第一章 特殊平行四边形 与旋转综合问题、特殊平行四边形与折叠综合问题专项训练-2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦特殊平行四边形与旋转、折叠的综合应用，通过情境探究与变式训练，构建从性质应用到动态变换的逻辑体系，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |特殊平行四边形与旋转综合问题|例3+变式3|猜想证明、数量关系与位置关系探究、最值计算|以特殊平行四边形性质为基础，结合旋转全等与对应关系推导| |特殊平行四边形与折叠综合问题|例3+变式3|形状判断、长度计算、数量关系证明|基于轴对称性质，关联特殊平行四边形性质与勾股定理应用|

特殊平行四边形与旋转综合问题、特殊平行四边形与折叠综合问题专项训练 特殊平行四边形与旋转综合问题、特殊平行四边形与折叠综合问题专项训练 考点目录 特殊平行四边形与旋转综合问题 特殊平行四边形与折叠综合问题 考点一 特殊平行四边形与旋转综合问题 例1．（25-26九年级上·福建福州·期中）综合与实践 在综合实践课上，老师组织同学们以“图形的旋转”为主题开展数学活动，下面是同学们进行相关问题的研究：如图1，已知是等腰直角三角形，，点D是的中点，作正方形，使点A，C分别在和上，连接． (1)试猜想线段与的数量和位置关系为______； (2)将正方形绕点D逆时针方向旋转一定角度（旋转角度大于，小于或等于）．如图2，在旋转过程中，请判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由； (3)在图2中，若，，过点G作中边的高线，与的延长线交于点P，请直接写出的长． 【答案】(1)， (2) 解：成立，连接，延长交于点K，交于点O， 在中，，点D是的中点， ∴，， ∴， 又∵四边形是正方形， ∴，且， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）如图1，延长交于，由等腰直角三角形的性质及正方形的性质可以得出，进而利用全等三角形的性质，结合三角形的内角和定理得出结论； （2）如图2，连接，延长交于点K，交于点O，由等腰直角三角形的性质及正方形的性质可以得出，进而利用全等三角形的性质，结合三角形的内角和定理得出结论； （3）如图2，过点G作中边的高线，与的延长线交于点P，过A作于，先根据等腰直角三角形和正方形的性质得到，，设，由勾股定理可得，然后解方程得到，，证明，得，进而求得即可． 【详解】（1）解：，． 理由：如图1，延长交于． 是等腰直角三角形，，点是的中点， ，， ． 四边形是正方形， ． 在和中， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：，； （2）略 （3）解： 如图，过A作于， ∵是等腰直角三角形，，点是的中点，， ∴， ∵四边形是正方形，， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：，即， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质、正方形性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加合适辅助线是解答的关键． 例2．（25-26八年级下·广西柳州·期末）活动与探究 问题情境：在中，，，．直角三角板中，将三角板的直角顶点放在斜边的中点处，并将三角板绕点旋转，三角板的两边、分别与边、交于点、． (1)猜想证明：如图1，在三角板旋转过程中，当点为边的中点时，试判断四边形的形状，并说明理由； (2)问题解决：如图2，在三角板旋转过程中，当时，请求出线段的长． 【答案】(1)四边形是矩形，理由如下： ∵点为边的中点，点为边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形． (2) 【分析】（1）容易判断是的中位线，则，结合，因此四边形是矩形； （2）分别取、的中点、，连接、、，设，由中位线的性质可得，， ，，从而证明四边形是矩形，则．由勾股定理可得，，由列出方程，求解出的值即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，分别取、的中点、，连接、、，设， ∵点为的中点，点为的中点 ∴是的中位线， ∴，， ∴， 同理，也是的中位线， ∴，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴． 例3．（25-26八年级下·福建泉州·期末）【问题情境】同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究活动． 【操作发现】 (1)如图1，正方形和正方形，连接，．线段与线段之间的数量关系是___________；直线与直线的夹角度数为___________；（注：两条直线的夹角是指两条直线相交所形成的小于等于的角） (2)如图2，当正方形绕点旋转时，线段与线段之间的数量关系是___________；直线与直线的夹角度数为___________． 【深入探究】 (3)如图3，若四边形与四边形都为菱形，且，，猜想线段与的数量关系及直线与的夹角度数，并说明理由． 【迁移探究】 (4)如图3，在（3）的条件下，，在菱形绕点旋转过程中，求线段的最小值． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，，理由如下： ， ， ， 四边形和四边形为菱形， ，， 在和中， （）， ，， 如图，延长交的延长线于点，交于点， ，，， ， 直线与的夹角度数为； (4) 【分析】（1）利用正方形的边、角相等证得，进而得出，结合三角形内角和推出两线段夹角； （2）将旋转前后的角同减公共角得到一组等角，然后根据证得全等三角形，得到，再结合对顶角相等、三角形内角和求出夹角； （3）将，同减公共角推出，根据证得，进而得到，再利用三角形内角和、对顶角相等求出夹角； （4）在以为圆心、为半径的圆上，求出菱形对角线长，用圆外一点到圆最短距离得最小值． 【详解】（1）解：∵四边形和四边形为正方形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∴直线与直线的夹角度数为． （2）解：∵四边形和四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，延长交于点，交于点， ∵，且， ∴， ∴， 即直线与直线的夹角度数为． （3）略 （4）解：如图，以点为圆心，长为半径作圆，连接，交于， 根据题意可知，点在以为圆心、为半径的圆上运动，当点在上时，线段取得最小值， 四边形是菱形，， ，，， ， ， ， ， ， ， 线段的最小值为． 变式1．（25-26九年级上·山西大同·阶段检测）综合与实践——探究正方形旋转中的数学问题 问题情境： 已知正方形中，点是线段的中点，将将正方形绕点顺时针旋转得到正方形（点，，，分别是点，，，的对应点）．同学们通过小组合作，提出下列数学问题，请你解答． 特例分析：（1）“乐思”小组提出问题：如图1，在正方形绕点旋转过程中，顺次连接点，，，得到四边形，求证：四边形是矩形； （2）“善学”小组提出问题：如图2.在旋转过程中，当点落在对角线上时，设与交于点.求证：四边形是正方形． 深入探究： （3）“好问”小组提出问题：如图3.若点是线段的三等分点且，在正方形旋转的过程中当线段经过点时，请直接写出的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）． 【分析】(1)由旋转性质可得 OB=OB′ ，OC=OC′ ，得到四边形BB′CC′是平行四边形，又 BC=B′ C′ ，得到平行四边形BB′CC′是矩形． （2）先由∠C=∠OB′M=∠B′OC=90°，证明四边形 OB′MC 是矩形 ，再由OC=OB′ 得到四边形 OB′MC 是正方形． （3）过D作DN⊥B′C′，证Rt△DNO≌Rt△DCO(HL)，设OC=a，得到OC′=a，DD′=2a，即可求解. 【详解】解：（1）由旋转性质可得，． 点是线段的中点 ， ，． 四边形是平行四边形． 又， 平行四边形是矩形． （2）证明：四边形是正方形， ，． 由旋转可知，， ． 四边形是正方形， 四边形是矩形 ，OC=OC′ ，OB′=OB ， ∴OC=OB′ 矩形是正方形， （3）． 如图，过D作DN⊥B′C′   可知，∠A′=∠B′=∠B′ND=90°，∠D′=∠C′=∠C′ND=90°， ∴四边形DNC′D′为矩形，四边形DNB′A′为矩形， 在Rt△DNO与Rt△DCO中， ∵OD=OD，DN=DC， ∴Rt△DNO≌Rt△DCO(HL) 设OC=a，则OB=2OC=2a， ∴ON=OC=OC′=a ∴BC=OB+OC=3a， DD′=NC′=ON+OC′=2a， ∴=2． 【点睛】本题考查了特殊的四边形，平行四边形，矩形，正方形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握特殊的四边形的性质和判定． 变式2．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图1，在中，，，的顶点与点A重合，两边分别与，重合． (1)求的度数； (2)如图2，将绕点A按逆时针方向旋转，两边分别与平行四边形的两边，相交于点E，F． ①试探究，的数量关系，并证明你的结论； ②连结，在旋转过程中，的周长是否发生改变？如果没有变化，请说明理由；如果有变化，请求出周长的最小值． 【答案】(1) (2) ①， 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴和是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ②有变化，的周长的最小值为 【分析】（1）由已知得四边形是菱形，得，根据，即得，故； （2）①数量关系是：，理由是：由四边形是菱形，可得和是等边三角形，即得，，即可证明，从而，故； ②的周长发生改变，理由是：由，，可得，是等边三角形，即有，当最小时，周长的最小，即最小时，周长的最小，此时，在中，可得，即，周长的最小值为． 【详解】（1）∵中，， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵的顶点与点A重合，两边分别与，重合， ∴； （2）①略 ②的周长发生改变，理由如下： 如图，连接， 由①知：，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵的的周长， ∴的周长发生改变， 当最小时，周长最小，即最小时，的周长最小， 此时， 在中，，， ∴，， ∴， ∴周长的最小值为． 【点睛】本题考查菱形的性质及应用，涉及等边三角形性质及判定、全等三角形性质及判定、三角形周长最小值、勾股定理等知识，解题的关键是证明． 变式3．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）【问题情境】 在综合实践课上，同学们以“正方形和直线的旋转”为主题分组开展数学探究活动，已知正方形，直线经过点A，并绕点A旋转，作点关于直线的对称点，直线交直线于点F，连接、． 【操作发现】 （1）如图1，若，则________，________． 【拓展应用】 （2）如图2，当直线在正方形的外部时 ①判断的度数是否为一个定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由． ②求证：． 【答案】（1）；45 （2）①的度数是定值，； ②证明：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 由轴对称的性质得：， ∴， 由（2）①已证：， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、轴对称的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握正方形和轴对称的性质是解题关键． （1）先根据正方形的性质可得，再根据轴对称的性质可得，从而可得，，然后根据等腰三角形的性质可得，，由此即可得； （2）①设，先根据正方形的性质可得，再根据轴对称的性质可得，从而可得，，然后根据等腰三角形的性质可得，，由此即可得； ②连接，先根据正方形的性质和勾股定理可得，再证出，，然后根据勾股定理和等量代换即可得证． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， 由轴对称的性质得：， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：；45． （2）①解：设， ∵四边形是正方形， ∴， 由轴对称的性质得：， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 所以的度数是一个定值，这个定值为． ②略 考点二 特殊平行四边形与折叠综合问题 例1．（25-26九年级上·广西防城港·期中）【综合与实践】 折叠问题是几何变换常见的数学问题，其本质是轴对称图形，而矩形的折叠又往往会与勾股定理相关联．数学活动课上，同学们以“折叠”为主题开展了数学活动．如图，已知矩形纸片，其中，． 【操作判断】 （1）将矩形纸片按图折叠，使点落在边上的点处，请判断四边形的形状，并说明理由； 【探究发现】 （2）将图的纸片展平，把四边形剪下来，如图，取边的中点，将沿折叠得到，延长交于点． 求的长； 直接写出、、之间的数量关系． 【答案】 解：四边形是正方形， 理由如下： 四边形是矩形， ， 由折叠的性质可知： ，， ， 四边形是矩形， 又， 四边形是正方形； ； ． 【分析】根据矩形的性质可知，所以四边形是矩形，由折叠的性质可知，从而可证结论成立； 由可知四边形是正方形，根据正方形的性质可知，，又因为点是的中点，所以可得，利用勾股定理可得：； 连接，可证，根据全等三角形对应边相等可证，由折叠的性质可知，从而可证． 【详解】略 由可知四边形是正方形， ，， ，， 点是的中点， ， ； 解：， 如下图所示，连接， 点是的中点， ，， 在和中，， ， ， 由折叠的性质可知， ， ． 例2．（26-27九年级上·广东惠州·开学考试）【综合与实践】综合实践课上，老师让同学们以“简单矩形折叠”为主题开展数学活动，同学们积极参与了矩形折叠活动． (1)如图①所示，小华将矩形沿折叠后，使得点C与点A重合，点D与点G重合，若，则_________，_________； (2)如图②所示，张三将矩形沿对角线折叠后，使得点C与点E重合，与相交于点F，过点D作交于点G，求证：四边形是菱形； 迁移应用： (3)如图③所示，李四将矩形沿对角线折叠后，使得点C与点E重合，与相交于点F，连接，若，，求的长． 【答案】(1)60，60 (2)证明：∵四边形是矩形， ∴，，，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵将矩形沿对角线折叠后，使得点C与点E重合， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； (3) 【分析】（1）根据折叠得到，由平角的性质得到，由此得到，根据矩形的性质得到，根据平行线的性质即可求解； （2）根据矩形的性质可得四边形是平行四边形，由折叠的性质，可证，则，结合菱形的判定方法即可求解； （3）根据矩形的性质得到，，，由勾股定理得到，根据折叠得到，，由全等的性质得到，如图所示，过点E作于点G，运用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵将矩形沿折叠后，使得点C与点A重合，点D与点G重合， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴； （2）略 （3）解：∵四边形是矩形， ∴，，， 在中，，， ∴， 由勾股定理得：， ∵将矩形沿对角线折叠后，使得点C与点E重合， ∴，， ∴， 由（2）得到， ∴， 如图，过点E作于点G， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴的长为． 例3．（25-26八年级下·北京通州·期末）某班级同学开展以“折叠矩形纸片”为主题的数学节活动． (1)操作观察： 如图所示，将矩形纸片沿折叠后，使得点与点重合，点是点的对应点，则__________（填“”，“”或“”）； (2)判断与证明： 如图所示，将矩形纸片沿折叠后，使得点与点重合，点是点的对应点，连接，求证：四边形是菱形． (3)迁移应用： 如图所示，将矩形纸片沿对角线折叠后，点是点的对应点，与相交于点，连接，若，，求的长． 【答案】(1) (2)证明：如图，连接，与交于点． ∵点与点重合， ∴垂直平分， ∴，． ∵矩形， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． (3) 【分析】（1）根据矩形的性质和折叠的性质进行等量代换即可求解； （2）根据折叠的性质推出垂直平分，结合矩形的性质证明，即可证明四边形是菱形； （3）根据矩形的性质推出，根据折叠的性质推出，再进一步推出，根据三角形内角和定理分别求出，即可求解． 【详解】（1）∵将矩形纸片沿折叠后，使得点与点重合， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）∵矩形，， ∴，，，， ∴， ∵矩形纸片沿对角线折叠后，点是点对应点， ∴，，， ∴，， ∴，则， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 变式1．（25-26九年级上·福建福州·期末阶段检测）在矩形折叠探究活动中，同学们围绕以下三个情境展开思考． (1)【操作与证明】： ①如图①所示，将矩形沿折叠后，使得点与点重合，点与点重合，若，则________，________； ②如图②所示，将矩形沿对角线折叠后，使得点与点重合，与交于点，过点作交于点，求证：四边形是菱形； (2)【迁移应用】： 如图③所示，将矩形沿对角线折叠后，使得点与点重合，与交于点，连接，若，，求的长． 【答案】(1)①65；65 ②证明：四边形是矩形， ， 又， 四边形是平行四边形； ， ， 由折叠得， ， ， 四边形是菱形． (2) 【分析】（1）①由折叠得，由得，结合即可求解； ②由，，证明四边形是平行四边形，同①证明，推出，即可证明四边形是菱形； （2）由折叠得，，，用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理解和，最后用勾股定理解即可． 【详解】（1）解：①由折叠得， ， ， 矩形中， ； ②略 （2）解：四边形是矩形， ，，， 中，，， ， ， 由折叠得，，， ， 又，， ， 如图，过点作于点， ， ， ， ． 变式2．（25-26九年级上·河南南阳·阶段检测）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动． 【操作】如图1，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点． 【猜想】的数量关系； 【证明】请你证明上面的猜想； 【应用】如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为． （1）猜想与的数量关系，并证明； （2）若，，求的长． 【答案】[猜想] ； [证明] 证明：矩形纸片沿所在的直线折叠， ， 四边形是矩形， ， ， ， ． [应用]（1）解：；理由如下： 由四边形折叠得到四边形， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 即； （2）5 【分析】此题是四边形综合题，考查了矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定是解题的关键． 【猜想】根据折叠的性质得到，根据矩形的性质推出，则，根据等腰三角形的判定即可得解； 【应用】（1）根据折叠的性质得到，根据矩形的性质推出，则，根据等腰三角形的判定即可得出，结合即可得解； （2）根据矩形的性质、折叠的性质得出，，，设，则，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：【猜想】：略 【证明】：略 【应用】（1）略 （2）矩形沿所在直线折叠， ，，， 设， ， 在中，， ， ， 解得， ， ． 变式3．（25-26九年级上·广西南宁·阶段检测）【问题情境】在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的折叠”为主题开展小组数学活动． 已知菱形纸片，． 【成果展示】 (1)第一小组：如图1，连接，折叠菱形纸片，使点落在对角线上的点处，折痕分别交，于点，．判断四边形的形状，并加以证明． (2)第二小组：将菱形纸片沿过点的直线折叠到如图2所示的位置，点的对应点为点，折痕交于点，交于点． ①判断和的数量关系，并加以证明． ②将菱形纸片沿过点的直线折叠到如图3所示的位置，其中交于点．若恰好是的中点，且，求线段的长． 【答案】(1)解：四边形是菱形， 证明如下：设与交于点， ∵菱形纸片， ， ∵折叠菱形纸片，使点落在对角线上的点处， ∴垂直平分， ， ， ， ， ， ∴四边形是菱形； (2)①， 证明：如图，连接， ∵菱形， ， ∴， ∴是等边三角形， ， ∵折叠， ， ， ， ， ， ； ② 【分析】（1）设与交于点，先由菱形纸片得到，再由折叠得到，，即可证明，得到，推出，则四边形是菱形； （2）①连接，由菱形，得到，由折叠得到，，则，根据，得到，利用等角对等边得到； ②由恰好是的中点，得到，则，则，根据，求出，则，最后根据求解即可； 【详解】（1）略 （2）①略 ②解：如图，连接，， ∵， ， ∵恰好是的中点， ， ， ∵， ， ， 根据①可得， ∴， ， 解得：， ， ， ， ， ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $特殊平行四边形与旋转综合问题、特殊平行四边形与折叠综合问题专项训练 特殊平行四边形与旋转综合问题、特殊平行四边形与折叠综合问题专项训练 考点目录 特殊平行四边形与旋转综合问题 特殊平行四边形与折叠综合问题 考点一 特殊平行四边形与旋转综合问题 例1．（25-26九年级上·福建福州·期中）综合与实践 在综合实践课上，老师组织同学们以“图形的旋转”为主题开展数学活动，下面是同学们进行相关问题的研究：如图1，已知是等腰直角三角形，，点D是的中点，作正方形，使点A，C分别在和上，连接． (1)试猜想线段与的数量和位置关系为______； (2)将正方形绕点D逆时针方向旋转一定角度（旋转角度大于，小于或等于）．如图2，在旋转过程中，请判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由； (3)在图2中，若，，过点G作中边的高线，与的延长线交于点P，请直接写出的长． 例2．（25-26八年级下·广西柳州·期末）活动与探究 问题情境：在中，，，．直角三角板中，将三角板的直角顶点放在斜边的中点处，并将三角板绕点旋转，三角板的两边、分别与边、交于点、． (1)猜想证明：如图1，在三角板旋转过程中，当点为边的中点时，试判断四边形的形状，并说明理由； (2)问题解决：如图2，在三角板旋转过程中，当时，请求出线段的长． 例3．（25-26八年级下·福建泉州·期末）【问题情境】同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究活动． 【操作发现】 (1)如图1，正方形和正方形，连接，．线段与线段之间的数量关系是___________；直线与直线的夹角度数为___________；（注：两条直线的夹角是指两条直线相交所形成的小于等于的角） (2)如图2，当正方形绕点旋转时，线段与线段之间的数量关系是___________；直线与直线的夹角度数为___________． 【深入探究】 (3)如图3，若四边形与四边形都为菱形，且，，猜想线段与的数量关系及直线与的夹角度数，并说明理由． 【迁移探究】 (4)如图3，在（3）的条件下，，在菱形绕点旋转过程中，求线段的最小值． 变式1．（25-26九年级上·山西大同·阶段检测）综合与实践——探究正方形旋转中的数学问题 问题情境： 已知正方形中，点是线段的中点，将将正方形绕点顺时针旋转得到正方形（点，，，分别是点，，，的对应点）．同学们通过小组合作，提出下列数学问题，请你解答． 特例分析：（1）“乐思”小组提出问题：如图1，在正方形绕点旋转过程中，顺次连接点，，，得到四边形，求证：四边形是矩形； （2）“善学”小组提出问题：如图2.在旋转过程中，当点落在对角线上时，设与交于点.求证：四边形是正方形． 深入探究： （3）“好问”小组提出问题：如图3.若点是线段的三等分点且，在正方形旋转的过程中当线段经过点时，请直接写出的值． 变式2．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图1，在中，，，的顶点与点A重合，两边分别与，重合． (1)求的度数； (2)如图2，将绕点A按逆时针方向旋转，两边分别与平行四边形的两边，相交于点E，F． ①试探究，的数量关系，并证明你的结论； ②连结，在旋转过程中，的周长是否发生改变？如果没有变化，请说明理由；如果有变化，请求出周长的最小值． 变式3．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）【问题情境】 在综合实践课上，同学们以“正方形和直线的旋转”为主题分组开展数学探究活动，已知正方形，直线经过点A，并绕点A旋转，作点关于直线的对称点，直线交直线于点F，连接、． 【操作发现】 （1）如图1，若，则________，________． 【拓展应用】 （2）如图2，当直线在正方形的外部时 ①判断的度数是否为一个定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由． ②求证：． 考点二 特殊平行四边形与折叠综合问题 例1．（25-26九年级上·广西防城港·期中）【综合与实践】 折叠问题是几何变换常见的数学问题，其本质是轴对称图形，而矩形的折叠又往往会与勾股定理相关联．数学活动课上，同学们以“折叠”为主题开展了数学活动．如图，已知矩形纸片，其中，． 【操作判断】 （1）将矩形纸片按图折叠，使点落在边上的点处，请判断四边形的形状，并说明理由； 【探究发现】 （2）将图的纸片展平，把四边形剪下来，如图，取边的中点，将沿折叠得到，延长交于点． 求的长； 直接写出、、之间的数量关系． 例2．（26-27九年级上·广东惠州·开学考试）【综合与实践】综合实践课上，老师让同学们以“简单矩形折叠”为主题开展数学活动，同学们积极参与了矩形折叠活动． (1)如图①所示，小华将矩形沿折叠后，使得点C与点A重合，点D与点G重合，若，则_________，_________； (2)如图②所示，张三将矩形沿对角线折叠后，使得点C与点E重合，与相交于点F，过点D作交于点G，求证：四边形是菱形； 迁移应用： (3)如图③所示，李四将矩形沿对角线折叠后，使得点C与点E重合，与相交于点F，连接，若，，求的长． 例3．（25-26八年级下·北京通州·期末）某班级同学开展以“折叠矩形纸片”为主题的数学节活动． (1)操作观察： 如图所示，将矩形纸片沿折叠后，使得点与点重合，点是点的对应点，则__________（填“”，“”或“”）； (2)判断与证明： 如图所示，将矩形纸片沿折叠后，使得点与点重合，点是点的对应点，连接，求证：四边形是菱形． (3)迁移应用： 如图所示，将矩形纸片沿对角线折叠后，点是点的对应点，与相交于点，连接，若，，求的长． 变式1．（25-26九年级上·福建福州·期末阶段检测）在矩形折叠探究活动中，同学们围绕以下三个情境展开思考． (1)【操作与证明】： ①如图①所示，将矩形沿折叠后，使得点与点重合，点与点重合，若，则________，________； ②如图②所示，将矩形沿对角线折叠后，使得点与点重合，与交于点，过点作交于点，求证：四边形是菱形； (2)【迁移应用】： 如图③所示，将矩形沿对角线折叠后，使得点与点重合，与交于点，连接，若，，求的长． 变式2．（25-26九年级上·河南南阳·阶段检测）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动． 【操作】如图1，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点． 【猜想】的数量关系； 【证明】请你证明上面的猜想； 【应用】如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为． （1）猜想与的数量关系，并证明； （2）若，，求的长． 变式3．（25-26九年级上·广西南宁·阶段检测）【问题情境】在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的折叠”为主题开展小组数学活动． 已知菱形纸片，． 【成果展示】 (1)第一小组：如图1，连接，折叠菱形纸片，使点落在对角线上的点处，折痕分别交，于点，．判断四边形的形状，并加以证明． (2)第二小组：将菱形纸片沿过点的直线折叠到如图2所示的位置，点的对应点为点，折痕交于点，交于点． ①判断和的数量关系，并加以证明． ②将菱形纸片沿过点的直线折叠到如图3所示的位置，其中交于点．若恰好是的中点，且，求线段的长． 2 学科网（北京）股份有限公司 $