第1章《特殊平行四边形》达标测试卷 2026-2027学年北师大版九年级上册数学

**基本信息** 注重特殊平行四边形性质与判定的综合应用，通过折叠、动点及七巧板等情境设计，考查几何直观、推理能力与应用意识，适配单元复习巩固。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|菱形周长与中位线、矩形对角线计算、正方形面积|基础概念辨析，如第1题菱形OE为中位线考查性质| |填空题|5/15|矩形角度、菱形面积、七巧板面积、动点最值|文化情境，如第12题七巧板面积融入传统益智玩具| |解答题|7/61|菱形证明、矩形判定与计算、等腰直角三角形动点、等对角四边形探究|综合应用，如第18题动点问题结合全等与正方形判定，考查推理能力|

第1章《特殊平行四边形》达标测试卷 一、选择题：本大题共8小题，共24分。 1.如图，菱形ABCD的周长为20cm，对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，则OE的长是      A. 5cm B. C. 3cm D. 2.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，，则BD的长为      A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3.若正方形的对角线长为2 cm，则这个正方形的面积为    A. 4  B. 2  C. D. 4.已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，不能判定▱为矩形的是    A. B. C. D. 5.如图，在中，，，CD是AB边上的中线，则CD的长为      A. 24 B. 12 C. 8 D. 6 6.如图，在矩形ABCD中，，，P为边BC上一点，将沿DP折叠，点C落在点E处，DE，PE分别交AB于点F，已知，则BF的长为      A. B. C. D. 5 7.如图，四边形ABCD中，，，，若四边形ABCD的面积为16，则DE的长为      A. 3 B. 2 C. 4 D. 8 8.如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，动点E在线段OB上，动点F在线段OD上，点E，F同时从点O出发，以相同的速度分别向终点B，包括端点运动.点E关于AD，AB的对称点为，点F关于BC，CD的对称点为，在整个过程中，四边形形状的变化依次是      A. 平行四边形矩形平行四边形菱形 B. 平行四边形菱形平行四边形菱形 C. 菱形矩形平行四边形菱形 D. 菱形平行四边形矩形平行四边形 二、填空题：本大题共5小题，共15分。 9.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若，则的度数为          . 10.菱形的两条对角线分别为6cm，8cm，则它的面积是           11.如图，两张宽度均为3cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形ABCD的周长为           12.七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具.某同学用边长为4 dm的正方形纸板制作了一副七巧板如图，由5个等腰直角三角形、1个正方形和1个平行四边形组成，则图中阴影部分的面积为           13.如图，已知菱形ABCD中，，，边AD，CD上分别有E，F两动点，始终保持，连接BE，EF，取BE的中点G，连接FG，则FG的最小值是          . 三、解答题：本大题共7小题，共61分。 14.如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC和CD上，且求证： 15.如图，在中，，D是BC的中点，，， 求证：四边形ADCE是矩形. 若，，求EF的长. 16.如图，在四边形ABCD中，，，过点A作，交CB的延长线于点E，连接DB， 求证：四边形ABCD是菱形; 过点D作于点F，延长DF交AE于点G，若，，求DF的长. 17.如图，在▱ABCD中，对角线，E为BC的中点，分别延长AB和DE交于点F，连接AE， 求证：四边形BFCD是矩形; 若，，求AE的长. 18.如图，是等腰直角三角形，，点P，Q分别是AB，AC上的一动点，且满足，D是BC的中点. 求证： 当点P运动到什么位置时，四边形APDQ是正方形，并说明理由. 19. 【阅读理解】我们定义：①把四边形的任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫作凸四边形.例如，平行四边形、梯形等都是凸四边形.②有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫作“等对角四边形”. 如图1，已知四边形ABCD是“等对角四边形”，，，求的度数. 【问题解决】如图2，在中，，CD为斜边AB边上的中线，过点D作交BC于点E，求证：四边形ACED是“等对角四边形”. 【拓展应用】如图3，已知在“等对角四边形”ABCD中，，，，，求对角线AC的长. 20.如图，在中，，EA，FA为的外角平分线，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足.           直接写出结果，不写解答过程 ①求证：四边形ABCD是正方形;②若，求DF的长. 借助于上面问题的解题思路，解决下列问题：若锐角三角形PQR中，，一条高是PH，它的长度为6，，直接写出HR的长度. 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：四边形ABCD为菱形， ，且O为BD的中点， 为CD的中点， 为的中位线， ， 故选： 2.【答案】D  【解析】解∶矩形ABCD 的对角线 相交于点 ，  ， ，  ， 故选∶ 3.【答案】B  【解析】如图，连结BD， 正方形ABCD中，，则， 所以正方形的面积为，故选 4.【答案】D  【解析】【分析】 此题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定，理解平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定是解决问题的关键． 根据有一个角等于的平行四边形是矩形可对选项A进行判断；根据平行四边形性质得，则，再根据得，然后根据有一个角等于的平行四边形是矩形可对选项B进行判断；根据对角线相等的平行四边形是矩形可对选项C进行判断；根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可对选项D进行判断，综上所述即可得出答案． 【解答】 解：四边形ABCD是平行四边形， 当，平行四边形ABCD是矩形， 选项A可以判定▱ABCD为矩形， 故选项A不符合题意； 四边形ABCD是平行四边形， ， ， 当时，则，此时▱ABCD为矩形， 故选项B可以判定▱ABCD为矩形， 故选项B不符合题意； 四边形ABCD是平行四边形， 当时，平行四边形ABCD是矩形， 选项C可以判定▱ABCD为矩形， 故选项C不符合题意； 四边形ABCD是平行四边形， 当时，平行四边形ABCD是菱形， 选项D不能判定▱ABCD为矩形， 故选项D符合题意． 故选： 5.【答案】D  6.【答案】C  7.【答案】C  8.【答案】D  【解析】①当点E，F在点O准备出发时，如图1，连接 四边形ABCD是矩形， 由轴对称可得，，，，，，，， ，，，， ， 四边形是菱形. ②当点E，F离开点O运动时，如图 点E，F同时从点O出发，以相同的速度分别向终点B，包括端点运动， 四边形ABCD是矩形， ，， ， ，， ， 由对称可得，，，， ，， 由对称可得，， ， 同理， ，即， 四边形是平行四边形. ③如图3，连接AE，CF， 当时， 由对称可得，， 又， ≌， 由②可知四边形是平行四边形， 此时四边形是矩形. ④点E，F继续运动，则四边形是平行四边形; ⑤当F，E运动结束，即分别与D，B重合时，如图4， 此时点E，，B三点重合，点F，，D三点重合， 由对称有，， ，即， 由对称有，， ， 在矩形ABCD中，， ， ， ， 四边形是平行四边形. 综上所述，在整个过程中，四边形形状的变化依次是菱形平行四边形矩形平行四边形 故选 9.【答案】  【解析】解：四边形 ABCD 是矩形，对角线  相交于点O，   ，  ， 又  ，   ，   是等边三角形，   ，   10.【答案】24  11.【答案】  12.【答案】2  13.【答案】  【解析】如图，过点D作交BC的延长线于点H，延长EF交DH于点M，连接BM， 在菱形ABCD中，，， ，， ，， 是等边三角形， ，， ， ，是的中位线， ，当BM最小时，FG最小. 根据点到直线的距离垂线段最短可知，BM的最小值即为BH， 在菱形ABCD中，， 在中，， ， ， 的最小值为9，的最小值为， 故答案为 14.【答案】证明：四边形ABCD是菱形， ， 在和中， ≌，   15.【答案】【小题1】 证明：，D是BC的中点，， ，，， ，，， 四边形ADCE是矩形. 【小题2】 是BC的中点，，， 由可知四边形ADCE是矩形， ，， 在中，由勾股定理得， ，， ，的长为   16.【答案】【小题1】 证明：，， 四边形ABCD是平行四边形， ， ， ， 四边形ABCD是菱形. 【小题2】 解：由可知，四边形ABCD是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， 即DF的长为   17.【答案】【小题1】 证明：四边形ABCD是平行四边形， ， 为BC的中点， ， ≌， ， 四边形BFCD是平行四边形. ， 平行四边形BFCD是矩形. 【小题2】 解：四边形ABCD是平行四边形，， 四边形BFCD是矩形， ，， ，， ，是等边三角形， ， ， ，   18.【答案】【小题1】 证明：如图，连接AD， 是等腰直角三角形，D是BC的中点， ，， 又， ≌ ， ， 【小题2】 解：当点P运动到AB的中点时，四边形APDQ是正方形.理由如下： ≌， ，， 是等腰直角三角形. 当P为AB的中点时，，即 又，， 四边形APDQ为矩形. 又， 四边形APDQ是正方形.   19.【答案】【小题1】 解：四边形ABCD是“等对角四边形”，， ， ， 根据四边形内角和定理得 【小题2】 证明：在中，CD为斜边AB的中线， ， ，， ，， ，， ， 四边形ACED是“等对角四边形”. 【小题3】 解：如图，过点D作于点E，于点 ，，， ， ， ，，， ， 四边形DEBF是矩形， ， 在中，， ，， ，， 在中，   20.【答案】【小题1】 45 【小题2】 ①证明：作于点G，如图1所示. ，， ， 四边形ABCD是矩形. ，外角平分线交于点A， ，， ， 四边形ABCD是正方形. ②解：设， ， 由①得四边形ABCD是正方形， 在与中， ， 同理，， 在中，， 即，解得， 的长为 【小题3】   【解析】  ，， 平分，平分， ，， ， 故答案为  略   解：根据题意作出图形，如图2所示，把沿PQ翻折得，把沿PR翻折得，延长DQ，MR交于点G， 由得，四边形PMGD是正方形，，，， ， 设，则，， 在中，由勾股定理，得， 解得，即 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $