第3章勾股定理能力提升卷-2026-2027学年数学八年级上册苏科版

**基本信息** 苏科版八年级勾股定理能力提升卷，融合《周髀算经》《九章算术》等文化素材与蚂蚁爬行、舰艇航行等实际情境，梯度覆盖定理应用、逆定理及综合探究。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|直角三角形判定、中垂线性质、最短路径|结合“赵爽弦图”会标设计，考查几何直观与空间观念| |填空题|6题|动态点距离、等边三角形迭代面积|以舰艇航行问题为载体，培养运算能力与推理意识| |解答题|5题|网格作图、四边形面积、等面积法|通过“盆景造型造价”实际问题，发展应用意识与创新思维|

第3章勾股定理能力提升卷-2026-2027学年数学八年级上册苏科版（新教材） 一、单选题 1．以下列各数或式为边长，能构成直角三角形的是（     ） A．2，3，4 B．3，4，5 C．4，5，6 D．，， 2．如图，在中，，，点、分别是、边的中点，且，则的长为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．如图所示，在中，，，线段的中垂线与交于点E，与交于点D，，则的周长是（     ） A． B．3 C． D． 4．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．如图，某花园住宅小区有一块长方形绿化带，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，他们仅仅少走了（     ）m路，却踩伤了花草 A．1 B．5 C．2 D．7 5．如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（     ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，，若直线平分的面积，点在边上，则线段的长等于（     ） A． B． C． D． 7．《九章算术》中记录了这样一则问题：今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？意思是：一扇门，高比宽多6尺，门对角线长一丈，求门的高与宽各是多少？（1丈尺）如果我们假设门的宽为尺，根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 8．如图，，，，，点位于的右侧，，，则面积为（     ） A．30 B．12 C．15 D．24 9．已知，在中，，，，平分，点是上一点，且的面积为，则的长为（     ） A． B．9 C． D．3 10．在北京召开的第届国际数学家大会会标（图）以“赵爽弦图”为原型设计，图是该会标的几何抽象示意图，其中四个直角三角形全等，若大正方形的面积是，小正方形的面积是，是的中点，连接，则的长为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如果在中，，，高，那么的周长为_____________ 12．绍兴舰在中俄舰艇编队开展联合演习中从点A处出发，以20海里/小时的速度沿北偏东方向航行2小时到点B处，接着从点B处出发，以相同的速度沿南偏东方向航行1.5小时到点C处，则________海里． 13．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形；面积分别记为，，，若，图中阴影部分的面积为__________． 14．在中，，，是平面内一点，满足，，则点到直线的距离为_______． 15．已知，，，，，连接，则的度数为______． 16．如图：已知等边三角形的边长是2，以边上的高为边作等边三角形，得到第一个等边三角形，再以等边三角形的边上的高为边作等边三角形，得到第二个等边三角形，再以等边三角形的边边上的高为边作等边三角形得到第三个等边三角形；……如此下去，这样得到的第2026个等边三角形的面积为_______． 三、解答题 17．如图，中，，，D为上一点，，，求的周长（结果保留根号）． 18．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．仅用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中画格点C，使； (2)在图②中画格点D，使； (3)在图③中画格点E，使． 19．已知中，、、所对边长分别为、、，若、、三边满足，试判断的形状． 20．某住宅小区有一块如图所示的四边形空地，为迎接“五一”劳动节的到来，小区欲在此空地上种植盆景造型，并将盆景铺满这块空地．某校园艺兴趣小组义务帮助小区进行测量，测得米，米，米，米，，盆景造价每平方米300元．试问该小区的这个盆景造型的价值应为多少元？ 21．对于一个给定的图形，找到两种面积计算方法，计算结果一定是相等的，由此可以得到一个等式，进而解答问题，这种方法叫作等面积法．请据此解答下列问题． (1)已知在中，，，，为边上的高，求的长． (2)如图，所示都是边长为的正方形，这两个图直观地证明了（     ） A．    B． C．        D．． (3)如图2，已知是等边三角形，，点P是外一点，过点P作三边所在直线的垂线：，，，垂足分别为D，E，F．直接写出的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第3章勾股定理能力提升卷-2026-2027学年数学八年级上册苏科版（新教材）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C C B B B B A A 1．B 【分析】对每个选项，计算两条较短边长的平方和，与最长边长的平方比较，若相等则可构成直角三角形． 【详解】解：选项A，，，，不能构成直角三角形； 选项B，，，，能构成直角三角形； 选项C，，，，不能构成直角三角形； 选项D，，，，，不能构成直角三角形． 2．B 【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质可得，利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：，是的中点， ，， 在中，，， ， ，是的中点， ． 3．C 【分析】连接，利用线段垂直平分线的性质得到，进而求出的度数，结合的度数求出，在中利用角性质求出的长，从而得到的长，最后在中求出和的长即可求解． 【详解】解：连接， 是线段的垂直平分线 ， ，， ． 在中，，， ， ． 在中，，， ， ． 在中，， ， ， ∴， 的周长． 4．C 【分析】根据勾股定理求出，再根据解答． 【详解】解：如图所示，根据题意，得， 根据勾股定理，得， 则， 所以他们仅仅少走了路． 5．B 【分析】将圆柱的侧面展开，得到一个长方形，然后利用两点之间线段最短结合勾股定理求解． 【详解】解：如图所示： 由于圆柱体的底面周长为， 则． 由题意得，， 所以． 故蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程是． 6．B 【分析】根据勾股定理求出，再根据直线平分的面积得到,最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行解答即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴ 设中，边上的高为， ∵直线平分的面积，点在边上， ∴ ∴, ∴． 7．B 【分析】先用表示出门的高，由于门为矩形，宽、高、对角线构成直角三角形，根据勾股定理列方程即可． 【详解】解：设门的宽为尺，高比宽多尺，则门的高为尺， 根据勾股定理可得． 8．B 【分析】添加辅助线，过点作于点，先求解出的长度，再由三角形面积求解即可． 【详解】解：过点作于点，如图， ∵，， ∴， 在中，， ∴面积为． 9．A 【分析】过D作于F，首先，由勾股定理求得的长，再由平分，，，得，再证得，得，进而得的长，然后，设，则，运用勾股定理，得，得，进而得，最后，由的面积为，可得的长． 【详解】解：如图，过D作于F， ∵，，， ∴， ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得，即， 解得， ∴， ∵的面积为，即， ∴， ∴． 10．A 【分析】设直角三角形较长的直角边为，较短的直角边为，可得， ，，求解，，如图，连接，过作于，再进一步求解即可． 【详解】解：设直角三角形较长的直角边为，较短的直角边为， ∴， ，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， 如图，连接，过作于， ∵为的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 11． 42或32 【分析】分两种情况讨论，高在内部和高在外部，利用勾股定理分别求出，的长度，进而得到的长度，再计算的周长即可． 【详解】解：①当高在内部时，为锐角三角形，如图， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 可得， 此时的周长为； ②当高在外部时，为钝角三角形，如图， 同理可得，， 可得， 此时的周长为， 综上，的周长为42或32． 12．50 【分析】先求出，再求出两直角边长，最后利用勾股定理求解． 【详解】解：如图，由题意可知，，， ∵与平行， ∴， ∴， ∴， ∵绍兴舰从点A处出发，以20海里/小时的速度航行2小时到点B处，接着从点B处出发，以相同的速度航行1.5小时到点C处， ∴（海里），（海里）， ∴（海里）． 13． 【分析】由勾股定理得，即，再由求出，即可解决问题． 【详解】解：在中，由勾股定理得：， 即， ， ∴ ， 由图形可知，阴影部分的面积． 14．或 【分析】分两种情况分析：当在左侧时，当在右侧时，分别求解即可得出答案． 【详解】解：当在左侧时，过点作于点，于， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴； 当在右侧时，过点作于点，于， ∵，， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，点到直线的距离为：或． 15． 【分析】先使用勾股定理计算出，再根据勾股定理的逆定理判断出． 【详解】解：在中，， ∵， ∴． 16． 【分析】根据等边三角形性质，以及勾股定理分别推出后续等边三角形的边长和高，再结合三角形面积公式求出，，得出其变化规律，根据所得变化规律分析求解，即可解题． 【详解】解：等边三角形的边长是2，是边上的高， ， ， ， 同理可得， ， ， 则， ， 同理可得， ， ， 则， ， 同理可得， ， ， 则， 依次类推， ． 17． 【分析】根据含有的直角三角形可知的长度，根据勾股定理可知的长度，进而即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∴的周长． 18．(1)解：如图所示为所求： (2)解：如图所示为所求： (3)解：如图所示为所求： 【分析】（1）利用水平网格线与竖直网格线互相垂直即可作图； （2）取格点，使得，，连接，易证是等腰直角三角形，即可作出； （3）利用网格线的特征，取格点，使得，连接，利用邻补角的定义即可得到． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 19． 是直角三角形 【分析】根据绝对值的非负性可求出的值，再根据勾股定理的逆定理即可判断三角形的形状． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴是直角三角形． 20．10800元 【分析】连接，根据勾股定理得出的长，再利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而求出总的面积求出答案即可． 【详解】解： 如图，连接， ∵在中，米，米，， ∴米， 又∵ 米，米， ∴， 又∵， ∴，   ∴， ∴(平方米)， ∴(元)． 答：该小区的这个盆景造型的价值应为元． 21．(1) (2)C (3) 【分析】（1）先根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再根据等面积法求出结果即可； （2）根据阴影部分面积相等进行求解即可； （3）根据等边三角形的性质和勾股定理，求出的面积，再根据，得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：， 是直角三角形，且， 为边上的高，， ， ∴． （2）解：图和图都是边长为的正方形，且都含有四个全等的直角三角形，所以它们的阴影部分的面积相等． 图中，， 图中，， ． （3）解：如图，过点A作，垂足为G， 是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 如图，连接，，， ， ． ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $