专题03 圆锥曲线的方程（期中真题汇编）高二数学上学期人教A版

**基本信息** 汇集山西、天津等多地区期中真题，聚焦椭圆、双曲线、抛物线三大考点，基础题与综合题梯度分布，适配高二上学期期中复习需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----|----| |选择（含多选）|25题|椭圆焦点坐标、双曲线渐近线夹角、抛物线准线方程|结合椭圆光学性质（切线反射）、运动轨迹（垂直平分线交点）等情境| |填空|11题|椭圆离心率、双曲线离心率、抛物线焦点|设置跨学科背景（阿基米德椭圆面积计算）| |解答|16题|椭圆轨迹方程、双曲线面积最值、抛物线定点证明|注重逻辑推理与运算，如椭圆中弦中点斜率、双曲线向量数量积应用，贴合高考命题趋势|

专题03 圆锥曲线的方程 3大高频考点概览 考点01 椭圆 考点02 双曲线 考点03 抛物线 考点01 椭圆 1．（25-26学年高二上·山西期中学·期中）椭圆的焦点坐标为 A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【详解】利用椭圆的方程求出a，b，得到c即可求解结果． 【详解】解：椭圆，焦点在轴上，可得，，所以， 所以椭圆的焦点坐标． 故选：D． 【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题． 2．（25-26学年高二上·天津河东·期中）椭圆的左，右焦点分别为为椭圆上一点，若，则（       ） A. 4 B. 6 C. 14 D. 26 【答案】C 【分析】 根据椭圆的定义求得正确答案. 【详解】 椭圆对应， 根据椭圆的定义可知. 故选：C 3．（2026·吉林吉林·调研）椭圆的焦点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据给定的椭圆方程直接求出焦点坐标. 【详解】 椭圆的焦点在轴上，半焦距， 所以所求焦点坐标为. 故选：B 4．（25-26学年高二上·山东青岛·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，，点是上的一点，的面积为，则点的横坐标是（     ） A.  B. 0 C.  D.  【答案】B 【分析】 利用三角形面积公式并结合点在椭圆上建立方程组，求解参数即可. 【详解】 由题意得，则，设， 因为的面积为，所以，解得，即 可得，解得，则点的横坐标是，故B正确. 故选：B 5．（25-26学年高二上·江苏南京·期中）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据焦点在轴上的椭圆标准方程的特征，可得到关于的不等式，即可求得结果. 【详解】 根据题意，方程表示焦点在轴上的椭圆. 则必有 ，解可得：. 即m的取值范围是. 故选：A. 6．（25-26学年高二上·天津河东·期中）已知椭圆内一点，则以为中点的弦所在直线的斜率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 通过设弦的端点坐标，利用椭圆方程作差结合中点坐标，运用点差法求出中点弦的斜率. 【详解】 设以为中点的弦的两个端点为， 则，代入椭圆方程中得 ，两式相减得，， 因式分解， 将代入(1) ， 因为弦的斜率， 所以整理(1) 可得， 故选： 7．（2026·吉林吉林·调研）已知，若直线相交于点P，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 设出的坐标为，直接利用斜率公式表示出关于，的方程，化简即得结论． 【详解】 设，因为， 由已知，可得， 化简整理可得， 所以动点的轨迹方程为． 故选：C． 8．（2026·吉林吉林·调研）已知椭圆的左、右焦点分别为，过左焦点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为（     ） A. 6 B.  C.  D. 12 【答案】D 【分析】 利用椭圆的定义求解出的周长. 【详解】 的周长为， 故选：D. 9．（25-26学年高二·安徽·期中）已知椭圆，直线（）与椭圆交于A，B两点，，分别为椭圆的左、右两个焦点，直线与椭圆交于另一个点D，则直线AD与BD的斜率乘积为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用两点连线斜率公式可表示出，根据在椭圆上，将两方程作差即可整理得到结果. 【详解】 直线过原点， 可设，则， ； ，， ，. 故选：B. 10．（25-26学年高二·安徽·期中）已知点在椭圆上，点在圆上，，则的最大值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据椭圆的定义可得，然后化简，那么要求的最大值，即求的最大值，当三点共线时，的最大值为，最后根据两点距离公式即可得到结果. 【详解】 设椭圆的另一个焦点为，圆的圆心为，其半径， 那么，所以. 所以. 所以要求的最大值，即求的最大值. 因为，所以当三点共线时，的最大值为. 而，所以的最大值为. 故选：B. 11．（25-26学年高二上·山东青岛·期中）已知椭圆的左焦点为，直线与相交于，两点，且，则的离心率为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 作出符合题意的图形，利用椭圆的定义建立齐次方程，进而求解离心率即可. 【详解】 如图，作出符合题意的图形，找到椭圆的右焦点，连接，    由椭圆的对称性可得四边形是平行四边形， 因为，所以四边形是矩形，可得， 因为，所以，则是等边三角形， 由矩形性质得，由等边三角形性质得，， 结合题意可得，由椭圆的定义得， 可得，化简得，故A正确. 故选：A 12．（25-26学年高二上·江苏徐州·期中）已知椭圆，直线不经过点，且斜率为.若与交于两个不同点且直线的倾斜角分别为，则（       ） A. 1 B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 设直线，，，联立椭圆并应用韦达定理得，，设直线与的斜率分别为，应用斜率的两点式得，即有，即可得. 【详解】 设直线，，，    由 ，得， 由 ，解得或， 则，， 依题意，因为恰好在椭圆上，所以与的斜率一定存在，所以，， 设直线与的斜率分别为，因为，， 所以． 又，， 所以 ， 又，，即， 则，所以. 故选：B 13．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）根据椭圆的光学性质可以得到如下结论：如图，，是椭圆：的两个焦点，P为椭圆C上任意一点，为椭圆在点P处的切线，光线经过直线反射后一定经过另一个焦点.过作的垂线，垂足为H，则点H的轨迹方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 结合椭圆的光学性质与椭圆定义可得为定值，即可得解. 【详解】 延长、使其交于点，连接， 由光线经过直线反射后为直线，且， 则点与关于对称，则，， 故， 为中位线，则， 即点在圆上. 故选：D. 14．（25-26学年高二上·山西期中学·期中）已知点分别是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，则下列结论正确的是（     ） A. 的最小值为 B. 椭圆的离心率 C. 面积的最大值为 D. 的最大值为 【答案】C 【分析】 根据椭圆的定义和标准方程、离心率、三角形面积、余弦定理、三角恒等变换等知识对选项进行分析，从而确定正确答案即可. 【详解】 如图，作出符合题意的图形，    对于A，由题意得椭圆， 可得，， 设,，，则， 则， 函数在上单调递增， 所以当时，取得最小值，且最小值如下， 为，故A错误， 对于B，由题意得椭圆的离心率，故B错误， 对于C，由于为定值，所以当位于椭圆的上下顶点时， 三角形的面积取得最大值为，故C正确， 对于D，设，由余弦定理得 ， 当且仅当时等号成立，而，则， 可得的最大值不为，故D错误. 故选：C 15．（25-26学年高二·安徽·期中）（多选）已知椭圆 ，焦点 ， ；过 的直线 和圆 相切于点 ，并与椭圆在第一象限交于点 ，且 轴，则（     ） A. 该直线的斜率是 2 B. 椭圆的离心率是 C. 三角形 与三角形 面积比为 16 D. 当 时，四边形 的面积是 【答案】BCD 【分析】 由圆的圆心、半径以及切线关系即可求出即可判断A；由 轴表示出点坐标，由，以及椭圆中的关系，整理得关于的方程，求解即可判断B；由三角形与三角形相似，可求其面积比来判断C；由C结合割补法求面积即可判断D. 【详解】 A选项，由题意可得，，， 由勾股定理可得， 故直线的斜率为，故A错误； B选项，设，将P点坐标代入，解得，即； 又，以及，可得， 解得或（舍去），所以椭圆的离心率为，故B正确； C选项，由于三角形与三角形相似，则其面积比为； D选项，； 故选：BCD． 16．（25-26学年高二上·江苏徐州·期中）焦点在x轴上，焦距等于4，并且经过的椭圆的标准方程为　　　　　　． 【答案】 【分析】 由题意，设椭圆的标准方程为，然后列出关于的方程组，求解方程组即可得答案. 【详解】 解：因为椭圆的焦点在x轴上，所以设椭圆的标准方程为， 由题意，有 ，解得， 所以椭圆的标准方程为， 故答案为：. 17．（25-26学年高二上·天津河东·期中）椭圆的焦距为　　　　　　 【答案】 【分析】 通过椭圆方程可求出值，从而求出结果. 【详解】 已知椭圆方程，则，所以， 即，故焦距为：. 故答案为： 18．（25-26学年高二上·江苏南京·期中）已知椭圆的左、右顶点分别为．若过点且斜率为的直线与交于另一点，则的面积为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 首先根据题意得到直线，与椭圆联立得到，，再求面积即可. 【详解】 由题知：，则， ，则，解得， 将代入得到， 所以的面积为. 故答案为： 19．（25-26学年高二上·江苏徐州·期中）已知椭圆的离心率，且椭圆的长轴长为4. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程. 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）由长轴长可得，再根据离心率可得，再求，即可得到方程； （2）方法一、根据题意，直线斜率为0时，得到不符合题意，当直线斜率不为0时，设，联立曲线得到 ，再根据求解即可；方法二、直线斜率不存在时，，不符合题意，当直线斜率存在时，设，联立曲线得到 ，再根据求解即可. (1) 小问详解： 由题可知，，， 又，且，解得，， 则椭圆的方程为. (2) 小问详解： 法一：① 当直线斜率为0时，， 不符合题意. ② 当直线斜率不为0时，设直线方程为， 联立 ，得，， 设，则 . 由题意，， 即，解得. 故直线的方程为：或. 法二：① 当直线斜率不存在时，，不符合题意. ② 设直线方程为， 联立 ，得，， 设，则 ， 由，得， 即，解得. 故直线的方程为或. 20．（25-26学年高二上·天津河东·期中）已知是椭圆的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 取椭圆的右焦点，由直线过原点及椭圆的对称性可得四边形为平行四边形，然后根据椭圆的性质结合条件及余弦定理可得离心率的值. 【详解】 取椭圆的右焦点，连接，， 由椭圆的对称性，可得四边形为平行四边形， 则，， 又，而， 所以，所以， 在中，\cos \angle FPF'=\frac{\left| PF| ^{2}+| PF'| ^{2}-| FF'| ^{2}}{2\left| PF\right| \left| PF'\right| }=\frac{\frac{9}{4}a^{2}+\frac{1}{4}a^{2}-4c^{2}}{2\times \frac{3}{2}a\times \frac{a}{2}}=\frac{1}{2}， 整理，得，即，又， 所以. 故答案为：. 21．（25-26学年高二上·天津河东·期中）已知椭圆C：的焦距为，离心率为. （1）求C的标准方程； （2）若，直线l：交椭圆C于E，F两点，且的面积为，求t的值. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据题意得到，，即可得到答案. （2）首先设，，根据直线与椭圆联立，结合根系关系得到，设直线l与x轴的交点为，再根据求解即可. (1) 小问详解： 由题意得，，， 又，则， 则， 所以C的标准方程为. (2) 小问详解： 由题意设，，如图所示： 联立 ， 整理得， ， 则，， 故. 设直线l与x轴的交点为， 又，则， 故， 结合，解得. 22．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）已知椭圆：的一个焦点为，则椭圆的离心率为　　　　　　. 【答案】 【分析】 由焦点坐标求得，即可求解. 【详解】 由题意可知，焦点在轴上， 所以，即， 所以， 故答案为： 23．（25-26学年高二·安徽·期中）在平面直角坐标系中，已知顶点和，顶点在椭圆上，则　　． 【答案】 【分析】 由正弦定理和椭圆的定义可知，即可． 【详解】 由椭圆方程得：，，． 三角形顶点和，顶点在椭圆上， ， 由正弦定理可知 故答案为：． 【点睛】 本题考查正弦定理和椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力，正确运用正弦定理和椭圆的定义是关键．属于中档题． 24．（25-26学年高二上·山西期中学·期中）已知平面内点和直线，动点到点的距离与它到直线的距离的比是，记点的运动轨迹是曲线． （1）求曲线的标准方程； （2）过点且斜率为的直线与曲线交于，两点，求是坐标原点）面积的最大值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由距离之比化简可得曲线方程； （2）利用弦长公式求出，利用点到直线距离公式求出点到直线的距离，表示面积用基本不等式求解最值. (1) 小问详解： 由题意得点到直线的距离为， 由得，化简整理得， 所以曲线的标准方程为． (2) 小问详解： 由题意得设直线的方程为， 由 ，得， 由得或， ， ， 又点到直线的距离为， 的面积， 令（或），则， 当且仅当，即当时，面积取最大值． 25．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积.已知椭圆的中心在原点，焦点，在轴上，其面积为，过点的直线与椭圆交于点，且的周长为32，则椭圆的方程为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 设椭圆标准方程为，根据条件求出即可. 【详解】 因为焦点，在轴上，所以可设椭圆标准方程为， 由题意可得，即， 又的周长为，所以，则，所以， 故椭圆方程为． 故答案为：． 26．（25-26学年高二上·江苏徐州·期中）如图，圆是圆内一个定点，是圆上任意一点．线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）设曲线与轴从左到右的交点为点，点为曲线上异于的动点，设交直线于点，连结交曲线于点，直线的斜率分别为． （ⅰ）求证：为定值； （ⅱ）证明：直线经过轴上的定点，并求出该定点的坐标． 【答案】（1）     （2）；      【分析】 (1)根据椭圆的定义，可以判断出动点N的轨迹为椭圆，利用椭圆的定义求，从而求得轨迹方程. （2）（i）设，，，将分别用含式子表示，然后利用消去，最后即可得出定值； （ii）令直线PQ的方程为，与椭圆方程联立，应用韦达定理，借助（i）的结论，得到关于的方程，解方程即可求得的值，即定点坐标. (1) 小问详解： 由题意可知，， 由椭圆定义可得，点N的轨迹是以E， F为焦点的椭圆， 且长轴长，焦距， 所以， 因此曲线C方程为. (2) 小问详解： （ⅰ）设，，， 由题可知，，如下图所示， 则，， 而，于是， 所以， 又，则， 因此为定值； （ⅱ）由题意可知，直线PQ不可能与轴平行， 设直线PQ的方程为，，，知， 由 ，得， ，得 所以 由（i）可知，， 即， 将代入化简得，化简得解得舍或， 所以直线PQ的方程为， 因此直线PQ经过定点 27．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）在平面直角坐标系中，椭圆E的两个焦点分别是，，并且经过点. （1）求椭圆E的标准方程； （2）直线：与椭圆E交于不同的两点. （ⅰ）求k的取值范围； （ⅱ）若，求k的值. 【答案】（1）     （2）（ⅰ）；（ⅱ）      【分析】 （1）由条件确定，再由椭圆的定义求得，即可求解； （2）设，，（ⅰ）联立直线椭圆方程，由判别式大于0即可求解； （ⅱ）由\vec {OA}\cdot \vec {OB}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=0即可求解. (1) 小问详解： 因为椭圆E的焦点在轴上， 所以设椭圆E的标准方程为. 由椭圆的定义可得：， ， 所以，. 所以椭圆E的标准方程为. (2) 小问详解： （ⅰ）设，. 联立 ， 整理得. 依题意得，. 解得，或. 所以，k的取值范围为. （ⅱ）由（ⅰ）知，，. . 因为，所以\vec {OA}\cdot \vec {OB}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=0， 即. 所以. 解得. 所以的值为. 28．（2026·吉林吉林·调研）已知椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上异于左、右顶点的一点，且．若，则的面积为　　　　　　　；设的内心为，其外接圆的半径为，记的面积分别为，若，则椭圆的离心率为　　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 根据椭圆的定义结合余弦定理得出，最后应用面积公式计算即可；设内切圆半径为，根据面积等式，结合椭圆的定义，求得，再结合正弦定理得出，最后代入题设条件计算即可求解. 【详解】 第一空：令，， 则由椭圆定义可得  ① ， 由三角形余弦定理得  ② ，     有，即，∴的面积. 若，则的面积. 对于第二空：设内切圆半径为，则的面积， 所以，故， 又由正弦定理可得， 由可得 整理得：即， 又，即，解得. 故答案为：；. 29．（2026·吉林吉林·调研）已知椭圆的左、右焦点分别为，长轴长为4． （1）求椭圆的标准方程； （2）若经过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于两点，且的面积为，求直线的方程． 【答案】（1）     （2）或．      【分析】 （1）先根据长轴长及焦点列式结合计算求解椭圆方程； （2）法一：设直线，再联立方程组得出韦达定理，再结合图形特征得出计算求参即可；法二：设直线，再联立方程组得出韦达定理，再结合图形特征得出计算求参即可. (1) 小问详解： 由题知，，则，又， 所以椭圆的标准方程为． (2) 小问详解： 法一：由题可知，直线斜率不为， 设直线的方程为， 联立 消去，得， 因为恒成立，所以， ， 所以的面积， 化简得， 解得（负值舍去），所以或， 所以直线的方程为或． 法二：设直线方程为， 联立直线方程与椭圆方程，消去，得， 点到直线的距离， 的面积， 解得或． 所以直线的方程为或． 30．（25-26学年高二·安徽·期中）设椭圆的左，右焦点分别为，左顶点为，对称中心为，离心率为，若该椭圆的短轴长为，且满足． （1）求的方程； （2）过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于两点，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为点、，记的面积为S． ①求的取值范围； ②求证：直线DQ与PE交于定点． 【答案】（1）     （2）① ② 由题意得知，则直线的方程：， 直线的方程：， 联立两个直线方程消去，得， 即， 又，故上式化为， 将，代入，得， 即， 又由以上可知、， ， 即 解得， 代入直线的方程：， 由于，则代入， 即， 故直线DQ与PE交于定点.      【分析】 （1）根据椭圆的短轴长、离心率以及已知等式求出的值，进而得到椭圆方程； （2）① 先设直线的方程，与椭圆方程联立，求出弦长，再求出原点到直线的距离，进而得到面积关于参数的表达式，最后根据参数的范围求出面积的取值范围； ② 设出直线和的方程，再联立，利用韦达定理代入该式，最后化简即可. (1) 小问详解： 该椭圆的短轴长为，，解得， 又，，解得， 又，， 的方程为. (2) 小问详解： ① 由（1）可知，设直线的方程为，，, 联立直线与椭圆的方程 ，得， 根据韦达定理，得、， 则， 的面积为， 令，，则，， 在上单调递增，，则， 的取值范围为. ② 略 31．（25-26学年高二上·山东青岛·期中）如图，椭圆的长轴长为4，离心率为.    （1）求的标准方程； （2）矩形的顶点，在轴上，，在上，与的另一个交点为，与的另一个交点为，与轴交于点，与的另一个交点为.设直线，的斜率分别为，. （i）求的值； （ii）求直线的斜率的最小值. 【答案】（1）     （2）（i）；      【分析】 （1）根据长轴长和离心率可求解出椭圆的标准方程； （2）（i）由对称性，设出点的坐标，求出直线，的斜率即可求证；（ii）由直线的方程与椭圆方程联立利用韦达定理可求出点坐标，直线的方程与椭圆方程联立利用韦达定理可求出点坐标，即可表示出直线FH的斜率，利用基本不等式即可求最值． (1) 小问详解： 因为椭圆的长轴长为4，离心率为， 所以，，解得，，， 可得的标准方程为. (2) 小问详解： （i）如图，由对称性设，，，， 则，得， 故，，则，可得为定值； （ii）由， 联立 ， 由根与系数的关系可得，所以， 所以，可得， 又，联立 ， 由根与系数的关系可得，所以， 所以，可得， 所以 ， 由图知，所以，即， 当且仅当，即时取等. 所以直线的斜率k的最小值为． 32．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）如图，，，垂足分别为，，异面直线，所成角为，，点，点分别是直线，上的动点，且，设线段的中点为.    （1）求异面直线与所成的角； （2）求的取值范围. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）作出异面直线与所成的角，解三角形求得所成角的大小. （2）建立空间直角坐标系，根据列方程，结合椭圆的标准方程求得的取值范围. (1) 小问详解： 如图，过点作的平行线，过点作的平行线交于点， 则有是异面直线与所成的角或其补角. ，， ，， ，，平面， 平面，平面，， ，，为锐角， ，即异面直线与所成的角为. (2) 小问详解： 如图，过的中点分别作，的平行线，， 以为坐标原点，的外角平分线、内角平分线分别为轴，轴， 过点并且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系. 由题意可知，，设，， 则，， 从而， 且. 所以.    因为，，， 所以，， 所以，即, 所以点的轨迹是椭圆（长轴长为6，短轴长为2），其轨迹方程为, 点，所以. 33．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）已知椭圆的离心率为，右焦点为F，点在C上，过点F且斜率为k的直线l与C交于A，B两点. （1）求椭圆C的方程. （2）若直线l的斜率为，求的面积. （3）设点Q满足\vec {QP}+\vec {QA}+\vec {QB}=\overset{\rightarrow }{0}，求点Q的轨迹方程. 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）由题意得，结合可求出，从而可求出椭圆方程； （2）设，求出直线的方程，代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系结合弦长公式求出，再利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离，从而可求出的面积； （3）设，，由\vec {QP}+\vec {QA}+\vec {QB}=\overset{\rightarrow }{0}，得，将代入椭圆方程化简利用根与系数的关系，结合前面的式子得 ，两式相比化简可求得，代入其中的一个化简可求得点Q的轨迹方程. (1) 小问详解： 由题意得 ，由得，得， 所以，得，则， 故椭圆C的方程为； (2) 小问详解： 由（1）可知，则， 因为直线l的斜率为，所以直线l的方程为， 设， 由 ，得， 所以， 所以， 因为点到直线的距离为， 所以的面积为； (3) 小问详解： 设，， 则\vec {QP}=\left(1-x,\frac{3}{2}-y\right),\vec {QA}=\left(x_{1}-x,y_{1}-y\right),\vec {QB}=\left(x_{2}-x,y_{2}-y\right)， 因为\vec {QP}+\vec {QA}+\vec {QB}=\overset{\rightarrow }{0}， 所以， 所以（*）， 直线l的方程为， 由 ，得， ， 则， 所以 ， 代入（*），可得： ， 当时，，得（且）， 所以， 化简整理得 当时，得，，即，满足上面的方程， 所以点Q的轨迹方程为 34．（25-26学年高二上·天津河东·期中）已知椭圆． （1）若点在椭圆上，求椭圆的标准方程； （2）已知点是椭圆的右顶点． （i）若，且椭圆上存在一点，满足\vec {PA}=2\vec {MP}，求的值； （ii）若中垂线的斜率为2，且与椭圆交于两点，为钝角，求的取值范围． 【答案】（1）     （2）（i）；（ii）      【分析】 （1）将点代入椭圆方程计算即可得； （2）（i）设出点，则可利用坐标表示出两向量，从而用表示点坐标，再将该点坐标代入方程计算即可得；（ii）借助中垂线性质可计算出与的关系，也可表示出中垂线，再将直线与椭圆方程联立，得到与横坐标有关的韦达定理，再表示出斜率\vec {ME}、\vec {MF}，由为钝角可得两向量数量积为负数，代入计算即可得解. (1) 小问详解： 由题意可得，解得， 故椭圆的标准方程为； (2) 小问详解： （i）由，则椭圆的标准方程为， 则，设，则\vec {PA}=\left(4-x_{0},-y_{0}\right)，\vec {MP}=\left(x_{0},y_{0}-m\right)， 由\vec {PA}=2\vec {MP}，则 ，解得 ， 则有，解得，又，故； （ii）由，则，又，中垂线的斜率为， 则，解得，故，则的中点坐标为， 故的方程为：， 联立 ，消去可得， ， 设、，则，， 故\vec {ME}=\left(x_{1},y_{1}-\frac{a}{2}\right)、\vec {MF}=\left(x_{2},y_{2}-\frac{a}{2}\right)， 则由为钝角，则\vec {ME}\cdot \vec {MF}=x_{1}x_{2}+\left(y_{1}-\frac{a}{2}\right)\left(y_{2}-\frac{a}{2}\right)< 0， 即有 ， 故，又，故. 35．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）已知椭圆：的离心率为，A，C分别是椭圆E的上、下顶点，B，D分别是椭圆E的左、右顶点，四边形的面积为4. （1）求椭圆E的方程； （2）设P为第一象限内椭圆E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证：. 【答案】（1）     （2） 设，其中，，. 因为，，，， 所以直线的方程为， 令，则，所以， 因为直线的方程为， 又直线的方程为， 联立 ，解得 ， 所以， 所以直线的斜率， 又因为， 所以， 因为直线的斜率，所以， 又因为直线与直线显然不重合，所以. 【分析】 （1）由离心率定义结合椭圆性质计算即可得； （2）求出各顶点坐标，设出点，表示出直线、、方程后，联立直线与直线求出点坐标，联立直线与直线求出点坐标，则可表示直线的斜率，再结合点坐标在椭圆上，化简后结合直线的斜率即可得证. (1) 小问详解： 依题意得， ，且，解得 ， 所以椭圆E的方程为； (2) 小问详解： 略 36．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）已知曲线（a为常数），给出下列四个结论： ①曲线关于坐标原点对称； ②当时，曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ③设为曲线上的一个动点，则存在，使得有最大值（其中为坐标原点）； ④记曲线在第一象限的部分与坐标轴围成的图形的面积为，则对任意，都有. 其中所有正确结论的序号为　　　　　　　. 【答案】① ② ④ 【分析】 对① ：将代入计算即可得；对② ：证明时该方程无解后求出所有整点即可得；③ 令可得，结合可得趋于正无穷；对④ ：证明曲线在第一象限的部分高于曲线与、轴正半轴交点的连线即可得. 【详解】 对① ：令满足， 则对点有， 故点也在曲线上， 故曲线C关于坐标原点对称，故① 正确； 对② ：当时，， 当时，对关于的方程， 有，故该方程无解， 又当时，，当时，或，当时，或， 故曲线C恰好经过6个整点、，与，故② 正确； 对③ ：令，当时，，则， 当时，，由，无解，故， 则当时，可设，则有，即， 则， 对，由，则，故有两根， 则存在，使得无限接近于，又， 则可趋向于正无穷，故无最大值，故③ 错误； 对④ ：当时，令，则，令，则，即， 故曲线与、轴正半轴分别交于点、点， 两点所在直线方程为， 该直线与坐标轴围成的三角形面积为， 设曲线在第一象限的部分的方程为， 则要证，只需证在直线上方， 将代入中， ， 由，，则，，又， 则，，故， 即， 即对任意直线， 其与的交点横坐标都大于与的交点横坐标， 故曲线在第一象限的部分在直线左上方， 故，故④ 正确. 故答案为：① ② ④ . 37．（25-26学年高二上·江苏南京·期中）已知为坐标原点，椭圆过点，离心率为．过点且与坐标轴不垂直的直线交于点． （1）求的方程； （2）当时，求的方程； （3）设直线与直线交于点，记直线，的斜率分别为，试探究是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）     （2）或.     （3） 如图所示： ，， 令，则，即. ， ， 因为， 所以. 即为定值2.      【分析】 （1）根据题意得到 ，再解方程组即可. （2）设直线，，，与椭圆联立得到，，，再根据求解即可. （3），，从而得到，再结合韦达定理求即可. (1) 小问详解： 由题知： ，即： (2) 小问详解： 设直线，，， 则 ， 方程的判别式 ，， ， 因为，所以， 即 . 解得，即. 所以直线或. (3) 小问详解： 略 38．（2026·吉林吉林·调研）已知椭圆的离心率为，短轴长为2，椭圆：（且）是椭圆的相似椭圆． （1）求椭圆及椭圆的标准方程； （2）过椭圆上一点作椭圆的切线与椭圆相交于两点，为坐标原点，求证：的面积为定值； （3）如图1，为坐标原点，椭圆的右顶点、上顶点、下顶点分别为，点在线段上运动，点．如图2，将所在平面沿直线折成直二面角，当直线与平面所成角的正弦值为时，求线段的长． 【答案】（1），     （2）证明见解析     （3）．      【分析】 （1）由题意可得，，结合，求解即可；将代入即可得的标准方程； （2）（法一）分直线斜率存在与不存在，结合韦达定理及三角形面积公式，求得，即可得证； （法二）分直线斜率是否为0，结合韦达定理及三角形面积公式，求得，即可得证； （法三）利用两点间的距离公式求得，利用点到线的距离公式求得点到直线的距离，最后根据三角形面积公式，求得，即可得证； （3）利用空间向量求解即可. (1) 小问详解： 设椭圆的焦距为． 因为椭圆离心率为 所以， 又因为 所以， 因为 所以， 所以椭圆的标准方程为． 当时，椭圆的标准方程为． (2) 小问详解： （法一）证明：当直线斜率不存在时，直线方程为， 当时，代入椭圆，得 所以，则． ． 当直线斜率存在时，设直线方程为， 设， 联立 ， 消去，得． 则， 化简得． 联立 ， 消去，得． 因为， 由韦达定理得． ． 综上，的面积为定值． （法二）证明：当直线斜率为0时，直线方程为， 当时，代入椭圆，得 所以，则． ． 当直线斜率不为0时，设直线方程为， 联立 ， 消去，得． 则， 化简得． 联立 ， 消去，得． 因为，由韦达定理得，． ． 综上，的面积为定值． （法三）利用，化简得， 则，点到直线的距离， 所以． (3) 小问详解： 折叠后，以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则． 点在线段上运动， 设\vec {PD}=\lambda \vec {PQ}=\lambda \left(2,-4,0\right)=\left(2\lambda ,-4\lambda ,0\right)\left(0\leq \lambda \leq 1\right)． 因为\vec {AP}=\left(0,4,-2\right)， 所以\vec {AD}=\vec {AP}+\vec {PD}=\left(0,4,-2\right)+\left(2\lambda ,-4\lambda ,0\right)=\left(2\lambda ,4-4\lambda ,-2\right)，\vec {AE}=\left(0,1,-2\right)，\vec {EQ}=\left(2,-1,0\right)． 设平面的一个法向量为，则\overset{\rightarrow }{n}\bot \vec {AE},\overset{\rightarrow }{n}\bot \vec {EQ}． 则 \begin{cases} \overset{\rightarrow }{n}\cdot \vec {AE}=y-2z=0\\ \overset{\rightarrow }{n}\cdot \vec {EQ}=2x-y=0 \end{cases} ， 取，则， 所以平面的一个法向量为． 设直线与平面所成角为， 则\sin \theta =\left| \cos \left\langle \overset{\rightarrow }{n},\vec {AD}\right\rangle \right| =\frac{\left| \overset{\rightarrow }{n}\cdot \vec {AD}\right| }{\left| \overset{\rightarrow }{n}\right| \left| \vec {AD}\right| }=\frac{\left| 6-6\lambda \right| }{\sqrt{6}\times \sqrt{20\lambda ^{2}-32\lambda +20}}=\frac{\sqrt{6}}{6}． 所以，解得或（舍）． 所以\vec {PD}=\frac{1}{2}\vec {PQ}， 即点是线段的中点， 所以． 即的长为． 考点02 双曲线 1．（25-26学年高二上·江苏徐州·期中）（多选）已知曲线，下列说法正确的是（       ） A. 若，则曲线C为椭圆 B. 若，则曲线C为双曲线 C. 若曲线C为椭圆，则其长轴长一定大于2 D. 若曲线C为焦点在x轴上的双曲线，则其离心率小于大于1 【答案】BCD 【分析】 根据曲线所表示的图形求出对应的参数的取值范围，可判断AB选项的正误；求出椭圆长轴长的表达式，可判断C选项的正误；利用双曲线的离心率公式可判断D选项的正误. 【详解】 对于A选项，若为椭圆，则 ，A不正确； 对于B选项，若为双曲线，等价于，即或，B正确； 对于C选项，当时，椭圆长轴长， 当时，椭圆长轴长，C正确； 对于D选项，若为焦点在轴上的双曲线，则 ，解得， 双曲线的离心率为， 且双曲线的离心率，故D正确. 故选：BCD. 2．（25-26学年高二上·江苏南京·期中）（多选）已知点，动点满足：，记点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（　　） A. 曲线的方程为 B. 曲线与直线没有公共点 C. 点到点距离的最小值为 D. 过点且倾斜角为45°的直线与交于两点，则的周长为 【答案】ABD 【分析】 由双曲线的定义可判断A；由直线是曲线的渐近线可判断B；设，则，利用两点间的距离公式求得距离的最小值即可判断C；设直线方程并代入曲线的方程中，利用弦长公式求出，再由曲线的定义求解周长即可判断D. 【详解】 对于A，由， 由双曲线的定义知，点的轨迹是以为左、右焦点的双曲线的右支， 且，则，，所以， 所以曲线C的方程为，故A正确； 对于B，因为是曲线的一条渐近线，与曲线无公共点，故B正确； 对于C，设，则， 点到点距离，当且仅当时取等号.所以，故不正确； 对于D，因为，所以直线为，设， 由 ，得， 则， 所以， 因为，， 所以， 所以的周长为.故D正确. 故选：ABD. 3．（25-26学年高二上·江苏徐州·期中）双曲线两条渐近线的夹角为，则该双曲线的离心率e为（     ） A.  B. 2 C.  D.  【答案】C 【分析】 由渐近线的夹角得到，解得，由，解得，代入公式得解. 【详解】 的渐近线方程为，， 结合条件两条渐近线的夹角为， 则，解得，又，， ，. 故选：C. 4．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）设，分别是双曲线的左、右焦点，P是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（       ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 15 【答案】A 【分析】 结合双曲线定义可计算出、，再求出后可得，即可得解. 【详解】 由双曲线定义可知， 又，则，则， 故，解得，则， 又，由，故， 则. 故选：A. 5．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）已知直线：，“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 联立直线与双曲线，分及讨论即可得. 【详解】 联立 ，消去得， 当时，有，解得， 此时直线与双曲线有且仅有一个公共点； 当时，令， 化简得，即； 综上所述：当或时，直线与双曲线有且仅有一个公共点， 故“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的充分不必要条件. 故选：A. 6．（25-26学年高二上·江苏南京·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，点是右支上一点，．若点到直线的距离为，则的离心率为（　　） A.  B.  C. 2 D.  【答案】B 【分析】 利用双曲线的定义，构造齐次方程，进而可得离心率. 【详解】 如图所示，由已知得，且，， 则 又由双曲线定义可知，即，而， 可得，即，解得（舍）或， 所以离心率， 故选：B. 7．（25-26学年高二上·江苏徐州·期中）（多选）已知点，曲线，则下列说法正确的是（       ） A. 曲线上存在点，使得 B. 直线与曲线没有交点 C. 若过点的直线与曲线有三个不同的交点，则直线的斜率的取值范围是 D. 点是曲线上在第三象限内的一点，过点向直线与直线作垂线，垂足分别为，则 【答案】BC 【分析】 分，与零的大小讨论，得到曲线方程，并画出图形，由双曲线的定义可判断A；由渐近线方程可判断；由直线分别与椭圆和双曲线相切可判断C；由点到直线的距离公式可得D正确； 【详解】 当，时，曲线，即； 当，时，曲线，即不存在； 当，时，曲线，即； 当，时，曲线，即， 画出图形如图所示： 对于A：满足条件的曲线是双曲线的下支， 该双曲线的下支与曲线是没有交点的， 所以不存在曲线上的点，使得成立，故A错误； 对于B：一三象限曲线的渐近线方程为， 则直线与曲线没有交点，故B正确； 对于C：设过点的直线，三个交点，显然. 联立 ； 联立 ； 直线与曲线有三个不同的交点，则直线斜率的取值范围是，C正确； 对于D：设，由点到直线距离公式得：，， 所以. 因为点是曲线上在第三象限内的一点，则有， 所以，故D错误， 故选:BC. 8．（25-26学年高二上·江苏徐州·期中）已知点，双曲线的左顶点为，左､右焦点分别为，且双曲线的一条渐近线与直线垂直. （1）求双曲线的离心率； （2）设点在双曲线上，且\vec {MF_{1}}\cdot \vec {MF_{2}}=0，求点到轴的距离； （3）过且斜率为的直线与双曲线交于两点，求线段的长度. 【答案】（1）；     （2）；     （3）      【分析】 （1）计算得到，即可求得离心率； （2）设，在中，由勾股定理结合双曲线定义求得，再由 求出即得； （3）先求出直线方程，再与双曲线方程联立，结合韦达定理和弦长公式即可计算求解. (1) 小问详解： 双曲线的左顶点为，故， 则由双曲线的一条渐近线与直线AP垂直可知，则， 故双曲线方程为，其离心率为； (2) 小问详解： 由（1）得， ∵\vec {MF_{1}}\cdot \vec {MF_{2}}=0，∴，设， 则在中，有， 又由双曲线的定义，可得， 解得，则， 又，解得， ∴M点到x轴的距离为； (3) 小问详解： 因，则过且斜率为的直线的方程为， 与双曲线方程联立消元，可得， 设，则， 由弦长公式，=. 所以DE的长度为. 9．（25-26学年高二上·江苏徐州·期中）已知椭圆和双曲线有共同的焦点、，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为、，则的最大值为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 利用椭圆和双曲线的定义，在焦点三角形利用余弦定理得到，再用基本不等式求解. 【详解】 不妨设为第一象限的点，为左焦点， 设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为， 则根据椭圆及双曲线的定义可得， ，所以，， ，在△中，， 由余弦定理得， 化简得，即． 所以，从而， 当且仅当，且，即，时等号成立． 故答案为： 考点03 抛物线 1．（25-26学年高二上·江苏徐州·期中）抛物线的焦点是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 直接根据抛物线的焦点坐标的公式即可求解. 【详解】 的焦点是, 故选：D 2．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）准线方程为的抛物线的标准方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据抛物线的准线方程为可求解. 【详解】 因为抛物线的准线方程为，所以，所以抛物线的标准方程为 故选：D 3．（25-26学年高二上·江苏南京·期中）若直线与抛物线：交于，两点，且线段中点的横坐标为2，则直线的斜率为（　　） A. -1 B.  C. 1 D. 2 【答案】C 【分析】 设直线方程为，与抛物线联立得：，再根据线段中点的横坐标为2，得，从而求出斜率. 【详解】 依题意，直线斜率存在，设直线方程为， 与抛物线联立得：， 设，， 由韦达定理得：， 又因为线段中点的横坐标为2， 得， 所以， 故选：C. 4．（25-26学年高二上·江苏徐州·期中）（1）已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，求抛物线的方程； （2）求与双曲线有公共渐近线，且经过点的双曲线的标准方程． 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）根据抛物线的定义即可求解； （2）设所求双曲线方程为，代入点求解参数即可． 【详解】 （1）因为到其焦点的距离为5，根据定义，到准线距离也为5， 抛物线的准线方程为， 故 ，则抛物线方程为． （2）由题意设双曲线方程为， 因为双曲线经过点，所以，故， 所以双曲线标准方程为， 即． 5．（25-26学年高二上·江苏南京·期中）已知为坐标原点，抛物线的焦点为，准线为是上的动点．当轴时，的面积为1． （1）求的方程； （2）设过且与直线垂直的直线交于点（不在轴上），直线交轴于点，记． ①求的值； ②证明：平分． 【答案】（1）     （2）① 2    ② 证明： 记直线与轴的交点为，由① 可知为的中点. 由抛物线的定义可得， 在直线中，令，可得 于是， 所以平分.      【分析】 （1）利用三角形的面积建立方程求出即可得出抛物线方程； （2）① 根据垂直关系可写出的斜率，得出点坐标，得到直线的方程即可求出直线截距得解；② 利用抛物线的性质求解 ，由等腰三角形即可求证. (1) 小问详解： 当轴时，，代入， 可得， 所以 ，解得， 所以抛物线的方程为. (2) 小问详解： ① 由（1）知，的方程为, 因为在抛物线上，即， 所以 因为，所以，解得， 所以, 由的方程为，得 令，可得，所以. ② 略 6．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）已知点不在抛物线：上，抛物线的焦点为若对于抛物线上的一点，的最小值为4，则的值等于　　　　　　　. 【答案】2 【分析】 分两种情况，若点在抛物线的开口外部，最小值为可求得；若点在抛物线的开口内部，则利用抛物线的定义转化求最小值，最小值为，最后再检验值即可. 【详解】 ①如图，若点在抛物线的开口外部，即，即， 则当点三点共线时，有最小值，最小值为， 因为，则，解得， 符合题意； ②如图，若点在抛物线的开口内部，即，即， 过点作，垂足为，其中直线为抛物线的准线， 则由抛物线的定义可知，， 所以当三点共线时，有最小值， 则，得，不符合符合题意， 故的值等于. 故答案为： 7．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）在平面直角坐标系中，抛物线C：上一点到焦点的距离为2. （1）求抛物线C的方程； （2）若直线与抛物线C相交于A，B两点，求的面积. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由抛物线的定义计算即可得； （2）联立直线与抛物线方程，计算可得两交点横坐标关系，再利用两点间距离公式及点到直线距离公式计算出三角形的底与高即可得解. (1) 小问详解： 依题意得，抛物线C的焦点F坐标为，准线方程为， 由抛物线的定义可知，，解得， 所以抛物线C的方程为； (2) 小问详解： 设，， 则 ， 由 ，得， 则，， 所以， 又因为原点O到直线的距离， 所以的面积. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆锥曲线的方程 3大高频考点概览 考点01 椭圆 考点02 双曲线 考点03 抛物线 考点01 椭圆 1．（25-26学年高二上·山西期中学·期中）椭圆的焦点坐标为 A. ， B. ， C. ， D. ， 2．（25-26学年高二上·天津河东·期中）椭圆的左，右焦点分别为为椭圆上一点，若，则（       ） A. 4 B. 6 C. 14 D. 26 3．（2026·吉林吉林·调研）椭圆的焦点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·山东青岛·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，，点是上的一点，的面积为，则点的横坐标是（     ） A.  B. 0 C.  D.  5．（25-26学年高二上·江苏南京·期中）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（　　） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·天津河东·期中）已知椭圆内一点，则以为中点的弦所在直线的斜率为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（2026·吉林吉林·调研）已知，若直线相交于点P，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程为（       ） A.  B.  C.  D.  8．（2026·吉林吉林·调研）已知椭圆的左、右焦点分别为，过左焦点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为（     ） A. 6 B.  C.  D. 12 9．（25-26学年高二·安徽·期中）已知椭圆，直线（）与椭圆交于A，B两点，，分别为椭圆的左、右两个焦点，直线与椭圆交于另一个点D，则直线AD与BD的斜率乘积为（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高二·安徽·期中）已知点在椭圆上，点在圆上，，则的最大值为（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高二上·山东青岛·期中）已知椭圆的左焦点为，直线与相交于，两点，且，则的离心率为（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高二上·江苏徐州·期中）已知椭圆，直线不经过点，且斜率为.若与交于两个不同点且直线的倾斜角分别为，则（       ） A. 1 B.  C.  D.  13．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）根据椭圆的光学性质可以得到如下结论：如图，，是椭圆：的两个焦点，P为椭圆C上任意一点，为椭圆在点P处的切线，光线经过直线反射后一定经过另一个焦点.过作的垂线，垂足为H，则点H的轨迹方程为（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高二上·山西期中学·期中）已知点分别是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，则下列结论正确的是（     ） A. 的最小值为 B. 椭圆的离心率 C. 面积的最大值为 D. 的最大值为 15．（25-26学年高二·安徽·期中）（多选）已知椭圆 ，焦点 ， ；过 的直线 和圆 相切于点 ，并与椭圆在第一象限交于点 ，且 轴，则（     ） A. 该直线的斜率是 2 B. 椭圆的离心率是 C. 三角形 与三角形 面积比为 16 D. 当 时，四边形 的面积是 16．（25-26学年高二上·江苏徐州·期中）焦点在x轴上，焦距等于4，并且经过的椭圆的标准方程为　　　　　　． 17．（25-26学年高二上·天津河东·期中）椭圆的焦距为　　　　　　 18．（25-26学年高二上·江苏南京·期中）已知椭圆的左、右顶点分别为．若过点且斜率为的直线与交于另一点，则的面积为　　　　　　　　　　　． 19．（25-26学年高二上·江苏徐州·期中）已知椭圆的离心率，且椭圆的长轴长为4. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程. 20．（25-26学年高二上·天津河东·期中）已知是椭圆的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率　　　　　　　　　　． 21．（25-26学年高二上·天津河东·期中）已知椭圆C：的焦距为，离心率为. （1）求C的标准方程； （2）若，直线l：交椭圆C于E，F两点，且的面积为，求t的值. 22．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）已知椭圆：的一个焦点为，则椭圆的离心率为　　　　　　. 23．（25-26学年高二·安徽·期中）在平面直角坐标系中，已知顶点和，顶点在椭圆上，则　　． 24．（25-26学年高二上·山西期中学·期中）已知平面内点和直线，动点到点的距离与它到直线的距离的比是，记点的运动轨迹是曲线． （1）求曲线的标准方程； （2）过点且斜率为的直线与曲线交于，两点，求是坐标原点）面积的最大值． 25．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积.已知椭圆的中心在原点，焦点，在轴上，其面积为，过点的直线与椭圆交于点，且的周长为32，则椭圆的方程为　　　　　　　　　　. 26．（25-26学年高二上·江苏徐州·期中）如图，圆是圆内一个定点，是圆上任意一点．线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）设曲线与轴从左到右的交点为点，点为曲线上异于的动点，设交直线于点，连结交曲线于点，直线的斜率分别为． （ⅰ）求证：为定值； （ⅱ）证明：直线经过轴上的定点，并求出该定点的坐标． 27．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）在平面直角坐标系中，椭圆E的两个焦点分别是，，并且经过点. （1）求椭圆E的标准方程； （2）直线：与椭圆E交于不同的两点. （ⅰ）求k的取值范围； （ⅱ）若，求k的值. 28．（2026·吉林吉林·调研）已知椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上异于左、右顶点的一点，且．若，则的面积为　　　　　　　；设的内心为，其外接圆的半径为，记的面积分别为，若，则椭圆的离心率为　　　　　　　． 29．（2026·吉林吉林·调研）已知椭圆的左、右焦点分别为，长轴长为4． （1）求椭圆的标准方程； （2）若经过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于两点，且的面积为，求直线的方程． 30．（25-26学年高二·安徽·期中）设椭圆的左，右焦点分别为，左顶点为，对称中心为，离心率为，若该椭圆的短轴长为，且满足． （1）求的方程； （2）过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于两点，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为点、，记的面积为S． ①求的取值范围； ②求证：直线DQ与PE交于定点． 31．（25-26学年高二上·山东青岛·期中）如图，椭圆的长轴长为4，离心率为.    （1）求的标准方程； （2）矩形的顶点，在轴上，，在上，与的另一个交点为，与的另一个交点为，与轴交于点，与的另一个交点为.设直线，的斜率分别为，. （i）求的值； （ii）求直线的斜率的最小值. 32．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）如图，，，垂足分别为，，异面直线，所成角为，，点，点分别是直线，上的动点，且，设线段的中点为.    （1）求异面直线与所成的角； （2）求的取值范围. 33．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）已知椭圆的离心率为，右焦点为F，点在C上，过点F且斜率为k的直线l与C交于A，B两点. （1）求椭圆C的方程. （2）若直线l的斜率为，求的面积. （3）设点Q满足\vec {QP}+\vec {QA}+\vec {QB}=\overset{\rightarrow }{0}，求点Q的轨迹方程. 34．（25-26学年高二上·天津河东·期中）已知椭圆． （1）若点在椭圆上，求椭圆的标准方程； （2）已知点是椭圆的右顶点． （i）若，且椭圆上存在一点，满足\vec {PA}=2\vec {MP}，求的值； （ii）若中垂线的斜率为2，且与椭圆交于两点，为钝角，求的取值范围． 35．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）已知椭圆：的离心率为，A，C分别是椭圆E的上、下顶点，B，D分别是椭圆E的左、右顶点，四边形的面积为4. （1）求椭圆E的方程； （2）设P为第一象限内椭圆E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证：. 36．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）已知曲线（a为常数），给出下列四个结论： ①曲线关于坐标原点对称； ②当时，曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ③设为曲线上的一个动点，则存在，使得有最大值（其中为坐标原点）； ④记曲线在第一象限的部分与坐标轴围成的图形的面积为，则对任意，都有. 其中所有正确结论的序号为　　　　　　　. 37．（25-26学年高二上·江苏南京·期中）已知为坐标原点，椭圆过点，离心率为．过点且与坐标轴不垂直的直线交于点． （1）求的方程； （2）当时，求的方程； （3）设直线与直线交于点，记直线，的斜率分别为，试探究是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 38．（2026·吉林吉林·调研）已知椭圆的离心率为，短轴长为2，椭圆：（且）是椭圆的相似椭圆． （1）求椭圆及椭圆的标准方程； （2）过椭圆上一点作椭圆的切线与椭圆相交于两点，为坐标原点，求证：的面积为定值； （3）如图1，为坐标原点，椭圆的右顶点、上顶点、下顶点分别为，点在线段上运动，点．如图2，将所在平面沿直线折成直二面角，当直线与平面所成角的正弦值为时，求线段的长． 则． 点在线段上运动， 设\vec {PD}=\lambda \vec {PQ}=\lambda \left(2,-4,0\right)=\left(2\lambda ,-4\lambda ,0\right)\left(0\leq \lambda \leq 1\right)． 因为\vec {AP}=\left(0,4,-2\right)， 所以\vec {AD}=\vec {AP}+\vec {PD}=\left(0,4,-2\right)+\left(2\lambda ,-4\lambda ,0\right)=\left(2\lambda ,4-4\lambda ,-2\right)，\vec {AE}=\left(0,1,-2\right)，\vec {EQ}=\left(2,-1,0\right)． 设平面的一个法向量为，则\overset{\rightarrow }{n}\bot \vec {AE},\overset{\rightarrow }{n}\bot \vec {EQ}． 则 \begin{cases} \overset{\rightarrow }{n}\cdot \vec {AE}=y-2z=0\\ \overset{\rightarrow }{n}\cdot \vec {EQ}=2x-y=0 \end{cases} ， 取，则， 所以平面的一个法向量为． 设直线与平面所成角为， 则\sin \theta =\left| \cos \left\langle \overset{\rightarrow }{n},\vec {AD}\right\rangle \right| =\frac{\left| \overset{\rightarrow }{n}\cdot \vec {AD}\right| }{\left| \overset{\rightarrow }{n}\right| \left| \vec {AD}\right| }=\frac{\left| 6-6\lambda \right| }{\sqrt{6}\times \sqrt{20\lambda ^{2}-32\lambda +20}}=\frac{\sqrt{6}}{6}． 所以，解得或（舍）． 所以\vec {PD}=\frac{1}{2}\vec {PQ}， 即点是线段的中点， 所以． 即的长为． 考点02 双曲线 1．（25-26学年高二上·江苏徐州·期中）（多选）已知曲线，下列说法正确的是（       ） A. 若，则曲线C为椭圆 B. 若，则曲线C为双曲线 C. 若曲线C为椭圆，则其长轴长一定大于2 D. 若曲线C为焦点在x轴上的双曲线，则其离心率小于大于1 2．（25-26学年高二上·江苏南京·期中）（多选）已知点，动点满足：，记点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（　　） A. 曲线的方程为 B. 曲线与直线没有公共点 C. 点到点距离的最小值为 D. 过点且倾斜角为45°的直线与交于两点，则的周长为 3．（25-26学年高二上·江苏徐州·期中）双曲线两条渐近线的夹角为，则该双曲线的离心率e为（     ） A.  B. 2 C.  D.  4．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）设，分别是双曲线的左、右焦点，P是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（       ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 15 5．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）已知直线：，“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6．（25-26学年高二上·江苏南京·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，点是右支上一点，．若点到直线的距离为，则的离心率为（　　） A.  B.  C. 2 D.  7．（25-26学年高二上·江苏徐州·期中）（多选）已知点，曲线，则下列说法正确的是（       ） A. 曲线上存在点，使得 B. 直线与曲线没有交点 C. 若过点的直线与曲线有三个不同的交点，则直线的斜率的取值范围是 D. 点是曲线上在第三象限内的一点，过点向直线与直线作垂线，垂足分别为，则 8．（25-26学年高二上·江苏徐州·期中）已知点，双曲线的左顶点为，左､右焦点分别为，且双曲线的一条渐近线与直线垂直. （1）求双曲线的离心率； （2）设点在双曲线上，且\vec {MF_{1}}\cdot \vec {MF_{2}}=0，求点到轴的距离； （3）过且斜率为的直线与双曲线交于两点，求线段的长度. 9．（25-26学年高二上·江苏徐州·期中）已知椭圆和双曲线有共同的焦点、，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为、，则的最大值为　　　　　　　　　　． 考点03 抛物线 1．（25-26学年高二上·江苏徐州·期中）抛物线的焦点是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）准线方程为的抛物线的标准方程为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·江苏南京·期中）若直线与抛物线：交于，两点，且线段中点的横坐标为2，则直线的斜率为（　　） A. -1 B.  C. 1 D. 2 4．（25-26学年高二上·江苏徐州·期中）（1）已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，求抛物线的方程； （2）求与双曲线有公共渐近线，且经过点的双曲线的标准方程． 5．（25-26学年高二上·江苏南京·期中）已知为坐标原点，抛物线的焦点为，准线为是上的动点．当轴时，的面积为1． （1）求的方程； （2）设过且与直线垂直的直线交于点（不在轴上），直线交轴于点，记． ①求的值； ②证明：平分． 6．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）已知点不在抛物线：上，抛物线的焦点为若对于抛物线上的一点，的最小值为4，则的值等于　　　　　　　. 7．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）在平面直角坐标系中，抛物线C：上一点到焦点的距离为2. （1）求抛物线C的方程； （2）若直线与抛物线C相交于A，B两点，求的面积. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆锥曲线的方程 考点01 椭圆 考点02 双曲线 考点03 抛物线 考点01 椭圆 1．D 2．C 3．B 4．B 5．A 6．A 7．C 8．D 9．B 10．B 11．A 12．B 13．D 14．C 15．BCD 16．【答案】 【分析】 由题意，设椭圆的标准方程为，然后列出关于的方程组，求解方程组即可得答案. 【详解】 解：因为椭圆的焦点在x轴上，所以设椭圆的标准方程为， 由题意，有 ，解得， 所以椭圆的标准方程为， 故答案为：. 17．【答案】 【分析】 通过椭圆方程可求出值，从而求出结果. 【详解】 已知椭圆方程，则，所以， 即，故焦距为：. 故答案为： 18．【答案】 【分析】 首先根据题意得到直线，与椭圆联立得到，，再求面积即可. 【详解】 由题知：，则， ，则，解得， 将代入得到， 所以的面积为. 故答案为： 19．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）由长轴长可得，再根据离心率可得，再求，即可得到方程； （2）方法一、根据题意，直线斜率为0时，得到不符合题意，当直线斜率不为0时，设，联立曲线得到 ，再根据求解即可；方法二、直线斜率不存在时，，不符合题意，当直线斜率存在时，设，联立曲线得到 ，再根据求解即可. (1) 小问详解： 由题可知，，， 又，且，解得，， 则椭圆的方程为. (2) 小问详解： 法一：① 当直线斜率为0时，， 不符合题意. ② 当直线斜率不为0时，设直线方程为， 联立 ，得，， 设，则 . 由题意，， 即，解得. 故直线的方程为：或. 法二：① 当直线斜率不存在时，，不符合题意. ② 设直线方程为， 联立 ，得，， 设，则 ， 由，得， 即，解得. 故直线的方程为或. 20．【答案】 【分析】 取椭圆的右焦点，由直线过原点及椭圆的对称性可得四边形为平行四边形，然后根据椭圆的性质结合条件及余弦定理可得离心率的值. 【详解】 取椭圆的右焦点，连接，， 由椭圆的对称性，可得四边形为平行四边形， 则，， 又，而， 所以，所以， 在中，\cos \angle FPF'=\frac{\left| PF| ^{2}+| PF'| ^{2}-| FF'| ^{2}}{2\left| PF\right| \left| PF'\right| }=\frac{\frac{9}{4}a^{2}+\frac{1}{4}a^{2}-4c^{2}}{2\times \frac{3}{2}a\times \frac{a}{2}}=\frac{1}{2}， 整理，得，即，又， 所以. 故答案为：. 21．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据题意得到，，即可得到答案. （2）首先设，，根据直线与椭圆联立，结合根系关系得到，设直线l与x轴的交点为，再根据求解即可. (1) 小问详解： 由题意得，，， 又，则， 则， 所以C的标准方程为. (2) 小问详解： 由题意设，，如图所示： 联立 ， 整理得， ， 则，， 故. 设直线l与x轴的交点为， 又，则， 故， 结合，解得. 22．【答案】 【分析】 由焦点坐标求得，即可求解. 【详解】 由题意可知，焦点在轴上， 所以，即， 所以， 故答案为： 23．【答案】 【分析】 由正弦定理和椭圆的定义可知，即可． 【详解】 由椭圆方程得：，，． 三角形顶点和，顶点在椭圆上， ， 由正弦定理可知 故答案为：． 【点睛】 本题考查正弦定理和椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力，正确运用正弦定理和椭圆的定义是关键．属于中档题． 24．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由距离之比化简可得曲线方程； （2）利用弦长公式求出，利用点到直线距离公式求出点到直线的距离，表示面积用基本不等式求解最值. (1) 小问详解： 由题意得点到直线的距离为， 由得，化简整理得， 所以曲线的标准方程为． (2) 小问详解： 由题意得设直线的方程为， 由 ，得， 由得或， ， ， 又点到直线的距离为， 的面积， 令（或），则， 当且仅当，即当时，面积取最大值． 25．【答案】 【分析】 设椭圆标准方程为，根据条件求出即可. 【详解】 因为焦点，在轴上，所以可设椭圆标准方程为， 由题意可得，即， 又的周长为，所以，则，所以， 故椭圆方程为． 故答案为：． 26．【答案】（1）     （2）；      【分析】 (1)根据椭圆的定义，可以判断出动点N的轨迹为椭圆，利用椭圆的定义求，从而求得轨迹方程. （2）（i）设，，，将分别用含式子表示，然后利用消去，最后即可得出定值； （ii）令直线PQ的方程为，与椭圆方程联立，应用韦达定理，借助（i）的结论，得到关于的方程，解方程即可求得的值，即定点坐标. (1) 小问详解： 由题意可知，， 由椭圆定义可得，点N的轨迹是以E， F为焦点的椭圆， 且长轴长，焦距， 所以， 因此曲线C方程为. (2) 小问详解： （ⅰ）设，，， 由题可知，，如下图所示， 则，， 而，于是， 所以， 又，则， 因此为定值； （ⅱ）由题意可知，直线PQ不可能与轴平行， 设直线PQ的方程为，，，知， 由 ，得， ，得 所以 由（i）可知，， 即， 将代入化简得，化简得解得舍或， 所以直线PQ的方程为， 因此直线PQ经过定点 27．【答案】（1）     （2）（ⅰ）；（ⅱ）      【分析】 （1）由条件确定，再由椭圆的定义求得，即可求解； （2）设，，（ⅰ）联立直线椭圆方程，由判别式大于0即可求解； （ⅱ）由\vec {OA}\cdot \vec {OB}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=0即可求解. (1) 小问详解： 因为椭圆E的焦点在轴上， 所以设椭圆E的标准方程为. 由椭圆的定义可得：， ， 所以，. 所以椭圆E的标准方程为. (2) 小问详解： （ⅰ）设，. 联立 ， 整理得. 依题意得，. 解得，或. 所以，k的取值范围为. （ⅱ）由（ⅰ）知，，. . 因为，所以\vec {OA}\cdot \vec {OB}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=0， 即. 所以. 解得. 所以的值为. 28．【答案】①     ② 【分析】 根据椭圆的定义结合余弦定理得出，最后应用面积公式计算即可；设内切圆半径为，根据面积等式，结合椭圆的定义，求得，再结合正弦定理得出，最后代入题设条件计算即可求解. 【详解】 第一空：令，， 则由椭圆定义可得  ① ， 由三角形余弦定理得  ② ，     有，即，∴的面积. 若，则的面积. 对于第二空：设内切圆半径为，则的面积， 所以，故， 又由正弦定理可得， 由可得 整理得：即， 又，即，解得. 故答案为：；. 29．【答案】（1）     （2）或．      【分析】 （1）先根据长轴长及焦点列式结合计算求解椭圆方程； （2）法一：设直线，再联立方程组得出韦达定理，再结合图形特征得出计算求参即可；法二：设直线，再联立方程组得出韦达定理，再结合图形特征得出计算求参即可. (1) 小问详解： 由题知，，则，又， 所以椭圆的标准方程为． (2) 小问详解： 法一：由题可知，直线斜率不为， 设直线的方程为， 联立 消去，得， 因为恒成立，所以， ， 所以的面积， 化简得， 解得（负值舍去），所以或， 所以直线的方程为或． 法二：设直线方程为， 联立直线方程与椭圆方程，消去，得， 点到直线的距离， 的面积， 解得或． 所以直线的方程为或． 30．【答案】（1）     （2）① ② 由题意得知，则直线的方程：， 直线的方程：， 联立两个直线方程消去，得， 即， 又，故上式化为， 将，代入，得， 即， 又由以上可知、， ， 即 解得， 代入直线的方程：， 由于，则代入， 即， 故直线DQ与PE交于定点.      【分析】 （1）根据椭圆的短轴长、离心率以及已知等式求出的值，进而得到椭圆方程； （2）① 先设直线的方程，与椭圆方程联立，求出弦长，再求出原点到直线的距离，进而得到面积关于参数的表达式，最后根据参数的范围求出面积的取值范围； ② 设出直线和的方程，再联立，利用韦达定理代入该式，最后化简即可. (1) 小问详解： 该椭圆的短轴长为，，解得， 又，，解得， 又，， 的方程为. (2) 小问详解： ① 由（1）可知，设直线的方程为，，, 联立直线与椭圆的方程 ，得， 根据韦达定理，得、， 则， 的面积为， 令，，则，， 在上单调递增，，则， 的取值范围为. ② 略 31．【答案】（1）     （2）（i）；      【分析】 （1）根据长轴长和离心率可求解出椭圆的标准方程； （2）（i）由对称性，设出点的坐标，求出直线，的斜率即可求证；（ii）由直线的方程与椭圆方程联立利用韦达定理可求出点坐标，直线的方程与椭圆方程联立利用韦达定理可求出点坐标，即可表示出直线FH的斜率，利用基本不等式即可求最值． (1) 小问详解： 因为椭圆的长轴长为4，离心率为， 所以，，解得，，， 可得的标准方程为. (2) 小问详解： （i）如图，由对称性设，，，， 则，得， 故，，则，可得为定值； （ii）由， 联立 ， 由根与系数的关系可得，所以， 所以，可得， 又，联立 ， 由根与系数的关系可得，所以， 所以，可得， 所以 ， 由图知，所以，即， 当且仅当，即时取等. 所以直线的斜率k的最小值为． 32．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）作出异面直线与所成的角，解三角形求得所成角的大小. （2）建立空间直角坐标系，根据列方程，结合椭圆的标准方程求得的取值范围. (1) 小问详解： 如图，过点作的平行线，过点作的平行线交于点， 则有是异面直线与所成的角或其补角. ，， ，， ，，平面， 平面，平面，， ，，为锐角， ，即异面直线与所成的角为. (2) 小问详解： 如图，过的中点分别作，的平行线，， 以为坐标原点，的外角平分线、内角平分线分别为轴，轴， 过点并且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系. 由题意可知，，设，， 则，， 从而， 且. 所以.    因为，，， 所以，， 所以，即, 所以点的轨迹是椭圆（长轴长为6，短轴长为2），其轨迹方程为, 点，所以. 33．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）由题意得，结合可求出，从而可求出椭圆方程； （2）设，求出直线的方程，代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系结合弦长公式求出，再利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离，从而可求出的面积； （3）设，，由\vec {QP}+\vec {QA}+\vec {QB}=\overset{\rightarrow }{0}，得，将代入椭圆方程化简利用根与系数的关系，结合前面的式子得 ，两式相比化简可求得，代入其中的一个化简可求得点Q的轨迹方程. (1) 小问详解： 由题意得 ，由得，得， 所以，得，则， 故椭圆C的方程为； (2) 小问详解： 由（1）可知，则， 因为直线l的斜率为，所以直线l的方程为， 设， 由 ，得， 所以， 所以， 因为点到直线的距离为， 所以的面积为； (3) 小问详解： 设，， 则\vec {QP}=\left(1-x,\frac{3}{2}-y\right),\vec {QA}=\left(x_{1}-x,y_{1}-y\right),\vec {QB}=\left(x_{2}-x,y_{2}-y\right)， 因为\vec {QP}+\vec {QA}+\vec {QB}=\overset{\rightarrow }{0}， 所以， 所以（*）， 直线l的方程为， 由 ，得， ， 则， 所以 ， 代入（*），可得： ， 当时，，得（且）， 所以， 化简整理得 当时，得，，即，满足上面的方程， 所以点Q的轨迹方程为 34．【答案】（1）     （2）（i）；（ii）      【分析】 （1）将点代入椭圆方程计算即可得； （2）（i）设出点，则可利用坐标表示出两向量，从而用表示点坐标，再将该点坐标代入方程计算即可得；（ii）借助中垂线性质可计算出与的关系，也可表示出中垂线，再将直线与椭圆方程联立，得到与横坐标有关的韦达定理，再表示出斜率\vec {ME}、\vec {MF}，由为钝角可得两向量数量积为负数，代入计算即可得解. (1) 小问详解： 由题意可得，解得， 故椭圆的标准方程为； (2) 小问详解： （i）由，则椭圆的标准方程为， 则，设，则\vec {PA}=\left(4-x_{0},-y_{0}\right)，\vec {MP}=\left(x_{0},y_{0}-m\right)， 由\vec {PA}=2\vec {MP}，则 ，解得 ， 则有，解得，又，故； （ii）由，则，又，中垂线的斜率为， 则，解得，故，则的中点坐标为， 故的方程为：， 联立 ，消去可得， ， 设、，则，， 故\vec {ME}=\left(x_{1},y_{1}-\frac{a}{2}\right)、\vec {MF}=\left(x_{2},y_{2}-\frac{a}{2}\right)， 则由为钝角，则\vec {ME}\cdot \vec {MF}=x_{1}x_{2}+\left(y_{1}-\frac{a}{2}\right)\left(y_{2}-\frac{a}{2}\right)< 0， 即有 ， 故，又，故. 35．【答案】（1）     （2） 设，其中，，. 因为，，，， 所以直线的方程为， 令，则，所以， 因为直线的方程为， 又直线的方程为， 联立 ，解得 ， 所以， 所以直线的斜率， 又因为， 所以， 因为直线的斜率，所以， 又因为直线与直线显然不重合，所以. 【分析】 （1）由离心率定义结合椭圆性质计算即可得； （2）求出各顶点坐标，设出点，表示出直线、、方程后，联立直线与直线求出点坐标，联立直线与直线求出点坐标，则可表示直线的斜率，再结合点坐标在椭圆上，化简后结合直线的斜率即可得证. (1) 小问详解： 依题意得， ，且，解得 ， 所以椭圆E的方程为； (2) 小问详解： 略 36．【答案】① ② ④ 【分析】 对① ：将代入计算即可得；对② ：证明时该方程无解后求出所有整点即可得；③ 令可得，结合可得趋于正无穷；对④ ：证明曲线在第一象限的部分高于曲线与、轴正半轴交点的连线即可得. 【详解】 对① ：令满足， 则对点有， 故点也在曲线上， 故曲线C关于坐标原点对称，故① 正确； 对② ：当时，， 当时，对关于的方程， 有，故该方程无解， 又当时，，当时，或，当时，或， 故曲线C恰好经过6个整点、，与，故② 正确； 对③ ：令，当时，，则， 当时，，由，无解，故， 则当时，可设，则有，即， 则， 对，由，则，故有两根， 则存在，使得无限接近于，又， 则可趋向于正无穷，故无最大值，故③ 错误； 对④ ：当时，令，则，令，则，即， 故曲线与、轴正半轴分别交于点、点， 两点所在直线方程为， 该直线与坐标轴围成的三角形面积为， 设曲线在第一象限的部分的方程为， 则要证，只需证在直线上方， 将代入中， ， 由，，则，，又， 则，，故， 即， 即对任意直线， 其与的交点横坐标都大于与的交点横坐标， 故曲线在第一象限的部分在直线左上方， 故，故④ 正确. 故答案为：① ② ④ . 37．【答案】（1）     （2）或.     （3） 如图所示： ，， 令，则，即. ， ， 因为， 所以. 即为定值2.      【分析】 （1）根据题意得到 ，再解方程组即可. （2）设直线，，，与椭圆联立得到，，，再根据求解即可. （3），，从而得到，再结合韦达定理求即可. (1) 小问详解： 由题知： ，即： (2) 小问详解： 设直线，，， 则 ， 方程的判别式 ，， ， 因为，所以， 即 . 解得，即. 所以直线或. (3) 小问详解： 略 38．【答案】（1），     （2）证明见解析     （3）．      【分析】 （1）由题意可得，，结合，求解即可；将代入即可得的标准方程； （2）（法一）分直线斜率存在与不存在，结合韦达定理及三角形面积公式，求得，即可得证； （法二）分直线斜率是否为0，结合韦达定理及三角形面积公式，求得，即可得证； （法三）利用两点间的距离公式求得，利用点到线的距离公式求得点到直线的距离，最后根据三角形面积公式，求得，即可得证； （3）利用空间向量求解即可. (1) 小问详解： 设椭圆的焦距为． 因为椭圆离心率为 所以， 又因为 所以， 因为 所以， 所以椭圆的标准方程为． 当时，椭圆的标准方程为． (2) 小问详解： （法一）证明：当直线斜率不存在时，直线方程为， 当时，代入椭圆，得 所以，则． ． 当直线斜率存在时，设直线方程为， 设， 联立 ， 消去，得． 则， 化简得． 联立 ， 消去，得． 因为， 由韦达定理得． ． 综上，的面积为定值． （法二）证明：当直线斜率为0时，直线方程为， 当时，代入椭圆，得 所以，则． ． 当直线斜率不为0时，设直线方程为， 联立 ， 消去，得． 则， 化简得． 联立 ， 消去，得． 因为，由韦达定理得，． ． 综上，的面积为定值． （法三）利用，化简得， 则，点到直线的距离， 所以． (3) 小问详解： 折叠后，以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则． 点在线段上运动， 设\vec {PD}=\lambda \vec {PQ}=\lambda \left(2,-4,0\right)=\left(2\lambda ,-4\lambda ,0\right)\left(0\leq \lambda \leq 1\right)． 因为\vec {AP}=\left(0,4,-2\right)， 所以\vec {AD}=\vec {AP}+\vec {PD}=\left(0,4,-2\right)+\left(2\lambda ,-4\lambda ,0\right)=\left(2\lambda ,4-4\lambda ,-2\right)，\vec {AE}=\left(0,1,-2\right)，\vec {EQ}=\left(2,-1,0\right)． 设平面的一个法向量为，则\overset{\rightarrow }{n}\bot \vec {AE},\overset{\rightarrow }{n}\bot \vec {EQ}． 则 \begin{cases} \overset{\rightarrow }{n}\cdot \vec {AE}=y-2z=0\\ \overset{\rightarrow }{n}\cdot \vec {EQ}=2x-y=0 \end{cases} ， 取，则， 所以平面的一个法向量为． 设直线与平面所成角为， 则\sin \theta =\left| \cos \left\langle \overset{\rightarrow }{n},\vec {AD}\right\rangle \right| =\frac{\left| \overset{\rightarrow }{n}\cdot \vec {AD}\right| }{\left| \overset{\rightarrow }{n}\right| \left| \vec {AD}\right| }=\frac{\left| 6-6\lambda \right| }{\sqrt{6}\times \sqrt{20\lambda ^{2}-32\lambda +20}}=\frac{\sqrt{6}}{6}． 所以，解得或（舍）． 所以\vec {PD}=\frac{1}{2}\vec {PQ}， 即点是线段的中点， 所以． 即的长为． 考点02 双曲线 1．BCD 2．ABD 3．C 4．A 5．A 6．B 7．BC 8．【答案】（1）；     （2）；     （3）      【分析】 （1）计算得到，即可求得离心率； （2）设，在中，由勾股定理结合双曲线定义求得，再由 求出即得； （3）先求出直线方程，再与双曲线方程联立，结合韦达定理和弦长公式即可计算求解. (1) 小问详解： 双曲线的左顶点为，故， 则由双曲线的一条渐近线与直线AP垂直可知，则， 故双曲线方程为，其离心率为； (2) 小问详解： 由（1）得， ∵\vec {MF_{1}}\cdot \vec {MF_{2}}=0，∴，设， 则在中，有， 又由双曲线的定义，可得， 解得，则， 又，解得， ∴M点到x轴的距离为； (3) 小问详解： 因，则过且斜率为的直线的方程为， 与双曲线方程联立消元，可得， 设，则， 由弦长公式，=. 所以DE的长度为. 9．【答案】 【分析】 利用椭圆和双曲线的定义，在焦点三角形利用余弦定理得到，再用基本不等式求解. 【详解】 不妨设为第一象限的点，为左焦点， 设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为， 则根据椭圆及双曲线的定义可得， ，所以，， ，在△中，， 由余弦定理得， 化简得，即． 所以，从而， 当且仅当，且，即，时等号成立． 故答案为： 考点03 抛物线 1．D 2．D 3．C 4．【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）根据抛物线的定义即可求解； （2）设所求双曲线方程为，代入点求解参数即可． 【详解】 （1）因为到其焦点的距离为5，根据定义，到准线距离也为5， 抛物线的准线方程为， 故 ，则抛物线方程为． （2）由题意设双曲线方程为， 因为双曲线经过点，所以，故， 所以双曲线标准方程为， 即． 5．【答案】（1）     （2）① 2    ② 证明： 记直线与轴的交点为，由① 可知为的中点. 由抛物线的定义可得， 在直线中，令，可得 于是， 所以平分.      【分析】 （1）利用三角形的面积建立方程求出即可得出抛物线方程； （2）① 根据垂直关系可写出的斜率，得出点坐标，得到直线的方程即可求出直线截距得解；② 利用抛物线的性质求解 ，由等腰三角形即可求证. (1) 小问详解： 当轴时，，代入， 可得， 所以 ，解得， 所以抛物线的方程为. (2) 小问详解： ① 由（1）知，的方程为, 因为在抛物线上，即， 所以 因为，所以，解得， 所以, 由的方程为，得 令，可得，所以. ② 略 6．【答案】2 【分析】 分两种情况，若点在抛物线的开口外部，最小值为可求得；若点在抛物线的开口内部，则利用抛物线的定义转化求最小值，最小值为，最后再检验值即可. 【详解】 ①如图，若点在抛物线的开口外部，即，即， 则当点三点共线时，有最小值，最小值为， 因为，则，解得， 符合题意； ②如图，若点在抛物线的开口内部，即，即， 过点作，垂足为，其中直线为抛物线的准线， 则由抛物线的定义可知，， 所以当三点共线时，有最小值， 则，得，不符合符合题意， 故的值等于. 故答案为： 7．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由抛物线的定义计算即可得； （2）联立直线与抛物线方程，计算可得两交点横坐标关系，再利用两点间距离公式及点到直线距离公式计算出三角形的底与高即可得解. (1) 小问详解： 依题意得，抛物线C的焦点F坐标为，准线方程为， 由抛物线的定义可知，，解得， 所以抛物线C的方程为； (2) 小问详解： 设，， 则 ， 由 ，得， 则，， 所以， 又因为原点O到直线的距离， 所以的面积. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $