边AB上的高所在直线的方程为. 26．【答案】（1）①；②； （2）法一：设，过点作直线的垂线，垂足为， 则过点和直线垂直的直线方程为. 联立 ，解得 ， 所以点的坐标为. 所以 当时， . 当时， . 所以点到直线的距离. 法二：过点作，垂足为. 当时， 过点分别作轴､轴的垂线， 分别与相交于. 由， 得， 所以， 因为是斜边上的高， 所以， 即点到直线的距离. 当时， . 当时， . 综上，点到直线的距离. 【分析】 （1）① 求得直线的方程，联立方程求解即可；② 求得圆的方程，由勾股定理可得，计算即可求解； （2）方法一：求得过点和直线垂直的直线方程，联立方程组求得交点坐标，由平面中两点间的距离公式即可得证；方法二：过点分别作轴､轴的垂线，分别与相交于，由等面积法计算即可得证. 【详解】 （1）① 因为直线的斜率， 所以其垂线的斜率， 所以直线的方程为. 联立 ，解得. ② 因为， 所以以为直径的圆的圆心，半径， 所以圆的方程为. 设圆与轴交于两点，则， 所以， 所以，所以所求弧长为. （2）略 27．【答案】（1）或或或     （2）1     （3）和      【分析】 （1）根据新定义列式求解； （2）根据新定义求得点的运动轨迹，根据运动轨迹可求得最值； （3）根据点到直线的距离公式求得，求得的表达式，对进行分类讨论，根据不等式的性质来证得结论成立，并求得满足条件的直线的方程. (1) 小问详解： 由，得， ，解得 或 ， 所以点的坐标为或或或. (2) 小问详解： 由题，， 当时，方程变为， 当时，方程变为， 当时，方程变为， 当时，方程变为， 所以方程表示的图形是正方形，如图， 其中，即点在正方形的边上运动， 而表示点间的距离，是正方形的中心， ，即的最大值为1. (3) 小问详解： 因为点到直线的距离为，所以， 设，则，令， 当时，，此时，合题意； 当时，， 由分段函数性质可得， 又，且恒成立，当且仅当时，等号成立， 综上，满足条件的直线有且只有两条和. 考点04 圆的方程 1．C 2．D 3．A 4．C 5．A 6．C 7．B 8．A 9．D 10．B 11．ABC 12．C 13．A 14．A 15．D 16．D 17．ABD 18．ABD 19．B 20．B 21．ABD 22．【答案】或 【分析】 由已知得，从而 ，由此能求出定点的坐标． 【详解】 解：，即， 令 ，解得，，或，， 所以定点的坐标是或． 故答案为：或. 23．【答案】 【分析】 利用圆系方程可求圆的方程. 【详解】 由题可先设出圆系方程；，则圆心坐标为； ，又圆心在直线上，可得；解得. 所以圆的方程为：. 故答案为：. 24．【答案】 【分析】 设所求圆的方程为，然后将三个点的坐标代入方程中解方程组求出的值，可得圆的方程. 【详解】 设所求圆的方程为，则 ，解得 ，所以圆的方程为 故答案为： 25．【答案】 【分析】方程表示圆，需要 计算得到答案. 【详解】方程表示圆 则 【点睛】本题考查了二元二次方程表示圆的条件，属于简单题. 26．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）求出半径，利用圆的标准方程写出即可. （2）设出圆的一般方程，将三点代入解出即可. (1) 小问详解： 由题意知半径， 所以圆的方程为：. (2) 小问详解： 设圆的一般方程为：. 将，，代入得： ， 所以圆的方程为：. 27．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用点斜式方程即可求得； （2）分别求出圆心和半径，进而求出标准方程. (1) 小问详解： 因为，， 所以的中点为，直线的斜率， 所以线段的垂直平分线的斜率为， 即的直线方程为，化简得. (2) 小问详解： 由垂径定理得，圆心在的中垂线上， 联立 ，解得，，即圆心为， 所以圆的半径， 所以所求圆的标准方程为. 28．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先求出边的中点坐标，再根据直线两点间的斜率公式得到中线斜率，使用点斜式写出直线方程；（2）设圆的一般方程，代入顶点坐标即可求出外接圆的方程. 【详解】 （1）线段中点为，则边中线的斜率为， 所以边上的中线所在直线方程为化简得， （2）设外接圆一般方程为，代入三点坐标得， 解得 ， 即的外接圆方程为， 即. 29．【答案】7 【分析】 利用待定系数法来求圆的方程，再通过坐标运算求高度即可. 【详解】 以为原点，建立平面直角坐标系，如图所示． 设该圆弧所在圆为圆． 将，的坐标代入圆的方程，得 得 所以圆．当时，得或． 由图可知，支柱的高度为7m． 故答案为：7. 30．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先求得抛物线与坐标轴的三个交点为，再待定系数求解即可； （2）先求得点到圆心的距离，进而求得切线长，再根据计算面积即可. (1) 小问详解： 解：对于，令得或，令得； ∴抛物线与坐标轴的三个交点为， 设圆的方程为， ∴ ，解得，满足， ∴圆的方程为 (2) 小问详解： 解：将圆的方程化为标准方程得， ∴圆的圆心为，， ∴点到圆心的距离为， ∴切线长为， ∴四边形AMCN的面积为， 即四边形AMCN的面积为. 31．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用中点坐标公式得到中点坐标，再利用两点间距离公式求解长度即可. （2）设出外接圆的方程，代入点的坐标，进而求解参数得到方程即可. (1) 小问详解： 由中点坐标公式得的中点， 由两点间距离公式得. (2) 小问详解： 设三角形外接圆方程为， 因为点在所求的圆上，可得 ，解得 ， 则外接圆的方程为. 32．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用待定系数法将三个点的坐标代入圆的一般方程，解方程组即可； （2）根据圆的切线性质求出切线的斜率，点斜式求得直线方程. (1) 小问详解： 设圆的方程为， 将三点坐标代入得， ， 即 ，解得 ， 所以圆的方程为，即. (2) 小问详解： 由（1），可得圆心，则， 所以经过点的圆的切线斜率， 所以经过点的圆的切线方程为，即. 33．【答案】 【分析】 令，应用两点距离公式列方程求P轨迹，结合已知圆的方程求出点的坐标，再由，数形结合求目标式最小值. 【详解】 设，依题意，， 即， 整理得， 与对照得 ，解得 ， 因此； 由，得在圆内， 在圆外， 于是，当且仅当共线时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 34．【答案】（1）     （2）或；     （3）      【分析】 （1）求得平分线所在直线的方向向量可求得角平分线的斜率，进而可求直线方程；（2）设的方程为，利用点到直线的距离可得，求解即可； （3）设圆的方程，代入点的坐标，求解即可. (1) 小问详解： 因为，，. 所以\vec {AB}=\left(-3,4\right),\vec {AC}=\left(-5,-12\right)， 所以与\vec {AB},\vec {AC}共线同向的单位向量为：\frac{\vec {AB}}{\left| \vec {AB}\right| }=\frac{1}{\sqrt{\left(-3\right)^{2}+4^{2}}}\cdot \left(-3,4\right)=\left(-\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right),\frac{\vec {AC}}{\left| \vec {AC}\right| }=\frac{1}{\sqrt{\left(-5\right)^{2}+\left(-12\right)^{2}}}\cdot \left(-5,-12\right)=\left(-\frac{5}{13},-\frac{12}{13}\right)， 所以平分线所在直线的方向向量为\frac{\vec {AB}}{\left| \vec {AB}\right| }+\frac{\vec {AC}}{\left| \vec {AC}\right| }=\left(-\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)+\left(-\frac{5}{13},-\frac{12}{13}\right)=\left(-\frac{64}{65},-\frac{8}{65}\right)， 所以平分线的斜率为， 所以平分线所在直线的方程为，即； (2) 小问详解： 当直线的斜率存在时，设其方程为，即， 因为，到直线的距离相等，所以， 解得，解得或， 所以直线方程为或， 即或； 当直线的斜率不存在时，直线方程为，可得，到直线的距离不相等， 综上所述：的方程为或； (3) 小问详解： 设外接圆的方程为， 则 ，即 ，解得 ， 所以外接圆的方程为. 35．【答案】（1）     （2）存在，     （3）2      【分析】 （1）设，再根据，得到代入圆即可求轨迹方程； （2）设，，则，再代入得到的轨迹方程即可证明； （3）设，，则，进而得到的轨迹方程且，再根据进行放缩求和即可． (1) 小问详解： ，设，则 代入圆得：，即 即动点的轨迹方程为：； (2) 小问详解： ，设，，则 ，分别在圆和圆上，则 整理可得的轨迹方程为. 显然恒过定点，故； (3) 小问详解： 时，，设，，则 代入圆得： 即的轨迹方程为：，则 ，则，故 时，，故 所以，因此最小正整数的值为2． 考点05 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．B 2．ABC 3．A 4．B 5．ACD 6．C 7．D 8．C 9．A 10．D 11．BC 12．A 13．B 14．ACD 15．BCD 16．A 17．A 18．D 19．C 20．C 21．B 22．A 23．ABD 24．A 25．AD 26．D 27．A 28．D 29．C 30．BC 31．ACD 32．AD 33．D 34．C 35．A 36．A 37．【答案】 【分析】 求出切点与圆心连线的斜率后可得切线方程. 【详解】 因为点在圆上，故切线必垂直于切点与圆心连线， 而切点与圆心连线的斜率为，故切线的斜率为， 故切线方程为：即. 故答案为：. 38．【答案】 【分析】 先求圆心到直线的距离，然后利用公式求解即可. 【详解】 由圆的圆心到直线的距离为： ， 又圆的半径为：， 所以. 故答案为： 39．【答案】 【分析】 把圆的一般方程变形为圆的标准方程得出圆心坐标和半径，再根据勾股定理求解即可. 【详解】 方程可化为，圆心，半径， 所以切线长为. 故答案为： 40．【答案】3（答案不唯一） 【分析】 由两圆有4条公切线得两圆外离，列出不等式求解即可. 【详解】 由题可得，圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， 因为两圆有4条公切线，所以两圆外离， 所以，即，解得或， 所以实数可以取的一个值为. 故答案为：3.（答案不唯一） 41．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）已知圆心和圆上一点即可求半径，继而得解； （2）先设出直线的点斜式，已知弦长，可根据垂径定理求出圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式列出方程求解出,即可得解. (1) 小问详解： 设圆, 由圆过点,可得,解得， 所以圆的标准方程为． (2) 小问详解： 设直线,圆心到的距离, 因为,所以,整理得, 所以或, 所以直线的方程为或． 42．【答案】1 【分析】 由切线的性质计算得出，设的坐标为，由切线长表示出，由二次函数求得最小值即可. 【详解】 根据题意，圆的圆心为，半径， 由直线上一点向圆引两条切线，切点为、， 则，，且， 可得， 设的坐标为， 则， 当时，， 则的最小值为1． 故答案为：1. 43．【答案】2 【分析】 先判断两个圆的位置关系，再求解公切线条数即可. 【详解】 对于圆，可得圆心为，半径为， 对于圆，可得圆心为，半径为， 由两点间距离公式得圆心之间的距离为， 而，则两圆相交， 可得两圆的公切线条数为2. 故答案为：2 44．【答案】（1）；（2）或． 【分析】 （1）设，直接用坐标表示并化简即可； （2）分类斜率不存在和斜率存在，斜率存在时设出直线方程，由圆心到切线距离等于半径求得参数，得切线方程． 【详解】 （1）设动点坐标为，则，， 又知，则，得． （2）当的斜率存在为时，则的方程为：，与圆相切， 则，得：， 此时的方程为：； 当的斜率不存在时，此时的方程为：， 综上：的方程为或． 【点睛】 本题考查求圆的方程，考查求圆的切线方程．求圆的方程采取直接法，即把已知关系用坐标表示化简即可，而求圆的切线方程必须分类讨论，即分斜率不存在和斜率存在两类，斜率存在时设出切线方程，由圆心到切线距离等于半径求参数． 45．【答案】 【分析】 由已知得圆的圆心为，所以当直线时，被该圆截得的线段最短，可求得直线的方程. 【详解】 解：由得，所以圆的圆心为， 所以当直线时，被该圆截得的线段最短，所以，解得， 所以直线l的方程为，即， 故答案为：. 46．【答案】（1） 两圆内含. 证明：因为圆圆心，半径，圆圆心，半径， 圆心距，所以两圆内含.     （2） 证明：设动圆圆心，半径为，动圆与圆交于，两点，由题意有， 所以，即， 动圆与圆交于，两点， 同理可得，即，故， 则有整理得，即圆心， 所以半径， 自引动圆的切线，切线长， 所以切线长是定值. 【分析】 （1）求出圆心距即可判断两圆的位置关系. （2）设出动圆的圆心和半径，根据 “两圆正交” 的定义，分别列出动圆与圆，圆正交的方程； 联立方程，消去半径，推导出圆心的轨迹方程；利用切线长公式，结合圆心轨迹方程，计算从引动圆的切线，即可证明其为定值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 47．【答案】或.（写出其中一个即可） 【分析】 讨论直线的斜率是否存在，斜率存在时，设出直线方程，结合弦长公式即可求出直线斜率，即可得答案. 【详解】 由题意知过点的直线与圆相交于，两点， 当直线的斜率不存在时，直线方程为，代入中， 可得，即坐标为，此时，符合题意； 当直线的斜率存在时，设方程为，即， 设圆心O到直线l的距离为d，则， 由，圆的半径可得，即，解得， 故，解得， 故直线l的方程为，即， 故答案为：或.（写出其中一个即可） 48．【答案】（1） 由题意得. 由 得 所以过定点.     （2） 或     （3）       【分析】 （1）整理的方程，通过解方程组求得定点坐标. （2）结合与圆相切，利用点到直线的距离公式（或对直线的斜率进行分类讨论）来求得直线的方程. （3）将问题转化为点和圆的位置关系，由此求得的取值范围. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 法一： 由题意得圆的圆心为，半径为1. 由，得或1. 故的方程为或. 法二： 由题意得圆的圆心为（0，1），半径为1. 当的斜率不存在时，直线与圆相切. 当的斜率存在时，设，即. 由，得，则. 故的方程为或. (3) 小问详解： 由题意得， 表示点到点的距离的平方. 因为， 所以1. 故， 即的取值范围为. 49．【答案】 【分析】 根据给定信息求出点的轨迹方程，再由两圆有公共点列出不等式求解. 【详解】 设，由，得， 整理得，即点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆， 又点在圆，即两圆有公共点，因此，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 50．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）设点，根据题意得到，代入圆，即可求解； （2）根据题意，设直线，求得圆心到直线的距离为，得到，结合基本不等式，求得最小值，进而求得直线的方程. (1) 小问详解： 解：设点，由点的坐标为，且是线段的中点， 则 ，可得，即， 因为点在圆上运动，所以点点坐标满足圆的方程， 即，整理得， 所以点的轨迹方程为. (2) 小问详解： 解：过点定点的直线与曲线交于两点，则直线的斜率一定存在且不为， 设直线，即， 则圆心到直线的距离为， 又因为， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以时，取得最大值，此时，解得或， 所以取得最大值，此时直线的方程为或. 51．【答案】 【分析】 由题结合\vec {CA}\cdot \vec {CB}=-\frac{25}{2}，可得，圆心到直线的距离为，设直线的方程为，由点到直线距离公式并化简后可得，然后由韦达定理可得答案. 【详解】 如图，由题意得，圆心，半径， 由\vec {CA}\cdot \vec {CB}=\left| \vec {CA}\right| \left| \vec {CB}\right| \cos \angle ACB=-\frac{25}{2}，且\left| \vec {CA}\right| =\left| \vec {CB}\right| =r=5， ，即， 设圆心到直线的距离为，由垂径定理可得，即， 由题意知直线的方程为，即， 所以圆心到直线的距离， 化简整理得，则， 所以设方程的两根分别为，则. 故答案为：. 52．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）首先求出的中垂线方程为，联立 ，再求半径即可得到答案. （2）首先根据，得到在线段的中垂线上，从而得到，即可得到答案. (1) 小问详解： ，则的中垂线方程为， ，. 则圆 (2) 小问详解： 如图所示： 因为，所以在线段的中垂线上， 又因为线段的中垂线过，， 则，，整理得： 53．【答案】 【分析】 确定两圆圆心及其半径后可得两圆相交，将两圆方程作差则可得公共弦的方程，再借助点到直线距离公式及垂径定理计算即可得解. 【详解】 由可得，故该圆以为圆心，为半径， 由可得， 故该圆以为圆心，为半径， 两圆心距离为， 两圆半径之和为，两圆半径之差为， 由，故两圆相交， 将两圆方程作差得，即， 即两圆公共弦的方程为， 点到的距离为， 则两圆公共弦的弦长为. 故答案为：. 54．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先求线段的垂直平分线，与轴相交得圆心，为半径，可确定圆的方程. （2）根据条件确定的长，转化为两圆的公共弦所在直线方程求解. (1) 小问详解： 线段的垂直平分线方程为： . 与轴的交点为，即为所求圆的圆心，圆的半径为. 所以方程为：. (2) 小问详解： 因为三等分圆周，所以为的内接等边三角形， 所以. 以为圆心，为半径的圆的方程为. 所以直线的方程为：， 即. 55．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）法一：设圆的标准方程，结合点，在圆上，列出等式求解即可；法二，易知圆心在上，求得中垂线方程，联立两直线，可得圆心坐标，进而可得圆的方程； （2）由弦长公式即可求解. (1) 小问详解： 法一：设圆C的方程为， 依题意得， 解得，，. 所以圆C的方程为. 法二： 设线段的垂直平分线为直线m， 则C既在直线m上，又在直线上. 因为的中点为即（2，2）， 直线的斜率为， 所以直线m的斜率为-1. 所以直线m的方程为， 即. 联立 ，解得 . 所以点C坐标为. 又因为圆的半径为， 所以圆C的方程为. (2) 小问详解： 因为圆心到直线的距离 设直线与圆C交于M，N两点， 由垂径定理得，弦长. 56．【答案】①     ② 或 【分析】 利用点与圆的位置关系计算可得第一空；利用直线与圆的位置关系结合点到直线的距离公式分类讨论计算即可得第二空. 【详解】 易知点A在圆C外，且， 即圆心，半径，， 则，即； 则的最大值为， 若直线斜率不存在，即， 此时圆心C到直线的距离等于半径，满足题意； 若直线斜率存在，不妨设其方程为：， 则圆心C到直线的距离，解得， 此时直线方程为. 