第3章《勾股定理》单元测试卷 2026--2027学年苏科版八年级数学上册

**基本信息** 《勾股定理》单元测试卷，覆盖勾股定理应用、逆定理、图形变换等核心知识，通过文化情境、实际问题及创新定义题，考查抽象能力、几何直观与推理能力，适配初中单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|直角三角形边长计算、勾股数规律、赵爽弦图|第5题以赵爽弦图为背景，融合面积关系，体现文化传承与几何直观| |填空题|6/18|实际应用（木门检测、旗杆测量）、阴影面积计算|第13题结合生活情境，通过两次测量建立方程，培养应用意识| |解答题|7/72|折叠问题、旋转综合、最短路径（蚂蚁爬行）|第23题“蚂蚁爬行”问题，通过表面展开转化为平面路径，发展空间观念与创新意识|

第3章《勾股定理》单元测试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1.若直角三角形的两边长为3和4，则第三边长为() A.5或7 B.1 C.7 D.25 2.如图，在△ABC中，AB=13,AC=12,BC=5,点D是AC的中点，连接BD,则BD的长为 D B A.6 B.3 C.7 D.V61 3.在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明发现了如下有规律的勾股数，并将它们记录在 如下的表格中.则当a=22时，b+c的值为() 6 8 10 12 14 b 8 15 24 35 48 10 17 26 37 50 A.360 B.200 C.280 D.242 4.某巡逻舰在太平洋海域的A点执行任务时，发现南偏东50°方向，距离15海里的B点，有一 艘敌舰正以16海里/小时的速度沿南偏西40°方向行驶.巡逻舰立即沿直线方向进行驱离，半 小时后在C点成功拦截敌舰并完成驱离任务.则巡逻舰的航行速度为() 北 之东 >东 A.16海里/小时 B.20海里/小时 C.32海里/小时 D.34海里/小时 5.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”. 如图是由八个全等的直角三角形拼接而成的，记正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT 的面积分别为S1,S2,S3.若正方形EFGH的边长为2，则S1+S2+S3的值为(). B A.6 B.8 C.12 D.16 6.如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AB=AC=8,点E为AC上一点，且CE=2,点D为 边AB上一点，连接DE,将△ADE沿DE折叠得到△ADE,若EA的延长线恰好经过点B,则 AD的长为() E A.2 B.3 C.4 D.6 7.在如图所示的5×5的方格图中，点A和点B均为图中格点.点C也在格点上，满足△ABC 为以AB为斜边的直角三角形.这样的点C有() B A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 8.如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，动点E在边BC上，连接AE,将AE绕点E顺时 针旋转90°至EF,连接AF、EF、CF、DF,则AF+DF的最小值是() A.4 B.2V5 C.5 D.V26 9.如图，BD=BC=5,AB=1,AC=2,AD=2.则∠C+∠D=。 D A.15 B.30 C.45 D.60 10.如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6,PB=8,PC=10.若将△PAC绕点A逆时 针旋转后，得到△MAB,则∠APB等于() B M A.120° B.135° C.150° D.160° 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11.如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，采用了如下方法进行检 测：先测得门的边AB和BC的长分别为2m和1m,又测得点A与点C间的距离为2.5m,则小红 家的木门 (填“已变形”或“没有变形”)， B 12.如图，已知Rt△ABC的两直角边分别为6,8，分别以其三边为直径作半圆，则图中阴影 部分的面积为 C 6 13.某班数学兴趣小组到平坦的操场上测量旗杆AB的高度，信息如下： ①已知绳子一端系在旗杆顶端A处，甲同学拉直绳子退至离旗杆3.5米的E点处，此时手上 的绳子还剩0.5米； ②甲同学继续往后退1.5米到达G点.此时手上的绳子刚好用完： ③甲同学拉绳子的手到地面的距离都是1.6米；则旗杆AB的高度为米. A H B E G 14.如图，在正方形ABCD外取一点E,连接AE,BE,DE,过点A作AE的垂线交DE于点P. 若AE=AP=2,PB=10,则正方形ABCD的边长为 D 15.如图，在等腰直角△ABC的斜边AB上任取两点M,N,使∠MCN=45°，记 AM=m,MN=n,BN=k,则以m,n,k为边长的三角形的形状是 AmM n NkB 16.如图，河的两岸有A,B两个水文观测点，为方便联络，要在河上修一座木桥MN(河的 两岸互相平行，MN垂直于河岸)，现测得A,B两点到河岸的距离分别是5米，4米，河宽4 米，且A,B两点之间的水平距离为12米，则AM+MN+NB的最小值是米. 三、解答题（本大题共7小题，满分72分） 17.(6分)如图，八(1)班同学课间做折纸游戏，选用一张矩形纸片ABCD进行折纸.已 知该纸片长AD为10cm,宽AB为8cm,折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE). E (1)BF= cm,FC= cm: (2)求EF的长. 18.(8分)赵爽弦图是中国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时提出的勾股定理证明方 法，记载于三国时期.图①是一个赵爽弦图，四个直角三角形较短的直角边长都为Q,较长的 直角边长都为b,斜边长都为C,大正方形的面积可以表示为c,也可以表示为 4×上ab+a-b,由此推导出勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长 为c,则a+b2=c2 D b 图① 图②B A HK图③ (1)【探索求证】 数学兴趣小组的学生用三块直角三角形硬纸板拼出图②，其中∠A=∠D=∠BCE=90°，请你 利用图②推导勾股定理. (2)【问题解决】 同学们经过进一步研究，发现通过勾股定理，可以计算任意已知三条边长的三角形的面积. 如图③，已知△HMN中，HM=13,MN=15,HN=14,作MK⊥HN,就可以计算出△HMN的 面积.请你完善解答过程，求出△HMN的面积. 19.(10分)如图，在8×8的方格纸中，△ABC的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点） 上，这样的三角形叫格点三角形 图1 图2 (1)仅用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹）： ①在图1中，作出△ABC的AC边上的高BH: ②在图2中，点F为AC的中点，在AB上作点D,使∠ADF=∠ACB: (2)在8×8的方格纸中与△ABC全等且有一条公共边的格点三角形（不含△ABC)共有 个 20.(10分)定义：若a,b,c是△ABC的三边，且a+b2=2c2,则称△ABC为“方倍三角 形”. (1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是_· A.①一定是“方倍三角形” B.②一定是“方倍三角形” C.①②都一定是“方倍三角形” D.①②都一定不是“方倍三角形” (2)如图，△ABC中，∠ABC=120°，∠ACB=45°，P为AC边上一点，将△ABP沿直线BP进 行折叠，点A落在点D处，连接CD,AD.若△ABD为“方倍三角形”，且AP=2,求 △PDC的面积. 习D P B 21.(12分)已知正方形ABCD和等腰直角三角形AEF.连接CE、CF. E B E 图1 图2 图3 (I)点P为线段CF的中点，连接DP ①如图1所示，当点E、F分别在边AB、AD上时，请直接写出DP与CE之间的关系； ②将△AEF绕点A旋转到图2的位置，请写出∠PDC与∠ACE之间的数量关系并证明； (2)将△AEF绕点A旋转到图3的位置，作FG⊥CD于点G,设FC、EC的长分别为m、n,则 DG·DC的值是_（用含m'n的式子表示）· 22.(12分)已知△ACD和△ECB都是等腰直角三角形，∠ACD=∠ECB=90°. D D C B 图① 图② 图③ 【初步探索】如图①，点A、C、B在同一条直线上，点E在CD上，连结AE、BD,线段AE与 BD的数量关系是 位置关系是 【拓展延伸】如图②，点A、C、B不在同一条直线上，点E在△ACD内，点B在△ACD外， 连结AE、BD,(1中的结论是否仍然成立？请说明理由. 【知识应用】如图③，△ACD和△BCE两块等腰直角三角尺，∠ACD=∠ECB=90°.连结 AEDE若有AE2=DE2+2CE,则∠DEC的度数为 23.(14分)十九世纪英国赫赫有名的谜题创作者在1903年的英国报纸上发表了“蚂蚁爬 行”的问题.问题是：如图①，在一个长、宽、高分别为8m,8m,4m的长方体房间内，一 只蚂蚁在右面墙与后墙及地面的墙角处（即M点处），苍蝇正好在左面墙与房顶相交位置 (即W点处)，并且距离后面墙2m,蚂蚁爬到苍蝇处应该怎样爬行所走路程最短，最短路程 是多少m？这只蚂蚁在长方体表面爬行的问题，引起了当时很多数学爱好者的研究与讨论， 今天我们也一起来研究一下这个当时非常热门的数学问题！ 【方案设计】 为了研究上面提出的“蚂蚁爬行”的最短路线问题，小明先进行了如下操作；如图②，是由6 个棱长为1m的小正方体所搭建的几何体，一只蚂蚁从点A出发，沿几何体的表面爬到点B, 沿什么路线爬行所走路程最短？ B b 图① 图② 图③ 图④ 图⑤ (1)观察发现：蚂蚁从A点出发，为了走出最短路线，根据两点之间线段最短的知识，并结 合展开与折叠原理，一共有3种不同的爬行路线. ①填空：例如：图③是由上面与右面展开得到的平面图形；图④是由 面与」 面 展开得到的平面图形（填“前”、“后”、“左”、“右”、“上”、“下”）； ②画图：3种不同的爬行路线，小明已经画出了其中两种，请你在网格中补充出第三种展开 得到的平面图，并画出相应的最短路线，即线段A3B3: (2)比较验证 ③比较AB1,A2B2,A,B3三种爬行路线的长短后可得，线段AB1,AB2,A3B3中最短路线 是 【问题回归】 定义：如图⑤，在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的 平方.数学语言表达：如图，如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b,斜边长度是 c,那么可用a2+b=c进行相关计算.请你试着用从上面定义中学到的新知识解决你遇到的问 题. (3)最后让我们再回到那道十九世纪英国报纸上发表的“蚂蚁爬行”的问题（如图①），若 那只蚂蚁所走的路程用d表示，则'最小值为一· 参考答案 一、选择题 1.A 解：当长为4的边是斜边，长为3的边是直角边时， 由勾股定理可得：第三边长为42-32=V7; 当长为3和4的边都是直角边，第三边为斜边时， 由勾股定理得：第三边长为4+3=5； 综上所述，第三边长为5或V7. 2.D 解：.AC=12,BC=5,AB=13, ∴.AC2+BC2=12+52=144+25=169, AB2=132=169' ..AC2+BC2=AB2, ∴.∠C=90°. ,点D是AC的中点， CD-jAC=6. .在Rt△BCD中， BD=VBC2+CD2=V52+62=/25+36=V61 3.D 解：根据表格中数据可得：a2+b2=c2,并且c=b+2, 则a2+b2=(b+22, 当a=22时，222+b2=(b+22, 解得：b=120, 则c=120+2=122, ∴.b+c=120+122=242. 4.D 解：如图所示，由题意得，AF‖BE,∠FAB=50°，∠CBE=40°，AB=15海里， 北 之东 北 个B,东 ∴.∠ABD=∠FAB=50°， ∴.∠ABC=180°-∠ABD-∠CBE=180-50°-40°=90°， 敌舰以16海里/小时的速度沿南偏西40°方向行驶，半小时后在C点成功拦截敌舰并完成驱 离任务， :BC=16×左8（海里)， .AC=AB+BC2=152+82=17(海里)， 巡逻舰的航行速度为17：上=34（海里/小时）. 2 5.C 解：设八个全等的直角三角形中每个小直角三角形的短直角边为a,长直角边为b,斜边为C, ∴.a2+b2=c2 ·正方形EFGH的边长为2， ∴.S2=c2=2=4' 正方形ABCD的面积为s,=a+b2=a2+b2+2ab=c2+2ab' 正方形MNKT的面积为s,=b-a=a-bP=a2+b2-2ab=c2-2ab' ∴.S1+S2+S3=c2+2ab+c2+c2-2ab=3×c2=3×4=12: 6.B 解：如图， D B .CE=2,AC=8 ∴.AE=AC-CE=6, 在Rt△ABE中，由勾股定理得BE=VAB+AE2=V82+6=10, 设AD=X,则BD=AB-AD=8-X 由折叠得AD=AD=X,AE=AE=6,∠DAE=∠A=90°， ∴.BA=BE-AE=4,∠DAB=180°-∠DAE=90° 在Rt△ADB中，由勾股定理得BD=BA2+DA? .42+x2=8-x2, 解得x=3, .AD=3 7.B 解：如图，满足条件的点C共有4个， B 8.B 解：过点F作BC的垂线交BC延长线于点G,并在BC延长线上取点Q,使得CD=CQ,连接FQ, 连接AQ, 1.0 G ,四边形ABCD是边长为2的正方形， AB=BC=CD=AD=2,∠B=∠BCD=∠D=90°， 由旋转性质得AE=EF,∠AEF=90°， .∠BAE=∠GEF=90°-∠AEB, FG⊥BC, ∴.∠FGE=∠EBA=90°， ∴.△ABE≌△EGFAAS, ∴.BE=GF,EG=AB=BC, ∴.BE+CE=CG+CE, ∴.CG=BE=FG, ∴.△FGC是等腰直角三角形， .∠FCG=45°， .∠DCQ=90°， ∴.∠DCF=∠FCG=45°， .CD=CQ,CF=CF, ∴.△DCF≌△QCF SAS, ∴.DF=QF, ∴.AF+DF=AF+QF, 当F点在线段AQ上时，AF+DF有最小值，最小值为AQ的长， 在Rt△ABQ中，AB=2,BQ=BC+CQ=4,∠ABQ=90°， ∴.AQ=VAB2+BQ=2V5, .AF+DF的最小值为2V5】 9.C 解：如图，过点D作DE⊥AB,垂足为E, 51 A B ∴.DE2=AD2-AE2,DE2=BD2-BE2,∠E=90°， ∴.AD2-AE2=BD2-BE2, 设AE=X,则BE=AE+AB=X+1, 2-x2=5-x+12” 解得x=1,即AE=1, ∴.DE=VAD2-AE2=1, 又AB=1, ∴.AE=DE=AB, ∠EAD=1801E=450, 2 “AB2+AC2=12+22=5BC2=R5=5:即AB2+AC2=BC2, ∴.∠BAC=90°， 在Rt△ABC和Rt△EBD中， i ∴.Rt△ABC≌Rt△EBD HL, ∴.∠C=∠EBD, .∠EBD+∠ADB=∠EAD=45°， ∴.∠C+∠ADB=45 故选：C. 10.c 连接PM,如图， M 由旋转性质可知，△APC≌△AB, ∴.APAM,BPC10, .∠MAP-60°， .△APM是等边三角形， .P胙AP-6, .PB8, ∴.B=PB+Mp, ∴△PMB是直角三角形， ∴.∠MPB-90°， .∠MPA=60°， .∠APB150°. 二、填空题 11.已变形 解：，木门正常时，∠B应为直角，根据勾股定理，应有： AB2+BC2=AC2 .AB=2m,BC=1m, ∴.AB2+BC2=22+12=4+1=5 又测得AC=2.5m, .AC2=2.52=6.25 5≠6.25，即AB2+BC≠AC2, ∴.∠B不再是直角，木门已变形. 12.24 解：在Rt△ABC中，AC=6,BC=8, .AB=AC2+BC2=10, 则S阴g=S￥AC+S圆BC+S△ABc-S圆AB =+4+号x6x8- 2n* 2n =24 13.13.6 解：连接HF并延长交AB于M, H B .∴.MF=3.5,HF=1.5,BM=1.6’AH=AF+0.5 则MH=MF+HF=5, 在Rt△AMF中，AM+MF2=AF2, 即AM2+3.52=AF①， 在Rt△AMH中，AM2+MH2=AH2=AF+0.5P, 即AM2+52=AF+0.5②， 由②-①得：52-3.52=AF+0.5P-AF2=AF+0.25, 解得AF=12.5, 代入①得：AM2+3.52=AF2=12.52, ∴.AM2=12.52-3.52=12.5+3.512.5-3.5=144 .∴.AM=12 AB=AM+MB=12+1.6=13.6（米)， 故答案为：13.6. 14./10 解：，四边形ABCD是正方形， .∴AB=AD,∠BAD=90°， .AP⊥AE, ∴.∠EAP=90°， ∴.∠EAB=∠PAD 又AE=AP, ∴.△ABE≌△ADP SAS, ∴.BE=DP,∠AEB=∠APD, .AE=AP=2,∠EAP=90°， :.△AEP是等腰直角三角形， ∴.∠AEP=∠APE=45°，EP=V2+2=2V2, .∠APD=180°-45°=135°， ∴.∠AEB=135°， ∴.∠BEP=135°-45°=90°， 在Rt△BEP中，PB=V10,EP=2V2, .BE=PB2-EP2=10-8=2. 过点B作BF⊥AE,交AE的延长线于点F, 4 D D E B C :∠AEB=135°， ∠BEF=45°， ∴.△BEF是等腰直角三角形， ∴.EF=BF=1 .AF=AE+EF=2+1=3, 在Rt△ABF中，AB=AF2+BF2=32+1=V10. 15.直角三角形 解：如图：把△ACM绕C点逆时针旋转90°，得△CBD, 则△ACM≌△BCD, Am M n Nk B ∴.∠ACM=∠BCD,CM=CD,∠MCN=∠NCD=45 又，CN=CN, .△MNC≌△DNC, .∴.MN=ND=n,AM=BD=m' 又∠DBN=45°+45°=90°， .n2=m2+k2, .以m、n、k为边长的三角形的形状是直角三角形. 故答案为：直角三角形 16.19 解：如图，将AM沿着竖直方向平移4米，即平移到NH,连接AH,BH.过点B作BQ⊥AH 交AH延长线于点Q. B .将AM沿着竖直方向平移4米，即平移到NH, .AM=HN, ∴.AM+MN+NB=MN+HN+BN≥MN+BH, 即AM+MN+NB≥MN+BH .河宽4米， ∴.MN=4(米)， .AM+MN+NB≥4+BH, A,B两点到河岸的距离分别是5米，4米，河宽4米， ∴.AQ=5+4+4=13(米)， ∴.HQ=AQ-AH=13-4=9(米)， .A,B两点之间的水平距离为12米， .BQ=12(米)， .BQ⊥AH交AH延长线于点Q, ∴.∠Q=90°. 在Rt△HQB中， HB=VHQ2+BQ=g2+12=15（米）， .AM+MN+NB≥4+BH=4+15=19(米)， 即AM+MN+NB的最小值是19米. 三、解答题 17.(1)解：四边形ABCD是矩形， ∴.AD=BC, 由折叠可得，AD=AF, .AB=AF=AD=10, .AB=8, 在Rt△ABF中，AF2=AB+BF2, 102=82+BF2, ∴.BF=6; .BF+CF=BC, ∴.6+CF=10, .CF=4; 故答案为：6；4. (2)解：：四边形ABCD是矩形， ∴.AB=DC=8, 由折叠可得，EF=DE, 设CE=x, ∴.DE=DC-CE=8-x, 在Rt△EFC中，EF2=CE2+CF2, .8-x2=x2+42, 解得：x=3, ∴.EF=DE=8-3=5. 18.（1D期：5 A+batb-a+2ab+b+ab+, 2 2 2 且5as口mb+号c2+b-b+3 2 2 .12 a2+ab+b生ab+5cm 2 ∴.a2+b2=c2. (2)解：由题意设HK=x,, .HM=13,MN=15,HN=14' ∴.KN=HN-HK=14-x .MK⊥HN' .∴.∠MKH=∠MKN=90° 在Rt△MHK中， MK2=HM2-HK2=132-x2. 在Rt△MNK中， MK2=MN2-NK2=152-14-x2. .132-x2=152-14-x2, 解得x=5, .HK=5 .MK=132-52=12 .SAHMN 5×14×12=84, 19.(1)①作AE⊥BC,取格点G,连接BG并延长交AC与H, B 证明：由作图可知，AE=BE,∠CEA=∠GEB=90°，CE=≥U, ∴.△CEA≌△GEB SAS, ∴.∠ACE=∠BGE, .∠GBE+∠ACE=∠GBE+∠BGE=90°， ∴.∠BHC=90°， :.BH⊥AC,即BH为△ABC的AC边上的高； ②取格点M连接FM交AB于点D即可； B 证明：连接AM,取格点M下方格点为N 可知∠ADF=∠ANF+∠DFN=45°+∠DFN, 由勾股定理可知AM=√12+2=5，AF=12+22=V5,MF=/12+32=V10, .AM=AF,AM2+AF2=5+5=10=MF2, ∴.△AMF是等腰直角三角形， 即∠AMF=∠AFM=45°， NF‖BC, ∴.∠AFN=∠ACB, ∴.∠ACB=∠AFM+∠DFN=45°+∠DFN ∴.∠ADF=∠ACB: (2),'与△ABC全等且有一条公共边的格点三角形 :.分别是以AB,AC,BC为公共边的三角形 当公共边为AB时 当公共边为BC时 当公共边为AC时，不符合题意，舍去 B B 故答案为：2. 20.(1)解：对于①等边三角形，三边相等， 设边长为a, 则a2+a2=2a2, 根据“方倍三角形”定义可知： 等边三角形一定是“方倍三角形”； 对于②直角三角形，三边满足关系式： a2+b2=c2 根据“方倍三角形”定义可知： 直角三角形不一定是“方倍三角形”； 故答案为：A; (2)由题意可知： △ABP≌△DBP, ..BA=BD'∠ABP=∠DBP? 根据“方倍三角形”定义可知： BA2+BD2=2AD2=2BA2, .'AD=AB=BD' △ABD为等边三角形，∠BAD=60, ∴.∠ABP=∠DBP=30, ∴.∠PBC=90, ,∠CPB=45°， .∴.∠APB=180°-45°=135°， ∴.∠DPC=90o, .∠ABC=120°，∠ACB=45°， ∴.∠BAC=15, ∴.∠CAD=45o, ∴·△APD为等腰直角三角形， .AP=DP=2 .AD=2' 延长BP交AD于点E,如图， E 二0 P B .'∠ABP=∠PBD' BE⊥AD,PE=AD=AE=1, .BE=A B2-AE2=4-1=3 .∴.PB=BE-PE=V3-1' .∠CPB=∠PCB=45o “△PBC为等腰直角三角形， ∴.PC=2PB=V6-V2, 5x×pcPD3x6-2×2-83-1. 21.(1)解：①.四边形ABCD是正方形， ∴.∠BAD=∠ADC=∠B=90°，AB=AD .等腰直角三角形AEF ∴.AE=AF ∴.BE=DF ∴.△DCF≌△BCESAS .CF=CE,∠DCF=∠BCE :点P为线段CF的中点， :,PD-PC--CF ..DP=-CE: .PC=PD ∴.∠PCD=∠PDC 如图，延长DP交EC于点M, D E 图1 设∠PCD=∠PDC=a,则∠DCF=∠BCE=a, ∴.∠ECD=90°-∠BCE=90°-&， .∠ECD+∠CDM=90°， .PD⊥CE; ②∠PDC=∠ACE+45· 证明：如图，过点A作AP⊥AC交CD的延长线于点M,连接MF, M P A 图2 ∴.∠CAM=∠EAF=90°， ∴.∠CAE=∠MAF ,四边形ABCD是正方形， ∴.∠ADC=90°，∠DAC=45°，DA=DC ∴.∠DAM=45 .'DA=DM .'.DC=DM ∴.AC=AM 又.AE=AF ∴.△ACE≌△AMF|SAS .∠ACE=∠AMF ,点P为线段CF的中点，DC=DM DP‖FM ∴.∠PDC=∠FMC=∠AMF+∠AMC=∠ACE+45°，即∠PDC=∠ACE+45° (2)解：如图，连接DF,BE,过点E作EH⊥AB于点H, 图3 .四边形ABCD是正方形， .AB=AD,∠BAD=90° 又等腰直角三角形AEF .AE=AF,∠FAE=90° ∴.∠DAF=∠BAE=90°-∠FAB ∴.△DAF≌△BAE SAS .∠FDA=∠EBA,DF=BE ∴.90°-∠FDA=90°-∠EBA 即∠GDF=∠HBE 又.FG⊥CD,HE⊥BH, ∴.∠PFGD=∠EHB=90 ∴.△FGD≌△EHB AAS ..GD=BH,FG=HE GD=BH=a,FG=HE=c,CG=b,CH=CB+BH=CD+BH=a+b+a=2a+b 在Rt△CGF中，CF2=FG2+CG2,即m2=b2+c2 在Rt△CHE中，CE=CH2+HE2,即n2=2a+b2+c2=4a2+4ab+b2+c2=4a2+4ab+m2 .a2+ab=n'-m2 4 ..DG.DC=ala+b)=a2+ab=n-m2 4 22.【初步探索】解：如下图所示，延长AE交BD于点G, :△ACD和△ECB都是等腰直角三角形，∠ACD=∠ECB=90o, ∴.AC=CD'CE=CB'∠ACE=∠DCB=90, AC=CD 在△ACE和△DCB中∠ACE=∠DCB, CE=CB ∴.△ACE≌△DCB' ∴.AE=BD'∠CAE=∠CDB' 在Rt△ACE中∠CAE+∠AEC=90°， .'∠AEC=∠DEG' ∴.∠CDB+∠DEG=90°， ∴.∠DGE=90, .AE⊥BD D B 故答案为：AE=BD,AE⊥BD: 【拓展延伸】解：1中的结论仍然成立， 理由如下： 如下图所示，延长AE交BD于点O,交CD于M点， 由【初步探索】可知△ACE≌△DCB, .∴.AE=BD'∠CAE=∠CDB' 在Rt△ACM中∠CAE+∠AMC=90°， .∠AMC=∠DMO, .∴.∠CDB+∠DMO=90°， ∴.∠DOM=90°， ∴.AE⊥BD D E B C 【知识应用】解：如下图所示，连接BD, 由【拓展延伸】可知BD=AE, :△BCE是等腰直角三角形，∠BCE=90, ∴.∠BEC=∠EBC=45o,CE=CB' 在Rt△BCE中，CE+CB=BE2, ∴.BE2=2CE2, .AE2=DE2+2CE2, ∴.AE2=DE2+BE2 ∴.BD2=DE2+BE2, .∴.∠BED=90°， ∴.∠DEC=∠BED-∠BEC=90°-45°=45； D B 如下图所示，当点E在△ACD内，点B在△ACD外时，连接BD, 由【拓展延伸】可知AE=BD, :△BCE是等腰直角三角形，∠BCE=90, ∴.BE2=2CE2, 又：AE=DE2+2CE2, ∴.BD2=DE2+BE2, ∴.∠BED=90, 又：∠BEC=45°， .∴.∠DEC=∠BED+∠BEC=90°+45°=135， 综上所述，∠DEC的度数为45°或135°. 故答案为：45°或135°. 23.解：(1)图④是由上面与后面展开得到的平面图形， 故答案为：上，后 ②如图所示，由前面与右面展开得到的平面图形 B (2)A1B,=52+1=9/26'A,B,-32+3=V18'A,B,=4+22=V20 .V26>V20>9/18 线段AB1,A2B2,A3B中最短路线是AB1, 故答案为：AB1」 (3)如图，由左面与后面展开得到的平面图形 A 根据定义可得d2=AN2+AM2=8+22+42=100+16=116; 如图，由上面与后面展开得到的平面图形 B 根据定义可得d=BN2+BM=4+22+82=48+64=100: 如图，由上面与右面展开得到的平面图形 C M 根据定义可得d2=CN2+CM2=2+(8+4=4+144=148: .100<116<148, .d最小值为100 故答案为：100