专题04 数列（期中真题汇编）高二数学上学期人教A版

**基本信息** 数列专题期中试题汇编，涵盖数列的概念、等差数列、等比数列三大高频考点，精选江苏苏州、甘肃陇南两地期中真题，基础题与综合解答题结合，如等比数列解答题融入几何操作情境，层次分明。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选|6|等差数列性质（项数为奇数的求和）、等比数列公比计算|注重基础公式应用| |多选|2|数列前n项和、等比数列与对数结合|考查概念辨析| |填空|4|数列通项公式、递推关系求项|强调抽象概括| |解答|6|等差数列求和、等比数列证明、数列与几何综合（圆半径问题）|跨考点综合，联系实际情境|

函学科网 www.zxxk.com 专题04数列 考点01数列的概念 考点02等差数列 考点03等比数列 D考点01数列的概念 1.B 2.ABD 3.【答案】29 【分析】 由已知可得。，-0-4可得0-提等差数列.可求得。 【详解】 由an+1+an=4n,可得an+2+an+1=4n+4,两式相减an+2-an=4, 1是首项为1，公差为4的等差数列， .azn-1 .a15=a2×8-1=a2×1-1+8-1d=1+28=29 故答案为：29 2n-1 4.【答案】 2n 【分析】 分别观察分子和分母的规律可得通项. 【详解】 由前四项可知，其分子为奇数1,3,5,7，…，2n-1,…, 其分母后一项是前一项的二倍2,4,8，…，2”，…， 所以数列a,的通项公式为0，=2n1 2n 2n-1 故答案为： 2n 5.【答案】(1)a,-10%1,S,=109n-10 91 81 (2)26664, (3)7 1/8 让教与学更高效 b,=20°-2” 6 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 【分析】 （1)依题意可得a,1-0,=10°=101-10 10 9 ，从而得到a+1 ,、10n*1 即可求出an的通项公 式，再由分组求和法计算可得： (2)依题意b是由2个n位数相加，其个位上的数字和为1+2×2-， n 十位上的数字和为1+2×2，…，第n位上的数字和为1+2×21，即可求出b,:再由 b1=1+2×2×10”+2b,:求出b,的通项公式： 20-1、100 (3)由(1)(2)可得3>9， > 再结合指数函数的性质计算可得. (1)小问详解： 依题意01-，=10°=101-10 9 所以a1-1010 10” 9a -10_1 -9,a19=g 。-10=-1, 所以数列a,-10为常数列，：.0 99 :0,=10°1 91 s,-1021+1021+…+1021-10-1+102-1++10-1号10+102++10-日n 99 99 =1×101-10_1m=10-1-9n-10: n= 91-109 81 (2)小问详解： 依题意b是由2个n位数相加，其个位上的数字和为1+2×2-1， 十位上的数字和为1+2×2-，…，第n位上的数字和为1+2×2-1， 又b,=1+2=3:b2=1+2×2×102+2×3=66'b3=1+2×22×102+2×66=1332 218 品学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 所以b,=1+2×8×103+2b,=24000+2664=26664 b1-1+2×2”×10+2b,=2b.+3×20°=2b,+×20*1-×20, 6 3 所以6名×201-2-×206×20-君 6 所以6，言×20是以名为甘项2为公比的等比藏列， 6 所以言×20=b日×20×2-答，-202. 6 6 3)小问详解： 由20-210010°-1，即2-10°-1、10010°-1,10-1>0 6 9 3 9 31g0,所2200-66 21>100 3 3 风y2产在定义域上单调递增，且2=128>66号，2”=64<66孕 3 所以n的最小值为7. D考点2等差数列 1.C 2.B 3.A 4.B 5.【答案】①2 ②2n 【分析】 由a11=2a,-2:得到a12=20。-2结合条件可得a,-2=0即可求解 【详解】 318 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由a,1=2a,-2得到a1-2=2an-2又a=2则a,-2=0 所以an-2=0,得到an=2,所以Sn=2n, 故答案为：2：2n 6.【答案】(1)a,=2,bn=n (2)R=n-121+2 【分析】 (1)利用a,'S的关系可求得a,b,=T.-Tn-n≥2，可得n-1b1+1=nb递推关系，进而可得 bm+1+bn-1=2bnn≥2可求通项公式： (2)利用错位相减法可求得R. 1)小问详解： 0,=S,-Sn1=20,-20-1→0=20，-1n≥2当n=1时，a,=2 :数列a,是首项为2，公比为2的等比数列，0，=2” .-1b=T。-T1m1.h-1们+b山n2 2 2 2 整理得n-2b.+1=n-1b,-1n≥20，n-1b1+1=nb,② ②0得n-1b1+ln-1bn1=2n-1b,n≥2即b1+b-1=2b,n≥2 即数列b是等差数列，b,=1b,=2:d=1'b,=b,+n-1d=n (2)小问详解： anbn=n2"∴.Rn=12+2·22+323+…+n2m, .2Rn=122+223+324++n2m+1 两式相减R=-2+2+2++2+n-21=2-2*1+n21=n-1-21+2 418 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 即数列a,b.的前n项和R,=n-1小21+2 7.【答案】(1)an=2n-1 (2)Tn=n-13"+1 (G)Q.-2m1 【分析】 (1)设等差数列a,的公差为。”根据题意可得出关于a,d的方程组，解出这两个量的值，即可得出数 an 列a的通项公式： (2)求得c,=2n1小3-1，利用错位相减法可求得T, (3)利用1)中结果得d,=,1, 1,再由裂项相消法，即可求解. 22n-12n+1 (1)小问详解： 设等差数列a的公差为。 由a2。=2a,+1可得a1+2n-1d=2a,+21n-1d+1:可得a,-d+1=0@, 电5，=4s,可40+3“44-42a+22 2 整理可得2a,=d②， 联立0②可得a,=1'd=2所以a,=a,+n-1d=1+2n-1=2n-1 (2)小问详解： 因为b,=3-1,则c=a,b,=2n-1-3”-, 所以T。=1-3+33+532++2n-1小-3-1③， 3Tn=13+332+…+2n-33m-1+|2n-1-3m④， ®_④得-2T。=1+2×32+32++3--2n-13 518 品学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 =1+61-3-2m-1小-3=-2+2-2mg 1-3 所以T,=n-1小3”+1 3)小问详解： 白0a-2a-1所dad2ni2n剑22 1 则0--号}t202a5-220 考点03等比数列 1.D 2.A 3.BD 4.【答案】(1)证明如下： 由影意，数列a满足a1+a,=32即 n+1=-an+32, 则9-2-0，+32Y2-02-1 0n-2” an-2”a-2” 又由a,=1可得a,-2=-1 所以数列a,-2是首项为-1公比为-1的等比数列（2》s,=2+1-5 【分析】 (1)变形得到0+1-2*1 -1:从而得到a,-2”为首项为-1，公比为-1的等比数列： 0n-2” (2)由1)求得a,=2+(-1:结合等比数列的求和公式，即可求解 618 品学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 (1)小问详解： 略 (②)小问详解： 由1)知a,-2=-1×(-1r=(-1得到a,=(-1P+2 所以数列a,的前n项和利5,212+-1--1-24+-1”-5 1-2 1-(-1） 5.【答案】①8 81 【分析】 1 由题意可知小圆半径是首项为公比为}特舞比数列：大圆半径是首项为，公比为等比数列，结合等 数列前n项和公式计算即可求解. 【详解】 n次操作后，小圆的半径依次为1,1.21.2.212n1, 333333…33 大圆的半径依次为22,22,2222n-1 33333333 所以小圆半径是首项为行，公比 等比数列， 3 大烟半径是过顶号公比为号等比数列 4次操作后图中最小的圆的半径为上.23_8： 3381 次操作后，小圆面积和为： 7/8 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2 1-4 1 大圆面积和为： π 皇所以大圆与小圆面积和 1号 引-1-1-x1- 则有面的商积和1-号+=2-号门 8/8 专题04 数列 3大高频考点概览 考点01 数列的概念 考点02 等差数列 考点03 等比数列 考点01 数列的概念 1．（25-26学年高二上·江苏苏州·期中）已知数列满足，则的值为（       ） A.  B.  C.  D. 2 【答案】B 【分析】 根据题意，求得，得到数列是周期为3的周期数列，结合，即可求解. 【详解】 因为数列满足， 可得，，，…， 可得数列是周期为3的周期数列，所以. 故选：B. 2．（25-26学年高二上·江苏苏州·期中）（多选）已知数列满足，，其前项和为，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】ABD 【分析】 对于A，根据递推式计算即可；对于B，由题可得，再根据即可推导；对于C，可举例判断；对于D，由题知，，再利用累加法即可求解． 【详解】 ，，，，，故A正确； 对于B，由， ，故B正确 对于C，当时，，而，，故C错误. 因为，， 即，，…， 累加得 ，故D正确. 故选：ABD. 3．（25-26学年高二上·江苏苏州·期中）已知数列满足，，则的值为　　　　　　　　　　　. 【答案】29 【分析】 由已知可得，可得是等差数列，可求得. 【详解】 由，可得，两式相减， 是首项为1，公差为4的等差数列， . 故答案为：. 4．（25-26学年高二上·甘肃陇南·期中）已知数列的前4项分别为，，，，则数列的一个通项公式可以为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 分别观察分子和分母的规律可得通项. 【详解】 由前四项可知，其分子为奇数， 其分母后一项是前一项的二倍， 所以数列的通项公式为. 故答案为： 5．（25-26学年高二上·江苏苏州·期中）已知数列的第项是由个1构成的位数，如：，，，…数列的第项是由1或2构成的所有位数的和，如：，，，… （1）求数列的通项公式及其前项和； （2）试求出，并直接写出数列的一个通项公式（无需说明理由）； （3）求满足不等式的正整数的最小值.（参考数据：，） 【答案】（1），；     （2），     （3）7      【分析】 （1）依题意可得，从而得到，即可求出的通项公式，再由分组求和法计算可得； （2）依题意是由个位数相加，其个位上的数字和为， 十位上的数字和为，，第位上的数字和为，即可求出，再由，求出的通项公式； （3）由（1）（2）可得，再结合指数函数的性质计算可得. (1) 小问详解： 依题意， 所以，又， 所以数列为常数列，， ， ； (2) 小问详解： 依题意是由个位数相加，其个位上的数字和为， 十位上的数字和为，，第位上的数字和为， 又，，， 所以， ， 所以，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即； (3) 小问详解： 由，即，， 即，所以， 又在定义域上单调递增，且，， 所以的最小值为. 考点02 等差数列 1．（25-26学年高二上·江苏苏州·期中）在等差数列中，若，则的值为（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】 由等差数列等差中项的性质直接求解即可． 【详解】 在等差数列中，． 故选：C． 2．（25-26学年高二上·江苏苏州·期中）已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（       ） A. 10 B. 19 C. 21 D. 29 【答案】B 【分析】 设项数为，则，再利用等差中项的性质和等差数列的求和公式化简，然后计算可得. 【详解】 设项数为， 则， . 此数列共有19项. 故选：B 3．（25-26学年高二上·甘肃陇南·期中）已知数列都是等差数列，且，，，则数列的前10项的和为（     ） A. 550 B. 450 C. 1100 D. 900 【答案】A 【分析】 由等差数列的下标和性质和前项和公式求解即可. 【详解】 由等差数列的性质知：， 所以数列的前10项的和为: . 故选：A. 4．（25-26学年高二上·甘肃陇南·期中）已知一个多边形的周长为，所有各边的长度成等差数列，最大的边长为，公差为3，则这个多边形的边数是（     ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【分析】 设这个多边形的最小边长为，根据等差数列的通项公式和前项和公式，列出方程组，求得的值，即可得到答案. 【详解】 设这个多边形的最小边长为， 因为多边形的周长为，且最大的边长为，公差为， 可得 ，解得，即这个多边形的边数是. 故选：B. 5．（25-26学年高二上·甘肃陇南·期中）若数列的首项，且满足，则数列的通项公式为　　　　　　　　　　　，设数列的前项和为，则　　　　　　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 由，得到，结合条件可得，即可求解. 【详解】 由，得到，又，则， 所以，得到，所以， 故答案为：;. 6．（25-26学年高二上·江苏苏州·期中）记数列的前项和为，满足.记数列的前项和为，满足，，. （1）求数列，的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1），     （2）      【分析】 （1）利用，的关系可求得；，可得递推关系，进而可得，可求通项公式； （2）利用错位相减法可求得. (1) 小问详解： ，当时， 数列是首项为2，公比为2的等比数列， 由得， 整理得① ，② ②-① 得，即 即数列是等差数列，，，， (2) 小问详解： ， ， 两式相减， 即数列的前项和. 7．（25-26学年高二上·甘肃陇南·期中）已知等差数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若，令，求数列的前项和； （3）若，求数列的前项和． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出数列的通项公式； （2）求得，利用错位相减法可求得； （3）利用（1）中结果得，再由裂项相消法，即可求解. (1) 小问详解： 设等差数列的公差为， 由，可得，可得① ， 由，可得，整理可得② ， 联立① ② 可得，，所以. (2) 小问详解： 因为，则， 所以③ ， ④ ， ③④ 得 ， 所以. (3) 小问详解： 由（1）知，所以， 则. 考点03 等比数列 1．（25-26学年高二上·甘肃陇南·期中）已知等比数列的首项为-1，前项和为，若，则公比（       ） A. 2 B. -2 C.  D.  【答案】D 【详解】根据等比数列前n项和公式，可求得表达式，结合题干条件，即可求得q的值. 【详解】 当公比时，，不满足题意，当时，，， 所以，解得， 故选：D 2．（25-26学年高二上·江苏苏州·期中）已知等比数列的首项为64，公比为，记为数列的前项积，则当时正整数的最大值为（       ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 【答案】A 【分析】 利用等比数列的通项公式求出，再结合数列的单调性分析时正整数的取值. 【详解】 由题意，，， ，，， 当时正整数的最大值为12. 故选A. 3．（25-26学年高二上·江苏苏州·期中）（多选）正实数，，不全相等（       ） A. 若，，是等差数列，则，，也是等差数列 B. 若，，是等比数列，则，，也是等比数列 C. 若，，是等差数列，则，，也是等差数列 D. 若，，是等比数列，则，，也是等比数列 【答案】BD 【分析】 利用赋值法可判断AC；利用等比中项法可判断BD. 【详解】 对于A，取，则，， 所以，，不成等差数列，故A错误； 对于B，若，，是等比数列，则，所以， 所以，，是等比数列，故B正确； 对于C，取，则， 又，故，，不是等差数列，故C错误； 对于D，若，，是等比数列，则， 又，所以，，是等比数列，故D正确. 故选：BD. 4．（25-26学年高二上·甘肃陇南·期中）已知数列的首项为，且满足. （1）求证：是等比数列. （2）求数列的前项和. 【答案】（1）证明如下： 由题意，数列满足，即， 则， 又由，可得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列.     （2）      【分析】 （1）变形得到，从而得到为首项为，公比为的等比数列； （2）由（1）求得，结合等比数列的求和公式，即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）知，得到， 所以数列的前项和. 5．（25-26学年高二上·江苏苏州·期中）如图，在一个大圆中放入两个半径之比为1：2的小圆，使得两小圆外切，且它们均内切于大圆，且三个切点共线，记为一次操作.之后的每次操作，都在前一次放入的较大的圆中进行上述操作，现有一个半径为1的大圆，则4次操作后图中最小的圆的半径为　　　　　　　　　　　，次操作后图中所有圆的面积总和为　　　　　　　　　　　. 【答案】①     ② 【分析】 由题意可知小圆半径是首项为，公比为等比数列；大圆半径是首项为，公比为等比数列，结合等比数列前项和公式计算即可求解. 【详解】 次操作后，小圆的半径依次为， 大圆的半径依次为， 所以小圆半径是首项为，公比为等比数列， 大圆半径是首项为，公比为等比数列， 4次操作后图中最小的圆的半径为； 次操作后，小圆面积和为： ， 大圆面积和为： 所以大圆与小圆面积和为， 则所有圆的面积总和为. 故答案为： 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04数列 3大高频考点概览 考点01数列的概念 考点02等差数列 考点03等比数列 D考点01数列的概念 1.《2526学年高二上江苏苏州期中)已知数列1a,满足Q,=2,01=1-是则am的值为 a ( A.-2 B.-1 D.2 2.(25-26学年高二上江苏苏州期中)（多选)已知数列a满足a=a,=1'a2=a1+a,n∈N 其前n项和为Sn,则( A.a6=8 B.Sn=an+2-1 C.dQz+dad++dndn=1 D.adta+…+ai=anam+1 3.(25-26学年高二上江苏苏州期中)已知数列[a满足a1=1'a1+a,=4n则a的值为 1357 4. (25-26学年高二上甘肃陇南期中)已知数列Q,的前4项分别为2子816 则数列an的一个 通项公式可以为Qn= 5.（25-26学年高二上江苏苏州：期中)已知数列[a,的第n项是由n个1构成的n位数，如：Q=1 a,=11?a,=111:…数列{b,的第n项是由1或2构成的所有n位数的和，如：b,=1+2=3 b2=11+12+21+22=66,b3=111+112+121+122+211+212+221+222=1332,… (1)求数列a,的通项公式及其前n项和s,: 114 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)试求出b:并直接写出数列b,的一个通项公式（无需说明理由）： (3)求满足不等式bn>100an的正整数n的最小值.（参考数据：1g2≈0.30，lg3≈0.48） D考点02等差数列 1·(25-26学年高二上·江苏苏州期中)在等差数列{a,中，若a,+a,=6则a,的值为 ( A.1 B.2 C.3 D.4 2.(25-26学年高二上·江苏苏州期中)已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290， 所有偶数项的和为261.则此数列的项数为( ) A.10 B.19 C.21 D.29 3.(25-26学年高二上甘肃陇南期中)已知数列a,b,都是等差数列，且a,=3b2=7a,+b。=100, 则数列a,+b,的前10项的和为（ ) A.550 B.450 C.1100 D.900 4.(25-26学年高二上.甘肃陇南·期中)已知一个多边形的周长为158，所有各边的长度成等差数列，最 大的边长为44，公差为3，则侧这个多边形的边数是( A.3 B.4 C.5 D.6 5.（25-26学年高二上-甘肃陇南：期中)若数列[a的首项a,=2且满足。1=2a,-2则数列a,的通项 公式为an三 设数列a的前n项和为S则s,= 6. （25-26学年高二上江苏苏州：期中)记数列[a的前n项和为S。:满足S。=2a,-2记数列b,的前n项 和为T,满足6，=b,=2T,n1+b 2 1)求数列a,b,的通项公式： 214 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)求数列a,b,的前n项和R 7.（25-26学年高二上甘肃陇南·期中)已知等差数列{a,的前n项和为S,:且S4=4S, a2n=2an+1n∈N 1)求数列a的通项公式： (2)若b,=3-1,令c,=a,b,求数列c的前n项和T, (3)若d,=,。,求数列d,的前n项和Q anan-1 D考点03等比数列 1.(25-26学年高二上·甘肃陇南·期中)已知等比数列的首项为1，前n项和为S:若S=3引，则公比 S532 q=( A.2 B.-2 c. 2.(2526学年高=上江苏苏州期中)已知等比数列0，的首项为64，公比为7记T,为数列a,的前n 项积，则当Tn>1时正整数n的最大值为( A.12 B.13 C.14 D.15 3.(25-26学年高二上江苏苏州期中)（多选）正实数a,b,C不全相等( ) A.若a,b,c是等差数列， ,上，上也是等差数列 a’bc B若a,b,c是等比数列，则。弓也是等比数列 C.若a,b,c是等差数列，则V叵，V叵，V口也是等差数列 D.若a,b,c是等比数列，则V厅，V叵，V叵也是等比数列 4。(25-26学年高二上甘肃陇南期中)已知数列a,}的首项为a1=1且满足a1+a,=32 (1)求证：{a,-2是等比数列， 314 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)求数列a,的前n项和s, 5.(25-26学年高二上·江苏苏州·期中)如图，在一个大圆中放入两个半径之比为1：2的小圆，使得两小 圆外切，且它们均内切于大圆，且三个切点共线，记为一次操作.之后的每次操作，都在前一次放入的较大 的圆中进行上述操作，现有一个半径为1的大圆，则4次操作后图中最小的圆的半径为 ，n次操作后图中所有圆的面积总和为 人 第1次操作前 第1次操作后 第2次操作后 414