故答案为：；或 57．【答案】（1）；     （2）；     （3）.      【分析】 （1）设，根据两点距离公式得到方程，化简即可； （2）先求出圆心到直线的距离，再由垂径定理求解即可. （3）由题意可得在以为直径的圆上，求出以为直径的圆的方程，进而求出公共弦所在直线的方程，进而可得出结论. (1) 小问详解： 由题意得，所以. 设，因为点，， 所以，化简得. 所以曲线的方程为. (2) 小问详解： 由（1）知，曲线是圆心为，半径的圆， 所以圆心到直线的距离为：， 根据垂径定理可得：. 的值为. (3) 小问详解： 圆的圆心，半径， 因为点为直线上一动点，则可设， 因为都是圆的切线， 所以，所以也在以为直径的圆上， 以为直径的圆的圆心为， 半径为， 所以以为直径的圆的方程为， 即①， 化为②， 由② ①整理得， 所以直线的方程为， 即， 令 ，解得 ， 所以直线过定点. 58．【答案】（1）     （2）4      【分析】 （1）选① ，设出圆的标准方程或一般方程，根据已知条件列方程，由此求得圆的标准方程.选② ，先求得线段垂直平分线的方程，通过联立方程组求得圆心的坐标，进而求得圆的半径，从而求得圆的标准方程. （2）利用点到直线的距离公式以及圆的弦长公式求得.或通过联立方程组的方法，求得两点的坐标，进而求得. (1) 小问详解： 选① （法一）: 设圆的标准方程为． 由题意可得 解得 圆的标准方程为． （法二）: 设圆的一般方程为． 由题意可得 解得 圆的一般方程为， 即圆的标准方程为． 选② （法一）: 由题意可得中点为， 线段的垂直平分线为，即． 圆心在直线上，联立 解得 即圆心． 圆的半径， 圆的标准方程为． （法二）: 设圆心，， 整理得圆心． 圆的标准方程为． (2) 小问详解： （法一） 由（1）知，圆心到直线的距离． 圆的半径，． （法二） 联立直线方程与圆的方程，解得 和 ， 所以，由两点间距离公式得． 59．【答案】（1）相交     （2） 由（1）得圆， 由 得 ， 直线的方程为，直线的方程为， ， ， 直线与的交点在定直线上． 【分析】 （1）利用圆的标准方程得出圆心坐标及半径，结合新定义判断关系即可； （2）根据（1）的结论得出坐标，联立直线与圆的方程，利用韦达定理得出相应坐标关系式，并含参表示两直线与的方程，作商计算交点横坐标即可. (1) 小问详解： 易得圆的标准方程为，其半径， ， 或（舍去），圆的圆心为，半径为， ， 圆与圆相交； (2) 小问详解： 略 60．【答案】 【分析】 先设，进而转化为，再由柯西不等式可得最小值. 【详解】 设，则. 因为，即，当且仅当时等号成立. 因点在：上，由柯西不等式得： ，得，当且仅当时等号成立. 又点是直线：上，所以. 所以 所以，当且仅当时等号成立. 由，得，即. 由 ，解得，由可得，，此时时等号成立. 故答案为：. 61．【答案】（1）；     （2） 由（1）知，点的轨迹是以为圆心，3为半径的圆． 设的坐标为，则． 由平面几何知识知，， 所以以为圆心，为半径的圆为， 即， 与的方程相减得，即为直线的方程． 又，所以直线的方程化为． 则有 ，解得 ，则直线恒过定点．     （3）.      【分析】 （1）设，根据两点距离公式得到方程，化简即可； （2）设的坐标为，根据得到的轨迹方程，将其与的方程作差即可得到直线方程，整理即可得到其过定点； （3）设的方程为，将其的方程联立，利用韦达定理法，计算出的表达式，用替换即可得到表达式，最后得到，最后利用截距法求出最值即可. (1) 小问详解： 设，由得，， 化简得，， 所以点的轨迹的方程为． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 当直线与直线垂直时，此时， 当直线过圆心时，此时， 则根据弦长的连续性可知． 当直线的斜率不存在或为0时，． 当直线的斜率存在且不为0时，设的方程为，则的方程为． 联立 得，， 设，则， 则 用替换得． 所以． 设，则，且， 其图象为一段圆弧．当时， 令，即直线， 作出图形，由图可知，当直线过时，有最大值为． 62．【答案】（1）     （2）& \sqrt{14}     （3）存在；      【分析】 （1）根据题目条件直接列等式，即可求出轨迹方程； （2）利用弦长公式表示，结合函数单调性求解； （3）先设坐标为& (b,0)，联立韦达定理，通过\vec {BP}\cdot \vec {BQ}为定值写出方程，化简求解即可. (1) 小问详解： 设动点，则，& \left| TO\right| =\sqrt{x^{2}+y^{2}}， 而，故& \sqrt{(x+3)^{2}+y^{2}}=2\sqrt{x^{2}+y^{2}}，化简得：， 故的标准方程为. (2) 小问详解： 设，， 联立 得：， 故& x_{1}+x_{2}=\frac{2}{1+k^{2}},x_{1}\cdot x_{2}=\frac{-3}{1+k^{2}}， 根据弦长公式得： ， 令& k^{2}=t，& t\in [1,4]，        故\left| EF\right| = & 2\sqrt{\frac{4+3t}{1+t}}=2\sqrt{3+\frac{1}{1+t}}， 设，易知f(t) &在& t\in [1,4]上单调递减，故当& t=1 &，f(t) &最大， 即 \left| EF\right| &最大，此时，故（舍）或， 故\left| EF\right| &最大值为\left| EF\right| & _{\max }=2\sqrt{3+\frac{1}{1+1}}=\sqrt{14}. (3) 小问详解： 设点坐标为& (b,0)，，，过点的动直线为：. 联立 得：， 故& x_{3}+x_{4}=\frac{2}{1+m^{2}},x_{3}\cdot x_{4}=\frac{-3}{1+m^{2}}， \vec {BP}=\left( & x_{3}-b,y_{3}\right)，\vec {BQ}=\left( & x_{4}-b,y_{4}\right)， 又，位于过点的动直线： 上， 故\vec {BP}=\left( & x_{3}-b,mx_{3}\right)，\vec {BQ}=\left( & x_{4}-b,mx_{4}\right). 则\vec {BP}\cdot \vec {BQ}=\left(x_{3}-b\right)\left(x_{4}-b\right)+m^{2}x_{3}x_{4}=\left(1+m^{2}\right)x_{3}x_{4}-b\left(x_{3}+x_{4}\right)+b^{2}， 将& x_{3}+x_{4}=\frac{2}{1+m^{2}},x_{3}\cdot x_{4}=\frac{-3}{1+m^{2}}代入上式， 得：\vec {BP}\cdot \vec {BQ}= & & \left(1+m^{2}\right)\left(\frac{-3 & }{1+m^{2}}\right)-b\cdot \frac{2 & }{1+m^{2}}+b^{2}=-3-\frac{2b & }{1+m^{2}}+b^{2}， 若使\vec {BP}\cdot \vec {BQ}为定值，则& -\frac{2b & }{1+m^{2}}+b^{2}必须为常数， 而且与无关，故此时只能为. 当直线的方程为时，\vec {BP}\cdot \vec {BQ}=-3也成立， 故存在点，使得\vec {BP}\cdot \vec {BQ}=-3，此时点坐标为. 63．【答案】（1）；     （2）或9；     （3）是定值，.      【分析】 （1）设出直线的方程，表示出点，再利用数量积的坐标表示列式求解并验证即得. （2）设出直线的方程，与圆的方程联立，利用韦达定理结合两点间距离公式求出直线的方程，进而求出三角形面积. （3）由（2）中信息，利用斜率坐标公式计算得证. (1) 小问详解： 圆的圆心为，半径，点，而， 显然直线的斜率存在，设其方程为，则， \vec {DP}=\left(3,3m\right),\vec {DQ}=\left(3,3m-6\right)，由\vec {DP}\cdot \vec {DQ}=36，得，解得或， 当时，直线：，圆心到直线距离，符合题意； 当时，直线：，圆心到直线距离，不符合题意， 所以直线的方程为. (2) 小问详解： 设直线的方程为，由 ，得， 设，则， 点，由，得， 整理得，即， 而点在直线上，即，因此，即或， 当时，，直线， 圆心到直线距离为， 到直线距离为，则面积为； 当时，，直线， 圆心到直线距离为， 到直线距离为，则面积为， 所以的面积为或9． (3) 小问详解： 由（2）知，，而，则， 于是 ， 所以是定值. 64．【答案】（1）     （2）     （3）不存在，理由如下： 当时，研究直线与曲线在第一象限的公共点. 联立 ，得（*）. 因为， 所以方程（*）只有一个正根，则直线与曲线在第一象限只有一个公共点. 同理，直线与曲线在第三象限也只有一个公共点. 因此，当时，直线与曲线只有两个公共点. 当时， 一方面，直线与曲线在第二象限的部分至多两个公共点. 另一方面，由 ，得（*）. 因为， 所以方程（*）无正根，即直线与曲线在第一象限无公共点. 同理，直线与曲线在第三象限无公共点. 所以当时，直线与曲线至多两个公共点. 所以时，直线与曲线至多两个公共点. 由对称性可知，时，直线与曲线也至多两个公共点. 综上，不存在直线与曲线至少有三个不同的公共点.      【分析】 （1）根据对称性，由三角形面积及扇形面积公式计算即可求解； （2）分都在第一象限（或坐标轴正半轴），不妨在第一象限（或坐标轴正半轴），在第二象限（或轴负半轴）时，不妨在第一象限（或坐标轴正半轴），在第三象限（或坐标轴负半轴）时，三种情况求解即可； （3）根据对称性，分，两种情况，讨论求解即可. (1) 小问详解： 曲线既关于两坐标轴成轴对称，又关于原点成中心对称. 当时，曲线方程为. 记圆心为，与轴分别交于两点， 则，过点作， 则， 所以， 所以. 所以， 所以，同理. 由对称性可知，曲线围成的平面图形的面积 . (2) 小问详解： 记曲线在第一象限的圆心为，第二象限的圆心为， 第三象限的圆心为､第四象限的圆心为. 情况1：不妨都在第一象限（或坐标轴正半轴），. 情况2：不妨在第一象限（或坐标轴正半轴），在第二象限（或轴负半轴）时， （当且仅当四点共线时等号成立），此时最大值为6. 情况不妨在第一象限（或坐标轴正半轴），在第三象限（或坐标轴负半轴）时， （当且仅当四点共线时 等号成立），此时最大值为. 综上，根据对称性可知最大值为. (3) 小问详解： 略 65．【答案】（1）     （2）     （3）存在，      【分析】 （1）设出圆心，根据直线与圆相切，得到圆心到直线的距离等于，确定圆心坐标，即可得圆的方程； （2）根据题意得圆心到直线的距离为1，利用点到直线的距离公式列方程，即可求解. （3）将直线的方程与圆的方程联立，韦达定理，结合，即可求出点的坐标. (1) 小问详解： 设圆心，由圆和直线相切， 所以，解得或（舍）， 所以圆的方程为. (2) 小问详解： 由题，圆心到直线的距离为， ，得. (3) 小问详解： 设存在点，，， 由 ，得， 则，，， 由，所以， ，即， 整理得，即，即， 当时，上式成立；当时，； 综上，当点的坐标为时，满足成立. 66．【答案】 【分析】 先求得直线的方程，进而求得定点坐标. 【详解】 设点，因为在直线上， 所以满足，即. 因为、是圆的切线，切点为、， 所以，（为坐标原点）， 因此，、、、四点共圆，且该圆以为直径， 圆心坐标：,半径：， 圆的标准方程为：， 展开并整理得：， 圆与上述圆的公共弦为， 将两圆方程相减，得， 由，代入得： 整理为：， 要使该方程对任意恒成立，需令系数同时为0： ， 解得： ， 因此，直线恒过定点. 故答案为：        67．【答案】（1）     （2）7      【分析】 （1）设动点坐标为，根据题意列出等量关系并化简即可求得其轨迹方程； （2）讨论直线斜率是否存在，先求出其中一条直线斜率不存在时四边形的面积.再设出两条直线的方程，求出圆心到两直线的距离，由垂径定理求得两条弦长，然后得到四边形面积的表达式.先讨论当时的面积，再当时利用基本不等式求出其最大值.然后得出四边形的最大值. (1) 小问详解： 设动点的坐标为， 因为，，且， 所以， 整理得，即：， 所以动点的轨迹的方程为， (2) 小问详解： 当直线与轴重合时，，，， 当直线不与轴重合，设直线的方程为， 则直线的方程为， 设圆的圆心到直线和直线的距离分别为，，圆的半径为， 则，，， 所以， ， 所以， 当时，， 当时，， 当且仅当时等号成立， 综上所述，四边形面积的最大值为7. 【点睛】 本题考查了圆的方程与直线方程，在讨论动直线的时候需要考虑直线的斜率是否存在. 68．【答案】（1）     （2）① 设直线. 由 整理得， 则， 故. 因为， 所以. 把代入上式， 得. ② 点在定直线上，理由如下： 直线的方程为，直线的方程为. 由 得. 因为，所以， 所以， 即，则，即点在定直线上.      【分析】 （1）设圆心的坐标为，可得，从而求出，利用圆心在直线，即可求出,得到半径，从而求得圆的标准方程 （2）① 设直线.与圆的方程联立，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理可得，分别表示出和，化简即可证明； ② 分别写出直线和直线的方程，结合，通过联立直线和直线的方程，消去参数，得到的固定直线方程，即可确定点是否在定直线. (1) 小问详解： 设圆心的坐标为. 因为是圆上的两点，所以，所以 即，解得. 因为圆心在直线上，所以，解得， 则圆的半径， 故圆的标准方程为. (2) 小问详解： ① 略 ② 略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 直线和圆的方程 5大高频考点概览 考点01 直线的倾斜角与斜率 考点02 直线的方程 考点03 直线的交点坐标与距离公式 考点04 圆的方程 考点05 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点01 直线的倾斜角与斜率 1．（2026·广东多校·联考）直线的倾斜角为（     ） A.  B.  C. 1 D. 不存在 【答案】B 【分析】 根据倾斜角的概念即可求解. 【详解】 直线垂直于轴，故倾斜角为． 故选：B 2．（25-26学年高二上·山东青岛·期中）直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【详解】设倾斜角为，直线的斜率为，所以，∴，故选． 3．（25-26学年高二上·山西期中学·期中）直线yx的倾斜角为（       ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】B 【详解】利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出． 【详解】利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出． 设直线的倾斜角为θ，θ∈[0，π）． ∴tanθ， ∴θ＝60°， 故选：B． 【点睛】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题． 4．（25-26学年高二上·云南普洱·期中）经过两点的直线的倾斜角是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据斜率的两点式公式和定义求解. 【详解】 经过两点的直线的斜率为， 设该直线的倾斜角为，则， 又，所以. 故选：B 5．（25-26学年高二上·北京大兴·期中）经过两点，的直线的斜率为（     ） A.  B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【分析】 利用斜率公式即可求解. 【详解】 由题意可得直线的斜率为. 故选：D. 6．（25-26学年高二上·广东清远·期中）直线经过两点，则的斜率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 直接应用斜率公式进行求解即可. 【详解】 由，得的斜率为． 故选：A 7．（25-26学年高二上·新疆喀什·期中）已知两点，则直线的斜率为（     ） A.  B. -1 C. 2 D. 1 【答案】D 【分析】 根据经过两点的直线的斜率公式，即可求得答案. 【详解】 由题意知， 则直线的斜率为， 故选：D 8．（25-26学年高二上·新疆喀什·期中）已知直线经过，两点，直线的倾斜角为135°，那么与（     ） A. 垂直 B. 平行 C. 重合 D. 相交但不垂直 【答案】A 【分析】 分别求出两直线的斜率，根据斜率即可得出两直线的关系. 【详解】 由题意， 所以， 所以. 故选：A. 9．（25-26学年高二·安徽·期中）过点作直线，若与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（     ） A.  B. 或 C.  D.  【答案】B 【分析】 作出图象，计算出直线的斜率，结合图象可得答案. 【详解】 直线的斜率， 直线的斜率， 结合图象得：直线斜率的取值范围为或. 故选：B 10．（25-26学年高二上·天津南开·期中）若直线l经过点，，则直线l的倾斜角为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 设直线l的倾斜角为，先求出直线的斜率，再由，即可得出答案. 【详解】 设直线l的倾斜角为，， 直线l经过点，，则直线l的斜率为：， 所以，所以. 故选：D. 11．（25-26学年高二上·天津南开·期中）已知直线的斜率为，直线的倾斜角比直线的倾斜角小30°，则直线的斜率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 求出直线的倾斜角为105°，利用两角和的正切即可求解. 【详解】 因为直线的斜率为，所以直线的倾斜角为135°， 又直线的倾斜角比直线的倾斜角小30°， 所以直线的倾斜角为105°， ， 故直线的斜率为 故选：B. 12．（25-26学年高二上·江苏苏州·期中）直线过点，，则的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 求出直线的斜率，再由斜率的定义即可得到倾斜角. 【详解】 因为直线过点，，所以直线的斜率， 设直线的倾斜角，则，又，所以， 所以直线的倾斜角为. 故选：D. 13．（25-26学年高二上·重庆部分·期中）倾斜角为钝角的直线l一定经过（       ） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、二象限 D. 第二、三象限 【答案】B 【分析】 根据直线倾斜角的概念并结合一次函数性质判断即可. 【详解】 因为直线的倾斜角为钝角，所以斜率为负， 由一次函数性质得直线l一定经过第二、四象限. 故选：B. 14．（25-26学年高二上·江西景德镇·期中）直线的倾斜角是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先求出直线的斜率，再由斜率与倾斜角的关系可求出倾斜角. 【详解】 根据题意可知直线的斜率， 直线的倾斜角为， 则，， 所以. 故选：D 15．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）已知直线：与直线：，若，则（       ） A.  B. 2 C. 2或 D. 5 【答案】C 【分析】 根据两直线平行的性质，解方程 ， 再检验即得解. 【详解】 若 ， 则， 所以 或 . 当 时， ，符合题意； 当 时， 符合题意. 故选：. 16．（25-26学年高二上·江苏南通·期中）直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据直线方程求出直线斜率，再根据斜率和倾斜角间的关系即可求出倾斜角． 【详解】 可化为：， ∴直线的斜率为，设直线的倾斜角，则， ∵，∴． 故选：A． 17．（25-26学年高二上·江苏南通·期中）已知直线与平行，则（       ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【分析】 利用两直线平行的充要条件列式求解即可. 【详解】 由直线与平行， 得，所以. 故选：D. 18．（25-26学年高二上·北京大兴·期中）直线的倾斜角等于，则（     ） A.  B.  C. 1 D. 3 【答案】A 【分析】 根据直线方程求得直线的斜率，再利用直线倾斜角与斜率的关系求解即可. 【详解】 由题，可得直线的斜率，又， ，解得. 故选：A. 19．（25-26学年高二上·江苏徐州·期中）直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 首先求出直线的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求出直线的倾斜角； 【详解】 解：直线的斜率，设倾斜角为，则，因为，所以 故选：A 20．（25-26学年高二上·天津河东·期中）已知直线与直线平行，且在轴上的截距为，则的值为（       ） A. 9 B. 6 C. －6 D. －9 【答案】A 【分析】 先将两直线化为斜截式，利用平行时斜率相等得到与的关系，再根据轴截距的定义求出的值，进而求出的值，最终得到的值. 【详解】 直线化为斜截式， 将直线化为斜截式（）， 因两直线平行，故斜率相等，即，得， 令，代入，得，即， 由题知此截距为，故，解得， 由，得，则. 故选：A 21．（25-26学年高二上·天津河东·期中）已知直线经过点，则直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 结合直线倾斜角与斜率的关系及斜率公式计算解得. 【详解】 设直线的倾斜角为，则，则. 故选：B. 22．（25-26学年高二上·宁夏自治区银川·期中）已知两点，则线段AB的垂直平分线方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据给定条件，求出线段的中点坐标及直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解. 【详解】 两点，则线段的中点，直线的斜率为， 所以线段AB的垂直平分线方程为，即. 故选：D 23．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）直线的倾斜角为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 先由直线方程得到斜率，进而可得其倾斜角. 【详解】 由题意可得直线的斜率为， 设其倾斜角为，则， 又，所以， 故选：B 24．（2026·吉林吉林·调研）已知直线与直线垂直，则实数的值为（       ） A.  B.  C. 或3 D. 3 【答案】B 【分析】 利用直线一般式方程关于直线垂直的结论即可求解． 【详解】 因为直线与直线垂直， 所以满足，解得． 故选：B． 25．（25-26学年高二上·山西期中学·期中）已知直线过点且与以为端点的线段有公共点，则直线斜率的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 在坐标系中标出这三个点，然后根据直线和线段有公共点的临界情况分析. 【详解】 由题， 如图，由图可知直线斜率. 故选：B 26．（25-26学年高二上·天津南开·期中）已知直线：，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先求出直线所过定点的坐标，数形结合可求出直线的斜率的取值范围，即可得出直线的倾斜角的取值范围． 【详解】 直线的方程可化为，由 ，可得 ， 所以，直线过定点， 设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点， 将代入方程： 可得：不成立，不在直线上， 所以，即， 因为所以或 故直线的倾斜角的取值范围是． 故选：D． 27．（25-26学年高二上·江苏苏州·期中）已知点，，点在轴上，是直角三角形，这样的三角形的个数是（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】 设点C的坐标，讨论当分别为直角时的情况，求得点C的坐标，得满足题意的三角形共有3个. 【详解】 设.显然直线斜率都存在. 若为直角，则，所以，解得； 若为直角，则，所以，解得； 若为直角，则，所以，解得. 故有三个满足要求的直角三角形. 故选：C 方法二：若为直角，则\vec {AB}\cdot \vec {AC}=\left(6,-8\right)\cdot \left(x+1,-9\right)=6x+78=0，解得； 若为直角，则\vec {BA}\cdot \vec {BC}=\left(-6,8\right)\cdot \left(x-5,-1\right)=-6x+22=0，解得； 若为直角，则\vec {CA}\cdot \vec {CB}=\left(-1-x,9\right)\cdot \left(5-x,1\right)=x^{2}-4x+4=\left(x-2\right)^{2}=0，解得. 故有三个满足要求的直角三角形. 故选：C 方法三：当为直角顶点时，显然有两个这样的直角三角形； 若为直角顶点，中点，，则，而点到距离为5，此时有唯一点，符合要求. 故有三个满足要求的直角三角形. 故选：C 28．（25-26学年高二上·江苏徐州·期中）已知直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 求出直线所过定点，再分别计算出该点与、连线的斜率后作图即可得. 【详解】 令 ，解得 ，则直线过定点， 有，，如图所示： 则的倾斜角范围为. 故选：D. 29．（25-26学年高二上·广东清远·期中）“”是“直线和直线平行”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】 根据直线平行的等价条件求出的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】 当，则直线分别为和直线满足平行，即充分性成立， 若直线和直线平行， 当时，直线分别为和，不满足条件， 当时，满足，即，解得或， 当时，两直线重合，故不满足条件，故，即必要性成立， 综上“”是“直线和直线平行”的充要条件， 故选：C． 30．（25-26学年高二上·新疆喀什·期中）（多选）已知直线和直线，下列说法正确的是（       ） A. 始终过定点 B. 若，则 C. 若，则或2 D. 当时，始终不过第三象限 【答案】ACD 【分析】 根据定点判断A，根据直线垂直及重合求参判断B，结合直线的定点及斜率判断D. 【详解】 过定点，故选项A正确； 当时，重合，故选项B错误； 由，得或2，故选项C正确； 当时，始终过，斜率为负，不会过第三象限，故选项D正确. 故选：ACD. 31．（25-26学年高二上·山东青岛·期中）已知，，直线，相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的商是2，则点的轨迹方程是　　　　　. 【答案】 【分析】 设点，根据两点斜率公式直接列式即可求解. 【详解】 设点，则，整理得，显然. 所以点的轨迹方程为. 故答案为： 32．（25-26学年高二上·江苏徐州·期中）若直线与垂直，则　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据直线垂直关系即得. 【详解】 由题意可得，解得. 故答案为：. 33．（2026·广东多校·联考）已知的三个顶点的坐标分别为，，. （1）求边上的中线所在直线的斜率； （2）求边上的高所在直线的斜截式方程. 【答案】（1）     （2）.      【分析】 （1）首先求出中点坐标，再由两点斜率公式即可求解； （2）首先由两点斜率公式求出直线的斜率，然后根据垂直关系求出边上的高所在直线的斜率，最后根据点斜式方程即可求解. (1) 小问详解： 由，，得的中点. 则边上的中线的斜率为. (2) 小问详解： 由，，可得直线的斜率为， 则边上的高所在直线的斜率为， 所以边上的高所在直线方程为， 化为斜截式方程为. 34．（2026·广西南宁·质量检测）已知点，直线与线段有公共点，则a的取值范围是　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 易知直线l过定点，结合的斜率得出不等式，求得的范围即可. 【详解】 由，得． 令 得 则直线l过定点， 故． 显然直线的斜率一定存在，设直线l的斜率为k，如下图所示：    则，即， 解得． 因此a的取值范围是. 故答案为： 考点02 直线的方程 1．（25-26学年高二上·甘肃陇南·期中）已知直线，则直线在轴上的截距为（     ） A. 4 B.  C. 6 D.  【答案】D 【分析】 根据题意，令，求得，即可得到直线在轴上的截距，得到答案. 【详解】 由直线的方程为，令，可得，解得， 所以直线在轴上的截距为. 故选：D. 2．（25-26学年高二上·新疆喀什·期中）直线过点，且倾斜角为，则下列方程中能表示直线的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由题直接写出直线方程得解. 【详解】 直线过点，且倾斜角为， 所以直线的方程为. 故选：C. 3．（2026·广西南宁·质量检测）直线的斜率是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由直线的一般方程可直接求得其斜率. 【详解】 由题意可得直线的斜率是． 故选：D 4．（2026·吉林吉林·调研）直线的倾斜角为（     ） A. 0° B. 45° C. 60° D. 90° 【答案】B 【分析】 求出直线的斜率，进而求出倾斜角. 【详解】 直线的斜率为1，所以该直线的倾斜角为45°. 故选：B 5．（25-26学年高二·安徽·期中）已知直线l过点和，则直线l在x轴上的截距为（     ） A. 2 B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据直线方程的两点式得直线方程，令，解出即可求解. 【详解】 根据直线方程的两点式公式可得，化简可得， 令，可知，解得，所以直线l在x轴上的截距为. 故选：D. 6．（2026·广东多校·联考）（多选）设直线（、不同时为0），则（   ） A. 若，则与坐标轴平行 B. 若，则的倾斜角唯一 C. 若，则的斜率唯一 D. 若，则在坐标轴上的截距唯一 【答案】BC 【分析】 根据直线一般式方程的性质，逐一判断各选项正误，求出结果. 【详解】 若，则直线或直线，当时与坐标轴重合，所以A错误； 若，则直线，的倾斜角为0，是唯一的，故B正确； 若，则的斜率为，是唯一的，故C正确； 若且，此时直线方程为，直线与轴有无数交点，则在坐标轴上的截距不是唯一的，故D错误. 故选：BC. 7．（25-26学年高二上·山东青岛·期中）（多选）已知直线，则（     ） A. 过定点 B. 当时，与直线垂直 C. 当时，与直线平行 D. 当时，在两坐标轴上的截距相等 【答案】ABC 【分析】 结合题意直接求出定点判断A，利用两直线垂直的性质判断B，利用两直线平行的性质判断C，求出直线的截距判断D即可. 【详解】 对于A，令，解得，则过定点，故A正确， 对于B，当时，得到，可得， 得到与直线垂直，故B正确， 对于C，当时，得到， 而，，则与直线平行，故C正确， 对于D，当时，得到，令，解得， 令，解得，可得在两坐标轴上的截距不相等，故D错误. 故选：ABC 8．（25-26学年高二上·江苏苏州·期中）直线与直线及直线相交于同一点，且为的一个方向向量，则在轴上的截距为（       ） A.  B.  C. 1 D. 2 【答案】A 【分析】 根据题意可得交点，再由方向向量可得直线斜率，接着求出直线方程即可． 【详解】 联立方程 ，直线过点， 又为直线的一个方向向量，则直线斜率为1， 直线，当，，即在轴上的截距为． 故选：A 9．（25-26学年高二上·山西期中学·期中）（多选）已知直线，则下列结论正确的是（     ） A. 直线在轴和轴上的截距相等 B. 直线的截距式方程为 C. 直线的斜率为1 D. 是直线的一个方向向量 【答案】AD 【分析】 求出直线在轴和轴上的截距，可判断A；直线的方程化为截距式方程，可判断B；化直线的方程为斜截式方程，求得斜率可判断C；由直线的斜率可知直线的方向向量，可判断D． 【详解】 直线，令，得；令，得， 即直线在轴和轴上的截距相等，均为1，故A正确； 由，可得直线的截距式方程为，故B错误； 由，得，直线的斜率为，故C错误； 直线的斜率为，可知是直线的一个方向向量，故D正确， 故选：AD． 10．（25-26学年高二上·天津南开·期中）经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（     ）. A.  B. 或 C.  D. 或 【答案】B 【分析】 分为两种情况：当直线过原点时；当直线不过坐标原点时．设出直线的方程，代入点坐标可得解． 【详解】 当直线过原点时，设直线的方程为， 直线经过点，则，解得， 所以直线的方程为， 此时直线在两坐标轴上的截距均为0，满足题意； 当直线不过坐标原点时，由直线在两坐标轴上的截距互为相反数， 设直线的方程为， 直线经过点，则，解得， 则直线方程，即， 综上所述直线方程为或， 故选：B． 11．（25-26学年高二上·江西景德镇·期中）在中，已知，则BC边上中线所在的直线方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先求边上的中点坐标，再求边上的中线的斜率与方程. 【详解】 ∵， ∴边上的中点坐标为， ∴边上中线所在的直线的斜率为， ∴边上中线所在的直线方程为，即 故选：A 12．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）已知，，则下列直线的方程不可能是的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据直线斜率与轴上的截距的关系判断选项即可得解. 【详解】 ， 直线的方程在轴上的截距不小于2，且当时，轴上的截距为2， 故D正确，当时，, 故B不正确，当时，或，由图象知AC正确. 故选：B 13．（25-26学年高二上·北京大兴·期中）已知直线的倾斜角为60°，在轴上的截距与另一条直线在轴上的截距相同，则点到直线的距离为（     ） A.  B.  C. 1 D.  【答案】C 【分析】 根据题意，结合直线截距的定义，求得直线在轴上的截距，根据倾斜角与斜率的定义，利用点斜式方程，结合点到直线的距离公式，可得答案. 【详解】 由直线方程，令，解得，则直线过， 由直线的倾斜角为60°，则该直线的斜率， 故直线方程为：，化简可得：， 则点到直线的距离. 故选：C. 14．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）的三个顶点是，，，则边上的高所在直线的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由斜率，确定高的斜率，再由点斜式求解. 【详解】 ， 所以边上的高所在直线斜率为1， 所以边上的高所在直线的方程为， 即， 故选：C 15．（25-26学年高二上·天津南开·期中）过点且与直线平行的直线的方程是　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据平行直线系的性质即可求解. 【详解】 设与直线平行的直线的方程为， 将点代入可得，， 故所求直线方程为. 故答案为： 16．（25-26学年高二上·重庆部分·期中）（1）分别求直线在x轴、y轴上的截距； （2）求过点，且与直线垂直的直线方程； （3）求圆M：的圆心坐标与半径. 【答案】（1），；（2）；（3）， 【分析】 （1）根据题意，得到，结合截距式的概念，即可求解； （2）设直线的方程为，将点的坐标代入求得的值，即可求解； （3）化简圆的方程为，结合圆的标准方程，即可求解. 【详解】 解：（1）由，可得， 所以直线在x轴、y轴上的截距分别为和. （2）依题意，可设所求直线的方程为，将点的坐标代入得， 解得，所以所求直线的方程为. （3）由，可得， 所以圆M的圆心坐标为，半径为. 17．（25-26学年高二上·北京大兴·期中）经过坐标原点且与直线平行的直线方程为　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据平行关系可设直线方程为，将点代入求得，从而得到结果. 【详解】 设与直线平行的直线方程为， 因为过原点，所以，得， 所以所求直线方程为. 故答案为：. 18．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）求满足下列条件的直线的方程： （1）经过点，倾斜角为； （2）经过点和； （3）经过点，且与直线平行. 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）借助斜率与倾斜角的关系求出斜率后，利用点斜式计算即可得； （2）借助斜率公式求出斜率后，利用点斜式计算即可得； （3）借助直线平行的性质，设出直线后代入点计算即可得. (1) 小问详解： 因为直线过点，斜率， 代入直线的点斜式方程得：. 所以直线的方程为； (2) 小问详解： 因为直线经过点和， 所以直线的斜率. 代入直线的点斜式方程得：. 所以直线的方程为； (3) 小问详解： 因为所求直线与直线平行， 所以设所求直线的方程为. 因为直线经过点， 所以，即. 所以直线的方程为. 19．（25-26学年高二上·甘肃陇南·期中）已知直线经过点． （1）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； （2）若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点B，O为坐标原点，的面积为S，求S的最小值及此时直线的方程． 【答案】（1）或     （2）12，      【分析】 （1）根据截距是否为零分为两种情况讨论，代入点求解即可； （2）根据题意设直线l的方程为，其中，，进一步求得，直线过点C可得，最后结合均值不等式求解即可． (1) 小问详解： 当截距都为0也即直线过原点时，设直线方程为，因为直线过点，所以，解得，此时直线方程为，即； 当截距不为0时，设两者截距为a，直线方程为，即，因为直线过点，所以，解得，此时直线方程为； 综上，直线l的方程为或． (2) 小问详解： 由题意知，直线在x、y轴的截距都不为零， 设直线l的方程为，且根据题干可得，， 因为直线过点，所以， 的面积， 由，其中，， 所以，化简可得， 所以，当且仅当时取等号， 解得此时，， 直线l的截距式方程为，整理得． 20．（25-26学年高二上·新疆喀什·期中）直线方程为，则该直线在x轴上的截距为　　　　　　　　，在y轴上的截距为　　　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 根据直线的截距式方程求直线在坐标轴上的截距. 【详解】 直线的截距式方程为：. 所以直线在轴上的截距为4，在轴上的截距为. 故答案为：4； 21．（25-26学年高二上·新疆喀什·期中）已知的顶点分别为． （1）求边的中线所在直线的方程； （2）求边的垂直平分线所在直线的方程． 【答案】（1）     （2）．      【分析】 （1）求出的中点D的坐标，再求出的斜率，进而由点斜式可得直线方程； （2）求出的中点D的坐标，再求出的斜率，进而由垂直可得垂直平分线的斜率，由点斜式可得直线方程； (1) 小问详解： 设中点的坐标为，则，，所以， 边的中线过点两点， 所以， 所以所在直线方程为， 即； (2) 小问详解： 因为的斜率， 所以的垂直平分线的斜率， 所以的垂直平分线所在直线的方程为， 即． 22．（25-26学年高二·安徽·期中）求符合下列条件的直线方程： （1）过两条直线和的交点，且与平行； （2）直线过点，且横截距为纵截距的两倍. 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）根据两直线相交，可得交点坐标，根据平行可设直线一般式方程，代入交点坐标即可得到结果. （2）分截距为0和不为0两种情况求解. (1) 小问详解： 由 得 ，即交点坐标为，                     ∵直线与直线平行， ∴设所求直线方程为，代入得，解得    ∴所求直线方程为. (2) 小问详解： 当横、纵截距都为0时，设直线的方程为， ∵直线过点，∴，解得，      ∴直线的方程为，即. 当截距均不为0时，设直线的方程为. ∵直线过点，∴，解得， ∴直线方程为，即.           综上，所求直线方程为或. 23．（25-26学年高二上·山西期中学·期中）已知的三个顶点． （1）求边上的高所在直线的斜截式方程； （2）求边上的中线所在直线的一般式方程． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先求出，从而求出边上的高所在直线的斜率，然后利用点斜式写出直线方程即可； （2）先求出的中点坐标，然后求出边上的中线所在直线的斜率，利用点斜式先表示出直线方程，然后化为一般方程即可. (1) 小问详解： 因为， 所以， 所以边上的高所在直线的斜率， 所以边上的高所在直线的点斜式方程为， 则其斜截式方程为． (2) 小问详解： 设是边的中点， 则 ，即， 则， 所以边上的中线的方程为，即：， 所以边上的中线的一般式方程为：． 24．（25-26学年高二上·江西景德镇·期中）在中，. （1）求边上的高的方程； （2）若直线经过点，且到直线的距离相等，求直线的方程. 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）先求直线的斜率，进而得，再根据点斜式方程求解即可； （2）分直线的斜率不存在与存在两种情况分别讨论求解即可; (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴边上的高的斜率为， ∴边上的高的方程为，即 (2) 小问详解： 解：当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时两点到直线的距离相等，且等于，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， ∵到直线的距离相等， ∴，即，解得， ∴直线的方程为， 综上，直线的方程为或 25．（25-26学年高二上·江西景德镇·期中）已知直线的一个方向向量为\vec {v}=\left(1,-2\right)，且经过点，则直线在轴上的截距为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据题意求得直线的方程为，再求直线在轴上的截距即可. 【详解】 由直线的一个方向向量为\vec {v}=\left(1,-2\right)得直线的斜率为， 由直线经过点， 所以直线的方程为，即， 令得，即直线在轴上的截距为. 故答案为： 26．（25-26学年高二上·北京大兴·期中）已知顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． （1）求边所在直线方程； （2）求点和点的坐标． 【答案】（1）     （2），      【分析】 （1）先利用上的高所在方程求出斜率，再利用点斜式求出方程； （2）先利用是与中线的交点，联立直线与方程求出点坐标，利用是中点，结合在上的高所在直线方程上，求出点坐标． (1) 小问详解： 上的高所在直线方程为，斜率为， 而与其高所在直线垂直，，解得， ，根据点斜式得，整理得． (2) 小问详解： 是与中线的交点，联立直线与方程 得， ， . 设点，是的中线，为中点，，， 又在直线上，，整理得， 又在上的高所在直线方程上，联立 ，解得 ， ． 27．（25-26学年高二上·甘肃陇南·期中）直线与轴、轴分别交于，两点，则（为坐标原点）的平分线所在直线的一般式方程为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 结合正切三角函数的二倍角公式以及直线斜率和倾斜角的关系即可求解． 【详解】 如图所示，设角平分线与x轴负半轴的夹角为α， 令代入直线方程，可得，所以，令代入直线方程，可得， 所以，在中，的正切值为， 也即，解得（负值已舍去）， 设角平分线的斜率为，则， 所以由点斜式方程可得角平分线方程为， 整理为一般式为． 故答案为：． 考点03 直线的交点坐标与距离公式 1．（25-26学年高二上·山西期中学·期中）直线与直线之间的距离是（     ） A.  B. 1 C.  D. 2 【答案】C 【分析】 利用平行线间距离公式即可求解. 【详解】 由平行线间的距离公式可得：， 故选：C 2．（25-26学年高二上·江苏徐州·期中）已知，点在轴上，且使得取最小值，则点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 作图，找到M关于x轴对称点是，连结M’N，求出M’N的方程，则M’N与x轴交于P点，此时，取最小值，且，此时根据直线方程求出P点即可 【详解】 如图，M关于x轴对称点是，M’和N在x轴两侧，则当M’N成一直线，此时，M’N与x轴交于P点，有取最小值，此时，，而直线M’N的方程为，化简得，，则直线M’N交x轴于P点，所以，P点坐标为 答案选：C 【点睛】 本题考查点关于直线对称的问题，属于简单题 3．（25-26学年高二上·江苏南通·期中）点关于直线的对称点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 设对称点的坐标为，由题意可得 ，求解即可. 【详解】 设对称点的坐标为， 由题意可得 ，解得 ， 所以点关于直线的对称点的坐标为. 故选：C 4．（25-26学年高二上·广东清远·期中）（多选）下列说法中，正确的有（     ） A. 直线在y轴上的截距为-2 B. 直线的倾斜角为120° C. 直线(m∈R)必过定点(0，-3) D. 点(5，-3)到直线y+2=0的距离为7 【答案】AC 【分析】 根据一般式直线方程，结合公式，分别判断直线的纵截距，斜率，定点，点到直线的距离. 【详解】 A.直线中，当时，，故A正确； B. 直线的斜率，所以倾斜角为，故B错误； C.直线，当时，，所以直线恒过定点，故C正确； D.点到直线的距离，故D错误. 故选：AC 5．（2026·吉林吉林·调研）（多选）已知直线，则（     ） A. 过点与直线平行的直线方程为 B. 过点与直线平行的直线方程为 C. 与直线关于原点对称的直线方程为 D. 与直线关于原点对称的直线方程为 【答案】BC 【分析】 根据两直线平行求直线方程，可判断AB的真假；用代替，代替，可得直线关于原点的对称直线方程，可判断CD的真假. 【详解】 过点且与直线平行的直线方程为： ，即为.故A错误，B正确； 用代替，代替，可得直线关于原点对称的直线方程为： ，即为.故C正确，D错误. 故选：BC 6．（25-26学年高二·安徽·期中）已知，则的最小值为（     ） A.  B.  C.  D. 4 【答案】C 【分析】 将题目转化为两点之间的距离公式，然后再用对称求最小值. 【详解】 表示点到点和到点距离的和. 设点关于直线的对称点，由对称点的性质可得： , 如图：    由对称的性质可得:,所以的最小值就是. 所以. 故选：C 7．（25-26学年高二上·山西期中学·期中）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．已知函数，，则下列结论正确的是（     ） A. 有最小值 B. 有最大值5 C. 有最小值5 D. 有最大值 【答案】D 【分析】 根据两函数式结构构造动点到定点的距离形式，结合三角形三边关系一一分析选项即可. 【详解】 易知，， 不妨设, 可将看作是，则， 当且仅当三点共线，且在线段上时取得等号，所以A，B错误； 可将看作是，则， 且存在点A使得，即C错误，D正确. 故选：D 8．（25-26学年高二上·重庆部分·期中）一条光线从点出发，与x轴相交于点P，经过x轴反射后，反射光线经过点，则（       ） A. 4 B. 5 C.  D.  【答案】D 【分析】 先求点关于x轴的对称点为，利用对称得到，利用两点间距离公式计算求解. 【详解】 由题意得关于x轴的对称点为， 所以. 故选：D. 9．（25-26学年高二上·江西景德镇·期中）（多选）下列说法正确的有（     ） A. 点关于直线的对称点为 B. 直线关于点的对称直线为 C. 经过点，且与直线平行的直线方程是 D. 当时，直线与垂直 【答案】ABD 【分析】 利用点关于直线的对称的性质求解判断A；利用直线关于点对称直线的求法求解以判断B；利用平行求出斜率，再利用点斜式求出直线方程判断C，利用直线垂直的系数关系判断D. 【详解】 对于A，设点关于直线的对称点为， 则 ，解得 ， 即点关于直线的对称点为，正确； 对于B，设直线上的点，其关于点的对称点为， 所以 ，则 ，则，即， 所以直线关于点对称的直线方程是，正确； 对于C，直线的斜率为2，所以所求直线的斜率也是2， 则所求直线为，即，错误； 对于D，当时，， 故直线与垂直，正确； 故选：ABD. 10．（25-26学年高二上·江苏南通·期中）（多选）已知三条直线和不能围成一个三角形，则实数的可能取值为（       ） A.  B. 3 C.  D.  【答案】BCD 【分析】 利用直线平行以及三条直线交于一点，即可求解. 【详解】 联立 ，可得 ，即两直线交点为. 当时，直线和直线平行，不能围成三角形; 当时，直线和直线平行，不能围成三角形; 当时，直线经过点，三线共点，不能围成三角形; 当时，三条直线两两相交且不共点，可以围成三角形，不符合题意. 故选：BCD 11．（25-26学年高二上·北京大兴·期中）若三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值最多有（       ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【分析】 分析可知直线与直线或直线平行，或直线过点，进而列式求解即可. 【详解】 联立方程 ，解得 ， 可知：直线的斜率为，的斜率为，且直线、的交点为， 若三条直线不能围成三角形，则直线与直线或直线平行，或直线过点， 可知直线的斜率存在，且为， 可得或或，解得或或， 所以实数的取值最多有3个. 故选：B. 12．（25-26学年高二上·甘肃陇南·期中）（多选）已知的三个顶点分别为，，，则下列说法正确的有（     ） A.  B.  C. 的面积是10 D. 边上的高所在直线方程为 【答案】ACD 【分析】 求出，即可判断A，利用锐角三角函数判断B，由面积公式判断C，求出，再由点斜式求出边上的高所在直线方程，即可判断D. 【详解】 对于A：因为，，，所以，， 则，所以，即，故A正确； 对于B：因为，， 又为直角三角形，所以，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：因为，所以边上的高所在直线方程为，即，故D正确. 故选：ACD 13．（25-26学年高二上·重庆部分·期中）两条平行直线之间的距离为　　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用两平行线间的距离公式求解. 【详解】 之间的距离， 即直线之间的距离为. 故答案为：. 14．（25-26学年高二上·新疆喀什·期中）求两平行线与的距离为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据平行线间距离公式即可求解. 【详解】 即与的距离为， 故答案为： 15．（25-26学年高二上·云南普洱·期中）如图，光线从 出发，经过直线反射到，该光线又在点被轴反射，若反射光线恰与直线平行，且，则实数的取值范围是　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 先记经过点的入射光线与直线的交点为，由题意得到直线的斜率为：，与直线垂直的直线斜率为：；设直线斜率为，由到角公式求出 ，再由直线与直线联立求出点坐标，表示出，求出关系，进而可得出结果. 【详解】 记经过点的入射光线与直线的交点为， 由题意可得：直线的斜率为：， 与直线垂直的直线斜率为：； 设直线斜率为， 由到角公式可得：，即， 解得， 又直线的方程为：，由 解得， 因此，解得， 又，所以. 故答案为 【点睛】 本题主要考查直线的应用，熟记直线方程，以及直线的斜率公式即可，属于常考题型. 16．（25-26学年高二上·云南普洱·期中）已知直线过点和，直线：． （1）若直线关于直线的对称直线为，求直线的方程． （2）已知直线是过点的直线，点到直线的距离为，求直线的方程. 【答案】（1）     （2）或．      【分析】 （1）求得直线上一点关于直线的对称点，结合与的交点求得直线的方程. （2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离求得直线的方程. (1) 小问详解： 直线的方程为，即， 取直线上的一点，设关于直线的对称点为， 则 ，解得. 由 解得， 所以直线过点和点， 所以直线的方程为，即. (2) 小问详解： 直线斜率不存在时，可得， 点与直线的距离为，符合题意. 当直线斜率存在时，设直线斜率为， 故可得直线的方程为， 即， 因为点到直线的距离为， 即， 解得， 故可得直线的方程为，即， 综上所述，直线的方程为：或． 17．（25-26学年高二上·江苏南京·期中）两条直线与间的距离为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据平行线间的距离公式求解即可. 【详解】 . 故答案为： 18．（25-26学年高二上·江苏徐州·期中）已知平行四边形的两条边所在直线的方程分别为，，且它的对角线的交点为，求这个平行四边形其他两边所在直线的方程． 【答案】和 【分析】 依题意，由方程组 可解得平行四边形ABCD的顶点A的坐标，再结合对角线的交点是，可求得C点坐标，利用点斜式即可求得其他两边所在直线的方程. 【详解】 解：联立方程组 ，解得 . 所以平行四边形的顶点. 设，由题意知点是线段的中点， 所以 ， 解得 ，所以. 由已知，得直线的斜率，因为与平行， 所以直线的方程为，即 由已知，得直线的斜率，因为与平行， 所以直线的方程为，即 故这个平行四边其它两边所在直线的方程是和 19．（25-26学年高二上·新疆喀什·期中）已知直线：，：，：． （1）求与的交点的坐标； （2）求点到直线的距离． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）联立直线方程得方程组，求解即得交点坐标. （2）根据点到直线的距离公式求解即可. (1) 小问详解： 由题设得方程组 ， ，故. (2) 小问详解： 由点到直线的距离公式可得所求距离. 20．（2026·广东多校·联考）已知点，位于直线上，其中在轴上，是平面中的一点. （1）若为正三角形，求直线的斜率； （2）设为的重心. （i）证明：始终在同一条直线上，并求这条直线的方程； （ii）若的面积为3，求点的坐标. 【答案】（1）或.     （2）（i）设，设中点， 由为的重心，故\vec {OC}=2\vec {DO}，解得. ，，解得， 故始终在直线上. （ii）或.      【分析】 （1）求正三角形时 的斜率，确定直线 的倾斜角为 45° ，利用正三角形性质，找到 所在直线与轴正半轴的夹角角度 ，计算对应的正切值，得到 的斜率. （2）（i）证明 在定直线上，设 的坐标为参数 ，利用重心坐标公式（三点坐标平均值为重心坐标），建立 与 的关系，消去参数 ，得到 的坐标满足的直线方程.（ii）已知面积求 的坐标，利用重心性质：三个小三角形面积相等，每个面积为原三角形的 ，用 的坐标计算 的面积，得到关于 的方程，解出 ，代入 与 的关系式，得到 的坐标. (1) 小问详解： 因为在轴上，所以，因为直线的倾斜角为45°， 若为正三角形，则直线的倾斜角为105°或165°， 故斜率为， 或. (2) 小问详解： （i）略 （ii）因为为的重心，所以，故， ，解得或， 故代入的坐标得或. 21．（25-26学年高二上·天津南开·期中）已知直线与直线（）垂直，直线在轴和轴的截距分别为和. （1）求，，的方程； （2）求与的交点到的距离. 【答案】（1），，     （2）      【分析】 （1）由，得到，求得，得到直线与的方程，再由直线在轴和轴的截距分别为和，结合直线的截距式方程，即可求解； （2）联立方程组，求得直线与的交点为，结合点到直线的距离公式，即可求解. (1) 小问详解： 解：由直线和， 因为，则，即，解得或， 又因为，所以，可得，， 又由直线在轴和轴的截距分别为和，可得直线的方程为， 即. (2) 小问详解： 解：联立方程组 ，解得，即直线与的交点为， 则与的交点到的距离. 22．（25-26学年高二上·江苏南通·期中）已知两条直线和都经过点，则两点，间的最短距离为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 确定，分别在直线上，由平行线间距离即可求解. 【详解】 因为两条直线和都经过点， 所以，， 所以，分别在直线上， 所以两点，间的最短距离为两平行线间距离，即， 故答案为： 23．（25-26学年高二上·天津河东·期中）在菱形中，对角线与轴平行，． （1）求直线在轴上的截距； （2）求边与边之间的距离． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先利用菱形性质确定、坐标，再求直线方程进而得截距； （2）求出、的直线方程，利用平行线间距离公式求解. (1) 小问详解： 因为菱形中与轴平行，，设. 由，， 则， 解得（与重合，舍去），即. 又\vec {AB}=\left(2,1\right)，且\vec {DC}=\vec {AB}， 所以\vec {OC}=\vec {OD}+\vec {DC}=\vec {OD}+\vec {AB}=\left(-3,1\right)+\left(2,1\right)=\left(-1,2\right)，即. 直线的斜率， 直线的方程为，即. 因此，直线在轴上的截距为. (2) 小问详解： 、，则直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 、，则直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 根据平行线间距离公式，与的距离为. 24．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）已知两直线：和：，若，则与间的距离为　　　　　　. 【答案】2 【分析】 由平行线间距离公式即可求解. 【详解】 因为， 所以，即：， 所以与间的距离为， 故答案为：2 25．（25-26学年高二上·广东清远·期中）已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为，，. （1）求平行四边形ABCD的顶点D的坐标. （2）求四边形ABCD的面积. （3）求边AB上的高所在直线方程. 【答案】（1）；     （2）；     （3）.      【分析】 (1)利用平行四边形的性质结合中点坐标公式计算得解. (2)求出直线BC的方程，再求出顶点A到直线BC的距离及线段BC的长即可计算得解. (3)求出直线AB的斜率即可求得边AB上的高所在直线方程. (1) 小问详解： 的顶点，，，则对角线AC中点为， 于是得对角线BD的中点是，设，因此有，，解得： ， 所以平行四边形ABCD的顶点. (2) 小问详解： 因，，即有直线BC斜率，直线BC的方程：，即， 因此，点A到直线BC的距离为，而， 从而得， 所以四边形ABCD的面积为. (3) 小问详解： 依题意，直线AB的斜率，则边AB上的高所在直线的斜率为， 于是有：，即. 所以边AB上的高所在直线的方程为. 26．（25-26学年高二上·江苏南通·期中）（1）过点作直线的垂线，垂足为. ①求点的坐标； ②求以为直径的圆被轴截得的劣弧的长度； （2）已知点和直线（不同时为零），证明：点到直线的距离. 【答案】（1）①；②； （2）法一：设，过点作直线的垂线，垂足为， 则过点和直线垂直的直线方程为. 联立 ，解得 ， 所以点的坐标为. 所以 当时， . 当时， . 所以点到直线的距离. 法二：过点作，垂足为. 当时， 过点分别作轴､轴的垂线， 分别与相交于. 由， 得， 所以， 因为是斜边上的高， 所以， 即点到直线的距离. 当时， . 当时， . 综上，点到直线的距离. 【分析】 （1）① 求得直线的方程，联立方程求解即可；② 求得圆的方程，由勾股定理可得，计算即可求解； （2）方法一：求得过点和直线垂直的直线方程，联立方程组求得交点坐标，由平面中两点间的距离公式即可得证；方法二：过点分别作轴､轴的垂线，分别与相交于，由等面积法计算即可得证. 【详解】 （1）① 因为直线的斜率， 所以其垂线的斜率， 所以直线的方程为. 联立 ，解得. ② 因为， 所以以为直径的圆的圆心，半径， 所以圆的方程为. 设圆与轴交于两点，则， 所以， 所以，所以所求弧长为. （2）略 27．（25-26学年高二上·北京大兴·期中）已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，设点，，记，． （1）若，求点的坐标； （2）若点，点，且，求的最大值； （3）已知点，是直线上的动点，是否存在直线使得？若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，说明理由． 【答案】（1）或或或     （2）1     （3）和      【分析】 （1）根据新定义列式求解； （2）根据新定义求得点的运动轨迹，根据运动轨迹可求得最值； （3）根据点到直线的距离公式求得，求得的表达式，对进行分类讨论，根据不等式的性质来证得结论成立，并求得满足条件的直线的方程. (1) 小问详解： 由，得， ，解得 或 ， 所以点的坐标为或或或. (2) 小问详解： 由题，， 当时，方程变为， 当时，方程变为， 当时，方程变为， 当时，方程变为， 所以方程表示的图形是正方形，如图， 其中，即点在正方形的边上运动， 而表示点间的距离，是正方形的中心， ，即的最大值为1. (3) 小问详解： 因为点到直线的距离为，所以， 设，则，令， 当时，，此时，合题意； 当时，， 由分段函数性质可得， 又，且恒成立，当且仅当时，等号成立， 综上，满足条件的直线有且只有两条和. 考点04 圆的方程 1．（25-26学年高二上·天津南开·期中）求以为圆心，且经过点的圆的一般方程（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据题意，利用两点间的距离公式求得圆的半径，写出圆的标准方程，进而得到圆的一般方程，得到答案. 【详解】 由题意得，圆的半径， 所以圆的方程为， 所以圆的一般方程为. 故选：C. 2．（25-26学年高二上·天津河东·期中）圆心是，半径为的圆的标准方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 借助圆的标准方程定义即可得. 【详解】 圆心是，半径为的圆的标准方程为. 故选：D. 3．（25-26学年高二上·新疆喀什·期中）圆的方程为，则该圆的圆心与半径分别是（     ） A. 圆心，半径 B. 圆心，半径 C. 圆心，半径5 D. 圆心，半径 5 【答案】A 【分析】 根据圆的标准方程即可确定圆心和半径. 【详解】 由题意知圆的标准方程为， 则该圆的圆心与半径分别是、， 故选：A 4．（25-26学年高二上·新疆喀什·期中）若方程表示圆，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 将方程化成，再利用条件，即可求解. 【详解】 因为方程可变形为， 由题知，得到， 故选：C. 5．（2026·吉林吉林·调研）圆的圆心坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用圆的标准方程求解圆心坐标即可. 【详解】 由题意得圆的圆心坐标为，故A正确. 故选：A 6．（25-26学年高二上·江西景德镇·期中）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据点在圆外以及圆的一般式满足的系数关系即可列不等式求解. 【详解】 由点在圆的外部，可列不等式组： ，解得：， 故选：C. 7．（25-26学年高二上·江苏南通·期中）若方程：表示圆，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据二元二次方程表示圆的条件，列出不等式，解之即可. 【详解】 因为方程：表示圆， 则有，解得：， 故选：B. 8．（25-26学年高二上·北京大兴·期中）圆的半径长为（     ） A.  B. 5 C.  D.  【答案】A 【分析】 把圆的一般方程化为标准方程，即可得出圆的半径. 【详解】 将圆化成标准方程， 所以圆的半径为. 故选：A. 9．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）圆心为且经过原点的圆的方程是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 结合选项逐个判断即可. 【详解】 ，圆心坐标为，不符合， ，圆心坐标为，代入原点坐标得不成立，不符合， ，圆心坐标为，不符合， ，圆心坐标为，代入原点坐标成立，符合， 故选：D 10．（25-26学年高二上·甘肃陇南·期中）以点为圆心，3为半径的圆的一般方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据已知条件写出圆的标准方程，然后转化为一般方程即可. 【详解】 以点为圆心，3为半径的标准方程为：， 展开整理的一般方程为：. 故选：B 11．（25-26学年高二上·新疆喀什·期中）（多选）已知圆的半径为2，则下列说法正确的是（       ） A.  B. 点在圆的外部 C. 圆心C的坐标为 D. 当直线平分圆的周长时， 【答案】ABC 【分析】 根据圆的半径为2，代入可求得a值，可判断A、C的正误，根据点与圆的位置关系，代入检验，可判断B的正误；由题意，直线过圆心，代入可求得m值，可判断D的正误. 【详解】 选项A：因为圆的半径为2， 所以，解得，则圆，故A正确； 选项B：将代入圆C方程可得， 所以点在圆的外部，故B正确； 选项C：圆心坐标为，故C正确； 选项D：因为直线平分圆的周长， 所以直线过圆心，则，解得，故D错误. 故选：ABC 12．（25-26学年高二上·山东青岛·期中）若点在圆外，则的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用方程表示圆和点在圆外建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】 因为方程表示圆， 所以，解得， 因为点在圆外， 所以，解得， 则，故C正确. 故选：C 13．（25-26学年高二上·山东青岛·期中）圆关于直线对称的圆的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 求出已知圆的圆心关于直线对称的点，再利用轴对称的性质求出半径，即得对称圆的方程. 【详解】 由题意得圆的圆心坐标为，半径为． 设点关于直线对称的点， 则 ，解得，． 由轴对称的性质得新圆的半径为， 对称的圆的方程为，故A正确. 故选：A 14．（25-26学年高二上·山西期中学·期中）圆关于直线对称的圆的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 求出已知圆的圆心关于直线的对称点，即为对称圆的圆心，从而得到答案． 【详解】 圆的圆心为，半径为1， 设所求圆的圆心为， 则与关于直线对称， 故 ， 则所求圆的圆心为，半径为1， 所以所求圆的方程为． 故选：A 15．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）已知圆过点，则圆心到原点距离的最小值为（       ） A.  B.  C. 1 D.  【答案】D 【分析】 根据题意可得圆心的轨迹为直线，进而根据点到直线的距离公式即可求解最值. 【详解】 设圆心,由得，化简得，即圆心在直线运动，圆心到原点距离的最小值即原点到直线的距离，故最小值为， 故选：D 16．（25-26学年高二上·江苏南通·期中）已知直线和圆交于两点，设线段的中点为为坐标原点，则的最大值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 易知直线l过定点，且点在圆内，结合垂直于，可得动点的轨迹方程为，由此容易得出的最大值． 【详解】 将圆的方程化为标准方程为，则圆心为， 直线，易知直线恒过定点 又,所以点在圆内，如图所示：    由于垂直于，则点的轨迹为以为直径的圆， 线段的中点坐标为，， 所以动点的轨迹方程为， 又，， 可得， 即的取值范围为， 所以的最大值为. 故选：D 17．（2026·吉林吉林·调研）（多选）已知动点与两定点的距离的比为，设点所构成的曲线为，则（     ） A. 曲线的方程为 B. 曲线上的点到直线的最小距离为 C. 曲线上恰有三点到直线的距离为，则 D. 若点坐标为，则的最小值为 【答案】ABD 【分析】 根据已知条件求出曲线C的方程，利用两点之间线段最短以及点到直线的距离公式对各个选项逐个计算即可求解. 【详解】 设点P的坐标为，根据题意，，即， 所以，两边平方得：， 化简可得，即， 因此，曲线C是以为圆心，为半径的圆.故A正确； 圆心到直线的距离为： , 则曲线上的点到直线的最小距离为.故B正确； 圆心到直线的距离为： ， 若曲线上恰有三点到直线的距离为，则 ， 解得，即或 ，因此，的取值不唯一，故C错误； 曲线的方程，可得， 因此 ， 又因为，， ， 因此，，故D正确. 故选：ABD. 18．（25-26学年高二上·山东青岛·期中）（多选）已知，，，动点满足、是直线上一点，记点的轨迹为曲线，过点作的两条切线、切点分别为，，则（     ） A. 的方程为 B. 的最小值为 C. 的最小值为2 D. 直线恒过定点 【答案】ABD 【分析】 根据题目条件逐一分析判断选项即可. 【详解】 对于A选项，已知， 即，整理得，A选项正确； 对于B选项，在直线上， 圆心到直线的距离，圆的半径为2， 所以的最小值为，即B选项正确； 对于C选项，设，切点弦的方程： 圆心到的距离：， 弦长：， ， ， 令，则， ， ，最小值为，C选项错误； 对于D选项，直线即， 对任意成立⇒过定点满足：， 解得定点，D选项正确. 故选：ABD 19．（25-26学年高二上·天津南开·期中）若，分别为圆：与圆：上的动点，为直线上的动点，则的最小值为（     ）. A. 12 B. 9 C. 6 D.  【答案】B 【分析】 根据给定条件，求出点与直线上的点距离和的最小值，再减去两圆半径和即可. 【详解】 圆：的圆心，半径， 圆：的圆心，半径， 设点关于直线的对称点为，连接，如图： 则 ，解得 ，即， ， 则， 当且仅当是与直线的交点， 且分别是线段与圆的交点时取等号， 所以的最小值为9. 故选：B. 20．（25-26学年高二上·江苏苏州·期中）已知点是圆上的动点，点，则的最大值是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 法一根据几何意义并结合正弦定理直接求解；法二，再根据余弦定理并结合基本不等式得即可求解；法三设，则，结合为锐角，即可得到的最大值即可． 【详解】 法一：如图，设过，，三点的圆的半径为， 则，又， 所以，则是锐角，可得， 故取最大，最大， 则时，取得最小值，此时， 而是锐角，此时， 法二：如图，结合圆的性质设， 则由余弦定理得， 由基本不等式得， 当且仅当，即时取等， 故， 则的最大值是； 法三：设，由正弦定理得， 即，则， 因为，所以， 故为锐角，得到的最大值为． 故选：B． 21．（25-26学年高二上·宁夏自治区银川·期中）（多选）已知曲线，则 A. 曲线C关于y轴对称 B. 曲线C上任意一点到原点的距离都不超过 C. 曲线所围成的图形的面积为 D. 当点在曲线C上时， 【答案】ABD 【分析】 根据给定的曲线方程，利用关于对称特征判断A；利用基本不等式求解判断BD；作出曲线求出图形面积判断C. 【详解】 对于A，曲线C上任意点，则成立， 即点在曲线上，因此曲线C关于y轴对称，A正确； 对于B，令是曲线C上任意一点，则， 由， 当且仅当时取等号，解得，即， 因此曲线C上任意一点到原点的距离都不超过，B正确； 对于C，当时，，其对应的图形以为圆心，为半径的圆在第一象限的半圆部分，该半圆面积为，而曲线关于坐标轴对称， 曲线对应的图形如下：        曲线围成的图形的面积由边长为的正方形和4个半径为的半圆组成， 因此曲线围成的图形的面积为，C错误； 对于D，由选项B得，则，而， 因此，当且仅当时取等号，D正确. 故选：ABD 22．（25-26学年高二上·天津南开·期中）对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为　　． 【答案】或 【分析】 由已知得，从而 ，由此能求出定点的坐标． 【详解】 解：，即， 令 ，解得，，或，， 所以定点的坐标是或． 故答案为：或. 23．（25-26学年高二上·天津南开·期中）经过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 利用圆系方程可求圆的方程. 【详解】 由题可先设出圆系方程；，则圆心坐标为； ，又圆心在直线上，可得；解得. 所以圆的方程为：. 故答案为：. 24．（25-26学年高二上·天津河东·期中）经过点的圆的一般方程为　　　　　　． 【答案】 【分析】 设所求圆的方程为，然后将三个点的坐标代入方程中解方程组求出的值，可得圆的方程. 【详解】 设所求圆的方程为，则 ，解得 ，所以圆的方程为 故答案为： 25．（25-26学年高二上·广东清远·期中）若方程表示圆，则实数的取值范围为　　　　　　　． 【答案】 【分析】方程表示圆，需要 计算得到答案. 【详解】方程表示圆 则 【点睛】本题考查了二元二次方程表示圆的条件，属于简单题. 26．（25-26学年高二上·广东清远·期中）求下列各圆的方程. （1）圆心为点，且过点； （2）过，，三点． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）求出半径，利用圆的标准方程写出即可. （2）设出圆的一般方程，将三点代入解出即可. (1) 小问详解： 由题意知半径， 所以圆的方程为：. (2) 小问详解： 设圆的一般方程为：. 将，，代入得： ， 所以圆的方程为：. 27．（25-26学年高二上·山东青岛·期中）已知，. （1）求线段的垂直平分线的方程； （2）若圆经过，两点，且圆心在直线上，求圆的标准方程. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用点斜式方程即可求得； （2）分别求出圆心和半径，进而求出标准方程. (1) 小问详解： 因为，， 所以的中点为，直线的斜率， 所以线段的垂直平分线的斜率为， 即的直线方程为，化简得. (2) 小问详解： 由垂径定理得，圆心在的中垂线上， 联立 ，解得，，即圆心为， 所以圆的半径， 所以所求圆的标准方程为. 28．（25-26学年高二上·江苏苏州·期中）已知的三个顶点分别是，，. （1）求边上的中线所在直线的方程； （2）求的外接圆的方程. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先求出边的中点坐标，再根据直线两点间的斜率公式得到中线斜率，使用点斜式写出直线方程；（2）设圆的一般方程，代入顶点坐标即可求出外接圆的方程. 【详解】 （1）线段中点为，则边中线的斜率为， 所以边上的中线所在直线方程为化简得， （2）设外接圆一般方程为，代入三点坐标得， 解得 ， 即的外接圆方程为， 即. 29．（25-26学年高二上·重庆部分·期中）某圆拱桥的圆拱的平面图如图所示，该圆拱的跨度，拱高．为加固该圆拱桥，现决定建造两根支柱（将支柱视为两条线段），且，则支柱的高度为　　　　　　　　　　　m． 【答案】7 【分析】 利用待定系数法来求圆的方程，再通过坐标运算求高度即可. 【详解】 以为原点，建立平面直角坐标系，如图所示． 设该圆弧所在圆为圆． 将，的坐标代入圆的方程，得 得 所以圆．当时，得或． 由图可知，支柱的高度为7m． 故答案为：7. 30．（25-26学年高二上·江西景德镇·期中）已知圆经过抛物线与坐标轴的三个交点. （1）求圆的方程； （2）若从点向圆引两条切线，切点分别为M，N，求四边形AMCN的面积. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先求得抛物线与坐标轴的三个交点为，再待定系数求解即可； （2）先求得点到圆心的距离，进而求得切线长，再根据计算面积即可. (1) 小问详解： 解：对于，令得或，令得； ∴抛物线与坐标轴的三个交点为， 设圆的方程为， ∴ ，解得，满足， ∴圆的方程为 (2) 小问详解： 解：将圆的方程化为标准方程得， ∴圆的圆心为，， ∴点到圆心的距离为， ∴切线长为， ∴四边形AMCN的面积为， 即四边形AMCN的面积为. 31．（25-26学年高二上·江苏南通·期中）已知的三个顶点为. （1）求边上的中线的长； （2）求的外接圆方程. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用中点坐标公式得到中点坐标，再利用两点间距离公式求解长度即可. （2）设出外接圆的方程，代入点的坐标，进而求解参数得到方程即可. (1) 小问详解： 由中点坐标公式得的中点， 由两点间距离公式得. (2) 小问详解： 设三角形外接圆方程为， 因为点在所求的圆上，可得 ，解得 ， 则外接圆的方程为. 32．（25-26学年高二上·北京大兴·期中）已知圆经过点，，． （1）求圆的方程； （2）求经过点的圆的切线方程． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用待定系数法将三个点的坐标代入圆的一般方程，解方程组即可； （2）根据圆的切线性质求出切线的斜率，点斜式求得直线方程. (1) 小问详解： 设圆的方程为， 将三点坐标代入得， ， 即 ，解得 ， 所以圆的方程为，即. (2) 小问详解： 由（1），可得圆心，则， 所以经过点的圆的切线斜率， 所以经过点的圆的切线方程为，即. 33．（25-26学年高二上·山西期中学·期中）平面内到两个定点距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆，该圆被称为阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是关于定点的阿波罗尼斯圆，其方程为，，且．若点，则的最小值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 令，应用两点距离公式列方程求P轨迹，结合已知圆的方程求出点的坐标，再由，数形结合求目标式最小值. 【详解】 设，依题意，， 即， 整理得， 与对照得 ，解得 ， 因此； 由，得在圆内， 在圆外， 于是，当且仅当共线时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 34．（25-26学年高二上·天津南开·期中）已知的三个顶点是，，. （1）求平分线所在直线的方程； （2）若直线经过点，且，到直线的距离相等，求的方程； （3）求外接圆的方程. 【答案】（1）     （2）或；     （3）      【分析】 （1）求得平分线所在直线的方向向量可求得角平分线的斜率，进而可求直线方程；（2）设的方程为，利用点到直线的距离可得，求解即可； （3）设圆的方程，代入点的坐标，求解即可. (1) 小问详解： 因为，，. 所以\vec {AB}=\left(-3,4\right),\vec {AC}=\left(-5,-12\right)， 所以与\vec {AB},\vec {AC}共线同向的单位向量为：\frac{\vec {AB}}{\left| \vec {AB}\right| }=\frac{1}{\sqrt{\left(-3\right)^{2}+4^{2}}}\cdot \left(-3,4\right)=\left(-\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right),\frac{\vec {AC}}{\left| \vec {AC}\right| }=\frac{1}{\sqrt{\left(-5\right)^{2}+\left(-12\right)^{2}}}\cdot \left(-5,-12\right)=\left(-\frac{5}{13},-\frac{12}{13}\right)， 所以平分线所在直线的方向向量为\frac{\vec {AB}}{\left| \vec {AB}\right| }+\frac{\vec {AC}}{\left| \vec {AC}\right| }=\left(-\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)+\left(-\frac{5}{13},-\frac{12}{13}\right)=\left(-\frac{64}{65},-\frac{8}{65}\right)， 所以平分线的斜率为， 所以平分线所在直线的方程为，即； (2) 小问详解： 当直线的斜率存在时，设其方程为，即， 因为，到直线的距离相等，所以， 解得，解得或， 所以直线方程为或， 即或； 当直线的斜率不存在时，直线方程为，可得，到直线的距离不相等， 综上所述：的方程为或； (3) 小问详解： 设外接圆的方程为， 则 ，即 ，解得 ， 所以外接圆的方程为. 35．（25-26学年高二上·江苏苏州·期中）已知圆，点是圆上一动点，点是平面直角坐标系中一点，动点满足. （1）若，点的坐标为，求动点的轨迹方程； （2）若，点为圆上的动点.试问：是否存在定点恒在动点的轨迹上？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若，，记为动点在时轨迹的面积，求满足对任意恒成立的最小正整数. 【答案】（1）     （2）存在，     （3）2      【分析】 （1）设，再根据，得到代入圆即可求轨迹方程； （2）设，，则，再代入得到的轨迹方程即可证明； （3）设，，则，进而得到的轨迹方程且，再根据进行放缩求和即可． (1) 小问详解： ，设，则 代入圆得：，即 即动点的轨迹方程为：； (2) 小问详解： ，设，，则 ，分别在圆和圆上，则 整理可得的轨迹方程为. 显然恒过定点，故； (3) 小问详解： 时，，设，，则 代入圆得： 即的轨迹方程为：，则 ，则，故 时，，故 所以，因此最小正整数的值为2． 考点05 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．（25-26学年高二上·广东清远·期中）圆与圆的位置关系为（       ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 【答案】B 【分析】 根据圆心距与半径的关系判断. 【详解】 由题意，圆，则圆心，半径， 圆，则圆心,半径， 所以两圆圆心距，所以两圆外切. 故选：B. 2．（25-26学年高二·安徽·期中）（多选）已知圆的半径为2，则下列说法正确的是（     ） A.  B. 点在圆的外部 C. 圆与圆外切 D. 当直线平分圆的周长时， 【答案】ABC 【分析】 由已知圆半径确定参数，即可判断A；由点与圆心的距离与半径的关系判断B；由圆心距与两圆半径和差关系判断C；由直线过圆心求参数判断D. 【详解】 根据题意得，解得，A正确． 由选项A可知，圆，圆心为，半径为2．因为，所以点在圆的外部，B正确． 圆的圆心为，半径为8，因为， 所以圆与圆外切，C正确． 若直线平分圆的周长，则直线过圆心，则，解得，D错误． 故选：ABC． 3．（25-26学年高二上·天津南开·期中）已知圆与圆交于、两点，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 两圆方程作差得到公共弦所在直线方程，再利用垂径定理及勾股定理计算可得. 【详解】 圆，即的圆心，半径； 圆，即的圆心，半径， 而，，则两圆相交，其公共弦所在方程为， 点到的距离， 所以. 故选：A 4．（25-26学年高二上·重庆部分·期中）已知圆，点，在圆上存在点，使得为钝角，则的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 设圆，在圆上存在点，使得为钝角，意味着点在圆内，等价于圆与圆相交，内切或内含，利用圆与圆的位置关系，列方程可得答案. 【详解】 如图，设圆，当圆上存在一点在圆内时，为钝角， 所以点在圆内，等价于圆与圆相交，内切或内含， ，得. 故选：B 5．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）（多选）已知圆和圆相切，则实数的值可以是（       ） A.  B.  C. 0 D.  【答案】ACD 【分析】 由圆的标准方程得两圆的圆心与半径，分两圆外切与内切两种情况讨论，利用圆心距与半径的关系列式求解即可． 【详解】 圆，圆心为，半径为1， 圆，圆心为，半径为5， 两圆心距离为， 当两圆外切时，有，解得； 当两圆内切时，有，解得. 综上所述，实数的值可以是或0. 故选：ACD. 6．（25-26学年高二上·北京大兴·期中）直线与圆的位置关系是（     ） A. 相切 B. 相交且过圆心 C. 相离 D. 相交且不过圆心 【答案】C 【分析】 求出圆心到直线的距离与半径比较大小，即可得到结论. 【详解】 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离. 故选：C. 7．（25-26学年高二上·江苏徐州·期中）过三点，，的圆交轴于，两点，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 设圆的方程为，代入点的坐标，求出，，，则圆的方程可得，令，即可得出结果． 【详解】 设圆的方程为， 则 ，，， ∴， 令，可得，  ，  ． 故选：D． 8．（2026·广西南宁·质量检测）已知直线与圆，则直线与圆的位置关系是（       ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 与的取值有关 【答案】C 【分析】 计算出圆心到直线的距离与半径长度相比较即得. 【详解】 由题意可得圆的圆心坐标为，半径， 圆的圆心到直线的距离， 因为，所以，则直线与圆相交. 故选：C. 9．（2026·吉林吉林·调研）圆与圆的公切线的条数是（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【分析】 先判断两个圆的位置关系，再求解公切线条数即可. 【详解】 设的半径为，的半径为， 由题意得，，，， 则， 可得两圆内切，即两圆的公切线条数为，故A正确. 故选：A 10．（25-26学年高二·安徽·期中）若直线与曲线仅有一个公共点，则实数k的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 首先确定曲线的形状，然后结合直线恒过定点考查临界情况结合图像即可确定实数的取值范围． 【详解】 曲线即， 即，表示为圆心，为半径的圆的上半部分， 直线即恒过定点， 作出直线与半圆的图象，如图， 考查临界情况： 当直线过点时，直线的斜率，此时直线与半圆有两个交点， 当直线过点时，直线的斜率，此时直线与半圆有1个交点， 当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离为1，且， 即，解得：，舍去）． 据此可得，实数的取值范围是． 故选：D． 11．（25-26学年高二上·山西期中学·期中）（多选）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证和思维方法等之中，揭示了数学知识的规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列结论正确的是（     ） A. 曲线所围成图形的周长是 B. 曲线所围成图形的面积是 C. 曲线上任意两点间距离的最大值为 D. 直线与曲线一定有两个交点 【答案】BC 【分析】 分类讨论去掉绝对值，作出曲线的图形，结合图形特点可求答案. 【详解】 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即； 其图象如图，    曲线所围成图形的周长为四个半径相同的半圆的周长之和，，A错误； 曲线所围成图形的面积为四个半圆的面积与边长为的正方形的面积之和， ，B正确； 曲线上任意两点间距离的最大值为两个半径与正方形的边长之和，此时最大值为，C正确； 恒过定点，而恰好在曲线上， 当直线与曲线在处相切时，不可能有两个公共点，D错误. 故选：BC 12．（25-26学年高二上·云南普洱·期中）设，，直线经过圆C：的圆心，则的最小值为（     ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】A 【分析】 由题意得到，再由基本不等式乘1法即可求解. 【详解】 由可得圆心坐标， 由题意，即， 所以， 当且仅当时，取等号， 所以的最小值为4， 故选：A 13．（25-26学年高二上·云南普洱·期中）如图，圆C的部分圆弧在如图所示的网格纸上（小正方形的边长为1），图中直线与圆弧相切于一个小正方形的顶点，若圆C经过点，则圆C的半径为（     ） A. 8 B.  C. 10 D.  【答案】B 【分析】 根据图象求得切点，结合圆经过点，求得圆的半径. 【详解】 由图可知，直线过点，所以直线方程为， 即，斜率为. 由切点为，而在圆上， 所以圆心的纵坐标为. 设圆心坐标为， 则，解得， 所以圆心坐标为. 所以半径为. 故选：B 14．（25-26学年高二上·江苏苏州·期中）（多选）已知直线，圆（       ） A. 对任意实数，直线恒过定点 B. 对任意实数，直线与圆相交，且被圆截得弦的长度最小值是4 C. 存在实数，使得直线分圆所得弧长之比为 D. 存在实数，使得圆上有3个点到直线的距离为1 【答案】ACD 【分析】 将直线化为，即可求出直线恒过的定点，判断A；判断直线过的定点在圆内，结合额圆的结合性质以及弦长公式可判断B；由题意可确定劣弧所对圆心角为，求出此时弦长，结合B的分析可判断C；由题意可得圆心到直线距离为，结合圆心到直线的距离，比较大小，即可判断D. 【详解】 直线即， 令 ，解得 ， 所以直线过定点，故A正确； ，故定点在圆内，直线与圆相交， 设，由圆的几何性质，当直线与垂直时，弦长最小， ，则最小弦长为，故B错误 对于C，若直线分圆所得弧长之比为1:3，则劣弧所对圆心角为， 此时弦长为，而，故这样的直线是存在的， 存在实数满足条件，故C正确 对于D，圆半径为，若圆上有3个点到直线的距离为1， 则圆心到直线距离为，圆心到直线的距离， 而，存在实数满足条件，故D正确 故选：ACD. 15．（25-26学年高二上·重庆部分·期中）（多选）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值可以是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】BCD 【分析】 先求得圆心到直线的距离，再由，求解即可. 【详解】 圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 依题意得，即， 解得，. 故选：BCD 16．（25-26学年高二上·重庆部分·期中）直线l：被圆C：截得的弦AB的长为（       ） A. 4 B.  C.  D. 2 【答案】A 【分析】 利用圆的弦长公式求解即可. 【详解】 由题意得圆心，半径 ， 圆心到的距离为， 所以. 故选：A 17．（25-26学年高二上·重庆部分·期中）若直线与曲线只有一个公共点，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由题意作图，结合图象求得边界线得方程，可得答案. 【详解】 由曲线，整理可得， 则曲线为圆心、半径的圆的上半部分，如下图： 由图可得直线与圆相切，则，解得， 由图可得直线的方程为；； 由图可得直线过，可得方程； 由图可得直线过，可得方程. 由图可得. 故选：A. 18．（25-26学年高二上·江西景德镇·期中）已知直线，圆，若直线与圆交于M，N两点，则的最小值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据直线方程确定其所过的定点，再判断定点与圆的位置关系，结合直线与圆相交弦长最小时定点与圆心连线与l垂直，最后应用几何法求弦长. 【详解】 由题知即， 令 & \{\begin{array}{c} x-2=0\\ x-y-1=0 \end{array} 得 & \{\begin{array}{c} x=2\\ y=1 \end{array} ，所以直线l &过定点， 而圆，圆心为，半径为， 所以& (2-1)^{2}+(1+2)^{2}=10< 16，即定点在圆C内， 所以定点与圆心的距离， 要使\left| MN\right| &最小，即定点与圆心的连线与l &垂直，此时\left| MN\right| = & 2\sqrt{r^{2}-d^{2}}=2\sqrt{6}. 故选：D. 19．（25-26学年高二上·江西景德镇·期中）已知圆与圆恰有一条公切线，则实数的最大值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由题知圆与圆内切，进而得，再结合不等式求解即可. 【详解】 将圆的一般方程化为标准方程得： 圆，即圆心为，半径为； 圆，即圆心为，半径为； ∵圆与圆恰有一条公切线， ∴圆与圆内切， ∴，即， ∴， ∴由不等式得，即，当且仅当时等号成立， ∴实数的最大值为. 故选：C 20．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）若圆上恰有三点到直线的距离为2，则的值为（　　） A.  B.  C.  D. 2 【答案】C 【分析】 圆的圆心，半径，由圆上恰有三点到直线的距离为2，得到圆心到直线的距离为1，由此能出的值． 【详解】 由得，所以圆心，半径， 因为圆上恰有三点到直线的距离为2， 所以圆心到直线的距离为1， 即，解得， 故选：C． 21．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）过点的直线与曲线有两个交点，则直线斜率的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由题知曲线是以为圆心，1为半径的半圆，结合图形，利用过两点直线的斜率和直线与圆的位置关系，即可求解. 【详解】 由题意易知直线的斜率存在且不为0，设直线， 曲线是以为圆心，1为半径的半圆（如图所示）， 设曲线的下端点为，要使与曲线有两个交点，则应位于直线和切线之间，所以， 因为，易知， 又与曲线相切，由，解得，所以， 所以直线斜率的取值范围为. 故选：B. 22．（25-26学年高二上·江苏南京·期中）若圆上存在点，其关于轴的对称点在圆上，则的取值范围为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 求出圆关于轴的对称圆的方程，与圆的圆心距为，即，即可得到答案. 【详解】 圆关于轴的对称圆为圆，其方程为， 根据题意，圆与圆有交点，又圆与圆的圆心距为， 要满足题意，只需，解得      故选：A. 23．（25-26学年高二上·江苏南通·期中）（多选）已知圆与圆，则（       ） A. 圆心距 B. 两圆的公共弦所在直线的方程为 C. 两圆的公共弦长为 D. 直线是两圆的一条公切线 【答案】ABD 【分析】 根据圆的方程确定圆心坐标后计算圆心距，可得A;两圆方程相减得出公共弦所在直线方程，再在其中一个圆中计算公共弦弦长可判断B,C;计算两个圆到给定直线的距离是否分别等于各自半径，可判断D. 【详解】 根据两圆方程，可知圆的圆心坐标,半径,圆的圆心坐标,半径. 对于A：,故A正确； 对于B：由A可知，,因此两圆相交.两圆的公共弦所在直线方程可由两圆方程相减得到，即将减去, 得到,整理化简得,故B正确； 对于C：两圆相交，存在公共弦，在其中一个圆中计算该弦长即可.圆心到公共弦的距离,故弦长,故C错误； 对于D：圆心到直线的距离,圆心到直线的距离,故直线是两圆的一条公切线，故D正确. 故选：ABD. 24．（25-26学年高二上·江苏徐州·期中）已知直线与相交于点P，点Q在圆上，则（       ）． A. 有最大值 B. 有最大值 C. 有最小值 D. 有最小值 【答案】A 【分析】 先求出两直线所过的定点，进而确定交点的位置，再结合圆的性质求出的最值. 【详解】 对于直线，可变形为. 令 ，解得 ，所以直线恒过定点. 对于直线，可变形为. 令 ，解得 ，所以直线恒过定点. 因为，所以，已知，，则中点坐标为. ，所以半径. 则点的轨迹是以AB为直径的圆的一部分，故点P的轨迹为， 已知圆的圆心，半径，则圆心与点轨迹圆的圆心的距离为. 的最大值为圆心加上两圆半径，即. 由于轨迹不包含点，故不存在最小值. 故选：A． 25．（25-26学年高二上·江苏徐州·期中）（多选）已知圆：，直线：，则（       ） A. 直线与圆的轨迹一定相交 B. 直线与圆交于两点，则的最大值为 C. 圆上点到直线距离的最大值为 D. 当时，则圆上存在四个点到直线的距离为1. 【答案】AD 【分析】 确定直线过定点，点在圆内，A正确，当时，最大，计算得到B错误，最大值为，C错误，确定直线过圆心，，D正确，得到答案. 【详解】 圆：，圆心，半径， 直线过定点，， 对选项A：，点在圆内，故直线与圆一定相交，正确； 对选项B：当过圆心时，最大为，错误； 对选项C：圆上点到直线距离的最大值为，错误； 对选项D：直线：，圆心在直线上，， 故圆上存在四个点到直线的距离为1，正确； 故选：AD 26．（25-26学年高二上·天津河东·期中）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（       ） A. 若点在圆上，则圆关于直线对称 B. 若点在圆外，则圆上存在两个点到直线的距离为 C. 若点在直线上，则直线与圆相交于两点 D. 若点在圆内，则直线与圆相离 【答案】D 【分析】 对A：计算可得该直线不过圆的圆心，即可得；对B：当圆的圆心到直线的距离时不符；对C：可得，结合直线与圆位置关系，计算出圆的圆心到直线的距离即可得；对D：可得，结合直线与圆位置关系，计算出圆的圆心到直线的距离即可得. 【详解】 对A：圆的圆心为， 有，故直线不过圆的圆心， 故直线不是圆的对称轴，故A错误； 对B：由点在圆外，则， 则点到直线的距离为， 但当时，有此时圆上有四个点到直线的距离为，故B错误； 对C：若点在直线上，则有，即， 则点到直线的距离为， 故直线为圆切线，故C错误； 对D：若点在圆内，则， 则点到直线的距离为， 则直线与圆相离，故D正确. 故选：D. 27．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）为直线上任意一点，过总能作圆的切线，则的最大值为（       ） A. 1 B.  C.  D. -1 【答案】A 【分析】 根据题意，判断点与圆的位置关系以及直线与圆的位置关系，根据直线与圆的位置关系，即可求得的最大值. 【详解】 因为过总能作圆的切线， 所以直线与圆相离或相切， 所以，即，解得， 故的最大值为. 故选：A 28．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）已知圆：上恰有两个点到直线：的距离等于1，则b的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先判断圆心到直线的距离，利用距离公式列不等式即解得参数的取值范围. 【详解】 圆：的圆心是，半径， 而圆：上恰有两个点到直线：的距离等于1， 所以圆心到直线的距离，满足， 即，解得或. 故选：D. 29．（25-26学年高二上·广东清远·期中）已知直线，若直线与圆交于两点，则的最小值为（       ） A.  B. 2 C.  D. 4 【答案】C 【分析】 先求出直线所过的定点，再根据时取得最小值结合圆的弦长公式即可得解. 【详解】 直线，即， 令 ，解得 ， 所以直线过定点， 圆的圆心，半径， 因为， 所以点在圆内， 则圆心到直线的距离（时取等号）， 所以（时取等号）， 所以的最小值为. 故选：C. 30．（25-26学年高二上·甘肃陇南·期中）（多选）已知点与圆：，则下列说法正确的有（     ） A. 点在圆上 B.  C. 若AP与圆相切于点，则 D. 若圆A与圆相切，则圆的半径为 【答案】BC 【分析】 对于A选项，根据点到点距离与圆的半径判断即可；于选项B，根据，两点间的距离公式求解即可；对于选项C，根据直线与圆相切，可判断，再根据勾股定理求解即可；对于选项D，圆A与圆相切，分两圆相外切与内切进行讨论即可. 【详解】 已知圆：，所以圆的标准方程为：， 对于选项A，，圆心，半径，根据两点间的距离公式，所以点不在圆上，故A错误； 对于选项B，由A选项可知，，故B正确； 对于选项C，若AP与圆相切于点，所以，所以，，故C正确； 对于D选项，圆A与圆相切，若圆A与圆相外切，则圆的半径为，若圆A与圆相内切，则圆的半径为，故D错误. 故选：BC. 31．（25-26学年高二上·云南普洱·期中）（多选）已知圆：，圆：（）交于不同的，两点，下列结论正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】ACD 【分析】 利用圆的公共弦所在直线方程可判定A，D，利用圆半径相同，再根据圆的性质判定圆心连线与公共弦垂直且平分，利用中点坐标公式可判定B，C. 【详解】 圆和圆交于不同的两点，， ∴两圆方程相减可得直线的方程为：， 即，分别把点，两点坐标代入 得：，， 上面两式相减得：， 即，所以选项A正确； 由上得：，所以选项D正确； ∵两圆的半径相等，∴由圆的性质可知，线段与线段互相平分， 则有，， 变形可得，，故C正确，B错误. 故选：ACD 32．（25-26学年高二上·江西景德镇·期中）（多选）在平面直角坐标系xOy中，圆，点为直线：上一动点，则（     ） A. 圆上有且仅有两个点到直线的距离为2 B. 已知点，圆上动点，则的取值范围是 C. 过点作圆的一条切线，切点为可以为 D. 过点作圆的两条切线，切点分别为M，N，则直线MN恒过定点 【答案】AD 【分析】 对A，转化为与直线距离为的两条直线与圆的交点个数即可；对B，由点与圆在直线的同侧，利用对称转化为异侧，则当四点共线时取最小值和最大值，且最小值为，最大值为，对C，求出最大值为，即最大为30°；对D，设点坐标，求出切点弦方程，不论如何变化，直线恒过定点. 【详解】 选项A，由题意知，圆心到直线的距离为，圆的半径为，由， 如图可知与直线平行且与直线距离为的其中一条直线与圆相交，有两个公共点， 另一条直线与圆相离，即圆上有且仅有两个点到直线的距离为，故A正确；    选项B，设点关于直线的对称点， 则 ，解得 ，即， 则， 当在直线无限远处时， 则，故B不正确； 选项C，由切点为，则在中，， 当最小时，取最大值，最大， 过点作，垂足为，此时最小，最小值为， 即最大值为，最大为30°，不可能为45°，故C错误；    选项D，设点，切点， 可得切线方程为，由点在切线上，得， 同理可得， 故点都在直线上， 即直线的方程为， 又由点在直线上，则， 代入直线方程整理得， 由 解得 ，即直线恒过定点，故D正确.    故选：AD. 33．（25-26学年高二上·北京大兴·期中）已知直线与直线相交于点，线段是圆的一条动弦，且，点是线段的中点，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先求出点轨迹，再求出点轨迹，利用圆与圆的位置关系结合两点间距离公式求出的取值范围． 【详解】 直线，整理得，则直线恒过定点， 同理，整理得，则直线恒过定点， ，， 点的轨迹为以为直径的圆，圆心，半径， 点不在直线上，点的轨迹方程为，不含点． 圆是以为圆心，半径的圆，圆与圆的位置关系如下图所示， 连接，，线段是动弦，为中点， ， 点的轨迹是以为圆心，半径是的圆，方程为， 圆心距， 剔除点，则，即． 故选：D． 34．（25-26学年高二上·天津河东·期中）已知点是直线和的交点，点是圆上的动点，则的最大值是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题通过分析直线过定点及垂直关系确定交点轨迹，再结合圆与圆的位置关系求距离最大值. 【详解】 整理，得，故过定点. 整理，得，故过定点. 因与垂直（因为），故的轨迹是以和为直径端点的圆. 圆心为两点中点：. 半径为两点距离的一半：. 即的轨迹方程为. 圆，其圆心，半径. 两圆心与的距离为. 的最大值为两圆心距离加上轨迹圆的半径和圆的半径， 即. 故选：C. 35．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）已知是圆：上的一个动点，且直线与直线交于点，则对于任意实数，的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 确定点的轨迹方程，由两圆的位置关系即可求解. 【详解】 对于直线，化简可得：，恒过点， 对于直线，化简可得：，恒过点， 又可知两直线垂直， 所以点在以为直径的圆上，圆心，半径， 方程为， 因直线恒过点，若交点为， 则点也应在另一条直线上，代入得，即，不成立， 故点的轨迹不包含点， 当时，直线与直线交于点， 所以点轨迹方程为， 则圆和圆，易知相离，两圆圆心距为， 的距离下限为，在时取得， 但因点的轨迹不包含点，故该值无法取到， 最大值为，当取最大值， 所以的取值范围是， 故选：A 36．（25-26学年高二上·广东清远·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为，圆，点为轴上一动点.现由点向点发射一道粗细不计的光线，光线经轴反射后与圆有交点，则的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 作点关于轴的对称点，方法一、利用直线与圆的关系计算圆心到反射光线的距离即可；方法二、利用反射光线与圆相切作临近值，借助两点距离公式、正切的和差角公式计算反射光线的斜率范围，再利用截距的意义计算即可. 【详解】 方法一：作点关于轴的对称点，则直线与圆有交点． 又，所以直线的方程为，即． 由题知圆的圆心为，半径为1， 直线与圆有交点，即圆心到直线的距离小于等于1， 所以，解得． 方法二：作点关于轴的对称点，则直线与圆有交点， 临界情况为直线与圆相切． 设切点为，令，易得， 所以． 因为直线的斜率为， 所以直线的斜率． 易得直线的方程为．所以．    故选：A 【点睛】 思路点睛：对于光线的反射问题一般作对称点由入射光线得出反射光线所在直线，再利用直线与圆的位置关系计算即可，法二、计算反射光线与圆相切时的斜率从而得出反射光线的斜率范围，再结合直线的截距意义计算，计算略显复杂，但也是一种很好的方向. 37．（2026·吉林吉林·调研）过点作圆的切线，则切线方程为　　　　　　. 【答案】 【分析】 求出切点与圆心连线的斜率后可得切线方程. 【详解】 因为点在圆上，故切线必垂直于切点与圆心连线， 而切点与圆心连线的斜率为，故切线的斜率为， 故切线方程为：即. 故答案为：. 38．（25-26学年高二上·山西期中学·期中）已知直线与圆相交于两点，则　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 先求圆心到直线的距离，然后利用公式求解即可. 【详解】 由圆的圆心到直线的距离为： ， 又圆的半径为：， 所以. 故答案为： 39．（25-26学年高二上·江苏南通·期中）过点作圆的切线，则切线长为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 把圆的一般方程变形为圆的标准方程得出圆心坐标和半径，再根据勾股定理求解即可. 【详解】 方程可化为，圆心，半径， 所以切线长为. 故答案为： 40．（25-26学年高二上·北京大兴·期中）已知圆与圆有4条公切线，则实数可以取的一个值为　　　　　　. 【答案】3（答案不唯一） 【分析】 由两圆有4条公切线得两圆外离，列出不等式求解即可. 【详解】 由题可得，圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， 因为两圆有4条公切线，所以两圆外离， 所以，即，解得或， 所以实数可以取的一个值为. 故答案为：3.（答案不唯一） 41．（25-26学年高二·安徽·期中）已知圆的圆心为，且过点,点在斜率为的直线上． （1）求圆的标准方程； （2）若直线与圆交于两点，且,求直线的方程； 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）已知圆心和圆上一点即可求半径，继而得解； （2）先设出直线的点斜式，已知弦长，可根据垂径定理求出圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式列出方程求解出,即可得解. (1) 小问详解： 设圆, 由圆过点,可得,解得， 所以圆的标准方程为． (2) 小问详解： 设直线,圆心到的距离, 因为,所以,整理得, 所以或, 所以直线的方程为或． 42．（25-26学年高二·安徽·期中）由直线上任一点向圆引切线，切点为，，则四边形面积的最小值为 　　 ． 【答案】1 【分析】 由切线的性质计算得出，设的坐标为，由切线长表示出，由二次函数求得最小值即可. 【详解】 根据题意，圆的圆心为，半径， 由直线上一点向圆引两条切线，切点为、， 则，，且， 可得， 设的坐标为， 则， 当时，， 则的最小值为1． 故答案为：1. 43．（25-26学年高二上·山东青岛·期中）圆与圆的公切线的条数为　　　　　. 【答案】2 【分析】 先判断两个圆的位置关系，再求解公切线条数即可. 【详解】 对于圆，可得圆心为，半径为， 对于圆，可得圆心为，半径为， 由两点间距离公式得圆心之间的距离为， 而，则两圆相交， 可得两圆的公切线条数为2. 故答案为：2 44．（25-26学年高二上·云南普洱·期中）一动点到两定点距离的比值为非零常数，当时，动点的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆已知两定点、的坐标分别为：、，动点满足． （1）求动点的阿波罗尼斯圆的方程； （2）过作该圆的切线，求的方程． 【答案】（1）；（2）或． 【分析】 （1）设，直接用坐标表示并化简即可； （2）分类斜率不存在和斜率存在，斜率存在时设出直线方程，由圆心到切线距离等于半径求得参数，得切线方程． 【详解】 （1）设动点坐标为，则，， 又知，则，得． （2）当的斜率存在为时，则的方程为：，与圆相切， 则，得：， 此时的方程为：； 当的斜率不存在时，此时的方程为：， 综上：的方程为或． 【点睛】 本题考查求圆的方程，考查求圆的切线方程．求圆的方程采取直接法，即把已知关系用坐标表示化简即可，而求圆的切线方程必须分类讨论，即分斜率不存在和斜率存在两类，斜率存在时设出切线方程，由圆心到切线距离等于半径求参数． 45．（25-26学年高二上·云南普洱·期中）过圆内的点作一条直线，使它被该圆截得的线段最短，则直线的方程是　　　　　　． 【答案】 【分析】 由已知得圆的圆心为，所以当直线时，被该圆截得的线段最短，可求得直线的方程. 【详解】 解：由得，所以圆的圆心为， 所以当直线时，被该圆截得的线段最短，所以，解得， 所以直线l的方程为，即， 故答案为：. 46．（25-26学年高二上·江苏苏州·期中）已知圆，圆. （1）判断并证明圆，圆的位置关系； （2）若两圆与相交于，两点，满足，则称圆与圆正交.现有动圆与圆，圆均正交，自引动圆的切线.求证：切线长是定值. 【答案】（1） 两圆内含. 证明：因为圆圆心，半径，圆圆心，半径， 圆心距，所以两圆内含.     （2） 证明：设动圆圆心，半径为，动圆与圆交于，两点，由题意有， 所以，即， 动圆与圆交于，两点， 同理可得，即，故， 则有整理得，即圆心， 所以半径， 自引动圆的切线，切线长， 所以切线长是定值. 【分析】 （1）求出圆心距即可判断两圆的位置关系. （2）设出动圆的圆心和半径，根据 “两圆正交” 的定义，分别列出动圆与圆，圆正交的方程； 联立方程，消去半径，推导出圆心的轨迹方程；利用切线长公式，结合圆心轨迹方程，计算从引动圆的切线，即可证明其为定值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 47．（25-26学年高二上·江苏苏州·期中）过点的直线与圆相交于，两点，且.请写出满足要求的一条直线的方程：　　　　　　　　　　　. 【答案】或.（写出其中一个即可） 【分析】 讨论直线的斜率是否存在，斜率存在时，设出直线方程，结合弦长公式即可求出直线斜率，即可得答案. 【详解】 由题意知过点的直线与圆相交于，两点， 当直线的斜率不存在时，直线方程为，代入中， 可得，即坐标为，此时，符合题意； 当直线的斜率存在时，设方程为，即， 设圆心O到直线l的距离为d，则， 由，圆的半径可得，即，解得， 故，解得， 故直线l的方程为，即， 故答案为：或.（写出其中一个即可） 48．（25-26学年高二上·重庆部分·期中）已知直线，圆. （1）证明：过定点. （2）若与圆相切，求的方程. （3）若点在圆上，求的取值范围. 【答案】（1） 由题意得. 由 得 所以过定点.     （2） 或     （3）       【分析】 （1）整理的方程，通过解方程组求得定点坐标. （2）结合与圆相切，利用点到直线的距离公式（或对直线的斜率进行分类讨论）来求得直线的方程. （3）将问题转化为点和圆的位置关系，由此求得的取值范围. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 法一： 由题意得圆的圆心为，半径为1. 由，得或1. 故的方程为或. 法二： 由题意得圆的圆心为（0，1），半径为1. 当的斜率不存在时，直线与圆相切. 当的斜率存在时，设，即. 由，得，则. 故的方程为或. (3) 小问详解： 由题意得， 表示点到点的距离的平方. 因为， 所以1. 故， 即的取值范围为. 49．（25-26学年高二上·江西景德镇·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知，若圆上存在点满足，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据给定信息求出点的轨迹方程，再由两圆有公共点列出不等式求解. 【详解】 设，由，得， 整理得，即点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆， 又点在圆，即两圆有公共点，因此，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 50．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，M是线段AB的中点， （1）求点M的轨迹方程； （2）记（1）中所求轨迹为曲线C，过定点的直线l与曲线C交于P，Q两点，曲线C的中心记为点C，求面积的最大值，并求此时直线l的方程． 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）设点，根据题意得到，代入圆，即可求解； （2）根据题意，设直线，求得圆心到直线的距离为，得到，结合基本不等式，求得最小值，进而求得直线的方程. (1) 小问详解： 解：设点，由点的坐标为，且是线段的中点， 则 ，可得，即， 因为点在圆上运动，所以点点坐标满足圆的方程， 即，整理得， 所以点的轨迹方程为. (2) 小问详解： 解：过点定点的直线与曲线交于两点，则直线的斜率一定存在且不为， 设直线，即， 则圆心到直线的距离为， 又因为， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以时，取得最大值，此时，解得或， 所以取得最大值，此时直线的方程为或. 51．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）在平面直角坐标系中，圆的方程为，斜率为的直线过点且与圆相交于，两点.若\vec {CA}\cdot \vec {CB}=-\frac{25}{2}，则所有满足条件的直线的斜率之积为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由题结合\vec {CA}\cdot \vec {CB}=-\frac{25}{2}，可得，圆心到直线的距离为，设直线的方程为，由点到直线距离公式并化简后可得，然后由韦达定理可得答案. 【详解】 如图，由题意得，圆心，半径， 由\vec {CA}\cdot \vec {CB}=\left| \vec {CA}\right| \left| \vec {CB}\right| \cos \angle ACB=-\frac{25}{2}，且\left| \vec {CA}\right| =\left| \vec {CB}\right| =r=5， ，即， 设圆心到直线的距离为，由垂径定理可得，即， 由题意知直线的方程为，即， 所以圆心到直线的距离， 化简整理得，则， 所以设方程的两根分别为，则. 故答案为：. 52．（25-26学年高二上·江苏南京·期中）已知圆的圆心在直线上，且圆与轴的交点分别为． （1）求圆的方程； （2）过点的直线交圆于另一点，连接．若，求直线的方程． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）首先求出的中垂线方程为，联立 ，再求半径即可得到答案. （2）首先根据，得到在线段的中垂线上，从而得到，即可得到答案. (1) 小问详解： ，则的中垂线方程为， ，. 则圆 (2) 小问详解： 如图所示： 因为，所以在线段的中垂线上， 又因为线段的中垂线过，， 则，，整理得： 53．（25-26学年高二上·天津河东·期中）圆与圆的公共弦的弦长为　　　　　． 【答案】 【分析】 确定两圆圆心及其半径后可得两圆相交，将两圆方程作差则可得公共弦的方程，再借助点到直线距离公式及垂径定理计算即可得解. 【详解】 由可得，故该圆以为圆心，为半径， 由可得， 故该圆以为圆心，为半径， 两圆心距离为， 两圆半径之和为，两圆半径之差为， 由，故两圆相交， 将两圆方程作差得，即， 即两圆公共弦的方程为， 点到的距离为， 则两圆公共弦的弦长为. 故答案为：. 54．（25-26学年高二上·宁夏自治区银川·期中）已知圆C经过原点和点，且圆心在轴上. （1）求圆C的方程： （2）若直线l交圆于，两点，且三等分圆周，求直线的方程. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先求线段的垂直平分线，与轴相交得圆心，为半径，可确定圆的方程. （2）根据条件确定的长，转化为两圆的公共弦所在直线方程求解. (1) 小问详解： 线段的垂直平分线方程为： . 与轴的交点为，即为所求圆的圆心，圆的半径为. 所以方程为：. (2) 小问详解： 因为三等分圆周，所以为的内接等边三角形， 所以. 以为圆心，为半径的圆的方程为. 所以直线的方程为：， 即. 55．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线：上. （1）求圆C的方程； （2）求直线被圆C所截得的弦长. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）法一：设圆的标准方程，结合点，在圆上，列出等式求解即可；法二，易知圆心在上，求得中垂线方程，联立两直线，可得圆心坐标，进而可得圆的方程； （2）由弦长公式即可求解. (1) 小问详解： 法一：设圆C的方程为， 依题意得， 解得，，. 所以圆C的方程为. 法二： 设线段的垂直平分线为直线m， 则C既在直线m上，又在直线上. 因为的中点为即（2，2）， 直线的斜率为， 所以直线m的斜率为-1. 所以直线m的方程为， 即. 联立 ，解得 . 所以点C坐标为. 又因为圆的半径为， 所以圆C的方程为. (2) 小问详解： 因为圆心到直线的距离 设直线与圆C交于M，N两点， 由垂径定理得，弦长. 56．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）已知点，点在圆：上，则的最大值为　　　　　　　；若与圆相切，则切线的方程为　　　　　　　. 【答案】①     ② 或 【分析】 利用点与圆的位置关系计算可得第一空；利用直线与圆的位置关系结合点到直线的距离公式分类讨论计算即可得第二空. 【详解】 易知点A在圆C外，且， 即圆心，半径，， 则，即； 则的最大值为， 若直线斜率不存在，即， 此时圆心C到直线的距离等于半径，满足题意； 若直线斜率存在，不妨设其方程为：， 则圆心C到直线的距离，解得， 此时直线方程为. 故答案为：；或 57．（25-26学年高二上·甘肃陇南·期中）已知点，，动点到点的距离是到点的距离的3倍，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）若直线与曲线交于M，N两点．求的值； （3）已知动点在直线上，过点作曲线的两条切线，，切点分别为C，D，直线CD是否过定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由． 【答案】（1）；     （2）；     （3）.      【分析】 （1）设，根据两点距离公式得到方程，化简即可； （2）先求出圆心到直线的距离，再由垂径定理求解即可. （3）由题意可得在以为直径的圆上，求出以为直径的圆的方程，进而求出公共弦所在直线的方程，进而可得出结论. (1) 小问详解： 由题意得，所以. 设，因为点，， 所以，化简得. 所以曲线的方程为. (2) 小问详解： 由（1）知，曲线是圆心为，半径的圆， 所以圆心到直线的距离为：， 根据垂径定理可得：. 的值为. (3) 小问详解： 圆的圆心，半径， 因为点为直线上一动点，则可设， 因为都是圆的切线， 所以，所以也在以为直径的圆上， 以为直径的圆的圆心为， 半径为， 所以以为直径的圆的方程为， 即①， 化为②， 由② ①整理得， 所以直线的方程为， 即， 令 ，解得 ， 所以直线过定点. 58．（2026·吉林吉林·调研）已知圆M经过点，，且_______． （1）求圆M的标准方程； （2）若直线与圆M相交于P，Q两点，求． 要求：从①过点，②圆心M在直线上这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并给出解答．如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）     （2）4      【分析】 （1）选① ，设出圆的标准方程或一般方程，根据已知条件列方程，由此求得圆的标准方程.选② ，先求得线段垂直平分线的方程，通过联立方程组求得圆心的坐标，进而求得圆的半径，从而求得圆的标准方程. （2）利用点到直线的距离公式以及圆的弦长公式求得.或通过联立方程组的方法，求得两点的坐标，进而求得. (1) 小问详解： 选① （法一）: 设圆的标准方程为． 由题意可得 解得 圆的标准方程为． （法二）: 设圆的一般方程为． 由题意可得 解得 圆的一般方程为， 即圆的标准方程为． 选② （法一）: 由题意可得中点为， 线段的垂直平分线为，即． 圆心在直线上，联立 解得 即圆心． 圆的半径， 圆的标准方程为． （法二）: 设圆心，， 整理得圆心． 圆的标准方程为． (2) 小问详解： （法一） 由（1）知，圆心到直线的距离． 圆的半径，． （法二） 联立直线方程与圆的方程，解得 和 ， 所以，由两点间距离公式得． 59．（25-26学年高二上·山西期中学·期中）在平面直角坐标系中，定义为两点的“棋盘距离”（源自国际象棋中王的走法规则，又名“切比雪夫距离”）．已知圆，圆，且． （1）判断圆与圆的位置关系； （2）若直线与圆交于两点，圆与轴交于两点．求证：直线与的交点在定直线上． 【答案】（1）相交     （2） 由（1）得圆， 由 得 ， 直线的方程为，直线的方程为， ， ， 直线与的交点在定直线上． 【分析】 （1）利用圆的标准方程得出圆心坐标及半径，结合新定义判断关系即可； （2）根据（1）的结论得出坐标，联立直线与圆的方程，利用韦达定理得出相应坐标关系式，并含参表示两直线与的方程，作商计算交点横坐标即可. (1) 小问详解： 易得圆的标准方程为，其半径， ， 或（舍去），圆的圆心为，半径为， ， 圆与圆相交； (2) 小问详解： 略 60．（25-26学年高二上·天津南开·期中）设点是：上的动点，点是直线：上的动点，记，则的最小值是　　　　　　. 【答案】 【分析】 先设，进而转化为，再由柯西不等式可得最小值. 【详解】 设，则. 因为，即，当且仅当时等号成立. 因点在：上，由柯西不等式得： ，得，当且仅当时等号成立. 又点是直线：上，所以. 所以 所以，当且仅当时等号成立. 由，得，即. 由 ，解得，由可得，，此时时等号成立. 故答案为：. 61．（25-26学年高二上·天津南开·期中）已知点，，动点满足. （1）求点的轨迹的方程； （2）过直线上一点作的切线，切点分别为，，求证：直线过定点； （3）过坐标原点作两条互相垂直的直线分别交曲线于点，和，，求的最大值. 【答案】（1）；     （2） 由（1）知，点的轨迹是以为圆心，3为半径的圆． 设的坐标为，则． 由平面几何知识知，， 所以以为圆心，为半径的圆为， 即， 与的方程相减得，即为直线的方程． 又，所以直线的方程化为． 则有 ，解得 ，则直线恒过定点．     （3）.      【分析】 （1）设，根据两点距离公式得到方程，化简即可； （2）设的坐标为，根据得到的轨迹方程，将其与的方程作差即可得到直线方程，整理即可得到其过定点； （3）设的方程为，将其的方程联立，利用韦达定理法，计算出的表达式，用替换即可得到表达式，最后得到，最后利用截距法求出最值即可. (1) 小问详解： 设，由得，， 化简得，， 所以点的轨迹的方程为． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 当直线与直线垂直时，此时， 当直线过圆心时，此时， 则根据弦长的连续性可知． 当直线的斜率不存在或为0时，． 当直线的斜率存在且不为0时，设的方程为，则的方程为． 联立 得，， 设，则， 则 用替换得． 所以． 设，则，且， 其图象为一段圆弧．当时， 令，即直线， 作出图形，由图可知，当直线过时，有最大值为． 62．（25-26学年高二上·重庆部分·期中）已知点，O为坐标原点，动点满足，记点的轨迹为曲线. （1）求的标准方程. （2）若直线与交于，两点，求的最大值. （3）过点的动直线与交于，两点，试问轴上是否存在点，使得\vec {BP}\cdot \vec {BQ}为定值?若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）     （2）& \sqrt{14}     （3）存在；      【分析】 （1）根据题目条件直接列等式，即可求出轨迹方程； （2）利用弦长公式表示，结合函数单调性求解； （3）先设坐标为& (b,0)，联立韦达定理，通过\vec {BP}\cdot \vec {BQ}为定值写出方程，化简求解即可. (1) 小问详解： 设动点，则，& \left| TO\right| =\sqrt{x^{2}+y^{2}}， 而，故& \sqrt{(x+3)^{2}+y^{2}}=2\sqrt{x^{2}+y^{2}}，化简得：， 故的标准方程为. (2) 小问详解： 设，， 联立 得：， 故& x_{1}+x_{2}=\frac{2}{1+k^{2}},x_{1}\cdot x_{2}=\frac{-3}{1+k^{2}}， 根据弦长公式得： ， 令& k^{2}=t，& t\in [1,4]，        故\left| EF\right| = & 2\sqrt{\frac{4+3t}{1+t}}=2\sqrt{3+\frac{1}{1+t}}， 设，易知f(t) &在& t\in [1,4]上单调递减，故当& t=1 &，f(t) &最大， 即 \left| EF\right| &最大，此时，故（舍）或， 故\left| EF\right| &最大值为\left| EF\right| & _{\max }=2\sqrt{3+\frac{1}{1+1}}=\sqrt{14}. (3) 小问详解： 设点坐标为& (b,0)，，，过点的动直线为：. 联立 得：， 故& x_{3}+x_{4}=\frac{2}{1+m^{2}},x_{3}\cdot x_{4}=\frac{-3}{1+m^{2}}， \vec {BP}=\left( & x_{3}-b,y_{3}\right)，\vec {BQ}=\left( & x_{4}-b,y_{4}\right)， 又，位于过点的动直线： 上， 故\vec {BP}=\left( & x_{3}-b,mx_{3}\right)，\vec {BQ}=\left( & x_{4}-b,mx_{4}\right). 则\vec {BP}\cdot \vec {BQ}=\left(x_{3}-b\right)\left(x_{4}-b\right)+m^{2}x_{3}x_{4}=\left(1+m^{2}\right)x_{3}x_{4}-b\left(x_{3}+x_{4}\right)+b^{2}， 将& x_{3}+x_{4}=\frac{2}{1+m^{2}},x_{3}\cdot x_{4}=\frac{-3}{1+m^{2}}代入上式， 得：\vec {BP}\cdot \vec {BQ}= & & \left(1+m^{2}\right)\left(\frac{-3 & }{1+m^{2}}\right)-b\cdot \frac{2 & }{1+m^{2}}+b^{2}=-3-\frac{2b & }{1+m^{2}}+b^{2}， 若使\vec {BP}\cdot \vec {BQ}为定值，则& -\frac{2b & }{1+m^{2}}+b^{2}必须为常数， 而且与无关，故此时只能为. 当直线的方程为时，\vec {BP}\cdot \vec {BQ}=-3也成立， 故存在点，使得\vec {BP}\cdot \vec {BQ}=-3，此时点坐标为. 63．（25-26学年高二上·江西景德镇·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点，圆与轴正半轴的交点为，过点的直线与圆交于不同的两点A，B. （1）直线与轴交于点，且\vec {DP}\cdot \vec {DQ}=36，求直线的方程； （2）设AB的中点为，若，求的面积； （3）设直线QA，QB的斜率分别为，请问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1）；     （2）或9；     （3）是定值，.      【分析】 （1）设出直线的方程，表示出点，再利用数量积的坐标表示列式求解并验证即得. （2）设出直线的方程，与圆的方程联立，利用韦达定理结合两点间距离公式求出直线的方程，进而求出三角形面积. （3）由（2）中信息，利用斜率坐标公式计算得证. (1) 小问详解： 圆的圆心为，半径，点，而， 显然直线的斜率存在，设其方程为，则， \vec {DP}=\left(3,3m\right),\vec {DQ}=\left(3,3m-6\right)，由\vec {DP}\cdot \vec {DQ}=36，得，解得或， 当时，直线：，圆心到直线距离，符合题意； 当时，直线：，圆心到直线距离，不符合题意， 所以直线的方程为. (2) 小问详解： 设直线的方程为，由 ，得， 设，则， 点，由，得， 整理得，即， 而点在直线上，即，因此，即或， 当时，，直线， 圆心到直线距离为， 到直线距离为，则面积为； 当时，，直线， 圆心到直线距离为， 到直线距离为，则面积为， 所以的面积为或9． (3) 小问详解： 由（2）知，，而，则， 于是 ， 所以是定值. 64．（25-26学年高二上·江苏南通·期中）已知曲线. （1）求曲线围成的平面图形的面积； （2）若是曲线上的两个动点，求的最大值； （3）是否存在直线与曲线至少有三个不同的公共点？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）     （2）     （3）不存在，理由如下： 当时，研究直线与曲线在第一象限的公共点. 联立 ，得（*）. 因为， 所以方程（*）只有一个正根，则直线与曲线在第一象限只有一个公共点. 同理，直线与曲线在第三象限也只有一个公共点. 因此，当时，直线与曲线只有两个公共点. 当时， 一方面，直线与曲线在第二象限的部分至多两个公共点. 另一方面，由 ，得（*）. 因为， 所以方程（*）无正根，即直线与曲线在第一象限无公共点. 同理，直线与曲线在第三象限无公共点. 所以当时，直线与曲线至多两个公共点. 所以时，直线与曲线至多两个公共点. 由对称性可知，时，直线与曲线也至多两个公共点. 综上，不存在直线与曲线至少有三个不同的公共点.      【分析】 （1）根据对称性，由三角形面积及扇形面积公式计算即可求解； （2）分都在第一象限（或坐标轴正半轴），不妨在第一象限（或坐标轴正半轴），在第二象限（或轴负半轴）时，不妨在第一象限（或坐标轴正半轴），在第三象限（或坐标轴负半轴）时，三种情况求解即可； （3）根据对称性，分，两种情况，讨论求解即可. (1) 小问详解： 曲线既关于两坐标轴成轴对称，又关于原点成中心对称. 当时，曲线方程为. 记圆心为，与轴分别交于两点， 则，过点作， 则， 所以， 所以. 所以， 所以，同理. 由对称性可知，曲线围成的平面图形的面积 . (2) 小问详解： 记曲线在第一象限的圆心为，第二象限的圆心为， 第三象限的圆心为､第四象限的圆心为. 情况1：不妨都在第一象限（或坐标轴正半轴），. 情况2：不妨在第一象限（或坐标轴正半轴），在第二象限（或轴负半轴）时， （当且仅当四点共线时等号成立），此时最大值为6. 情况不妨在第一象限（或坐标轴正半轴），在第三象限（或坐标轴负半轴）时， （当且仅当四点共线时 等号成立），此时最大值为. 综上，根据对称性可知最大值为. (3) 小问详解： 略 65．（25-26学年高二上·北京大兴·期中）已知直线，半径为2的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右侧. （1）求圆的方程； （2）若直线与圆相交于，两点，且，求实数的值； （3）若直线与圆交于，两点，对于任意直线，在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）     （2）     （3）存在，      【分析】 （1）设出圆心，根据直线与圆相切，得到圆心到直线的距离等于，确定圆心坐标，即可得圆的方程； （2）根据题意得圆心到直线的距离为1，利用点到直线的距离公式列方程，即可求解. （3）将直线的方程与圆的方程联立，韦达定理，结合，即可求出点的坐标. (1) 小问详解： 设圆心，由圆和直线相切， 所以，解得或（舍）， 所以圆的方程为. (2) 小问详解： 由题，圆心到直线的距离为， ，得. (3) 小问详解： 设存在点，，， 由 ，得， 则，，， 由，所以， ，即， 整理得，即，即， 当时，上式成立；当时，； 综上，当点的坐标为时，满足成立. 66．（25-26学年高二上·天津河东·期中）在平面直角坐标系中，圆，点为直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点为，，则直线恒过定点　　　　　． 【答案】 【分析】 先求得直线的方程，进而求得定点坐标. 【详解】 设点，因为在直线上， 所以满足，即. 因为、是圆的切线，切点为、， 所以，（为坐标原点）， 因此，、、、四点共圆，且该圆以为直径， 圆心坐标：,半径：， 圆的标准方程为：， 展开并整理得：， 圆与上述圆的公共弦为， 将两圆方程相减，得， 由，代入得： 整理为：， 要使该方程对任意恒成立，需令系数同时为0： ， 解得： ， 因此，直线恒过定点. 故答案为：        67．（25-26学年高二上·广东清远·期中）已知定点，，动点满足. （1）求动点的轨迹的方程； （2）过点作两条互相垂直的直线与，直线交曲线于，两点，直线交曲线于，两点，求四边形面积的最大值. 【答案】（1）     （2）7      【分析】 （1）设动点坐标为，根据题意列出等量关系并化简即可求得其轨迹方程； （2）讨论直线斜率是否存在，先求出其中一条直线斜率不存在时四边形的面积.再设出两条直线的方程，求出圆心到两直线的距离，由垂径定理求得两条弦长，然后得到四边形面积的表达式.先讨论当时的面积，再当时利用基本不等式求出其最大值.然后得出四边形的最大值. (1) 小问详解： 设动点的坐标为， 因为，，且， 所以， 整理得，即：， 所以动点的轨迹的方程为， (2) 小问详解： 当直线与轴重合时，，，， 当直线不与轴重合，设直线的方程为， 则直线的方程为， 设圆的圆心到直线和直线的距离分别为，，圆的半径为， 则，，， 所以， ， 所以， 当时，， 当时，， 当且仅当时等号成立， 综上所述，四边形面积的最大值为7. 【点睛】 本题考查了圆的方程与直线方程，在讨论动直线的时候需要考虑直线的斜率是否存在. 68．（2026·广西南宁·质量检测）已知圆经过两点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程. （2）已知斜率为的直线过点，且与圆交于两点，直线与直线交于点. ①记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：. ②试问点是否在定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，请说明理由. 【答案】（1）     （2）① 设直线. 由 整理得， 则， 故. 因为， 所以. 把代入上式， 得. ② 点在定直线上，理由如下： 直线的方程为，直线的方程为. 由 得. 因为，所以， 所以， 即，则，即点在定直线上.      【分析】 （1）设圆心的坐标为，可得，从而求出，利用圆心在直线，即可求出,得到半径，从而求得圆的标准方程 （2）① 设直线.与圆的方程联立，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理可得，分别表示出和，化简即可证明； ② 分别写出直线和直线的方程，结合，通过联立直线和直线的方程，消去参数，得到的固定直线方程，即可确定点是否在定直线. (1) 小问详解： 设圆心的坐标为. 因为是圆上的两点，所以，所以 即，解得. 因为圆心在直线上，所以，解得， 则圆的半径， 故圆的标准方程为. (2) 小问详解： ① 略 ② 略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $